Содержание к диссертации
Введение
1 Упругое рассеяние 11
1.1 Свойство волновой функции свободного нерелятивистского электрона 12
1.1.1 Волновое уравнение Дирака 12
1.1.2 Волновая функция Дирака для свободного нерелятивистского электрона 13
1.2 Теория рассеяния Мотта 14
1.2.1 Амплитуда рассеяния 15
1.2.2 Дифференциальное и полное сечения 20
1.3 Метод фазового сдвига 20
1.3.1 Аналитическое решение при малых r 22
1.3.2 Численное решение 24
1.4 Потенциал отдельного атома и “muffin-tin” потенциал 26
1.4.1 Обменный эффект 27
1.4.2 Поляризационный потенциал 27
1.5 Результаты вычисления 28
Выводы по главе 33
2 Неупругое рассеяние 34
2.1 Функция потерь энергии 35
2.1.1 Однополюсное приближение 36
2.1.2 Алгоритм Линхарда–Пенна 37
2.1.3 Алгоритм Мермина–Пенна 38
2.2 Характеристики неупругого рассеяния 41
2.2.1 Обменный эффект 42
2.2.2 Результаты вычисления 43
2.3 Модифицированная формула Бете 48
Выводы по главе 49
3 Моделирование рассеяния электрона методом Монте-Карло в приближении непрерывного замедления 53
3.1 Метод Монте-Карло в приближении непрерывного замедления 54
3.2 Тестовые результаты 56
3.2.1 Коэффициент обратного рассеяния 56
3.2.2 Распределения энерговыделения 59
Выводы по главе 59
4 Применение модели Монте-Карло в низковольтной электронно лучевой литографии 61
4.1 Распределение энерговыделения по глубине 63
4.2 Функция близости 64
4.3 Распределение дозы 67
Выводы по главе 68
Заключение 70
Список используемых источников
- Волновая функция Дирака для свободного нерелятивистского электрона
- Алгоритм Линхарда–Пенна
- Коэффициент обратного рассеяния
- Функция близости
Волновая функция Дирака для свободного нерелятивистского электрона
Научная и практическая ценность работы заключаются в том, что теоретически исследованные в работе сечения рассеяния являются основой для понимания физических процессов переноса электронов в современных электронно-эмиссионных методах анализа поверхности таких, как Оже-спект-роскопия, рентгеноэлектронная спектроскопия, а также понимания электронно-пучковых технологий. Построенные математические модели позволяют вычислить с высокой точностью основные характеристики рассеяния электронов в твёрдых телах, имеющих важное практическое значение как при исследовании наноструктуры, так и при использовании в изучении ЭЛ.
Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, статистические методы расчёта и обработки данных, современные методы вычислительной математики и программирования. Для расчёта дифференциальных и полных сечений упругого рассеяния электронов применялись метод фазовых сдвигов и метод Рунге–Кутта пятого порядка. Для моделирования рассеяния электронов в твёрдых телах использовался метод МК в ПНЗ. Положения, выносимые на защиту:
1. При вычислении сечения упругого рассеяния электронов в твёрдых телах необходимо использовать модель “muffinin” потенциала с включением обменного и поляризационного взаимодействия электрона с атомами в веществе.
2. При неупругом рассеяния электронов малых энергий наибольшая точность в области малых энергий обеспечивается применением диэлектрического подхода, который позволяет сдвинуть нижнюю границу энергии электронов при вычислении тормозной способности и длины свободного пробега электронов в веществе до энергии возбуждения объёмных плазмонов (порядка десяти эВ).
3. Метод МК в ПНЗ может использоваться для вычисления коэффициента обратного рассеяния падающего на мишень пучка электронов с энергией до нескольких сотен эВ, и энерговыделения электронов малых энергий (порядка 2 кэВ) в ультратонком слое резиста (15 нм HSQ) на кремниевой подложке.
Достоверность результатов обусловлена строгим аналитическим обоснованием полученных теоретических положений и обеспечивается сравнением с опубликованными в литературе экспериментальными данными, а также с результатами моделирования рассеяния электронов методом МК.
Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования докладывались на XX и XXI Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2013 и 2014 годы), на XI Российской конференции по физике полупроводников (Санкт-Петербург, ФТИ имени Иоффе, 2013 год), на VI, IX, X, XI и XII Международных семинарах "Физико-математическое моделирование систем" (Воронеж, ВГТУ, 2009, 2012, 2013 и 2014 годы), на смотре-конкурсе научных, конструкторских и технологических работ студентов ВолгГТУ (Волгоград, ВолгГТУ, 2009 год), на 47-й и 48-й внутривузовских научных конференциях ВолгГТУ (Волгоград, ВолгГТУ, 2010 и 2011 годы), на XIII, XV и XVII Региональных конференциях молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, ВолГУ, 2008, 2010 и 2012 годы), на XLVII и XLVIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, НГУ, 2009 и 2010 годы).
Публикации. Научные результаты работы опубликованы в следующих рецензируемых журналах: «Journal of Applied Physics», «Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena», «Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms», «Известия ВолгГТУ. Серия: Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь», а также в сборниках тезисов и материалов конференций. Всего -17 работ, из них 3 статьи в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК РФ, и 3 статьи в международных рецензируемых журналах, индексируемых в базе данных Web of Science и Scopus.
Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 01.04.04 - «Физическая электроника», а именно пункту 1 - «Эмиссионная электроника, включая процессы на поверхности, определяющие явления эмиссии, эмиссионную спектроскопию и все виды эмиссии заряженных частиц», пункту 4 - «Физические явления в твердотельных микро- и наноструктурах, молекулярных структурах и кластерах; проводящих, полупроводниковых и тонких диэлектрических пленках и покрытиях», и пункту 6 - «Изучение физических основ плазменных и лучевых (пучковых) технологий, в том числе модификации свойств поверхности, нанесение тонких пленок и пленочных структур».
Личный вклад автора. В статьях, приведенных в конце автореферата, содержание и реализация математической модели и результаты моделирования [1-3, 6, 7] обсуждались с научным руководителем В.А. Смоляром; научные результаты [4, 5] получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованных источников. Работа из ложена на 83 страницах машинописного текста и включает 18 рисунков, 5 таблиц. Список использованных источников включает 92 наименования на 12 страницах.
В настоящее время теория Мотта [5] широко используется для расчёта характеристик упругого рассеяния электронов на основе решения волнового уравнения Дирака в сферически-симметричном скалярном потенциальном поле отдельного атома. Эта теория позволяет вычислить дифференциальные сечения упругого рассеяния электронов на отдельном атоме, аналитическое приближение атомного электростатического потенциала определяются моделями Томаса–Ферми–Дирака [10] или Дирака–Хартри–Фока–Слейтера [11] и используется численный алгоритм [12]. Однако точность расчётных данных сильно зависит от диапазона энергий падающего электрона. При меньших энергиях необходимо учитывать наложение потенциалов соседних атомов в кристаллической решётке. Однако в литературе почти отсутствуют расчёты упругого рассеяния и поляризации электронного пучка на остовном потенциале атомов в кристаллической решётке.
Целью этой главы является вычисление дифференциального сечения электронов с энергией меньше 30 кэВ с учётом обменного и поляризационного потенциалов в рассеянии в твёрдых телах. И также предложен подход к расчёту фазового сдвига рассеянных сферических волн, на основе теории рассеяния пучка частиц силовым центром, который исходит из решения волнового уравнения Дирака для электрона в сферически-симметричном скалярном потенциальном поле. Сферически симметричное скалярное потенциальное поле атома было рассчитано в приближении Дирака–Хартри–Фока–Слейтера [11]. В расчёте ограничено взаимодействие падающего электрона с атомами вещества сферой Винера–Зейтца.
Алгоритм Линхарда–Пенна
При рассеянии на отдельном атоме, потенциальная энергия электрона V(r) = Vst(r) = —tp(r) предполагается сферически-симметричной, где (f(r) - сферически-симметричный потенциал отдельного атома, вычисленный в релятивистски-инвариантном приближении Дирака-Хартри-Фока-Слейтера (ДХФС) [11], в котором учитывается спин-орбитальное взаимодействие электронов атома атомный номер, значения коэффициентов Ai и с определяются аналитической процедурой подгонки к значениям потенциала, найденным методом самосогласованного поля ДХФС, их значения для элементов от Z = 1 до Z = 92 приводятся в [11]. Потенциал ДХФС дает более точное сечение упругого рассеяния, так как это потенциал происходит от самосогласованных вычислений и, следовательно, более точно описывает атомную структуру Отметим, что здесь и далее используется атомная система единиц, в которой масса покоя электрона ше, постоянная Планка h и элементарный заряд е равняются единице.
Когда атом находится в веществе, потенциал взаимодействия электрона с атомом отличается от потенциала взаимодействия с отдельным атомом вследствие кристаллической структуры. В настоящей работе используется модель “muffinin” потенциал [16] с учётом обменного и поляризационного потенциалов. При вычислении взаимодействие налетающей частицы с атомами вещества ограничено сферой Винера-Зейтца. При этом, потенциальная энергия электрона V(r) определяется выражением
Для вычисления сечений упругого рассеяния была создана программа на языке С с использованием MPI для параллельных вычислений. Модули вычисления функций Лежандра и Бесселя взяты из библиотеки Netlib [22]. Дифференциальное и полное сечения вычислялись по формулам (1.26) и (1.27) с фазовыми сдвигами вычисленннымим по (1.42). Потенциал атома в кристаллической решетке V (r) вычислялся по формуле (1.44) с учетом обменного и поляризационного потенциалов ((1.46) и (1.48)). Поляризационный потенциал (1.48) был добавлен в стандартную “muffinin” модель для улучшения точности сечений при малых энергиях.
На рисунке 1.1 показаны дифференциальные сечения упругого рассеяния электрона с энергией 1 кэВ на атоме алюминии, соответственные значения фазового сдвига перечислены в таблице 1.1. Полученные результаты сравниваются с дифференциальными сечениями, взятыми из работ [23–25]. Из
Дифференциальное сечение электрона с энергией 100 эВ при упругом рассеянии с различными потенциалами: пунктирная линия – Vfr = Vst, пунктир с точками – Vfr = Vst + Vexc, сплошная линия – Vfr = Vst + Vexc + Vpol..
Cu) имеет большая разница в дифференциальных сечениях при малых углов рассеяния, причём отличение не существенно для тяжёлых элементов. Этот эффект особенно важен для выбора компонентов слоя резиста в электронной литографии, а именно: резист должен состоять из лёгких элементов для достижения высокого разрешения, так как в этом случае рассеяния на малые углы увеличивает вклад прямоидущих электронов в энерговыделение и, следовательно уменьшает эффект близости, обусловленный обратным рассеянием электронов.
На рисунках 1.3 и 1.4 сравнены дифференциальные сечения на отдельном атоме и на атоме в кристаллической решётке при разных энергиях электрона. Видно, что при малых энергиях имеет место существенное различие между
Полное сечение электрона при упругом рассеянии: сплошная линия – результаты полученные нами, кружки – опубликованные в работе [25]. Выводы по главе
При вычислении сечений упругого рассеяния электронов малых энергий в твёрдых телах необходимо использовать модель “muffinin” потенциала с включением обменного и поляризационного взаимодействия электрона с атомами в веществе. Учёт этих взаимодействий показывает, что дифференциальное сечение упругого рассеяния электронов в конденсированном веществе при малых энергиях на порядок меньше, чем на отдельном атоме. Глава 2 Неупругое рассеяние
При движении в твёрдых телах электрон теряет свою энергию при неупругих столкновениях с атомами в веществе. Средние потери энергии электрона на единице пути называются тормозной способностью, которая для электронов больших энергий (вблизи энергии К-оболочки и выше) может быть вычислена по известной формуле Бете [28]. Для энергий электронов меньших среднего потенциала ионизации вещества / 13.5Z (эВ) вычисление тормозной способности сталкивается со значительными трудностями, связанными со сложностью коллективных взаимодействий падающего электрона с электронами оболочек атомов и электронами в валентной зоны. При энергии электронов меньшей 5/ формула Бете неприменима. По этой причине формула Бете не используется для вычисления тормозной способности в данной работе. Для вычисления тормозной способности в области малых энергий используется диэлектрический подход [6-8], основанный на экспериментальных оптических данных [9] по коэффициентам преломления и поглощения фотонов в этой области энергий.
Падающий электрон с кинетической энергией Е влетает в кристалл, взаимодействуя с атомами на близком и далёком расстоянии. Это взаимодействие можно описать в терминах диэлектрического формализма с помощью комплексной диэлектрической функции є(к,ш), где к - переданный импульс, си - потерянная энергия. Здесь и далее в этом главе используется атомная система единиц, в которой масса покоя электрона шe, постоянная Планка h и элементарный заряд е равняются единице.
Коэффициент обратного рассеяния
Для вычисления характеристик неупругого рассеяния была создана программа на языке С с использованием MPI для параллельных вычислений. Средняя длина свободного пробега, и тормозная способность угловое распределение дифференциального обратного пробега вычислялись по формулам (2.25), (2.26) и (2.28) с учётом обменного эффекта. Отличая от другими теоретическими вычислениями [29, 30, 39-50], в наших вычислениях использовались выражение (2.29) для определения максимальной потери энергии и алгоритм Мермина-Пенна (2.19) для вычисления ФПЭ.
На рисунке 2.2 показаны тормозная способность и средняя длина свободного пробега неупругого рассеянии для 4 элементов, а численные значения этих величин для 10 элементов перечислены в таблицах 2.1 и 2.2. Из рисунка видно, что при больших энергиях ( 10 кэВ), настоящие результаты хорошо совпадают с другими теоретическими вычислениями [29, 30, 39-50], и также с экспериментальными данными [51-73], а при малых энергий, настоящий результат совпадает с экспериментальными данными лучше, чем результаты других теоретических вычислений. Причина этого может быть связанна с тем, что в настоящей работе используется алгоритм, позволяющий точнее вычислить ФПЭ в области малых энергий, а также вследствие учета обменного эффекта.
Energy (eV) Рис. 2.5: Тормозная способность для 7 соединений: сплошная линия – модифицированная формула Бете (2.34), пунктир с точками – работа [76], символы: (a) и (b) – экспериментальные данные [73], (c)–(f) – работы [82] (кружки) и [41] (квадрат). ванного в предлагаемом нами алгоритме, в котором соединены подходы Мер-мина (мнимая диэлектрическая функция) и Пенна (алгоритм вычисления функции потерь энергии), который позволяет сдвинуть нижнюю границу энергии электронов при вычислении тормозной способности и длины свободного пробега электронов в веществе до энергии возбуждения объёмных плазмонов (порядка десяти эВ). Глава 3 Моделирование рассеяния электрона методом Монте-Карло в приближении непрерывного замедления
Метод МК широко используется для моделирования транспорта электронного пучка через конденсированное вещество и играет важную роль в современных электронно-эмиссионных методах диагностики поверхности, таких как Оже-электронная спектроскопия, рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия, микротомография обратно рассеянных электронов и т.д. Предварительная оценка надёжности предлагаемой модели МК может быть осуществлена путём расчёта коэффициента обратного рассеяния и сравнения полученных результатов с экспериментальными данными и другими реализациями МК.
При построении траектории электронов в веществе, дискретный подход с учётом каждого акта упругого и неупругого рассеяния требует не только мощного компьютера, но и огромного времени расчёта. Применение ПНЗ в МК существенно уменьшает время вычисления. В последнее время алгоритм ПНЗ, в котором потери энергии электронов рассматриваются как непрерывный процесс, широко используется в МК вместо дискретного подхода в случаях когда требуется вычислить усреднённые характеристики переноса электронов, например, распределение выделенной энергии, инжектированного заряда, интегрального коэффициента обратного рассеяния электронов. В этих случая он применяется также как метод тестирования алгоритмов МК (PENELOPE [3], GEANT4 [4]). Надёжность МК симуляции сильно зависит от точности сечения упругого рассеяния. При движении в твёрдых телах электрон рассевается на остовном атомном потенциале, отличающемся от потенциала свободного атома вследствие образования валентной зоны и зоны проводимости при конденсации отдельных атомов в кристаллическое твёрдое тело. В главе 1, мы предложили подход для вычисления сечения при упругом рассеянии электронов в кристаллической решётке с энергией ниже 30 кэВ. Вычисленные по нашей модели сечения упругого рассеяния электронов используется в настоящей работе для моделирования транспорта электронного пучка через конденсированное вещество методом МК в ПНЗ.
Функция близости
Электронно-лучевая литография (ЭЛ) представляет собой гибкий метод печати микросхем на поверхности подложки, которая покрыта тонкой плёнкой резиста. Основное преимущество ЭЛ является то, что она не только может прямо написать схему с суб-10 нм разрешением [2], но и создавать произвольные узоры без маски. Тем не менее это требует много времени, чтобы писать большие и сложные схемы. Эта слабость может быть преодолена с помощью низковольтной ЭЛ в связи с высокой чувствительностью резиста при низких энергиях [85]. Кроме того, проникновение медленных электронов ограничено несколькими нанометрами от поверхности подложки, следовательно, вероятность термического повреждения подложки снижается. Поэтому очень важно, чтобы понять характеристики низковольтной ЭЛ.
Метод МК широко применяется для изучения ЭЛ путём моделирования рассеяния электронов в резисте и подложке. Проникающий в резист, падающий электрон претерпевает ряд актов рассеяния. Из-за своей случайности, этот процесс приводит к нежелательному размыванию. Это явление называется эффектом близости, и является основным фактором ограничивающим разрешение ЭЛ. Чтобы исправить этот эффект, требуется не только знание о процессах переноса электрона в наноструктурах, но и о распределение энерговыделения электрона в резисте в нанометровом масштабе.
В настоящей работе модель МК в ПНЗ применена для определения рас-61 пределения энерговыделения электронов малых энергий в 15 нм слое резиста HSQ на кремниевой подложке. Тормозная способность для HSQ вычисляется по модифицированной формуле Бете (2.34), а для кремниевой подложки используется вычисленные тормозные способности в главе 2. На рисунке 4.1 показаны траектории 50 электронов с начальной энергией 3 кэВ в исследуемой системы. На рисунке 4.2 показаны точки в которых происходят упругие столкновения 10000 траектории электронов, и цвет точки соответствует энергии электрона при столкновении.
Траектории 50 электронов с начальной энергией 3 кэВ, падающих по нормали на поверхность 15 нм HSQ на кремниевой подложке, расстояния по осям измеряются в нанометрах: (a) вид на плоскость XY, (b) вид на плоскость XZ. Рис. 4.2: Точки столкновений 10000 траектории электронов с начальной энергией 3 кэВ, падающих по нормали на поверхность 15 нм HSQ на кремниевой подложке, цвет точки соответствует энергии электрона при столкновении, расстояния по осям измеряются в нанометрах: (a) вид на плоскость XY, (b) вид на плоскость XZ. где а и /3 являются параметрами, описывающими дисперсию прямоидущих и обратного рассеянных электронов, соответственно, ц является коэффициентом обратного рассеяния, который описывает интенсивность обратного рассеяния, множитель 1/V(1 + ц) обеспечивает нормировку 2-7Г /(r)rdr = 1. (4.2)
Знание ФБ необходимо для оценок разрешения ЭЛ, поэтому определение параметров ФБ (а, /3, и г\) очень важно. Параметры ФБ могут быть определены путём аппроксимации функции f(r) по результатам симуляции энерговыделения методом МК.
Хотя форма 2Г показала хорошее согласование с теоретическими и экспериментальными результатами на субмикронном масштабе [87] и вполне достаточна, чтобы понять основной принцип коррекции эффекта близости, но она несколько упрощена и может быть недостаточной в нанометровом масштабе. Несколько предложений [88-90] были представлены в целях повышения точности ФБ. Именно, форма 2Г модифицирована путем добавления в (4.1) третьего гауссиана (форма 3Г [88, 89]) 1 Г Г) г v г
ФБ получена из МК симуляции для точечного источника является идеальным случаем, когда размер электронного пучка равняется нулю. На самом деле, размер электронного пучка зависит от энергии электрона [91] и распределение плотности потока электронов (РПЭ) в пучке может быть описано гауссианом [92]
На рисунке 4.5 показаны распределения дозы вычисленные по формуле (4.10) для точечного массива в ультратонком (15 и 10 нм) слое резиста HSQ на кремниевой подложке при энергии электрона 2 кэВ и диаметре электронного пучка 9 нм [91] с различными шагами: (a) 30 нм, (b) 26 нм, и (c, d) 20 нм. Согласно экспериментальным данным [1] для двух первых случаев (a) и (b), мы определили “cutoff” - пороговую дозу от 0.22 до 0.28 (фК/точка). Площади резиста HSQ с дозой меньше “cutoff” дозы будут удалены в процессе травления. Из частей (c) и (d), видно, что при этом условии точечный массив с шагом 20 нм может быть получен.
Выводы по главе
Сравнение вычисленного энерговыделения электронов малых энергий в 15 нм слое резиста HSQ на кремниевой подложке с опубликованными экспериментальными данными полученными в 2011 г. в MIT (Массачусетский технологический институт) показывает согласие в пределах ошибок эксперимента. Рис. 4.5: Распределение дозы точечного массива в ультратонком (15 и 10 нм) слое резиста HSQ на кремниевой подложке при энергии электрона 2 кэВ и диаметре электронного пучка 9 нм: (a) P = 30 nm, D0 = 2 фК/точка, толщина HSQ 15 нм, (b) P = 26 nm, D0 = 1.5 фК/точка, толщина HSQ 15 нм, (c) P = 20 nm, D0 = 1.5 фК/точка, толщина HSQ 15 нм, (d) P = 20 nm, D0 = 1.5 фК/точка, толщина HSQ 10 нм). ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В итоге диссертационной работы получены следующие основные выводы:
1. При вычислении сечений упругого рассеяния электронов малых энергий в твёрдых телах необходимо использовать модель “muffinin” потенциала с включением обменного и поляризационного взаимодействия электрона с атомами в веществе. Учёт этих взаимодействий показывает, что дифференциальное сечение упругого рассеяния электронов в конденсированном веществе при малых энергиях на порядок меньше, чем на отдельном атоме.
2. При вычислении тормозной способности и средней длины свободного пробега при неупругом рассеяния электронов малых энергий наибольшую точность обеспечивается применением диэлектрического формализма, реализованного в предлагаемом нами алгоритме, в котором соединены подходы Мермина (мнимая диэлектрическая функция) и Пенна (алгоритм вычисления функции потерь энергии), который позволяет сдвинуть нижнюю границу энергии электронов при вычислении тормозной способности и длины свободного пробега электронов в веществе до энергии возбуждения объёмных плаз-монов (порядка десяти эВ).
3. Тестирование предлагаемого алгоритма МК сравнением результатов вычислений с экспериментальными данными по коэффициентам обратного рассеяния, а также с аналитическими вычислениями распределения энерговыделения в бесконечной среде, что метод МК в ПНЗ может использоваться для моделирования рассеяния электронов в твёрдых телах и вычисления коэффициента обратного рассеяния с энергией электронов падающего на мишень пучка электронов до нескольких сотен эВ. 4. Сравнение вычисленного энерговыделения электронов малых энергий в 15 нм слое резиста HSQ на кремниевой подложке с опубликованными экспериментальными данными полученными в 2011 г. в MIT (Массачусетский технологический институт) показывает согласие в пределах ошибок эксперимента.
