Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ методов оценки статической устойчивости 12
1.1. Общие положения 12
1.2. Формирование математической модели 16
1.3. Анализ методов оценки статической устойчивости 17
1.3.1. Косвенные критерии 18
1.3.1.1. Алгебраические критерии 18
1.3.1.2. Частотные критерии 24
1.3.1.3. Оценка статической устойчивости с помощью критериев локатгизатши собственных значений 25
1.3.2. Методы оценки статической устойчивости по полному спектру собственных значений матрицы состояния энергосистемы 29
1.3.3. Методы оценки статической устойчивости на основе решения частичной проблемы собственных значений 33
1.4. Выводы по главе 41
Глава 2. Разработка метода расчета параметров слабозатухающих и незатухающих мод движения энергосистемы на основе решения частичной проблемы собственных значений 44
2 1. Постановка задачи 44
2.2. Анализ свойств первой производной аргумента характеристического многочлена 47
2.3. Разработка алгоритма задания начальных приближений собственных значений по первой производной аргумента характеристического многочлена 56
2.4. Алгоритм расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения 79
2.5. Выводы по главе 81
Глава 3. Разработка алгоритма расчета первой производной аргумента характеристического многочлена 84
3.1 Постановка залачи 84
3.2. Разработка алгоригма рационального выбора узлов интерполирования 91
3.3. Оценка эффективности алгоритма 98
3.4. Выводы по главе ... 104
Глава 4. Применение модифицированного алгоритма упаковки разреженных матриц 106
4.1. Постановка задачи 106
4.2. Модификация схемы упаковки матрицы в виде
4.3. Оценка эффективности упаковки матрицы 120
4.4. Выводы по главе. 124
Глава 5. Развитие методики модального анализа динамических свойств энергосистем высокой размерности 126
51 ООНОИНИР положения 1 ?6
5.2. Определение вектора начальных возмущений 129
5.3. Методика модального анализа динамических свойств энергосистемы 133
5.4. Пример анализа динамических свойств реальной энергосистемы 139
5.5. Выводы по главе 169
Заключение 172
Литература 174
- Оценка статической устойчивости с помощью критериев локатгизатши собственных значений
- Методы оценки статической устойчивости на основе решения частичной проблемы собственных значений
- Разработка алгоритма задания начальных приближений собственных значений по первой производной аргумента характеристического многочлена
- Разработка алгоригма рационального выбора узлов интерполирования
Введение к работе
Актуальность. Для настоящего этапа развития энергетики характерно наличие крупных концентрированных энергосистем, связанных между собой относительно слабыми межсистемными связями. Продолжается создание крупных энергообъединений на уровне национальных и транснациональных энергосистем. Происходит внедрение в энергосистемы нового оборудования, оснащенного современными устройствами автоматического регулирования. Все это приводит к усложнению динамических свойств энергосистем и увеличению размерности задачи анализа и управления режимами энергосистем и, в частности, оценки их статической устойчивости. Затраты труда и машинного ресурса при решении этой задачи непрерывно возрастают. Эти факты определяют необходимость постоянного совершенствования существующих и разработки новых методов анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем.
Одно из перспективных направлений решения указанной задачи представляет модальная теория, предполагающая разложение свободного движения энергосистемы на независимые составляющие движения. Основным понятием модальной теории является понятие моды или формы движения энергосистемы, характеризующейся частотой колебаний, коэффициентом затухания и вектором комплексных коэффициентов распределения амплитуд колебаний во всех переменных состояния. Задача определения параметров мод движения сводится к вычислению всех или интересующей части собственных значений и собственных векторов матрицы состояния линеаризованной математической модели энергосистемы.
Значительный вклад в развитие модальной теории внесли работы И.В. Литкенс, И.А. Груздева, ВА. Баринова и их учеников.
Модальный анализ динамических свойств энергосистемы позволяет решить широкий круг задач управления и функционирования энергосистем, в том числе:
оценка статической устойчивости энергосистемы с учетом самораскачивания,
определение причин неустойчивости или низких демпферных свойств энергосистемы,
выявление «слабых» сечений в энергосистеме,
разработка мероприятий для повышения запаса устойчивости,
построение эквивалентных математических моделей энергосистем.
Для сложной энергосистемы, элементы которой моделируются с высокой степенью подробности, анализ всего спектра мод движения представляет собой достаточно трудоемкий процесс. Формальный подход к анализу динамических свойств не всегда дает удовлетворительные результаты. Для исследователя же обозрение полного спектра параметров! нЗДкол
тельно и может приводить к появлению ошибок и неточностей. Исследование параметров только незатухающих и слабозатухающих мод движения как наиболее важных с точки зрения статической устойчивости энергосистем, существенно сокращает трудозатраты и время, необходимые для анализа динамических свойств энергосистемы, что повышает практическую значимость получаемых результатов.
Цель настоящей работы состоит в разработке метода расчета параметров слабозатухающих и незатухающих мод движения энергосистем высокой размерности и совершенствования методики модального анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем.
Для достижения указанной цели в настоящей работе решаются следующие задачи.
-
Проведение сравнительного анализа существующих методов оценки статической устойчивости и динамических свойств энергосистем и выявление среди них наиболее пригодных для изучения объектов высокой размерности.
-
Разработка метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения на основе решения частичной проблемы собственных значений матрицы состояния линеаризованной математической модели энергосистемы. Ключевым положением при решении этой задачи является разработка эффективного алгоритма задания начальных приближений собственных значений матрицы состояния.
-
Развитие методики анализа динамических свойств энергосистемы, в том числе по параметрам незатухающих и слабозатухающих мод движения. Разработка подхода к выявлению доминирующих мод движения. Разработка численных показателей, позволяющих формализовать и алгоритмизировать методику анализа динамических свойств энергосистемы.
-
Создание программного обеспечения, реализующего разработанные методы и алгоритмы и позволяющего выполнять анализ динамических свойств энергосистем высокой размерности.
Научная новизна. Разработан метод расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения на основе решения частичной проблемы собственных значений, который практически не имеет ограничений на размерность математической модели. В основе метода находится алгоритм задания начальных приближений собственных значений по первой производной аргумента характеристического многочлена матрицы состояния энергосистемы. Указанный алгоритм гарантирует вычисление всех собственных значений, локализованных в исследуемой области плоскости комплексного переменного, и соответствующих им собственных векторов матрицы состояния.
Для вычисления первой производной аргумента характеристического многочлена разработан практический алгоритм приближенного дифференцирования с рациональным выбором узлов интерполирования. Алгоритм выбора узлов интерполирования- МОЖСТ также использоваться при расчете аргумента ха-
рактеристического многочлена для оценки статической устойчивости энергосистемы по критерию Михайлова.
Расширена методика анализа динамических свойств энергосистемы. Предложен новый подход к определению доминирующих мод движения. Предложены численные показатели для формализации методики анализа динамических свойств энергосистем. Разработано программное обеспечение, реализующее предложенные методы и алгоритмы, и позволяющее проводить анализ динамических свойств энергосистем любой размерности.
Методы исследования. При формировании модели энергосистемы использовались методы математического моделирования. При разработке метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения использовались вычислительные методы линейной алгебры, элементы теории автоматического регулирования, методы приближенного дифференцирования. Для повышения вычислительной эффективности разработанных алгоритмов применялась технология работы с разреженными матрицами. Анализ статической устойчивости и динамических свойств энергосистем выполнен на базе модальной теории. Сравнение результатов выполнялось с применением гармонического анализа.
Практическая ценность. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе «OMEGA», предназначенном для анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем. ПК «OMEGA» может быть использован проектными и научно-исследовательскими организациями для оценки статической устойчивости энергосистемы, выявления «узких» мест в энергосистеме, оценки эффективности настройки систем автоматического регулирования, исследования причин возникновения незатухающих и слабозатухающих общесистемных колебаний, в том числе для исследования причин возникновения низкочастотных слабозатухающих колебаний.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на пятой и восьмой международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов (Москва, 1999 и 2002 гг.), первой и второй конференциях молодых специалистов электроэнергетики (Москва, 2000 и 2003 гг.), на заседании ученого совета ОАО «Институт «Энерго-сетьпроект», на заседании кафедры «Электроэнергетические системы» МЭИ.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано пять печатных работ.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 106 наименований, изложена на 195 страницах, содержит 21 таблицу и 44 рисунка.
Оценка статической устойчивости с помощью критериев локатгизатши собственных значений
Точность приведения исходной матрицы к канонической форме (1.18) зависит от ведущего элемента ая-м-і,я-; на каждом /-ом шаге. Для увеличения точности вычислений целесообразно в качестве ведущего элемента выбирать максимальный по модулю элемент в подматрице, образованной строками.
Число операций умножения/деления, необходимых по методу Данилевского, пропорционально п операций, то есть на порядок меньше, чем по методу Леверрье-Фаддеева и неопределенных коэффициентов. Преимущество рассматриваемого метода заключается также в том, что коэффициенты характеристического уравнения определяются одновременно и с одинаковой точностью.
Однако в зависимости от характеристик исходной матрицы А в процессе исполнения метода Данилевского может возникать неустойчивость вычислительного процесса. Если матрица состояния имеет кратные или близко расположенные на плоскости комплексного переменного собственные значения (кластеры), то исходная матрица А и подобные ей матрицы Ви_,- являются очень чувствительными к возмущениям их элементов: малые погрешности при вычислении элементов матрицы Ви_, приводят к большим погрешностям в элементах матрицы Вп.і+і. Таким образом, в процессе реализации метода Данилевского при неоднократном выполнении преобразования подобия накапливается значительная погрешность [71].
На примере матриц состояния 20-ого -І- 498-ого порядка, отражающих математическую модель пяти различных энергосистем (Приложение 2), с помощью программного комплекса «OMEGA» была выполнена оценка области применения рассмотренных методов расчета коэффициентов характеристического уравнения [72, 101, 106]. В таблице 1.1. для каждой из энергосистем показана максимальная размерность матрицы состояния, для которой с помощью каждого из рассмотренных методов коэффициенты характеристического уравнения были вычислены с точностью, достаточной для применения алгебраических критериев.
В рассмотренных примерах точность вычислений по методу Леверрье-Фаддеева и неопределенных коэффициентов оказывается недостаточной для матриц выше 33 и 20 порядка соответственно. По методу Данилевского результаты получены с допустимой точностью для матриц до 150 порядка для схемы 1 и до 50 порядка для схемы 4. Для схем 2, 3 и 5 ни один из методов не позволяет вычислить коэффициенты характеристического уравнения с точностью, достаточной для применения алгебраических критериев. Эти схемы содержат большое количество генераторов с близкими параметрами, что выражается в появлении у матрицы состояния кластеров собственных значений и влияет на точность вычислений.
Если коэффициенты характеристического уравнения найдены с достаточной точностью, предпочтительнее использовать алгебраический критерий Рауса. Этот критерий эффективнее, чем критерий Гурвица, так как число операций умножения/деления в критерии Рауса пропорционально п , а в критерии Гурвица - п4. Кроме того, из-за накопления значительной ошибки округления при исполнении критерия Гурвица определители высокого порядка (более 100) стремятся к нулю, что приводит к невозможности использования этого критерия.
Отсутствие гарантии определения коэффициентов характеристического уравнения с допустимой точностью для матриц высокого порядка ограничивает использование алгебраических критериев для оценки статической устойчивости сложных энергосистем [72, 101].
Частотные критерии (метод D-разбиения, критерий Михайлова) нашли широкое применение в задаче анализа колебательной статической устойчивости и выбора настроек систем автоматического регулирования. Анализ статической устойчивости этими методами включает в себя определение области устойчивости и равного качества демпфирования в пространстве выделенных параметров (метод D-разбиения) и оценку устойчивости области-претендента (критерий Михайлова) [51, 65 - 67, 72 - 73].
Для применения критерия Михайлова необходимо построить годограф Михайлова — кривую, которая вычерчивается на плоскости комплексного переменного концом вектора Dfjco). Вектор D(jco) представляет собой характеристический многочлен, при замене Л najco
В соответствии с рассматриваемым критерием, для устойчивости динамической системы порядка л необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты о от 0 до оо вектор D(jco), начав движение из точки, лежащей на положительной части вещественной оси на плоскости комплексного переменного, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно л квадрантов и повернулся на угол л я/2.
Если результирующий угол поворота вектора D(jco) равен / -я/2, где / п, то система неустойчива. Число корней характеристического уравнения тк, расположенных справа относительно мнимой оси на плоскости комплексного переменного, определяется из соотношения. Критерий Михайлова в принципе не требует предварительного вычисления коэффициентов характеристического уравнения. В этом случае для каждой точки годографа необходимо вычисление детерминанта комплексной матрицы (А -уЪ Е) порядка п. Наиболее рациональным способом вычисления детерминанта матрицы является прямой ход метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Тогда алгоритм, реализующий критерий Михайлова, практически не имеет ограничений на размерность матрицы состояния энергосистемы, связанных с точностью вычислений. Кроме того, имеется возможность эффективно использовать слабую заполненность матрицы (A -jo) E) (см. главу 4).
Трудности применения критерия Михайлова для оценки статической устойчивости энергосистем высокой размерности вызваны высокой трудоемкостью процедуры расчета результирующего угла поворота вектора DQ co), которая обусловлена необходимостью последовательного вычисления угла поворота вектора D(jco) при изменении частоты а от 0 до оо.
Алгоритм, реализующий критерий Михайлова на основе использования матрицы состояния энергосистемы, также реализован в программном комплексе «OMEGA». Для повышения его вычислительной эффективности применяется рациональный выбор точек по частоте, в которых производится расчет аргумента характеристического многочлена (см. главу Зи[101]).
Методы оценки статической устойчивости на основе решения частичной проблемы собственных значений
Сюда относятся метод одновременных итераций (SI-метод) [87], усеченный метод одновременных итераций (LSSI-метод) [88], метод двусторонних итераций с повторной факторизацией (RBI-метод) [89]. Указанные методы также реализованы в программном комплексе «OMEGA». Однако многочисленные расчеты, выполненные для матриц различных порядков с помощью разработанного программного комплекса, показывают, что эти методы успешно работают при числе одновременно вычисляемых собственных значений и соответствующих собственных векторов т 3 [105].
Анализируя рассмотренные методы решения частичной проблемы собственных значений, необходимо отметить следующее.
В основе итерационной процедуры каждого из этих методов лежит решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса. Матрицы коэффициентов систем уравнений сохраняют слабую заполненность исходной матрицы состояния А. Это обстоятельство позволяет для повышения вычислительной эффективности успешно использовать алгоритмы упаковки разреженных матриц. Кроме того, указанные методы практически не имеют ограничений на размерность матрицы состояния, связанных с точностью вычислений.
Для рассмотренных методов характерна зависимость получаемых результатов и скорости сходимости от выбора величины сдвига // (начального приближения собственного значения). На скорость сходимости влияет также выбор начальных приближений собственных векторов. Вычисление всех собственных значений (и собственных векторов), локализованных в интересующей области на плоскости комплексного переменного, например, в правой полуплоскости, является трудоемкой задачей. Основная сложность заключается в том, что расположение собственных значений на плоскости комплексного переменного заранее неизвестно. Поэтому выбор начальных приближений собственных значений оказывается случайным. При этом возрастает вероятность выполнения значительного количества избыточных расчетов или получения неполных результатов. Для гарантии вычисления всех собственных значений в интересующей области необходимо предварительно определить их количество, например, с помощью косвенных критериев статической устойчивости и более точно задавать начальные приближения искомых величин, что потребует дополнительных затрат времени.
По сравнению с методами, базирующимися на решении полной проблемы собственных значений, методы на основе решения частичной проблемы собственных значений обладают тем преимуществом, что практически не имеют ограничений на размерность математической модели. Однако для их надежного и эффективного применения требуется решить проблему неопределенности задания начальных приближений собственных значений.
Сравнительный анализ рассмотренных методов оценки статической устойчивости и динамических свойств энергосистемы, выполненный с помощью разработанного программного комплекса «OMEGA», показал следующее.
Среди косвенных критериев оценки статической устойчивости, выявляющих расположение собственных значений матрицы состояния (корней характеристического уравнения) относительно мнимой оси на плоскости комплексного переменного, наиболее пригодными для исследования энергосистем высокой размерности являются матричный критерий и частотный критерий Михайлова. Первый позволяет определить коэффициент затухания самого «правого» собственного значения матрицы состояния, а второй - количество собственных значений в правой полуплоскости комплексного переменного. Применение алгебраических критериев (Гурвица, Рауса) ограничено в силу отсутствия гарантии получения приемлемых по точности коэффициентов характеристического уравнения при увеличении размерности математической модели энергосистемы.
Наиболее подробную информацию о динамических свойствах энергосистемы позволяют получить методы, решающие полную проблему собственных значений матрицы, то есть вычисляющие параметры всех мод движения. Для поиска собственных значений несимметричных действительных матриц, к классу которых относится матрица состояния энергосистемы, наиболее эффективным является QR-метод. Однако с увеличением размерности математической модели энергосистемы свыше 300 - 500 (по разным публикациям) использование QR-метода наталкивается на вычислительные трудности, связанные в первую очередь с существенной потерей точности. Кроме того, непосредственно QR-метод предназначен для вычисления собственных значений матриц. Расчет правых и левых собственных векторов осуществляется с помощью других методов и представляет собой отдельную дополнительную процедуру.
Ряд методов на основе решения частичной проблемы собственных значений практически не имеет ограничений на размерность математической модели энергосистемы. Эти методы позволяют получить подробную информацию о параметрах интересующих мод движения, например, имеющих коэффициенты затухания не ниже порогового значения, что может являться достаточно представительным результатом.
Основным недостатком указанных методов является необходимость задания начальных приближений собственных значений и собственных векторов. Поскольку расположение собственных значений на плоскости комплексного переменного заранее неизвестно, то выбор их начальных приближений оказывается случайным. Неудачный выбор начальных приближений собственных значений приводит к выполнению избыточных расчетов и/или получению неполных результатов. В частности могут быть вычислены не все собственные значения (и соответствующие собственные вектора) в интересующей области на плоскости комплексного переменного, то есть получены параметры не всех искомых мод движения.
Среди рассмотренных методов решения частичной проблемы собственных значений (метод обратной итерации с постоянным и с переменным сдвигом, RBI-метод, SI-метод, LSSI-метод) наиболее предпочтительным является метод обратной итерации с постоянным сдвигом. Его преимуществом является однозначная связь между выбранным начальным приближением и рассчитанным собственным значением. Этот метод обеспечивает вычисление ближайшего на плоскости комплексного переменного к точке начального приближения собственного значения и соответствующих ему собственных векторов. Разработка оптимального алгоритма выбора начальных приближений собственных значений в методе обратных итераций с постоянным сдвигом позволит получить метод оценки статической устойчивости и динамических свойств энергосистемы, практически не имеющий ограничений на размерность математической модели и дающий достаточно представительный результат.
Разработка алгоритма задания начальных приближений собственных значений по первой производной аргумента характеристического многочлена
В основе разработанного в главе 2 метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения на основе решения частичной проблемы собственных значений лежит метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Матрицу коэффициентов этой системы уравнений составляет матрица состояния энергосистемы, которая, как было отмечено в главе 1, относится к классу несимметричных квадратных матриц и имеет разреженную структуру.
Метод Гаусса используется в алгоритме задания начальных приближений собственных значений по первой производной аргумента характеристического многочлена матрицы состояния А. Определение этой функции (см. главу 3) осуществляется путем неоднократного вычисления детерминанта матрицы (A — jcai). Наиболее эффективным способом вычисления последнего является указанный метод. Кроме того, метод Гаусса применяется при окончательном вычислении собственных значений и собственных векторов по методу обратной итерации.
Изложенные обстоятельства позволяют для повышения вычислительной эффективности программной реализации разработанного метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения применять специальные алгоритмы упаковки разреженных матриц.
Матрица считается слабо заполненной или разреженной, если количество ее ненулевых элементов пнт незначительно по сравнению с их общим числом. В литературе существует несколько определений разреженной матрицы. В соответствии с [96] число ненулевых элементов квадратной матрицы порядка п выражается как пииэ - п1 + г, где параметр у 1. Типичное значение параметра у для разреженных матриц в электротехнических задачах составляет 0,2 [96]. В [97] структура квадратной матрицы характеризуется коэффициентом слабой заполненности (Кс) - отношением числа нулевых элементов к их общему числу:
Например, для матрицы узловых проводимостей, описывающей электрическую сеть, с ростом числа узлов Ка стремится к единице [97]. Вычислительная эффективность алгоритма, оперирующего с матрицей, определяется способом представления матрицы в памяти ЭВМ при его конструировании.
Матрица может быть представлена как регулярный двумерный числовой массив - таблица с заданным количеством строк и столбцов. Число элементов в этом массиве и порядок их хранения в памяти машины строго определены и не меняются при преобразовании матрицы. В этом случае обращение к элементу матрицы не составляет труда, а необходимый объем памяти и число арифметических операций определяются общим количеством элементов матрицы.
Другой способ представления матрицы - одномерный массив ненулевых элементов исходной матрицы. Эти элементы в одномерном массиве записаны в некотором произвольном порядке. При преобразовании массива меняется их общее количество, а также порядок хранения в памяти машины. Обращение к элементу массива, соответствующему определенному элементу исходной матрицы, предполагает выполнение процедуры поиска элемента в массиве. Идентификация элемента производится с использованием необходимой добавочной информации, отражающей однозначное соответствие между элементом массива и элементом матрицы-таблицы. Для облегчения процедуры поиска может быть предусмотрена некоторая дополнительная информация о расположении элементов массива в матрице-таблице. Трудоемкость процедуры обращения к элементу массива определяется подробностью этой дополнительной информации. Число арифметических операций и необходимый объем оперативной памяти ЭВМ пропорциональны числу ненулевых элементов матрицы-таблицы. Такой способ представления матрицы называется упаковкой [96 - 99].
Целесообразность применения упаковки зависит от структуры исходной матрицы и особенностей конкретного алгоритма. Чем выше показатель разреженности исходной матрицы (коэффициент слабой заполненности), тем большая выгода может быть получена от применения упаковки. Однако если в процессе исполнения алгоритм преобразует разреженную матрицу в плотно заполненную, упаковка может отрицательно повлиять на его трудоемкость. Чем меньше ненулевых элементов генерируется в процессе исполнения алгоритма, тем выше вычислительная эффективность алгоритма для упакованной матрицы. В алгоритме, реализующем метод Гаусса, слабая заполненность исходной матрицы сохраняется, что делает целесообразным использование упаковки матриц.
Существуют различные схемы упаковки матриц [96 - 99]. Под схемой упаковки понимается способ организации одномерного массива, содержащего ненулевые элементы матрицы-таблицы, и массивов, содержащих адресную информацию. Конкретная схема упаковки обуславливает трудоемкость базовых операций с одномерным массивом: обращение, удаление и добавление элемента. Каждая из схем упаковки имеет преимущества для матриц определенной структуры (общего вида, симметричных, ленточных, блочных). Для несимметричных квадратных матриц наиболее распространенная схема упаковки - в виде линейного связанного списка с входом по строкам [96, 99].
Разработка алгоригма рационального выбора узлов интерполирования
Для иллюстрации анализа доминирующих форм движения выбраны шесть генераторов, расположенных в разных районах энергосистемы: G1, G7, G14, G16, G21 и G24 (рис П2.2.). В качестве переменных состояния, для которых производится анализ доминирующих форм, приняты скольжения роторов этих генераторов.
Рассмотрены возмущающие воздействия в виде малого изменения мощности турбины генератора. Возмущения поочередно производились в шести выбранных генераторах.
На рис 5.4. и 5.5. в различных масштабах представлены трехмерные диаграммы для скольжений выбранных генераторов (Gl, G7, G14, G16, G21 и G24). На этих диаграммах ось X отражает номера генераторов, в которых производится возмущение момента турбины, и характеризует место возмущения. Номера генераторов на диаграмме соответствуют тем, которые обозначены на рис ГТ2.2. По оси Y отложены номера мод (j— 1, ..., 23), упорядоченных по возрастанию их частот (в соответствии с таблицей 5.2.). Ось Z отражает нормированные значения амплитуд мод движения, которые на рис 5.4. отложены в диапазоне от 0 до 1, а на рис 5.5. - в диапазоне от 0,2 до 1. Таким образом, каждый столбец на диаграмме, отвечающей переменной состояния генератора Axk{t) {к - 1, 7, 14, 16, 21, 24), характеризует амплитуду соответствующей моды движения (/ = 1, ..., 23) при возмущении момента турбины одного генератора (/ = 1, 7, 14, 16, 21, 24). Рис. 5.4. позволяет увидеть соотношение абсолютных амплитуд всех мод движения, а рис 5.5. -только доминирующих мод.
Проанализируем влияние возмущающего воздействия на состав доминирующих мод на примере скольжения генератора G1. Как видно из рис 5.4.а и 5.5.а в зависимости от возмущения доминирующими в скольжении генератора G1 оказываются моды №2 - 5, 8 - 10, 19.
Мода №19(-0,21+j 12,507) оказывается доминирующей только при одном из шести рассмотренных возмущений: когда производится изменение момента турбины рассматриваемого генератора G1. В этом случае указанная мода имеет максимальную амплитуду. При остальных возмущениях она практически не проявляется. Из рис 5.5.6 - 5.5.е следует, что мода №19 не является доминирующей больше ни в одном генераторе.
Мода №8(-0,2+j8,31) входит в состав доминирующих в скольжении генератора G1 также только при одном возмущении: в генераторе G14. Она имеет максимальную амплитуду (см. рис 5.5.а). Из рис 5.5.в видно, что указанная мода оказывается доминирующей в скольжении генератора G14 при возмущениях моментов турбин генераторов Gl, G 14 и G21. Эти генераторы расположены в непосредственной электрической близости друг от друга (см. схему энергосистемы на рис П2.2.).
Относительно низкочастотные моды №3(-0,165+j5,2) и №4(-0,19+j5,81) являются доминирующими при возмущениях в генераторах G21 и G24 соответственно. В отличие от рассмотренных выше мод №19 и №8 эти моды имеют амплитуду соответственно 34% и 52% от максимальной (см. рис 5.5.а).
Моды №9(-0,19+j8,86) и №10(-0,199+j9,07) относятся к доминирующим при двух возмущениях: изменениях моментов турбины генераторов G21 или G24. При этом, как видно из рис 5.4.а и 5.5.а эти моды по сравнению с другими, входящими в состав доминирующих, имеют небольшую амплитуду: от 22% до 31% от максимальной.
Из рис 5.5.а видно, что низкочастотная мода №2(-0,18+j3,64) входит в состав доминирующих при пяти из рассмотренных шести возмущений. При этом указанная мода имеет максимальную амплитуду при возмущениях в трех генераторах: G7, G16 и G24. В остальных случаях (при изменении момента турбины генераторов G14 или G16) амплитуда колебаний на частоте этой моды незначительно меньше максимальной и составляет 81 % и 48 % соответственно. Только при возмущении в генераторе G1 эта мода не является доминирующей в скольжении этого генератора.
Сравнивая рис 5.5.а - 5.5.е можно заметить, что мода № 2 в скольжениях всех рассмотренных генераторов входит в состав доминирующих. При этом в большинстве случаев она имеет максимальную амплитуду колебаний.
Полученные результаты анализа доминирующих мод позволяют сделать следующие выводы. Как правило, число доминирующих мод в конкретной переменной состояния не ограничивается одной. Это означает, что свободный переходной процесс будет иметь сложный многочастотный характер.
Состав доминирующих мод в каждой переменной состояния зависит от возмущающего воздействия. Некоторые моды оказываются доминирующими при возмущениях только в двух-трех генераторах, локализованных в одной части энергосистемы. Другие моды попадают в состав доминирующих при приложении возмущающего воздействия рассматриваемого типа к многим генераторам, расположенным в разных районах энергосистемы.
Как было сказано выше, при заданном векторе возмущений ПК «OMEGA» позволяет реконструировать свободный переходной процесс. Для примера были выбраны возмущения в виде изменения мощности турбины в генераторах G7 и G16. Полученные переходные процессы сравнивались с переходными процессами, рассчитанными при таких же возмущениях численным интегрированием с помощью ПК «MUSTANG».
На рис 5.6. - 5.11 и 5.12. - 5.17. для возмущений в генераторах G7 и G16 соответственно представлены временные зависимости скольжений роторов выбранных шести генераторов (Gl, G7, G14, G16, G21 и G24) в свободном переходном процессе, полученные с помощью ПК «OMEGA» и ПК «MUSTANG»: SOMEGA(t) (рис 5.6.а- 5.17.a) и SMUSTANG{t) (5.6.6-5.17.6).
