Экстремальные задачи на некоторых классах гладких периодических функций Касянчук (Нгуен), Надежда Сергеевна (Тхи Тхьеу Хоа)

Введение к работе

Актуальность темы. В работе рассматриваются два круга вопросов: первый из них относится к классической области математического анализа и состоит в поисках возможностей

расширения толкования теоремы Ролля о нуляхпроизводнойт" другой

круг вопросов относится к точным экстремальным задачам на периодических классах гладких функций. То, что эти области взаимосвязаны было уже видно на примере работ М. Г. Крейна [1] и А. Пинкуса [2]. Установление такой связи позволяло не только получать новые резульиты в тг-ории приближений., но и давало существенно более простой метод работы в этой области. Более того, развитие одной области требовало развития другой и помогало в эффективной постановке задач (это можно видеть уже на примере результатов Н.И. Ахиезера [3] и М. Г. Крейна [і] в задаче тригонометрического приближения классов функций). Однако эта связь имеет более глубокие корни. Осцилляционные методы

1 Крейн ff. Г. К теории наилучшего прибли*ения периодических

функций // ДАН СССР. 1938, Т.18. N 4-5. С.245-249.

1. Pinkus A. N-width in approximation theory. Berlin: Springer - Verlag, 1935.

2. Ахиезер H.И. О наилучшем приближении одного класса

периодических функции ДАН СССР. 1037 Т !7. Ы 9. 0.4^1-453.

(проїде говоря, методы, основанные на подсчете числа нулей
функций) вошли в теорию приближений с П.Л. Чебышевым, доказавшим
известную теорему об альтернансе, и С.Н.Бернштейном, введшим
понятие чебышевских систем функций. Пойа [4, с.126] обнаружил
связь (одностороннюю) между теоремой Ролля для

дифференциального оператора и Марковостью (это некоторое усиление понятие Чебышевости) ядра этого оператора. Нами установлена равносильность понятий теоремы Ролля для оператора и чебышевости его ядра. Так что теория приближений с самого начала своего существования опиралась на факты, равносильные теореме Ролля.

Задача обобщения теоремы Ролля оказалась и сама по себе привлекательной. На прямой она была решена Пойа [5] и Шенбергом [6]. Инвариантные дифференциальные операторы, для которых

4. Полна Г. , Cere Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. Н. : Наука, 1978.

5. Polya G. Algebraiche Untersuchungen uber ganze Funktionen vom Geschlechte Nul und Ein // J.Rein und ang. math. 1915. V.145. P.224-249.

6. Schoenberg I.J. On totally positive functions, Laplace integrals and entire functions of the Laguerre-Polya-Schur

type // Proc.Acad.Sci.USA. 1947. v.35. P.11-4 7

выполняется теорема Ролля на прямой, представляют собой целые функции из класса Лагерра-Пойа-Шура от оператора дифференцирования, то есть функции, допускающие компактное приближение в комплексной плоскости полиномами только с вещественными нулями. Естественным образом возникли обратные операторы, не увеличивающие осцилляцию. Для инвариантных относительно сдвига дифференциальных операторов обратными операторами являмтсл огтерчтпры свертки. . Функция, с которой производится свертка получила название ядра, не увели'гпвгияегг» осцилляцию (слово ядро мы используем и в смысле множества функций обнуляемых дифференциальными операторами, но по контексту понятно, что имеется в виду). Шенберг начал рассматривать ядра, не увеличивающие осцилляцию на окружности, н показал, что класс таких ядер шире аналогичного класса для прямой. Позже появились результаты, показывающие коренное отличие этого класса от предыдущего [7],_[а]. Они состояли в

7. Polya G., Schoenberg I.J. Remarks on de la Vallee-Poussin means and convex conforrnal maps of the circle I! Pacif.J.Math. 1958. V.8. P.295-334.

8. Mairhuber J.C., Schoenberg I.J., Williamson R.E. On variation diminishing transformations of the circle // Rend. Circ. Palermo. 1959. V.8. P.241-270.

том. что . коэффициенты Фурье периодических ядер. не увеличивающих осцилляцию, не только могут как угодно быстро убывать, но могут вообще равняться нулю, начиная с некоторого номера (для ядер, не увеличивающих осцилляцию на прямой, двустороннее преобразование Лапласа обратно целой функции порядка не выше двух с нулями, лежащими лишь на вещественной оси). В интересующем нас аспекте, (наряду с результатами М. Г. Крейна [і] и Пойа [4, с.126]) таковым было состояние этой области. О других приложениях осцилляционных методов СМ. [9].

В экстремальных задачах теории приближений все рассматриваемые нами задачи были решены ранее в классическом случае - для оператора обычного дифференцирования. в Соболевских классах гладких функций. На это ушли усилия большого числа математиков, подробнее об истории каждой из задач мы говорим в соответствующих главах работы. Были разработаны методы, составившие основу решения и дальнейшего развития соответствующих экстремальных задач. Результаты М. Г. Крейна [і] в вопросах тригонометрической аппроксимации и А. Пинкуса. [2] в нахождении.поперечников классов, определяемых свертками с ядрами, не увеличивающими осцилляцию, показали, что

9. Гантмахер Ф. р. , Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и малые колебания механических систем. М.-Л. : Гостехиздат, 1941.

существенную часть технической работы в таких задачах можно сводить к теореме Ролля. Доказательства, благодаря этому, ~упрощались.- Мы стремились сделать подход к решению весьма разнообразных экстремальных задам универсальным - через теорему Ролля. Практически с помощью только теоремы Ролля удалось получить все результаты нашей работы (исключением является оценка снизу поперечников, для получения которой использована еще теорема борсуки).

Научная новизна и общая методика исследований.

1. Обобщение теоремы Ролля. Нам удалось ослабить зависимость от порядка дифференциального оператора в ассимптотической теореме Ролля, которую впервые установил ft. Г. Крейн [і]. В то же время, мы показали, что полностью избавиться от этой зависимости, как это предполагал М.Г. Крейн [1], нельзя. Мы установили (продолжая результат Пойа [4, с.126]) полное соответствие явления теоремы Ролля для дифференциального оператора и чебышеврсти его ядра на интервале. Выяснена вложенность понятия теоремы Ролля на окружности в такое *е понятие на интервале (продолжение результата Шенберга и др.[8] о вложимости этих понятий на прямой и окружности). Нами установлена теорема Ролля на окружности (и интервале) для оператора

Л (D)=D(D^Z+1^Z) (D^Z+n^Z), (D=d/dx) .

Этим доказано, что и размерность ядра дифференциального оператора (множества функций, где он равен нулю), для которого имеет место теорема Ролля, может быть сколь угодно большой (раньше рассматривались лишь случаи, когда размерность ядра О или 1), и что точки спектра его могут располагаться далеко от вещественной оси. На основании теоремы Ролля для оператора Л (D) и свойства неувеличения осцилляции ядра Валле-Пуссена

получен точный порядок убывания коэффициентов Фурье ядер, который гарантирует их свойство неувеличения осцилляции. Этот результат (в продолжение работы [8]) показывает невозможность описания периодического класса ядер, не увеличивающих осцилляцию, аналитическими условиями на коэффициенты Фурье ядер (подобно тому как описан класс на. прямой через двустороннее преобразование Лапласа). Мы также установили, что спектральные свойства этих ядер влияют на скорость убывания их коэффициентов Фурье.

2. Эстремальные задачи теории приближений

Во второй главе работы мы рассматриваем два круга вопросов: некоторые ключевые в теории приближений неравенства для производных (в нашем случае - для дифференциальных полиномов); вопросы тригонометрического приближения функций и классов функций. При нашем подходе теорема Ролля здесь является единственным инструментом. Так в классическом вопросе об

интерполяции функций тригонометрическими полиномами, которыя

является решающим в исследованиях по тригонометрическим

— приближениям классов функций, теорема Ролля для оператора Л (D)

дает простую и довольно универсальную замену ряду методов^' В
частности получено короткое решение теоремы В. К.Дзядыка СЮ].
[11] - задачи Фавара о тригонометрических приближениях на
классах с ограниченной дробной производной. Нами получена
гршоии.*н=7ріі"г*г.г.*" формула Тейлора кратной интерполяции,
исследованы вопросы интерполнции и аппроксимации

тригонометрическими сплайнами.

Оптимальные квадратурные формулы на периодических классах.

В третьей главе рассматривается задача об оптимальных квадратурных формулах на периодических классах функций (период полагаем равным единице), определяемых дифференциальными полиномами а(о) с постоянными вещественными коэффициентами :

10. Дзядык В.К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, имеющих ограниченную s-ю производную (oТ. 17. С. 135-162.

11. Дзядык В. К. О ' наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Матем.заметки. 1974. Т.іб, N 5. С.691-701.

w^Q = {f I feD^de9Q,||Q(D)f|| <1}. РЄС1.00].

J : (f I f, f, ..., f - абсолютно непрерывны}.

Задача о наилучшей квадратурной формуле была впервые
поставлена на соболевских классах непериодических функций
С.И.Никольским (подробнее см.[12]). Первый шаг во всех нынешних
решениях задач об оптимальных квадратурах - редукция к
моносплайнам, основан на принципе двойственности

С.М.Никольского [13]. На соболевских классах периодических функций задача о наилучшей квадратурной формуле полностью решена В. П. Моторным [14], А.А.Лигуном [15] и А.А.Женсыкбаевым

12. Никольский СМ, Квадратурные формулы. М. : Наука. 1988.

із. Никольский СМ. Приближения -функций тригонометрическими

полиномами в среднем //. Изв.АН СССР. 1946. Т.10, N3.

С. 207-256.

14. Моторный В. П. 0 наилучшей квадратурной формуле вида р f (х ) для некоторых классов периодических дифференцируемых функций // Изв.АН СССР. 1974. Т.38. С.583-614.

15. Лигун А.А. Точные неравенства для сплайн функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Патем.заметки. 1976. Т.16, N 6. С.913-926.

[16]. К.И.Осколков [17] начал рассматривать эту задачу для дифференциальных полиномов второго порядка произвольного вида.

Он показал, что для полиномов Q(z)-z +(2nu) , когда ы близко к целому числу, квадратурная формула~ прямоугольников не всегда наилучшая. К.И. Осколков также доказал, что если нули многочлена второго порядка вещественны, то формула прямоугольников оптимальна. Этот результат был обобщен П. А. Чахкиевым [18] на

«~пучай многочленов любого порядка с вещественными-~ нулями. На

классах сверток в l , определяемых ядрами. ^Гё'^'уВдлямнваиинми^ осцилляцию, оптимальность формулы прямоугольников установлена В.Ф.Бабенко и Т. А.Гранкиной [19]. Аналогичный результат в

16. Женсыкбаев А. А. Наилучшая квадратурная формула для
некоторых классов периодических дифференцируемых функций

// Изв. АН СССР. 1977. Т. 41. С. 1110-1124.

17. Осколков К. И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функций // ДАН СССР. 1979. Т. 249. Nl. С.49-52.

18. Чахкиев М. А. Линейные дифференциальные операторы с вещественным спектром и оптимальные квадрратурные формулы // Изв. АН СССР. 1984. Т. 48. С.1078-1108.

14. Бабенко В.Ф., Гранкина Т.А. О 'наилучших квадратурных формулах на классах сверток с 0(М,Л}-Я/рори// Исследование

метрике L , VpeCl.oo], получен независимо автором [2], ІЗ]. Р

Оптимальность формулы прямоугольников на произвольном классе

w , начиная с некоторого порядка (тогда неустановленного), без

доказательства единственности оптимальной формулы, мы получили уже в кандидатской диссертации. В настоящей работе мы находим порядок, начиная с которого этот результат верен, и показываем единственность оптимальной формулы при peQ.oo]. Чтобы получить эти факты, пришлось пойти на технические осложнения, отказавшись от сглаживания классов свертками с ядрами теплопроводности.

Основным инструментом нашей работы на всех этапах решения задачи об оптимальных квадратурах является теорема Ролля, что позволяет абстрагироваться от какой бы то . ни было специфики рассматриваемого класса гладких " функций. Например, для оператора Л (О) '= D(D+1 )--(D +п ) в первой главе работы устанавливается теорема Ролля, поэтому формула прямоугольников (порядка выше п) оптимальна на классе 2п-периодических функций, удовлетворяющих условию ||Л (D)f|| Zn+1, p[i,oo]. На этом

по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск: ДГУ, 1982. С. 6-13.

конкретної классе Шенберг [20] рассматривал задачу Сарда (по
оптимальным квадратурных формулах с фиксири'<.!іі:;н;:..

равноотстоящими узлами) d метрике і . РглилїТ> да*е~тпку» --^a-wiv —

без опоры на теорему Ролля для оперсиира Л С~) нелеік.о.

Точные значения поперечников классов периодических фуш.ни...

Ha классах функций w : l|Q(D)fj|

значения их поперечников по Колмогорову d (w ,l ) и d (w .і. ;,

г, CO q npl

а также примыкакхцнх no'crmciy .лругих lioiispc'iraiK-p. ^а.чачн и поперечниках- Соболевских классов функций была поставлена А.Н.Колмогоровым [21]. С историей развития этой задачи можно ознакомиться по статье [22]; внутри нашей работы мы даем подробную библиографию результатов для Соболевских классов

функций, аналоги которых устанавливаются здесь для классов w .

Нам хотелось бы выделить три работы, определившие методы и

20. Schoenberg I.J. On trigonometric spline interpolation // J.Math.and Msch. 1964. V.13, H5. P.795-825.

21. Колмогоров A, H. Oebcr die *»4t.a Annaherung von Funktionan eirter gegebenon Funktionenklassa // Ann.Math. 1936. V.37. P.107-110.

22. Теляковский С.A.. Тихомиров В.П. Теория приближений // Колмогоров А.Н.. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1983. С.ЗЭ2-386.

направление настоящих исследований.- работу М. Г. Крейна [ і ] в

вопросах тригонометрического приближения на классах w , работу

В.М.Тихомирова [23] в исследовании равномерных поперечников Соболевских классов w^r, результаты Пинкуса [2] для классов, определяемых свертками, не увеличивающими осцилляцию.

Приближения классов w множеством Т были получены

Н. И. Ахиезером [з] для полинома ос чисто мнимыми нулями при N>h(Q)/(2n). где h(Q) = max[Im z | Q(z)=0}. М. Г.Крейн [1] решил эту задачу для произвольного полинома а при н>х ~*ь(а)/(2п), где u(q) - количество пар невещественных корней полинома Q(z). И.Н.Володина [24] получила точную оценку снизу поперечника d (w^e,L ) при и>з^^<а}'¹ь(.о)/п. Поперечники d (w^q,l ) и

ZN СО СО' * ^r 2N 00 1

d (w ,l ) параллельно нам получены С.И.Новиковым [25]. Точная

23. Тихомиров ' В.И. Наилучшие методы приближения и
интерполирования дифференцируемых функций в пространстве

С[-1,1] // Матем.сб. 1969. T.80U22)., С. 290-304.

24. Volodina I.N. Exact value of widths of certain class of solutions of linear differential equations // Analysis Math. 1985. V.ll, N 1. P.85-92.

25. Новиков С.И. Поперечники одного класса периодических функций, определяемого дифференциальным оператором // Матем.заметки. 1987. Т.42, N 2. С.194-206.

12.

оценка снизу поперечника d (w , і. ) при N>h(a)/u получен.і В.Т.Шевалдиным [26], [27], там же им получен поперечині;

--d (W,L ) Урє[1,«] при N>3'^iJ'^f'""¹h(U)/(2rt).
2N-i p 1-- . .

Равномерные поперечники кіассон гармонических "ограничснних.. функция до последнего времени не поддавались оценке спи.о . отсутствия свойства неувелнчі-ііи/і осцилляции для ядер Пуасго., Именно на этих классах была г: о іуч.-на перпая точная оценка с.у.:—" «одерсінякр», не основанная непосредственно на теореме Го.: А. К. Кушпелем [28] на кру; г- ,,^.^:r;z- -<>// S- Т. «"«лляти.. [29] при р<х/ъ. Анализ их подхода показывает, что, все таки, рассуждения связаны со свойством неувеличения осцилляции в несколько урезанном виде ядра Пуассона. Сведением рассмотрений к ядру аналитического продолжения в полосу функций нами

26. Шевалдин В. Т. L-сплаиіш и поперечники // Матем. заметки. 1983. Т. 33, N 5. С. 735-745.

27. Шевалдин В. Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линеш;и.\ дицеренцнальних операторов // Тр. МИАН. 1983. Т.161. (. /03 ";с.

28. Кушпель А. К. Точные ОЦеНКгІ ііиіії--речмні мн кл.н.сов сверток ,'/ Изв. АН СССР. 1988. Т.52. ы 6. С.130S-1322.

29. Шевалдин В.Т. Поперечники классов сверток с ядром Пуассона // Матем. заметки. 199?.. Т. 51, N 6. С. 126-130.

получена оценка снизу поперечников гармонических функций Урє(о.і), начиная с некоторого номера. Конечно, мы говорим об оценке снизу, совпадающей с верхней оценкой, установленной М.Г.Крейиом [і].

Теоретическая ценность работы. Полученные результаты могут применяться в ряде вопросов классического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. вычислительной математики. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. По результатам диссертации автором были сделаны доклады на Всесоюзной школе - конференции по теории функций и сингулярным операторам в г. Теберде 1988 г. , на Всесоюзной школе - конференции "Современные проблемы теории функций" в г. Баку 1989 г. , на Восьмом Всесоюзном семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" в Красновидово 1990 г. , на семинаре под руководством академика С.М.Никольского и члена-корреспондента Л.Д.Кудрявцева в МИАН, на семинаре под руководством профессора В.И.Тихомирова в МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ в центральных журналах.

Структура диссертации. Диссертация содержит введение и 4 главы, состоящие в общей сложности из 19 параграфов. Объем ее равен 219 машинописным страницам. В библиографии приведено 53

Похожие диссертации на Экстремальные задачи на некоторых классах гладких периодических функций

Экстремальные задачи на классах функций с мажорирующим выпуклым модулем непрерывностиБагдасаров, Сергей Константинович

Линейные и нелинейные некорректные задачи на классах функций с особенностямиАнтонова Татьяна Владимировна

Некоторые экстремальные задачи в классах однолистных функций без общих значений Гаврилюк Михаил Николаевич

Достаточные условия однолистности различных операторов и экстремальные задачи на классе ограниченных функций Пронин Петр Николаевич

Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функцийКаюмов, Ильгиз Рифатович

Краевые задачи теории аналитических функций в классах ЕШевила, Татьяна Александровна

Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функцийМедведев Юрий Анатольевич

Исследования по экстремальным задачам теории приближения для классов периодических функций многих переменныхРоманюк, Анатолий Сергеевич

Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функцийБолотин Иван Борисович

Трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в кругеАлексеенков Владимир Витальевич