Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Исследование многоэтапных стохастических задач принятия решений 8
1. Многоэтапные задачи принятия решений 8
1.1. Постановка одноэтапной стохастической задачи принятия решений 8
1.2. Общая постановка многоэтапной задачи принятия решений в условиях неполной информации с априорными решающими правилами 11
1.3. Многоэтапная задача с вероятностными ограничениями 16
1.4. Многоэтапная задача с вероятностным функционалом 20
2. Полубесконечномерные аналоги для многоэтапных стохастических задач принятия решений 22
2.1 Многоэтапные модели с вероятностными ограничениями 22
2.2 Существование полубесконечномерного аналога для М-модели 27
2.3 Существование полубесконечномерного аналога для Р-модели 32
2.4 Единственность полубесконечномерного аналога для М-модели и Р- модели 37
ГЛАВА 2. Исследование многоэкстремальных и многокритериальных задач принятия решений 44
3. Многоэкстремальные задачи стохастического программирования 44
3.1 Постановка задачи 44
3.2 Существование решений многоэкстремальной задачи 47
4. Метод эталонных уровней в многокритериальной оптимизации 54
ГЛАВА 3. Прикладные математические модели принятия решений 62
5. Математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона 62
5.1 Особенности финансово-хозяйственной деятельности энергоснабжающей организации в условиях естественной монополии 62
5.2 Планирование расходной части бюджета энергоснабжающей организации 63
5.3 Планирование доходной части бюджета энергоснабжающей организации 70
5.4 Многоэтапные модели принятия решений с априорными решающими правилами - Л-модель, Р-модель 75
5.5 Детерминированные аналоги для многоэтапных моделей управления тарифной политикой в условиях неполной информации 78
6. Задача экспорта природного газа ОАО «Газпром» 80
Заключение 83
Литература 84
Приложения 92
- Общая постановка многоэтапной задачи принятия решений в условиях неполной информации с априорными решающими правилами
- Единственность полубесконечномерного аналога для М-модели и Р- модели
- Метод эталонных уровней в многокритериальной оптимизации
- Многоэтапные модели принятия решений с априорными решающими правилами - Л-модель, Р-модель
Введение к работе
В последние несколько десятилетий отмечается заметное развитие математической теории принятия решений, связанное с именами К. Эрроу, Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна, П. Фишберна, Л. Саваджа, Д. Паккарда, Л. Заде, Р. Беллмана, Д. Б. Юдина и многих других. В последние годы были получены существенные результаты в области исследования стохастических задач принятия решений в условиях риска и неопределенности [1, 24, 54, 63, 72], многокритериальных задач [12,42,43,46, 58, 78].
Данная работа является попыткой продолжить исследования в области теории принятия решений в условиях неполной информации.
Актуальность темы исследования.
Большинство задач планирования, проектирования и управления сводятся к исследованию моделей математического программирования. Исходная информация для планирования в экономике, технике, как правило, недостаточно достоверна. Параметры моделей принятия решений рассчитываются на информации, которая носит в той или иной мере вероятностный характер, вследствие этого часть или все параметры моделей могут выступать как случайные или неопределенные величины. Необходимость принятия решений в условиях неполной информации может возникнуть, когда времени на ее получение не хватает. В связи с этим, целесообразно рассматривать процесс принятия решений как стохастический.
Постановки одноэтапных стохастических задач принятия решений возникают как при рассмотрении стохастических аналогов детерминированных оптимизационных моделей принятия решений, исходные данные которых недостаточно достоверны, так и вследствие чисто вероятностных постановок.
В связи с необходимостью создания процедур принятия и корректировки решений, сочетающих противоречивые требования оперативности и обоснованности корректировки, появляется необходимость рассмотрения двухэтапных и многоэтапных задач.
Многоэтапное^ в данной работе понимается как наличие нескольких периодов принятия решений, разделенных во времени, на которых однородные по своему содержанию операции совершаются на основании уточненных данных, полученных в результате реализации предыдущих операций.
Для решения многоэтапных стохастических задач принятия решений делается переход к полубесконечномерным аналогам. Многие детерминированные аналоги многоэтапных стохастических задач являются многоэкстремальными моделями, поэтому в работе рассмотрена многоэкстремальная задача стохастического программирования.
Почти все сложные практические задачи принятия решений (и индивидуального, и тем более группового) являются многокритериальными. В связи с этим большое значение имеет теория принятия решений при наличии многих критериев. Рассмотренный в диссертационной работе метод позволяет решать многокритериальные задачи путем нахождения эталонного значения для критериев оценки качества альтернатив.
Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться в сфере распределения ресурсов, при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, в экономическом анализе хозяйственной деятельности отдельных предприятий, отраслей народного хозяйства, а также в дальнейших исследованиях в области принятия решений в условиях неполной информации.
Широта применения результатов диссертационной работы говорит об ее актуальности.
Целью диссертационной работы является:
исследование многоэтапных стохастических задач принятия решений, построение полубесконечномерных детерминированных аналогов;
сведение многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации к многоэкстремальным задачам;
использование метода эталонных уровней при решении многокритериальных задач оптимизации;
применение разработанных моделей к прикладным математическим задачам.
Методы исследования. В работе используются аппараты математического и стохастического программирования, теории принятия решений.
Научная новизна.
Для многоэтапных стохастических задач принятия решений найдены полубесконечномерные детерминированные аналоги, доказано их существование.
Используется новый подход к решению многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации. Так как при решении многоэтапных задач на каждом этапе возникает необходимость минимизировать соответствующие «невязки», возникающие в результате нарушения условий задачи, то ее решение основывается на сведении к многоэкстремальной задаче математического программирования с выпуклой целевой функцией. Доказано существование решений прямой и двойственной многоэкстремальной задачи.
Использован метод эталонных уровней для решения многокритериальных задач оптимизации.
Полученные результаты применены в моделях управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и в задаче экспорта природного газа ОАО «Газпром».
Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов.
Все результаты диссертационной работы строго доказаны в соответствующих утверждениях, что говорит об их достоверности.
Научная новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Исследование, проведенное в диссертационной работе является законченным.
Результаты диссертационной работы исследованы, предложенные математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и созданный на их основе программный комплекс успешно внедрены в практику работы Региональной энергетической комиссии Санкт-Петербурга (имеется соответствующий Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе). Полученные результаты так же применены для решения задачи экспорта природного газа ОАО «Газпром».
Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на XXXII-XXXV научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2001-2004), использованы в лекциях курса по выбору «Методы прикладной математики в экономике».
Результаты исследования отражены в работах [26-32,44,48-52, 56].
Общая постановка многоэтапной задачи принятия решений в условиях неполной информации с априорными решающими правилами
Большинство задач планирования, проектирования и управления сводятся к исследованию моделей математического программирования. Исходная информация для планирования в экономике, технике, как правило, недостаточно достоверна. Параметры моделей принятия решений рассчитываются на информации, которая носит в той или иной мере вероятностный характер, вследствие этого часть или все параметры моделей могут выступать как случайные или неопределенные величины. Необходимость принятия решений в условиях неполной информации может возникнуть, когда времени на ее получение не хватает. В связи с этим, целесообразно рассматривать процесс принятия решений как стохастический.
Постановки одноэтапных стохастических задач принятия решений возникают как при рассмотрении стохастических аналогов детерминированных оптимизационных моделей принятия решений, исходные данные которых недостаточно достоверны, так и вследствие чисто вероятностных постановок.
В связи с необходимостью создания процедур принятия и корректировки решений, сочетающих противоречивые требования оперативности и обоснованности корректировки, появляется необходимость рассмотрения двухэтапных и многоэтапных задач.
Многоэтапное в данной работе понимается как наличие нескольких периодов принятия решений, разделенных во времени, на которых однородные по своему содержанию операции совершаются на основании уточненных данных, полученных в результате реализации предыдущих операций.
Для решения многоэтапных стохастических задач принятия решений делается переход к полубесконечномерным аналогам. Многие детерминированные аналоги многоэтапных стохастических задач являются многоэкстремальными моделями, поэтому в работе рассмотрена многоэкстремальная задача стохастического программирования.
Почти все сложные практические задачи принятия решений (и индивидуального, и тем более группового) являются многокритериальными. В связи с этим большое значение имеет теория принятия решений при наличии многих критериев. Рассмотренный в диссертационной работе метод позволяет решать многокритериальные задачи путем нахождения эталонного значения для критериев оценки качества альтернатив.
Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться в сфере распределения ресурсов, при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, в экономическом анализе хозяйственной деятельности отдельных предприятий, отраслей народного хозяйства, а также в дальнейших исследованиях в области принятия решений в условиях неполной информации.
Широта применения результатов диссертационной работы говорит об ее актуальности. Целью диссертационной работы является: исследование многоэтапных стохастических задач принятия решений, построение полубесконечномерных детерминированных аналогов; сведение многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации к многоэкстремальным задачам; использование метода эталонных уровней при решении многокритериальных задач оптимизации; применение разработанных моделей к прикладным математическим задачам. Методы исследования. В работе используются аппараты математического и стохастического программирования, теории принятия решений. Научная новизна. Для многоэтапных стохастических задач принятия решений найдены полубесконечномерные детерминированные аналоги, доказано их существование. Используется новый подход к решению многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации. Так как при решении многоэтапных задач на каждом этапе возникает необходимость минимизировать соответствующие «невязки», возникающие в результате нарушения условий задачи, то ее решение основывается на сведении к многоэкстремальной задаче математического программирования с выпуклой целевой функцией. Доказано существование решений прямой и двойственной многоэкстремальной задачи. Использован метод эталонных уровней для решения многокритериальных задач оптимизации. Полученные результаты применены в моделях управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и в задаче экспорта природного газа ОАО «Газпром». Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов. Все результаты диссертационной работы строго доказаны в соответствующих утверждениях, что говорит об их достоверности. Научная новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Теоретическая и практическая значимость. Исследование, проведенное в диссертационной работе является законченным. Результаты диссертационной работы исследованы, предложенные математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и созданный на их основе программный комплекс успешно внедрены в практику работы Региональной энергетической комиссии Санкт-Петербурга (имеется соответствующий Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе). Полученные результаты так же применены для решения задачи экспорта природного газа ОАО «Газпром». Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на XXXII-XXXV научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2001-2004), использованы в лекциях курса по выбору «Методы прикладной математики в экономике». Результаты исследования отражены в работах [26-32,44,48-52, 56].
Единственность полубесконечномерного аналога для М-модели и Р- модели
Из леммы 3.1 получим x = X - Теперь мы можем использовать лемму 3.1 для получения необходимых и достаточных условий разрешимости задач (3.4) и (3.5), тем самым, приводя к задачам Q.1 и Q.2 при % = % , в условиях которых задача Q.2 принимает особенно простой вид. Эти результаты приведены в следующей теореме. Доказательство. 1) В доказательстве части (б) леммы 1 мы показали, что неравенство (3.14) составляет необходимое условие для того, чтобы (3.5) имело решение. Теперь предположим, что неравенство (3.14) действительно выполняется. Тогда задача (3.5) при "inf вместо "min" сводится к решению задачи (3.11). Допустимая область z непустая, так как решение "z (а, Я) = 1 для всех (сг, Я) є W" допустимо для (3.10). Допустимая область z компактна, и поскольку (a(z/)} непрерывна на Z, мы можем заменить "inf на "min". Таким образом, (3.5) имеет решение. Тогда из леммы 3.1 следует искомый результат.
Выбор оптимального решения из множества Q должен быть произведен на основе предпочтения лица, принимающего решение. Эти предпочтения должны быть описаны формализованно при помощи критериевfi(x),f2(x),...,fn(x).
В задачах принятия индивидуальных решений критерии служат для выражения «интенсивности» существенных свойств (признаков) решений. Например, при сравнении некоторых изделий могут использоваться такие критерии, как масса, стоимость, дата выпуска, внешний (товарный) вид и т.п. В задачах принятия групповых решений критерии ft характеризуют «качество» (или предпочтительность) решений с точки зрения индивида /, входящего в группу {1, 2,..., п). Например, если решений конечное число и индивид / все их проранжировал (упорядочил по предпочтительности), то можно принять fi{x )=\ для наиболее предпочтительного решения х , fi(x")=2 - для следующего по предпочтительности решения х" и так далее.
Исследованию многокритериальных задач посвящен целый ряд работ [в частности: 36, 37, 44, 45]. Широко известный метод решения основывается на «свертывании» векторного критерия / в одну функцию - обобщенный (или агрегированный) критерий F(f\, /г,..., fn). Но этот метод не пригоден для решения задач с качественными критериями. Рассмотрим постановку задачи многокритериальной оптимизации в следующем виде: Будем предполагать, что лицо, принимающее решение всегда имеет функцию полезности U: Д"— Д. Эта функция полезности отображает векторы критериев на действительную прямую так, что большее значение на этой прямой соответствует более предпочтительному вектору критериев. Рассмотрим один из возможных способов поиска решения в задачах многокритериальной оптимизации. На первом этапе находится какая-то одна эффективная векторная оценка. Лицо, принимающее решение анализирует эту оценку и сообщает, по какому из критериев он хотел бы получить другое значение. После этого с учетом его пожеланий ищется другая эффективная векторная оценка, которая затем предъявляется ЛПР для анализа и т.д. ЛПР удобнее оперировать не с весовыми коэффициентами критериев, которым (коэффициентам) не всегда удается придать содержательный смысл, а их эталонными значениями - реальными значениями критериев, которые ЛПР хотел бы получить. Методом эталонных уровней можно описать (параметризировать и аппроксимировать) множество слабоэффективных векторных оценок для определенного класса многокритериальных оптимизационных задач. Пусть Дх) = (f\(x), fi{x),..., fn(pc)) - векторный критерий оценки качества альтернатив, определенный на непустом и компактном множестве допустимых альтернатив Q. zRm , непрерывные числовые функции Дх), /=1,...,п - частные критерии, которые максимизируются на множестве Q; F={u=flx)\ xeQ} -множество векторных оценок. Определение 4.1. Векторная оценка ueF называется слабоэффективной (оптимальной по Слейтеру, s - оптимальной), если в множестве F не существует оценки и такой, что u itf, i=\,...,n. Любая альтернатива х , соответствующая оценке и =J{x ), называется слабоэффективной. Множество оптимальных по Слейтеру оценок называется множеством Слейтера или слабоэффективным множеством. Обозначим его sF. Множество всех .s-оптимальных альтернатив обозначим ДО). Рассмотрим следующую процедуру принятия решений.
Метод эталонных уровней в многокритериальной оптимизации
Факультет прикладной математики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета традиционно занимается исследованием проблем распределения ресурсов. В 1970 году В.И. Зубовым [16] была предложена модель оптимального распределения капиталовложений по нескольким независимым направлениям и впоследствии систематически изложена в учебном пособии В.И. Зубова и Л.А. Петросяна [17]. Данную модель можно отнести к «эталонным» методам перспективного планирования, в которых на каждом этапе требуется распределить имеющиеся в наличии ресурсы по нескольким независимым направлениям одним управленческим центром так, чтобы в каждый момент времени данное распределение было в некотором смысле оптимальным с точки зрения центра.
Оптимальность в данной задаче первоначально означала требование на каждом этапе максимально приблизиться к априорно заданным эталонным показателям инвестируемых направлений. Приближение при этом понималось в смысле некоторой метрики, и в зависимости от ее вида различались, например, "утилитарный, "эгалитарный", "минимального расстояния" и другие подходы. Использовались также и метрики специального вида, например, метрика, определяющая модель "равномерного развития направлений". Впоследствии Л.А. Петросяном в работе [41] был проведен теоретико-игровой анализ данной модели с метрикой произвольного вида.
Простота предложенной модели и использование для ее успешного функционирования незначительного объема входной информации сделали внедрение достаточно эффективным. С помощью данной модели были построены, например, перспективные планы развития отраслей городского хозяйства Ленинграда, Москвы, Московской области и Владивостока. Однако проблема централизованного распределения капиталовложений, а также предложенная В.И. Зубовым методология для ее моделирования, не утратили своей актуальности и в настоящее время, например, в части государственного регулирования деятельности естественных монополий.
Тем не менее, в первоначальной постановке задачи можно выявить ряд недостатков, например: недостаточность описания предпочтений управленческого центра посредством одного целевого функционала, а, следовательно, необходимость использования многоцелевых постановок; необходимость минимизации нескольких вогнутых функционалов, а значит, невозможность применения для скаляризации задачи лемм С. Карлина [20]; необходимость учета не только предпочтений и целей управленческого центра, но и всех инвестируемых направлений; необходимость получения дополнительной информации от лица, принимающего решение, то есть применения для поиска оптимальных решений, так называемых, "диалоговых" процедур принятия решений; возникновение существенных трудностей при практическом использовании модели специалистами в области управления городским хозяйствам, не имеющими достаточной математической подготовки, для которых представлялось более естественным описывать свои предпочтения лингвистически без строго формализованных конструкций. В настоящей работе предпочтения системы в целом предлагается задавать посредством использования нескольких модифицированных политик распределения капиталовложений с различными степенями важности их реализации, а также посредством выбора различных принципов оптимальности. Диссертационная работа является попыткой продолжить исследования в области распределения ресурсов, начатые в работах [33, 34, 35], так же при помощи многоэтапных многокритериальных задач принятия решений. Определение 5.1. Под эталонным полезным отпуском электрической yt (тепловой уt) энергии будем понимать совокупную потребность потребителей в электрической (тепловой) энергии на горизонте перспективного планирования Г, представляющую собой полезный отпуск электрической (тепловой) энергии, отпускаемой /-м производителем (/ = 1,л), нарастающим итогом к данному моменту времени. Установление величин эталонных полезных отпусков электрической и тепловой энергии для каждого из производителей является первоочередным и одновременно наиболее важным этапом при реализации предлагаемого комплекса математических моделей. Определение данных величин должно исходить, с одной стороны, из объективных возможностей существующих систем производства энергии, а с другой — из прогноза увеличивающихся объемов ее потребления, в первую очередь, промышленными предприятиями в результате желаемого увеличения объемов производимой ими продукции. При расчете данных величин должен быть также учтен и результат проведения мероприятий по реконструкции систем производства, передачи и распределения энергии, а также возможное снижение потребления энергии на единицу выпускаемой продукции вследствие внедрения перспективных энергосберегающих технологий. Пусть к = 1 характеризует процесс энергоснабжения, а к = 2 - процесс теплоснабжения. Обозначим полезные отпуски электрической и тепловой энергии /-производителем нарастающим итогом к некоторому моменту времени t = \,T через Уі(0. Пусть также D(t) — объем денежных средств, имеющихся в наличии в момент времени.
Многоэтапные модели принятия решений с априорными решающими правилами - Л-модель, Р-модель
Рассмотрим проблему экспорта природного газа ОАО «Газпром» по вновь создаваемым маршрутам в США, страны Западной Европы и Азиатско-Тихоокеанского региона. Различные варианты маршрутов и технологий транспортировки: LNG (сжиженный газ), PNG (сжатый газ), трубопроводная будем рассматривать как инвестиционные проекты (направления вложения средств).
На первом этапе требуется сформировать портфель различных инвестиционных проектов и определить необходимый объем его финансирования. Обозначим через J = {j:j = \,j} - множество возможных инвестиционных проектов, матрицу взаимоисключающих проектов через -A = {(i,j)}jjej , Jo - множество взаимоисключающих проектов. Пусть с,- величина удельной стоимости 1000 м3 газа для каждого проекта, определенная исходя из фактических значений денежных потоков и объемов транспортировки действующих проектов-аналогов. На основе предполагаемой цены газа на рынке стран, в которые будет осуществляться транспортировка, определим экспортную прибыль от транспортировки 1000 м3 транспортировки, уУ - объем запасов на месторождении, у - дефицит на рынках стран, в которые будет осуществляться транспортировка. Оптимизационную модель представим в виде: В результате решения данной задачи будет определен портфель инвестиционных проектов и объемы предполагаемой транспортировки по каждому из них у.. Пусть Xj=cJ-y.i тогда Xj - объем капиталовложений, необходимых для реализации проекта./, а д: = / - объем капиталовложений, необходимых для реализации всего портфеля инвестиционных проектов. Реализация портфеля инвестиционных проектов может происходить как за счет собственных средств организации s(f), так и с привлечением заемных средств z(t). В первом случае средства бесплатны, но их объем недостаточен для полной реализации проектов. Поэтому реализация может растянуться на длительное время, а конкурентные преимущества при этом будут утеряны. Во втором случае заемные средства должны оплачиваться по ставке p{f), однако за счет больших объемов капиталовложений инвестиционные проекты в более короткие сроки начнут приносить прибыль, то есть возникнет возможность реинвестирования средств. Таким образом, актуальной становится задача поиска оптимального соотношения собственных и заемных средств с целью максимизации прибыли на всем периоде реализации портфеля инвестиционных проектов. Введем величину 5j{t +1) = sga(yj(t +1) - у ) +1. Данная величина равна 1, если инвестиционный проект запущен (затраты, инвестированные в проект, равны капитальным вложениям Xj) и равна 0 в противном случае. Пусть v(t) цена газа на рынке стран, в которые будет осуществляться транспортировка. Тогда оптимизационную модель распределения капиталовложений представим в следующем виде: Данная задача является многоцелевой оптимизационной проблемой и решается путем нормализации и свертки целевых критериев. Исследованные в работе модели многоэтапных стохастических задач были использованы для решения прикладных задач. С помощью программного продукта были получены результаты финансово-хозяйственной деятельности энергоснабжающей организации. Результаты решения этой задачи и задачи экспорта природного газа по новым маршрутам представлены в виде диаграмм в приложениях 2 и 3 к работе. Использование аппарата многокритериальное для решения прикладных задач не приведено в данной работе в связи с конфиденциальностью используемых для расчета данных. В данной диссертационной работе были получены следующие основные результаты. 1. Проведено исследование многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации. 2. Для многоэтапных стохастических задач принятия решений с выпуклыми целевыми функционалами получены полубесконечномерные детерминированные аналоги, доказано их существование. 3. Полубесконечномерные детерминированные аналоги преобразованы в многоэкстремальные задачи математического программирования. Доказано существование решений прямой и двойственной многоэкстремальной задачи. 4. Показано, что исходные задачи могут быть заменены многокритериальными задачами. Использован метод эталонных уровней для решения многокритериальных задач оптимизации. 5. Полученные математические результаты использовались при решении задачи управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и задачи экспорта природного газа ОАО «Газпром». С помощью программного продукта были получены основные показатели финансово хозяйственной деятельности Региональной энергетической комиссии (РЭК) Санкт-Петербурга (имеется Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе).
