Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Полиномиальная аппроксимация целых функций экспоненциального типа 19
1.1 Теоремы сравнения 19
1.1.1. Обозначения и основные результаты 19
1.1.2. Доказательство теоремы 1 23
1.1.3. Доказательство теоремы 2 29
1.2 Теорема о расщеплении 37
1.2.1. Основная лемма 37
1.2.2. Доказательство теоремы о расщеплении . 42
1.3 Аппроксимационная теорема 46
1.3.1. Формулировка теоремы 46
1.3.2. Промежуточные результаты 49
1.3.3. Доказательство аппроксимационной теоремы 55
Глава 2. Интерпретация результата в терминах задачи спектрального синтеза 62
2.1 Схема двойственного перехода 62
2.1.1. Оператор тг(>) 62
2.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза . 63
2.1.3. Постановка задачи локального описания . 63
2.1.4. Двойственность 66
2.2 Спектральный синтез и индуктивное описание . 69
2.2.1. Индуктивное описание 69
2.2.2. Пространство М\ 69
2.2.3. Спектральные вопросы 70
2.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание 73
2.3 От локального описания к проективному описанию 74
2.3.1. Проективное описание 74
2.3.2. Пространство N\ 75
2.3.3. Локальные вопросы 76
2.3.4. Локальное и проективное описания 79
2.4 Теорема двойственности 83
2.4.1. Принцип двойственности 83
2.4.2. Схема двойственности 83
2.4.3. Теорема двойственности 84
2.5 Главные С[7г]-подмодули в? 89
2.5.3. Обильность главных С [я-]-подмодулей в Р . 89
2.5.4. Связь с задачей спектрального синтеза . 91
Список литературы 94
- Теорема о расщеплении
- Доказательство аппроксимационной теоремы
- Постановка задачи локального описания
- Проективное описание
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Пусть Q — односвязная область в С; Н = H(Q) — пространство функций, аналитических в Г2, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D — оператор дифференцирования -і-, действующий в Н. Подпространство W С Н называется инвариантным (D-инвариантным), если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению Л Є С, называется непустое подпространство
\J{feH:(D-\)nf = 0}QH.
Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора D.
Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора D, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.
Инвариантные подпространства W С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора!) в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947 г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях.
Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования — задача аппроксимации для однородного сверточного уравнения: можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт, Полна, Валирон, А.Ф. Леонтьев, А.О. Гельфонд, Л. Эрен-прайс, Д. Диксон, Ю.Ф. Коробейник, И.Ф. Красичков-Терновский и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.
Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования D инициированы в 1971 г. И.Ф. Красичковым-Терновским. Дальнейшее развитие задачи связано с переходом к оператору кратного дифференцирования Dq. Первые шаги в этом направлении сделаны С.Г. Мерзляковым (1983). Более общие результаты получены А.Б. Шишкиным и И.Ф. Красичковым-Терновским (1989). В начале 1990-х годов появилась серия работ И.Ф. Красичкова-Терновского, в которых исследуется задача спектрального синтеза для дифференциального оператора 7r(D) = Dq + a\Dq~l + ...+ aqD с постоянными коэффициентами. В 2004 г. А.Н. Чернышёв получает первые результаты при переходе к дифференциальному оператору бесконечного порядка с постоянными коэффициентами:
ОО ,,
к=0
где 7Г () = Х^ос^С — целая функция минимального типа при порядке р = 1. Возможность спектрального синтеза для оператора tt(D) доказана (А.Н. Чернышёвым) при наложении на функцию 7Г весьма ограничительных условий:
существует уточненный порядок р(г) —> р, 0 < р < 1 такой, что функция 7Г является целой функцией вполне регулярного роста при этом уточненном порядке;
индикатриса роста функции 7Г при уточненном порядке р(г) всюду положительна;
гр^г> - вогнутая функция;
о!) для любого є' > 0 найдутся положительные константы р, h' такие, что вне некоторого множества кружков, линейная плотность которого не превосходит є', выполняются оценки
k'(C)l > /5,
< \ло\
равномерно по , лежащем в круге | — (\ < Ь/.
Пусть S — линейный непрерывный функционал на Н. Подпространство Ws = {/ Є Н: (S,irk(D)f} = 0, к = 0,1,...} называется главным tt(D)-инвариантным подпространством, порождаемым функционалом S.
Объект и предмет исследования. Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами (1), действующего в Н = H(Q\) х ... х H(Qn). Объектом исследования являются главные tt(D)-инвариантные подпространства.
Цель работы. Исследовать на допустимость главными ^(/^-инвариантными подпространствами в Н спектрального синтеза.
Методы исследования. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского в 70-х годах XX века. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.
Научная новизна. Доказана возможность спектрального синтеза для оператора tt(D) при наложении на функцию 7Г только условий а) и Ь) (стр. 4).
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты относятся к области фундаментальных исследований по математике, носят теоретический характер и дополняют многочисленные исследования задач спектрального синтеза в комплексной области и локального описания аналитических функций.
Достоверность результатов. Все научные результаты, содержащиеся в диссертации, обеспечиваются математической строгостью проведенных доказательств, с привлечением различных научных методов, как новых, так и хорошо известных, используемых в теории функций, в абстрактной алгебре и функциональном анализе и, следовательно, являются достоверными.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.
Научные положения, выносимые на защиту.
Факторизационная теорема (теорема 1.2.2).
Аппроксимационная теорема (теорема 1.3.1).
Положительное решение задачи спектрального синтеза по отношению к главным 7г(1))-инвариантным подпространствам (теорема 2.5.2).
Апробация работы. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в Славянском-на-Кубани государственном педагогическом институте (руководитель А.Б. Шишкин, Славянск-на-Кубани, 2005 - 2009 гг.), в ходе работы Воронежской зимней математической школы (Воронеж;, 2007 г., 2009 г.), на «Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева» (Уфа, 2007 г.), на международной математической конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2007 г.), на кафедре математического анализа южного федерального университета (ноябрь 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7].
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 104 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 79 наименований.
Теорема о расщеплении
Две функции fi, /2 комплексной переменной называются (і-эквивалентными (в обозначениях /і /2), если существует множество кружков Е = [Jei нулевой линейной плотности такое, что Введенное отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично, транзитивно; оно сохраняется при умножении па эквивалентные функции: если /i /2, gi д2, то fxgx f2g2. В силу (1.1.29) все многочлены -эквивалентны. Пусть Л = {А;} — последовательность отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой в бесконечности. Последовательности Л соответствует каноническое произведение где G (f:,0) = (1 — x7) Справедлива следующая теорема о расщеплении. Теорема 1.2.1 Если последовательность К удовлетворяет условию (1.1.6), то ее можно разбить на две подпоследовательности A = {OJ} и В = {&г-} таким образом, что Из этой теоремы, используя представление Адамара для целых функций конечного порядка, получаем следующее утверждение. Теорема 1.2.2 Если последовательность Л = {Aj} нулей целой функции f удовлетворяет условию (1.1.6) и Эта факторизационная теорема для случая р — 1 доказана в работе И.Ф. Красичкова-Терновского [16, теорема 4.2]. В статье B.C. Азарина [2] дано альтернативное доказательство этой теоремы и показано, что она остается справедливой при переходе к функциям конечного порядка р 0. Ниже мы убедимся, что факторизационная теорема справедлива и для целых функций уточненного порядка p(t) = " —» р (0 р -foo). В принципиальном случае р = 0 по-прежнему предполагаем выполненным дополнительное условие Нгщ- +оо у = +00. Последовательность Г = {jj} называется эквивалентной последовательности Л = {А;} (в обозначениях Г Л), если для любого є 0 найдется номер г(є) такой, что 7І — А; є \\\ при і і(є). Это отношение является рефлексивным, симметричным, транзитивным. Если Г і Лі, Г2 Лг, то при соответствующем упорядочении объединенных последовательностей Г = ГіУГ2, Л = Лі 1J Л2 будем иметь Г Л. Таким образом, отношение эквивалентности сохраняется при объединении эквивалентных последовательностей. Лемма 1.2.1
Пусть эквивалентные последовательности Г и А удовлетворяют условиям (1.1.6) и (1.1.9) соответственно. Тогда при р ( N, Доказательство. Пусть dn — 0 (0 dn ) при п — со. Для любого номера п найдется номер кп такой, что урезанная последовательность Г\-п = { } (г кп) является іп-близкой к урезанной последовательности Л .п = {А;} (г кп). Таким образом, согласно теореме 1.1.2, существует множество кружков j(n) = (Je линейной плотности, не превосходящей 5п — (36% , такое, что при если p Є N. Здесь єп = Op(c)af3inna — 0 при п - со. Если гп достаточно велико, то в силу Ит +оо у — +оо при \z\ rr если р Є N. Пусть Еп — множество кружков, полученное добав лением к круга z гп. Линейная плотность при этом не ме няется и, значит, по-прежнему не превосходит 6п. Из неравенств (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3) и (1.2.4) следует, что при z . Еп если р Є N. Теперь задача заключается в следующем: из множеств Еп составить новое множество кружков Е = (Je нулевой линейной плотности, такое, что при z — оо, z Е если р N, и Для этой цели воспользуемся процедурой из работы [61, доказательство леммы]. Пусть R\ столь велико, что при г К\ и, кроме того, окружность \z\ = Ri не пересекает кружки из Ei и Е2- Такое Ri всегда можно подобрать, если 5i, 62 достаточно малы. Обозначим через Qi множество кружков из Е\, принадлежащих кругу \z\ R\. Выбираем теперь R2 так, что ПрИ Г i?2 и окружность \z\ — R2 не пересекает кружки из 2 и 3 Пусть $2 — множество кружков из 2, принадлежащих кольцу Ri \z\ R2. Подбираем Яз так, что при г Яз и окружность г = Яз не пересекает кружки из Е$ и Е±. Пусть 5з множество кружков из Ез, принадлежащих кольцу Я2 оо \А Яз, и т.д. Рассмотрим объединение Е = [J Qi. Линейная г=1 плотность этого множества кружков равна нулю. Действительно, при Ri r Ri+i имеем Значит, Pjs(r) — О при г — +со.
Проверим оценки (1.2.7), (1.2.8). Пусть z Е и Rn-i \z\ Rn. Тогда z . Еп, и, значит, при этих z имеют место оценки (1.2.5), (1.2.6). Так как это имеет место при всех п, то отсюда и следуют оценки (1.2.7), (1.2.8). Лемма доказана. доказательству теоремы о расщеплении. Суть дальнейших построений сводится к следующему: комплексная плоскость специальным образом разбивается на "малые" ячейки; каждая группа точек Aj, попадающих в отдельную ячейку, разбивается на две части, различающиеся по числу содержащихся в них членов самое большее на 1: одна из этих частей относится к А, другая — к В; последовательности А и В, составленные таким образом, будут искомыми. Приступим к реализации намеченного плана. Подберем последовательность сгп, 0 сги 1, такую, что где \ q 1. Действительно, в этом случае гп —» оо, так как при достаточно большом значении параметра t имеем
Доказательство аппроксимационной теоремы
Отметим, что из доказанной леммы и неравенства (1.3.4) вытекает, что для любых А, В 0 и достаточно больших t выполняются неравенства /i() jjM l(t) jjAlnBt, следовательно, ВеСОВаЯ фуНКЦИЯ fl(t) удовлетворяет УСЛОВИЮ ІІШі +оо j = + со. Зафиксируем произвольную целую функцию /(C), удовлетворяющую при некоторых а, Ь 0 равномерной по оценке Предположим, что функция f() представляется в виде /(С) = F(7r()), где F{z) — это некоторая целая функция. Наша цель — переписать оценку (1.3.6) в терминах функций F(z) и /x(z). Лемма 1.3.2 Область значений функции 7г совпадает со всей комплексной плоскостью, то есть тг(С) = С. Доказательство. Предположим, что существует точка ZQ Є С такая, что 7r_1(.zo) = 0. Тогда — целая функция, не имеющая нулей и принимающая значение 1 в точке С, = 0. Из известной оценки снизу следует, что функция LJ имеет минимальный тип при порядке 1. В силу теоремы Адамара-Бореля L — const, то есть 7г() — const, что противоречит начальным условиям на выбор функции 7Г. Тем самым лемма доказана. Лемма 1.3.3 При некотором т 0 для любых достаточно больших по модулю z выполняется неравенство Доказательство. Обозначим Uk круг г&, а 14 его 7г-образ. Пусть z Є Ук+\\Ук- Существует точка С, є Uk+i такая, что z = 7г(). Обозначим точку круга С, в которой модуль функции 7г достигает наибольшего на этом круге значения. Из оценки (1.3.6) вытекает, что 1п-Р(,г) аС[ + Ъ = а + Ъ. По определению функции М-1 имеем С = М-1(2;/), где z1 — 7г(С0-Следовательно, lnF(0) aM l(\z \) + 6. Так как z 0 Vfc, то в силу оценки (1.3.2) \z\ ,5((/2(7 )) —» +00 при fe —5- 00.
Значит, в силу леммы 1.3.1 для достаточно больших к имеем ln.F(.z)] aD(i(\z \) + b. С другой стороны, так как лежит в круге Щ+і, то в силу той же оценки \z \ ф&((р(гк+і)). Следовательно, для любых достаточно больших к выполняются неравенства В силу леммы 1.3.2 UfeLi fc = С, значит, полученная оценка выполняется для всех достаточно больших по модулю z. Лемма доказана. Приступим к доказательству теоремы 1.3.1. Пусть Fm(z) — частичная сумма ряда Тейлора функции F и q 1. В силу леммы стремится к qPa при \z\ —» +00, а степень q «+1 стремится к 1 при g — 1. Значит, при соответствующем выборе q 1 для всех достаточно больших z выполняются неравенства K q(\z\)) gpo+V(k!) 2/4kD- Поэтому Следовательно, существует константа С 2 такая, что при всех ш и z выполняется неравенство Подберем 27Г -периодические тригонометрически выпуклые функции и є 0 такими, что Теперь подбираем 5 0 и натуральное N такими, что На основании следствия теоремы 1.2.1 расщепляем F на 2N JJL-эквивалентных множителей: F = F х х F 2, ). В силу леммы 1.3.3 для любых достаточно больших по модулю z выполняются неравенства Пусть Fm (z) — частичная сумма ряда Тейлора функции F \ Как показано выше, существует положительная константа С 2 такая, что при всех т и і выполняется неравенство Построим последовательность многочленов Р , используя процедуру, разработанную при доказательстве теоремы 1 из [19]. Выберем натуральное к и 7 0. При достаточно большом т\ к, будет выполняться неравенство FHz) 2FV(Z) При \z\ VQ. Так как F (z) — многочлен, то в силу Нт _ +00 = +оо существует Гі го такое, что Кроме того, в силу (1.3.10) в кольце r0 \z\ Г\ выполняется неравенство Так как Fml{z) — многочлен, то существует т2 т\ такое, что Кроме того, в силу (1.3.10) в кольце п \z\ г2 имеет место неравенство Проделав такие рассуждения 2 раз, построим систему многочленов Ffhl и систему чисел г І со следующими свойствами: Многочлен допускает следующие оценки. При \z\ г о справедливо неравен ство при \z\ r2N — неравенство где константа С = 22"СЫ х х СІ2") не зависит от к. Из этих оценок и неравенств вытекают оценки для многочлена При 7г(;г) го справедливо неравенство при \n(z)\ V2N — неравенство и при п-1 \K(Z)\ ГІ — неравенство Теперь оценим произведения pk fj, j — 1,. ., п. В силу (1.3.9) и выбора є будем иметь Расщепим y?j на 2 z(-эквивалентных множителей При этом для индикаторов этих функций справедливы строгие неравенства 3.14)
Расщепления / и ipj индуцируют расщепление где множители Ф 1} = / ,...,Ф = /(2%f г (-эквивалентны. Действительно, также &), По той же причине, что и выше, — целая функция минимального типа при порядке 1. Считаем, что функция TT(Z) отлична от константы. Следовательно, верно следующее соотношение . тг(С) = С. (2.1.1) Пусть Oi,..., Qn — выпуклые области в С; Ни = H(flu) — пространство функций, аналитических вЙ с топологией равномерной сходимости на компактах; Н — топологическое произведение Hi х х Нп. Символом 7г( ) обозначим линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка Ckdz к=0 действующий на элементы / = (/i,..., /п) Є Н покомпонентно dkh dkfn dzk - dzk fc=o fc=o w4 .-».I Результат действия оператора TT{D) на элемент пространства Ни лежит в Hv. При этом сходимость f№ — 0 в топологии Hv влечёт сходимость тг(D)f№ — о в той же топологии. Это позволяет рассматривать ir(D) как линейный непрерывный оператор, действующий из Н в Н. 2.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза. Собственным значением оператора 7r(D) называется число Л Є С, удовлетворяющее уравнению (n(D) — А)/ = 0 при каком-либо ненулевом / = ,(/j/) Є Н. Алгебраическим спектром оператора 7r(D) называется совокупность всех собственных значений этого оператора. Корневым подпространством оператора 7r(D), соответствующим собственному значению Л Є С, называется подпространство Н, состоящее из элементов, каждый из которых при некотором fceN удовлетворяет уравнению (TT(D) — X)kf = 0. Подпространство W С Н называется инвариантным, если выполняется импликация: / е W = тг( )/ Є W. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Н линейной оболочки корневых элементов оператора 7г( ), содержащихся в W. Задача спектрального синтеза для оператора 7r(D): найти условия, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез. Решение поставленной задачи связано с переходом к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания. 2.1.3.
Постановка задачи локального описания. Пусть Н — сильное сопряженное к пространству Ни. Обозначим Tv преобразование, которое каждому функционалу S Є Н ставит в соответствие целую функцию экспоненциального типа (р(С) = (S, exp ); Pv — полный образ отображения Tv. Так как lv является односвязной областью в С, то отображение Т„ : Н — Р„ вза имно однозначно [16, 2]; оно индуцирует в Pv отделимую локально выпуклую топологию. При этом отображение Т„ : Н — Ри — линейный топологический изоморфизм. Пространство Ни является пространством Монтеля и, значит, рефлексивным пространством. Отсюда следует, что Pv — отделимое рефлексивное локально выпуклое пространство. Обозначим Н = Hi х х Н г — сильное сопряжённое к пространству Н\ Р — топологическое произведение Pi х ... х Рп; Г — преобразование, которое каждому функционалу S = {Sv) Є Н ставит в соответствие n-функцию р = ( v), где (ри{С,) = (S„, exp z) — целая функция экспоненциального типа. Отображение Т является линейным топологическим изоморфизмом пространства Н на пространство Р. Оператор 7r(L ) : Н — Н (сопряженный к оператору n{D)) является непрерывным [64, предложение 8.6.5]. Пусть ip = {ipv) Є р, S = (Su) = Т_1(с/?). Из. соотношений вытекает, что T(jr(D) S) Є Р совпадает с покомпонентным произведением 7г /? = (тг 1/)- Значит, пространство Р замкнуто относительно оператора умножения на функцию 7г(): 7Г : Р — Р Ц) — 7П/?. При этом имеет место равенство (2.1.2) Т0 7Г( ) =7Г0Т. Отсюда вытекает, что оператор 7Г = Т О 7T(D) О Г"1 умножения на функцию 7г() является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7Г над полем С. Множество U С С будем называть 7Г- симметричным, если найдется множество У СС такое, что U = 7г_1(У). Функция ip, аналитическая на открытом 7г-симметричном множестве [/СС, называется -к-симметричной, если она представляется в виде Ф о 7г, где Ф — некоторая функция, аналитическая в точках множества 7г(/). Простейшие 7г-симметричные функции — это отображения, Осуществляемые Элементами КОЛЬЦа С[7Г] МНОГОЧЛеНОВ ОТ 7Г. Пусть Л Є С, Л — 7Г-СЛОЙ 7г_1(Л), ш — подмножество Л, О (и) — кольцо ростков функций, аналитических в окрестностях и, Оп{и) — декартово произведение О (си) х х О (и) п копий 0(ш), Оп((л ) — кольцо ростков 7Г-симметричных функций, аналитических в окрестностях и. Множество Оп(и) рассматриваем как модуль над кольцом Ок(со). Пусть / — замкнутый подмодуль в Р, ш —конечное подмножество Л. Обозначим 1(ш) минимальный подмодуль О7г(о;)-модуля Оп(и), включающий I. Ясно, что 1{ш) состоит из всевозможных конечных сумм вида
Постановка задачи локального описания
Пусть Л Є С, Л — 7Г-СЛОЙ 7г_1(Л), ш — подмножество Л, О (и) — кольцо ростков функций, аналитических в окрестностях и, Оп{и) — декартово произведение О (си) х х О (и) п копий 0(ш), Оп((л ) — кольцо ростков 7Г-симметричных функций, аналитических в окрестностях и. Множество Оп(и) рассматриваем как модуль над кольцом Ок(со). Пусть / — замкнутый подмодуль в Р, ш —конечное подмножество Л. Обозначим 1(ш) минимальный подмодуль О7г(о;)-модуля Оп(и), включающий I. Ясно, что 1{ш) состоит из всевозможных конечных сумм вида является 07Г(А)-подмодулем в Оп(А) и называется локальным подмодулем I, ассоциированным с іг-слоем А, и обозначается /(А). Согласно этому определению, локальный подмодуль /(А) С Оп(Х) исчерпывается ростками n-функций, аналитических в окрестностях Л и представимых в виде Q /? в окрестности каждого конечного подмножества wC А. Здесь Q — 7г-симметричные функции, аналитические в 7г-симметричных окрестностях Л, (р Є /. Подмодуль I допускает локальное описание, если справедлива импликация: Задача локального описания: найти условия, при которых замкнутый подмодуль I С Р допускает локальное описание. Импликация (2.1.3) была введена впервые И.Ф. Красичковым-Терновским [16]. Замкнутые подмодули,, удовлетворяющие этой импликации, названы им обильными. Таким образом, обильные подмодули в Р и только они допускают локальное описание. 2.1.4. Двойственность. Переход от первой задачи ко второй лежит в основе большинства известных работ по спектральному синтезу в комплексных областях. Этот переход, как правило, осуществляется в рамках специальных условий и вызывает значительные трудности.
В работе А.Б. Шишкина [63] развивается общий метод, позволяющий осуществить двойственный переход в условиях задачи спектрального синтеза для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. При этом двойственный переход разбивается на три отдельных шага. Два из них связаны с классическими задачами теории аналитических функций, и лишь один — с общей теорией двойственности. Пусть W — замкнутое инвариантное подпространство в Н. Это подпространство допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Н подпространства, натянутого на множе где Е(Х) — корневое подпространство оператора 7г( ), соответствующее собственному значению Л. Пусть (А) — совокупность всех линейных комбинаций элементов вида где V—1 п—V Если для любого Л Є С корневое подпространство Е(Х) совпадает с замыканием (А) в топологии Н множества (А), то задача спектрального синтеза равносильна так называемой задаче индуктивного описания: найти условия, при которых замкнутое инвариантное подпространство W совпадает с замыканием в Н подпространства, натянутого на множество С другой стороны, задача локального описания не предполагает топологизации локальных модулей Оп(А). Отступим от этого правила и будем считать, что локальный модуль О71 (А), А Є С, наделен локально выпуклой топологией, в которой он как модуль над кольцом ОДА) является топологическим. Получаем возможность говорить о замкнутых Оп(А)-подмодулях в Оп(Х). Обозначим через 1(A) минимальный замкнутый подмодуль 07Г(А)-модуля Оп(А), содержащий подмодуль I С. Р. Так как Оп(А) — топологический модуль, то /(А) совпадает с замыканием /(А) в топологии Оп(А). Возникает новая задача — задача проективного описания: найти условия/ при которых оказывается справедливой импликация Может случиться так, что все подмодули в (97Т(Л)-модулях Оп(Х) будут замкнуты. Тогда задача проективного описания ничем не отличается от задачи локального описания.
Постановка задач индуктивного и проективного описания приводит к разбиению двойственного перехода на три отдельные части: 1) от спектрального синтеза к индуктивному описанию, 2) от индуктивного описания к проективному описанию, 3) от проективного описания к локальному описанию. Переход 1) связан с изучением корневых подпространств дифференциального оператора (2.2). Переход.3) использует замкнутость подмодулей в топологизированных локальных модулях и основан на предложении типа леммы Круля (2.3). Переход 2) осуществляется в рамках общей теории двойственности. Этот переход описан в работе А.Б. Шишкина [63, 1]. Зафиксируем замкнутое инвариантное подпространство W С Н. Замкнутое подпространство / = T(W) С Р является замкнутым С[7г]-подмодулем в Р (см. 2.4, принцип двойственности). Этот подмодуль обозначается An W и называется анпуляторным подмодулем инвариантного подпространства W. Теорема двойственности. Замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль AnW С Р является обильным. полурефлексивные локально выпуклые пространства над полем С; Шд : ЯЯ\ — $), Л Є С — линейные непрерывные отображения. Выберем произвольное замкнутое подпространство W С $) и каждому Л Є С отнесем замкнутое подпространство Очевидно, что W\ — максимальное замкнутое подпространство 9Л\, образ которого при отображении т\ леоісит в W. Подпространство W\ С дЛ\ будем называть индуктивным подпространством W, порождаемым отображением тд. Говорим, что W допускает индуктивное описание (относительно семейства отображений під, Л Є С), если оно совпадает с замыканием в 5} подпространства, натянутого на объединение
Проективное описание
Пусть .fj, ЯЯд, Л Є С — отделимые полурефлексивные локально выпуклые пространства над полем С; гпд : Яїїд —» із, А Є С — линейные непрерывные отображения. Обозначим іо — сильное сопряженное к із; 9?д — сильное сопряженное к 9Яд; Пд : Sj — ОТд — оператор, сопряженный к т.д. Отображение Пд непрерывно [64, Гл.8]. Выберем произвольное замкнутое подпространство V С із и каждому А Є С отнесем замкнутое подпространство Уд С 9Тд, совпадающее с замыканием в 01д подпространства, натянутого на пд(У). Легко увидеть, что Уд — минимальное замкнутое подпространство 91д, включающее множество Пд(У). Подпространство Уд С 9Тд называют проективным подпространством У, порождаемым отображением пд. Подпространство У допускает проективное описание (относительно семейства отображений Пд, Л Є С), если оно совпадает с пересечением Задача проективного описания: найти условия, при которых замкнутое подпространство V С S) допускает проективное описание. 2.3.2. Пространство N\. Рассмотрим пространство Л/д, сильное сопряженное к М\ (см. 1.2, п.З). Пусть {dx,k}kL\ последовательность компактов в Z\ со свойствами: Обозначим через Nx,k пространство всех комплексных функций на dx,k- Если наделить N\,k топологией, порождаемой sup-нормой, то Nx,k можно отождествить с сильным сопряженным к Мх,к [64, теорема 4.2.1]. Значит пространство N\ может быть отождествлено с проективным пределом пространств Nx,k относительно сужений Nx,k+i —» Nx,k [46, Гл. V, предложение 15]. По запасу элементов пространство Nx совпадает с пространством всех комплексных функций на\2Гд.
Топология Nx совпадает с топологией равномерной сходимости на компактах и порождается счетным набором полунорм Билинейная форма, приводящая пространства М\ и N\ в двойственность, имеет вид которое каждому элементу р = {иру) Є Р ставит в соответствие комплексную функцию определенную на множестве Z\. Так как отображение вложения Р Q Оп(С) непрерывно и взаимно однозначно, то таковым же является отображение п\. Введем в Оп(Х) отделимую локально выпуклую топологию, порожденную счетным набором полунорм каждая из которых определяется выбором точки (j, v, ) из Z\. Топология в пространстве Оп(Х) может быть описана как топология проективного предела пространств Оп(и ) относительно отображений сужения Здесь и — конечные подмножества слоя Л; пространство Оп{ш) топологизируется с помощью полунорм вида (2.3.1), каждая из которых определяется выбором точки (j, ь , ) из декартова произведения ZUJ — Z+ х {1,...,п} хал При описании топологии в Оп(Х) можно обойтись не более чем счетной совокупностью Сс і,и 2 -конечных подмножеств слоя Л, удовлетворяющей условиям: При этом топология Оп(Л) совпадает с топологией проективного предела пространств On(ojk) относительно отображений сужения Произведение элементов Оп(Л) на элементы кольца Ож{А) непрерывно в топологии Оп(А), следовательно Отг(А)-модуль Оп(Х) является топологическим. Аналогичное утверждение верно также и для О7г(о;/г)-модулей Оп{ик). Пусть I — замкнутый подмодуль С[7г]-модуля Р] /(А) — локальный подмодуль /, ассоциированный с 7г-слоем Л; /(А) — его замыкание в топологии Оп(Х). Лемма 2.3.1
Множество 1(Х) совпадает с замыканием I множества I в топологии Оп(Х). Доказательство. Так как I С 1(A), то I С /(А). Для доказательства обратного включения достаточно установить, что ДА) С /, поскольку в этом случае, в силу замкнутости /, получим /(А) С I. Пусть и = {uj) Є /(А). Векторная функция и в окрестности множества ujk допускает представление
