Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 9
1.1 Системы с запаздыванием 9
1.2 Метод пассификации 11
1.3 Метод скоростного градиента 13
1.4 Вспомогательные неравенства 14
2 Децентрализованное адаптивное управление взаимосвязанными системами с за паздыванием 16
2.1 Постановка задачи 16
2.2 Построение адаптивного регулятора 18
2.3 Условия синхронизации 19
2.3.1 Липшицевы нелинейности 20
2.3.2 Согласованные нелинейности 22
2.3.3 Случай линейных связей 23
2.4 Предельная ограниченность возмущённых систем 25
2.4.1 Липшицевы нелинейности 27
2.4.2 Согласованные нелинейности 29
2.5 Пример: сеть систем Чуа 29
3 Робастная синхронизация сетей с помощью консенсусного регулятора 34
3.1 Постановка задачи 34
3.2 Консенсусный регулятор первого типа 35
3.3 Консенсусный регулятор второго типа 38
4 Адаптивное управление с переменным запаздыванием в управлении и измерениях 42
4.1 Постановка задачи 42
4.2 Основной результат 43
4.3 Адаптивное управление через сеть 49
4.4 Пример: управление углом рыскания самолёта 51
5 Адаптивная синхронизация сети осцилляторов Ландау-Стюарта 53
5.1 Постановка задачи 53
5.2 Фазовая синхронизация 54
5.3 Кластерная и равномерно-фазовая синхронизация 57
Заключение 64
Список рисунков 66
Литература 67
- Метод скоростного градиента
- Предельная ограниченность возмущённых систем
- Консенсусный регулятор первого типа
- Адаптивное управление через сеть
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В последние годы всё большее внимание исследователей привлекают задачи сетевого управления. Это связано, прежде всего, с повсеместным распространением сетей. Типичными примерами являются Интернет и телекоммуникационные сети, транспортные и энергетические системы, промышленные сети, молекулярные ансамбли, пищевые сети, клеточные и метаболические сети. С помощью сетей моделируют биологические колебания (циркадные ритмы), предсказывают распространение болезней и инфекций. Отдельного внимания заслуживают искусственные нейронные сети, которые, имитируя свойства биологических нейронных сетей, позволяют не только лучше понять и контролировать процессы, происходящие в биологических организмах, но и помогают исследователям создавать эффективные алгоритмы распознавания речи и изображений, синтезировать адаптивные регуляторы, стабилизирующие нелинейные системы. Структура многих из перечисленных сетей с каждым годом усложняется и исследовать такие системы без применения соответствующего математического аппарата становится трудно.
Несмотря на то, что уже опубликовано множество работ, посвящённых сетевому управлению, распространение сетевых систем столь обширно и спектр возникающих задач столь широк, что остаётся множество нерешённых задач, некоторые из которых рассмотрены в данной работе.
Целью диссертационной работы является построение и анализ регуляторов, обеспечивающих синхронизацию динамических сетей при наличии запаздываний в состояниях, измерениях и управлениях. Для достижения поставленной цели в работе ставятся и решаются следующие задачи:
-
Получить условия синхронизации сетей с запаздываниями в связях с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления.
-
Получить условия синхронизации динамических систем с помощью консенсусного регулятора по запаздывающим измерениям.
-
Получить условия стабилизации линейной системы, адаптивно управляемой через сеть.
-
Получить алгоритмы стабилизации синхронных состояний сетей осцилляторов Ландау-Стюарта с запаздываниями в связях.
Методы исследований. Для достижения поставленной цели использовались методы теории управления: метод пассификации и метод скоростного градиента. Для исследования устойчивости систем с запаздыванием использовались метод функционалов Ляпунова-Красовского и метод функций Ляпунова-Разумихина.
Научную новизну работы составляют следующие результаты:
-
Получены условия синхронизации сетей идентичных систем Лурье с мгновенными и запаздывающими нелинейными связями с помощью децентрализованного адаптивного регулятора (Теоремы 2.1–2.4) [,–8,].
-
Для сетей идентичных систем Лурье с ограниченными возмущениями предложен адаптивный закон управления с регуляризацией, получены условия предельной ограниченности разностей состояний подсистем (Теоремы 2.5, 2.6) [, 10].
-
Для идентичных систем Лурье с липшицевыми нелинейностями получены условия синхронизации с помощью двух типов консенсусного регулятора по выходам с ограниченным запаздыванием (Теоремы 3.1, 3.2) [,].
-
Получены условия полуглобальной стабилизации линейных систем с помощью адаптивного регулятора на основе пассификации при наличии переменного запаздывания в измерениях и управлении (Теорема 4.1) [].
-
Для линейных систем, адаптивно управляемых через сеть, получены условия на границы периода дискретизации и сетевых запаздываний, обеспечивающие асимптотическую устойчивость [].
-
На основе метода скоростного градиента предложен алгоритм адаптивной подстройки фазы связей в сети осцилляторов Ландау-Стюарта, обеспечивающий устойчивость кластерных синхронных состояний [,].
Теоретическая значимость и практическая ценность. Полученные результаты обосновывают возможность использования адаптивных регуляторов на основе пассификации для стабилизации и синхронизации систем при наличии запаздываний в состояниях, измерениях и управлении. Кроме того, предложена целевая функция, позволяющая с помощью метода скоростного градиента синтезировать адаптивные регуляторы, обеспечивающие устойчивость кластерных синхронных состояний сетей осцилляторов Ландау-Стюарта.
Результаты диссертации позволяют найти допустимую величину запаздывания при которой адаптивные регуляторы на основе пассификации стабилизируют (синхронизируют) систему. В частности, для линейной системы, адаптивно управляемой через сеть, полученные результаты позволяют оценить допустимые величины периода дискретизации и сетевых запаздываний.
Апробация результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ, на семинарах лаборатории управления сложными системами ИПМАШ РАН и на международных конференциях: 52nd
IEEE Conference on Decision and Control, Firenze, Italy, 2013; IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, Caen, France, 2013; European Conference on Complex Systems, Brussels, Belgium, 2012; The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, 2011; 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, Orlando, Florida, 2011; 14th International Student Olympiad on Automatic Control, Saint-Petersburg, Russia, 2011; 18th IFAC World Congress, Milano, Italy, 2011; 5th Intern. Conf. “Physics and Control”, Leon, Spain, 2011.
Выполненный в ходе работы над диссертацией проект «Адаптивное управление нелинейными сетями с запаздыванием» был отмечен дипломом победителя конкурса грантов Санкт-Петербурга для студентов, аспирантов, молодых учёных, молодых кандидатов наук 2012 г. Доклад “Synchronization Algorithms for Dynamical Networks with Delayed Couplings”, подготовленный в ходе работы над диссертацией и представленный на Международной студенческой олимпиаде по теории управления, был удостоен диплома второй степени за теоретический вклад. В 2013 году за научный проект «Алгоритмическое и программное обеспечение систем адаптивного сетевого управления с запаздыванием», выполненный в рамках работы над диссертацией, диссертант был удостоен стипендии Президента Российской Федерации для молодых учёных и аспирантов, осуществляющих перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики, на 2013–2015 годы.
Результаты диссертации были получены в ходе работы по ФЦП «Кадры» (гос. контракты NN 16.740.11.0042, 14.B37.21.0247, соглашения NN 8846, 8855) и при поддержке РФФИ (проекты NN 11-08-01218, 12-01-31354, 13-08-01014) и использованы в перечисленных проектах.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 7 в изданиях из перечня ВАК. Работы [–, 8–] написаны в соавторстве. В работах [, ] А.А. Селивановым была предложена целевая функция, позволяющая синтезировать адаптивные регуляторы, стабилизирующие желаемые синхронные состояния сетей, а также проведены численные эксперименты, иллюстрирующие работоспособность получаемых алгоритмов управления. В работах [,,10] диссертанту принадлежат условия адаптивной синхронизации сетей взаимосвязанных систем при наличии запаздываний в связях. В [] А.А. Селиванову принадлежат результаты раздела IV. В [8, ] диссертанту принадлежат формулировки и доказательства теорем, а соавторам — постановка задачи и выбор методов решения. В работе [] А.А. Селиванову принадлежат результаты раздела IV.
Объем и структура работы. Диссертация объёмом 76 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (114 источников).
Метод скоростного градиента
В последние годы всё большее внимание исследователей привлекают задачи сетевого управления [24,29,69,90,98,104]. Это связано, прежде всего, с повсеместным распространением сетей. Например, каждый из нас является частью социальной сети [15, 16, 97]. Другими примерами являются Интернет [41,50] и телекоммуникационные сети [14], транспортные и энергетические системы [32,75], промышленные сети, молекулярные ансамбли, пищевые сети [28,101], клеточные и метаболические сети [22,49] и др. С помощью сетей моделируют биологические колебания (циркадные ритмы) [59,91,102], предсказывают распространение болезней и инфекций [53,79]. Отдельного внимания заслуживают искусственные нейронные сети [30,54], которые, имитируя свойства биологических нейронных сетей, позволяют не только лучше понять и контролировать процессы, происходящие в биологических организмах, но и помогают исследователям создавать эффективные алгоритмы распознавания речи и изображений [73,87], синтезировать адаптивные регуляторы, стабилизирующие нелинейные системы [25, 96]. Кроме того, снижение стоимости компьютеров сделало возможным создание сетей примитивных роботов, каждый из которых малофункционален, но сообща эти роботы способны выполнять сложные задачи. Например, группа летательных или подводных аппаратов может осуществлять захват цели или составлять карту местности. Структура многих из перечисленных сетей с каждым годом усложняется и исследовать такие системы без применения математического аппарата становится трудно.
Формально сетевую систему определяют как сложную динамическую систему, составленную из большого числа простых систем, соединенных физическими или информационными связями. Поскольку скорость передачи данных (воздействий) по коммуникационной среде ограничена, в сетях неминуемо возникают запаздывания, наличие которых может привести к дестабилизации [62]. Запаздывания могут входить в состояния, измерения или управление системы; они могут быть постоянными и переменными, известными и неизвестными. В данной работе рассмотрены многие возникающие случаи: во второй и пятой главах запаздывание присутствует в состоянии системы, в третьей – в измерениях, в четвёртой – в управлении и измерениях. Во всех главах рассматривается задача синхронизации, которую определяют как «совпадение или сближение переменных состояний двух или нескольких систем, либо согласованное изменение некоторых количественных характеристик систем» [10]. Например, задача поддержания летательными аппаратами заданной формации с помощью линейной замены переменных сводится к задаче стабилизации общего синхронного решения.
В существенной части диссертационной работы рассматриваются неопределённые системы, т. е. системы, некоторые значения параметров которых известны неточно. Неопределённости в системах возникают в силу разных причин: при проектировании регулятора могут быть неизвестны значения некоторых параметров системы, в процессе функционирования параметры могут меняться (например, уменьшается масса самолёта при сгорании топлива). Эффективным методом стабилизации таких систем является адаптивное управление на основе пассификации [1].
Несмотря на то, что уже опубликовано множество работ, посвящённых сетевому управлению, распространение сетевых систем столь обширно и спектр возникающих задач столь широк, что остаётся множество нерешённых задач, некоторые из которых рассмотрены в данной работе.
Целью диссертационной работы является построение и анализ регуляторов, обеспечивающих синхронизацию динамических сетей при наличии запаздываний в состояниях, измерениях и управлениях. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
1. получить условия синхронизации сетей идентичных систем Лурье с запаздываниями в связях с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления;
2. исследовать децентрализованный адаптивный алгоритм управления сети идентичных систем Лурье с запаздываниями в связях при наличии ограниченных возмущений;
3. получить условия синхронизации идентичных систем Лурье с помощью консенсусного регулятора по запаздывающим измерениям;
4. получить условия стабилизации линейной стационарной системы с помощью адаптивного регулятора при наличии переменных запаздываний в измерениях и управлении;
5. результаты п. 4 применить к линейной системе, управляемой через сеть с помощью адаптивного регулятора;
6. найти целевую функцию, позволяющую с помощью метода скоростного градиента вывести алгоритмы стабилизации различных синхронных состояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта с запаздываниями в связях.
В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов. Во второй главе рассматривается задача синхронизации с лидером связанных систем Лурье с мгновенными и запаздывающими нелинейными связями с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления. В данной постановке предполагается, что регулятору подсистемы не доступны измерения с других узлов, влияющих на динамику данной подсистемы. Хотя задачи децентрализованного управления взаимосвязанными системами изучались ранее, в большинстве существующих работ (например, [13,55,63,110,112–114]) рассматриваются системы с линейными связями и строится обратная связь по состоянию. Более того, управление, как правило, входит во все уравнения системы. Такие модели оказываются слишком ограничительными на практике, где во внимание следует принимать неполноту измерений и управления, нелинейные переключающиеся связи. Во второй главе получены границы на постоянные Липшица нелинейных связей, при которых синхронизация достигается при использовании адаптивного регулятора по выходу. Поскольку децентрализованный регулятор не может учесть влияние связей, их воздействия должны быть достаточно малыми. Затем, для систем с ограниченными возмущениями рассмотрен модифицированный адаптивный алгоритм и получены условия предельной ограниченности разностей состояний подсистем. Условия синхронизации и предельной ограниченности сформулированы для двух типов локальной нелинейности: липшицевой и согласованной. Результаты этой главы отчасти основаны на результатах, изложенных в [2], и распространяют их на случай переменных связей с запаздываниями при ограниченных возмущениях.
Предельная ограниченность возмущённых систем
Любая математическая модель является некоторым приближением физической системы. Для того, чтобы на практике уверенно применять теоретически полученные регуляторы, важно проверять их робастность по отношению к неточностям модели и внешним возмущениям, которым подвержена практически любая реальная система. В данном разделе исследуется система с ограниченными возмущениями: где ХІ, щ, ЦІ, A, B, C, Lpo, fij, фі] те же, что и в (2.1), и Wi Є Шп - неизвестные ограниченные функции такие, что для некоторых Д :
В отличие от (2.1) здесь мы предполагаем, что переменное запаздывание r{t) является ограниченной дифференцируемой функцией, такой что:
Поскольку цель управления (2.7), вообще говоря, недостижима в случае наличия возмущений, будем рассматривать другую цель управления: где Ъ 0 - некоторое число, XL - состояние системы лидера (2.5), (2.6). Если выполнено условие (2.29), говорят, что разности Xi(t) — х {ї) предельно ограничены.
Нетрудно понять, что коэффициенты вг при законе обратной связи (2.10) могут уходить на бесконечность: \\6І\\ — оо при t — оо. Для обеспечения ограниченности вг во второе уравнение регулятора (2.10) добавим отрицательную обратную связь, называемую т-регуляризацией [60]:
Остальные ipij, ф тождественно равны нулю. Отметим, что ipij и ф зависят от Xi(t) и Xi(t — r(t)), соответственно. Будем рассматривать постоянное запаздывание: r{t) = 9. Вычисляя (2.13) и (2.31) при h = 9, d = 0, получаем L = 0.04, M/j « 0.04. Выберем 1\ = 1 и, следуя (2.40), а = 0.01. Тогда выполнены все условия Теоремы 2.6, а потому выполняется соотношение (2.29) и все параметры 6І ограничены.
При моделировании были взяты 1 = 9, 2 = 14.3. Хорошо известно [64], что для данных значений параметров система Чуа является хаотической. Характерные черты хаотического аттрактора Чуа можно увидеть на Рис. 2.1, где изображена траектория системы-лидера с начальными данными xL(t) = (0.1, 0.1, 0.1)т, W Є [—/г, 0]. В качестве начальных данных для остальных систем брались случайные линейные функции такие, что а () 5, W Є [—/г, 0], і = 1,..., 4, j = 1, 2, 3. Возмущения выбирались такими, что (i) А = 0.01.
На Рис. 2.2 видно, что величина R(t) = X =i II W хь{і)\\2 остаётся ограниченной. На Рис. 2.3 представлен график изменения величин 6 (г = 1,..., 4).
Заметим, что статическая обратная связь вида (2.9) обеспечивает выполнение цели управления (2.29) на траекториях системы (2.41), (2.3), (2.5), (2.6), (2.9) при 6 = # , где 9 из (2.42). Преимущество адаптивного управления в том, что, подбирая коэффициенты 6 для конкретной системы, а не для всего класса 5, цель управления (2.29) достигается с меньшим коэффициентом усиления. В представленном примере задача (2.42) неразрешима при 9 10, в то время как 6 после переходного периода не больше, чем 8. При этом если 150, то получаются меньшие значения величины , а значит более ограничительные условия синхронизации (2.39).
Консенсусный регулятор первого типа
Предположение 3.1. Функция (p{t, х) кусочно-непрерывна по первому аргументу и удовлетворяет глобальному условию Липшица по второму аргументу: ЗЬ : \/t 0, \/х ,х" Є Кга
В отличие от Главы 2, где связи между подсистемами изначально присутствуют в сети, уравнение (3.1) описывает N изолированных систем. В данной главе речь пойдёт об информационных связях, которые возникают из-за того, что регулятору г-той системы доступны измерения с некоторых «соседних» узлов. Предположим, что на передачу информации от j-ого узла к г-тому необходимо время Tijit). Тогда можно построить регуляторы двух типов:
Вектор-строка коэффициентов усиления, iji) 0 - ограниченные, кусочно непрерывные функции, определяющие какие измерения доступны регуляторам, такие что ai) = 0 для всех = 1,..., . Регуляторы (3.3), (3.4), встречающиеся во многих областях науки [26,27,36,37,42,78,86,95,103,108], называются консенсусными. В (3.3) вычисляется разница между текущим выходом -ой системы и запаздывающим выходом -той подсистемы. Построение такого алгоритма управления не требует знания величины запаздывания и он возникает естественным образом, поскольку на передачу сигнала, как правило, требуется некоторое время. Если же величины запаздываний известны, то становится возможным построить регулятор (3.4), а если вдобавок у() = jii), то вычисляется разность между выходами систем в одно и то же время. Такой алгоритм управления имеет некоторое преимущество: если системы синхронизированы, то управление исчезает, а значит наличие регулятора (3.4) не изменяет синхронное решение систем (3.1) c = 0, а лишь меняет его устойчивость. Для того, чтобы гарантировать существование синхронного решения системы (3.1), (3.3), приходится накладывать дополнительное условие на коэффициенты і) и запаздывания у() (см. Предположение 3.3). Кроме того, регулятор (3.4) возникает, если измерению доступны только разности выходов, например, если летательный аппарат с некоторым запаздыванием измеряет расстояние до ближайших соседей.
Будем говорить, что системы (3.1) синхронизированы, если на траекториях (3.1) (с некоторыми ) выполнено соотношение
Далее будут выведены условия синхронизации систем (3.1) при законах обратной связи (3.3), (3.4). Как и ранее, будут рассматриваться гипер-минимально-фазовые системы.
Предположение 3.2. Существует вектор Є Ш.1 такой, что функция T() = T(—) l гипер-минимально-фазовая.
Как видно, если то выполняются условия теоремы Ляпунова-Разумихина (1.8) и нулевое решение системы (3.10) глобально равномерно асимптотически устойчиво, а значит на траекториях системы (3.1), (3.4) выполнено соотношение (3.5).
Замечание 3.1. Если матрица L(t) постоянна и симметрична, т. е. граф связей не изменяется и не ориентирован, то условия (3.7), (3.9) равносильны связности графа.
Адаптивное управление через сеть
В качестве примера применим полученные результаты к следующей модели поперечного движения летательного аппарата [45]: где 3 и 2 - угол рыскания и скорость его изменения, соответственно, \ - угол бокового скольжения; - угол поворота руля; i - измеряемый выход; и % - параметры системы. Предположим, что самолёт управляется через сеть, т. е. \[), г() имеют вид (4.23). Тогда Предположение 4.1 выполнено с MAD. Следуя [45], возьмём з = 1.3, \ = 19/15, 2 = 19 и предположим, что \ Є [0.1,1.5], 2 Є [27, 52] являются неопределёнными параметрами системы. Тогда для = (1,1)т передаточная функция является гипер-минимально-фазовой, поскольку для всех \, 2 из указанного множества числитель является устойчивым многочленом с положительным старшим коэффициентом 2 0. Следовательно, выполнено Предположение 4.2. Для д. = 5, \ = 0.4, = 4.61 выполнены условия Теоремы 4.1 с \ = 4 х Ю-4, = 10-3, = 25, = 20.
На Рис. 4.2, 4.3 приведены результаты численного моделирования для \ = 0.75, г = 33 и пяти различных случайно выбранных начальных условий (0) = 20. При моделировании был взят равномерный период дискретизации k+i — k = 2 х Ю-4 и постоянные величины запаздывания с = 2 х Ю-4, а = 6 х Ю-4 с MAD = 8 х Ю-4. Как следует из Теоремы 4.1, {) — 0 и () стремятся к постоянным значениям.: Нормы состояний для 5 различных случайно выбранных начальных условий
Легко доказать, что статический регулятор () = - () стабилизирует весь класс неопределённых систем. Преимуществом адаптивного подходя является то, что предельное значение () меньше, чем = 4.61 (Рис. 4.3).
Адаптивно подстраиваемые коэффициенты () для 5 различных случайно выбранных начальных условий (сплошная линия); значение = 4.61 (пунктирная линия).
Рассмотрим сеть, состоящую из N осцилляторов, соединённых связями с запаздыванием:
где Zj = rjellfj Є С - состояния осцилляторов, г - постоянное запаздывание. Матрица связей А = {aij}fj=i описывает топологию сети. Локальная динамика каждой подсистемы определяется нормальной формой бифуркации Андронова-Хопфа с мягкой потерей устойчивости, также известной как осциллятор Ландау-Стюарта: с вещественными константами Л, ш ф 0 и гу. Параметры К и /3 обозначают, соответственно, амплитуду и фазу комплексной силы связей. Сетевые системы такого вида широко известны и используются в различных областях нелинейной динамики, например, для описания нейронов [33].
Уравнения (5.1), (5.2) имеют синхронные решения с общей амплитудой г., = ro,m и фазами Pj = Qmt + jAipm, где Qm - общая частота, А рт = 2nm/N - сдвиг по фазе. Целое число т определяет одно из возможных состояний:
Фазовая синхронизация, при которой состояния всех подсистемы совпадают, соответствует га = 0. Кластерная синхронизация, при которой все подсистемы разбиваются на d (1 d N) групп (кластеров) так, что состояния любых двух подсистем внутри одной группы совпадают. Количество кластеров d равно наименьшему общему кратному т и N, поделённому на га.
Равномерно-фазовая синхронизация, при которой фазы всех соседних узлов отличаются на одну и ту же величину 2n/N. Ясно, что d = N (например, при га = 1) соответствует равномерно-фазовой синхронизации.
В данной главе под устойчивостью будем понимать асимптотическую устойчивость по Ляпунову. Устойчивость синхронных колебаний в сетях может быть численно исследована с помощью общей функции устойчивости (Master Stability Function [72]). Этот подход позволяет изучать влияние топологии сети на устойчивость независимо от локальной динамики подсистем. Для сетей осцилляторов Ландау-Стюарта с помощью этого метода были вычислены показатели Флоке для различных кластерных состояний [35]. В частности, было показано, что если соединить осцилляторы Ландау-Стюарта в кольцо, то, выбирая подходящее значение параметра /3, можно обеспечивать устойчивость фазовой, кластерной и равномерно-фазовой синхронизации. Для /3 = 0 система имеет сразу несколько устойчивых состояний. Для /3 = mr — 2nm/N и любых значений амплитуды связей К и запаздывания г единственным устойчивым состоянием становится состояние, соответствующее выбранному га. В данной главе с помощью метода скоростного градиента будет выведен алгоритм подстройки /3, обеспечивающий сходимость /3 к подходящему значению.
