Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Движение твердых частиц, взвешенных в жидкости в волновых полях 12
1.1.0 динамике твердых частиц, взвешенных в несжимаемой жидкости при
вибрационных воздействиях ..,. 12
1.1.1. Постановка задачи 14
1.1.2. Движение частиц внутри полости при вибрационных воздействиях 20
1.1.3. Случай, когда частоты колебаний по всем осям равны между собой. 26
1.1.4. Случай, когда полость вращается вокруг одной из осей и совершает угловые колебания вокруг двух других 29
1.2. О движении твердых частиц, взвешенных в колеблющейся сжимаемой среде... 38
1.2.1. Уравнения движения и постановка задачи 40
1.2.2. Режим присоединенной массы 46
1.2.3. Вязкий режим 51
1.2.4. Движение твердых частиц в плоской стоячей воде 59
1.2.5. Движение частиц в плоской бегущей волне 67
1.2.6. Движение твердых частиц в сферической бегущей волне 71
ГЗ.Выводы 79
Глава 2. Динамика мелких по сравнению с масштабом течения пузырьков в жидкости при колебаниях 81
2.1 Динамическое поведение газовых включений в колеблющейся вязкой жидкости. 81
2.1.1. Постановка задачи 81
2.1.2. Дрейф пузырьков в колеблющейся вязкой жидкости . 87
2.1.3. Анализ возможных форм односторонне направленных движений пузырей 93
2.2.0 пространственных формах движения пузырьков и условиях их проникновения в колеблющуюся жидкость со свободной поверхностью 102
2.2.1. Постановка задачи 103
2.2.2. Механизмы односторонне направленных движений пузырей, обусловленные волнами на свободной поверхности жидкости 112
2.2.3. Перемешивание жидких сред с пузырями в колеблющихся полостях со свободной поверхностью, газирование, ликвидация недоступных для пузырей зон. Методика оценки влияния параметров на эти процессы 118
2.3. Выводы 127
Глава 3. Движение газового включения в капилляре при воздействии вибрации. Приложения к задаче о движении газовых включений в порах насыщенных жидкостью пористых сред и в системах подачи топлива 129
3.1. Математическая постановка задачи 130
3.2. Модельный анализ форм движения газовых включений в капилляре из положений покоя в случае основного резонанса 140
3.2.1. Уравнения для малых отклонений от начального положения 141
3.2.2. Возможные формы движения газового включения на начальном этапе в горизонтальном капилляре из начальных положений с нулевыми скоростями 152
3.2.3. Модельный анализ волнового вытеснения газа из пор и трещин пористых сред. 154
3.2.4 Модельный анализ волнового вытеснения жидкости из пор пористых сред... 159
3.2.5 Модельный анализ волнового перемещения газовых вкючений в вибрирующих трубопроводах 164
3.3. Численные и экспериментальные исследования движения газовых включений в колеблющихся капиллярах 166
3.3.1 Численное интегрирование 167
3.3.2 Экспериментальные исследования 168
3.3.3 Сравнение экспериментальных и теоретических результатов. 170
3.3.5. Результаты расчета динамики газовых включений в типовых системах топливоподачи ЖРД 171
3.4 Выводы 173
Глава 4. Трансформация волновых движений в односторонне направленные в трубках с податливыми стенками 175
4.1. О динамике жидкости в тонких трубках и капиллярах с деформируемыми стенками при волновых воздействиях 175
4,1.1 .Постановка задачи... 176
4.1.2. Методика решения 179
4.1.3. Результаты расчетов. Эффект аномального ускорения течения жидкости в капиллярах н пористых средах 182
4.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости по податливой трубе. Моногармонические автоколебания и вторичные течения 184
4.2.1. Постановка задачи 186
4.2.2. Методика вычислений 190
4.2.3. Волновые формы автоколебаний 191
4.2.4. Вторичные течения 193
4.2.5. Направление ветвления. Жесткое и мягкое возбуждение автоколебаний... 195
4.3 Выводы 198
Глава 5. Волновые процессы в пористых насыщенных жидкостью средах 200
5.1. Распространение нелинейных волн в насыщенной жидкостью пористой среде. Возможности уменьшения затухания 200
5.1.1. Вывод уравнения Бюргерса 201
5.1.2. Зависимость коэффициентов уравнения Бюргерса от модуля объемного сжатия. 204
5.1.3. Влияние нелинейности на распространение волны. Нелинейное параметрическое взаимодействие 206
5.2.0 резонансном характере распределения амплитуд волнового поля в призабойной зоне пласта 209
5.2.1. Постановка задачи 209
5.2.2. Методика решения 212
5.2.3. Результаты расчетов. Резонансное усиление колебаний в пористых средах с каналами 213
5.3. Экспериментальные исследования по интенсификации фильтрации призабойных зон с помощью волновых воздействий 216
5.3.1 Очистка пористой среды от загрязнений в виде твердых частиц в порах 217
5.3.2. Создание в пористых насыщенных жидкостью средах слабопроницаемых локальных зон 224
5.3.3. Опытно-промысловые испытания по очистки призабойных зон пластов вблизи нагнетательных и добывающих скважин 226
5.4 Выводы 228
Заключение 230
Литература
- Движение частиц внутри полости при вибрационных воздействиях
- Дрейф пузырьков в колеблющейся вязкой жидкости
- Модельный анализ форм движения газовых включений в капилляре из положений покоя в случае основного резонанса
- Результаты расчетов. Эффект аномального ускорения течения жидкости в капиллярах н пористых средах
Введение к работе
Задачей многих технологических процессов, производимых в многофазных средах, представляющих собой взаимодействующие системы твердых, жидких и газообразных сред, является создание относительных движений фаз.
При гомогенизации эмульсий и суспензий в технологиях получения строительных материалов требуется обеспечить равномерное распределение компонентов по всему объему смеси. В энергетике при получении водотопливных эмульсий требуется обеспечить равномерное распределение капель воды в топливе, при этом должна быть осуществлена сортировка капель по размерам. В пищевой промышленности при гомогенизации молока и приготовлении различного рода смесей также необходимо обеспечить равномерное распределение дисперсных элементов в смеси, причем размеры дисперсных включений не должны превосходить определенных величин. Аналогичные технологические задачи должны быть решены во многих процессах разнообразных химических технологий, в фармакологии и др. отраслях народного хозяйства.
В процессах очистки жидкостей от механических примесей (при решении многих экологических проблем) требуется обеспечить движение твердых частиц и капель, взвешенных в дисперсионной жидкости, с целью удаления загрязнений.
При пропитке пористых сред жидкостью, а также в процессах нефтегазодобычи требуется создавать движение жидкостей или углеводородосодержащих флюидов по порам пористого скелета, кроме того, для очистки призабоиных зон продуктивных пластов требуется обеспечить перемещение загрязняющих пласт твердых частиц из пласта в скважины.
Во многих процессах экологии (биологическая очистка сточных вод, обеззараживание водопроводной воды) требуется создавать движения пузырьков газа относительно окружающей их жидкости, сортировать их по размерам, размещать и удерживать газ внутри жидкого объема.
В ряде процессов химической технологии и пищевой промышленности необходимо, наоборот, обеспечить удаление газа из жидкости, то есть дегазацию.
При разделении двух или нескольких жидкостей при их транспортировании по трубопроводам необходимо обеспечить ламинарный характер движения при значительных расходах и, наоборот, при необходимости перемешивания и гомогенизации смеси жидкостей полезное действие оказывает турбулизация течения медленно движущихся жидкостей.
Традиционные технологии для создания вышеперечисленных движений используют обычно внешние массовые силы, например, гравитационные и центробежные, либо специально созданные постоянные градиенты давления (последнее достигается, например, в процессах нефтедобычи путем нагнетания в пласт воды). В процессах гомогенизации применяют обычно мешалки различных конструкций с рабочим органом в виде вращающихся лопастей.
Типичными недостатками традиционных технологий являются ограниченность величин скоростей относительных движений фаз и невозможность осуществления гибкого управления относительными движениями фаз при использовании внешних массовых сил и градиентов давления, а также наличие застойных зон и недостаточно качественное перемешивание при использовании мешалок. В ряде случаев традиционные способы не позволяют в принципе осуществить те формы относительного движения фаз, которые требует технологический процесс.
В 70 - е годы прошлого века Р.Ф.Ганиевым была выдвинута идея использовать для получения необходимых форм относительного движения фаз многофазных сред колебания и волны. Было предложено использовать вместо постоянных массовых сил силы иной природы. А именно, постоянные в среднем по времени силы, возникающие в неоднородных волновых полях в многофазных средах и действующие между их фазами. Эти силы приводят к эффектам односторонне направленных относительных перемещений фаз. Для осуществления процессов гомогенизации было предложено использовать эффекты резонансной турбулизации и перемешивания многофазных систем, проявляющийся при колебательных воздействиях на многофазную среду.
На базе этой идеи возникла так называемая волновая технология. Она вобрала в себя весь предшествующий опыт развития вибротехники и ультразвуковой технологии, принципиально отличаясь от последних тем, что не ограничивается заранее каким-либо диапазоном вибрационных воздействий, а использует частоты и амплитуды исходя из требования осуществления именно тех форм движения, которые необходимы для проведения технологического процесса.
Следует отметить, что ряд родственных по физическим механизмам эффектов был давно известен. Например, давно известен эффект радиационного давления. Для движения твердых частиц и газовых пузырьков в простейших волновых полях (плоские стоячая и бегущая волны) он наблюдался экспериментально еще в позапрошлом веке Кундтом, Ланжевеном, П.Н.Лебедевым и получил теоретическое объяснение в работах Бьеркнеса, Н.Е.Жуковского, Кинга, Вестервелта, ЛДЛандау и ЕМЛившица,
ЛЛ.Горькова, С.СДухина. Некоторые из эффектов данного рода, как, например, аку
стические течения известны со времен Релея, Шлихтинга, Эккарта. Эффект затопления
пузырей при одномерных колебаниях полости, заполненной жидкостью с газовыми
пузырями был установлен в 50-х годах прошлого века Блейхом, Помимо упомянутых
известны и другие работы, в которых устанавливались возможности возникновения од
носторонне направленных в среднем движений дисперсных фаз многофазной среды
относительно дисперсионной жидкости при внешних колебательных воздействиях. Ма
тематически возникновение такого рода форм движения обусловлено наличием квадра
тичных нелинейных членов в уравнениях движения и фазовыми сдвигами между чле
нами, представляющими сомножители этих квадратичных членов. Физически возмож
ность возникновения односторонне направленных форм движения дисперсных фаз в
) волновых полях обусловлена тем, что суммарный импульс, передаваемый дисперсному
элементу среды от волнового поля, за период колебаний может оказаться отличным от нуля.
Во всех упомянутых работах ненулевые в среднем по времени силы, действующие между фазами многофазных сред, оказывались величинами второго порядка малости по сравнению с колебательными составляющими. Поэтому почти всегда этими силами и сопровождающих их эффектами допустимо пренебрегать. Поэтому мысль об их практическом использовании никогда не возникала.
Вопрос о том, всегда ли данные силы пренебрежимо малы, либо для некоторых
форм волновых полей они могут оказаться фактором, качественно определяющим ди
намику многофазной среды, является основным при оценке возможностей практиче-
; ского использования упомянутых эффектов. Именно понимание того, что в ряде случа-
ев такое возможно, позволило Р.Ф.Ганиеву выдвинуть основополагающую для волновой технологии идею, которая явилась основой при разработке нелинейной волновой механики и волновой технологии. Настоящая работа развивает эту идею, выдвигает на ее основе ряд принципиально новых постановок задач и приводит к новому научному направлению, имеющему ряд важных приложений.
Разработка данного научного направления в работе осуществляется в рамках изучения трех моделей: твердые частицы, взвешенные в жидкости; пузыри и иные газовые включения, взвешенные в жидкости; а также жидкости, ограниченные податливыми границами. Все рассмотренные в работе задачи в рамках упомянутых моделей направлены на установление тех условий, когда при колебательных внешних воздействиях в рассматриваемых многофазных системах возникают не колебательные формы
движения (односторонне направленные относительные движения фаз), либо нестационарные формы движения, способствующими перемешиванию среды, причем, величины скоростей односторонне направленньк движений и количественные характеристики перемешивания таковы, что допускают эффективные технологические приложения.
Для оценки пригодности той либо иной формы движения многофазной среды для проведения технологических процессов следует определить стационарные в среднем по времени силы, обусловленные волнами и действующие между фазами многофазной среды, и сопоставить их с известными, например, с гравитацией или со стационарным перепадом давлений. Особый интерес при этом имеют те случаи, когда традиционные подходы неэффективны (например, в высоковязких средах, когда относительные скорости фаз, обусловленные различными их плотностями и, следовательно, различными величинами массовых сил, к ним приложенным, малы, либо когда использование внешних массовых сил невозможно). В работе разработан общий метод получения уравнений односторонне направленных относительных движений фаз многофазных сред в волновых полях. Анализ полученных уравнений позволяет произвести оценки средних по времени сил, действующих между фазами в волновых полях, и оценить возможности их использования для реализации технологических процессов в произвольных пространственных волновых полях.
Такой анализ для многофазных сред «твердые частицы - жидкость», «твердые частицы - газовые пузыри» для двух предельных случаев, когда в силах межфазного взаимодействия преобладают силы присоединенных масс и когда в силах межфазного взаимодействия преобладают вязкие силы. Установлены случаи, когда стационарные силы, обусловленные волнами, могут быть рекомендованы для использования в процессах волновой технологии.
При рассмотрении колебаний взвесей пузырей в сосудах проведен анализ условий (геометрических характеристик сосуда, частот и амплитуд колебаний), при которых пузыри будут располагаться в заданных областях среды, что весьма важно для технологических процессов перемешивания.
При рассмотрении многофазных сред типа насыщенных жидкостью пористых сред рассмотрены течения жидкости и газа в порах при колебаниях. Установлены случаи, когда скорости перемещения жидкости сквозь поры благодаря колебаниям стенок пор могут быть весьма существенны и пригодны для интенсификации фильтрационных процессов и повышения нефтеотдачи пластов при нефтедобыче. Установлены также динамические условия, определяющие односторонне направленное движение газового
включения по капилляру, заполненному жидкостью при колебаниях. При одних значениях частот и амплитуд воздействий, газовые включения перемещаются вглубь пор, а жидкость вытесняется из них в более проницаемые элементы пласта. При других - наоборот, газ вытесняется из пор, а жидкость защемляется в слабопроницаемых порах. Последние результаты являются основанием для применения колебаний и волн при решении задачи повышения газоконденсатоотдачи пластов.
Кроме того, полученные результаты по движению газовых включений по колеблющимся капиллярам с жидкостью позволяют выработать рекомендации по предотвращению аварийных ситуаций в системах топливоподачи ЖРД. С их помощью удалось для типовой системы топливоподачи двигателя и конкретных значений характеристик вибрации, которой подвергается система топливоподачи в эксплуатационных условиях, определить места, где может происходить скопление пузырьков. Образование таких скоплений особенно опасно при запуске насосов. Дело в том, что попадание газового скопления в насос в момент запуска способно привести к аварии. На основании расчетов удалось установить те начальные положения пузырей в системе топливоподачи, которые в эксплуатационных условиях могут в момент запуска насосов оказаться на входе в насосы. В местах этих опасных начальных положений было предложено дополнить конструкцию топливной магистрали дополнительными дренажами, которые бы предотвратили возможности попадания пузырей на вход насосов в эксплуатационных условиях.
Использование волн, распространяющихся по стенкам транспортирующих жидкость элементов (поры пористых сред, разнообразные трубы и т.п.), может в ряде случаев обеспечит существенное ускорение течений, а в других стабилизировать, либо дестабилизировать течение. Оба эти эффекта имеют широкие приложения. Например, для обеспечения существенных фильтрационных потоков флюида в углеводородосо-держащих пластах при нефте- и газодобыче, а также для транспортирования жидкости и ее перемешивания в потоке, или, наоборот, для стабилизации течений в процессах разделения жидкостей в потоках.
Установленные в процессе выполнения работы явления и эффекты позволяют очень эффективно многократно интенсифицировать технологические процессы в самых различных отраслях народного хозяйства: в нефтяной и нефтеперерабатывающей промышленности и нефтехимии; в химической технологии; в энергетике; в экологии; в пищевой промышленности; в промышленности строительных материалов и др.
Таким образом, установление динамических основ волновой технологии представляет собой актуальную проблему механики многофазных сред, имеющую важное народнохозяйственное значение.
Цель работы.
Решение проблемы использования эффектов трансформации волнового и колебательного движения многофазных сред в односторонне направленные относительные движения фаз, а также в их нестационарные взаимопроникающие движения для эффективного решения технологических задач разделения, перемешивания и транспорта фаз.
Установление динамических эффектов относительного односторонне направленного движения фаз в многофазных средах в волновых полях, имеющих технологические приложения.
Создание методов анализа динамики относительного односторонне направленного в среднем движения фаз многофазных сред в волновых полях.
Анализ динамики твердых частиц и пузырей, взвешенных в жидкости, а также жидкости и газа в порах и узких каналах (в том числе с податливыми стенками) в волновых полях.
Анализ волновых процессов в насыщенных жидкостью пористых средах применительно к проблеме распространения волн в продуктивных пластах.
Научная новизна и значимость результатов исследований заключена
в установлении новых эффектов трансформации колебательного движения в односторонне направленное относительное движения фаз многофазных сред в волновых полях, которые имеют технологические приложения;
в разработке общих методов анализа возникновения в многофазных средах односторонне направленных относительных движений фаз в волновых полях;
в получении новых технологических возможностей очистки жидкостей и газов, а также пор продуктивных пластов от механических загрязнений;
в установлении новых технологических принципов и возможностей газонасыщения и дегазации жидкостей в трубопроводах и емкостях;
в установлении новых технологических возможностей волнового вытеснения жидкости или газа из пор насыщенных жидкостью и газом сред;
в создании методики определения мест возможного возникновения опасных с точки зрения функционирования топливных насосов газовых скоплений в линиях топ-ливоподачи;
в установлении новых эффектов волновой стабилизации и дестабилизации течений применительно к технологическим процессам разделения и перемешивания жидкостей в течениях по трубопроводам с податливыми и подвижными стенками;
в установлении резонансных характеристик модели призабойной зоны пласта с целью повышения амплитуды волнового поля;
в установлении эффекта увеличения амплитуды высокочастотной составляющей волнового поля в насыщенных жидкостью пористых средах, моделирующих продуктивные пласты нефтяных месторождений, при удалении от источника колебаний в случае двухгармонического возбуждения.
Достоверность основных научных результатов состоит в том, что некоторые из них при сравнении с экспериментальными результатами показали качественное, а в ряде случаев и количественное совпадение. Кроме того, она подтверждается тем, что в работе корректно используются строго обоснованные асимптотические методы нелинейной механики, в частности, метод усреднения Н.Н.Боголюбова.
Практическая ценность работы заключается в том, что
установлены формы односторонне направленных движений фаз многофазных сред в волновых полях, которые могут быть эффективно использованы в технологических процессах различных областей промышленности: нефтегазодобычи, химической технологии, нефтехимии, энергетики, экологии;
установлены формы движений многофазных систем в волновых полях, при которых происходит локализация дисперсных элементов, а также разнонаправленное их движение в зависимости от плотностей и размеров, которые могут эффективно использоваться в процессах очистки сред, аэрирования, газирования и дегазации, а также в процессах разделения и гомогенизации;
установлены условия усиления благодаря колебаниям гравитационного разделения частиц, взвешенных в жидкости, заключенной в колеблющийся резервуар;
установлены условия ослабления действия внешних массовых сил благодаря колебательным воздействиям на суспензии, заключенные в колеблющийся резервуар, что может быть использовано при создании аппаратов для гомогенизации суспензий;
анализ динамики пузырей в системах тошшвоподачи ЖРД при действии вибрации позволил выработать рекомендации по предотвращению попадания пузырей на вход насоса при его запуске;
установлены возможности путем подбора характеристик податливости стенок транспортирующих жидкость элементов достичь стабилизации (для устройств разделе-
ния жидкостей) и или, наоборот, дестабилизации течений (для проточных устройств перемешивания);
установлены условия аномально далекого распространения волн в пористых насыщенных жидкостью средах благодаря нелинейному параметрическому взаимодействию волн;
определены резонансные частоты для волн в призабойных зонах скважин с перфорацией;
разработанная с использованием установленных автором эффектов и расчетов волновая технология очистки призабойных зон пластов прошла ведомственную приемку и рекомендована к применению на предприятиях нефтедобычи.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту академику РАН Р.Ф.Ганиеву, без идейного влияния которого настоящая работа не могла бы быть выполнена.
Движение частиц внутри полости при вибрационных воздействиях
Предполагаем, что внешнее кольцо карданова подвеса совершает угловое колебательное движение вокруг вертикальной оси, а внутреннее кольцо — угловые колебания вокруг своей оси. Кроме того, сосуд, содержащий смесь, подвержен угловой вибрации вокруг оси Ох-, (і = 1,2, 3) т. е. углы в\, 02 и 6 — заданные периодические функции времени. Будем считать, что 0(= /(sin(p, (/ = 1,2,3) (1.11) где м/і = Qjt + ф, ; dx, П„ ф,- — безразмерные амплитуды (с масштабом L), частоты (с масштабом Q) и начальная фаза колебаний по углу 0,-.
В данном случае за масштаб частоты Q принималось среднее арифметическое частот по осям, поэтому между П(. (і = 1,2,3) выполняется соотношение 1=1
Теперь, подставляя (11) в (10), находим проекции угловой скорости полости и вектора ускорения свободного падения на оси системы Оххх2ху Затем с помощью найденных выражений вычисляем коэффициенты а., и Ь$ уравнений (8). Дальнейшее исследование заключается в выявлении стационарных или квазистационарных решений системы (8). Наличие устойчивых решений указанного типа обеспечит существование внутри полости равновесных или квазиравновесиых положений, где должно иметь ме 21 сто явление локализации частиц. Отсутствие таковых будет свидетельствовать о возможности реализации режима перемешивания и гомогенизации суспензии.
Предполагаем, что амплитуды угловых колебаний dt, а также коэффициент h, определяющий силы вязкого сопротивления,— малые величины одного порядка малости и, кроме того, безразмерный модуль вектора ускорения свободного падения g— малая величина такого же порядка, как квадрат амплитуд угловых вибраций. Учитывая это, вводим в (8) малый параметр fi и, ограничиваясь членами не выше второго порядка малости относительно di и h, представим (8) в виде
Остальные функции Ф( и Ф( (і = 2, 3) могут быть получены из Фх и Ф2 соответственно циклической перестановкой нижних индексов и добавлением в случае Ф3 слагаемого "-/g".
Анализ полученных уравнений и сопоставление их с исходным уравнением (8) показывает, что в рассматриваемом приближении наибольший вклад в силу, дейст Ошетим, что коэффициент h пропорционален квадрату отношения толщины пограничного слоя, образующегося вокруг частицы д — V ft , к радиусу частицы R , и, следовательно, условие А«1 физически означает малость о по сравнению с л . вующую на частицы, вносят часть переносного ускорения, пропорциональная первым степеням амплитуд угловых вибраций и часть присоединенной массы, dv пропорциональная —. Члены, описывающие эти силы, почекнуты в уравнении (8) одной чертой снизу. Они пропорциональны первой степени амплитуд колебаний полости. Именно они определяет два первых члена с коэффициентами в квадратных скобках в выражении для //Ф(. Эти члены могут обуславливать вынужденные колебания частиц относительно полости с амплитудами, пропорциональными амплитудам колебаний полости вокруг осей карданова подвеса. Остальные члены пропорциональны либо квадрату амплитуд колебаний углов карданова подвеса, либо произведениям компонент относительной скорости частицы на коэффициент h или на какую-либо из амплитуд колебаний подвеса, которые здесь считаются малыми более высокого порядка малости. Эти колебания происходят с теми же, что и колебания углов карданова подвеса, частотами в нестационарном гармоническом (с теми же частотами) поле сил, зависящем от положения частицы, внутри полости. Физическая природа этого силового поля - присоединенная масса жидкости, пропорциональная ускорению жидкости. Возможно, что импульс силы, приложенный к частице, за период ее колебаний может быть отличным от нуля. Он может явиться причиной возникновения вибрационной силы, обуславливающей односторонне направленное смещение центра масс частицы относительно окружающей жидкости и полости. Кроме того, квадратичные относительно амплитуд колебаний углов карданова подвеса члены, фигурирующие в (12) также могут привести к возникновению вибрационных сил. Для их вычисления и установления эффекта односторонне направленного перемещения частиц относительно полости здесь будет использоваться метод усреднения.
Предполагая, что движение частиц внутри полости близко к вынужденным колебаниям, обусловленным действием сил, описьшаемых подчеркнутыми в (8) членами, для исследования системы (12) методом усреднения приведем ее к стандартному виду с помощью следующей замены переменных
Отметим, что вибрационная сила, действующая на частицы и определяющее их односторонне направленное перемещение относительно полости, в данном случае оказалась пропорциональной координатам положения центра частицы в системе координат, связанной жестко с полостью и имеющей начало в ее геометрическом центре. Коэффициенты Vi, определяющие величину вибрационной силы, пропорциональны коэффициенту сс, фигурирующему в правой части исходного уравнения (8) только при членах в фигурных скобках, описывающих эффект присоединенной массы. Поэтому можно констатировать, что вибрационная сила в данном случае обусловлена только эти эффектом. Несмотря на то, что в уравнении (8) имеются члены, пропорциональные квадрату компонентов угловой скорости, не связанные с эффектом присоединенных масс, они не оказывают влияния на вибрационную силу. Это обусловлено тем, что малые колебания, порождаемые действием подчеркнутого в левой части уравнения (8) члена, дают в уравнениях, приведенных к стандартной форме, точно такие же члены, пропорциональные квадратам амплитуд dj, что и член 0) X со х rx, но с обратным знаком.
Следует отметить, что действие вибрационной силы на частицы в направлении оси Ох?, имеет такое же направление, как и сила Архимеда, для частиц расположенных ниже центрального сечения эллипсоида Хз - 0, т.е. при %ъ 0, и противоположное для частиц, расположенных выше указанного центрального сечения, т.е. при х$ 0.
Дрейф пузырьков в колеблющейся вязкой жидкости
В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь таких частных решений системы (8), которые описывают движения, близкие к следующему. Центры пузырьков в поступательном движении совершают колебательные движения малой амплитуды, частично увлекаясь колебаниями несущей среды, и вместе с тем двигаются односторонне направленно относительно этой среды. Это последнее односторонне направленное движение может происходить со скоростями, значительно меньшими, чем масштаб скорости гй&, то есть их безразмерные значения существенно меньше единицы. Целью последующего исследования является определить направление и порядок величин скоростей этого односторонне направленного движения, если оно имеет место.
В пульсационном движении каждый пузырек совершает колебания, состоящие из колебаний с собственной частотой Q и вынужденных - с безразмерной частотой, равной 1, обусловленных колебаниями давления в несущей среде. Амплитуды колебаний с собственной частотой изменяются медленно, то есть их производные по времени существенно меньше единицы. Амплитуда вынужденных пульсаций пузырьков постоянна- В дальнейшем принимаем, что частота i существенно отличается от частоты вынужденных колебаний под действием колебаний давления в окружающей жидкости, то есть 12 Ф і 1,
Согласно описанной выше гипотезе о характере движения принимаем, что диапазоны изменений параметров /, Re, Б и значений неизвестных функций г = г(т), $ -в(г), z = Z(T) И а = а(т) и их производных таковы, таз в ур вдедюіх системы (8) можно ввести формально малый параметр /ш представить их следующим образом:
Анализ системы (11), которая приведена к стандартной форме для последующего применения метода усреднения Н.Н.Боголюбова [27], показывает, что в правой часта ее шестого уравнения имеется произведение двух гармонических членов одной и той же частоты, а именно, частоты вынужденных колебаний градиента давления. Эти члены подчеркнуты двумя чертами снизу. Один из сомножителей этого произведения -скорость поступательного движения центра масс пузырька, которая связана с частичным увлечением пузырька колеблющейся жидкостью, а другой - пульсационная составляющая радиуса пузырька, обусловленная пульсациями окружающего пузырек внешнего давления. Взаимовлияние этих двух факторов и приводит к возникновению так называемой вибрационной силы, которая и обеспечивает возникновение односторонне направленного дрейфа пузырька относительно жидкости.
Для нерезонансного случая (частота собственных колебаний пузыря Q несоизмерима с безразмерной частотой колебаний градиента давления, равной 1) усредненные уравнения системы (1 і) в первом приближении имеют следующий вид: где - описывает медленное одностороннє направленное перемещение центров пузырьков вдоль полярного радиуса г; 2 - описывает скорости этого медленного движения; э — описывает медленное перемещение пузырьков в направлении угла 8, -скорость этого перемещения» 5 - описывает медленное перемещение центров пузырь ков вдоль оси трубы Oz, б- скорости этого перемещения, 7 и s - медленно изменяющиеся во времени амплитуды пульсации пузырька с частотой Q, Система (12) допускает стационарное решение: 6 = = const, 6 = 0, = = const, = 0,6 = 0, = 0,6 = 0,6 = 0.
Физически этому решению соответствуют пузырьки, расположенные в свободном сечении трубопровода, в котором давление постоянно и равно внешнему давлению Ре причем, центры масс этих пузырьков неподвижны. Условие отсутствия положительных действительных частей корней характеристического уравнения, построенного для последнего решения, имеет следующий вид: О2 -1 2 ] Re Следовательно, по крайней мере, на конечном интервале времени, пропорциональном 1//;, пузырьки, расположенные на в свободном сечении трубопровода на окружности с радиусом i , будут оставаться в покое.
Анализ системы (12) показывает, что первые ее четыре уравнения, которые описывают движение пузырей в направлениях осей полярного радиуса и угла введенной выше цилиндрической системы координат, не зависят от j, , ?и $. Поэтому их можно интегрировать отдельно и независимо от четырех последних уравнений системы (12). Следовательно, в рассматриваемом приближении поступательные движения пузырьков в плоскостях, перпендикулярных оси трубы, не зависят от поступательных движений пузырьков в направлении оси трубы и пульсаций пузырьков.
Модельный анализ форм движения газовых включений в капилляре из положений покоя в случае основного резонанса
В ряде случаев, когда экспериментальные данные о скоростях стационарного всплытия было получить затруднительно, например, при анализе движения в очень узких капиллярах, моделирующих поры пористых сред, качественные заключения о возможных формах движения делались на основании исследований для диапазонов значений параметров sviw. Для практического использования такого рода результатов необходимо проведение дополнительных экспериментов.
При численных расчетах, которые проводились для трубопроводов системы то-пливоподачи ЖРД, параметр W считался для каждого набора параметров постоянным и равным тому значению, которое было найдено из вышеописанной итерационной процедуры, в то время как для 5 допускалось изменение по времени, а для описания сил вязкого сопротивления использовались формулы (8) и (10). Значение S = S , найденное из вышеописанной итерационной процедуры, считалось постоянным лишь на первом шаге интегрирования уравнений (12) от начала процесса при t = tQ до конца первого шага, при / = = t0 + Н. На этом шаге определялись численно величины X[t), Y(t) и их производные. Затем определялась средняя на интервале длина газовой пробки: иеесредний объем я Л (К). Значением для следующего шага интегрирования находилось из того условия, чтобы объем пробки в начальный момент этого шага был равен среднему объему па предыдущем шаге и т.д.
Подбор шага Н осуществлялся на основании сравнения результатов счета с экспериментом, а также из соображений экономии машинного времени.
Первое из уравнений (12) описывает поступательное перемещение газового включения как материальной точки, а второе его пульсации. В процессе перемещения включения по капилляру длина третьего участка Z = LQ— SY- изменяется. Когда включение приближается к свободной поверхности, становится возможным прорыв газа из включения в атмосферу. При этом предположения, используемые при выводе уравнений (12), нарушаются, и уравнения (12) перестают быть справедливыми. Для целей настоящего исследования достаточно определять перемещения газовых включений в областях капилляров, отстоящих от их концов на достаточно большие расстояния. Поэтому здесь ниже численное интегрирование уравнений (12) проводилось лишь в области, для которой выполняется соотношение Z 10 L0. В случае достижения границы обласін счет прекращался и делалось заключение о том, что включение покинуло капилляр.
Перед проведением численного интегрирования проводился предварительный анализ уравнений (12), который позволил проанализировать качественно возможные формы движения газовых включений в капилляре, Модельный анализ форм движения газовых включений в капилляре из положений покоя в случае основного резонанса.
В настоящем разделе будет аналитическими асимптотическими методами исследован начальный этап движения системы из произвольного начального положения с нулевыми начальными скоростями. Такой предварительный анализ позволит выделить области начальных положений системы, для каждой точки которых движение системы происходит качественно одинаково, по крайней мере на начальном этапе движения из положения покоя. Например, при отсутствии вибрации при наличии внешней массовой силы, направленной от свободной поверхности жидкости в капилляре к его дну, из любого начального положения газовое включение всплывает к свободной поверхности. Для этого случая все начальные положения образуют единую область - область всплытия включения. При наличии вибрации достаточной амплитуды, как будет показано здесь ниже, возможны качественно иные формы движения: для некоторых начальных положений системы включения по-прежнему будут всплывать, для других тонуть, для третьих приближаться к положениям равновесия, для четвертых, которые представляют собой квазиравновесные положения, будут в среднем оставаться неподвижными. Конфигурация такого рода областей положений зависит от частоты вибрации и других характеристик системы,
Здесь ниже ограничимся настолько малыми скоростями, что движение системы описывается уравнениями (9) и, кроме того, приближенное выражение (7) справедливо для аппроксимации функции Fj. Таким образом, здесь будем рассматривать следующие уравнения: st-s Xn- +( + )( +гЬ «) (3.14) 142 где 6 = , а переменная ZcBJoanacXtt Yследующим соотношением Z = LQ-SY wRp
Здесь, согласно вышесказанному величину s здесь будем считать независящим от времени параметром.
Здесь ниже ограничимся рассмотрением движений, близких к какому-либо не изменяющемуся во времени положению Z=Zo и Y= Гр, где ZQ = const и І0 = const. Физически такого рода движения могут происходить, когда система начинает движение с начальными условиями: Z = ZQ; Z = О и Y = Y$\ Y = О, причем, близость движения к начальному условию может сохраняться лишь на конечном интервале времени, а в некоторых случаях, которые будут установлены ниже, и на бесконечном. Таким обра зом, для значения необходимо выбрать YH. В качестве ZQ можно рассматривать лю бое значение удовлетворяющее условию: Zo LQ — SYQ, Вводим новые переменные z = z(t) иу = y(t) следующим образом: r = Z-Z0, y = Y-Y0. (3.15)
Принимаем, что переменные z и у также как и амплитуда колебаний капилляра как твердого тела мала по сравнению YQ И ZQ. Кроме того, ограничимся рассмотрением лишь таких движений, для описания которых в уравнениях (14) допустимо пренебрегать членами, содерлгащими отклонения х, у и их производные X, у, а также скорость капилляра как твердого тела Х0 в степенях выше второй. Считаем ниже также, что начальное давление в газовом включении равно гидростатическому давлению на глубине расположения ближайшей к свободной поверхности жидкости границе газового включения Ри = Р - pgZ$
Результаты расчетов. Эффект аномального ускорения течения жидкости в капиллярах н пористых средах
Алгоритм решения краевой задачи (9) - следующий. Сначала интегрировалась задача для п = 1,5-1, После этого вычислялись значения Nk20 и N\2 (k=h 2,3? 4)и определялось численно решения задачи для n = 24s = 0un = 2,s = 2. Имея решения последних задач, можно определить N и //3 (k=lt2,3,4) и проинтегрировать численно задачи для и = 3,5-1ии = 3,$ = 3н т.д. Важно отметить, что однородным краевым задачам, получающимся из (9) при Nkns = 0 и й = 0, удовлетворяют бесконечно малые возмущения баротропного стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости по абсолютно жесткому цилиндрическому трубопроводу круглого поперечного сечения. По-видимому, все такие возмущения - затухающие. Хотя строгого доказательства этого положения до настоящего времени, насколько это известно автору, нет, однако многочисленные исследования, посвященные этому вопросу, позволяют с достаточной уверенностью и большой вероятностью считать это положение истинным. Поэтому, какое бы ни было гармоническое возмущение в виде незатухающей бегущей волны с действительными частотой и волновым числом, распространяющейся по стенке, решение неоднородных краевых задач всегда существует и единственно. Во всяком случае, при проведении вычислений всегда реализовывался случай, когда частоты и волновые числа возмущения не оказывались собственными для однородных задач.
Последовательное интегрирование линейных неоднородных задач для коэффициентов в разложениях (8) проводилось численно методом дифференциальной прогонки, модификация которого для задач гидродинамической устойчивости течений вязкой жидкости в цилиндрических трубопроводах была продемонстрирована в [63]. Отметим, что уравнение краевой задачи (9) в цилиндрических координатах имеет сингулярность при г - 0. Поэтому, так же как в [ьз], граничные условия краевой задачи (9) сносились с оси системы в ее малую окрестность.
Точки стыковки выбирались вблизи оси течения. Сокращений интервала интегрирования не проводилось. Прогопочпые уравнения интегрировались методом Руїіге — Купа — Мерсона с автоматическим выбором шага.
Здесь приведем результаты расчетов, которые проводились для осесимметричных (гп = 0) воли с фиксированными значениями є= 10"3, с = 1100 м/с, v = 10"6м2/с для случаев, при которых отличными от нуля составляющими вектора перемещений стенок трубки были лишь радиальные, т.е. Д] - аг = 0. Невозмущенным являлось течение Пуазейля, единственной ненулевой компонентой скорости которого в цилиндрической системе координат Огвг является осевая: FQ = u(l - г2) 0, Of. Здесь и - безразмерное значение осевой компоненты скорости жидкости при г = 0 в невозмущенном движении. Эта величина однозначно связана с осевым градиентом давления в невозмушенном движении: где безразмерный осевой градиент нсвозмущенного давления.
Проведенные расчеты показали, что при достаточно больших значениях фазовых скоростей волны, распространяющейся по стенке трубы, невозмущенное течение практически пе влияет как на амплитуды внутренних воли, наводимых в жидкости, так и на односторонне направленное течение, возникающее в жидкости благодаря волне на дР границе. Поэтому здесь ниже ограничимся случаем — =0.
Расчеты показывают, что амплитуды внутренней волны продольной составляющей возмущения скорости Уг,і,і могут существенно, в ряде случаев на несколько порядков, превосходить абсолютные значения амплитуд скоростей как поверхностной волны, так и внутренней волны поперечных составляющих скорости. На фиг, 2 приведены в размерной форме типичные распределения действительной и мнимой (с отрицательным знаком) частей Vz,uM (Фиг- 2о) и (фиг. 26) соответственно для течений в трубке L - 10" м для двух значений частот/- 1 Гц (кривые 1)и/= 1 кГц (кривые 2), фазовая скорость поверхностной волны выбиралась для всех случаев, изображенных на фиг. 2, постоянной (cs = 3900 м/с).
Распределения амплитуд возмущений плотности и давления для всех рассчитанных случаев оказались практически однородными вдоль радиусов трубок, значения ам шппуды волн давления лежали в пределах 24—30 атмосфер. Отметим, что при этом становится вероятным возникновение кавитации. Поэтому реальность постановки задачи, принятой здесь, обусловлена величиной невозмущеиного давления, которое должно существенно превосходить указанные выше значения амплитуд.
Рассмотрение краевой задачи для осевой скорости У2І2$ односторонне направленного течения, сопровождающего внутреннюю волну, позволило установить механизмы трансформации волнового движения в односторонне направленное. Во-первых, здесь действует механизм преобразования колебаний плотности н продольной скорости жидкости в односторонне направленный ее перенос; во-вторых, конвективный механизм, определяемый фазовыми сдвигами между волнами поперечной составляющей возмущения скорости и градиента продольной составляющей; наконец, в-третьих, механизм, обусловленный кинематическими граничными условиями (2), которые определяют в среднем отличный от нуля перенос жидкости вдоль стенки. Некоторые профили i?Vz2$(r) для вышеуказанных расчетных значений параметров при L - 10"3 м приведены на фиг. 3; кривые 1, 2, 3 соответствуют частотам 10 Гц, 100 Гц и 1 кГц.
