Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Уравнения движения для систем с упруго-вязкими элементами
1.1. Уравнения движения для систем с упруго-вязкими элементами модели Кельвина 11
1.2. Сравнительный анализ моделей упруго-вязких тел по Фойгту и Кельвину 17
1.3. Динамический гаситель колебаний на основе упруго-вязкого тела модели Кельвина 21
ГЛАВА 2. Динамика ротора на упруго-вязком валу
2.1. Постановка задачи и вывод уравнений движения 32
2.2. Устойчивость движения ротора второй динамической схемы... 36
2.3. Устойчивость движения ротора третьей динамической схемы.. 40
2.4. Исследование устойчивости движения первой динамической схемы 43
2.4.1. Неустойчивость движения, вызванная вязкими свойствами материала вала 44
2.4.2. Влияние внутреннего трения, не зависящего от частоты вращения, на устойчивость 45
2.4.3. Случай произвольной зависимости трения от частоты... 48
ГЛАВА 3. Динамика жестких роторов в упруго-вязких опорах
3.1. Постановка задачи и вывод уравнений движения жесткого ротора в упруго-вязких опорах модели Кельвина 52
3.2. Устойчивость движения 58
3.2. Вынужденные колебания ротора, обусловленные дисбалансом, при неограниченном увеличении угловой скорости 61
3.3. Вынужденные колебания ротора, обусловленные статическим и динамическим дисбалансами при установившемся режиме вращения 61
3.5. Колебания ротора, вызванные колебаниями основания 68
ГЛАВА 4. Движение сбалансированного ротора на жестком валу в опорах скольжения с учетом сил реакции поддерживающего слоя жидкости
4.1. Постановка задачи. Определение сил реакции поддерживающего слоя жидкости 75
4.2. Уравнения движения центра шипа относительно неподвижного вкладыша. Устойчивость движения 82
4.3. Уравнения движения сбалансированного ротора на жестком валу в податливых опорах 87
4.4. Исследование устойчивости движения идеально сбалансированного ротора схемы 1 90
4.5. Исследование устойчивости движения идеально сбалансированного ротора схемы 2 93
ГЛАВА 5. Колебания упруго-вязких балок, несущих вращающийся ротор
5.1. Постановка задачи. Уравнения движения 99
5.2. Собственные колебания упругой балки, несущей вращающийся ротор 107
5.3. Собственные колебания упруго-вязкой балки, несущей вращающийся ротор 111
Заключение 116
Литература 118
- Динамический гаситель колебаний на основе упруго-вязкого тела модели Кельвина
- Влияние внутреннего трения, не зависящего от частоты вращения, на устойчивость
- Вынужденные колебания ротора, обусловленные статическим и динамическим дисбалансами при установившемся режиме вращения
- Уравнения движения центра шипа относительно неподвижного вкладыша. Устойчивость движения
Введение к работе
В современной технике, начиная от гироскопических приборов и кончая газотурбинными двигателями самолетов, турбинами электростанций, основным элементом является ротор, вращающийся в опорах [1, 13, 23, 28, 36, 39, 80, 84, 88]. Развитию динамики роторов в XX веке во многом способствовали такие отечественные и зарубежные ученые, как Н.Е. Жуковский, Ю.А. Архангельский, Е.Л. Николаи, А.Н. Крылов, Ф.М. Дименберг, А.С. Кельзон, ЯМ. Ройтенберг, К. Магнус, Р. Граммель, А. Тондл и многие другие. По динамике гироскопа и ротора в опорах написаны монографии, учебники, статьи, защищено множество кандидатских и докторских диссертаций [4, 6, 8, 10, 11, 14, 15-17, 25, 28, 31, 48, 51, 60-62, 75, 79, 89, 97, 101].
На всех этапах развития гироскопического приборостроения, двига-телестроения основной задачей является уменьшение колебаний ротора, вызванных дисбалансом, а также изоляция чувствительных приборов системы ориентации от внешних возмущений, так как система ротор - опоры определяет ресурс всего механизма [14, 37]. Кроме того, вибрации, передаваемые через основания механизмов несбалансированными роторами, при известной интенсивности оказывают вредное влияние на человека. В настоящее время в связи с ростом мощностей турбин, турбокомпрессоров, с возрастающими требованиями точности к гироскопическим приборам проблема уменьшения колебаний и защита от них становится все более актуальной.
Уменьшить колебания ротора можно балансировкой, а также защитой от внешних сил. Указанные пути снижения амплитуд колебаний оказываются порой недостаточными. Поэтому необходимо изыскивать методы, основанные на активном противодействии возмущающим силам. Таким эффективным методом является демпфирование. Первым, кто обратил внимание на создание и расчет демпферов с заранее определенной силой трения, был П.Л. Капица. Уже в тридцатые годы им было рассчитано и создано несколько быстроходных турбин с оригинальными демпферами. Затем расчет демпфирующих устройств нашел отражение в ряде работ [12, 21, 22, 33, 38, 41, 44, 45, 78, 79, 86, 93, 96]. В указанных работах авторы рекомендуют преодолевать виброперегрузки и виброперемещения за счет уменьшения жесткости системы ротор - опоры. Разработанные ими методы позволяют добиваться сужения зоны неустойчивости и обеспечивать тем самым прохождение ее при приемлемых амплитудах колебаний. В работах [78, 79} дан анализ различных типов демпфирующих устройств, в том числе и оригинальной схемы демпфера, разработанного П.Л. Капицей.
Для изготовления демпфирующих опор может быть с успехом применен ряд материалов с высокими энергопоглощающими свойствами. Теоретические соображения и экспериментальные исследования показывают, что реальные тела сопротивляются пропорционально приложенным нагрузкам лишь в известных интервалах температур и скоростей приложения нагрузки или деформирования. При высоких температурах и скоростях проявляется зависимость деформаций от времени действия нагрузки, то есть система ведет себя как упруго-вязкое (реологическое) тело. Многие строительные материалы, высокодемпфирующие сплавы, композиционные материалы уже при комнатной температуре проявляют упруго-вязкие (реологические) свойства. Поэтому при расчетах необходимо не только считаться с рассеянием энергии в реологических телах, а также использовать реологические материалы для демпфирования колебаний. Современные методы позволяют получать композиционные материалы и высокодемпфирующие сплавы с необходимыми реологическими свойствами. Исследованию упруго-вязких свойств материалов посвящена обширная литература [7, 9, 65-71, 73, 74, 76, 77, 81, 82,88, 91, 99-103, 105, 106, 108,109-113]. Состояние вопроса о поведении упруго-вязких тел на сегодняшнее время базируется на ряде теорий, гипотез, которые являются порой не согласующимися даже для одних условий деформации. Экспериментальные данные, полученные у нас в стране и за рубежом, еще не позволяют построить общую теорию. Но это не дает основания откладывать теоретические исследования до окончательного накопления знаний, необходимых для построения единой теории упруго-вязких тел [8, 75]. В работах [74, 75, 113] дан анализ различных моделей упруго-вязких тел, нашедших применение при расчетах. Наибольшее распространение из них получили модели Фойгта, Кельвина, а также модели, на основании которых получают интегральные уравнения со слабо сингулярными ядрами [74, 75, 113]. Наиболее близкой к реальной картине деформации материала является модель упруго-вязкого тела Кельвина [73, 75], материал которого подчиняется закону:
В отечественной и зарубежной печати исследование моделей упруго-вязких (реологических) тел представлено большим числом монографий и журнальных статей. Наиболее полное исследование дается в монографиях А.Р. Ржаницына, Ю.Н. Работного, А.Ю. Ишлинского, а также их учеников.
Уравнения гироскопических систем могут быть составлены тремя способами: Эйлера, Лагранжа и д Аламбера [63]. Оценивая преимущества и недостатки каждого из способов, можно сказать, что уравнения Лагранжа обладают весьма ценным качеством: в них не входят реакции связей. Это преимущество тем существеннее, чем сложнее система [2, 39, 60].
Вопрос составления уравнений типа Лагранжа для гироскопических систем с упруго-вязкими элементами модели Кельвина в литературе практически не освещался. При составлении уравнений Лагранжа в такого рода системах обычно вводится поправка на рассеяние энергии в виде нелинейной функции, учитывающей гистерезисные потери в элементах системы [66, 68,
69, 70, 71, 81, 82, 84, 109-113] или линейной диссипативной функции, пропорциональной квадрату скорости перемещения [10, 20, 23, 32, 37]. Исследования гироскопических систем с упруго-вязкими элементами, материал которых подчиняется закону (1), до настоящего времени не проводились.
Подшипники скольжения находят широкое применение в технике в силу ряда существенных преимуществ перед подшипниками качения: они могут воспринимать значительные нагрузки, обладают большой устойчивостью при динамических возмущениях, работоспособны на высоких скоростях, не вызывают серьезных аварий при неисправностях, имеют низкую себестоимость и т.д. Исследованию поведения роторов с учетом гидродинамических сил смазочного слоя подшипников скольжения с жидкостной смазкой посвящено также множество работ [1, 3-5, 14, 26, 32, 36, 37, 40, 45, 78, 86] и др. В указанных работах показано, что гидродинамические силы, возникающие в смазочном слое, могут служить причиной повышенных вибраций. Определение гидродинамических сил в этих работах проводится на основании законов гидродинамики, но только в работе [3] гидродинамические силы определены с учетом членов, включая вязкостные, инерционные и массовые силы до порядка малости относительного радиального зазора включительно.
На основании вышеизложенного можно сформулировать цель исследования: вывод уравнений движения, подобных уравнениям Лагранжа, для систем, содержащих упруго-вязкие (реологические) тела модели Кельвина, и исследование на их основе движений роторов на реологических основаниях, а также валов, изготовленных из реологического материала; исследование поведения жесткого ротора с учетом гидродинамических сил.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы.
Динамический гаситель колебаний на основе упруго-вязкого тела модели Кельвина
В отличие от динамического гасителя колебаний на основе упруго-вязкого тела модели Фойгта (рис. 1.5а), рассмотренного в работах [20, 87], динамический гаситель колебаний на основе модели упруго-вязкого тела модели Кельвина при одном коэффициенте демпфирования может иметь, как уже отмечалось выше, две или одну резонансную амплитуду в зависимости от величины соотношения между жесткостями упругих элементов гасителя (рис. 1.8).
При малых значениях отношения жесткостей упругих элементов {\ f 2,4) увеличение отношения / = т,/т] приводит к более значительному снижению второй резонансной амплитуды (рис. 1.9). При больших значениях отношения жесткостей (/ 2,4) увеличение у также приводит к снижению амплитуды колебаний. Граничное значение отношения жесткостей /«2,4 определяет минимальную резонансную амплитуду при заданных в этом случае / = 0,05 и // = 0,32. Уменьшение коэффициента демпфирования /л (уменьшение вязкости в упруго-вязком теле модели Кельвина) ведет тому, что динамический гаситель колебаний модели Кельвина ведет себя как система с двумя степенями свободы (рис. 1.10). Как видно из этого рисунка, в этом случае наиболее эффективным оказывается динамический гаситель с большим /. Используя программы минимизации функции коэффициента динамичности, можно определить оптимальные значения величин у, /и и / в динамическом гасителе колебаний на основе упруго-вязкой модели тела Кельвина. Таким образом, используя схему динамического гасителя колебаний, изображенного на рис. 1.56, мы получаем дополнительный параметр для минимизации амплитуд вынужденных колебаний. Выводы: Полученные уравнения (1.1.12) и (1.1.13), подобно уравнениям Лагранжа второго рода, обладают очень ценным свойством: в эти уравнения не входят реакции связей. Учет упруго-вязких свойств материала по модели Кельвина приводит к увеличению порядка дифференциальных уравнений. В отличие от классических уравнений Лагранжа, уравнения (1.1.12), (1.1.13) имеют третий порядок. Поэтому для получения общего решения необходимо знать систему трех начальных условий. Такими условиями могут быть: то есть, кроме начального перемещения и начальной скорости надо знать еще и начальное ускорение. Уравнения (1.1.12) и (1.1.13) позволяют исследовать движение системы твердых и упруго-вязких тел модели Кельвина и могут быть использованы при исследовании систем виброзащиты с реологическими элементами, при расчетах демпфирующих устройств, в динамике роторов на не вполне упругих основаниях и в других задачах теории колебаний. Для снижения виброактивности роторов применяют различные схемы установки вала ротора в опорах. В традиционном исполнении подшипник ротора устанавливается в упругой опоре, то есть в невращающемся упругом поле. Однако для высокооборотных роторов более эффективным является применение упругих полей опор вращающихся вместе с ротором. В [37] классифицированы варианты установки ротора в опорах (динамические схемы): Схема 1 - ротор в жестких опорах; Схема 2 - ротор в невращающемся изотропном упругом поле; Схема 3 - ротор во вращающемся упругом поле. При исследовании движения роторов и их устойчивости остро встает вопрос о силах неупругого сопротивления материала вала и опор. Многочисленные модели предлагают различные зависимости описания этих сил [36, 37, 70, 73, 74]. Широко применяемая модель Фойгта дает качественное несов 32 падение теоретического исследования устойчивости ротора с результатами, полученными из нелинейных зависимостей и подтвержденными экспериментально [37]. В качестве сравнения снижения виброактивности рассмотрим движение ротора на упруго-вязком валу, закрепленным согласно предложенным схемам, но с упруго-вязкими полями опор модели Кельвина (У-В ТК) (рис.2.1). Причем будем считать, что материал вала и опор подчиняется закону деформирования упруго-вязкого тела модели Кельвина, то есть уравнению (1.1.1).
Влияние внутреннего трения, не зависящего от частоты вращения, на устойчивость
График суммарного рассеяния энергии приведен на рисунке 2.15 сплошной линией. Для сравнения на том же рисунке штрих-пунктирной линией изображен график суммарного рассеяния энергии по Фойгту, штриховой линией обозначена величина относительного рассеяния внешнего трения.
На нем отчетливо видно смещение критической скорости, за которой возможно наступление неустойчивости, в сторону меньших значений. Подтверждается приведенный в предыдущем пункте результат о том, что при Q внешнее и внутреннее трения складываются, а при a Q." вычитаются. При этом, как и в случае модели Фойгта [11], могут представиться различные случаи: чивости сужается, то есть модель Фойгта дает несколько завышенные результаты. Изменяя величину f = Н/ можно изменять зону неустойчивости. Уменьшая величину /, мы тем самым сдвигаем зону неустойчивости в сторону меньших значений и сужаем ее. Это позволяет добиться прохождения через резонансные частоты до начала рабочих оборотов вала.
Во второй главе получены уравнения движения ротора на упруго-вязком валу, материал которого деформируется согласно модели Кельвина (1.1.1), для трех динамических схем по классификации, данной в [37]. Рассмотрена устойчивость движения роторов в опорах с невращающимся упруго-вязким полем (схема 2) и вращающимся упруго-вязким полем (схема 3). С помощью системы MCAD построены граничные поверхности устойчивости обеих схем и дан сравнительный анализ с упруго-вязким валом по Фойгту [37]. Исследовано движение ротора на упруго-вязком валу в жестких опорах (схема 1). Проведено сравнение с аналогичной задачей, в которой внутреннее трение определяется моделью Фойгта [11]. Выявлен ряд отличительных особенностей и различий в графиках суммарного рассеяния энергии внутри материала вала моделей Фойгта и Кельвина. Доказано, что модель деформирования по Фойгту дает несколько завышенные результаты зоны неустойчивости. В соответствии с моделью Кельвина, зона неустойчивости при произвольной зависимости внутреннего трения от частоты, несколько меньше зоны неустойчивости по Фойгту. Изменяя параметры (с,к,гі) упруго-вязкого тела по Кельвину, можно добиться либо отсутствия зоны неустойчивости, либо прохождения через резонансные частоты до начала рабочих оборотов вала.
Представим себе жесткий вал, на котором закреплен ротор, вращающийся с постоянной угловой скоростью Q. Шипы вала в точках (9, и 02 соединены с основанием упруго-вязкими опорами модели Кельвина с коэффициентами жесткости 0,5с,, 0,5с2, коэффициентами вязкости 0,5А-, , 0,5А 2 И временем релаксации п. Главный центральный осевой момент инерции ротора обозначим через В, экваториальные - А, массу ротора - т. Выбираем неподвижную систему координат Oxyz с началом в центре масс невращающегося ротора; при этом ось Оу направим вдоль оси вращения в положении равновесия (рис.3.1). в двух упруго-вязких опорах. Из конструктивных соображений будем считать, что перемещение оси вращения вдоль Оу отсутствует. Положение оси вращения ротора в пространстве будем определять координатами концов вала или углами Резаля [43] и координатами какой-либо точки вала. Эти величины будем считать в дальнейшем малыми первого порядка. Статическая неуравновешенность ротора определяется смещением е центра масс С от оси вращения, динамическая 8 - несовпадением главной центральной оси инерции с осью вращения вала. Пусть точка D- точка пересечения плоскости, проходящей через центр масс С и перпендикулярной к главной центральной оси Су" , с осью вращения. Через 8 обозначим малый Рис.3.2. Величины e,s,S, определяющие статический и динамический дисбаланс. угол наклона оси Су" к оси вращения Dy (рис.3.2). Углы Резаля (р,у/, определяющие положение оси жесткого ротора в пространстве. Введем, кроме того, угол є, определяющий плоскость динамического дисбаланса. Величинами е, 8, є полностью характеризуется неуравновешенность ротора. Массой вала в этом исследовании пренебрегаем. Длину вала обозначим через /, расстояния точки D от опор обозначим через а и Ь, то есть l = a±b.
Вынужденные колебания ротора, обусловленные статическим и динамическим дисбалансами при установившемся режиме вращения
На основании уравнений движения для систем с упруго-вязкими элементами модели Кельвина (1.1.13) получены уравнения движения жесткого ротора в упруго-вязких опорах с учетом гироскопического момента. С помощью критерия Рауса-Гурвица установлены границы устойчивости ротора на горизонтальном валу.
Ротор в упруго-вязких опорах модели Кельвина так же имеет одну критическую скорость при А В и две критические скорости при В А , как в случае вращения ротора в упруго-вязких опорах модели Фойгта.
При неограниченном возрастании угловой скорости ротор в опорах модели Кельвина также стремится к самоцентрированию. При установившемся режиме вращения ротор дисковой конструкции имеет одну резонансную амплитуду в случае статического и динамического дисбаланса, а ротор барабанного типа (В А) имеет две резонансные амплитуды. Изменение упруго-вязких свойств материала опор сильнее сказывается на второй резонансной амплитуде, соответствующей более высокой частоте вращения.
Как и при колебаниях, обусловленных статической и динамической неуравновешенностями, в случае вынужденных колебаний обусловленных гармоническими колебаниями основания, роторы дисковой конструкции имеют одну резонансную амплитуду, а роторы барабанной конструкции - две резонансные амплитуды прямой прецессии.
С повышением реологических свойств материала опор величины резонансных амплитуд падают для любой конструкции ротора. Для роторов барабанной конструкции повышение реологических свойств также сказывается на более высокой частоте.
Опоры скольжения имеют ряд существенных преимуществ перед подшипниками качения: восприимчивость больших нагрузок, устойчивость к динамическим возмущениям, возможность работы на больших скоростях, большой ресурс, низкая себестоимость, простота в обслуживании и др. [85].Однако гидромеханические силы, действующие в смазочном слое, в значительной степени влияют на устойчивость движения ротора. Склонность к повышенным вибрациям роторов в подшипниках скольжения была впервые отмечена Ньюкерком в 1924 году. Затем, основываясь на данных экспериментальных исследований, Ньюкерк и Тейлор выдвинули гипотезу, что причиной вибраций являются гидромеханические силы смазочного слоя.
Полный учет всех членов в уравнениях гидродинамического слоя делает задачу об определении сил реакций поддерживающего слоя неразрешимой, а более или менее упрощенные модели приводят либо к завышенным условиям устойчивости, либо дают противоречащие друг другу результаты [14, 39, 86]. В работах Андрейченко К.П. [3, 4] показано, что при исследовании устойчивости движения цилиндрического гидродинамического подвеса и подшипника скольжения нужно учитывать локальные и наиболее полно конвективные члены. В работе [3] впервые проведено исследование устойчивости цилиндрической оболочки на поддерживающем слое жидкости с учетом членов, включая инерционные, вязкостные, массовые до порядка малости относительного зазора (/#,) с использованием метода усреднения.
Проведем анализ влияния сил реакции смачивающей жидкости на устойчивость цилиндрического шипа и исследуем устойчивость движения сбалансированного жесткого ротора, установленного в податливых опорах с учетом сил реакций поддерживающего слоя. Рассмотрим ротор, представляющий собой безмассовый жесткий вал с одним диском массой т, закрепленным посередине вала без перекоса (рис.4.1). О движении ротора будем судить по движению шипа, которому присвоим массу т и представим в виде внутреннего цилиндра 2 радиуса Л1, длиной /, вращающегося с установившейся угловой скоростью со внутри неподвижной цилиндрической оболочки радиуса Rxn массы т0, равной суммарной массе опор (рис. 4.2). Введем в рассмотрение неподвижную систему координат Oxyz, центр которой совпадает с центром пересечения упругих опорных элементов [ОЭ] (рис. 4.1), и подвижную систему координат Olxlylzl , начало которой совпадает с центром внешней цилиндрической оболочки (рис. 4.2).
Уравнения движения центра шипа относительно неподвижного вкладыша. Устойчивость движения
В реальных роторных механизмах приведенная плотность ротора рх не только не равна плотности жидкости (ЭФ 1), но и во много раз превышает ее. Следовательно, система (11) имеет два нулевых корня, что говорит о неустойчивости движения. К такому же выводу пришли Кельзон А.С, Циманский Ю.П. и Яковлев В.И. в работе [37], рассматривая движение вертикального вала в предельном случае, при котором жесткость упругих опор неограниченно возрастает. Математическое моделирование показало, что центр масс шипа уходит от центрального положения при начальном возмущении независимо от параметров системы.
Таким образом, доказано, что центральное положение шипа (ротора) относительно неподвижного внешнего цилиндра (вкладыша) на основании уравнения гидродинамического слоя смазки, даже при учете величин порядка малости относительного зазора неустойчиво. Как было отмечено в начале главы, авторы используя ту или иную модель гидродинамического слоя приходили к различным условиям устойчивости [3, 4, 5, 14, 39, 86].
Применяя ту или иную гипотезу (теорию) течения смазки в зазоре подшипника скольжения, мы удерживаем те или члены в уравнениях гидродинамического слоя в соответствии с принятой гипотезой и допущениями о порядке оставляемых членов. Неизменным остается лишь факт, что система однородных уравнений, подобных системе (14), имеет лишь нулевые корни. Отличным от нуля решение может быть лишь в том случае, если система уравнений (14) станет неоднородной. Появление членов не зависящих от а и (о, делающих ее неоднородной невозможно из уравнений гидродинамического слоя при любых теориях и допущениях принятых в исследовании движения ротора с учетом сил реакций поддерживающего слоя смазки.
Такие члены появляются лишь при рассмотрении системы ротор -поддерживающий слой - податливые опоры. Они возникают от влияния упругих (упруго-вязких) опор через гидродинамический слой на движение ротора. Именно установка ротора в податливые опоры придает системе новое качество - в системе открывается широкая (неограниченная по скорости вращения ) зона устойчивости. К аналогичному результату пришли и авторы работы [37].
Рассмотрим движение сбалансированного ротора, установленного в деформируемых опорах массой /w0, которые будем считать в одном случае абсолютно упругими, в другом упруго-вязкими модели Фойгта (рис. 4.4).
Центр масс ротора, расположенный в точке 93(на рисунке 4.2 он не изображен), и центр шипа, расположенный в точке 02, и центр опор, расположенный в точке Ох, совпадающей с началом подвижной системы координат, связаны между собой соотношениями: На основании основного закона динамики получим дифференциальные уравнения малых колебаний системы ротор- поддерживающий слой- опоры.
