Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Алгоритм субоптимального оценивания. Оптимальное преобразование гильбертовых пространств .
1. Оптимальное линейное преобразование гильбертовых пространств 12
2. Уравнения приближенной динамики. Оценка вектора состояния системы 20
3. Уравнения для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации 28
4. Оценка нормы ковариационной матрицы ошиб ки суб оптимальной фильтрации 42
Глава 2. Исследование структуры матрицы оптимального преобразования. Задача с неполной информацией .
5. Оптимальное преобразование вектора со стояния динамической системы в скалярную величину 56
6. Оптимальная матрица преобразования в задачах с неполной информацией 64
7. Субоптимальное оценивание в установившемся режиме 78
Заключение 87
Литература
- Уравнения приближенной динамики. Оценка вектора состояния системы
- Оценка нормы ковариационной матрицы ошиб ки суб оптимальной фильтрации
- Оптимальная матрица преобразования в задачах с неполной информацией
- Субоптимальное оценивание в установившемся режиме
Уравнения приближенной динамики. Оценка вектора состояния системы
Одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории стохастического управления является теория фильтрации или теории оценок. Известны две взаимосвязанные прикладные задачи: оптимальной оценки и опти -мального управления физическими процессами при воздействии случайных возмущений и случайных ошибок в измерительных устройствах. Задача оценки заключается в аппроксимации поведения процесса по данным зашумленных измерений, наи -лучшей в смысле выбранного критерия, имеющего ряд функции от ошибки оценки. Задача управления состоит в определении входных управляющих воздействий рассматриваемого процесса для достижения определенной цели. Эти две задачи объеди -няют близость используемых математических методов, а глав -ное то, что первым шагом при отыскании управления обычно является оценка, то есть для эффективного управления процессом необходимо знать текущее поведение системы.
Теория фильтрации или теория оценок находит широкое применение для решения практических задач, оптимизации в различных отраслях науки и техники [5, 8, 14, 20, 21, 26, 30, 43-48, 53-55, 58, 60, 68, 69, 71, 72 j . Здесь и задачи навигации [5, 14, 54, 55, 46-48] и наведения [ 8 ] , задачи управления высотой полета и анализа данных после полета самолета или космического аппарата f43j , задачи связи и радиотехники Г 26, 60 ] , задачи управления крупномасштабным производством Г 53 1 .
Первые работы, положившие начало современной теории фильтрации, появились еще в сороковых годах. Это были работы Колмогорова [ 24 ] и Винера [96 J , в которых они рассматривали стационарные процессы на бесконечном интервале наблюдений. В случае непрерывного времени полу -чено интегральное уравнение Винера-Хопфа, определяющее весовую функцию фильтра, оптимального в смысле среднеквадратичной ошибки.
В шестидесятых годах появляются работы Калмана и Бьюси [22, 85-87 ] , которые внесли существенный вклад в раз -витие теории оптимальной фильтрации. В этих работах авторы обобщили теорию Колмогорова-Винера на случай нестационарных процессов. В алгоритме фильтрации Калмана для дискретных систем и алгоритме фильтрации Калмана-Бьюси для непрерывных систем -мерный вектор состояния системы задается конечно-разностным уравнением в дискретном случае
Предложенный Калманом алгоритм фильтрации кроме ли -нейности системы (I) - (2) и (Iі) - (2) еще имеет и положительную определенность матрицы НЮ. Существенно также, что возмущения fcT/Уи & fiy являются гауссовскими белыми шумами. Позже рядом авторов [ 29, 32, 33 и др. ] рас -смотрен случай вырожденной матрицы \L ft) . В работах _ 12, 61, 62, 78 J шумы в измерении или состоянии не являются белыми, но генерируются белым шумом. В I 76 J для таких систем предложен метод расширения вектора состояния. В [ 32 J на основании метода регуляризации А.Н.Тихонова [б7 ] рассмотрено обобщение метода фильтрации по Калману-Бьюси в случае белого вырожденного и цветного шумов.
Для нелинейных систем получены алгоритмы нелинейной фильтрации [ 30, 57, 70 и др.] Способ решения задачи нелинейной фильтрации предложен Стратоновичем [ 65 J .Но полученное им уравнение для апостериорной вероятности со -держало неточность. Кушнер [90 J исправил эту неточность. Затем Быоси [ 77 ] доказал этот результат более строгим путем. Основная трудность алгоритмов нелинейной фильтрации, обусловлена решением дифференциальных уравнений в частных производных. Были предложены различные методы решения этих уравнений [ 7, 70, 84 и др. J . Кроме того, попытки непосредственно распостранить методы рекуррентной фильтрации на нелинейные системы натолкнулись на принци -пиальную трудность (_ 90 J , заключающуюся в том, что оптимальный нелинейный фильтр, обеспечивающий минимальную среднеквадратическую ошибку, оказывается бесконечномер -ным, а значит, физически нереализуемым.
Оценка нормы ковариационной матрицы ошиб ки суб оптимальной фильтрации
Алгоритм линейной фильтрации Калмана для дискретных систем и алгоритм фильтрации Калмана-Бьюси для непрерывных систем, изложенные в [ 2, 6, 8, 21, 27, 28, 30, 39, 44, 54, 55, 57, 63 J , требует вычисления матрицы передачи фильтра К ft) , которая определяется соотношением: ковариационная матрица ошибки размерности П. х V\- , удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению Риккати. Как видно из уравнения оптимального фильтра Калмана-Бьюси L 7, 17, 20, 21, 39, 57 J первым этапом на пути численной реализации алгоритма получения оценки является решение уравнения Виккати. Существует мно -го методов решения этого уравнения: метод Рунге-Кутта, метод Адамса, метод Ньютона и его различные модификации
Все эти методы в той или иной степени стра -дают недостатками, такими как переполнение памяти ЭВМ из -за большой размерности вектора состояния, недопустимым за -тратам машинного времени и, кроме того, они имеют тенден -цию к расходимости и не могут решать задачу фильтрации в реальном масштабе времени.
Размерность вектора состояния является главным факто -ром, определяющим требования к ЭВМ в реальном времени. При известных измерениях фильтр, в котором обрабатывается век -тор всех переменных состояния, может потребовать так много вычислительных операций, что фактически удается использовать только часть располагаемых измерений. Все это приво -дит к необходимости поиска оценок состояния системы пусть не оптимальных, но таких, что алгоритм их получения доста -точно просто реализуется в реальном масштабе времени. Следует отметить, может оказаться, что фильтр, в котором ис -пользуется вектор меньшего числа переменных и все измерения, будет оптимальным. Поэтому, фильтры порядка меньшего, чем вектор состояния или фильтры пониженного порядка или субоптимальные фильтры все больше привлекают внимание.
Если уравнения канала наблюдения линейны, то оптимальная система оценки вектора состояния должна иметь ту же размерность, что и объект. Но если этот объект очень сложен и его размерность велика, то задача построения оптимального фильтра или вычисления оптимальной оценки состояния объек -та оказывается далеко не тривиальной. Поэтому с практичес -кой точки зрения важно рассмотреть субоптимальные проце -дуры построения оценок, в которых ограничения наклюдывагот -ся на допустимую сложность системы оценки или на объем необходимых вычислений. Один из подходов к решению этой задачи состоит в том, чтобы воспользоваться декомпозицией вектора состояния на несколько подвекторов [ 2 ] .В этом случае вместо того, чтобы строить оптимальную оценку всего вектора состояния, нужно разбить этот вектор на части и по -строить его субоптимальную оценку, разумным образом объеди -няя оценки, построеннные для каждой из этих частей. Другой подход заключается в построении дополнительного канала на -блюдения, позволяющего расширить число наблюдаемых параметров системы 2, 74, 83, 91 J .В этом случае система оценки распадается на две самостоятельные подсистемы. Первая из них динамическая связанная с наблюдаемым вектором состояния линеным преобразованием. А вторая подсистема представляет из себя дополнительный канал наблюдения, поз -воляющий воспроизвести вектор состояния объекта по измере-. ниям и вектору состояния системы наблюдения. В работах [ 60, 79, 81, 88, 89 J рассмотрено субоптимальное оценивание, где размерность вектора состояния и порядок фильтра одинаковы.
Оптимальная матрица преобразования в задачах с неполной информацией
Субоптимальные фильтры, использующие вектора пониженной размерности, привлекают к себе последнее время все больше внимания ( 16, 40-42, 64,70,80, 82, 93, 94, 97 ] . Это и понятно, так как размерность вектора состояния глав -ным образом определяет требования к ЭВМ в реальном масштабе времени, как это уже было отмечено выше. В работе [ 95 } рассматривается задача оценивания некоторого подпространства состояний. Исследование фильтра минимального порядка при дискретных измерениях выполнено в работах [15,40-42, 75,92,94 J . В[40) предложен метод синтеза субопти -мального фильтра заданного порядка для оценки состояния в линейных непрерывных и дискретных динамических системах, в работах [ 41,42 ] этот метод распостраняется на динами -ческие системы, заданные стохастическими дифференциальны -ми уравнениями, при условии что в дискретные моменты вре -мени наблюдается вектор компонента которого есть линей -ная комбинация компонент вектора состояния динамической системы. При этом задача понижения порядка системы решается на основе критерия наилучшего приближения исходной си -стемы системой меньшей размерности, независимо от задачи синтеза оценки для системы пониженной размерности. В рабо -те [ 16 ] изложена задача синтеза субоптимальных фильтров пониженного порядка на основе критерия, характеризующего качество получающихся при этом оценок. В работах С 49, 73 - 9 -предложен субоптимальный алгоритм оценивания состояния и параметров нелинейных дтнамических систем.
В известной нам литературе, где рассматривается задача построения фильтра пониженной размерности для модели (Iі)-(2), позволяющая значительно сократить объем вычис -лений по сравнению с обычным фильтром Калмана, как прави -ло, не рассматривается вопрос об оптимальном выборе преоб -разования вектора состояния ссС-Ь)ъ вектор пониженной раз -мерности. Влияние оптимального преобразования на вычисление ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации не исследовано. Нет оценок нормы ковариационной матрицы ошибки.
Поэтому представляется актуальным рассматривать вопрос об оптимальном преобразовании вектора состояния в век -тор меньшей размерности, выявить влияние этого преобразова -ния на алгоритм вычисления ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации, получить оценку нормы кова -риационной матрицы.
Цель данной работы состоит в построении для систе -мы (I )-(2) алгоритма субоптимальной фильтрации с уче -том оптимального в смысле среднеквадратического критерия качества, преобразования вектора состояния в вектор пониженной размерности, получении операторных уравнений для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации; применение полученного алгоритма к задачам с неполной ин -формацией; нахождение оценки нормы ковариационной матри -цы ошибки субоптимальной фильтрации, позволяющей судить об эффективности предлагаемого метода.
Поставленная задача решалась с использованием тео -рии матриц fl, 4, 10 ] , теории устойчивости [ 13, 19,J теории обыкновенных дифференциальных уравнений (7 13, 18, - 10 -34, 50 ] , теории случайных процессов [ II, 51, 52, 56 J , функционального анализа [ 3, 23, 25, 66 J . Работа состоит из введения, двух глав (7 параграфов), заключения, списка литературы (97 наименований) и с одер -жит 102 страницы машинописного текста.
Во введении проведен обзор работ по теории оптимальной и субоптимальной фильтрации, показана актуальность исследований для задач теории и практики.
Субоптимальное оценивание в установившемся режиме
Работа состоит из введения, двух глав (7 параграфов), заключения, списка литературы (97 наименований) и с одер -жит 102 страницы машинописного текста.
Во введении проведен обзор работ по теории оптимальной и субоптимальной фильтрации, показана актуальность исследований для задач теории и практики.
Первая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе построен алгоритм субоптимальной фильтрации на осно -ве оптимального линейного преобразования гильбертова про -странства в гильбертово пространство меньшей размерности. Оптимальность понимается в смысле среднеквадратического критерия качества. В I рассматривается линейное преобра -зование, понижающее размерность вектор-функции как элемен -тов гильбертова пространства. Получено необходимое условие оптимальности для матрицы такого преобразования. В качестве обратной матрицы к матрице оптимального преобразования, понижающего размерность вектора, выбрана псевдообратная матрица. На основе линейных операторов в 2 найдены уравнения приближенной динамики системы (1)-(2) и построен алгоритм субоптимального оценивания в случае оптимального преобразования вектора состояния. Уравнения для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации при оптимальной матрице преобразования понижающего размерность вектора получены в 3. В 4, на основании неравенства Важевского {_13 J , для каждого момента времени Т получены оценки нормы ковариа -ционной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации и ряда других матриц ее определяющих, в том числе оценка по норме матрицы передачи фильтра Калмана. Здесь же рассмотрен случай стационарных, ассимптотически устойчивых динамических систем и найдены численные оценки по норме соответствующих матриц в этом случае.
Вторая глава работы состоит из трех параграфов. В этой главе проведены исследования оптимальной матрицы преобразования, понижающего размерность вектора состояния динамической системы. В 5 рассмотрена матрица-строка ("V оптимального преобразования вектора в скаляр. Показано, что ковариационная матрица ошибки субоптимальной фильтрации зависит при любом фиксированном L . Здесь /Х- - число элементов строки C-/t/ . Использование субоптимального алгоритма в задачах с неполной информацией рассмотрено в 6. Под неполной информацией здесь понимается недостаток информации или вообще ее отсутствие об исходных данных, то есть вектор состояния динамической системы измеряется частично. В таких задачах оценка строится не всего вектора состояния, а лишь его части. Здесь же приведено несколько частных случаев и выявлена структура матрицы оптимального преобразования oiH) в зависимости от структуры ковариационной матрицы состояния системы. Последний параграф (7) главы 2 посвящен субоптимальной оценке в случае постоянной матрицы оптимального преобразования, понижающего размерность вектора состояния в установившемся режиме. Рассматривается конкретный пример.
В главе получено условие оптимальности для матрицы линейного преобразования гильбертова пространства, пони -жающего размерность вектора состояния. Критерием оптимальности служит среднеквадратичеекий критерий качества.
Построен алгоритм субоптимального оценивания (фильтрации). Для непрерывного и дискретного случая получена система линейных дифференциальных (разностных) уравнений, определяющих ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации.
Преобразование (І.І.2) представляет собой линейное отображение элементов гильбертова пространства &1 п, в гильбертово пространство 5гм- при помощи матрицы « ft). Очевидно, что преобразование (I.I.2) не является взаимо -однозначным и в пространстве ЗпС/t, существует множество элементов СС ЛУ , удовлетворяющих уравнению (І.І.2).
