Введение к работе
Актуальность темы. Интегральные уравнения Ляпунова - Шмидта послужили одним из отправных пунктов нелинейного функционального анализа, но к ним современные методы исследования не применялись. Последние работы, связанные с этими уравнениями относятся к 40-50 годам нашего столетия. Начиная с этого времени и до наших дней они встречались в литературе только в качестве примеров. Именно поэтому и возник вопрос о возвращении к их исследованию, а также к необходимости изучения свойств операторов Ляпунова-Шмидта, таких как непрерывность, регулярность, компактность, условия действия в различных пространствах и других.
Современные методы функционального анализа позволяют исследовать данные уравнения более полно. A.M. Ляпуновым были сделаны только грубые оценки по равномерной норме пространства с, в диссертации сделаны более точные оценки и в других пространствах. Этметим, что уравнения Ляпунова-Щмидта исследовались многими авторами: в частности, у М.А. Красносельского. Э.С. Цитланадзе они присутствуют в качестве иллюстративных примеров, а у М.М. Вайн-берга была построена теория ветвления решений уравнений Ляпунова-Лмидта. Исследование интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта сводится к анализу соответствующих свойств полилинейных и степенных интегральных операторов вида
А(х ,. . . ,х )(t) = Г ... Г k(t,s ,...,s )х (s )...х (s )ds ...ds
1 m J J 1 rail rami m
n! n» CD
Ax(t) = Г ... Г k(t,s s )x(s,)...x(s )ds ...ds . (2)
JJ 1 ml mini
П П
1 in
Теория интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта тесно связана с теорией абстрактных полилинейных и степенных операторов, так как зператор Ляпунова-Шмидта можно рассматривать как конкретный пример [юлилинейного оператора, поэтому представляет интерес изучение теории полилинейных и степенных операторов.
Цель и задачи работы. Создание единой теории интегральных /равнений Ляпунова - Шмидта на основе абстрактной теории полилинейных и степенных операторов в идеальных пространствах функций.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Иссле-
дования проводились в рамках госбюджетной научной темы: "Линейные и нелинейные проблемы анализа и теории операторных уравнений и их приложения в теории управления и математической экономике", N 19941353 - 27.39 Белорусского государственного университета.
Научная новизна полученных результатов:
получена и доказана теорема Рисса-Торина для полилинейны операторов в идеальных пространствах функций;
построена абстрактная теория полилинейных и степенных операт ров в идеальных пространствах функций;
получены достаточные признаки действия полилинейных и степей ных интегральных операторов в идеальных пространствах функций;
получены новые георемы о разрешимости интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта;
получены теоремы о существовании собственных функций операторов Ляпунова-Шмидта.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
построена систематическая теория полилинейных и степенных интегральных операторов в идеальных пространствах функций (теоре мы об условиях их непрерывности и усиленной непрерывности, компак ности и др.); получены различные достаточные признаки действия по лилинеиных и степенных интегральных операторов в пространствах Ле бега и других пространствах фуннций;
получено обобщение интерполяционной теоремы Рисса - Торин для полилинейных операторов в идеальных пространствах функций;
найдены новые признаки аналитичности, компактности и потен циальности операторов Ляпунова-Шмидта;
доказаны новые теоремы об условиях разрешимости интеграль ных уравнений Ляпунова - Шмидта и теоремы о существовании собстве ных функций операторов Ляпунова-Шмидта.
Практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение Полученные результаты могут быть в дальнейшем использованы при чт нии специальных курсов на механико-математическом факультете.
Публикации, апробация работы, личный вклад.
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных р ботах, из которых две написаны в соавторстве с Ю. Аппелем и П. Забрейко, а две без соавторов.
Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафе ры математических методов теории управления Белгосуниверситета (р ководитель профессор П.П. Забрейко), на научной конференции мат
матиков Беларуси (Минск, 1.994), а также на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова (Минск, 1996).
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованных источников, включающего 122 наименования. Общий объем работы составляет 95 страниц машинописного текста.
В диссертации принята отдельно для каждой главы нумерация параграфов и отдельно для каждой глави нумерация формул, теорем и лемм.
