Содержание к диссертации
Введение
1. Основные уравнения динамики вихревых структур 23
1.1. Уравнения движения несжимаемой жидкости: уравнения Эйлера и неразрывности 23
1.2. Уравнение переноса вихря и уравнение для функции тока 25
1.3. Сравнительные достоинства систем уравнений для переменных (ц/, Q и для переменных (и, v, Р) 29
1.4. Уравнения движения заряженных нитей 31
2. Численные методы решения уравнений 35
2.1. Методы численного интегрирования 38
2.1.1. Конечно-разностные схемы 38
2.1.2. Метод «частиц в ячейке» (PIC-модель) 40
2.1.3. Метод дискретных вихрей 43
2.2. Метод контурной динамики 45
2.2.1. Алгоритм метода 45
2.2.2. Модификация метода КД 53
2.2.3. Диагностика метода 56
3. Динамика вихревых структур 58
3.1. Структура и эволюция вихревых областей конечной площади 58
3.1.1. Структура и эволюция уединенных вихревых пятен с различными порядками симметрии 58
3.1.2. Взаимодействие вихревых структур 61
3.1.3. Критические параметры взаимодействия вихревых структур 70
3.1.4. Эволюция и взаимодействие ЗО-вихрей 80
3.2. Динамика потоков заряженных частиц в магнитном поле 82
4. Приложения результатов 87
4.1. Океанологические исследования 87
4.1.1. Баротропные квазигеострофические модели 88
4.1.2. Квазигеострофические модели двухслойного океана 92
4.1.3. Квазигеострофическая модель непрерывно стратифицированного океана 94
4.1.4. Плоские гравитационные течения 95
4.1.5. Осесимметричные течения идеальной жидкости 96
4.2. Вихревые образования в атмосфере 98
4.2.1. Циклоны и антициклоны 99
4.2.2. Торнадо 101
4.3. Структуры вихревого типа в плазме 103
4.3.1. Вихри в пылевой плазме 103
4.3.2. Плазменные облака 105
Заключение 109
- Уравнение переноса вихря и уравнение для функции тока
- Метод контурной динамики
- Динамика потоков заряженных частиц в магнитном поле
- Вихревые образования в атмосфере
Введение к работе
Исследования пространственно-временной эволюции, устойчивости, динамики взаимодействия и разрушения двумерных нелинейных образований вихревого типа в сплошных средах, включая атмосферу и гидросферу Земли, атмосферы других планет, а также плазму ионосферы и магнитосферы Земли, стали актуальными в последние два с половиной десятилетия в связи с открытием так называемых когерентных структур. В природе такие структуры существуют в виде атмосферных циклонов и антициклонов, рингов Гольфстрима, грибовидных и триполярных структур, синоптических вихрей в океане, вихрей Россби, дрейфовых вихрей в плазме и др.
С начала 80-х годов когерентные вихри стали объектом усиленного изучения как в физике плазмы, так и в динамике геофизических непрерывных сред. Эти исследования были стимулированы открытием в 1979 г. Хасегавой и др. [1] аналогии между уравнением Хасегавы-Мима [2], описывающим нелинейные дрейфовые волны (вихри) в замагниченной плазме, и уравнением баротропной завихренности, которое в течение длительного времени использовалось для описания крупномасштабных вихревых течений в атмосфере и океане. В 1980 году В.И.Петвиашвили [3] обобщил уравнение Хасегавы-Мима с учетом эффектов возмущения среды большой амплитуды в случае геофизических объектов и градиентов электронной температуры - в случае плазмы. При этом было установлено, что уравнения вихревого движения в атмосфере и плазме сводятся к одному уравнению, имеющему решение в виде двумерных круговых вихрей-антициклонов, перемещающихся в западном направлении, или солитонов-антициклонов, размер которых больше характерного размера дисперсии. Уникальность решения Петвиашвили заключается в том, что оно описывает плавный переход солитонов в вихри.
Работа В.И. Петвиашвили стимулировала многих исследователей к изучению стационарно распространяющихся монопольных вихрей как в динамике геофизических сред, так и в физике плазмы. Например, идея экспериментально-
4 го исследования вихрей в атмосфере (океане) и дрейфовых вихрей в плазме на «мелкой» воде во вращающемся сосуде с профилем, близким к параболоиду, предложенная Петвиашвили в [3], была успешно осуществлена группой Незли-на [4] (Институт атомной энергии им. Курчатова), а также Ломинадзе и др. [5] в Абастуманской астрофизической обсерватории. В частности, по результатам экспериментов был сделан вывод о дуализме вихрей Россби, которые одновременно проявляют свойства и вихрей, и волн.
Динамика вихрей составляет обширный раздел физики жидкости, газа и плазмы. Вихревые структуры участвуют в процессе турбулентного переноса, поэтому исследование общей динамики вихрей представляет непосредственный практический интерес. Часто в природе и в лабораторных установках (плазменных и гидродинамических) под влиянием определённых физических причин движение среды становится квазидвумерным. В атмосфере и океане такими причинами являются вращение планеты (сила Кориолиса) и стратификация жидкости по плотности, в плазме - это магнитное поле (сила Лоренца). В двумерном случае для локальных вихревых образований характерно сохранение завихренности внутри некоторой области, что сильно ограничивает возможность распада таких структур, поэтому устойчивые вихри становятся существенными элементами динамики среды и их исследование является важной задачей как для построения общей вихревой теории, так и для отдельных разделов физики атмосферы, геофизической гидродинамики и физики плазмы, связанных с изучением разнообразных вихревых движений.
Настоящая работа посвящена численному исследованию вихревых областей конечной площади (ВОКП) [6,7], которые представляют собой в двумерном случае связную конечную область однородной завихренности, окруженную не-завихрённой средой. Такие объекты интересны тем, что их изучение играет важную роль при моделировании атмосферных, гидродинамических вихрей, вихревых структур в замагниченной плазме, а также при исследовании общей динамики вихревых образований.
5 Простейшее вихревое пятно представляет собой вихрь Рэнкина - это круг радиуса R в неограниченной жидкости. Кирхгоф показал [8], что для эллиптической области с главными полуосями а и b угловая скорость вращения такого вихря определяется соотношением
~ _<, ab
(а + Ь)2
где ^о - постоянная завихренность.
Г. Лэмб обобщил это решение на круговые области, к границе которых приложено возмущение малой амплитуды
г = Rq [1 + є cos(та - omt)],
т =-Co(w-1)»
т - порядок симметрии вихревого пятна (мода), RQ - условный радиус ВОКП, є - эксцентриситет, а - угол. В этом случае угловая скорость m-ой моды в лабораторной системе отсчета
_ сот _ 1 т-\
ат —(,0 .
т 2 т
Например, эллиптические волны {т = 2) вращаются в том же направлении, что и частицы жидкости на границе, но с вдвое меньшей скоростью. Моды высшего порядка имеют меньшие периоды вращения:
_ 2л _ 47гга ат СоС"*-1) Как показал Лэмб, колебания эллиптической границы имеют период
2к (b + a)2
Т(Ыа) = —,
Со Ъа который, следовательно, является функцией отношения большой и малой полуосей {bid).
Мур и Сэффмен [9] обобщили решение Кирхгофа на случай, когда поле скоростей подвергается внешней деформации. Решая аналитически уравнения
6 для вихревых пятен, они приходят к выводу, что стационарные эллиптические пятна во внешнем однородном поле деформации скоростей не могут существовать, если деформация слишком велика или мала завихренность ВОКП. Нестационарный случай рассмотрен Кида [10], Нью [11] и Джименесом [12]. Согласно их исследованиям, вихри вытягиваются в длинные тонкие эллипсы вдоль главной оси.
Отметим, что аналитическое исследование локальных вихревых образований, восходящее к трудам Декарта, представляет собой трудоёмкую, а в некоторых случаях невыполнимую задачу, поскольку сложные эволюционные уравнения, описывающие динамику вихрей, являются нелинейными. Точные стационарные решения для однородных вихревых пятен исчерпываются вихрем Кирхгофа и обобщениями Мура-Сэффмена. Для неоднородных же вихревых пятен известны некоторые точные решения, например, полый вихрь Хилла [13], вихревая пара Лэмба [8], пара полых вихрей Поклингтона [14], линейный ряд полых вихрей Бэйкера, Сэффмена и Шеффилда [15]. Возможно, существует целое множество точных решений такого рода и алгоритм построения семейств таких решений. Например, с использованием метода комплексных лагранжевых координат в работе [16] показано, что уравнениям гидродинамики удовлетворяет некоторый класс вихревых нестационарных течений, включающих в себя, как частные случаи, известные точные решения — вихрь Кирхгофа и волны Герстнера. Эта теория применяется, в частности, для аналитического исследования динамики локализованной вихревой области с произвольной формой границы в начальный момент времени. Другой подход - это использование гамильтонова формализма [17], благодаря которому можно проводить исследования эволюции уединённых вихревых пятен с различными порядками осевой симметрии, а также динамики N точечных вихрей. Однако этот подход нельзя применить к исследованию эволюции многовихревых систем, когда вихри представляют собой конечные области с постоянной завих]$&га»Еорим результаты аналитических и численных исследований различных равновесные конфигурации вихревых образований. Остановимся вна-
7 чале на уединённых вихревых пятнах, вращающихся в покоящейся жидкости. Как отметили Дим и Забуски [18], вихрь Кирхгофа - это лишь один из представителей бесконечного семейства вращающихся вихрей с га-полигональной симметрией. Ими была построена кривая зависимости периода вращения ВОКП от порядка симметрии т.
Численные исследования Дима и Забуски привели к предположению, что каждая ветвь бифуркаций (при т > 2) заканчивается в точке, в которой форма пятна принимает вид криволинейного многоугольника. Выполненный Сэффме-ном и Сцето [19] анализ, показывает, что внутренние углы многоугольников прямые, а их кривизна в вершинах обращается в бесконечность. Такие вихревые пятна устойчивы относительно инфинитезимальных возмущений, но нельзя исключить возможность дальнейших бифуркаций, ослабляющих симметрию их формы. Конкретные вычисления применительно к вихрю Кирхгофа выполнены Муром и Сэффменом в [9]. Используя эллиптические криволинейные координаты, они показали, что частоты со возмущений, развивающихся на фоне вихря Кирхгофа, который обладает симметрией га-го порядка, выражается равенством
2mab {а + Ь)
1 а- ох
[а + Ь)
а + Ь
2+Ъ2 а2+Ь2
а2 +Ь2
2 \ґ2\а2+Ь2) 4 (a + b)4
Они также показали, что при отношении полуосей alb = 3 мода т = 2 становится неустойчивой, в результате чего рождается новое семейство решений, описывающих несимметричные пятна, которые, однако, неустойчивы относительно возмущений с симметрией второго порядка. Последующие бифуркации происходят при значениях alb, для которых со обращается в ноль при любых тФ2. Свойства таких решений подробно исследовал Камм [20].
Мур и Сэффмен [9] исследовали также свойства устойчивости двумерных инфинитезимальных возмущений на фоне эллиптического вихря, подверженного однородной деформации. В этом случае
2 1 >-2
со = -C 4
2mab
~2 7l a +b
-M
a + b
\
Отсюда следует, что такой эллиптический вихрь линейно устойчив при alb< (a/b)c и неустойчив в противном случае. Семейство неэллиптических вихрей рождается при значениях alb, для которых со = 0, при т > 2 . Такого рода бифуркации исследовались также Каммом [20].
Численные исследования изолированных ВОКП, выполненные Димом и Забуски [18], а также Дритчелом [21], показывают, что с течением времени на границе вихря появляются точки заострения (укручение), которые затем переходят в нити. Этот процесс называется «филаментацией». Такого развития событий можно было ожидать в случае неустойчивых вихревых пятен [22]. Однако, филаментация происходит и в случае устойчивых (в рамках линейной теории) ВОКП круговой и эллиптической формы. Укручение и филаментация наблюдаются также в слоях однородной завихренности, расположенной в окрестности твердой стенки. Эти исследования были проведены Дритчелом в [21] и Пуллином [23]. При этом необходимо отметить, что существует нелинейный механизм вторичной неустойчивости не слишком толстых слоев, ускоряющий процесс филаментации (Пуллин и др. [24]).
Анализ, выполненный Чемином [25], показывает, что нелинейное укручение не приводит к образованию углов и острых выступов на границе. Из соображений размерности время tB, которое требуется, чтобы выпуклое возмущение на границе кругового однородного вихревого пятна в результате укручения вызвало филаментацию, выражается формулой
і h
(
\R0 R0J
Здесь Rq и С, - радиус и завихренность пятна, a h и / - амплитуда и ширина возмущения соответственно. Расчёты Дритчела [21], подтверждённые в какой-то мере результатами Пуллина и Мура [26], дают оценку
гле 100/л
15 +
V я^оу
'*=TT-2-
2тгС/г'
Для пятен эллиптической формы с отношением осей а/Ь>3 филаментация наблюдается также в слоях однородной завихренности, расположенных в окрестности твёрдой стенки [23]. В этом случае нелинейный механизм вторичной неустойчивости может, как упоминалось выше, приводить к ускорению фила-ментации при условии, что слой не слишком толстый.
Существует интересное различие между филаментациями вихревого пятна и слоя. В первом случае филаментация экструзивна, т.е. тонкие нити завихренности проникают в незавихренную жидкость. Во втором случае она интрузивна: нити незавихренной жидкости внедряются в слой с ненулевой завихренностью. В работе Пуллина и др. [24] высказаны соображения, что это различие скорее кажущееся, поскольку для описания эволюции пятна следует пользоваться системой отсчёта, в которой выпуклость границы квазистационарна. В такой системе отсчёта внешняя жидкость обладает ненулевой завихренностью.
Марсден и Вейнстейн [27], а также Дритчел [21] сформулировали квазилинейное уравнение эволюции малых возмущений на границе однородного кругового вихревого пятна. А. Рухи (частное сообщение) вывел эволюционные уравнения для слоя однородной завихренности, ограниченного бесконечной плоской стенкой, решение которого ищется в классе возмущений, периодических с периодом L в направлении параллельной стенке оси х.
Структура пары вихрей с равными по величине, но противоположными по знаку циркуляциями ± Г, совершающей поступательное движение с постоянной скоростью V описана Димом и Забуски [28]. Пьерхамберт [29] рассчитал семейство таких решений в зависимости от параметра 9 = 7?0 / г, где Rq - эффективный радиус каждого вихря, а 2г - расстояние между их центрами. При 0 « 1 вихри движутся со скоростью Vq = Г/4кг без изменения формы, близкой к форме круга. С увеличением 6 и уменьшением просвета между вихрями от-
10 ношение VIVo уменьшается от единицы до 0.6, а аспектное отношение (длина/ширина) возрастает от единицы до 3.34. Предельное значение 0 равно 2.16.
Пара соприкасающихся вихрей движется со скоростью Vc = 0.16y]SC, , где S- площадь каждого вихря. Предельное отношение 8/(длина вихря) = 0.22. Существование соответствующего ему предельного решения следует из численных результатов. Оно было рассчитано Садовским [30], затем Сэффменом и Тэнвиром [31], которые исправили ошибку в формулировке Пьерхамберта.
Точные решения в замкнутом виде для пары полых вихрей были получены Поклингтоном [14] (а также Тэнвиром [32]). Их аспектное отношение при 0 —> оо стремится к бесконечности, причём для соприкасающихся полых вихрей предельного решения не существует.
Устойчивость пары вихрей с противоположными знаками завихренности, по-видимому, детально не исследовалась, но есть основания полагать, что они устойчивы. Из доказательства существования решений, сделанного Киди [33] на основе вариационного принципа, следует, что скорость движения пары вихревых пятен с циркуляциями ± Г меньше скорости движения пары точечных вихрей с такими же циркуляциями, расположенных на расстоянии, равном расстоянию между центрами завихренности пятен.
Установившееся движение пары пятен одного знака завихренности численно исследовалось Сэффменом и Сцето [34] методом контурной динамики. Сильно удалённые пятна имеют форму, близкую к круговой. Деформация пятен усиливается с уменьшением расстояния между ними вплоть до соприкосновения. С увеличением Sir", где S- площадь каждого пятна, а г - расстояние между их центрами завихренности, просвет 5 между пятнами уменьшается. Соприкос-новение происходит при Sir = 0.3122 [20]. Сэффменом и Сцето также была по-
-у
лучена зависимость величины 5// от Sir , из которой следует, что максимальное значение площади пятна превышает её критическое значение, соответствующее соприкосновению пятен. В данном случае это, однако, не связано с изменением характера устойчивости. Соприкосновение происходит в точке с абсциссой
0.3121 в которой момент импульса и регулярная составляющая энергии принимают соответственно минимальное и максимальное значения.
При S/r" = 0 безразмерный момент импульса J равен бесконечности и с увеличением Sir убывает до минимального значения при Sir — 0.3121, затем возрастает, пока не произойдёт соприкосновение вихрей. Аналогично ведёт себя кинетическая энергия Т, за исключением того, что она сначала возрастает, затем убывает. Минимум J и максимум Г достигаются при одном и том же значении Sir". Это следует из вариационного принципа Кельвина и означает, что при этом значении происходит смена устойчивого состояния на неустойчивое относительно двумерных инфинитезимальных возмущений, поскольку лишь одна из ветвей (нижняя) соответствует минимуму функционала энергии.
Это согласуется с расчётами Камма устойчивости пары одноименно завихренных пятен в линейной постановке задачи. После соприкосновения вихри объединяются и принимают форму гантели, как это происходит с односвязны-ми эллиптическими вихрями Кирхгофа под влиянием бифуркаций.
Точное решение в замкнутом виде для соприкасающихся пятен неоднородной завихренности приводится в книге Лэмба [8]. Д .Блисс (1970, частное сообщение) обратил внимание на то, что решение Ламба можно обобщить так, чтобы оно описывало вращение соприкасающейся вихревой пары с постоянной угловой скоростью со.
Сэффмен и Сцето [19], а также Пьерхамберт и Уиднэлл [35] исследовали свойства линейной цепочки вихревых пятен одинаковой площади S и циркуляции Г, центры которых расположены на прямой с постоянным интервалом г. Исследование проводилось численно методом контурной динамики.
Ими были получены следующие результаты. С увеличением безразмер-ного параметра Sir от нуля до предельного значения просвет между вихревыми пятнами уменьшается. Форма пятен малых размеров близка к круговой, а пятен больших размеров - к эллиптической. Конфигурация цепочки определяется упомянутым внешним параметром 0 = Sir2 . Уместно отметить, что решения с эллиптической симметрией существуют только при 9 < 0.2377 - максимального
12 или предельного значения, не совпадающего с критическим значением, соответствующим соприкосновению пятен [20]. Наличие предельного значения 9 означает существование в его окрестности различных решений с одинаковой площадью пятен и, следовательно, нейтральную устойчивость предельного решения относительно инфинитезимальных возмущений. Поскольку течение невязкое и время обратимо, можно предположить, что в точке нейтральной устойчивости появляются кратные собственные значения и происходит переход от устойчивого относительно инфинитезимальных возмущений состояния к неустойчивому. Это - так называемая супергармоническая неустойчивость, исследованная Муром и Сэффменом [36].
С другой стороны, согласно вариационному принципу Кельвина переход от устойчивого состояния к неустойчивому происходит в точке экстремума регулярной составляющей кинетической энергии. Таким образом, можно ожидать, что в предельной точке кинетическая энергия как функция 9 имеет максимум или минимум. Сэффмен и Сцето численно показали, что минимуму энергии соответствует максимальная площадь. Аналитически это утверждение проверил Бэйкер [37] для линейной цепочки полых вихрей, также рассматривавшейся в работе Бэйкера, Сэффмена и Шеффилда [15]. При достижении критического значения 9 происходит соприкосновение пятен, и семейство дискретных цепочек вихрей превращается в семейство связанных вихрей или волн конечной амплитуды на вихревой пелене конечной толщины. Критическая длина волны, при которой из пелены постоянной толщины 2Ь рождается семейство волн, равна 9.836. Форма и свойства такого семейства волн не зависят от Г, которая определяет лишь временные масштабы течения.
Таковы основные результаты исследований динамики вихревых областей конечной площади, проводимых с использованием аналитических и численных методов. Подводя итог, определим некоторые вопросы, которые в настоящее время остались нерешенными. Исследование эволюции пары вихрей с одинаковыми знаками завихренности, проводившееся во многих работах, всё же является не достаточно полным, поскольку не определены наиболее общие крите-
13 рий устойчивости, позволяющие прогнозировать характер взаимодействия такой системы, хотя в некоторых работах (например [34]) вводится некоторый критический параметр, зависящий от расстояния между центрами завихрённо-стей, который разделяет два режима взаимодействия, однако он не обладает достаточной общностью, поскольку не учитывает величины завихрённостей, формы вихрей, их первоначальной конфигурации. Для многовихревых образований одинаковой полярности были изучены только линейные конфигурации, при этом практически отсутствуют работы по исследованию систем с симметричным расположением вихрей. Из имеющихся по этому вопросу публикаций, начиная с работ лорда Кельвина, подавляющее большинство относится к изучению точечных вихрей, тогда как для вихрей конечной площади характер взаимодействия несколько отличается. Как уже отмечалось, устойчивость пары вихрей с противоположными знаками завихренности детально не изучалась, к этому добавим, что не была также исследована эволюция многовихревых систем, состоящих из ВОКП разной полярности.
Исходя из вышесказанного, можно определить объект исследования - это локальные вихревые образования, возникающие в атмосфере и гидросфере и замагниченной плазме. Предметом исследования является их пространственно-временная эволюция, условия и критерии устойчивости, а также динамика их взаимодействия и разрушения.
Целью работы является численное исследование пространственно-временной эволюции и динамики взаимодействия вихревых структур в атмосфере и гидросфере, а также в плазме.
Решаемые задачи:
исследование структуры, пространственно-временной эволюции и устойчивости уединенных вихревых областей относительно возмущений их формы;
изучение режимов взаимодействия ВОКП, вычисление параметров, определяющих устойчивость Л^-вихревой системы, с целью прогнозирования характера взаимодействия вихревых структур, численное исследование эволюции и динамики vV-вихревых систем;
исследование динамики трехмерных вихревых структур в плоскослоистых средах («квазидвумерное» приближение), изучение эволюции и взаимодействия 3D вихревых систем;
исследование динамики потоков заряженных частиц (заряженных нитей) в однородном магнитном поле;
приложения результатов исследований к изучению некоторых проблем вихревой динамики в атмосфере и гидросфере: моделирование эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых структур и вихрей в океане, а также образований вихревого типа в плазме: вихревых и спиральных структур в магнитосфере Земли и пылевой плазме;
развитие метода контурной динамики с целью улучшения его точностных характеристик и обеспечения возможности численного интегрирования систем эйлерового типа и соответствующих интегродифференциальных уравнений на больших временных интервалах.
Методологической и теоретической базой исследований послужили работы Г. Лэмба [8], Дж. Сэффмана [6] и В.И. Петвиашвили [3], в которых развиты основные положения теории вихревых движений и выполнено обобщение теории геофизических процессов и явлений в замагниченной плазме. При интерпретации полученных результатов мы опирались на работы М.А. Соколовского и В.Ф. Козлова [38-40]. Метод компьютерного моделирования, использованный нами в работе, представляет собой модификацию и обобщение метода контурной динамики (КД), развитого Н.Дж. Забуски, Д.И. Пуллином и Д.Ж. Дритчелом [7, 41, 42].
Научная новизна работы определяется следующими результатами:
Исследована динамика уединённых вихревых областей, впервые установлено, что для ВОКП эллиптической формы могут иметь место три типа эволюции, которые определяются значением эксцентриситета.
Впервые изучены режимы взаимодействия вихревых областей конечной площади и найдены параметры, определяющие режим взаимодействия и устойчивость вихревой системы, получен критерий устойчивости парного
15 взаимодействия в TV-вихревой системе, позволяющий осуществлять прогнозирование характера и результат взаимодействия ВОКП.
Исследовано взаимодействие многовихревых систем (в частности, трёх- и четырёхвихревых) симметричной начальной конфигурации, показано отличие во взаимодействии однополярных и разнополярных вихревых областей, в численных экспериментах впервые установлено, что взаимодействие разнополярных ВОКП происходит более интенсивно.
Впервые, в рамках «квазидвумерного» подхода, численно исследована структура, эволюция и динамика взаимодействия трехмерных вихревых образований в плоско слоистых средах. Показано, что характер взаимодействия в 3D вихревой системе определяется конфигурацией и полярностью «вихревых трубок», а его интенсивность наиболее высока в средних слоях.
Численно исследована динамика развития и взаимодействия поперечных возмущений заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в однородном магнитном поле. Впервые показано, что характер эволюции определяется амплитудой возмущения, количеством взаимодействующих нитей, плотностью их распределения и знаком заряда частиц.
Изучены приложения результатов к задачам исследования динамики некоторых типов вихревых систем в атмосфере, гидросфере и плазме: моделированию эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых образований, вихрей в океане, а также структур вихревого типа в магнитосфере Земли и пылевой плазме.
Выполнена модификация метода КД, что позволило значительно улучшить его точностные характеристики и обеспечило возможность численного исследования эволюции и динамики взаимодействия 2D и 3D локальных вихревых возмущений в различных геофизических средах на значительных временных интервалах при существенной экономии времени счёта.
На защиту выносятся:
1. Результаты численного исследования структуры, пространственно-временной эволюции уединённых вихревых образований и динамики взаимодействия TV-вихревых систем;
Критерии устойчивости парного и четырёхвихревого взаимодействия в TV-вихревой системе, приложения к изучению вихревых движений в атмосфере и гидросфере;
Результаты исследования структуры, эволюции и динамики взаимодействия трехмерных вихревых образований в плоскослоистых средах;
Результаты исследования динамики развития и взаимодействия поперечных возмущений заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в замаг-ниченной плазме, приложения к изучению структур вихревого типа в магнитосфере Земли;
Модификация метода контурной динамики, связанная с улучшением его точностных характеристик и расширением возможностей использования в задачах моделирования динамики вихревых структур.
Практическая ценность работы определяется новыми результатами, уточняющими картину эволюции вихревых образований, возникающих в атмосфере, гидросфере и плазме, их взаимодействия и разрушения. Усовершенствованный метод контурной динамики и разработанные на его основе алгоритм и компьютерная программа моделирования динамики вихревых структур являются эффективным средством исследования вихревых движений в сплошных средах, включая вопросы прогнозирования эволюции вихревых систем. Результаты, полученные в диссертации, используются в КГЭУ в работах по исследованию динамики неодномерных нелинейных структур солитонного и вихревого типов в сплошных средах и внедрены в лекционный курс «Математические методы моделирования физических процессов», читаемый в КГЭУ.
Апробация работы
Результаты исследований были представлены и обсуждались на VII и VIII научных конференциях аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета (Магадан, 2000, 2001); III Международном симпозиуме по энергетике, окружающей среде и экономике РНС-ЭЭЭ (Казань, 10-14 сентября 2001); Республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); Школе-
17 семинаре акад. В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 1-4 октября 2002); 1 Iі International Congress
on Plasma Physics (Sydney, Australia, July 15-19, 2002), 30 EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (S.-Petersburg, Russia, July 7-11, 2003); Joint International Scientific Conference «New Geometry of Nature: Mathematics, Geophysics» (Kazan, August 25 -September 5, 2003); IV Intern. Conf. Plasma Physics and Plasma Technology (Minsk, Belarus, September 15-19, 2003); Теоретическом семинаре научно-исследовательской лаборатории «Физика плазмы» ИОФАН (Москва, январь 2004); III Молодёжной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Н. Новгород, 26-27 мая 2004); Общегородском научном семинаре «Теория и компьютерное моделирование нелинейных и нестационарных процессов в физических средах» (Казань, КГЭУ, 2001-2004).
Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований: гранты РФФИ № 01-02-16116, № 02-03-06172 (MAC), Академией наук Республики Татарстан: грант №02-2(Г).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, из них 3 статьи, 6 полных текстов докладов в сборниках трудов международных и всероссийских научных конференций и симпозиумов, 11 тезисов докладов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, содержит 122 страницы машинописного текста, 36 рисунков, 8 таблиц ,110 наименований использованной литературы.
Структура и содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проанализировано современное состояние проблемы, сформулированы цели и задачи исследования и обозначены подходы к их решению, приведены структура и содержание диссертации и указаны работы, в которых отражены основные результаты.
В первой главе рассмотрены основные уравнения, описывающие движение вихревых структур в жидкости и газе, осуществлён переход к переменным за-вихрённость-функция тока и обоснована его целесообразность для решения по-
18 ставленных задач. Изложена модель двумерной замагниченной плазмы Тэйлора-Макнамары и продемонстрирована аналогия между гидродинамическими уравнениями и уравнениями, описывающими плазму в рамках данной модели. Таким образом, последовательно проводится идея универсальности основных уравнений динамики и инвариантности формы их решений для сред различных типов в рамках исходных предположений, формулируемых в работе.
Во второй главе представлен краткий обзор основных методов численного исследования вихревых структур, проведён сравнительный анализ и показаны преимущества и недостатки использования тех или иных подходов для решения задач моделирования локальных вихревых возмущений. Подробно описан метод контурной динамики, выполнена его модификация, позволяющая исключить некоторые погрешности «классического» метода КД, а также приведены результаты диагностики модифицированного метода контурной динамики, использовавшегося в работе при численном моделировании динамики вихревых структур, показано соответствие с результатами аналитических решений для модельных задач эволюции эллиптического вихря Кирхгофа.
В третьей главе путём численного эксперимента проведены исследования динамики вихревых образований. Для уединённых ВОКП эллиптической формы установлено, что в зависимости от величины эксцентриситета е, могут иметь место три типа эволюции вихря: при е < 0.94 — устойчивое вращение вокруг центра завихренности, при 0.94 < е < 0.98 - деформация ВОКП в процессе эволюции с образованием нитей завихренности и вихревых пелен, в случае 0.98 < е < \ — разрушение вихревой области с образованием мелкомасштабных вихревых структур и дальнейшей турбулизацией волнового поля.
Численное моделирование взаимодействия пары круговых вихрей с противоположными знаками завихренности циклонического (С, < 0) и антициклонического (С, > 0) типов, которые являются предельными состояниями для сильно вытянутых дипольных структур, моделирующих ограниченные струйные течения, показало, что вихри движутся в одном направлении, перпендикулярном оси, соединяющей их центры. Направление и скорость движения вихревой пары зави-
19 сят от знаков и величин завихрённостей, а также от расстояния между центрами ВОКП.
Исследование динамики парного взаимодействия вихрей с одинаковыми знаками С, показало, что могут иметь место два режима взаимодействия:
При достаточно большом расстоянии между центрами вихревые области вращаются вокруг некоторого общего центра, при этом происходит деформация вихрей - они вытягиваются, принимая форму близкую к эллиптической, но со временем возвращаются к первоначальному состоянию - наблюдается явление «квазивозврата».
С уменьшением расстояния между центрами вихри начинают все больше деформироваться в процессе взаимодействия, что приводит к образованию точек заострения и вызывает появление нитей завихренности. При дальнейшем уменьшении расстояния между центрами вихрей происходит их «фазовое перемешивание».
Качественное изменение (своего рода «скачок») в характере взаимодействия двух вихревых областей происходит при переходе в состояние фазового перемешивания. Для прогнозирования характера вихревого взаимодействия была введена функция основных характеристик взаимодействующих вихревых образований, отвечающих их состоянию при t = 0:
4 = (5//2)fe,/;2Xl-«o)_,(l + sin2e), где S - площадь ВОКП (предполагаем, для определённости, что площади взаимодействующих ВОКП S\ = 5г = 5), / - расстояние между их центрами, ^ и ^ -значения завихрённостей (причем ^ > Q), ^о =(е\ +е2)^ ~ усреднённый по двум ВОКП эксцентриситет и 0 = 9] + 92 - сумма углов наклона больших осей эллипсов ВОКП относительно прямой, соединяющей их центры.
Вводя в качестве критических параметров функции a = S//~, (3 = ^|/^2>
у = (1 - е0 j , 90 = 1 + sin 9 и варьируя соответствующие аргументы, в численных экспериментах для вихревых областей круговой и эллиптической формы удалось получить значения асп (Зсг, усг и 90сг, при которых система переходит
20 скачком в режим активного взаимодействия, отвечающего фазовому перемешиванию: t,cr =acrPcrycrQocr =0.267x1.11x7.143x1.005 = 1.129. Сравнивая значение , для произвольной начальной конфигурации вихревой пары с критическим значением ,„., можно прогнозировать результат взаимодействия вихревых областей: если , < ^,,., то фазового перемешивания ВОКП наблюдаться не будет, в противном случае, когда , > сг, будет происходить их слияние с последующим образованием завихрённостей более мелкого масштаба.
Для многовихревых систем также наблюдаются два режима взаимодействия: режим квазивозврата и режим фазового перемешивания. Численные эксперименты с четырьмя линейно расположенными вихрями показали, что для такой системы, наряду с 4-вихревым взаимодействием, характерной особенностью является возможность попарного взаимодействия вихрей.
Параметр асг в этом случае разделяет режимы TV-вихревого взаимодействия следующим образом. Для режима фазового перемешивания всей системы аст - 0.227 , для попарного взаимодействия значение параметра а лежит в пределах 0.155 < а < 0.227, при а < 0.155 наблюдается режим квазивозврата.
Для структуры из четырёх вихрей, расположенных в вершинах квадрата, также было найдено критическое значение асг = 0.315 . Как показали численные
эксперименты по исследованию эволюции вихрей с разными знаками завихренности, взаимодействие разнополярных ВОКП происходит интенсивнее, чем од-нополярных.
Исследование динамики заряженных нитей, которые представляют собой потоки заряженных частиц в однородном магнитном поле (двумерная модель плазмы Тэйлора-Макнамары), показало, что чем больше амплитуда возмущения, чем большее количество нитей участвует во взаимодействии и чем плотнее они расположены, тем быстрее и интенсивнее происходит образование структур вихревого типа.
В четвёртой главе рассмотрены приложения полученных результатов к исследованию динамики вихревых образований в атмосфере, гидросфере и плаз-
21 плазме. Исследование стационарных ВОКП в геофизической формулировке представляет собой важный класс задач динамики стационарных фронтов завихренности. В численных экспериментах качественно воспроизведены наблюдаемые на спутниковых изображениях деформации вихревого поля.
Представлены результаты моделирования четырёхвихревого взаимодействия, наблюдавшегося в канале Наруто (Япония). Сравнение результатов численного эксперимента с данными видеонаблюдений подтверждает их качественное совпадение.
Исследование динамики трехмерных вихревых структур выполнялось в к вази двумерном приближении, справедливом в случае, когда вертикальной компонентой скорости частиц допустимо пренебречь, т.е. среда может рассматриваться как плоскослоистая. При этом, исходя из реальных физических условий, характерных для моделируемого объекта, в каждом слое 3D вихря задавалась величина завихренности, а вертикальная его структура определялась физической постановкой задачи. В главе представлены результаты моделирования эволюции торнадо в рамках квазидвумерного подхода с использованием послойной аппроксимации вихревой структуры системой ВОКП. При этом исследовалось влияние возмущения, наложенного на ось торнадо, проходящую через центры завихренности плоских слоев 3D объекта, на его динамику. В результате установлено, что малое поперечное возмущение приводит к незначительным колебаниям оси и, в целом, не влияет на структуру и устойчивость вихря. Численные эксперименты по динамике взаимодействия 3D вихревых структур позволили установить, что его характер определяется конфигурацией и полярностью «вихревых трубок», а его интенсивность наиболее высока в средних слоях. Результаты данного цикла исследований, с учетом соответствующих масштабных преобразований, показывают, что использование модифицированного метода КД дает возможность прогнозировать эволюцию торнадо и эффективно моделировать динамику взаимодействия вихрей подобного типа.
Численное исследование взаимодействия частиц в пылевой плазме с вихревыми структурами большего масштаба показало, что при отсутствии вращения
22 самих пылевых частиц взаимодействие является слабым и практически не проявляется, с появлением у частиц ненулевой завихренности взаимодействие становится заметным и частицы вовлекаются в вихревое движение.
Исследование динамики заряженных нитей в однородном магнитном поле в приложении к процессам в магнитосфере и ионосфере Земли выполнялось с целью изучения влияния возмущений, имеющих различную физическую природу (солнечная активность, магнитные бури, приводящие к нарушению конфигурации (деформации) силовых магнитных линий в области полярного каспа и др.), на распространение потоков заряженных частиц. В результате установлено, что поперечные возмущения скорости потока приводят к его переходу в неустойчивое состояние с образованием складок и сложных вихревых структур.
Отдельный цикл исследований был посвящен изучению структуры и эволюции плазменных облаков в ионосфере, образующихся в процессе солнечной ионизации искусственно инжектированного бария в ракетных экспериментах на высотах F-области. В численных экспериментах было установлено, что такие плазменные образования, приводящие к формированию вытянутых вдоль магнитного поля электронно-ионных неоднородностей (преимущественно столкно-
вительная плазма с малым (3 = АппТ IB) диффундируя в процессе эволюции в направлении, перпендикулярном В, приобретают в поперечном сечении нерегулярную полосчатую структуру. Такие плазменные образования, являясь, с одной стороны, индикаторами состояния ионосферы, способствуют развитию нелинейности в F-слое и могут приводить к рассеянию и затуханию радиоволн КВ-УКВ-диапазона.
В заключении приводится перечень основных результатов, полученных в диссертации, и их обсуждение.
Уравнение переноса вихря и уравнение для функции тока
Несмотря на то, что можно численно решать записанную выше систему уравнений движения, лучшие результаты получаются при численном решении уравнения для завивихренности и функции тока \/, которая определяется как интеграл ц/ = \и sin a ds, (11) где и - скорость жидкости, s - перемещение, а - угол между и и s. Функция \/ считается положительной, если линии тока направлены по часовой стрелке. Очевидно, направление касательной к линии \\J(X, у) = const, которое определяется из равенства ch\i = 0, совпадает с направлением вектора скорости, поэтому линии уровня \\J = const являются векторными линиями поля скоростей. При установившемся движении эти линии совпадают с траекториями движущихся частиц, то есть с линиями тока, именно поэтому ці называется функцией тока. Согласно формуле Стокса циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру / равна интегралу по поверхности S, натянутой на контур /, от скалярного произведения ротора вектора скорости на единичный вектор нормали п к этой поверхности j(u,dl) j"(rotu,n)aK\ I S (15) где величина rot u = называется вектором вихря и определяет угловую скорость вращения элементарного объёма жидкости. В случае плоского движения вектор вихря Это уравнение в переменных завихренность-функция тока называется уравне- нием переноса вихря. Здесь ЗС - ж, ас -3- - нестационарный член, и— и v конвек- dt дх ду тивные члены (конвекция в данном случае означает, что вихрь переносится по течению). Уравнение (18) нелинейно из-за конвективных членов, так как и и v -функции зависимого переменного С- Оно также параболическое по времени, поэтому для него ставится задача с начальными условиями, в которой решение продвигается шаг за шагом от начальных данных.
Уравнение (17) для завихренности можно переписать с учетом (14), тогда получим уравнение Пуассона для функции тока С = а ( а\Л а (а дх дх ду \дУ J или 2 2 (19) а у а у у. А\/ = —- +--у = - дх2 ду2 Это уравнение является эллиптическим, поэтому для него ставится задача с граничными условиями. 1.3. Сравнительные достоинства систем уравнений для переменных (\/, Q и для переменных (w, v, Р) Сравнительные достоинства (ці, Q-системы и (и, v, -системы зависят от решаемой задачи. Главную роль всегда играет опыт предшествующих расчетов, но при выборе системы уравнений в большинстве случаев (за исключением задач со свободной поверхностью или других задач о движении жидкостей с поверхностями раздела) целесообразно брать (ц/, Q-систему [43]. В качестве эталонной задачи для сравнения этих двух систем рассмотрим задачу о плоском течении жидкости при отсутствии свободной поверхности, предполагая, что при этом уравнение Пуассона решается при помощи итерационных методов. Если не требуется находить нестационарное решение для давления, то в (\/, Q-системе приходится решать одно уравнение переноса вихря параболиче- с ко го типа и одно уравнение для функции тока эллиптического типа V v/ - С, с условиями Дирихле на некоторых (возможно, на всех) границах. (Стационарное решение эллиптического уравнения для давления находится только на последнем слое по времени, и поэтому выбор метода решения этого уравнения не имеет особого значения.) В (и, v, Р)-системе надо решать два уравнения переноса количества движения, имеющих параболический тип, и одно уравнение эллиптического типа для давления V Р = S с граничными условиями Неймана на всех границах. При решении уравнения переноса вихря С, необходимо дополнительно выполнить две операции дифференцирования функции тока \(/ для нахождения составляющих скорости, но уравнения переноса количества движения усложняются из-за членов с дивергенцией и из-за специальных приемов, которые здесь требуются для обеспечения сохранения массы (объема). Решать уравнение переноса вихря й, можно по неявным схемам, хотя при этом может потребоваться дополнительный итерационный процесс для неявного вычисления значений С, на стенках при условии прилипания. В случае же (и, v, Р)-системы значения и и v известны точно в течение всего времени, но здесь суще- ствует трудность, связанная с неустойчивостью из-за нелинейности уравнений. Достижение итерационной сходимости при решении уравнения V Р = S эллиптического типа требует значительно больше времени, чем при решении эллипти-ческого уравнения V \j/ = С,. Это объясняется различием граничных условий. Если же требуется получить также нестационарное решение для давле-ния, то и в (\/, Q-системе необходимо решать уравнение Пуассона V Р = S „ с граничными условиями Неймана. В случае когда применяются неявные схемы и требуется вычислять поле давления на каждом шаге по времени At, результаты можно получить быстрее решением (и, v, -системы. Однако заметим, что при решении (\/, Q-системы при помощи явных схем (которые, как сложилось исторически, чаще применяются для решения (и, v, Р)-системы) шаг по времени А/ настолько мал, что значение давления можно не рассчитывать на каждом шаге по времени, а находить только время от времени. (Во всяком случае, обычно оказывается затруднительным разумно использовать все это множество значений давления.) Если поле давления рассчитывается один раз за каждые десять шагов по времени или реже, то снова рекомендуется применять (\/, Q-систему. Сравним эти две системы и в том случае, когда нужно получить нестационарную картину линий тока. В случае (ці, Q-системы линии тока \/ =const строятся с помощью простой интерполяции. В случае же (и, v, / -системы они определяются интегрированием, причем наиболее точный способ состоит в решении уравнения Пуассона. Теперь рассмотрим случай, когда в исходной тестовой задаче для решения уравнения Пуассона используются прямые методы. Здесь важную роль играет вопрос трудоёмкости решения задачи, поскольку если надо вычислять поле давления, то для решения (ці, Q-системы необходимо при помощи прямых методов решать два уравнения Пуассона с различными граничными условиями. Если же поле давления вычислять не надо, то решение (VJ/, Q-системы будет менее трудоёмким, так как в большинстве прямых методов поставить условия Дирихле проще, чем условия Неймана. В этих случаях для решения уравнения
Пуассона требуется меньше времени, чем для решения параболического уравнения переноса. Поскольку время решения одного уравнения переноса вихря С,, меньше, чем время решения каждого из двух уравнений количества движения, и в этом случае (\/, Q-система оказывается предпочтительнее. Учет внешних сил в уравнениях не влияет на обсуждавшиеся выше сравнительные достоинства двух рассматриваемых систем уравнений. Также не оказывает влияния выбор системы. Отметим также, что возможно обобщение (\/, Q-системы на случай трёхмерных течений и эта система по-прежнему будет обладать некоторыми преимуществами по сравнению с системой уравнений для физических переменных скорости и давления. Исходя из вышесказанного, мы будем исследовать динамику вихревых структур, опираясь на уравнения переноса вихря и уравнение Пуассона для функции тока. 1.4. Уравнения движения заряженных нитей Простейшая модель двумерной замагниченной плазмы, предложенная Тэйлором и Макнамарой [44], представляет собой заряженные нити, центрированные в однородном магнитном поле. Эти нити движутся с центрально-направленной скоростью Ех В/5 . Уравнения движения нитей:
Метод контурной динамики
Основные положения метода описаны в работе [7], однако при его прямом использовании возникает ряд трудностей, поэтому для корректного применения к моделированию вихревых структур метод КД требует некоторой модификации [57]. С целью более полного выяснения сути предлагаемого подхода, а также надлежащего его обобщения приведём ниже полное изложение алгоритма метода КД, ограничившись 2-мерным случаем. Исходными уравнениями в методе контурной динамики являются уравнение переноса вихря (для идеальной среды) и уравнение Пуассона для функции тока (28) Систему уравнений (28) необходимо также дополнить выражениями для компонент скорости: дц/ д\и и = —, v = . ду дх Как уже было сказано, идея метода КД состоит в том, что рассматривается взаимодействие между границами областей. Причем завихренность каждой области является постоянной (но необязательно одинаковой для всех вихревых областей), благодаря этому размерность задачи снижается на единицу. Области положительной завихренности (или циркуляции) соответствуют вращению конвективных жидких элементов против часовой стрелки, поэтому мы будем изучать правостороннюю координатную систему, где вектор направлен вдоль оси е, - еххеу. Для того чтобы описанный выше метод КД давал устойчивые решения, его необходимо модифицировать, поскольку, во-первых, схема с перешагиванием даёт ощутимую погрешность на достаточно больших временных промежутках, а, во-вторых, как показывают эксперименты, эволюция ВОКП приводні к «разбеганию» узлов контура, что недопустимо, так как при этом нарушается главное условие - контур должен быть кусочно-непрерывным, т.е. как можно более точно аппроксимировать непрерывную линию.
Первая проблема может быть решена с помощью методики, предложенной в работе [55]. Для устранения погрешности в методе с перешагиванием Роберте и Бэрк предложили синхронизировать значения переменных на двух временных слоях. При таком подходе предполагается, что на некотором временном слое известны координаты и скорости всех узлов контура. Тогда асинхронная компонента может быть отфильтрована с помощью усредненных переменных для момента времени р + \/2, причем р должно быть четным. Эти переменные находятся тривиально: Вторая трудность может быть преодолена введением дополнительных узлов в местах «разрыва» контура, когда hn 2/zmax - для сохранения точности вычислений в области «разрыва» вводится новая точка С: хс =2(ХА +хв Ус =2(У +У ] между соседними точками А и В. При этом, если используется схема с перешагиванием, дополнительные узлы необходимо добавить и на двух предыдущих временных слоях. Здесь же следует отметить, что возможна и обратная ситуация - при сильном сближении двух узлов один из них можно исключить из расчетов, в этом случае точность вычислений не изменится, но будет экономиться машинное время. Еще одним способом оптимизации расчетов является так называемое «подправление» контуров, описанное в [55]. С течением времени линии одного и того же контура или линии, принадлежащие разным контурам, могут сблизиться друг с другом настолько, что площадь между ними будет стремиться к нулю. Тогда эти линии становятся одной кривой, которую приходится проходить дважды. Если значение функции по обе стороны от «двойной» кривой одинаково, то, исключив этот участок, мы не изменяем состояния системы. На рис. 5 показаны возможные варианты образования «двойных» кривых. Рассмотрим случай, представленный на рис. 5А. Если кривая образует петлю, то её изменяют следующим образом: точки С и D соединяют между собой, при этом образуется новая замкнутая кривая, начинающаяся в точке А и оканчивающаяся в точке В.
Далее, в зависимости от рассматриваемой задачи, точки между С - А и В - D либо заменяют одной кривой, либо полностью исключают из расчетов. Ситуация, изображенная на рис. 5В отличается от предыдущей тем, что необходимо рассматривать два участка, при этом соединяются соответственно точки С - А и В - D. На рис. 5С показан случай, когда двойная кривая разделяет две области с разными значениями функции/ Здесь можно со- единить точки С и А, а также В и D и определить кривые нового типа, которые соединяют точки А и В двух других контуров, для которых А/ = /з - / . С учетом сделанных замечаний схема расчета для модифицированного метода КД будет содержать два дополнительных этапа и примет следующий вид: 1. Для каждого контура задается количество узлов Nj, первоначальная форма, и завихренность. 2. В соответствии с выражением (41), вычисляется вклад всех контуров в изменение скорости каждого узла на текущем контуре. 3. Выполняется корректировка на узлах - вводятся дополнительные и/или исключаются лишние. 4. Проводится синхронизация значений скорости на трех временных слоях для устранения погрешности схемы «с перешагиванием». 5. Повторяются пп. 2-4 либо до выхода на стационарный режим, либо до достижения заданного в эксперименте значения времени. 2.2.3.
Диагностика метода Для того чтобы проверить адекватность метода КД решаемым задачам, в качестве тестового был выбран простейший случай - эллиптический вихрь Кирхгофа. Для него имеется найденное аналитически решение [8], согласно которому период обращения вихря является функцией отношения большой а и малой Ъ полуосей эллипса: T(hla) = M t. (44) С, Ьа В соответствии с формулой (44) для эллипса с отношением полуосей 1/2 период колебаний границы будет равен Т= 28.4. Наряду с колебаниями границы, тестировалось еще одно свойство системы: движение частиц жидкости в вихре должно происходить в том же направлении, что и направление вращения, но с большей скоростью. Взяв в качестве начального возмущения эллиптический вихрь с а/Ь = \/ 2, мы промоделировали с помощью модифицированного метода КД его эволюцию. Результаты численного эксперимента (рис. 6) показывают, что период обращения, наблюдаемый в экспериментах, совпадает с аналитическим решением Лэмба, при этом отчетливо наблюдается движение частиц на границе: линия, соединяющая первый и средний узлы контура на рис. 6, совершает вращательные движения с вдвое большей скоростью. В работе [57] проводилась диагностика и проверка устойчивости метода КД в его «классической» формулировке, при этом было показано, что на границе контура появляются слабые колебания узлов, рост которых незначителен на рассматриваемых временных масштабах.
Динамика потоков заряженных частиц в магнитном поле
Исследование динамики заряженных нитей, представляющих собой потоки заряженных частиц в однородном магнитном поле, проводилось с помощью метода контурной динамики, который позволяет наблюдать эволюцию, как отдельных нитей так и системы нитей. Динамика заряженных нитей имеет сложный характер и представляет особый интерес при исследовании свойств намагниченной плазмы, удерживаемой в установках термоядерного синтеза или при объяснении явлений в плазме магнитосферы Земли. В работе представлены, главным образом, качественные результаты исследования эволюции системы заряженных нитей в плазме [59]. Начнём исследование динамики заряженных нитей с эволюции одиночных нитей. Зададим начальное возмущение на нити в экспоненциальном виде: р = р0ехр(-х2//2). (48) Рис. 24. Динамика уединённой заряженной нити с ро = 1, /= 1 На рис. 24 и 25 представлены результаты моделирования пространственно-временной эволюции нитей со следующими параметрами: р0 = 1, / = 1,3. Как видно из рисунков, изменение формы нитей носит одинаковый характер в обоих случаях - через определённый промежуток времени образуются возмущенные участки вихревого типа. Время перехода в такой режим зависит от параметра /, т.е. от начальной формы возмущения: чем более плавно изменяется амплитуда первоначального возмущения, тем дольше сохраняется устойчивое состояние. t = 0 t = 100 t = 150 t = 200 t = 250 -x r t = 300 Рис. 25. Динамика уединённой заряженной нити с ро = 1,/=3
На следующей серии рисунков показана эволюции системы двух заряженных нитей с одинаковыми и противоположными знаками заряда р. Общая динамика нитей в случае одинаковых знаков плотности заряда обеих нитей, как видно по рис. 24, не отличается принципиально от эволюции уединённых нитей, но образование вихревых или скрученных участков происходит значительно быстрее. По-видимому, это обусловлено взаимодействием зарядов. 84 t = 0 t = 10 " T t = 20 t = 30 t = 40 t = 50 Рис. 26. Эволюция двух нитей с одинаковым знаком р t-0 t = 5 t = 10 t = 15 t = 20 t = 25 Рис. 27. Эволюция двух нитей с противоположными знаками р На рис. 27 приведены результаты численного эксперимента по исследованию взаимодействия заряженных нитей с противоположными знаками р. В результате взаимодействия нити начинают двигаться в противоположные стороны - происходит их «разбегание» с образованием скрученных участков. Как показали дальнейшие исследование, увеличение числа нитей, изменение амплитуды и величины плотности заряда не приводят к принципиальным отличиям в динамике заряженных нитей. На рис. 28 представлены результаты моделирования системы четырёх нитей с теми же начальными параметрами, что и на рис. 24. Исследование динамики заряженных нитей в однородном магнитном поле в приложении к процессам в магнитосфере и ионосфере
Земли выполнялось с целью изучения влияния возмущений, имеющих различную физическую природу (солнечная активность, магнитные бури, приводящие к нарушению конфигурации (деформации) силовых магнитных линий в области полярного каспа и др.), на распространение потоков заряженных частиц. В результате установлено, что поперечные возмущения скорости потока приводят к его переходу в неустойчивое состояние с образованием складок и сложных вихревых структур. Отметим, что динамика заряженных нитей не ограничивается рассмотренными выше случаями. Интересным на наш взгляд является также вопрос о взаимодействии нитей с противоположными знаками, который требует дальнейшего изучения. Изучение синоптических вихрей в атмосфере и океане важно для повышения качества прогнозов погоды и исследования короткопериодических вариаций климата. Теоретическое исследование синоптических вихрей и изучение их влияния на погоду и климат основываются на современных математических моделях атмосферы, реализуемых на сверхмощной вычислительной технике. Исследование синоптических вихрей в атмосфере и океане также важно для лучшего понимания физических процессов, происходящих в атмосферах других планет. Рассмотрим вопросы приложения результатов, полученных в предыдущей главе, к исследованию вихревых структур в океане, атмосфере и плазме.
Вихревые образования в атмосфере
В атмосфере, равно как и в океане, наблюдается исключительно большое разнообразие волновых и вихревых движений, что обусловлено влиянием сил различного происхождения на динамику атмосферы и океана. С практической точки зрения особый интерес представляют волны синоптического масштаба и связанные с ними синоптические вихри (синоптический масштаб в атмосфере соответствует системам движения, имеющим горизонтальные размеры порядка 100 км и характерное время существования - несколько суток). Синоптические вихри в атмосфере - циклоны и антициклоны - играют первостепенную роль в формировании погодных условий на больших территориях. В океане роль синоптических вихрей велика в формировании климата океана - средних распределений океанографических характеристик и их долгопериодической изменчивости.
В атмосфере крупные вихри возникают во всех частях земного шара, однако лишь во внетропических широтах они отличаются большой мощностью и интенсивностью. Слабое развитие получают циклоны и антициклоны в экваториальной зоне. Вместе с тем вблизи этой зоны возникают и развиваются тропические циклоны (тайфуны, ураганы), которые отличаются от внетропических сравнительно малым диаметром (порядка сотен километров), но значительно большими градиентами давления и скоростями ветра. 4.2.1. Циклоны и антициклоны История развития представлений о механизмах возникновения синоптических вихрей достаточно подробно описана в литературе (например, [69, 95-97]). В настоящее время общепризнано, что основным механизмом зарождения синоптических вихрей в атмосфере является гидродинамическая неустойчивость близкого к зональному атмосферного потока. Заметим, что неустойчивость в геофизической гидродинамике обычно понимается в смысле Ляпунова, который исследовал устойчивость решений систем дифференциальных уравнений относительно возмущений начальных данных. Из различных видов гидродинамической неустойчивости наибольшую роль в процессах крупномасштабного вихреобразования играет бароклинная неустойчивость, то есть неустойчивость атмосферного потока с широтным градиентом температуры (и, следовательно, с вертикальным градиентом скорости ветра) в поле силы Кориолиса. Источником энергии растущих возмущений в таком потоке служит доступная потенциальная энергия. Понятие «циклон» в переводе с греческого означает «кружусь». Это атмосферный вихрь большого масштаба с низким давлением в центре. Воздух в нем вращается в Северном полушарии против часовой стрелки, в Южном - по часовой стрелке. В отличие от циклона в антициклоне в Северном полушарии вращение происходит по часовой стрелке, в Южном полушарии - против часовой стрелки.
Исследование стационарных ВОКП в геофизической формулировке представляет собой важный класс задач динамики стационарных фронтов завихрённости. Результаты моделирования эволюции синоптического вихря циклонического типа, который можно рассматривать как фронт завихренности, представлены на рис. 30. В численных экспериментах качественно воспроизведены наблюдаемые на спутниковых изображениях (справа) деформации вихревого поля. Масштабные соотношения параметров модельных и некоторых реальных вихревых систем приведены в табл. 7 Результаты, полученные нами для взаимодействия вихревых образований с одинаковыми знаками завихренности, можно интерпретировать как взаимодействие пары одинаковых циклонических вихрей в однородном поле на f-штос-кости, описываемых с помощью баротропной модели атмосферы. Результаты были сопоставлены с данными, полученными в работе [98], в которой исследовались изменения угла относительного вращения пары взаимодействующих вихрей вокруг общего центра масс и расстояния между центрами вихрей в процессе эксперимента в зависимости от первоначального расстояния между ними. Торнадо В районе действия циклона часто возникают малкомасштабные вихри. В США, где наиболее часто случается это явление, их называют торнадо, в Европе - тромбами. Над водной поверхностью этот вихрь часто называют смерчем. Так же он называется в регионах, где встречается значительно реже. В раскалённых солнцем пустынях, например, в пустыне Сахаре в Египте, часто наблюдаются песчаные вихри. Быстрое вращательное движение воздуха (до 100 м/с и более) в виде вихря-воронки диаметром до 200м и более создаёт за счёт центробежных сил разрежение воздуха внутри этой воронки. Круговое движение воздуха в стенках воронки и поступательное вверх внутри воронки в обоих случаях ламинарное (слоистое, струйное течение), иначе оно не достигло бы таких больших скоростей. Исследование динамики трехмерных вихревых структур выполнялось в квазидвумерном приближении [99], справедливом в случае, когда вертикальной компонентой скорости частиц допустимо пренебречь, т.е. среда может рассматриваться как плоскослоистая. При этом, исходя из реальных физических условий, характерных для моделируемого объекта, в каждом слое 3D вихря задавалась величина завихренности, а вертикальная его структура определялась физической постановкой задачи. На рис. 31 представлены результаты моделирования эволюции торнадо в рамках квазидвумерного подхода с использованием послойной аппроксимации вихревой структуры системой ВОКП.
При этом исследовалось влияние возмущения, наложенного на ось торнадо, проходящую через центры завихренности плоских слоев 3D объекта, на его динамику. В результате установлено, что малое поперечное возмущение приводит к незначительным колебаниям оси и, в целом, не влияет на структуру и устойчивость вихря. Проблемы формирования и развития вихревых структур в пылевой плазме [100, 101] в последнее время стали актуальными в связи с тем, что пылевая плазма является хорошей экспериментальной моделью для изучения вихревых образований. Теоретический анализ и численные эксперименты [102, 103] показали возможность существования вихревых структур в плазме с градиентом заряда пылевых частиц. Было обнаружено, что вертикальные вихри вращаются с частотой 0.2-1.5 с"1. Эксперименты проводились в аргоне с введением частиц меланина (размер частиц порядка 3 мкм). Во время разряда наблюдалось образование двух вихрей с противоположными знаками завихренности. В работе [104] рассматривается вопрос о механизмах взаимодействия пылевых частиц в плазме. Нами был проведено численное исследование взаимодействия частиц, имеющих ненулевое значение завихренности с вихревой областью большего масштаба. На рис. 33 и 34 представлены результаты такого взаимодействия.
