Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Диалектика философско-эстетического и математического познания 16
1.1. Гармония Мироздания: философско-ретроспективный анализ 17
1.2. «Математическая традиция» в философии и эстетике 38
1.3. Число как философско-эстетическая категория 65
Глава 2. Математика: философско-эстетическии ракурс 78
2.1. Эволюция философского и математического знания в европейской культуре 79
2.2. Философско-эстетическое измерение истины в математике . 115
2.3. Философские аспекты математического творчества 135
Заключение 154
Литература 158
- Гармония Мироздания: философско-ретроспективный анализ
- «Математическая традиция» в философии и эстетике
- Эволюция философского и математического знания в европейской культуре
- Философско-эстетическое измерение истины в математике
Введение к работе
Актуальность исследования обусловлена интеграционными процессами в науке. В истории науки математике всегда отводилось особое место: начиная с Античности с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. На протяжении исторического развития, математическое знание трактовалось как «божественное знание», как чистая деятельность мышления, как строгое и беспристрастное выведение заключений из аксиом и т. д. Математика представляет собой творение человеческого духа, и как один из феноменов культуры подвержена действию эстетических факторов. При рассмотрении эстетических факторов математики необходимо учитывать мировоззренческие и гносеологические аспекты, поэтому в данном контексте более правомерно говорить об философско-эстетических аспектах математического знания. Об философско-эстетических факторах развития математического знания написано много в Античной философии и философии Возрождения. Интерес к этой проблеме вновь возникает в XX в., в частности в философии позитивизма. Существенный недостаток в фундаментальных исследованиях в отечественной философии и эстетики по данному вопросу послужил стимулом к написанию данной диссертации. В работе предпринята попытка проследить взаимосвязь философско-эстетических категорий и понятий математики на протяжении всей истории развития европейской научной мысли, рассмотреть роль научных и философских теорий античных мыслителей, оказавших значительное влияние на своих последователей, и обосновать значимость эстетического взгляда для развития математического знания в целом.
В настоящее время философские и эстетические факторы науки становятся весьма популярной темой исследования. Нельзя отрицать стремление современной философской науки к комплексному осмыслению культуры как социально-духовной целостности. Согласно мнению М.В. Волькенштейна,
«единство науки и искусства - важнейший залог последующего развития культуры. Нужно искать и культивировать то, что объединяет науку и искусство, а не разъединяет их» [31, С.138].
В философской литературе по методологии научного познания несколько неохотно обращались к исследованию социально-культурных факторов, среди которых важную роль играют эстетические ориентиры. Очевидно, сама практика развития научного знания не вынуждала исследователей к более глубокому анализу проблемы взаимоотношения науки и философско-эстетических аспектов. Лишь начиная со второй половины XIX века, с дальнейшим подъёмом в начале XX века, а также на современном этапе возрастает интерес к анализу роли философско-эстетического в науке, в частности, в математике. Высокий интерес научного сообщества к этой проблеме и недостаток в фундаментальных исследованиях по данной теме обуславливают высокую актуальность предмета исследования данной диссертации.
Степень научной разработанности проблемы. В диссертации использована литература по математике, философии и искусствознанию античного периода и средних веков, по проблемам возникновения философии математики Нового времени, по современным тенденциям развития математики и ее приложений, в том числе и в искусствознании, а также литература по вопросам психологии научного творчества и эстетики науки.
В истории развития математики и естественнонаучного знания об окружающем мире, и красоте в явном виде (т. е. говорили, писали, ссылались на неё) в послегалилеевский период обращались создатели новых открытий, новых гипотез, новых теорий: Н. X. Абель, Э. Галуа, Р. Декарт, В. Г. Лейбниц, И. Кант, М. В. Ломоносов, Ч. Дарвин, М. Фарадей, Д. Максвелл, А. Майкельсон, А. Эйнштейн, П. Дирак, А. Пуанкаре, В. Паули, Г. Харди, Г. Вейль, Р. Фейнман, В. Гейзенберг, И. Пригожий, Н. Д. Блохинцев, А. Б. Мигдал, X. Юкава, и многие, многие другие. При этом красоту понимали как гармонию, простоту, симметрию, согласованность, порядок, интуитивную очевидность, ясность, лег
кость восприятия, истину и др. Ряду ученых казалось интуитивно очевидным, что представления о красоте могут выступать в качестве исходного начала, первоисточника при создании гипотез, аксиом, научных открытий. О гармонии и красоте Мироздания, диалектике порядка и хаоса идеи для написания диссертации почерпнуты из работ Пифагора, Платона, Диогена Лаэртского, И. Кеплера, Г. Лейбница, М. Гутцвиллера, И. Пригожина, И. Стенгерс, В. Татаркевича, Дж. Халлиуэлла, В. С. Асмуса, О. В. Буткевича, В. И. Вернадского, А. В. Воло-шинова, Н. Т. Дмитриевой, И. В. Зотова, В. В. Иванова, И. А. Ильина, В. И. Коробко, А. Ф. Лосева, Н. В. Мотрошиловой, М. Ф. Овсянникова, И. Д. Рожанско-го, В. И. Самохваловой, Э. М. Сороко, A. С. Харитонова, С. Н. Шангина, В. П. Шестакова, Е. О. Яковлева.
На протяжении всей истории развития европейской культуры предпринимались многочисленные попытки математического описания и красоты произведений искусства, и гармонии окружающего мира, в том числе и нашими современниками, вносящими посильный вклад в разработку этой тематики. К этой теме обращались Пифагор, Платон, Аристотель, Витрувий, Поликлет, Диоген Лаэртский, Августин, Боэций, Николай Кузанский, Альберти, Л. Пачо-ли, Леонардо да Винчи, А. Дюрер, И. Кеплер, Галилей, Г. Вейль, Е. Вигнер, Д. Пидоу, Х.-О. Патгейн, П. X. Рихтер, Ч. П. Сноу., Г. Е. Тиммердинг, У. Хо-гард, Г. Ф. Хильми, Д. Хэмбидж, Ю. Г. Барабаш, Ю. В. Бромлей, К. П. Бутусов,
A. В. Волошинов, Н. Н. Воробьев, М. Э. Гика, Г. А. Голицин, А. X. Горфункель,
B. П. Григорьев, Г. Д. Грим, К. И. Домбровский, И. А. Евин, О. В. Кириченко, Л. В. Константиновская, В. А. Копцик, А. Ф. Лосев, М. А. Марутаев, Т. М. Махмудов, А. А. Осанов, В. М. Петров, Э. М. Панофский, Ф. А. Пятакович, Б. В. Раушенбах, Э. К. Розенов, Б. А. Рыбаков, Л. А. Сабанеев, В. И. Самохвалова, К. С. Симонян, Ю. Н. Соколов, М. Е. Степанов, И. Ф. Стравинский, В. Н. Топоров, Н. И. Тюленева, О. Н. Ульянова, Ю. А. Урманцев, Е. С. Федер, П. А. Флоренский, П. Л. Чебышев, Л. В. Чхаидзе, В. А. Цуккерман, В.А.Шапошников, И. Ш. Шевелев, И. П. Шмелев, А. В. Шубников, С. М. Эйзенштейн и другие.
Вопросами математического творчества и исследованием роли интуиции и логики в математике в той или иной степени занимались Ж. Адамар, Р. Ари- 0 хейнм, М. Бунге, Г. Вейль, К. Гедель, Д. Гильберт, М. Клайн, Ж. Лакатос,
Д. Пойя, М. Полани, А.Пуанкаре, А. Эйнштейн, В. Ф. Асмус, А. И. Белоусов, В. Э. Войцехович, Ю. И. Манин, С. Ю. Маслов, Г. А. Нуждин, А. С. Родин, Л. Б. Султанова, Е. Л. Фейнберг, И. Р. Шафаревич, В.А.Шапошников, И. М. Яглом и другие.
История развития математического знания, философские основания математики представлены в работах Декарта, Лейбница, Канта, Гегеля, Бурбаки, М. Гарднера, Л. Витгенштейна, К. Кантора, М. Клайна, Ф. Клейна,Оре Остина, X. О. Патгейна, Б. Рассела, П. X. Рихтера, А. Реньи, Д. Стройка, А. Уайтхеда, Г. Фреге, И. М. Яглома, А. Д. Александрова, В. И. Арнольда, В. Ф. Асмуса, А. Г. Барабашева, Е. А. Беляева, В. П. Визигина, В. Э. Войцеховича, П. П. Гайденко, - Б. В. Гнеденко, А. Дальма, Н. И. Жукова, СВ. Игнатова, А. Н. Колмогорова,
А. Н. Кричевца, Н. Ф. Овчинникова, В. Я. Перминова, Г. И. Рузавина, К. Н. Рыбникова, В. А. Стеклова, П. А. Флоренского, А. Я. Хинчина, В. А. Шапошникова.
Для обоснования взаимосвязи красоты математики и научной истины использовались идеи и произведения Платона, Аристотеля, Прокла, Г. Галилея, Ф. Хатченсона, Ю. Вигнера, В. М. Волькенштейна, М. В. Волькенштейна, Л. П. Воронковой, О. А. Габриэлян, В. Гейзенберга, В. В. Глебкина, Д. П. Горского, А. Л. Калантара, Л. Котиной, С. В. Котиной, В. И. Ленина, Ю. И. Мерз-лякова, А. Б. Мигдала, О. П. Мороза, Л. Н. Столовича, С. А. Яновской.
Таким образом, несмотря на давно осознанную и высказанную потребность в раскрытии философско-эстетических аспектов развития математиче-ского знания, выявления взаимосвязи между математикой, философией и эстетикой, такая задача до настоящего времени на уровне диссертационных исследований продолжает оставаться актуальной.
Методологическая основа исследования. Теоретическими источниками диссертационной работы послужили результаты, накопленные в естествознании, эстетики, философии математики, психологии, синергетики, культурологии, истории философии и математики, отечественной философской литературе последних лет.
Работа опирается на философско-методологические принципы отражения, объективности, единства исторического и логического в предметно-практической деятельности. Специфика предмета исследования требует комплексного подхода. Принцип объективности, содержащий требования адекватности и конкретности, совместно с системным подходом позволяет рассматривать историю взаимодействия категорий философии, эстетики и математики. В этом плане, принцип историзма позволяет расширить и углубить как представления об эстетическом в математике, о влиянии принципа красоты на развитие математического знания, так и о роли «математической традиции» в философии и эстетике.
Принцип историзма - это мировоззренческий принцип познания, сочетающий в себе научную сторону, ориентированную на объект, с аксиологической стороной, вовлекающей в познание человеческо-ценностный подход и человеческую деятельность. Сравнительно-исторический подход дал возможность расширить горизонт научного исследования и рассмотреть проблему в процессе ее становления и развития, в связи с конкретными историческими условиями. Задачи исследования поставили необходимость сопоставления философских исследований оснований математики, эстетических категорий красоты и гармонии, понятия истины, а также рассмотрения вопросов психологии математического творчества. Принцип единства исторического и логического дает возможность рассуждать о закономерностях развития математического знания без отрыва от реальной истории и современных тенденций в развитии математики.
Объектом диссертационного исследования является процесс исторического развития математического знания.
Предметом исследования являются философско-эстетические аспекты математического знания.
Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и исследовании взаимосвязи математического и философско-эстетического знания в контексте исторического развития европейской культуры. Задачи исследования:
проанализировать развитие «математической традиции» в философии и эстетике;
провести философско-эстетический анализ исторического развития математического знания;
исследовать философские аспекты математического творчества как познавательного процесса;
проанализировать проблему истины в математическом знании в фило-софско-эстетическом контексте.
Научную новизну настоящей работы определяют следующие,исследовательские результаты:
• проведен философско-эстетический анализ исторического развития математического знания, что позволило сделать вывод о существовании цикличности во взаимодействия и взаимовлияния математики, философии и эстетики в истории европейской культуры;
• проанализированы исторически изменяющиеся представления о гармонии мироздания и показана их тесная связь с математическими понятиями в процессе развития европейской культуры;
• показаны особенности математического знания, математического творчества и математической истины в философско-эстетическом контексте, что привело к постановке новых эвристических задач;
• отражена связь математического знания с философскими дисциплинами на современном этапе развития научного познания.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Результаты анализа взаимодействия и взаимовлияния математики, эстетики и философии в истории европейской культуры. Во времена античности и средневековья вообще нельзя было разделить математику и философию. Примером тому являются Аристотель и Декарт, которым математики обязаны новыми взглядами на логику и на геометрию. В то же время эти ученые создали собственные философские учения, тесно связанные с их исследованиями в области математики. И обратно, их математические результаты базируются на их философских взглядах и в то же время следуют из них.
Затем наблюдается процесс постепенного обособления различных наук: новые идеи возникают в связи с потребностями практики - математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Внушительный вклад в математику был связан с философией эмпиризма. Именно в рамках изучения природных процессов стали разрабатываться методы математического описания движения, изменения, текучести, кривизны, измерения объемов, ставших ключевыми в обосновании дифференциального исчисления. Прагматический характер и эмпирическая правильность результатов часто становился для новой философии решающим аргументом для снятия рациональных запретов в математических исследованиях. Вместе с тем, осторожность и критика со стороны сенсуалистической философии (Беркли) в отношении сомнительных философских «прорывов», послужили началом работы над уточнением и строгим обоснованием оснований новой математики.
В XX в. полностью складывается характер требований, связанных со структурой и строгостью обоснования математических теорий, в формировании которых существенную роль сыграла философия. Математика разрабатывается в рамках узко специализированных отраслей, сложившихся в большинстве к концу XIX в. и постоянно возникающих вновь на границах смежных с математикой областей. Все это порождает необходимость использования философского аппарата, и подтверждает тесную взаимосвязь математики и философии на современном этапе развития научного знания. 2. Результаты исследования влияния философских концепций как отражения мировоззренческих оснований культуры на формирование математических понятий. Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методе математики, специфики ее понятий. Существует тесная зависимость между математикой и философско-эстетическими устремлениями конкретной социально-культурной эпохи. Так, например, именно философско-мировоззренческие основания, первоначально стимулирующие развитие античного математического знания и поднявшие его на небывалую высоту, не позволили ему в дальнейшем развиваться в направлении, открытом позже европейской математикой.
Между эпохами Пифагора и Платона и эпохой Нового времени - простирается почти два тысячелетия. Философия математики за это время не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. В эпоху Галилея, Декарта, Спинозы, Ньютона и Лейбница математика снова вышла на передовые позиции по своему влиянию на формирование философских идей. Но верно и обратное, математический прогресс был обусловлен глубоким изменением философского представления о пространстве и времени. Главная черта новоевропейской математики - ее числовой характер. Если античная математика созерцает, то новоевропейская - вычисляет.
С середины XIX в. развитие математики приобретает интенсивный характер. Математика приобретает универсальный характер и перестает ассоциироваться с отдельной национальной культурой - она становится мировой. С этого времени не внешние условия обуславливают развитие математики, а она начинает обуславливать общественное развитие: начинается всеобщая математизация культурного мира.
Одной из основных черт XX в. становится слияние науки с техникой и производством. Экономические процессы, процессы управления, общественные структуры складываются под непосредственным влиянием математических моделей. Современный этап взаимодействия математики и философии ставит новые задачи (например, философское обоснование проблемы сложности в математике), решение которых позволит плодотворно развиваться каждой из наук.
3. Особенности и роль эпох «кризиса оснований математики» в формировании и закреплении комплекса современной математической науки. Первый кризис оснований математики (V в. до н. э.) был вызван открытием несоизмеримых отрезков, т.е. существованием иррациональных чисел. Второй причиной, способствующей его возникновению, было обнаружение парадоксов бесконечно малых, открытых в школе элеатов (Зенон). Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний. Преодоление этого кризиса стало возможным в результате создания теории пропорций, изложенной в «Началах» Евклида, и создание Архимедом особого метода исчерпывания (прообраз современных теорий интегрирования).
Второй кризис оснований математики был порожден противоречивыми результатами в исчислении бесконечно малых, в силу неудовлетворительного обоснования исходных понятий и принципов. Выход из кризиса был связан с
отказом от представления об актуально бесконечно малой величине, возвратом к идее потенциальной бесконечности. (Теория пределов О. Копій). Третий кризис был спровоцирован чрезмерно свободным оперированием понятием актуальной бесконечности, к которому вернулись с возникновением теории множеств Г. Кантора. Проявлением этого кризиса явилось обнаружение парадоксов (или антиномий) в теории множеств. Что вынудило исследователей обращаться к логическим и семантическим сторонам языка и активизировать внимание на различении понятий «смысл», «значение», «понимание» и т.п.
Каждый из «кризисов оснований математики», кроме того, что имел задачей подвести итог достигнутого и успешно завершить строение комплекса математического знания, затрагивал и философско-эстетические положения на которые оно опиралось.
4. Обоснование тенденции к взаимному сближению математического и фи-лософско-эстетического знания в современных условиях, ведущее в перспективе к обогащению объектов и методов каждой из наук. Взаимосвязь эстетики и математики, достигнув своего наивысшего расцвета в эпоху Возрождения, затем теряет завоеванные позиции. В эстетике развиваются и занимают ведущие позиции новые категории, несвязанные с количественными соотношениями. В эпоху Нового времени, эстетика и математика не оказывают никакого заметного влияния на развитие друг друга. Современная эпоха возродила проблему взаимодействия философско-эстетического и математического познания. Исследование этой проблемы служит не только более глубокому пониманию процессов, происходящих в современном научном познании и тенденций в социально-культурной сфере, но ведет к обогащению объектов и методов каждой из наук, открытию новых граней их соприкосновения и взаимопроникновения.
Изучение математики и ее структур вырабатывает в человеке потребность преодолеть сопротивление между субъективными представлениями и их на учным обоснованием. Процесс формирования и развития понятий о математических структурах в основном должен в сжатом виде воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий. Тогда при изучении математики происходит воздействие не только на разум человека, но и на его эмоциональную сферу, что способствует лучшему восприятию и более глубокому пониманию самого предмета математики.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается характеристика степени разработанности проблемы, показывается ее значение для развития современного научного знания, определяется объект и предмет анализа, цель и задачи исследования, а также логическая структура и методологические подходы к исследуемой проблеме, называются теоретические источники исследования, определяется научную новизну и практическую значимость работы, а также приводятся данные об апробации работы.
Первая глава диссертации «Диалектика философско-эстетического и математического познания» состоит из трех параграфов. Главная задача этой части работы определяется как историко-философский анализ основных философско-эстетических понятий - гармонии и красоты и роли в их формировании математической традиции, идущей от Пифагора.
Вторая глава диссертации «Математика: философско-эстетический ракурс» состоит из трех параграфов. Главная задача этой части работы определяется как философско-эстетический анализ математического знания, выявление эстетических особенностей понятия истины в математике, и рассмотрение принципа красоты как одного из древнейших методологических принципов познания. Математика рассматривается как своеобразный способ теоретического описания действительности; как область знания, имеющая свой особый статус в системе наук.
В заключении подводятся общие итоги исследования, формулируются выводы методологического, теоретического и конкретно-практического характера.
Научно—практическая значимость диссертационного исследования.
Изучение тесной связи философии, эстетики и математики позволяет не только получить более глубокое представление об истории развития европейской культуры, но и углубить представление об отдельных видах научного знания, раскрыть законы, которым они подчиняются, выделить особенности их создания и еще немного приблизиться к раскрытию вечной тайны красоты.
Полученные в ходе работы результаты могут быть использованы для улучшения понимания взаимосвязи и взаимопроникновении философии, эстетики и математики, углубления понятия культурообразующих процессов, способствующих развитию математики. Диссертация может представлять интерес для исследовательской работы в области философии, истории и эстетики математики.
Результаты данной работы могут быть использованы для составления учебных программ, общих и специальных курсов по методологии научного познания; философии, истории и эстетики математики, культурологии.
Апробация работы. Основные идеи диссертации апробированы в докладах на третьей Международной научно-технической конференции «Электроника и информатика - XXI век» (Москва, МИЭТ, 2000 г.), на Межвузовской конференции студентов и аспирантов (г. Сходня Московской обл. 23 апреля 2001 г. - диплом первой степени), на международной научной конференции: «Гуманитарные науки и образование: опыт, проблемы, перспективы» (Тольятти, Татищевские чтения: актуальные проблемы науки и практики. -2004), на 1 межвузовской научной конференции «Образование, наука и общество в XXI веке» (Москва, МИЭТ, Декартовские чтения - 2005). Диссертация обсуждалась на кафедре философии Московского государственного
института электронной техники (технического университета) и рекомендована к защите.
Полученные результаты нашли отражение в научных и методических статьях, тезисах, сообщениях и учебном пособии. Общий объем публикаций по теме диссертации составляет 10,8 п.л.
Гармония Мироздания: философско-ретроспективный анализ
К понятиям красоты, гармонии и совершенства обращались в своих трудах многие философы и ученые Древней Греции. Они рассматривали их и с точки зрения понятий, используемых в математике: симметрия, мера и количественные отношения. Древние греки имели ясное и последовательное представление об окружающем мире как внутренне противоречивом и в то же время едином и гармоничном. Они пришли к выводу о взаимосвязи между различными природными явлениями и процессами и установили отношения, соединяющие элементы природы в одно биполярное целое: макрокосмос и микрокосмос (под макрокосмосом понимают вселенную, мир в целом, под микрокосмосом -человека как отображения, подобия Вселенной). Древним грекам принадлежит идея и первичная разработка математических способов выражения пропорции в строении естественных систем на основе закономерностей структурной гармонии природы. «Начав созидать тело вселенной, Бог творил его из огня и земли. Но хорошо связать только два предмета без третьего невозможно, потому, что в середине должна быть соединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей - та, которая и связуемое и самое себя делала бы именно одним. А свойство производить это наилучшим образом имеет пропорция...» [115, С. 435].
Аналогичные подходы к обобщенному представлению о структурной единораздвоенной определенности окружающего мира характерны для большинства теорий древних народов, в которых сводятся воедино или выделяются из единого небесные и земные начала. Двойственность основ бытия была осознана древнейшими весьма рано, что нашло отражение в мифах и религиозных представлениях: добро и зло, свет и тьма, жизнь и смерть и т.п. Эти противоположности всегда уравновешиваются чем-то третьим, в котором четко просле живается момент сбалансированности разных начал.
Изучение истории эстетическо-философской мысли показывает, что получив многообразное толкование, понятие «гармония» употреблялось многозначно, связываясь с закономерностью устройства мира, нравственностью человека, проблемами познания, принципами строения произведений искусства.
По словам польского эстетика В. Татаркевича: «греческое понятие гармонии, и ее противоположности - дисгармонии - опиралось на наиболее общие понятия порядка и хаоса» [148, С. 123]. Вера в торжество порядка, формирующего и организующего Космос, была путеводной звездой для многих греческих философов в их многотрудных поисках гармонии мироздания.
Гармония, симметрия в окружающем мире воспринимается нами как прекрасное. Они заложены как бы в самом фундаменте материи. Это фундаментальное свойство материи - гармония и симметричность ее структуры - повторяется и в листке дерева, и в строении тела различных животных, и в лице человека. В фундаментальном свойстве мира, в самой его материальности, во всеобщей связи, взаимодействии его явлений заключена природная основа прекрасного. Осваивая мир, люди сообразуют свою деятельность с внутренними его законами, свойствами и опираются на них.
Понятие гармонии неразрывно связано с понятием порядка и упорядоченности. Порядок и неупорядоченность, - объективные свойства действительности. То, что в одной системе выступает как порядок, в другой может вызвать хаос, быть носителем неупорядоченности. Такова же диалектика прекрасного и безобразного, что было подмечено еще в Античности. Более высоко развитая система представляет собой и более высокий тип гармонии.
Эта древняя идея вновь расцвела в современных научных теориях. Согласно современным представлениям космогонической теории Большого взрыва (см., например, [94, 167]), хаос во вселенной царил только первые Ю-43 с. -интервал времени настолько меньший секунды, насколько 1 г вещества меньше массы всей Галактики. В этом хаосе, чей облик просматривается в уравнениях общей теории относительности Эйнштейна, вещество сжато до бесконечной плотности и температуры, в нем исчезают не только свойства вещества, но и пространство и время. Однако уже через КГ43 с. от начала Большого взрыва порядок во Вселенной побеждает хаос. Таким образом, древние космогонические мифы и современные космогонические теории представляются лучшим доказательством единства образного и рационального видения мира.
В конце XX в. обретают второе рождение древние мифы о рождении порядка из хаоса. Еще в 1928 г. английский математик Фрэнк Пламптон Рамсей доказал, что каждое достаточно большое множество элементов произвольной природы - например, звезды на небосклоне - обязательно содержит высоко упорядоченную структуру [195]. Из этого следует, что полная неупорядоченность вообще невозможна: всякий хаос обязательно содержит порядок.
Со времени математических мемуаров 1905 г. А. Уайтхед задумывается над великой пифагорейско-платоновской проблемой соотношения математики и реальности. В популярных работах по математике, Уайтхед определяет математику как «науку о порядке» и соотносит ее с порядком существующим в природе. «Обратим внимание на то, что все события взаимосвязаны. Когда мы видим молнию, мы ожидаем звука грома; когда слышим завывание ветра, ищем волн на море, промозглой осенью падают листья. Повсюду царит порядок-Прогресс науки состоит в наблюдении этих взаимодействий и в терпеливом искусстве обнаружения того, что события постоянно меняющегося мира суть только примеры немногих общих связей или отношений, называемых законами. Видеть общее в особенном и сохраняющееся в преходящем - такова цель научного мышления» [156, С.7]. Поэтому естественно, что законы природы - законы порядка - требуют выражения на языке математики.
«Математическая традиция» в философии и эстетике
Античное представление о прекрасном связано, прежде всего, с соразмерностью и мерой. Чувство меры пронизывало все античное сознание. Измерять и более того, соизмерять, т.е. раскрывать внутренние связи между измеряемыми объектами, - таков был не только образ мышления древнего грека, но и образ его жизни (бесконечные состязания, конкурсы, Олимпийские, Пифий-ские и прочие игры, главная цель которых и была «помериться» силою, ловкостью и талантами).
Понятие меры приобретает эстетико-философское значение уже у Гесио-да: «Меру в словах соблюдаешь и всякому будешь приятен», а одному из «семи мудрецов» - Клеобулу, традиция приписывает афоризм: «Мера - есть наилучшее».
Красота, в понимании Гераклита, относительное свойство. Противоречие -созидатель гармонии и условие существования прекрасного: расходящееся сходится. В единстве борющихся противоположностей Гераклит видит структуру прекрасного. В одном из сохранившихся фрагментов Гераклита говорится: «Скрытая гармония лучше явной», - т.е. эстетическое значение гармонии тем сильнее, чем глубже лежат те противоположности, которые ее составляют.
Среди множества античных моделей числа пифагорейская - основная: именно она послужила основой для позднейших числовых концепций. Подлинно эстетико-философский и естественнонаучный смысл категория меры приобретает в трудах Пифагора. Пифагорейский тезис «все есть число» впервые в истории человечества указал на «математические начала» прекрасного. Конечно,
Пифагор уже отходит от наивного мифологизма древнейших эпох, но в той же мере он еще далек и от превращения мифа в аллегорию, абстракцию или другую самоценную эстетическую условность. Его творчество и эстетика - на границе между мифом и логикой, и все же в каждом своем шаге Пифагор «ощущает почву качественного, пластично-вещественного понимания числа при полной готовности отрешиться от всякой пластики, но опять же на языке некоей фигурности и наглядности» [157]. Таково геометрическое инобытие его чисел. По свидетельству Диодора, Пифагор во время своего путешествия в Египет, научился геометрическим теоремам о числах, но пифагорейцы не усвоили известного Египту нуля и мнимых чисел: это означало бы для них переместиться в область, которую невозможно представить наяву, где от чисел остались бы только цифры и знаки, за которыми не видны вещественные перспективы. Число успокоительно действует на античное сознание и поведение, ибо только оно, как порядок («Космос»), противостоит хаосу и делает бытие сплошь предсказуемым. Греки боялись иррациональных и мнимых чисел, несмотря даже их всепобеждающее любопытство к устройству мира.
Античность не знает необетованных и ненаселенных чисел. Поэтому единственное, что могла античность в лице Пифагора сделать с числом, это: онтологически - представить его в виде парадигмы; гносеологически - осмыслить объектом пластической геометрии; эстетически - прочувствовать, услышать и увидеть в гармонической архитектуре космоса, музыке сфер и отношении тонов, - объявив, таким образом, всю совокупность Бытия и человека в нем -Числом, единым и нерушимым при всех его качественных преобразованиях.
Когда «число» и «цифра для числа» разделились, картина мира лишилась своей вещественной опоры; вся трагедия философского дуализма бытия и мышления начинается здесь, она намечена уже внутри числовой диалектики Пифагора, когда он предложил причинную трактовку монады и диады, а основным стихиям придал геометрические облики и имена. Потребности, какие внутри пифагореизма удовлетворялись этими операциями, были потребностями эстетического порядка: картина мира получала черты художественного произведения и обеспечивающую ее самодвижение числовую динамику и саморазвитие. Мудрая и божественная Единица Пифагора, в которой в свернутом виде представлены все гармоничные возможности самораскрытия бытия. Неопределенная Диада, принимающая на себя все издержки видимого мира (который есть избыточное инобытие Единицы). Триада - пифагорейский синтез начала, середины и конца. Четверка - идеальный квадрат и этический идеал равенства. Семерка - гармоническая опора бытия. И, наконец, совершенная Десятка, которая есть сумма всех линейных, плоских и телесных тел (1+2+3+4) и которая именно в силу своей совершенности есть наиболее убедительное эстетическое самооправдание Космоса. Эта завершенная, как шар, и простая аргументация не могла не производить огромного, ошеломляющего впечатления на мировую эстетическую мысль в течение многих веков [63].
Из оппозиций онтологии, более или менее свободных от мифологии, следует признать «предел / беспредельное». Эта пара понятий, как и апории Зено-на, классический атомизм и геометрия Анаксагора, нуждается в историко-эстетическом комментарии: перед нами - наиболее общая и далеко идущее категориальное понятие числа как двуединого по природе феномена («число» здесь приходится понимать как субстанцию и атрибут одновременно). В связи с этим же получают свое эстетическое наполнение образы и отражения числовой категориальной семьи - пропорции, ритм и т.п. Когда античная мысль, в процессе своего развития, пришла к идее предела, то это означало поворот к проблеме структурности мира. В контексте числовой проблематики это означало постановку вопроса о возможности счисления бытия. Решение которого лишний раз подтверждало актуальность таких качеств наблюдаемой вселенной, как ее симметричность, подчиненность законам пропорциональных соотношений и ритму, готовность выразить себя в геометрическом чертеже и расчете
Эволюция философского и математического знания в европейской культуре
Математика - своеобразный способ теоретического описания действительности; область знания, имеющая свой особый статус в системе наук. Предметом математического описания может стать любой процесс действительности, а объектами этой области знания являются пространственные формы и количественные отношения реальной действительности, в общем случае - абстрактные «математические» структуры, образы.
Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи, Декарт, Лейбниц, Кант -многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов. Это не удивительно: ведь основу взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области; математика же, несомненно, более всего среди точных наук поддается философскому анализу (в силу своей абстрактности). Наряду с этим прогрессирующая математизация науки оказывает активное воздействие на философское мышление. А, по словам В. А. Стеклова: «математика всегда являлась и является источником философии, она создала философию и может быть названа матерью философии» [142, С.137].
Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту и Вавилону. Из дошедших до нас математических документов можно заключить, что в Древнем Египте были развиты отрасли математики, связанные с решением экономических задач. Все известные нам документы Египта, убедительно свидетельствует, что математические познания египтян предназначались для удовлетворения насущных нужд и конкретных потребностей материального производства.
Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, в ней решались задачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившиеся документы показывают, что, основываясь на шестидесятеричной системе счисления, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имелись таблицы квадратных корней, кубов и кубических корней, сумм квадратов и кубов, были известны правила суммирования прогрессий. Встречались задачи, сводящиеся к решению уравнений третьей степени и особых видов уравнений четвертой, пятой и шестой степени (хотя вавилоняне и не знали алгебраической символики).
При сравнении математики Египта и Вавилона нетрудно установить.их общие черты: авторитарность, следование традиции и крайне медленная эволюция знаний. На новом качественном уровне происходит развитие математики в Древней Греции. Математика в Греции развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и, прежде всего в плане логической систематизации.
Первоначально греки занимались математикой, имея одну основную цель - понять, какое место во вселенной занимает человек в рамках некоторой рациональной схемы. Математика помогла найти порядок в хаосе, связать идеи в логические цепочки, обнаружить основные принципы. Это оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в определенном смысле, подчиненным математике.
Познание того времени было несколько ограниченно мифологическим и антропоморфным объяснением природы. На фоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть, где реальное смешалось с мифом, математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны. Греки заметили, что арифметические действия обладают особой очевидностью, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Неудивительно, что в математике греки увидели не просто практически полезное средство, но, прежде всего, выражение глубинной сущности мира, его красоты и упорядоченности, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Они кос-мологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом в своих подходах к эстетическому описанию действительности.
К сожалению, нет первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Существуют тексты Евклида, Архимеда, Аполлония и других великих математиков античности, но в них перед нами уже вполне развитая математическая наука [146]. Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских представлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э.; основными деятелями ее являлись Фалес, Анаксимандр? и Анаксимен. Проанализируем на примере милетской школы основные отличия греческой науки от математики Востока.
Если сопоставить исходные математические знания греков с достижениями египтян и вавилонян, то можно не сомневаться в том, что самые элементарные положения были известны уже в древней математике. Тем не менее, греческая математика уже в исходном своем пункте имела качественное отличие. Ее своеобразие заключается, прежде всего, в попытке систематически использовать идею доказательства. Фалес стремится доказать то, что эмпирически было получено и без должного обоснования использовалось в египетской и вавилонской математике. Возможно, в период наиболее интенсивного развития духовной жизни Вавилона и Египта, в период формирования основ их знаний изложение тех или иных математических положений сопровождалось обоснованием в той или иной форме.
Философско-эстетическое измерение истины в математике
Второй кризис оснований математики относится к концу XVIII - началу XIX в. Он был порожден противоречивыми результатами в исчислении бесконечно малых, в силу неудовлетворительного обоснования исходных понятий и принципов. Бесконечно малые стали рассматриваться не как изменяющиеся величины, а как величины актуальные, что привело к тому, что бесконечность выступает не как процесс, а как результат. Выход из кризиса был связан с отказом от представления об актуально бесконечно малой величине, возвратом к идее потенциальной бесконечности. (Теория пределов О. Коши).
К понятию актуальной бесконечности, как исходного принципа нового обоснования математики, вернулись с возникновением теории множеств Г. Кантора. Но чрезмерно свободное оперирование этим понятием привело в свою очередь к третьему кризису оснований математики. Проявлением этого кризиса явилось обнаружение парадоксов (или антиномий) в теории множеств. Появление парадоксов в теории множеств вынудили исследователей обращаться к логическим и семантическим сторонам языка. Активизировать внимание на различении понятий «смысл», «значение», «понимание» и т.п. 2.2. Философско-эстетическое измерение истины в математике
В системе научных понятий именно истина является тем центральным, целенаправляющим гносеологическим понятием, которому подчиняются, в конечном счете, все применяющиеся в науке способы познания, научная пригодность которых и определяется их истинностью, их способностью служить адекватному отражению объективной реальности. Рассматривая математическое знание и истину под эстетическим углом зрения можно обнаружить более глубокую связь между ними, обусловленную тем, что истина является единственной объективной целью математического творчества, которое содержит в себе эстетический элемент, и без которого не было бы и научной истины, наделенной свойством красоты. Таким образом, понятие «истинность», охватывает собой и результат познания и возможные пути его достижения, и «определяя эстетическое в науке истиной, мы, тем самым, распространяем его и на все научные способы и формы ее постижения» [64, С.7].
Специфика математического подхода к изучению действительности во многом объясняет и особенность критерия истины в математике. В качестве основного фундаментального критерия истинности наших знаний выступает критерий общественной практики. Он является фундаментальным в силу следующих обстоятельств: 1) именно практика является фундаментальной формой связи с окружающей реальностью; 2) при историческом подходе к формированию наших знаний выясняется, что последние возникают как обобщение непосредственной практики (напрямую относится к математике); 3) данные экспериментальной и измерительной практики являются основой развития научных теорий, их обобщения и изменения; 4) проверка ряда гипотез, возникающих в процессе творческого развития науки, осуществляется на основе методов, применение которых опирается на практику [48, С.38]. С критерием истины в частных науках дело обстоит более или менее просто, особенно если не забывать об относительности практики как критерия истины. Как подчеркивал В. И. Ленин: «... критерий практики никогда не может по самой сути дела подтвердить или опровергнуть полностью какого бы то ни было человеческого представления» [84, Т.18, С.145-146]. В математике же критерий истины выступает в весьма своеобразной форме: мы не можем доказать истинность математического утверждения, основываясь лишь на практике. И это объясняется не столько ошибками измерения, которое не может быть идеальным, абсолютно точным, сколько аподиктическим характером математических понятий, формально-дедуктивным выводом теорем математики. Как справедливо подчеркивает Е.Л. Фейнберг [162], критерий практики - суждение, недоказуемое логически, таким образом, интуитивным оказывается уже основное суждение о достаточности опыта, подтверждающего теорию. Критерий практики интуитивен, но это не умаляет, а усиливает его значение.
Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины суждений математики она обычно не выступает. В лекции «О методе теоретической физики» Эйнштейн говорил следующее: «Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является осуществлением того, что математически проще всего себе представить. Я убежден, что чисто математическое построение позволяет найти те понятия и те закономерные связи между ними, которые дают ключ к пониманию явлений природы. Пригодные математические понятия могут быть подсказаны опытом, но ни в коем случае не могут быть выведены из него. Опыт остается, естественно, единственным критерием пригодности некоторого математического построения для физики. Но собственно творческое начало относится к математике» [188, С.64]. Таким образом, только в конечном итоге практика определяет пригодность того или иного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности.
Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого итогового критерия выступает теория арифметики натуральных чисел, положения которой являются незыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь в виду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы. Необходимо заметить, что использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумя другими требованиями - точностью и непротиворечивостью. Удовлетворение этим двум критериям -тоже необходимое условие истинности математических построений. В математических науках процесс обоснования положений, завершается всегда теоретическим доказательством: критерием истины этих положений непосредственно выступает теория.
