Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние исследований динамики ротора турбокомпрессора на подшипниках скольжения с плавающими втулками 9
1.1 Экспериментальные исследования динамики роторов турбокомпрессоров на подшипниках скольжения 9
1.2 Модели и методы, используемые при расчетах динамики роторов на подшипниках скольжения 16
1.2.1 Упруго-массовые модели ротора 16
1.2.2 Об учете свойств смазочного слоя при расчете динамики ротора 20
1.3 Результаты аналитических и численных исследований динамики роторов турбокомпрессоров на подшипниках скольжения с плавающими втулками 30
1.4 Формулировка целей и задач исследования 34
2. Система уравнений движения ротора на подшипниках с плавающими втулками 36
2.1 Предварительные замечания 36
2.2 Дискретная модель ротора 40
2.3 Уравнения движения модели ротора 47
2.3.1 Уравнения движения дисков 47
2.3.2 Уравнения движения цапф и втулок 55
2.4 Уравнение Рейнольдса для давлений в смазочных слоях 58
2.5 Порядок расчета реакций смазочного слоя 65
2.5.1 Определение моментов трения 65
2.6 Выводы по второй главе 70
3. Методика расчета динамики ротора на подшипниках с плавающими втулками 71
3.1 Применение метода конечных элементов к решению уравнения Рейнольдса 71
3.2 Разностная аппроксимация уравнения Рейнольдса 77
3.2.1 Адаптивный многосеточный алгоритм 77
3.2.2 Граничные условия для давлений при учете схем подачи смазки 81
3.2.3 Алгоритм теплового расчета 85
3.2.4 Расчет гидромеханических характеристик подшипников 86
3.3 Приближенный численный метод расчета реакций смазочного слоя. 88
3.4 Сопоставление результатов расчета реакций смазочного слоя 93
3.5 Двухэтапный алгоритм расчета динамики ротора 96
3.6 Выводы по третьей главе 97
4. Анализ динамики ротора на подшипниках с плавающими втулками 100
4.1 Динамика уравновешенного ротора 100
4.2 Оценка гидромеханических характеристик подшипников 114
4.3 Практические рекомендации повышения второй резонансной частоты вращения ротора 119
4.4 Динамика ротора с учетом дисбаланса 120
4.5 О влиянии на динамику ротора кинематического возбуждения основания корпуса турбокомпрессора 126
4.6 Выводы по четвертой главе 128
5. Расчетно-экспериментальное исследование динамики ротора с учетом упруго-массовых свойств корпуса турбокомпрессора 129
Заключение 146
Библиографический список 148
Приложения 161
- Модели и методы, используемые при расчетах динамики роторов на подшипниках скольжения
- Уравнение Рейнольдса для давлений в смазочных слоях
- Граничные условия для давлений при учете схем подачи смазки
- О влиянии на динамику ротора кинематического возбуждения основания корпуса турбокомпрессора
Введение к работе
Актуальность темы. За последние десятилетия в высокооборотных роторах турбокомпрессоров наддува дизельных двигателей широкое применение получили подшипники скольжения с плавающей втулкой. Введение в конструкцию подшипника плавающей втулки и второго смазочного слоя принципиально изменило структуру системы «ротор - подшипники», сделав ее автоколебательной системой с устойчивым предельным циклом, размеры которого удовлетворяют условиям работоспособности подшипников в широком диапазоне рабочих частот вращения ротора. Появление в системе устойчивого предельного цикла открыло возможности управления его размером путем выбора конструктивных и режимных параметров ротора и гидродинамических опор с плавающими втулками на ранних этапах их проектирования. В большинстве работ расчет амплитуд устойчивых предельных циклов и, соответственно, на-груженности подшипников выполняют с использованием модели «автономной опоры», содержащей две массы (цапфу и втулку) и два смазочных слоя, исключая при этом вал, связывающий два подшипника. Однако такой подход не позволяет определять форму установившегося движения ротора, обусловленную взаимосвязью ротора и обоих подшипников в единую систему. Модель ротора на двух подшипниках с плавающими втулками использована в относительно небольшом числе других работ, однако в них вопросы исследования формы установившегося движения ротора в широком диапазоне частот вращения остались незатронутыми. Поэтому исследование формы установившегося движения единой системы «ротор - подшипники с плавающей втулкой» и ее влияния на на-груженность подшипников представляется актуальным.
Цель работы: разработка математической модели, методики, эффективного алгоритма и программы расчета динамики связанной автоколебательной системы «ротор турбокомпрессора на подшипниках с плавающими втулками» и исследование амплитуд колебаний ротора и нагруженности подшипников в широком диапазоне частот вращения для обоснования выбора конструктивных и режимных параметров системы.
Для достижения цели работы потребовалось решить следующие задачи:
Построить дискретную модель ротора с минимальным числом сосредоточенных масс при условии максимального подобия ее динамических свойств континуальному прототипу.
Усовершенствовать приближенный метод расчета реакций смазочного слоя, который позволит определять их с допустимой точностью и приемлемыми затратами времени.
Разработать эффективный алгоритм и программу расчета установившегося режима движения связанной системы «ротор - подшипники с плавающей втулкой».
Исследовать влияние конструктивных и режимных параметров системы «ротор - подшипники скольжения с плавающей втулкой» на амплитуды колебаний ротора и нагруженность подшипников с целью обоснования практических рекомендаций.
Выполнить экспериментальную проверку некоторых результатов расчета динамики ротора с учетом упруго-массовых свойств корпуса турбокомпрессора.
Объект исследования. Динамика ротора на подшипниках скольжения с плавающими втулками.
Предмет исследования. Установившееся движение связанной автоколебательной системы «ротор турбокомпрессора на двух подшипниках скольжения с плавающими втулками».
Методы исследования. Метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод Рунге-Кутта-Мерсона, экспериментальные методы исследования турбокомпрессоров при безмоторных стендовых испытаниях.
Научная новизна:
Разработана математическая модель ротора на подшипниках скольжения, учитывающая его упруго-массовые свойства и конструктивные особенности опор с плавающими втулками.
Разработан новый, двухэтапный алгоритм расчета динамики ротора, обеспечивающий быстрый приближенный расчет установившегося режима движения ротора на первом этапе решения и его уточнение - на втором.
Впервые получена в широком диапазоне частот вращения расчетная амплитудно-частотная характеристика связанной системы «ротор -
подшипники с плавающей втулкой», позволившая обнаружить скачкообразное увеличение амплитуд колебаний ротора и исчерпание несущей способности подшипников за второй резонансной частотой, обусловленные изменением конической формы прецессии ротора на цилиндрическую.
4. Расчетно-экспериментальным путем установлена близость низших соб
ственных частот корпуса турбокомпрессора к зоне виброактивности его ротора,
и необходимость ее учета при проведении экспериментов и последующей обра
ботке данных, характеризующих режимы работы ротора и подшипников.
Достоверность результатов обеспечена строгостью использованных математических методов, исследованиями их точности, сопоставлением полученных автором результатов с известными результатами аналитических, численных и экспериментальных исследований.
Практическая значимость.
Создано программное обеспечение, которое позволяет на ранних стадиях проектирования системы «ротор - подшипники с плавающей втулкой» расчетным путем оценивать амплитуды колебаний ротора и нагруженность подшипников (в частности, на резонансных частотах) с учетом упруго-массовых свойств ротора, конструктивных особенностей опор скольжения и изменения температур смазочных слоев.
Выполнена расчетная оценка влияния конструктивных и режимных параметров системы «ротор турбокомпрессора ТКР-8,5С - подшипники с плавающей втулкой» на резонансные частоты, амплитуды колебаний ротора и нагруженность подшипников.
Реализация. Разработанный пакет прикладных программ «Гибкий ротор» зарегистрирован в реестре программ для ЭВМ (№2006611094) и использован при проектировании подшипников скольжения с плавающими втулками на ООО «ЧТЗ-УРАЛТРАК» (г. Челябинск) (акт внедрения прилагается).
Апробация. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях «Актуальные проблемы теории и практики современного двигателестроения» (Челябинск, 2006), «Гидродинамическая теория смазки - 120 лет» (Орел, 2006), «Актуальные проблемы трибологии» (Самара, 2007), «Снежинск и наука - 2009. Современные проблемы атомной науки и техники», «The 81 International Conference of Rotordynamic» (12-15 September 2010, Seoul, Korea), на ежегодных научно-технических конференциях Южно-Уральского государственного университета (2003-2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, включая две статьи в журналах, рекомендованных ВАК России, и одно свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 7 приложений, изложена на 172 страницах машинописного текста, включая 81 иллюстрацию, 8 таблиц и библиографический список, содержащий 123 наименования.
Модели и методы, используемые при расчетах динамики роторов на подшипниках скольжения
Ротор малоразмерного турбокомпрессора представляет собой вал кусочно-постоянного поперечного сечения, на концах которого укреплены массивные колеса компрессора и турбины (см. рис. 1.1).
При расчетах динамики роторов на подшипниках скольжения обычно используют следующие упруго-массовые модели ротора: «автономную» модель; модель Джеффкотта; конечноэлементные модели; дискретные модели.
Под «автономной» [11, 35, 74] понимают модель, содержащую две массы, соответствующие цапфе и втулке, и два смазочных слоя, исключая при этом вал, связывающий два подшипника, и принимая массу цапфы равной половине массы ротора. Эту простейшую модель использовали при аналитических исследованиях динамики ротора, разработке методов расчета гидродинамических давлений и при более точном учете процессов, протекающих в смазочных слоях.
Наиболее полно исследования динамики «автономной опоры с плавающей втулкой» представлены в работах, выполненных в ЮУрГУ под руководством В. Н. Прокопьева [11, 18, 35, 73]. Отметим здесь, прежде всего, основополагающие работы В. Н. Прокопьева [74], А. К. Бояршиновой [11] и Е. А. За-дорожной [35], в которых показано, что за счет учета конструктивных особенностей опор и исследования схем подачи смазки в смазочные слои удалось, например, разработать новую конструкцию подшипника, обеспечивающую снижение амплитуд колебаний ротора в 1,8 раза, расходов смазки - в два раза, потерь на трение - на 10 % [35] по сравнению с серийной конструкцией.
Более точному учету процессов, протекающих в смазочном слое, и, следовательно, более точному учету условий возникновения автоколебаний роторов на однослойных подшипниках скольжения посвящены некоторые современные диссертации [4, 61, 76, 79, 92, 97]. Например, работа [76] посвящена применению в подшипниках новых смазочных материалов, в [4, 61, 92, 97] учтены упругие деформации опор скольжения, а в [79] — перекосы цапфы в корпусе.
Очевидно, что использование «автономной» модели не позволяет определить форму установившегося движения ротора и учесть ее влияние на нагру-женность подшипников, а также, в частности, объяснить более ранний выход из строя компрессорной опоры, наблюдаемый экспериментально [10]. Дать расчетное объяснение этому экспериментально установленному факту можно попытаться только с использованием модели, учитывающей как свойства смазочного материала в подшипниках, так и упруго-массовые свойства ротора.
Простейшую модель ротора, представляющую собой симметричный упругий невесомый вал с подшипниками в концевых сечениях и диском, закрепленным в среднем поперечном сечении, называют [67] моделью Джеффкотта. Эту модель, позволяющую, в отличие от «автономной опоры», учесть упруго-массовые свойства вала, часто используют при аналитических и численных исследованиях динамики роторов на подшипниках с одним смазочным слоем, выполненных, например, в работах [40, 86, ПО] и некоторых современных диссертационных работах [56, 59, 67, 92]. Модель ротора Джеффкотта на подшипниках с плавающими втулками использована в работах A. Boyaci [107] и Тана-ки и Хори [90]. В первой из них вал принят абсолютно жестким, во второй-упругим. Очевидно, что результаты работ, в которых использована модель ротора Джеффкотта, не могут быть в полной мере распространены на конструкции несимметричных роторов с консольным расположением турбинного и компрессорного колес.
При построении моделей роторов сложной конструкции обычно применяют метод конечных элементов (МКЭ). Например, используемый в работе М. Ю. Темиса [92] ротор стационарной газотурбинной установки представляет собой вал, на котором закреплены диски и другие вращающиеся вместе с ним детали. Учитывать достаточно сложную геометрию такой конструкции удобно с использованием МКЭ. Поэтому значительная часть работы М. Ю. Темиса [92] посвящена разработке алгоритмов и методов построения конечноэлементной модели вала с п дисками. Однако в расчетной части ее работоспособность продемонстрирована на модели симметричного упругого вала, содержащего в среднем сечении либо один диск, либо одну сосредоточенную массу, то есть, на моделях, не требующих применения метода конечных элементов. Применение МКЭ [121] для построения многомассовой конечноэлементной модели ротора (см. рис. 1.1), содержащего две консольно расположенные тяжелые массы и вал кусочно-постоянного поперечного сечения, на наш взгляд, не является необходимым.
Упростить исходную континуальную систему путем ее замены динамической эквивалентной системой с конечным числом степеней свободы - так называемой дискретной моделью - позволяет метод сосредоточенных параметров или метод дискретных моделей [89]. Метод сосредоточенных параметров использован, например, в работе В. Г. Луканенко [56], однако осталось неясным, как определены сосредоточенные массы дискретной модели ротора. В работе Ли [54] массы дискретной модели приняты «равными массам окружающих пролетов вала», однако отсутствие сопоставления собственных частот и форм дискретной и континуальной моделей оставило открытыми вопросы точности построенной пятимассовой модели ротора. Преимущество метода сосредоточенных параметров заключается в том, что он, по сравнению с МКЭ, позволяет обеспечить высокую степень динамического подобия дискретной и континуальной моделей при минимально возможном числе сосредоточенных масс [89] и на порядок уменьшить размерность задачи. Заметим, что в условиях форсирования двигателей и повышения частот вращения ротора возрастают требования к точности оценки его критических частот. Удовлетворение этим требованиям достигается путем построения модели ротора, динамические свойства которой как можно более близки к свойствам реального прототипа. Однако в работах [54, 56] вопросы близости динамических свойств дискретной и континуальной моделей роторов не рассматривались.
Теперь рассмотрим нагрузки, действующие на ротор турбокомпрессора в рабочем режиме. Причины колебаний роторов ТК весьма разнообразны. Наиболее известны следующие возбуждающие силы [85]: силы инерции, обусловленные неуравновешенностью масс ротора и вибрациями основания; силы тяжести ротора; усилия от давлений газа и воздуха на колесах турбины и компрессора; силы, действующие на опорные поверхности цапф со стороны смазочных слоев.
Уравнение Рейнольдса для давлений в смазочных слоях
Однако, если в роторах на однослойных подшипниках скольжения потеря устойчивости приводит (теоретически) к неограниченному росту амплитуд [86, 93], то в роторах на подшипниках скольжения с плавающими втулками возникает устойчивый предельный цикл с ограниченной амплитудой [54, 55, 64, 90].
Введение в конструкцию подшипника плавающей втулки (см. рис. 1.1) и второго смазочного слоя принципиально изменило структуру системы «ротор — подшипники» и преобразовало ее в автоколебательную систему с устойчивым предельным циклом. В этом случае задача динамики сводится к расчету амплитуды устойчивого предельного цикла путем пошагового интегрирования уравнений движения ротора, нагруженного, в том числе, нелинейными реакциями смазочных слоев, от начальных условий до установившегося режима.
Известно [85], что колебания высокооборотных быстровращающихся роторов при запуске и выбеге протекают почти так же, как и при их вращении с постоянным, последовательно различным числом оборотов. В этом случае под расчетом динамики обычно понимают расчет амплитуд и частот колебаний ротора в установившемся режиме движения ротора и анализ устойчивости этого режима движения. Расчетам и анализу динамики роторов на подшипниках скольжения с плавающими втулками посвящено относительно небольшое число работ.
Так, Ли и Роде [55] на модели «автономной» опоры впервые расчетом установили наличие предельных циклов и доказали, что в установившемся режиме траектории цапфы и втулки близки к окружностям. Там же выполнено численное исследование устойчивости и единственности полученных предельных циклов. С этой целью уравнения движения интегрировались при существенно отличающихся начальных условиях. Во всех случаях переходный процесс заканчивался одним и тем же циклом. Авторы полагают, что полученные предельные циклы являются единственными устойчивыми траекториями для исследованного диапазона параметров. Как отмечают, в частности, Оркат и Нг [64], Ли и Роде [54, 55], Танака и Хори [90], подшипники с плавающей втулкой не допускают роста амплитуд самовозбуждающихся колебаний, поэтому при их проектировании целью является не борьба с автоколебаниями, а создание конструкции, у которой амплитуда устойчивого предельного цикла удовлетворяет условиям работы ротора и подшипников.
Первой публикацией, посвященной расчету и анализу установившегося движения асимметричного податливого ротора на подшипниках с плавающими втулками, является работа Ли [54]. В этой работе использована дискретная пя-тимассовая модель ротора, а реакции смазочных слоев найдены путем применения метода импеданса [103]. Расчетным путем подтверждена известная из экспериментов устойчивость подшипников скольжения с плавающей втулкой к ударным нагрузкам, и установлено, что даже при амплитудах виброускорений в 10g, на порядок превосходящих реализуемые на практике, величины толщин внутреннего и внешнего смазочных слоев резко колеблются, но остаются меньшими, чем в момент удара. Показано, что в установившемся режиме ротор совершает коническую прецессию. Установлено, что ротор может совершать как прямую синхронную (от дисбаланса), так и прямую несинхронную прецессию, частота которой отлична от частоты вращения ротора [54]. Заметим, что в исследованном Ли диапазоне частот вращения ротора обнаружена только коническая форма его прецессии.
С другой стороны, в работах [113], [120-122], посвященных исследованию динамики ротора турбокомпрессора на подшипниках с плавающими втулками, установлено, что ротор может совершать коническую или цилиндрическую прецессию, однако в этих работах не оценено влияние формы прецессии на нагруженность подшипников. Как и в работе Б. Швайцера [121], под «конической» прецессией будем понимать случай установившегося движения ротора, при котором перемещения цапф неодинаковы и лежат, практически, в одной плоскости, но направлены в противоположные стороны. Под «цилиндрической» формой прецессии будем понимать случай установившегося движения, при котором перемещения цапф хотя и могут быть разными, но при этом направлены в одну сторону от оси подшипников. Работы Б. Швайцера [121], [122] посвящены исследованию динамики ротора турбокомпрессора массой 100 г, работающего на частотах вращения вплоть до 200 000 об/мин. Использована конечноэлементная модель ротора, реакции смазочных слоев найдены путем применения МКЭ [24] к решению уравнения Рейнольдса. Показано, что ротор может совершать коническую или цилиндрическую прецессию. В работе [121] установлено, что ротор может совершать как синхронную, так и несинхронную прецессию (коническую или цилиндрическую) с частотой 0,2-0,5 от частоты вращения ротора. Показано, что переход от конической формы, устойчивой на малых частотах вращения, к цилиндрической, устойчивой на более высоких частотах, сопровождается скачком частоты прецессии, но при этом ничего не сказано об амплитудах колебаний ротора на этих режимах работы.
Граничные условия для давлений при учете схем подачи смазки
Показано, что независимо от жесткости опор в диапазоне рабочих частот вращения ротора возбуждается максимум двухузловая форма его колебаний, для учета которой достаточно использования модели ротора с малым числом степеней свободы.
Разработана дискретная модель ротора турбокомпрессора, содержащая всего лишь 4 сосредоточенные массы при высокой степени динамического подобия континуальному прототипу.
Математическая модель «ротор турбокомпрессора на подшипниках скольжения с плавающими втулками», содержащая 18 степеней свободы, представлена в виде связанной системы уравнений, образованной дифференциальными уравнений движения элементов ротора (колес, цапф и втулок) и уравнениями Рейнольдса для смазочных слоев. В системе уравнений учтены реакции смазочных слоев, инерционные нагрузки, обусловленные прецессией ротора и неуравновешенностью его элементов, гироскопические моменты и силы веса ротора.
Метод конечных элементов (МКЭ) является в настоящее время одним из основных методов решения вариационных задач и представляет собой разновидность метода Ритца (метода Бубнова-Галеркина). Вариационное исчисление связано с функционалами - определенными интегралами, принимающими некоторое числовое значение при подстановке каждой конкретной функции в подынтегральное выражение. Основная задача вариационного исчисления состоит в отыскании функции, доставляющей функционалу стационарное значение.
Согласно вариационному подходу в механике деформируемого твердого тела (МДТ) из всех возможных (допускаемых внешними связями) перемещений действительным является то, которое доставляет минимум функционалу 77 = U— V (U — потенциальная энергия упругой деформации, V- работа внешних сил). Поиск этого минимума осуществляется методом конечных элементов. В литературе по вариационному исчислению доказано, что аналогичным образом можно решать многие физические задачи, которые описываются дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных с переменными коэффициентами, одним из которых является уравнение Рейнольдса (2.35). Согласно вариационному подходу [24, 26, 27] вместо решения уравнения Рейнольдса (2.35) предлагается искать минимум функционала, аналогичного разности потенциальной энергии упругой деформации и работы внешних сил в механике деформируемого твердого тела, — безразмерные координаты развертки поверхности подшипника.
Слой смазки не выдерживает растягивающих напряжений, поэтому на давления /?( p,z") накладывается условие неотрицательности. Область Г положительных давлений в смазочном слое заранее неизвестна и определяется в процессе решения задачи. Учесть линейное ограничение на неотрицательность давлений позволяет вариационный подход, согласно которому доказано [26, 27], что функция J?( p,z), сообщающая функционалу П стационарное значение, удовлетворяет дифференциальному уравнению Рейнольдса (2.35) со следующими условиями:
Первое из ограничений (3.2) - это условие периодичности давлений, второе - условие равенства нулю избыточных давлений на торцах подшипника, третье — условие неотрицательности давлений в смазке, четвертое и пятое - условие гладкости эпюры давлений на границе области неотрицательных давлений/".
Уравнение Рейнольдса (в частных производных второго порядка с переменными неотрицательными коэффициентами) с учетом ограничения на неотрицательность давлений является так называемой задачей со свободной границей, решение которой в вариационной постановке [26, 27] сводится к поиску минимума функционала (3.1) с учетом условий (3.2). Результатом поиска минимума является эпюра давлений /?(# ,z), положительная внутри найденной в ходе решения области Г.
Задачу поиска минимума функционала (3.1) при условиях (3.2) решим методом конечных элементов. Построение сетки конечных элементов и формирование разрешающих матриц метода выполним по известному алгоритму [84, стр. 92]. Внутри области S є [0 (р 2п\ 0 z 2я] - развертки поверхности подшипника на плоскость - аппроксимируем непрерывную скалярную функцию давлений р(ф, г) дискретной моделью, которую представим рядом значений непрерывной функции J?( p,z) в некоторых точках области S (узлах), а значения между узлами — интерполируем. С этой целью разобьем область S на подобласти Se (рис. 3.1) — конечные элементы - и внутри каждого из них определим кусочно-непрерывные функции N((p,z) (функции формы). Простейшим из конечных элементов на плоскости является треугольный с линейными функциями формы (рис. 3.2).
О влиянии на динамику ротора кинематического возбуждения основания корпуса турбокомпрессора
Расчет эпюры давлений в смазочном слое с учетом источников смазки на поверхностях трения становится возможным только при условии применения к решению уравнения Рейнольдса (2.35) численных методов - метода конечных элементов (МКЭ) или метода конечных разностей (МКР). Найденные из его решения реакции смазочных слоев используются в системе уравнений движения ротора (2.21), (2.25) и (2.26), интегрирование которой выполняется от заданных начальных условий (вектора состояния q(h)) до установления колебаний шагами по времени. Число таких шагов, как показывает наш опыт, достигает сотен тысяч. Применение для решения системы уравнений движения алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка требует пятикратного определения реакций каждого из четырех смазочных слоев на каждом шаге по времени. Таким образом, в ходе расчета установившегося режима движения ротора многократно возникает необходимость решения краевой задачи, требующей наибольших затрат времени. Поэтому представляется рациональным сначала находить установившийся режим движения ротора с использованием достаточного простого приближенного численного метода расчета реакций смазочного слоя, а найденный в результате вектор состояния q(t\) — использовать далее в качестве начальных условий для уточнения установившегося режима движения ротора, определяя на этом этапе реакции смазочных слоев МКЭ или МКР с учетом источников для подачи смазки и изменения температур смазочных слоев.
Таким образом, возникает задача совершенствования приближенного метод расчета реакций смазочного слоя, который позволит определять их с допустимой точностью и приемлемыми затратами времени, и разработки с его использованием эффективного алгоритма и программы расчета установившегося режима движения связанной системы «ротор — подшипники с плавающей втулкой».
Среди известных аналитических решений уравнения Рейнольдса (2.35) отметим изложенные в работах [13-15, 23, 24, 103] методы, которые предназначены для расчета реакций смазочного слоя в круглоцилиндрическом подшипнике без источников для подачи смазки. Здесь мы используем результат работ [23, 24], в которых уравнение Рейнольдса сначала решено методом конечных элементов, а затем аппроксимировано простыми аналитическими зависимостями с использованием метода наименьших квадратов.
Свяжем систему координат Оху с геометрическим центром подшипника О, ось х направим вправо, ось у - вверх (рис. 3.12). Цапфа вращается вокруг собственного геометрического центра 0\ с частотой со против часовой стрелки. Положение цапфы охарактеризуем ее безразмерным смещением относительно корпуса х и углом наклона линии центров S. Положение оси v нагрузки (силы, с которой цапфа действует на слой смазки) определим углом ср. Углы 5 и (р отсчитываем от оси х против часовой стрелки. Угол в, определяющий положение линии центров в системе координат, связанной с нагрузкой, отсчитываем от оси нагрузки против часовой стрелки. Введем вектор безразмерной скорости Vs, длину которого определим выражением а его направление — углом /? который отсчитываем от линии центров по часовой стрелке. Этим же углом определяется и направление вектора подвижности М. Аналитические выражения для его проекций на оси v nrj приведены в Приложении 5 (П5.1) и определяются эксцентриситетом цапфы х относительной длиной подшипника а и углом в (см. рис. 3.12). Угол в найдем из геометрического равенства (см. рис. 3.12) которое является трансцендентным уравнением относительно угла в.
Аналитическое решение трансцендентного уравнения (3.30) относительно угла в известно и приведено в Приложении 5 (П5.3). Подставляя его в (П5.1), определим проекции вектора подвижности Mv и Мц, а затем - вектор нагрузки, с которой цапфа действует на смазочный слой его проекции на линию центров и линию ей перпендикулярную реакции смазочного слоя в проекциях на эти же оси и, наконец, реакции смазочного слоя в проекциях на оси х и у в безразмерном (2.39) и размерном (2.40) виде.
Найденные реакции смазочного слоя далее использованы при численном интегрировании решении системы уравнений движения ротора (2.21), (2.25) и (2.26) с целью приближенного расчета установившегося режима его движения. Фрагмент реакции Ry во внутреннем слое одной из опор, приведен на рис. 3.13 (кривая 1). Оказалось, что при использовании приведенных в [23] аппроксимаций на графиках реакций возникают скачки амплитудой около 0,1 от веса ротора, не зависящие от величины шага по времени. Анализ показал, что касательная к графику аналитического решения (П5.3) (рис. 3.14, кривая 1) уравнения (3.30) при /?=90 вертикальна, производная dd/dp в этой точке обращается в бесконечность, что при бесконечно малом изменении угла Р в окрестности точки р=90 приводит к конечному изменению угла в и погрешности определения реакций смазочного слоя, не зависящей от шага по времени. Поэтому, в отличие от [23], мы использовали известное аналитическое выражение (П5.3) в качестве начального приближения к решению уравнения (3.30), а его точное решение отыскивали методом Ньютона (см. рис. 3.14, кривая 2).
