Емкость и модуль конденсатора в области с римановой метрикой Дымченко Юрий Викторович

Свойства модуля семейства поверхностей

Для функций и Є Lp(Rn) и / Є Li(Rn) известна формула коплощади (см. [40, гл. 3, 3.2, теорема 3.2.12]). Здесь будет дан более общий результат для случая произвольной римановой метрики. Лемма 2.3 (Формула коплощади) Для функций и Є L F{D) и / Є Lpyp{D) верна формула коплощади Доказательство. Если функции gij(x) = J2 Ъ%гг &%Г Для некоторой взаимно fc=i однозначной функции и = (iti,..., ип), г, j = 1,..., п, то применяя формулу коплощади [40, гл. 3, 3.2, теорема 3.2.12] и делая замену переменных х = и(у), получаем утверждение леммы. В общем случае формула в утвеждении леммы доказывается аппроксимацией в некоторой окрестности каждой точки D квадратичной формы dsF квадратичной формой с постоянными коэффициентами. Теорема 2.1. Пусть дано семейство Е непересекающихся (п — к)-мерных поверхностей u(xi,... ,хп) = (wi(xi,... ,жп),.. .Uk{xi,... ,хп)) = С, где и : D и- Rk — липшицева функция, С пробегает некоторое измеримое множество AcRk. Тогда то есть При наложенных условиях на р, используя методы из [33], можно доказать, что сходимость последовательности Ufc к и по норме в пространствах Ln tF{D) эквивалентна сходимости в среднем, т.е. что если \\щ — u —» 0 при А; — оо, то для пространства L(PtF(D), для IA F{D) соответственно. Докажем это, например, для ЬПуіРгр (D). Лемма 2.4. Если ip удовлетворяет условию (2.1), то из J p{F (um))do — 0 при т — оо следует, что \\ит\\ —» 0 при m — оо. D Доказательство.

Пусть є 0. Возьмем натуральное к такое, чтобы 2 гт є. В силу неравенства (2.1) при m — оо, то есть при больших т Используя неравенство Юнга, получим для любой w Є Ьп р{р) такой, что Отсюда в силу произвольности w имеем: 2fe)iiTO]njV,jir 2, то есть Mmn, ,F 2 =т є- Лемма доказана. Доказательство. Сначала докажем неравенство для и Є Lnj(PyF(D) и любой функции г; Є Ln F(D) такой, что I(v) 1. Из определения выпуклой функции вытекает, что яр (at) аїр (і) при а 1. Следовательно, Отсюда Таким образом, / F vu Tfu)) da - l u4n V F и мы получаем неравенство (2.8). Пусть теперь H Hn i? 1, jDm, т — 1,2,... — исчерпание .D областями конечной лебеговой меры, и(х) = S и(х) х GDmD{x: EF/2(u(x)) т}, т \ О иначе. Последовательность ит сходится в Lnjlfi,F(D) к и при т — со в среднем, а, следовательно, и по норме. 1/2 По построению (p (F {ит)) Є Ьп,ф%р{0). Если утверждение леммы неверно, то существует М такое, что при т М jip{ {Sy2{um)))da l. D Используя известные свойства выпуклых функций и неравенство (2.8) с v = Um i/2F (Um)), получим, что при т М для некоторого с О С-р (Urn) Jip(ip (EF/2(um))) da J [ф (V(4/2(Uw))) da + v(SF/2(um))) da - с D D / EF 2(um)ip (EF 2(um))da - с MTOn,v ,F / Ф yp i F (um))J da - с. D D Это противоречит тому, что wmn,cp,F — \\u\\n,v,F 1 при m — со. Лемма доказана. 1 /9 Лемма 2.6. "сли ггП)7) 1, то f ip(EF (и))da iin) ,F D Доказательство. Пусть v — функция из условия предыдущей леммы. Имеем следующую цепочку неравенств: / ip{ElJ2(u))da J Ер 2 (и)(р {Ер 2 (u))da = / F(u,v)da \\u\\„i(PiF. D D D Из этой леммы следует, что если последовательность ит Є Ln tF(D) сходится по норме, то она сходится и в среднем. Используя технику из [33], можно доказать, что пространства L(P}F{D) и Ln,(p,F{D) полны. Докажем, например, полноту LnjiPjp(D). Теорема 2.2. Пространство LnyCPjF{D) полно. Доказательство. Пусть дана фундаментальная в Ln)Vi_p(D) последовательность ит, т. е. lim ttp - uq\\n:ip,F = 0. p,q—oo Тогда / ip(Ep 2(up - uq))da -» 0 D при p, q — oo. Отсюда следует, что последовательность ит(х) сходится по мере. Тогда из нее можно выделить подпоследовательность итк (х), сходящуюся почти всюду в D к некоторой функции ио(х). Для любого є 0 существует N такое, что при р, q N и для любой функции v Е Ьп,ф,р{В), удовлетворяющей условию f ip(EF (v))da 1, вы D полнено неравенство / F{ump - umq,v)da є. D Переходя в этом соотношении к пределу при q — со и используя лемму Фату, получим: / EF(ump - u0,v)da є. D Следовательно, itm — won,v ,F є, поэтому Ump - UQ E Lnjip F{D), Mo E Ln }F(D) И Umk СХОДИТСЯ ПО НОрМЄ К tio Б Ln,(p,F{D). Таким образом, ит — UQ В Ln tF(D) при fc — со. 2.5. Полнота пространства L F(D) . Теорема 2.3. Пространство Lx F(D) полно. Доказательство. Пусть последовательность щ фундаментальна в L F(D), p{F/2{Vuk -Vui))da - О т. е / D при к,1 — со. Докажем, что существует функция и Є Ll F(D) такая, что ик — и при к - оо в L F(D). Можно считать, что Ln(D) оо и на D с\\а\2 F(a) С2а2, c\ds2 ds2F C2ds2, c\da dx cida (сі, C2, — некоторые положительные константы), иначе разбивая D \ {со} на счетное число множеств Di, I = 1,2,..., компактно лежащих в D и удовлетворяющих вышеприведенным условиям, получим для каждого из этих множеств функцию и1 Є L1 F{Di) такую, что и — и1 на D/ при к — оо. Далее, положив м = мг на D/, і = 1,2,..., легко получаем, что и Є LlvF{D) ищ-чинаі). При таких условиях на D пространства LVyF(D), Ll F(D) и Ln iPiF(D) совпадают соответственно с Lip(D), L (D) и Ln (D). По теореме 2.2 существует функция / Є Ln {D) такая, что /V(4/2(Vufc-/)) 7-+О при А; — оо. Следовательно, по следствию из леммы 2.2 существует подпоследовательность ukl, для которой J \Vukl - f\dsF с 1/2 J SF/2(Vukl - f)dsF - 0, 7 Є Г\Г0, 7 7 где Г — семейство всех локально спрямляемых кривых в D, а М І ГО) = 0. По лемме 2.1 существует функция h Є Lip F{D) такая, что J hdsF = оо для любой 7 Є Го- Доопределим h(x) — 0 вне D. Имеем по неравенству Гельдера (см. [33]): х + 1) /(1 + {х -Щх)dx (!cp(h)dx + l) (/ ((1 + kl)1_n)d f /" v?(/0ob + 1J (Ln(D) (l) + 1) oo. Значит, по теореме 6 из [3] потенциал XJ является суммируемой функцией в D и множество Е тех точек из D, где L/" 1 = оо, имеет лебегову меру 0. Возьмем точку XQ Є D\E. По определению U{xo) = J\x0-y\1-nh(y)dy. Rn Переходя к сферическим координатам с центром в точке XQ , получим 27Г 7Г ОО U?(X0) = у d0! . . у /((/»! 0n_i)#n_! У p hp dp ОО, 0 0 о где рп 1/(фі---фп-і) — якобиан перехода. Отсюда почти по всем лучам ОО J Ыр оо. о Покажем теперь, что любые две точки XQ и х из D \ Е можно соединить путем 7; на котором J hds оо, а, следовательно, и f hdsp со. Соединим 7 7 эти точки произвольной кривой из Г и покроем его шарами, целиком лежащими в D.

Рассмотрим случай, когда XQ И Х лежат в соседних шарах. Так как существует бесконечно много лучей, выходящих из точек XQ И х и проходящих через пересечение этих двух шаров, на которых h интегрируема, то найдется такая точка х из пересечения, что h будет интегрируема на ломаной XQX X . Аналогично строится ломаная для любого конечного числа шаров, СОеДИНЯЮЩИХ ТОЧКИ XQ И X. Итак, для любых двух точек из D \ Е существует соединяющая их кривая из Г \ Го- Это влечет У \Vukl - f\dsF -) 0. Используя легко проверяемое неравенство для функции д Є LUjip(D) / gidxi / \g\dt І. г=1 І установим, что / Ті г\ р ТІ х п Отсюда ясно, что интеграл Р{х) — j 2 ІІ ХІ не зависит от пути из Г \ Го , хо г=1 соединяющего хо и х. Поэтому функция Р определена корректно. Ясно, что V.P = / почти всюду в D и поэтому Uki — Р в L (D). Так как последовательность Uk фундаментальна, то щ — Р в L (D). Теорема доказана. 2.6. Полнота системы непрерывных допустимых функций Пусть 0 є 1/2, К = {п є Rn : \ \TJ\ }, Dk исчерпывающие изнутри D \ (EQ U Е\). Функции открытые множества, \1 log J2 9ij{x)ViVj ) , log 3=1 л 9ij(oo)ViVj ) и logv№) непрерывны соответственно на DxK, К и .D (вторая функция рассматривается, если со Є -D). Следовательно, для любого к они равномерно непрерывны на (Dk \ {оо}) х К, К в. Dk \ {оо} соответственно, то есть для данного є О существует 5 такое, что для любых х , ж" Є -Dfc : ж — ж" 5k и для любых /, п" Є К таких, что т/ — т/ , имеют место неравенства: Л / / Л Е 9ij{ Hvj г,3=1 Е дФ"Кі; г,3 = Е 9ij(WiV j 1 + є 1 + є, 1 + є, і,з = і n \\ Е 9ij{Kv" і,3 = 1 / (2.9) (второе неравенство опускается, если оо . D). Пусть dk = d(dDk, dDk+i), к 1. Положим для однообразия рассуждений do = So = оо, D0 = D_i = 0. Лемма 2.7. Существует функция ае(х) Є C(D\ (E0UEi)), удовлетворяющая условиям: 1. О ає(ж) 1, ає(а?) d(x,dD U 0 U #i), Vae(a;) тіп(1,є), если 2. ОІЄ(Х) dk, ає(х) 5k+1, Vae(a;) Sk+1 при x Є Dk\ Z fc-i. Доказательство. Пусть ak = min{l,dfc,(5fc+i}, bk = mm{l,8k+i,e}. Существует /3k(x) C(D) такая, что fik 0 в D, j3k 0 в Dk \ Dk+i и /3k — 0 на (D \Dk+i) UDk-2 Умножая на константу, можно считать, что / imin{afc_i,afc,afc+i}, V/3fc Ітіп{Ьк-і,Ьк,Ьк+і}, 30k d(x,dDUE0,\JEi), если ж Є Dk+i \ Dk-2- Тогда функция ає(х) = J2fik(%) удовлетворяет усло к виям леммы. Теорема 2.4. Инфимум в определении MVjp(Eo,E\,D) можно брать только по непрерывным в D \ (EQ U EI) допустимым функциям.

Полнота системы непрерывных допустимых функций

Пусть 0 є 1/2, К = {п є Rn : \ \TJ\ }, Dk исчерпывающие изнутри D \ (EQ U Е\). Функции открытые множества, непрерывны соответственно на DxK, К и .D (вторая функция рассматривается, если со Є -D). Следовательно, для любого к они равномерно непрерывны на (Dk \ {оо}) х К, К в. Dk \ {оо} соответственно, то есть для данного є О существует 5 такое, что для любых х , ж" Є -Dfc : ж — ж" 5k и для любых /, п" Є К (второе неравенство опускается, если оо . D). Пусть dk = d(dDk, dDk+i), к 1. Положим для однообразия рассуждений do = So = оо, D0 = D_i = 0. Лемма 2.7. Существует функция ае(х) Є C(D\ (E0UEi)), удовлетворяющая условиям: Доказательство. Пусть ak = min{l,dfc,(5fc+i}, bk = mm{l,8k+i,e}. Существует /3k(x) C(D) такая, что fik 0 в D, j3k 0 в Dk \ Dk+i и /3k — 0 на (D \Dk+i) UDk-2 Умножая на константу, можно считать, что / imin{afc_i,afc,afc+i}, V/3fc Ітіп{Ьк-і,Ьк,Ьк+і}, 30k d(x,dDUE0,\JEi), если ж Є Dk+i \ Dk-2- Тогда функция ає(х) = J2fik(%) удовлетворяет усло к виям леммы. Теорема 2.4. Инфимум в определении MVjp(Eo,E\,D) можно брать только по непрерывным в D \ (EQ U EI) допустимым функциям. Доказательство. Пусть дано є 0 и рА MV JF(EQ} E\ D) такая, что J ip(p)da MV!F(EQ, Ei,D) + e. Пусть также xix) — бесконечно дифференцируемая функция, носитель которой лежит в -8(0,1) и f x{x)dx = 1. Рассмотрим функцию рЕ{х) = \ p(x + a(x)y)x{y)dy. В(0,1) очевидно, что ре(х) GC00(D\(EQUE1)). Пусть 7 Є Г. Тогда У gij(x)dxidx3 І pdsF= / р(х + ae(x)y)x{y)dy 7 7 5(0,1) Yl 9ij{x)dxidxj. \ i,j=l I X{y)dy І p{x + ає{х)у)/ B(0,1) 7 Рассмотрим внутренний интеграл. Пусть z(x) = х + ає(х)у, ds — элемент длины кривой 7 в евклидовой метрике. fp(z(x))t ds ds 9ij(x)- —ds = (2.10) / rds. ds ds /n «.j=i dzj dzj s ds W Возьмем x Є 7\{oo}, в которой существует касательная. Тогда существует к такое, что х Є D -

Следовательно, z(x) Є -Dfc+i и \z — x\ S +i по построению функции ає(х). Имеем также: dx ds = 1, d2; dx ds ds h+i Отсюда следует, что для Н1 -почти всех х Є 7 дробь под интегралом в правой части (2.10) не меньше (1 + є)-1. Так как 2:(7) Є Г, то в силу допустимости р получаем, что + Є V7GT jpedsF - 7 то есть (1 + є)рє А М Р{Г). Далее оценим / \ (p(pe)da= lip I р{х + a(x)y)x(y)dy D D \в(о,і) / x _: daT dax / cp(p(x + a e(x)y))x(y)dy = D 5(0,1) I X{y)dy / p(p(x + a(x)y))dax. 5(0,1) D Можно считать, что внутренний интеграл берется по D \ (EQ U Е{). Оценим его, обозначив снова z(x) = х + а(х)у: / р{р{х + ae(x)y))dax = / ip(p(z))- -doz, D\{E0UE!) z(D\(S0U.Ei)) где dax cu(B(x,r)) = lim daz r- o ui(z(B(x,r))) Эта формула верна, так как отображение z(x) иньективно и поэтому отображение z : D\ (EQ U Е{) i- - z(D \ (EQ U Е\)) взаимно однозначно. z(B(x,r)) содержит шар с центром z(x) и радиусом inf \z(x ) — z(x)\. \х — x\=r Но \z(x ) — z(x)\ \x — x\ — \a(x ) — a(x)\ (1 — є)г, так как Vae є. Таким образом, І V9Hdw r-r d(Jx . ,. в(х,г) y/9\x) 1 + є d rz - r-40 j g(w)dw (1 - e)n V g(z(x)) (1 - e)r В(г(а:),(1-є)г) в силу свойств функции ає(х). Итак, мы получили, что у 4 (pe)da (1 _ JL У (р)е т. D\(S0uSi) D\(S0US!) Функция (1 + є)рє Л Г, непрерывна в D \ (EQ U EI) И lim , — = —; У у ((1 + фе)Жг (1 + є)" У cp(pe)da {-j У у(р)Лт D D D (1 + Є)Р+1 D (Mip,F(Eo,E1,D)+e), (1-Е) где p — константа из (2.2). Теорема доказана Лемма 2.8. Пусть 7& последовательность кривых, содержащаяся в некотором шаре и равномерно ограниченной длины. Тогда существует кривая 7 и подпоследовательность 7fc( такая, что jkt 7 Доказательство. Пусть Sk — длины кривых 7fc и Xfc(s), 0 s Sk — параметризации 7fc посредством длины дуги. Можно считать, что последовательность {Sk} имеет предел. Если есть бесконечное множество длин Sk, равных нулю, то соответствующие 7fc являются точками, имеющими предельную точку. Таким образом, в этом случае теорема доказана. Поэтому считаем, что все Sk 0. Обозначим Xk{t) = Xk{tSk), 0 t 1. Функции Xk[t) равномерно ограничены и липшицевы с одной и той же константой, следовательно, по теореме Асколи - Арцела можно извлечь подпоследовательность Xkt (t), равномерно сходящуюся к непрерывной функции x(t), которая задает некоторую кривую 7 Лемма 2.9. Пусть 7fc кривые равномерно ограниченной длины, 7fc 7 и функция р неотрицательна и полунепрерывна снизу в Rn. Тогда /pdsp lim inf / fc- oo J ik Доказательство. По условию леммы существуют параметризации Xk{t) и x(t), 0 t 1, кривых 7А; и 7 такие, что Xk(t) =3 x{t) при к — со на [0,1]. Пусть 0 t t" 1. Обозначим через sFk(t ,t") (соответственно SF{t ,t")) длину части 7fc ( , ") кривой 7fc (соответственно части j(t ,t") кривой 7) от t — t до t = t". Для t = to t\ ... tm = t" имеем: m m 4y]dF(x(ti),x{ti-i))= lim y]dF(xk(ti),Xk(ti-i)) lim inf sFk(t ,t"), z— k-oo — fc— oo и поэтому SF(t ,t") liminf Si?fc(i ,t"). fc- oo Рассмотрим сначала случай, когда р непрерывна в Rn. Для данного є О выберем 0 tx ... tm = 1 так, чтобы \p(x(t )) — p(x(t"))\ є при t ,t" Є [ti-i,ti] для любого г, 1 і т. Тогда для любых т Є [i-i, »]j і — 1,... ,га / 110 ЧЬ р pdsF- 2p(x(Ti))sF{ti-Uti) 2 / \p{x{t)) - p(x(Ti))\dsF sS, 7( І-І, І) где S — длина кривой 7 Найдем точку і Є [ _i,tj] такую, что I pdsF = p{xk(ti))sFk(U-i,ti). 7fc( »-i i) Пусть ТІ — точка отрезка [ г-ъ г] такая, что р{х{тї)) = min р(ж(і)). Так как p(xk{t)) =4 /?(#()), то liminf p(xk(tf)) р(х{ті)). Отсюда выводим: к— оо / тп р m pdsp = liminf V / pdsi? V liminf p(xk(t ))sFk{ti-i,U) fc- oo -f— J f— fc-Юо 7fc 7fc( i-i. i) 5 р(ж(ті))вИ і_і, і) / pdsF-eS. І=1 7 В силу произвольности лемма доказана для непрерывной функции р. Если теперь р — произвольная полунепрерывная снизу функция, то можно подобрать монотонно возрастающую последовательность непрерывных функций рт — р. Имеем: / pmdsp liminf / pmdsF liminf / pdsp fc— -oo J к— oo J 7 7fc 7fc Переходя к пределу при m — оо, получаем утверждение леммы. Лемма 2.10. Пусть р положительна и полунепрерывна снизу в Rn, 7 — последовательность кривых, у которых концевые точки х — XQ ф оо и Ук Уо, и интегралы J pdsF равномерно ограничены. Если уо — оо (соответственно уо ф оо и wem подпоследовательности, содерснсащейся в некотором шаре), то существует подпоследовательность 7fc; w кривая 7, соединяющая XQ и уо и не проходящая через оо (соответственно, проходящая через оо только один раз), такая, что / pdsp liminf / pdsp, fc- oo ,/ 7 7fc и любая конечная дуга кривой 7 является пределом некоторых конечных дуг кривых 7 1 Доказательство.

Сначала рассмотрим случай, когда yk — Уо = оо. Можно считать, что ccfc — хо\ 1, /г = 1,2,... и ни одна из 7fc не содержится в \х — XQ\ 1. Пусть 7ifc — часть jk между х и первой точкой пересечения 7fc с ж — хо\ = 1. По предыдущей лемме существует подпоследовательность 7lfcm которая сходится к некоторой кривой 71, соединяющей XQ и \х — Хо\ — 1, и / pdsF liminf / pdsF lim / pdsp — a. m- oo J k- -oo J 71 7lfcm 7fc Далее рассмотрим только те 7fcm 5 которые пересекают \х — XQ\ = 2, Как выше, получим кривую 72 которая соединяет жо и ж — жо = 2 и f pdsF а. Очевидно, что 71 С 72 Продолжая этот процесс, получим кривые 7% г = 1,2,... и кривую 7 такую, что 71 С 72 С... С 7 и f pdsF а- Так как для любого компакта К длины f Пі ограничены, то 7 соединяет ж о и уо = сю Пусть у0 Ф о и не существует подпоследовательности кривых, содержащейся в некотором шаре. Если 7fc проходит через оо, то обозначим через 7& часть кривой 7fc соединяющую ж& и оо. Если 7 не проходит через оо, то пусть ж — жо Rk — наименьший шар с центром в жо, содержащий 7fc) и 7 — часть кривой 7fc от жо до первой точки пересечения с ж — Жо = Rk Обозначим 7 = Ik \ 7 Возьмем последовательность натуральных чисел кт такую, что существуют пределы a = lim Г pds и /3 = lim Г pds . Используя доказанный выше случай, получим кривую У, соединяющую жо с оо, и кривую 7" 5 соединяющую оо с г/о Также верны неравенства J pdsF ос 7 и J pdsp /3. Тогда кривая 7 = l U т" соединяет жо с уо5 проходит через /у" оо один раз и / pdsF = / pdsF + / P SF а + (3 = а.

Существование и единственность экстремальных функций для (р, F) -емкости и (р, F) -модуля

Теорема 3.4. Если CPJF{EO,EI,D) оо7 то существует единственная (с точностью до аддитивной постоянной) экстремальная функция щ. Доказательство. Пусть Uk,k є N — последовательность допустимых функций такая, что Если с = 0, то очевидно, что Uk —) 0 в ІЛ F{D). Поэтому будем считать, что с 0. Если последовательность и к не сходится в Ll- F(D), то можно указать две подпоследовательности {ujk},j = 0,1 и є 0 такое, что j \Vujk Поскольку Vk = \{u\k + «2fc) — допустимая функция для CPJF{EO,EI,D) , то / \Vvk\pdx ср. Ясно, что D \\ujk/cjk\\Li (д) = 1 и с,- , - с при А; -» со. В силу (1) имеем при больших к Отсюда в силу равномерной выпуклости пространства LlF(D) имеем что противоречит предыдущему неравенству. Таким образом, предел Uk существует. Если г о — еще одна экстремальная функция, то заменяя и- к на "о и U2k на vo, установим равенство Vuo = Vi o для почти всех х D. Следовательно, UQ = VQ + const. Теорема доказана. Теорема 3.5. Пусть Г — семейство кривых в Rn. Тогда существует единственная (с точностью до мнооюества лебеговой меры нуль) экстремальная функция для МР) (Г). Доказательство. Если МР) (Г) = со, то в качестве экстремальной функции можно взять р = со. Пусть MPjjp(r) со и рк — последовательность допустимых функций такая, что f p da —У МР (Т) при к — со. Рассуждая как в теореме 3.4, D получим, что существует функция р Є LPtp(D) такая, что Отсюда для почти всех у ЄТ существует подпоследовательность р т такая, что J \ркт p\dsF - 0, а это значит, что р почти допустима для МР (Т) и, очевидно, для нее достигается инфимум в (2.5). Если р — еще одна экстремальная функция, то применяя (2.3) или (2.4) с /і = р, f2 = p и проводя аналогичные рассуждения, получим, что f \р — p\pdo = 0, т. е. р = р почти всюду. D Теорема 3.6. Если CP F{EQ E\)D) О, то существует единственная (с точностью до множества лебеговой меры нуль) экстремальная функция для CptF(Eo,Ei,D) такая, что lim и(х) = j, j = О,1, для почти всех кри вых 7, соединяющих EQ и Е\ в D. Кроме того, любая последовательность допустимых функций Uk(x), для которой Доказательство. Пусть и — любая последовательность допустимых функций, для которой выполняется (3.16). Используя метод из теоремы 3.4, получим, что Ufc сходится к некоторой функции и Є Lpjr(D).

Определим множество Е, семейства кривых Г, Го и функцию h так же, как и в теореме 2.3. Пусть дана кривая 7 из Г \ Го. Возьмем точку, лежащую на 7 \ Е и предположим, что последовательность и (жо) сходится. Рассмотрим дугу j С J, которая соединяет хо с EQ. Если х Є У \ Е, то в силу неравенства где первый интеграл берется по части кривой 7 соединяющей XQ С Х , получим, что X X / то есть на У \ Е Uk(x) =S и(х). Из этого соотношения и того, что Uk{x) —у 0 при х - Ео, х Є У, получим, что и(х) -» 0 при х -у Е0, жєу. Таким образом, мы доказали, что по почти всем кривым и(х) — 0, когда ж -4 Е о и аналогично м(ж) — 1, если х Є Е . Кроме того, так как любую точку х Є D\E можно соединить с XQ кривой из Г \ Го, можно заметить, что и (х) -4 и(х) при к —у оо на D\E. Далее предположим, что последовательность иь(хо) не сходится. Это значит, что существуют две подпоследовательности и к(хо) — с и и 1(хо) - с" при к — со, и с ф с". Рассуждая аналогично, получим функции и {х) и и"(х) соответственно, которые в D \ Е будут связаны равенством и"(х) = и (х) — с + с". Отсюда для всех кривых 7 Є Г и" (х) — и (х) = с" — с , х Є 7 \ Е. Но так как по почти всем кривым и"{х) — и (х) - 0, если х — EQ U Е\, то с — с" = О и и (х) = и"(х) почти всюду в D. Теорема доказана. Последовательность конденсаторов (Eo{k),Ei(k),D(k)) назовем аппроксимирующей для (Eo,Ei,D), если выполняются следующие условия: 1. D(k) — область, dD(k) Г) Е = 0; 2. Ео(к), Ei(k) — непересекающиеся компакты, каждый из которых содержится в D(k) и является объединением конечного числа непересекающихся замкнутых областей; Ej т Ej{k), dEj(k) П Е = 0, j = О,1. 3. VueZ(k)= coEZ(D(k)). 4. D(fc-l) CD(fc), Ej(fc + 1) Ш Ej{k), j = 0,1; Я0(& + 1) U#i(fc + 1) g адиі(«;). Пусть Wfc равной экстремальной функции для (Eo,Ei,D(k)) при х Є .D(fc) и Ufc, Viifc = 0 при х -D(A;). Лемма 3.1. Пусть Ы — наперед заданная окрестность компакта Е\. Тогда можно указать открытое множество V, для которого V С U, Е\ С V, EQ С Rn \ V. Выбор V можно осуществить таким образом, чтобы замыкания его компонент связности попарно не пересекались и содержали точки из Ei. Доказательство этой леммы приведено в [41]. Лемма 3.2. Для (EQ,EI,D) существует аппроксимирующая последовательность (Eo(k),Ei(k),D(k)) такая, что Доказательство. Пусть Uj(k) — -окрестность компакта Ej , j = 0,1. Не ограничивая общности, будем считать, что Uo(k)C\Ui(k) = 0 при к 1. Пусть t fc — допустимая функция для CP F(EQ,EI,D) И /г = 1,.... Пусть Uj (к) — окрестность компакта Ej , в которой vk = j, j — 0,1. Рассмотрим подробно случай к = 1. Применяя лемму 3.1, построим в Wj(l) nW(l) два открытых множества V,(l), V (l), которые удовлетворяют условиям: Положим Ej(l) = VHl). Пусть E(l) — объединение всех компонент связности компакта Е \ (EQ(1) U Еі{1)), имеющих общие точки с D. Очевидно, что Е(1) — компакт.

Тогда D(l) — D U Vo(l) U Vi(l) — область; v\ — допустимая функция для CP,F (Е0(1),Ег(1),)(1)), Уи, Є (1) =4- ы Є 2( ,(1), (1), (1)). Аналогично строим при к 2 множества Ео(к), Ei(k), D(k). При этом дополнительно подчиняем выбор этих множеств условию 4 в определении аппроксимирующей последовательности конденсаторов. Имеем: жем обратное неравенство. Если lim MqjF(E(k)) = О, то , как счетное объединение (g, і 1)-исклю чительных семейств, само является (q,F) -исключительным, так что и в этом случае утверждение леммы справедливо. Поэтому предположим, что О lim MQjF(Y,(k)) оо. По теореме 3.5 существуют функции / такие, что к— оо и fk (q F)-почти допустима для (&). Как в теореме 3.5, применяя неравенство (2.3) или (2.4) к функциям Д, получим, что Д сходятся к некоторой борелевской функции / в Lq F(D), которая будет (q, F) -почти допустима для X. Отсюда J дп к— оо Теорема 3.7. MQtF(Z) (Cp,F{D)) i. Доказательство. Пусть Mq F{Ti) со. Зададим функцию /AS. Ее можно считать равной нулю при х . D. Пусть vk — допустимые функции для (E0(k),E1(k);D(k)) и такие, что D(k) Заметим, что множество vk (у) = {х Є D(k) : vk(x) = у} для всех у Є (0,1) разбивает область D(k) на два открытых множества VQ D EQ, V\ D E\. Тем самым на (0,1), исключая конечное число значений, выполняются соотношения ш — dD(k) U v 1(y) Є Е(ДП), ш П D — у г(у) Є . Отсюда, применяя неравенство Гельдера и лемму 2.3, имеем:

Теорема о плотности линейной оболочки класса Ev^p{D) в LpF(D) и следствия из нее

Теорема 3.9. Линейная оболочка множества Ер p(D) всюду плотна LltF{D). Доказательство проведем для ограниченного открытого множества D. В случае, когда D — неограниченное множество, в нижеследующих выкладках евклидово расстояние d(-, ) необходимо заменить на сферическое расстояние. Покажем, что любую функцию / Є L F{D) можно с любой степенью точности приблизить линейными комбинациями элементов из EPJF(D) . Известно, что любая функция из iA F(D) аппроксимируется гладкими функциями по норме этого пространства. Используя стандартные свойства срезки и усреднения можно считать, что функция / ограничена. Поэтому доказательство будем проводить для гладких ограниченных функций. Доказательство разобьем на три этапа. 1. Сначала покажем, что любую гладкую функцию можно приблизить кусочно-экстремальными функциями по норме пространства LpF(D). Определение кусочно-экстремальной функции и доказательство первого этапа проведем следуя схеме, предложенной в работе [19, стр. 195]. Пусть / гладкая ограниченная функция в D. Фиксируем є 0 и выбираем разбиение т отрезка [тах/(ж),тіп/(ж)] вещественными числами Ck(k — 0,1,...,m), так что minf(x) = со с\ ... ст = max /(ж) и cj-+i — с є. Обозначим Ik = {ж Є D : f(x) = Cfc}. Можно считать, что Ik являются гладкими многообразиями, поскольку по теореме Сарда этому условию удовлетворяют почти все значения функции /. Обозначим \% — {х Є D : f(x) Ck} Определим (р,F)-емкость пары (Vk-i,{D\Vk)) следующим образом. Для є

О рассмотрим множества Fe = {х є D : х Є Vk-i и d(x, dD) є} и Ee = {xeD:xeD\Vk и d(x,dD) є}. Возьмем убывающую последовательность єто такую, что єт стремится к нулю при т — со и построим множества FEm — Fm и ЕЄт = Ет. Любая допустимая функция пары для (Fm+i,Em+i) является допустимой для (Fm,Em). Поэтому Cp,F(Fm,Em,D) Cp,F(Fm+1,Em+1,D). Таким образом, получим возрастающую последовательность Cp F(Fm,Emi D). Следовательно, существует lim Ср F(Fm,Em, D). Этот предел мы и будем понимать как (р, F)-емкость конденсатора (V -i, (D \ Vk), D). Пусть Vk — экстремальная функция пары (Vk-i, {D \ 14)). Заметим, что 9k(%) — _ Cfc-1 является допустимой для пары (Vk-i,(D \ Vk)), если положить дк(х) = 0 для всех х Є Vk-i и 7&(ж) = 1 для всех х Є {D \ Vk) Рассмотрим VT = Со + Z)fcLl(Cfc Ck-l)vk vT Є LlF{D) и uTJi F(D} = J2T=i \k - ck i\p\\vk\\PLlp F(D) . а каждом из множеств (Vk \ Vk-i) справедливо неравенство J SpJ2{Vvk)da Тогда в D справедливо неравенство Возьмем последовательность разбиений ті отрезка такую, что последовательность єі = єт, стремилась к нулю при I — со . Получим последовательность vi = vTl. По построению Последовательность vi равномерно сходится к функции f(x). Последовательность vi ограничена в Lp F(D). Выберем из нее слабо сходящуюся в Lp F(D) подпоследовательность vik. По свойству полунепрерывности имеем того, что \\vik\\Li D) \\f\\L F(D) , имеем Отсюда следует, что v\k — / в LpF(D) при к — со. 2.

Покажем, что любую экстремальную функцию для пары (Vk-i, (D\Vk)) можно с любой степенью точности приблизить экстремальными функциями для CPJF(F,E,D) с компактами F,Е С D по норме пространства LpF(D). Доказательство проведем следуя схеме, предложенной в работе [41]. Следуя первой части доказательства, для є О рассмотрим множества Возьмем убывающую последовательность єт такую, что ет стремится к нулю при т — оо и построим множества FEm = Fm и ЕЄт = Ет. Пусть ит — экстремальная функция для пары (Fm,Em) Покажем, что последовательность экстремальных функций сходится в пространстве Lp F(D). Действительно, пусть Если с = 0, то ит —» 0 при т — со в Ll F{D). Положим с 0. Если последовательность {мто} =1 не сходится в Lp F(D), то можно указать две ее подпоследовательности {ukl}, {м&2} и 0, для которых JD р (Viikj) da = (?к 0 , где j = 1,2, cfcj. 0 LIAD) = 1. Ll,pw Сравнивая (3.20) и (3.21), приходим к противоречию. Следовательно, существует lim ит в L\P(D). Обозначим его через щ. Таким образом мы показали, что любую экстремальную функцию для пары (Vk-i,(D \ Vk)) можно с любой степенью точности приблизить экстремальными функциями для пар (F, Ее). 3. Покажем, что любую экстремальную функцию для пары {Fe,Ee) можно с любой степенью точности приблизить экстремальными функциями для CP F{F,E,D) С гладкими компактами F, Е С D по норме пространства iA F(D).

Возьмем 8 0 так, что 5 тіп(г, d(F,E). Рассмотрим покрытия множеств F и Ее всевозможными шарами радиуса 5 с центрами в точках, принадлежащих F и Еє соответственно. Fe и Е замкнутые и ограниченные множества, следовательно из этих покрытий можно выделить конечные подпокрытия множеств F и Е соответственно. Обозначим их через F e и Е . Возьмем гладкие функции ф\{х) и ф2(х), равные единице на F и Е и равные нулю на D\F и D\E e соответственно и такие, что 0 фі(х) 1, г = 1,2. Выберем 0 а \ такое, что ф [1(а) и ф 1 (а) являются гладкими многообразиями. По теореме Сарда этому условию удовлетворяют почти все значения функций фі(х), і — 1,2. Обозначим Fe$ — {х Є D : фі(х) а} и Ее6 = {xeD :ф2{х) а}. Теперь возьмем убывающую последовательность 8т, так что 5т стремится к нулю при т —) оо и построим множества Fm = Fm и Esm = Еєт. Потребуем, чтобы 5m+i mm(d(dFm,F),d(dETn,E)). Тогда любая допустимая функция для пары {Fm, Ет) является допустимой для (Fe(m+i),E(m+1)). Поэтому Таким образом, получим убывающую последовательность Cp,F{Fm,Em,D). Следовательно, существует lim CpF{Fm, ЕТП,D). тп—Юо Пусть ит экстремальная функция для пары (Fem,Em). Как и во второй части доказательства, показываем, что последовательность экстремальных функций сходится в пространстве Lx F{D) к экстремальной функции пары {F,E). В первой части доказательства теоремы было показано, что любую гладкую ограниченную функцию можно с любой степенью точности приблизить линейными комбинациями экстремальных функций пар (V -i, (D \ Vk)) Следовательно, теорема доказана. Следствие 3.1. Если Е — NС PtF -множество в D, то каждая функция f Є Lpjr(D \Е) продолжается до функции f Є L F{D) так, что Другими словами, V/ = 0 Ln-почти везде на Е.

Похожие диссертации на Емкость и модуль конденсатора в области с римановой метрикой

Инвариантные метрики и битоломорфная эквивалентность областей в CnТишабаев, Джурабай Каримович

Электроэнергетическая система на основе солнечных модулей с энергоемкими конденсаторами для автономных сельскохозяйственных объектовАруов Болат Боранбаевич