Введение к работе
ДліУ "''
Актуальность те:ды. Теория плоских квазиконформных отображений зозникла в конце 20-х годов в работах Г.Греча и М.А.Лаврентьева. і настоящее время она представляет собой далеко продвинутый раздел геории функций коїшлексного переменного, имею:,їй важные приложения сак в самой теории функций,'так и в других областях математики, а :акже в прикладных вопросах. Достаточно полное изложение теории шоских квазиконформных отображений и ряда ее приложений отражено > монографиях Л.Альфорса, Е.П.Белинсхого, С.Л.Крушкаля, Р.Кшау, [.А.Лаврентьева, О.Лехто и К.Виртанена, В.Н.Монахова.
Понятие пространственного квазиконформного отображегш было
шедеко М.А.Лаврентьевым в 1938 г. Наиболее интенсивное развитие
еории таких отображений приходится на конец 50-х и начало 60-х
'одов. В это время в работах Ю.Вяйсяля, Ф.Геринга, Б.В.Шабата и др.
юздается один из фундаментальных методов исследования свойств ква-
иконформных отображений, который в своей сути выражает характерис-
ическое свойство квазиинвариантности конформной емкости конденса-
ора и модуля семейства кривых или поверхностей при квазиконформ-
ых преобразованиях пространственных областей. Систематическому
римонению этого метода при построении теории пространственных ква-
иконфорыных отображений и некоторых ее приложений'посвящены-моно
рафии Ю.Вяйсяля, Ф.Горинга, В.М.Гольдштейна и Ю.Г.Решетняка.А.В.Сы-
ева. Подробный обзор различных эквивалентных условий квазиконформ-
ости,'а также обширная библиография содержатся в монографии П.Ка-
амана. '
Естественным обобщением квазиконформных отображений являются то'бражения, квазиконформные в среднем. При аналитическом опредо-ении таких отображений, ослабляя требование квазиконформности, редполагаатся ограниченность каких-либо интегральных средних от -налитических отклонений отображения; Различные классы' отображений, ваэиконформнкх в среднем, рассматривались в работах П.П.Белинско-э, П.А.Билуты, В.А.Зорича, С.Л.Крушкаля, В.С.Кудьявина, В.М.Мик-шсова, И.С.Овчинникова, М.Перовича, И.Н.Песина, Ю.Г.Решетника, .Ф.Стругова, Г.Д.Суворова и других авторові' Как' правило, каждый з этих классов отображений, квазиконформных в"среднем, отражает резде всего то или иное качественное свойство, присущее классу зазиконфоршшх отображений. Довольно большое количество различных іассов отображений, квазиконформных в среднем, породило и самые ізнообразіше (порой весьма специфические) приемы и метода псслодо-ший их свойств. Общие методы, использующие емкостную или «одуль-
ную технику, здесь разработаны не бшш.
Сказанное диктует необходимость как развития общей теории отображений, квазиконформных в среднем, так и разработку общих геометрических методов исследования свойств таких отображений.
Цель работы. Главная цель работы заключается в выделении класса отображений, квазиконформных в среднем, который по совокупности своих качественных свойств является, на наш взгляд, наиболее естественным и непосредственным расширением класса квазиконформных отображений; Используя емкостную технику, наш предлагается общий геометрический метод исследования свойств отображений выделенного класса; призванный играть здесь ту же роль, какую в теории квазиконформных отображений играет упоминавшееся выше свойство кзазиинвариантности конформной емкости конденсатора. Дальнейшая цель рабс-ты состоит в иллюстрации систематического применения этого метода для получения целого ряда аналитических, метрико-гео-метричесхих и граничных овойств отображений, ісЕазиконформшос в среднем.
Методика исследований. Широко используются общие свойства емкостей конденсаторов, методы современной теории функций действительного переменного, приемы и методы теории квазиконформных отображений, а также метод, основанный на предлагаемых в работе геометрических характеристиках отображений, квазиконформных в среднем.
Научная новизна. В работе, исходя из понятия емкости конденсатора, вводятся геометрические определения средних отклонений '. гомеоморфизма. Требованием их ограниченности выделяется класс отображений," квазиконформных в среднем, являющийся непосредственным расширением класса квазиконформных отображений; Описаны характеристические законы'искажения емкостей конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, представляющие собой основной инструмент при исследовании свойств таких отображений.'Указаны дифференциальные свойства и аналитическое описание класса отображений, квазиконформных в среднем. Получена (точная по порядку) оценка искажения расстояний. Установлено свойство квазиконформности в среднем предельного отображения , а также приведен ряд других метрических и геометрических свойств отображений, квазиконформных в среднем. Построены новые теории простых концов пространственных областей (как фиксированных, так и о переменными границами) и на их основе решен вопрос о соответствии границ при отображениях, квазиконформных в среднем. Предлонвны классификации простых концое
фиксированных и переменных пространственных областей.
Практическая ценность. Результаты и методы, изложенные в диссертации, могут быть использованы или служить отправным пунктом при исследовании аналитических, метрико-геометрических и топологических свойств отображений с обобщенными производными первого порядка, а такне в различных теоретических и прикладных задачах, где находит приложение теория квазиконформных отображении и их обобщений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Чеждукародной конференции по теории потенциала в Японии (Нагоя, [990 г.), Межвузовском семинаре-совещании по геометрической теории функций комплексного переменного (Ташкент, 1975 г.). Всесоюзной конференции по геометрической теории функция (Новосибирск, 1988г.), Зсесоазной математической школе по теории потенциала (Кацивели, [991 г.), заседании Сибирского математического общества (Новоси-Зирск, 1990 г.), Научной сессии отделения математики АН УССР (Ки-эв, IS9I г.), Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных ото-5рагений, ее обобщениям и приложениям (I960, 1984, 1987 гг.), Ку-іанской школе-конференции по геометрической теории функций (Ге-генджик, 1987 г.), Республиканском совещании-семинаре по комплекс-гому анализу и прикладным задачам управления (Алушта, 1989 г.), іяде итоговых научных конференций Донецкого научного центра АН 'ССР (1977-87 гг.), а также на заседаниях в 1985-90 гг. научных юминаров в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР рук. - А.А. Гончар), Московском госуниверситете (рук. - В.И.Гав-галов, З.А. Зорич), Институте математики СО АН СССР (рук. -П.П.Бе-инский, Ю.Г. Решетняк, А.В. Сычев), Институте математики АН УССР рук. - П.М. Тамразов), Институте прикладной математики и механи-и АН УССР (рук. - И.И. Данилюк, Г.Д. Суворов, В.И. Белый), Банкирском госуниверситете (рук. - СИ. Пинчук), Волгоградском гос-нивзрситете (рук. - В.М. Мнклюков) и др.
Публикации,, Основные результаты диссертации содержатся в 10 аботах, перечисляемых в конце автореферата. Две последние из этих абот - обзорного характера и опубликованы после написания текста иссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-ии, трех глав и списка литературы; Каздая глава имеет сбои вуме-зцшэ параграфов, некоторце из которых разбиты на пункты. Для ут-эрадений типа лемма, теорема, замечание и т.п. в работе принята ройная нумерация (глава, параграф, порядковый номер). Так, наири-
мер, утверждение типа теорема 2.7.I является первой теоремой в 7 главы 2* В список литературы включены лишь.те публикации, на которые имеется ссылка в тексте. Общий объем диссертации - 286 страниц," библиография - 96 наименований.
