Содержание к диссертации
Введение
2 Динамика и диаграммы режимов движения тяжелого волчка в поле сил Кориолиса. 6
2.1 О медленных движениях в редуцированных уравнениях стратифициро ванной жидкости в поле сип Кориолиса 7
2.1.1 Геострофическое приближение, горизонтальная стратификация 8
2.1.2 Приближение с быстрыми модами, отклонение от геострофического равновесия 12
2.1.3 Улучшенные приближения к точной системе 16
2.1.4 Выводы к разделу 2.1 31
2.2 Перемежаемость в параметрах Ra-Ta в динамике волчка с вязким трением . 33
2.2.1 Уравнения движения 33
2.2.2 Стационарные решения 39
2.2.3 Фазовые портреты полной системы 41
2.2.4 Фазовые диаграммы для системы с изотропным трением 48
2.2.5 Выводы к разделу 2.2 50
3 Определение эффективной вязкости в квазидвумерных геофизических течениях. 52
3.1 Вязкое трение в квазидвумерных потоках 55
3-2 Эффективная вязкость в моделях с конечными элементами иа ,8-плоскости. 61
4 Захват и высвобождение массы вихревыми структурами . 70
4.1 Стационарный вихрь в набегающем: потоке 74
4.2 Нестационарный вихрь в переменном однородном потоке 78
4.3 Выход частицы из области циркуляции 80
4.4 Захват частицы в область циркуляции 84
4.5 Взвешенные тяжелые частицы в поле вихря 86
4.6 Выводы к главе 4 91
5 Основные выводы. 92
6 Приложения. 94
- Перемежаемость в параметрах Ra-Ta в динамике волчка с вязким трением
- Эффективная вязкость в моделях с конечными элементами иа ,8-плоскости.
- Нестационарный вихрь в переменном однородном потоке
- Взвешенные тяжелые частицы в поле вихря
Введение к работе
Актуальность темы. В течение рада лет при изучении качественных и часто количественных характеристик геофизических течений (в том числе и их лабораторных моделей) широко используются конечномерные модели. Эти модели, записанные в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений, могут включать в себя от нескольких до нескольких десятков или даже сотен переменных, В качесівє примера систем такого рода можно упомянуть известную трёхмодовую модель Лоренца, в которой был обнаружен новый объект механики и математики—- странный аттрактор. Эта, а также другие системы могут быть получены при использовании в уравнениях с частными производными метода Галёркина с ограниченным числом базисных функций. В упомянутой системе Лоренца решение уравнений тепловой конвекции описывается всего тремя функциями.
Другой областью применения конечномерных систем с небольшим числом степеней свободы является исследование фотохимических процессов в атмосфере, где полная фотохимическая система включает в себя тысячи реакций, точная динамика которых с трудом поддаётся анализу. В то же время существует возможность для заданного интервала внешних условий выделить относительно простую систему, описывающую динамику "основных" компонент.
Необходимость построения таких моделей обусловлена тем, что часто те или иные свойства гидродинамических течений проявляются в достаточно узком диапазоне внешних определяющих параметров и начальных данных, который заранее неизвестен. Кроме трудностей качественного анализа поведения систем, поиск значений этих параметров для систем с очень большим числом переменных был бы весьма трудоёмким. В таком подходе платой за быстрый расчёт систем с относительно небольшим числом переменных, но с широким интервалом изменения внешних параметров является неопределенность в оценке влияния отброшенных мод на поведение системы.
Однако даже если число базисных функций достаточно велико, всё равно возникает проблема описания роли неучтённых мод в разложении искомых полей. Как правило, не учитываются моды, отвечающие мелкомасштабному движению. А их влияние на рассматриваемые движения может быть грубо представлено в изменении величин затухания или трения, то есть сводиться к определению величин эффективной вязкости. Такая ситуация встречается, например, для течений в тонких слоях жидкости, где масштабы по одной из координат намного меньше других, или в погранслоях.
Следует отметить, что в численных методах, принимающих в расчёт большое число неизвестных задачи, имеются способы параметризовать влияние не разрешаемых сеткой масштабов на разрешаемые масштабы течения, в частности, сюда относятся методы, применяемые в LES, например, в численном моделировании турбулентности.
Целью работы является изучение различных моделей эффективной вязкости при описании динамики течений жидкости, представляемых с помощью некоторых конечномерных галёркинских аппроксимаций уравнений движения. Термин эффективная вязкость означает, что соответствующие члены уравнения движения включают в себя не только затухание, но и некоторые другие эффекты воздействия неучтённых мод
на рассматриваемые масштабы движения. Рассматриваются конвективные течения в эллипсоидальной полости, в которой поля скорости и температуры представляются в виде линейных по координатам полей. Для стратифицированной жидкости в эллипсоиде получены также результаты а отсутствие диссипативных эффектов по разделению движений на быстрые и медленные, для которых влияние вязкости может быть существенно различным. Интерес к этим движениям обусловлен тем, что в недиссипатив-rom случае рассматриваемые движения представляют класс точных решений уравнений Навье-Стокса.
Другой случай относится к движению в тонком по вертикали и ограниченном по горизонтали слое. Здесь эффективное трение в системе определяется наряду с эффектами релаксационного типа, которые связаны с кривизной вертикального профиля скорости в слое. Наконец, модель эффективной вязкости исследуется в применении к уравнениям мелкой воды на ^-плоскости в линейном приближении. Эта задача ставится в связи с расчётом океанских течений с использованием конечных элементов при относительно небольшом числе переменных.
Влияние релаксаций, рассмотренное в задаче о тонком слое жидкости, изучается также в другой постановке— при рассмотрении взаимодействия частиц конечных размеров с отличающейся от жидкости плотностью с внешним вихревым течением. Здесь этот эффект может ускорить выход частиц из вихревой зоны по сравнению с соответствующей пассивной примесью. Эти выводы получены для модели океанского вихря в набегающем потоке.
Научная новизна и результаты работы.
Для течения стратифицированной жидкости в эллипсоиде, уравнения движения для которой эквивалентны уравнениям тяжёлого волчка, предложена последовательность динамических систем, занимающих промежуточное положение между геострофическим приближением, определяющим медленные движения, я точными уравнениями стратифицированной жидкости в эллипсоидальной полости. Учёт быстрых колебаний приводит к значительному изменению частот медленных движений при увеличении параметра стратификации, а также к изменению амплитуд движений по сравнению с геострофическим, для которого быстрые моды отфильтрованы. Одна из редукций является линеаризованной формой уравнений тяжёлого волчка, позволяющая в аналитической форме оценить отклонение фазовых траекторий от геострофической.
При учете вязких членов в уравнениях Навье-Стокса проанализированы режимы движения жидкости в плоскости чисел Рэлея и Тэйлора, обобщающая результаты, известные ранее при включении в уравнения рэлеевского трения. Найдена область для этих параметров, в которой режимы характеризуются значительной перемежаемостью. Ка.к показывают численные эксперименты, она обусловлена анизотропным трением в системе.
Для квазидвумерных течений с помощью конечномерных галёркинских аппроксимаций, учитывающих вертикальное распределение поля скорости в тонких слоях, определяются эффекты придонного трения в шюскопаралледьном течения несжимаемой жидкости. Получаемые упрощённые уравнения, описывающие квазидвумерную динамику поля скорости, включают в себя, кроме рэлеевского трения, слагаемые ре-
лаксационного типа с характерной зависимостью от предшествующей истории. Для длинноволновых возмущений скорости эти зависимости эквивалентны перенормировке нелинейных членов и величин линейного трения.
4. При использовании соответствующих аппроксимаций для двумерных гидродинамических уравнений (в частности, для уравнений мелкой воды) дри расчёте методом конечных элементов с грубым разрешением получена схема с относительно небольшим числом переменных, которая учитывает более высокие степени, чем линейные, функций по горизонтальным координатам в представлении поля скорости и высоты свободной поверхности. Показано, что учёт таких полей способствует сглаживанию колебаний на масштабах порядка размеров конечных элементов, которые появляются при недостаточном разрешении мелкомасштабных движений в численной схеме. При этом изменяются амплитуды крупномасштабных движений.
5- В модели взаимодействия вихря в набегающем потоке с частицами примеси получены оценки ширины пограничного слоя между вихревой зоной и областью внешнего течения. При описании движения инерционных частиц конечной величины, когда динамика зависит от предшествующей истории движения частицы (уравнение Буссинеска-Бассета-Озеена) исследуются времена выхода частиц из вихря в сравнении со случаем пассивных частиц. Здесь появляется дополнительный механизм захвата частиц движущимся вихрем, который может способствовать процессу кластеризации ансамбля частиц в рассматриваемом потоке.
Научная и практическая значимость.
Результаты диссертации могут найти применение для параметризации дисси-пативных эффектов в конечномерных и численных моделях атмосферы, океана и климата, а также для оценки в этих моделях роли негеострофических факторов в развитии медленных составляющих движения. Исследовано проявление вязкости и способы её параметризации в конечномерных динамических системах.
Достоверность результатов.
Достоверность полученных результатов обеспечивается применением аналитических и численных методов решения поставленных задач, а также сравнением с результатами, рассмотренными другими авторами.
Апробация работы.
Результаты, приводимые в диссертации, неоднократно докладывались в работе Graduiertenkotleg "Kornplexe Dynamische Systeme" при университете г.Бремен (1998 г.); на семинаре в рабочей группе Dr.J.Schroter в Институте полярных и морских исследований им. Альфреда-Вегенера (AWI) в г.Бремерхафен (2000 г.); на семинарах ЛГГ Института физики атмосферы РАН и Института океанологии РАН; на конференции EGS (г.Гаага, 1999 г.).
Публикации,
По теме диссертации были опубликованы три работы [93], [94], [95].
Структура и объём диссертации.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, общего заключения, списка литературы (95 наименований). Работа содержит 34 рисунка. Общий объём 105 страниц.
В Главе 2 на основе шести модовой модели конвекции в эллипсоиде в поле сил Корколиса, впервые предложенной Ф.В.Должанским [4], [6]-[13], рассмотрены движения в окрестности медленных многообразий системы, близких к квазигеострофическому состоянию. Вначале (раздел 2.1) в отсутствие внешних и диссипативных сил изучаются некоторые приближения к точным уравнениям, которые путём оценки агеострофиче-ских компонент более точно, чем геострофические, описывают медленную динамику уравнений. При этом быстрые движения в системе не отфильтровываются. Рассмотрен также метод усреднения для уравнений, приведённых к нормальной форме. Далее в разделе 2.2 в систему, кроме внешнего воздействия в виде притока тепла, введены диссипатквные эффекты двух типов. Один— это рэлеевское трение, влияние которого хорошо исследовалось в работах [5], [14], [15], [49], [51]. Другой— вязкое трение, оцениваемое по методу Галеркина, с условием прилипания на поверхности эллипсоида. Для этого случая строится диаграмма режимов в плоскости параметров (Да-Та), которая, как оказалось, имеет ряд отличий от исследованного ранее [10]-[13] случая рэлеевского трения.
В Главе 3 работы рассмотрены способы параметризации эффектов трения для двух отличающихся случаев: квазидвумерные течения в тонком по вертикали слое жидкости и двумерная динамика на /3-плоскости в приближении уравнений мелкой воды, когда в методе Галеркина выбирается ограниченное (и небольшое) число базисных функций. Основная цель здесь— изучение влияния на крупномасштабную динамику мелкомасштабных движений, не учитываемых явно в представлении гидродинамических полей.
Перемежаемость в параметрах Ra-Ta в динамике волчка с вязким трением
Рассмотрим, как и в работах [10]-[12], уравнения гидродинамики в приближении Бусси-неска во вращающейся системе координат, однако в отличие от этих работ учитываем вязкое трение: 33 Tp,v) + 24xV = - -f T,V , (32) at v J po Го VI? = 0 . Уравнение переноса температуры также содержит диссипативное слагаемое и внешний приток тешта: где приток тепла в жидкость описывается термической формулой Ньютона с разницей температур 6Т, а диссипация происходит за счет теплопроводности /х2- Заметим, что коэффициент /ij отвечает за радиационный механизм теплопередачи. В этих формулах р — отклонение давления от гидростатического, Т — отклонение поля температуры от постоянной То. Коэффициент объемного расширения жидкости равен jr, как у идеального газа. Эта система уравнений требует нулевые граничные условия для вектора скорости и и для отклонений температуры Т" на ограничивающей жидкость поверхности. 2 2 Э \ Рассмотрим жидкость в эллипсоиде з + р + г = 1, причем векторы д и wo в этой системе координат имеют соответственно компоненты (—д sin 7,0, — д соз 7}) (ш0 sin Лої 0, w0 cosAo). Углы 7, о предполагаются малыми. Разницу температур $Т определим через градиент: ST = ух х.
Мы ищем решение уравнений Буссинеска в виде разложения и (x,y,z,t) и Т (х,у, z,t) по линейным базисным функциям в эллипсоиде: T (x,y,z,t) = ть(і) 0 1,1/,«) , k=\ (33) где функции Wi(x,y,z) и Qk(x,y,z) равны: тт) b- c-r -rfa c- —± а b —» №1 = —г j + ту к ,W2 = - г г а; к , W3 = -7 У г + -х j , со с а о а G, = - , в2 = , вэ = - . а о с Нетрудно видеть, что базисные функции W{ удовлетворяют условию бездивер-геитности поля скорости с равной нулю нормальной компонентой скорости на поверхности эллипсоида, т.е. (it, п 1 \$ = 0 . Уравнения Буссинеска и переноса температуры проецируются на соответственно базисные функций Ш{(х,у,г) и Qk[x,yyz), чтобы получились шесть уравнений на фуНКЦИИ Щ{і) И Tk[t). Однако в действительности вблизи поверхности S эллипсоида эти Поля уже не являются линейными, а их профиль должен соответствовать выбранным граничным условиям на S (например, прилипания для скорости и постоянства температуры). Другими словами, вблизи S имеется пограничный слой с нелинейной по координатам зависимостью полей, и имеется ядро с приближенно линейными полями скорости и И отклонений температуры 7". Истинное поле скорости в пристеночном погранслое имеет сложный профиль от нуля на границе эллипсоида, до линейной функции в основной части объема полости. Результаты соответствующих экспериментальных измерений имеются в работе [85]. Слагаемые с вязкостью и теплопроводностью уравнения Буссинеска на линейных полях тождественно равны нулю, и все диссипативное воздействие на это ядро осуществляется пограничным слоем вблизи 5. Рассмотрим представление решений уравнений в виде (33), где базисные функции Wi{x1yJz) и Qk{x,y,z) обращаются в нуль на границе WJs = 0 , 0ts = 0, При использовании метода Галеркина вязкие члены правой части уравнений (32) дают слагаемые щ$ — и J f f Wj V W dxdydz.
Для оценки формы зависимости коэффициентов от соотношений между полуосями а, Ь, с эллипсоида рассмотрим "пробные" функции W1. = ЇЙ . (і - /(і, г3)) , ra = + у + 1 , Д . 1) = 1, f(t, 0) = о, где функция f(t,r2) отлична от нуля вблизи поверхности эллипсоида + - + - = 1-Прямые вычисления показывают, что i/, = 0, при і j. Также vxxjv Ь2 + с2 (Ь2 с2\ „ 4 -f = - + C2{s + )+c v=3 abc- (34) Коэффициенты и22, і зз получаются циклической перестановкой а, 6, с. о о Подразумевается под f (t, г2) производная по всему второму аргументу функции f(t, г2). Естественно, что і/И = и п = и33 при а = Ь — с. Наибольшим оказался коэффициент с2 (приблизительно с2 2 сі, с2 3 с3, при f(t,r2) — г2р, р ]. -=- 2). Поэтому для дальнейших численных расчетов было принято Ь7 с2\ /V с2\ fa2 Ь2 (/11 = - + - ] , v22 = с, ( - + - j , і/зз = cv [ Й + з I , c« = 5 i/„ . (35) h - с2 а В этом случае анизотропия несколько меньше, чем даваемая формулой (34). Другой подход, в котором получаются формулы (35), может быть основан на рассмотрении движения только той части объема жидкости в эллипсоиде, которая примыкает к ядру с линейным профилем скорости. Если dVe— поверхность внутри жидкости, на которой производные полей по нормали близки к нулю, то в представлении коэффициентов по формуле Гаусса-Остроградского с внешней нормалью п к поверхности dVe иц = - jyaW]- V„Wl dv + JW 3- (naVaW;\ da , поверхностный интеграл обращается в нуль, а объемный интеграл по Ve можно вычислять, используя только линейные функции. В этом случае Cv ЯІ Щ?-, где г7 — г -\- р + т 1— поверхность dVt. Заметим, что dV существует всегда, если скорость в основной части объема Ve линейна, и имеются условия прилипания на поверхности S эллипсоида. Аналогичные соображения применимы и для поля температуры. После этой процедуры получим систему: duji i/v б4 + с4 2ab — = Gj w2 w3 - 5 ,, , „ wi ——- + ш2 wo cos A0+ dt b2 + c2 b2 c2 b2 + c2 , 9 C T"2 (36) g с T\ 2b с , g а тз , - n% , . COST + w3 wQ sin A0 + — sin 7 , a2 + c2 J0 a + c2 a2 + c2 To (37) dw3 ,-, r " a4 + 64 2 6 с x = G3 Wl w, - 0 - 0 -- - а т w, u;o sm A0- pa r2 . sm7 , a2 + b2 T0 (38) dri f.i2v -j- - -5 — ті + ui r3 - (j3 т2 + /it 7 a , (39) -ТГ = -5 — r2 - wj T3 + u 3 r, , (40) — = -5 — т3 + Wl r2 - w2 rj , (41) LJ 2 2. Li где Gi - щ ті G2 = % G3 = 5 2, коэффициенты трения vv, fj,2v, пропорпиональные молекулярным вязкости и теплопроводности, учитывают числовые коэффициенты, получаемые при интегрировании по объему эллипсоида выбираемых базисных функций.
Их значения не столь важны, т.к. в конечном итоге мы используем безразмерные числа Рэлея и Тэйлора. Напомним, что углы 7 и До определяют отклонения от вертикали соответственно векторов силы тяжести д и угловой скорости вращения WQ. ЭТИ углы предполагаются малыми. Отметим, что выбор осей эллипсоида обязательно требует, чтобы а Ь. В уравнениях (36)-(41) члены, описывающие трение ( и„) и затухание возмущений температуры ( /J.2V), оказались неизотропными в отличие от уравнений, рассмотренных в работах [10]-[12]. Такая неизотропия эффектов затухания обуслоалека разноосностью эллипсоида (а ф Ь ф с). В полученной системе с характерным горизонтальным масштабом L — max(a,b) существуют четыре характерных времени.
Время вязкого затухания —, время радиационного теплообмена —, время выравнивания температурных неоднородностей —, время вращения эллипсоида вокруг оси —. Выберем масштаб времени по последнему: t = w0 t . (42) Соответственно этому заменим неизвестные Wi, шг, и з- Х= , У= , Z = . (43) Wo Wo Wo Компоненты температуры преобразовались следующим образом для максимального упрощения системы: $к = "9, ь,,а f fc = 1 M А аощ 1 о Введем безразмерную величину внешнего радиационного притока тепла: 2 а о щ 1Q Тогда перепишем систему в виде: GlYZ-PzlX + Y-C05Xo -C , (44) dY ,vX cos О-ФІ- cos 7 at v-i . . (45) a sin 7 с sin A0 Фз H % , с r2 a r2 dZ „ a sin7 , с sinAo ,, /л-ч «f с ї з a r3 -Рі1ф]+Уф гф2 1ф, (47) Й -Р2Іф2 Хф3 + гф1 , (48) у -РзІфз + Хфі-Уф! , (49) В этой системе введены следующие обозначения: Ph 5 /J 2v т-(а +Ь ) а2 + р а2 + Ь2 а2 + Ь2 Р: = Ph а2 , 2 = ь2 , / з = Ph с2 , «2 + б8 Ь4 + с4 Й2 + б2 а4 + с" а4 + б4 где введено обычное число Прандтля Pr = - -. Скорость вращения полости вокруг оси и внешний приток тепла характеризуются традиционно соответственно числом Тэйлора Та и числом Рэлея Ra: Та = ЇЇІ ца = -?± .ф, С помощью числа Тэйлора перепишем параметр / системы в виде: р л/Га а2 о2 Так как дз„ і L2, то / 1. Выбирая как обычно Рг 1, Та 1, имеем / 1. Числа Рэлея будут выбираться в дальнейшем значительными, Ra 1, поэтому величина ф, входящая в уравнение (47), не мала.
Эффективная вязкость в моделях с конечными элементами иа ,8-плоскости.
Рассмотрим линейные уравнения мелкой воды в ограниченной области на / -плоскости [311; _ + /.fcxV + ,Vt- . + lp.j- . (72) с однородными граничными условиями на скорость (прилипание), которыми в первом приближении описываются океанские течения [24]. Здесь и — вектор средней по высоте горизонтальной скорости, (— отклонение свободной поверхности от равновесного уровня, ц— коэффициент турбулентной вязкости, т — касательное трение ветра, k{x,y)— —» глубина жидкости, зависящая от координат х, у, к = (0,0,1)— единичный вектор. Параметр Кориолиса определяется / = 2Пв\т\ф + 0Р у, р=—-ахф} (73) а где ф— отсчетная широта, а— радиус Земли, 0,— угловая скорость вращения Земли. Также введен переменный Д-эффект, который модифицируется значением параметра /3 . Выбор данной задачи обусловлен тем, что при определенном задании касательного трения ветра т (см. ниже) решение уравнения может быть записано в аналитической форме, так что для численных экспериментов имеется эталон.
Отметим, что для данной задачи имеется огромное количество результатов численного расчета на мелких сетках [75], [77]-[82]. Начало координатной системы находится в левом нижнем углу квадрата. Выбрано значение ф = . Рисунки отличаются только значениями параметра /? (для рис. 21а /? = 1, и показана только нижняя половина области; для рис. 216 /3 — S), который характеризует степень западной интенсификации и ширину соответствующего пограничного слоя. Заметим, что для задачи (72) ширина пограничного слоя в области интенсификации течения пропорциональна (i/L//30 fi f/Z ([ЗО], [31], [87], [90], [91]), т.е. для /3 = 8 ширина уменьшается в 2 раза, что и отражают рис. 21аб Из рисунков видно, что в области схождения потока к погранслою (нижняя часть рис. 21аб) наблюдаются осцилляции решения на масштабе конечного элемента. В результате, если рассчитывать распространение примеси по моделям с таким относительно небольшим количеством элементов, то очевидно, что поле примеси будет сильно размытым фактически из-за численных проблем, Поэтому ясно, что разложение (74) в каждом конечном элементе следует дополнить функциями более высоких степеней по координатам, т.е. использовать дредставление в виде (56), Итак, суперпозицию (74) следует заменить 3 = 3(0 Ф1Р( ,У) + МО t(x,y), (76) —у где Ф (х,у) — (фь(%,у), фь{х,у), 9ь(х,у))— функции с нулевыми значениями на границе треугольника (bubble-функции). Выполняя процедуру
Галеркина в уравнениях (72) с линейными функциями фі —у и с введенными функциями Ф(л:,з/), получим систему дифференциальных уравнений — относительно Сj и 6(): ( U ) «f + ( !",I ( ЭД )) + ( , А ) + (#,і (» )) = ( ! »,?) (77) г = 1,2,3 , (t. f+(t.i( )) + ( , )+( .i(rf))-( , .(7S) По индексу j идет суммирование от 1 до 3 в обеих системах. Естественным образом встает вопрос об исключении b(t) из уравнения (78) и подстановки его в систему (77), чтобы видеть его действие на развитие коэффициентов — Cj при линейных функциях (76). Вообще говоря, такая операция приводит к появле- нию интегро-дифференциальных уравнений на искомые линейные коэффициенты Cj, поэтому в первом приближении можно поставить условия на bubble-функции Ф (я, у), исключающие излишние усложнения. Это соответствует тому, что в уравнении (61) функция ф{) выбиралась бы такой, что Р = 0 в (63). Здесь мы упростили задачу таким образом, чтобы оставался эффект, аналогичный только придонному трению. Отме- тим,что для произвольных bubble-функций Ф {х, у) эффект, отмеченный на рис. 21аб, может не только уменьшаться, но и быть более подчеркнутым. Следующие условия (t,it k-(t,H , (79) ( U )=b( ,tf ), і = 1,2,3 (80) выделяют единый комплекс ($і + к) b(t) в системе (77) и в уравнении (78), который подвергается исключению. Из (78) имеем: + ] ) = (t,kt) {Ъ?)-( )н -(?гь($Фу (81) Используя граничные условия на функции Ф и вид оператора L, нетрудно показать, что коэффициент к в уравнении (79) положителен: к = VL (t,Ht) fvfa-v (h фь) т + Jv4 b-v (h фь) .г г с1П О (82)
Подстановка исключенного по формуле (81) комплекса \Jj + k) b(t) в систему (77) с — использованием уравнений (79), (80) дает уравнения относительно Cf. и dpi dt 3 г + + ( ,1( ))+ -(( ). Я ) + +"L Pi Єї k S/пФь (IT + e2h V„ dr ST ат (S3) - ( »,?)-( , Л , Л = ( i \ я« ( , я "#) і= 1,2,3 Здесь "? = (ЄЬЄ2,Є3) = Y1 СГПФУ? т = \ Обозначение дТ подразумевает границу треугольника. Из (83) видно, что воздействие bubble-функций Ф на линейные моды заключается в изменении матрицы таким образом, что появляются линейное трение с коэффициентом, пропорциональным к, (четвертый член в уравнении (83)) в дополнение к вязкому трению (третий член в уравнении (83))- Появляются также потоки энергии посредством bubble-функций (пятый член в уравнении (83)) на границе треугольника.
Нестационарный вихрь в переменном однородном потоке
Рассмотрим возмущения течения, описанного выше. Перейдем снова к размерным переменным. Пусть радиус цилиндра a t) = OQ a(t), циркуляция «і (t) — /to к(і) и скорость потока U\ {t) = Uo-U(t) изменяются во времени (й(і), к{і) и 0{і)—безразмерные функции порядка единицы). Пусть течение жидкости остается двумерным, жидкость несжимаемой. Поэтому все еще можно ввести по обычным формулам функцию тока ф(р,9,і). Пусть вихрь скорости в любой момент времени в любой точке, кроме начала координат, как и для стационарного случая, равен нулю. Тогда искомая функция тока определяется следующим уравнением и граничными условиями: л / 1д ( дф\ 1&ф п ЛФ=-РдрЫг?-д=0 1дф, d Ідф 2 ,Q) (99) которые выражают скорости на поверхности цилиндра с переменным радиусом и на бесконечности соответственно. Нетрудно получить точное решение этих уравнений для произвольных aj(f),(/i(t),Ki(t): dt ф(р,Є,і) = U,{t)p [ 1 - Pj sm0 + «i(01n - ai{t)0dai{t) В дальнейшем будет исследован случай a(t), U(t), ii,(t) следующего вида: a(t) = 1 + eaa(ujt), U(t) = 1 + euU(ut) , «( ) = 1 + „K(W/) , (100) где „,„,,(— малые постоянные, a(wi), (7(w), iz(u}t) безразмерные функции порядка единицы, и)— частота изменения этих функций. Например, к(иі) = sin(w(). В безразмерном виде (90) функцию тока можно записать: ft0 С 1 а — г р + к In г АВ Sh а й 0 arcsin f , где Sh = jj r (число Струхаля), p(Sh Т) — - рІ=5й-г- Используя выражения для компонент поля скорости в полярных координатах (88) и безразмерные переменные (90), получим следующую систему: + B2-Sh-a /? vr ip (101) которая описывает движение жидких частиц или пассивной примеси в поле нестационарного вихря. Как и для уравнений (92), в (101) знак корня \/1 — р2 соответствует знаку cos0.
Для случая А — 0, когда радиус цилиндра и его возмущения равны нулю (точечный вихрь), эту систему можно записать в ином виде, используя свойство монотонного поведения г на любой линии тока возмущенного течения до оси симметрии: при А = 0, когда и В = 0, С = 1, первое уравнение в (101) имеет вид dr = — (/ cos б , (102) так что при в Y радиальная координата г является возрастающей функцией времени, а при Щ- $ 2пи0 в координата г уменьшается. Уравнения (101) можно переписать в следующей форме: dip dr dT dr r r2 1 + eJJ{Sh T) VT- l+suU(Sh) (103) Эта система вместе с начальными данными г(0) = г0, (0) = 0 описывает движение жидкой частицы в изменяющемся во времени течении. С помощью системы (103) удается приближенно найти траекторию частицы в нестационарном вихре. На участке монотонного изменения радиуса г от некоторого начального значения г0 для угловой переменной у = sin$ в первом приближении по малым параметрам возмущений имеет место представление: f(r) = уо(г) - - / F(x)dx ,о{г) = , ri г (104) " I ЯГ) — Л ц , X X где величина S определяется начальными данными при г = г0 , v(ro) — Vo = ?о(?"а) = _i±kiu±i 3 (104) функция Т(х) = їо(ж) = Т(г0,х) является введенным в предыдущем параграфе безразмерным временем (96) в точке (xttp(x)) невозмущенной траектории.
Поскольку вблизи сепаратрисы время движения частицы по возмущенной и невозмущенной траекториям могут сильно отличаться, а на время Т(х) в (104) умножается число Струхаля, то в дальнейшем предполагается, что Sk 1 или Sh 1, т.е. характерная скорость и?ро нестационарных возмущений не может намного превышать скорость набегающего на вихрь потока. 4.3 Выход частицы из области циркуляции. Как и выше, рассматриваем случай точечного вихря, А = 0. Пользуясь уравнениями (104), определим значения безразмерного радиуса г г&., при котором жидкая частица, стартовав при начальном радиусе г0 = г„ внутри области, ограниченной сепаратрисой НеВОЗМущенНОГО течения, ГДЄ 5 0, ДОСТИГНеТ ОСИ СИММетрИИ ТечеНИЯ, в = Зтг/2, Г = Tfa. Эта точка траектории задается уравнением 0v,) = -l , (105) которое с учетом (104) принимает следующий вид: тЛе. rde = 1 + brde + 6 + J F(T)dr . (106) Представим величину r как произведение rb = rd{l + ad) , (107) где rd определяется уравнением (94) для невозмущенной линии тока. Считая оу малой по сравнению с единицей величиной и делая разложения до первой степени по ay S интеграле (верхний предел интегрирования зависит ота ) и до второй степени в In ту, получим «I 2 оу [1 - ry + F(rj) ту] - 2 J F{r) dr = 0 . (108) 0 Использование в (108) разложения до второй степени объясняется тем, что вблизи критической точки (для линии тока с параметром S 1) согласно уравнению (95) значения невозмущенного радиуса ту на оси симметрии близки к единице, Поскольку функция F(r) пропорциональна амплитудам возмущений, то и скобка [1 — ту + (ту) ту] в (108) оказывается малой величиной, так что весь второй член в этом уравнении может быть величиной более высокой степени малости, чем оу. В результате для ау приближенно получится: оу « S у/3і + 2еЛ/«Ы - ЪМч) , U»{r) = [ІІЬМШ ІШ , /о х (109) 5 = Є J +Єк [5Л Т(г Єи U [Sh Т{Г Г = Ги Знак "-" перед корнем в (109) взят потому, что при отсутствии возмущений, s = 0,u = 0, должно ВЫПОЛНЯТЬСЯ Г іе »"у,ау = 0. Аналогичный вывод можно провести для старта из нижней части сепаратрисы і"о = i rfi чтобы прийти в точку в — 7г/2, г — тие. Записывая по-прежнему гие = ги (1 + ли), подставляя в (104), получим качественно другой результат. В этом случае в 1пгие разложение можно провести до первой степени по оу. В результате с точностью до членов первого порядка по к, є„ получим: »« и . ," Л(г») - л ," Ми) ,r0 = Td. I -\-ги 1 + ги Эта величина существует всегда.
Поэтому необходимо для выяснения возможности выхода частицы из области циркуляции рассмотреть в первую очередь решение квадратного уравнения (109). Для существования величины оу необходимо, чтобы подкоренное выражение в (109) было больше нуля. В этом случае частица достигнет нижней точки пересечения с осью симметрии, после чего ее расстояние до начала координат начнет уменьшатся, т.е. согласно (102) частица не выходит из области вихря. Если же это выражение меньше нуля, S2 +2eJK{rd) - 2єи Мъ) 0 , (ПО) то соответствующего значения ay не существует. Это означает, что частица фактически не достигла нижней точки пересечения с осью симметрии, а не доходя до нее, повернула налево вниз (рис. 26, траектория 2). Заметим, что этого не может случиться вблизи верхней точки гие пересечения с осью симметрии, так как величина а„ существует яри всех значениях входящих в нее интегралов / ,/« (по крайней мере для достаточно малых єЛ,єи).
Взвешенные тяжелые частицы в поле вихря
До сих пор частица примеси имела плотность, равную плотности жидкости, поэтому w рассматривались только движения жидких частиц. В этом разделе рассчитаем траектории очень маленьких твердых тел в потоке жидкости или воздуха. Это несколько реалистичнее опишет, например, налет воздушного вихря на песчаное облако. Заранее следует оговорить, что пассивность примеси подразумевает отсутствие обратного влияния частиц на жидкий или воздушный поток. Это налагает определенные ограничения на концентрацию частиц примеси в воздухе. Для простоты мы рассмотрим только одну твердую сферическую частичку диаметра d імкм (Імкм = 10 єлі) плотности llp 103кг/м , плывущую в вязком потоке воздуха плотности П/ под действием силы тяжести. Известно, что если число Рейнольдса на частице - 1 1 [ь — молекулярная вязкость), то поведение частицы описывается системой уравнений Буссинеска-Бассета-Озеена [48], [66]: \ 2 TlpJ dt 2 Ир Dt сР Up \ч J \ TlJ П Ik.f. n„ J / + - d_ dt 18- П, f 4dT (П6) где (xp,j/p)— местонахождение частицы примеси, V (t)— скорость частицы примеси в момент і, — производная, q(xp,yp,t)—скорость воздуха в точке (хр ур) в момент , L- = —1- 1 + g лагранжева производная скорости воздуха, вычисленная в месте нахождения частицы примеси.
Последнее уравнение в системе (116) соответствует решению двумерной по пространству задачи. Без вязкости имелось бы обычное действие давления воздуха и силы тяжести на твердую сферу, результатом чего являются Архимедова сила и присоединенная масса [27](9.20), [35], Вязкость добавляет силы сопротивления или тяги к отяосительному движению. Второй и четвертый члены в первом уравнении (116) есть результат вычисления силы сопротивления вязкой жидкости, обтекающей движущуюся в ней сферу. Это—-сила Стокса, вызванная относительным движением воздуха и маленького твердого тела, рассчитанную из условия малости числа Рейнольдса на частице, и интеграл Бассета, полученный из-за нестационарного относительного движения ([21], 24, задача 7 к нему; [66]). Существенно заметить, что для пузырьков и капель уравнение (116) сохраняет качественно те же члены, но усложняет коэффициенты при них из-за граничных условий на поверхности. Подобные расчеты можно найти в [48], [76]. В качестве течения воздуха возьмем поочередно два вихря из этой гла,вы, имея масштаб длины / и масштаб скорости UQ. На самом деле следует брать течение, рассчитанное с вязкостью и при наличии силы тяжести, однако модельный характер расчета позволяет рассмотреть безвихревое невязкое течение. Сила тяжести не меняет линий тока для него. Имея в виду вихрь (86), обезразмерим скорость, длину и время соответственно по (90): Ро ро рі Ро
Получим безразмерное уравнение (117): + 4=-А- . / Si== dT , 1 где Л = 1. ,7 = .- = - = 36- 4 = - В этом уравнении лагранжева производная вычисляется с учетом обезразмери- от " эт с х вх с Vj аг вания Таким образом, параметры А, ст, д определяют траекторию примесной части- цы. Система уравнений (117) требует начальные условия для местоположения частицы Хр(0) = Х0, Кр(0) = Уц и на ее скорость if (0) — vt- Если в начальный момент времени скорости частицы примеси и жидкой частицы в этой же точке совпадают, то уравнение (117) при А = 1/2 имеет очевидное решение и(Т) = Q (XV(T),YP(T),T) в рассматриваемом приближении. Это означает, что если плотность частицы примеси равна плотности жидкости, то при совпадении начальных условий будут и траектории совпадать. Частица примеси не движется относительно окружающей ее жидкости, и силы трения равны нулю. Однако мы рассмотрим прохождение тяжелых песчаных частиц, влекомых потоком воздуха, через вихрь. В этом случае имеем характерные величины П/ « 1кг/м3, Пр PS 2.5 10экг/-н3, v w 0.15 10 лм2/с, d 1 Юмкм. Как уже сказано выше, вывод уравнения (116) требует малости числа Рейнольдса на частице - 1. В этом случае корректно использование силы
Стокса и значения молекулярной вязкости и воздуха. Параметры задачи дают очень мягкое ограничение на скорость течения: v UQ « - й 15м/с. а На самом деле следует таким образом ограничивать относительную скорость, которая может быть существенно ниже характерной скорости воздушного потока. Поэтому можно работать в широком диапазоне скоростей. Заметим предварительно качественное влияние параметров А и а на траекторию частицы примеси относительно лагранжевых частиц. Поскольку и -тур 1, и 1, то параметр а огромный. Если А а 1, то, скорее всего, уравнение (117) вовсе не допустит существенного различия скоростей it и Q в той же точке. Действительно, в противном случае получили бы по (117) слишком большое значение производной 7 Видимо, при совпадении начальных данных с параметрами Х-и » 1 частица примеси движется вместе соответствующей воздушной частицей как спутник. Если А о не очень велико, могут появиться отличия в траекториях. Параметр А \/а может быть и малым, поэтому часто интегралом Бассета можно пренебречь. Это дает возможность получить простые аналитические решения [76]. В ряде работ [61]-[63] можно найти вычисления как с интегралом Бассета, так и без него.
Рассмотрим примеры набегания на вихрь трех частиц с равными начальными данными: лагранжеаой (воздушной), твердой с интегралом Бассета и твердой без интеграла Бассета. Будем всегда брать начальные положения частиц далеко от центра вихря, немного выше сепаратрисы. 1. Пусть А 0, d = Змкм, р0 — 1л«, UQ = 2м/с, g = 0.0м/с2. Вихрь имеет возмущения по (100): « = 0-1 (cos), єк = —0.1 (sin). Существенная для расчета частота возмущений Sh = 1.41. Параметры дают а — 3-Ю7, А = 2.5 Ю-4, А и — 7,5 103, А Ju ss 1.37. Интегралом Бассета можно пренебречь. На рис. 32 показана зависимость от времени расстояния 6г между частицами-спутниками. Обе частицы были захвачены вихрем на три оборота. Сначала плыли вместе, затем инерционная частица проявила свой характер: то замедлялась, то ускорялась потоком, обгоняла спутника. В конечном счете частицы разделились. 2. В другом случае А = 0, d — Змкл, р0 = 1см, U0 = 0.1м/с, g = 9.81м/с2. Вихрь возмущен: Еи = 0.05 (cos), бл = -0.05 (sin). Частота Sh - 3.0. Имеем: а = б 10е, А = 2.5 10 4, А а - 1.5 103, А у/а « 0.61. Имеем на рис. 33 существенное отличие в поведении частиц: лагранжева частица не захватывается, огибает вихрь, примесь делает один оборот в вихре и уходит.
