Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Оптимальное управление линейным непрерьшным объектом в классе кусочно-постсянных управля ющих воздействий 14
I.I. Постановка задачи 15
1.2 Предварительные результаты 17
1.3. Основное утверждение 28
Глава 2. Адаптивное управление линейным непрерывным объектом в классе кусочно-постоянных управля ющих воздействий 32
2.1. Непрерывный аналог дискретного алгоритма "Полоска" 33
2.2, Адаптивное управление в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий 38
2.3. дискретные самонастраивающиеся системы 50
Глава 3 Предельно-оптимальное адаптивное управление линейными дискретными минимально-фазовыми объектами 60
3.1. Адаптивное управление при отсутствии помехи 61
3.2. Адаптивное управление при наличии помехи 69
Глава 4. Оценивание переходных процессов в адаптивной системе управления в дискретном случае 76
4.1. Схема оценивания переходных процессов.для . объекта управления общего вида 77
4.2. Основные утверждения . 82
Приложение 87
литература 9
- Предварительные результаты
- Адаптивное управление в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий
- Адаптивное управление при наличии помехи
- Схема оценивания переходных процессов.для . объекта управления общего вида
Введение к работе
Для современной теории управления характерно стремление охватить все более широкий круг возникающих прикладных задач* К таким задачам отнрсятся управление энергетическими реакторами [47, 15] , летательными аппаратами [1б] , химическим производством [іб] и т.д. Бурное развитие цифровой вычислительной техники и широкое ее применение в контурах управления технологическими процессами порождает задачи у;зравления смешанного дискретно-непрерывного типа, вызванного дискретным характером функционирования цифровой вычислительной техники и непрерывным характером протекания физических процессов и их математическим описанием [іб] . Вследствие этого актуальными становятся постановки задач управления в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий и исследование даскретных объектов управления (ОУ), которые естественным образом возникают при рассмотрении непрерывных ОУ в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий [54] Задачи управления с подобными ограничениями привлекают значительный интерес исследователей как в СССР, так и за рубежом [15, 17, 40, 53, 63, 67] . Частные вопросы, связанные с этими задачами, рассматривались в работах [Ю, 50, 59] ;
Кроме указанного ограничения сущестззует ряд других практических требований к синтезируемым системам управления. Важным таким требованием является параметрическая устойчивость (стабильность) замкнутой системы. Дело в том, что в непрерывном варианте линейно-квадратичной задачи оптимального управления известно явление параметрической неустойчивости, заключающееся в том, что при малейших возмущениях параметров ОУ или оптимального регулятора замкнутая система может стать не- устойчивой [40] Это явление объясняется тем, что характеристический полином оптимальной системы может иметь степень меньшую, чем соответствующий полином возмущенной системы, поэтому среди "липших" корней последнего может оказаться неустойчивый корень (из правой полуплоскости). Очевидно, регуляторы с таким свойством непригодны для практических целей. Поэтому возникает задача синтеза субоптимальных регуляторов, гарантирующих параметрическую устойчивость (стабильность) замкнутой системы. Исследованию последней задачи посвящено много работ [29, ЗО] , Общим для всех пгреддагаемых способов решения поставленной задачи является то, что синтезируемые регуляторы являются непрерывными (описываются дифференциальными операторами), т.е. при своей реализации требуют привлечения аналоговой техники, В задачах упр;авления, как отмечено в [іб] , "цифровая машина в принципе обладает рядом преимуществ перед непрерывными (аналоговыми) устройствами". При необходимости ограничения управляющих воздействий кусочно-постоянными и применении дШ в управляющей системе простыми и удобными в реализации являются дискретные регуляторы, описываемые разностными уравнениями. Такие регулятор можно получить, например, дискретизацией непрерывных регуляторов по методу Эйлера (аппроксимация производных конечными разностями), но при этом остается открытым вопрос о работоспособности замкнутой системы, В частности, дискретизация паршетрически неустойчивого регулятора может привести к неустойчивой замкнутой системе [ю]
С другой стороны, в дискретном аналоге вышеупомянутой задачи оптимального управления явление параметрической неустойчивости отсутствует, что видно из сравнения определений устойчивости полиномов в непрерывном и дискретном вариантах, к которым сводятся определения устойчивости замкнутых систем управления [40] . Поэтому к решению вышэпоставленной задачи напрашивается естественный подход, состоящий в том, чтобы путем сведения исходной задачи к некоторой дискретной линейно-квадратичной задаче оптимального управления найти регулятор с нужным свойством. Эта последняя задача естественным образом возникает при ограничении управляющих воздействий кусочно-постоянными и рассмотрении переменных убавления в моменты дискретизации управляющих воздействий. При этом остается непростая задача исследования качества управления замкнутой системы, доставляемого полученным регулятором. Если уменьшение шага дискретизации понимать как ослабление ограничения на управляющие воздействия, то при некотором фиксированном правиле выбора регулятора естественно ожидать улучшения качества управления для замкнутой системы. Но существуют постановки задач, где имеет место обратное. Например, в работе [68] показано, что в линейно-квадратичной задаче модального управления (заданное расположение корней характеристического полинома замкнутой системы) при уменьшении шага дискретизации управляющих воздействий значение функционала качества управления становится сколь угодно большим.
Следующее практическое требование возникает при решении задач адаптивного управления, В отличие от задач оптимального управления с полной информацией об ОУ, в задачах адаптивного управления из-за наличия априорной неопределенности об ОУ стандартные цели управления (ЦУ) типа минимизации выхода удается достичь только асимптотически. Но с практической точки зрения не менее важным является малость колебаний переменных замкнутой системы в переходном режиме из-за наличия, например, "упоров" на управляющие воздействия или реальных ограничений на выходы. Задача адаптивного управления с такими ограничениями сложна и до сих пор не решена» В сложившейся ситуации желательно иметь способ получения априорных оценок переходных процессов для синтезированных адаптивных систем, что дает возможность высказать суздение о применимости имеющегося закона адаптивного управления в конкретной ситуации или, другими словами, в некоторых случаях позволяет решать задачу адаптивного управления с ограничениями»
В диссертации рассматриваются задачи, связанные с этими практическими требованиями и изучением {аналогий между алгоритмами управления в непрерывном и дискретном вариантах.
Получены следующие результаты: в линейно-квадратичной задаче оптимального управления со стационарной помехой в наблюдениях и при ограничении управляющих воздействий кусочно-постоянными исследована зависимость значения функционала качества управления от величины шага дискретизации управляющих воздействий, для ОУ специального вида предложен и обоснован непрерывный аналог известных дискретных проекционных алгоритмов адаптации (алгоритмы типа "Полоска"), для непрерывного аналога алгоритмов типа "Полоска" и алгоритма скоростного градиента (самонастройки) обоснована работоспособность замкнутой системы в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий, предложены и обоснованы дискретные 1налоги непрерывных алгоритмов самонастройки и получено точное условие работоспособности алгоритма в терминах, описываюпдах априорную неопределенность об объекте управления, получены эффективные оценки переходанх процессов для одного класса дискретных адаптивных систем, состоящих из ли- нейного ОУ специального вида (минимально-фазовые ОУ в переменных "вход-выход") и алгоритмов адаптации типа "Полоска".
При исследовании линейно-квадратичной задачи оптимального управления в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий используется спектральный метод синтеза оптимальных регуляторов (управленческий аналог метода Винера-Колмогорова), предложенного в [25] и получившего дальнейшее развитие в работе [7] В аналогичной задаче в адаптивном варианте и при исследовании аналогов алгоритмов адаптации систематически используется метод функций Ляпунова,
В главе I рассматривается линейно-квадратичная задача оптимального управления со стационарными помехами» Эта задача имеет обширную литературу, которая отражена в монографиях [8, 17, 19, 26, АО] . В работе [25] іпредложен спектральный метод синтеза оптимальных регуляторов, который можно рассматривать как управленческий аналог метода Винера-Колмогорова по оптимальной фильтрации стационарных процессов 39, 40] Основная трудность в рассматриваемом подходе - факторизация матричных дробно-рациональных функций. Известен и другой подход, сводящийся к решению матричных уравнений Лурье (или уравнений Риккати в нестационарном случае) [і7, 19] , в котором имеются свои трудности. В случае простейшего функционала качества, не зависящего от управляющих воздействий, спектральный метод позволяет, как видно из главы І, в явном виде получить выражения для оптимальных значений функционалов качества в непрерывном и дискретном вариантах, что удобно при исследовании зависимости оптимального значения от шага дискретизации управляющих воздействий. Этим объясняется выбор спектрального метода исследования в главе I.
Рассмотрим следующую линейно-квадратичную задачу оптималь- ного управления при ограничении управляющих воздействий кусочно-постоянными где S - шаг дискретизации управляющих воздействий. Пусть объект управления описывается стационарными уравнениями где СС 6: R - состояние объекта, U є R - управляющее воздействие, К - наблюдение выхода у на фоне стационарной (в широком смысле) центрированной помехи гГ*&) о дробно-рациональной спектральной плотностью. Ставится задача минимизации Т() = ХР^Чъ ^^ Mif^ (и-^оо) в классе линейных стабилизирующих обратных связей 0^ Cv) и к. = 6 О) 5-п. , где М - символ математического ожидания, ;*.- X-fn-S*) ; V -- оператор сдвига: VUh.= Uh-і ; <^> СУ) * fi>> *) - полиномы с вещественными коэффициентами, и^(о)Ф О .Теорема I.I утверждает, что tivn J (ІЇ) ~ % CS"-^ о) , где То - минимум функционала качества управления в оптимизационной задаче без ограничения: d Ш , $ СО - полиномы произвольных порядков. На основании утверждения теоремы 1,1 можно сделать следующие практически важные выводы: предложенный способ управления в классе Us позволяет синтезировать субоптимальные линейные обратные связи с любым уровнем субоптимальности, который обеспечивается выбором достаточно малого шага дискретизации; синтезированная субоптимальная система является пара- метрически устойчивой (стабильной), т.е. при достаточно малых возмущениях параметров ОУ" или регулятора замкнутая система остается устойчивой.
Главы 2-4 посвящены задачам адаптивного управления линейными ОУ. Поясним вкратце необходимые для дальнейшего изложения термины, связанные с адаптивной тематикой. В работах [15, 40 J подробно обсуждаются поеятия "адаптивная система", "адаптивный регулятор" и т.д., приведены их определения. Следуя общим определениям из [АО] , для наших целей дадим упрощенное описание этих понятий.
Согласно общему определению В.А. Якубовича, под адаптивной системой подразумевается система, способная достигать заданной цели управления для любого объекта управления из заданного класса 2 » определяющего неполное знание объекта управления и условий его функционирования. Обычно множество , ~\ представляет собой прямое произведение множества возможных (неизвестных) параметров объекта и множества возможных помех.
Предполагается заданной некоторая цель управления (Ц7)> определяющая желаемое поведение объекта. Обычно W задается в виде неравенств или функционала, подлежащего минимизации. Из-за априорной сильной неопределенности о параметрах ОУ, характеризующей задачи адаптивного управления, стандартными являются ЦУ, зависящие только от асимптотического поведения объекта.
Адаптивным регулятором (или алгоритмом адаптивного управления) называется закон формирования управляющих воздействий, который будучи применен к любому объекту из ^—' , обеспечит выполнение ЦУ. Таким образом, адаптивная система состоит из ОУ и алгоритма адаптивного управления, обеспечивающих выпол- нение заданного ЦУ.
Предварительные результаты
Аналогичная формула для стационарной составляющей последовательности { Уи. 5 имеет вид и устойчивый полином ФаМ определен формулой (I.I6). Д лее для простоты будем предполагать несократимость полиномов Q (X) и ъ(х) (I.I9), что является достаточным условием существования стабилизирующих обратных связей и гурвицевости Q СХ) (1.20). При выполнении этого условия, как будет видно из дальнейшего, при достаточно малых с условие несократимости полиномов оі Сх)ц ь Ск) также выполняется. В нашей задаче важно знать соответствие между корнями полиномов ОД) , ьСх) и их дискретными аналогами d (X) , (к) . Из (I.I4) видно, что если ОГЛ)= Пс-{ (А-Ас) , то СЬь(Х)- П;- (Д-Ае 7. Соответствие между корнями полиномов 6 (Л) и - СЛ) не выражается таким же простым способом. Здесь удается получить только утверждение о предельном характере поведения корней полинома 6 (Л) при - о в зависимости от разницы степеней полиномов OCX) и СА) # Исследование этой задачи содержится в работах Гю, 50, 59] . Ограничимся случаем, когда d&n 00- иг-4 , что эквивалентно усло-вию С 7 О (I.I9). Б этом случае при достаточно малых о chiQ % (х) - d&Q %} Сх) Приведем без доказательства утверждение, которое в близкой форме содержится в боЗ
Пусть С &-ФО Обозначим через jA± , ... , J m-i корни & (Л) . Тогда при достаточно малых S существуют непрерывные функции Iі!І (80 , ... ,J1lm- C5 ) такие, что JH і = km fit Сь) и 8 (exp (rbj\i($))=. о , Ul, m-4 , т.е. полиномы ъ СЛ)и СХ) (так же, как и (3 (А) и QCX) ) имеют одинаковое число устойчивых и неустойчивых корней3 .
2. Дискретизация непрерывной стационарной помехи. Перейдем к вопросу о нахождении спектральной плотности стационарного процесса Лемма 1.2. Пусть ТГО) - стационарный (в широком смысле) процесс со спектральной плотностью (1.2), для которой выполнены условия і) doo=n,a- , f j), a" -. . s; ( 1 22 }
Тогда стационарный процесс {"їГОіЯ)} можно рассматривать как выход устойчивого формирующего фильтра с О)1Ги.= Cv) ( 1.23 ) на вход которого поступает белошумный процесс yh: М к=:0, М = S Передаточная функция формирующего фильтра имеет вид х Напомним, что в непрерывном случае устойчивым называется корень с отрицательной вещественной частью, в дискретном случае - корень из внешности единичного круга. - 21 J ai Ll i } (I-24) причем -fW Sa-cs) =r Sy , J = 4,..., иг, Доказательство леммы I»2.
Будем придерживаться следующей схемы: по передаточной функции 00/clOO фильтра, формирующего процесс тГС«) , найдем ковариационную функцию Rfc) этого процесса. Тогда ковариационная функция 1 процесса {l/Wj определяется по формуле Ти, К ( S) По и. находится спектральная плотность процесса {лГ . , факторизация которой определяет формирующий фильтр (1,23).
. Вычисление оптимального значения функционала качества в непрерывном и дискретном случаях. Для вычисления оптимальных значений с целью последующего сравнения, нам придется изложить ход решения соответствующих оптимизационных задач в непрерывном и дискретном случаях. Изложение в основном следует L7, 40J и основано на спектральном методе синтеза оптимальных регуляторов L25] . В рамках этого метода осуществляется конкретный выбор частного решения при параметризации передаточных функций, что удобно для последующих выкладок. Решение задачи оптимизации приведем только в непрерывном случае. В дискретном варианте ограничимся формулировкой окончательного результата, так как решение аналогично [40] .
Адаптивное управление в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий
Доказанное утверждение дает еще один алгоритм адаптивного управления (2,10) для ОУ (2.1). Легко видеть, что у последнего алгоритма отсутствуют недостатки, перечисленные выше для алгоритма самонастройки (2.8). Но у него имеется существенный недостаток - требование измерения производной OCCt) . Естественный способ преодоления такого рода недостатка - аппроксимация производных конечными разностями. При такой модификации алгоритма адаптации естественным становится дискретный характер функционирования управляющей системы и ограничение управляющих воздействий кусочно-постоянными. Предлагаемый ниже алгоритм использует измерения выхода только в дискретные моменты времени -= hS, что весьма существенно с практической точки зрения [бЗ]
Адаптивное управление в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий
Рассмотрим опять ОУ (2.1) и ограничимся классом кусочно-постоянных управляющих воздействий "[/ = {u(.-fcV U0fc)=UK VeO-S, ( [, 0,1,.., ( 2.21 ) При таком ограничении на управляющие воздействия алгоритм (2.10) естественным образом модифицируется вследствие замены производных конечными разностями: ии. = -0 ОСк, Qo=(0); (2.22) где Хк= 320t). Таким образом, управляющие воздействия формируются по предыстории процесса в дискретные моменты времени fcsn$. Исследуем свойства замкнутой системы (2.1), (2.22)-(2.23) в классе Ug- . Теорема 2.2.
Пусяь выполнены условия теоремы 2.1. Тогда для замкнутой системы (2.1), (2.22)-(2.23) в классе управляющих воздействий Us (2.21) справедливо утверждение: ЦХкІІ+lUvtl — О экспоненциально ( 2.24 ) к — СО и SU.D Sup ( Ц:е + lUwl) «о. (2.25) Доказательство теоремы 2.2. Б классе I/g- величины DC n-S ) в силу (2.1) удовлетворяют разностному уравнению [40] Хк+1 = ЄХр(А ) Хк + Вг ІСк ( 2.26 ) где А Ао Ьт: . Ву=Л еА-іи. (2.27) Если oLtt А = 0 і тогда вектор S определяется согласно формуле [ 40] В Г = ( 21а = 0 "O TTJ ) & , ( 2.28 ) что согласуется с (2.27).
Не умаляя общности, далее будем пользоваться-формулой (2.27) для Bg" Учитывая закон формирования управляющих воздействий Uft.t:-t ЭСи. и (2.27), преобразуем уравнение (2.26): 2 ,= еА?хЛ + Ы u . = (eAV- B rt ) хк + t В ,=[еАІА-1(еА-і)(А-Ао)]сс (2 29) где %,= (t- e f ОСк , А = 1+ А" еЛ -Г} А о.. ( 2.30 ) Согласно (2.30) и (2.27)-(2.28) для Af z о% справедливы представления Ar=I+Ao +At, ВС ГВ+ВІ, (2.31) где матрицы Д., , В І удовлетворяют неравенствам HAiNCoS1, 1В, СЪ1 VsVIcSJ (2.32) при некотором Со , зависящем от S 0 Таким образом, в классе "[/ при обратных связях (2.22) состояние 0У (2.1) OCtfc) в моменты времени И_Г удовлетворяют уравнению ЗСуі+і =/1 + D k; ( 2.33 ) где определено в (2.30), а для А Г и Jb g справедливо -не представление (2,31)-(2,32). Введем функцию W . = ( Н ОСи.У/1} ( 2.34 ) где п определяется согласно (2,14), то есть рассматривается та же функция Ляпунова, что и в непрерывном случае. Тогда в силу уравнения (2,33) для функции W имеем = I \\ \k Bs?JI і II н"1Аг x, II + (2 35, +«н Чул=(x: AJ H АГОСО -Ь І?КІ CB H B Изучим матрицу ЛІНА 5" и скаляр из (2,31)-(2,32) с учетом определения Н (2.14) легко получить дискретный аналог неравенства (2,14). Лемма 2.2. Пусть матрица А& и п удовлетворяют условиям (2.31)-(2,32) и (2.14) соответственно. Тогда V?ne]o, [ g Oi \/Г: Зо, Г0] Ay Н А U-s Н . ( 2.36 ) Доказательство леммы 2.2.
Согласно (2.31) А Н А - Н + (А? Н+НАО + НІ , где Н = AfH Сі Ав + А + АвГ + А И АІ . Тогда Н4/Г- О С5Ч о)на основании (2.32). В силу этого \/&б]о ?[ Э&о - VS4]0,SV1 2($-?)Нб- (2.37) где Н" Х согласно (2.14). Из (2.37), используя (2.14), - 42 последовательно получаем A 0H-HAei-2$H-2f H- %г Следовательно, (А?Н + НА.УМ-2Ш и, прибавляя к обе-им частям неравенства матрицу - , получаем Д Н А г Сі - 2fi S ) Н Но, как легко проверить, при для любого SSO справедливо неравенство 1 -2 f S" (Ч б")2" Поэтому Д Н А г (1-2? 0 Н (4- гн. Лемма 2.2 доказана. Теперь рассмотрим величину (6$ Н Б ) . Так как в силу (2.3D св н BsY/L= [( ь+во н (?& + Е,)]7/І = = S R Ь + В., /Г У Н (В + В /Б" Гд » то на основании B /S"—=»0 ( _ . о) (2.32) существует положительное U± такое, что \/&eJo,S;] (BHBs/\: К , (2.38) Вернемся к (2.35). Используя неравенства (2.36), (2.38), \\ ъ Т и определение Wui, , имеем \л/ ч $ ( /Is Н А зскУл+ IW (Ьг Н БгУ/гч (1-?, к) WL + КІ S" I M Cd-s s") VVK + ( 2Ф39 ) Замечание I. Будем предполагать, что ОСК О V 0 Б противном случае согласно (2.1), (2.22)-(2.23) Xvvi- 0 при т.- И10, где ЭС, =0 и ЦУ" (2.24) выполнена. Теперь изучим алгоритм адаптации (2.23). Введя обозначение - 43 Д ГІ C- w- ( 2.40 ) и учитывая (2.30), (2.31) и замечание I, алгоритм (2.23) можно представить в виде i A -X a D fCA.x WxJ1, (2.41) цуоть v=u4y4 A , г = а вте .(2-42) Тогда (2.41) переписывается в виде AK+i= ,v-Xll.(tn+l )X„I и в силу этого ІІХ Ц2 , - ( 2.43 ) Легко видеть, что при любых к » и. и 6 -Jo,4Ц для числителя дроби из (2.43) справедливо неравенство
Адаптивное управление при наличии помехи
Поскольку u = o - o) , то при достаточно больших К. выполнены неравенства / + g н 6» I «(7 1 » откуда на основании (3.28) следует, что &V \ZCz )=b (W- .При уц-о и достаточно больших И- неравенство (3.28) принимает вид \/СХК+Л «л \ДхО » что и означает экспоненциальную сходимость. Теорема 3.1 доказана.
Из доказательства теоремы 3.1 видно, что экспоненциальную сходимость ) ЭСМ к нулю удается обосновать только при /и - о и, по всей видимости, этот факт не имеет места при jh " о Но при л = 0 алгоритм (3.21) имеет существенный недостаток, проявляющийся при малых \Xw[ и вызванный возможностью деления на "машинный нуль". Учитывая эти замечания и сравнительную простоту алгоритма самонастройки, в задачах адаптивного управления представляется разумным использование комбинированных алгоритмов, состоящих из "Полоски", работающей при больших Joed и l ol f и дискретного алгоритма самонастройки при малых з и ІЯ Т [ Так как алгоритм "Полоска" обеспечивает монотонное убывание т-Т 1 и экспоненциальный характер стремления [х ( к нулю, а работоспособность алгоритма самонастройки зависит от малости начальных данных, то со временем алгоритм "Полоска" обеспечит подходящие начальные условия для дискретного алгоритма самонастройки. Для подтверждения сказанного приведем пример, показывающий лучшую динамику адаптивной системы при применении алгоритма самонастройки.
Если объект подвержен действию возмущающих неконтролируемых возмущений, то, как правило, асимптотическая устойчивость ОУ становится недостижимой ЦУ. В качестве достижимых выдвигаются стабилизационные ЦУ, при этом желательно, чтобы уклонение от нуля выхода ОУ было в том или ином смысле минимальным. Если о возмущении нет никакой априорной информации, кроме указания его предельного уровня, то задачу управления можно ставить в минимаксном варианте (достижение области стабилизации, неулуч-шаемой в классе всевозможных помех с заданным предельным уровнем) . При этом в адаптивном варианте задачи управления достижение этой области может гарантироваться лишь при п - с .
Пусть уравнение ОУ отличается от (3.10) лишь наличием возмущающего воздействия, т.е. асу) --{WKK-К 3-34 Относительно возмущения будем предполагать, что при каждом \Ъ VU.feCv-, ( 3-35 ) где \у 0 - известная константа. Всевозможные последовательности чг0% С% % ../)» Удовлетворяющие (3.34), образуют класс возмущений, который обозначим у . Качество управления будем характеризовать функционалом " иГ)=Ііл ІИ [. 3-36 ) Целью управления является обеспечение неравенства Т(С v, U HR U. oo (3.37) где К - неотрицательная величина, определяющая уровень качества управления. Если все коэффициенты полиномов Q (X) » 6 А) известны, тогда закон управления является оптимальным [40Д в том смысле, что при таком законе SUP Т(Ч, Ы) CV 3.38 ) и.никакой другой реализуемый закон управления.(не использующий знание помехи), не может улучшить величину (3.38). В адаптивном варианте задачи при неизвестных коэффициентах полиномов & СМ » & М алгоритм управления, обеспечивающий замкнутой системе асимптотическое качество, не худшее, чем (3.35), естественно называть предельно оптимальным алгоритмом адаптивного управления. Покажем, что в смысле вышесказанного, для ОУ (3.34) существует предельно-оптимальный алгоритм адаптивного управления. Для ОУ (3.34) с помехой алгоритм управления примем в виде ( U, J IS Lir ( 3#40 ) где JU у/ о і матрицы y r Jv удовлетворяют условию (3.22). При С/ц- - О , т.е. при отсутствии помехи, алгоритм (3.38)--(3.40) превращается в ранее изученный алгоритм (3.21).
Пусть для ОУ (3.34), (3.II) выполнены условия (3.12) и (3.35). Тогда при любом Т , обеспечивающем выполнение условия мшшмально-фазовости (3.15), и произвольных СГ » о для замкнутой системы (3.34), (3.39)-(3.40) справедливы неравенства
K- o Замечание І. В работе _40} рассматривался алгоритм (3.39)-(3.40) с ju - о задачи субоптимального адаптивного управления скалярным ОУ, а в работе з доказывается предельная оптимальность в скалярном случае. Как уже било замечено выше, введение napaivieTpa и -у о существенно с точки зрения практического применения, как и обобщение на многомерный случаи.
Схема оценивания переходных процессов.для . объекта управления общего вида
Обсудим вкратце полученный результат. Величины У\ » и L і входящие в оценки переходных процессов (4.38)-(4.39), не зависят от выбора алгоритма адаптации, а зависят только от априорной информации об ОУ, тогда как ( и ( определяются выбором конкретного алгоритма. Таким образом, о гарантируемом качестве переходных процессов, доставляемых конкретным алгоритмом, можно судить по величинам и ,
Приведем значения d и К для алгоритмов адаптации, рассмотренных в примерах I и 2. Следствие I. Оценки переходных процессов для алгоритма адаптации (4.14)-(4.15) (пример I) лучше, чем для алгоритма (4.21)--(4.22) (пример 2). Действительно, выражения (4.20) и (4.23), определяющие величины Цс , входящие в определения OLCT) И \С(Х) (4.33), показывают, что в примере I А(х) и \L(X) меньше, чем соответствующие величины в примере 2.
Минимально-сразовый ОУ в переменных "вход-выход". До сих пор рассматривался ОУ общего вида (4.1), удовлетворяющий свойствам (4.2)-(4.4), которые существенно использовались при доказательстве теоремы 4.1. Поясним характер сделанных предположений примере объекта, записанного в переменных "вход-выход", подробно рассмотренного в главе 3, и приведем оценки переходных процессов для предельно-оптимальной адаптивной системы. Учитывая специальный вид ОУ в форме "вход-выход", для него можно получить более сильное утверждение о переходных процессах. Пусть ОУ описывается уравнением аСУ) % #U)tU + 1 , ( 4.40 ) где возмущения ТГи, удовлетворяют неравенству 11Г„ L С л с известной константой С - У,0 , а полиномы (X А) и (А) имеют вид (3.II) и удовлетворяют условиям (3 12) и (3.15) (минимально-фазовый ОУ). Тогда введя вектор состояний уравнение ОУ (4.40) можно переписать в эквивалентной форме ЗСИ„= AtoXK Ьки Сі -н , = С ГК) (4.42) где матрицы А (х) , В и С однозначно определены согласно определению вектора и , Легко видеть, что ОУ (4.42) удовлетворяет условиям (4.2)-(4.4).
Действительно, в данном случае иЛи г С U і следовательно, Сцг Сг Условие (4 3) выполняется при &=.1" и =rO , так как в силу условия минимально-фазовости (3.15) матрица Д -Б С устойчива. Здесь Т задается формулой (3.14). Условие (4.4) также выполнено с матрицей F- О , С= с Таким образом, ОУ (4.40) удовлетворяет условиям (4.2)-(4.4) и для него фи= 0CU , к «. , С - С . Подставляя эти величины в алгоритм (4.14)-(4.15), из примера I получаем частный случай алгоритма (3.39)-(3.40), для которого в главе 3 была доказана предельная оптимальность адаптивной системы. Этот алгоритм, как было показано выше, удовлетворяет условиям (4.II)--(4.12). - 86 Таким образом, все условия теоремы 4.1 выполнены и для вектора состояний 0СК (4.41) и Ц справедливо утверждение теоремы 4.1. В данном случае величины, входящие в утверждение теоремы 4.1, упрощаются: Л = кса С [т-Т0( ( fc Kltf Ы 1") , ( 4.43 ) К - С(Г Ко-х ( ( Bf Н(в &( [ ft-?f Над ( 6-СІГ/г) . ( 4.44 ) Сформулируем оценки в исходных терминах и и ии . Теорема 4.2. Дяя предельно-оптимальной адаптивной системы, состоящей из минимально-фазового ОУ (4.40) и алгоритма адаптивного управления (3.39) с параметрами 1с и (U=-0 справедливы неравенства Sup Ы [ ± t v (C ,Cv.WCO, "f Ufel LCjc, где СІ = max ft T0 [ , L = Л ( 1Т-Ъ К ft I ) 9 C"T К и ol определены согласно (4.44), а ? и Л из теоремы 4.1. Для доказательства теоремы 4.2 остается заметить, что Wu входит в вектор Х (4.41), в силу чего /« (- ЭС I , а из неравенства 21 0 и О І-С ІХ -, f If-Го/2- , справедли вого для рассматриваемого алгоритма, следует неравенство уи Cv-1- С ІТ-Го ) . Теорема 4.2 доказана.
При ьг= ... = $г = О получаем простейший минимально фазовый ОУ, и для него легко получить % и И в явном виде (см. (2.90)-(2.91) и доказательство леммы 2.3). Следствие 2. Рассмотрим скалярный ОУ (4.40) при ь ... = е = О. Тогда Л = S , 5 = CS-/) /5 , / С,,. \ Л= fa х /г-Го/) S 2.
Так как существенная часть диссертации была посвящена исследованию минимально-фазовых объектов, здесь уместно привести пример математической модели технологического процесса, обладающего этим свойством» На практике при управлении конкретным технологическим процессом желательно иметь априорную информацию о свойствах модели, описывающей процесс. Важной такой информацией является свойство минимальной фазовости математической модели процесса, при наличии которого в контуре управления уместны, например, алгоритмы, описанные в главе 2. Но при обосновании минимальной фазовости модели возникают нетривиальные алгебраические задачи исследования расположения корней полиномов высоких степеней.
Важным объектом управления является ядерный реактор, задаче управления которым посвящена обширная литература [47, IoQ . Как отмечено в [15] , "с точки зрения математического описания реактор является нестационарным нелинейным динамическим объектом с распределенными параметрами". Для наших целей мы рассмотрим стационарную модель реактора с сосредоточенными параметрами, что приемлемо в задаче стабилизации мощности для достаточно малой активной зоны [15, 47j : мощность в активной зоне; \С - коэффициент размно - 88 жения (управляющее воздействие); Т - среднее время жизни нейтронов; fVi і Т7 - концентрация ядер - источников запаз-дывающих нейтронов и постоянная времени распада для Ь -и группы; P L - доля запаздывающих нейтронов і -й группы; ы -число учитываемых групп запаздывающих нейтронов. Обычно учитывают около 7 групп [15]] .
