Содержание к диссертации
Введение
1. Обточка проходными резцами как динамический процесс 13
1.1 .Основные особенности токарной обработки 13
1.2. Математические модели, применяемые при проектировании резцов и технологических процессов 17
1.3. Предложения по совершенствованию расчетных моделей процесса обточки 21
2. Модель движений вязкоупругого резца 27
2.1 .Наследственные соотношения линейной вязкоупругости 27
2.2. Задачи о колебаниях стержня и методы их решения 30
2.3. Модель свободных и вынужденных движений 39
2.4. Зависимость ИПХ от параметров ядра 46
2.5. Выводы 49
3. Вынужденные движения вязкоупругого резца 50
3.1. Реакция на установившуюся вибрацию 51
3.2. Реакция на единичный импульс 56
3.3. Реакция на серию импульсов 61
3.4. Выводы 65
4. Моделирование автоколебаний резца 67
4.1. Конструкторские факторы, определяющие частоты свободных колебаний режущего инструмента- 68
4.2. Спектр свободных колебаний токарного проходного резца 71
4.3. Поправочные коэффициенты к стержневой модели 84
4.4. Движения токарного резца при обточке цилиндрической заготовки 89
4.5. Прочность бетонной державки 99
4.6. Выводы 101
Заключение 104
Список использованных источников 105
- Математические модели, применяемые при проектировании резцов и технологических процессов
- Модель свободных и вынужденных движений
- Реакция на серию импульсов
- Движения токарного резца при обточке цилиндрической заготовки
Введение к работе
і Актуальность темы. Важнейшими условиями технического прогресса в машиностроении являются повышение производительности и точности меха-нической! обработки деталей, улучшение качества обрабатываемых поверхностей, выбор оптимальных режимов резания.
Технология машиностроения позволяет технологу более обоснованно выбирать те или иные варианты технологического процесса. Умение заранее предвидеть все течение технологического процесса, хотя бы с точки зрения точности обработки, дает возможность предусмотреть необходимые мероприятия по оснащению и организации процесса, направленные на повышение точ-ности и производительности механической обработки.
Наиболее важным с точки зрения эффективности производства является анализ динамики технологических систем и процесса резания.
Возникающие при резании нагрузки воспринимаются инструментом и приспособлением, в котором инструмент закреплен, а также деталью и приспособлением, в котором она установлена и закреплена. Возникающие нагрузки передаются приспособлениями на сборочные единицы (узлы) и механизмы станка, благодаря чему образуется замкнутая технологическая система "станок — приспособление - инструмент - деталь» (СПИД).
Отличительной особенностью технологической системы при обработке является тесная взаимосвязь процесса резания с динамикой системы, качеством [86] и производительностью обработки.
В процессе обработки детали сила резания не остается постоянной в ре-і зультате действия следующих факторов: изменяется сечение срезаемой стружки, изменяются механические свойства материала детали; изнашивается и затупляется режущий инструмент; образуется нарост на передней поверхности рез-ца и др. Изменение силы резания обусловливает соответствующее изменение деформаций системы СПИД, нагрузки на механизмы станка и условий работы электропривода, что приводит к колебаниям (вибрациям) заготовки и инструмента.
Токарная обработка является наиболее распространенным методом обработки резанием. При токарной обработке деталей необходимо считаться с жесткостью станка (в основном суппорта, передней и задней бабок), приспособления, резца или другого режущего инструмента, а также обрабатываемой детали или, как говорят, с жесткостью упругой системы станок - приспособление -инструмент - деталь (СПИД).
Отклонения (отжимы), получающиеся вследствие недостаточной жесткости отдельных составляющих системы СПИД, всегда имеют место, причем величины каждого из них в отдельных случаях различны. Если жесткость нескольких или хотя бы одной из составляющих рассматриваемой системы недостаточна, получаются неудовлетворительные результаты обработки и возникают вибрации, препятствующие нормальному резанию. Наличие колебаний ухудшает качество обработанной поверхности, повышает износ инструмента (особенно твердосплавного и минералокерамического, вплоть до разрушения пластинок) и станка и приводит к разрегулированию соединений в станке и приспособлении.
Сильные колебания вынуждают снижать производительность процесса резания, а иногда работа на станке вообще становится невозможной.
Современные методы, связанные с исследованиями динамики технологических систем рассматривались в работах отечественных и зарубежных авторов [39, 50, 60, 65, 79, 91, 117, 128]. В системах проектирования режущего инструмента и технологических процессов часто используются модели токарных резцов в виде консольных стержней.
Рассматривая СПИД как сложную техническую систему, отметим, что в соответствии с принципами системного анализа, построение математических моделей сложной системы — агрегатирование — возможно только после декомпозиции системы до уровня отдельного ее элемента, которым, в данном случае, выступает отдельно взятый резец — естественный конструкторский элемент. В настоящее время системный анализ неразрывно связан с сопоставлением каждому уровню иерархии математической модели. Литература по системному анализу, например, [84], зачастую использует модель системы в целом в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (что отражает изначальный интерес к теории систем с точки зрения специалистов по теории автоматического управления). В то же время наиболее общей, соответствующей идеологии системного анализа, является модель «черного ящика», которая отождествляет математическую модель с преобразованием (входного) воздействия в отклик (реакцию) системы, не накладывая ограничений на структуру самого преобразования.
Ограничиваясь механическими системами, можно утверждать, что для них можно считать, что наиболее общей для них математической моделью является система уравнений движения, основанная на втором законе Ньютона. В механике существует ряд методов, приводящих к разрешающей системе обыкновенных дифференциальных уравнений, например, метод конечных элементов (МКЭ) [18, 23, 53, 66, 70, 71, 126, 142, 170], метод суперэлементов (МСЭ) [65, 124]. Последний, пожалуй, является наиболее близким к общей идеологии системного анализа. Его трактовка как группировка конечных элементов (КЭ) в произвольные замкнутые области с исключением внутренних связей (узлов) [124,126] позволяет включить в себя и конструкторский признак - объединение КЭ, принадлежащие одному конструкторскому элементу. Однако тем самым предполагается, что модель элемента является дискретной, конечноэлементной. Тем самым на нижний уровень иерархии математических моделей ставится конечный элемент - многогранник конечного объема, в котором поле искомой векторной или скалярной функции аппроксимируется некоторой непрерывной функцией координат, линейно зависящей от значений этой функции в вершинах многогранника.
Применение МСЭ к моделированию системы СПИД в рамках такого подхода предполагает, что каждый стержень — элемент системы - разбивается на конечные; элементы с заданными внутри него аппроксимирующими функциями, как правило - полиномами невысокой степени по осевой координате. Тогда применение МСЭ сводится к исключению из КЭ — модели стержня всех внутренних узлов; остаются только два узла, обеспечивающие сборку данного стержня в систему. В динамике, когда строгие решения есть комбинации экспонент с вещественными и мнимыми показателями, ожидать хороших результатов от аппроксимации полиномами невысокой степени не приходится.
В соответствии с изложенным, рационализация математических моделей, применяемых для изучения системы СПИД, может заключаться в следующем: во-первых, элемент низшего уровня иерархии — резец - есть один консольный стержень; во-вторых, его математическая модель должна быть построена как аналитическое решение задачи динамики, выражающее перемещение любой точки, лежащей внутри стержня, через перемещения двух узлов - начала и конца стержня. В связи с вышесказанным разработка математических моделей токарной обработки, связывающих режимы резания с качеством поверхности, является актуальной.
Рядом авторов (С.А. Васин, Л.А. Васин и их ученики) предложены конструкции токарных резцов с повышенной демпфирующей способностью. Это достигается за счет использования в качестве материалов державки резца различных бетонов и бетонополимеров. Обладая вязкоупругими свойствами, такие державки должны выступать в качестве динамических гасителей вибраций, происходящих в системе обработки, и тем самым - существенно влиять на качество обрабатываемой поверхности.
Рассматривая современное состояние теории вязкоупругости, наиболее общей на настоящее время является модель, основанная на принципе суперпозиции Больцмана, или линейно-наследственная модель вязкоупругого материала. Следует отметить, что в этом направлении работают многие зарубежные ученые, такие, как Р. Кристенсен, Д. Бленд, Дж. Ферри, У. Нолл, В. Коулмен, К. Трусделл, Р. Ривлин, М. Гертин, Дж. Оден, Ф. Локетт и др. В России исследования в области вязкоупругого поведения материалов и конструкций проводились Ю.Н. Работновым, А.Р. Ржаницыным, Л.Д. Быковым, М.И. Розовским,. Огромный вклад в развитие теории вязкоупругости внесла школа А.А. Ильюшина: М.А. Колтунов, Б.Е. Победря, И.А. Кийко, И.Е. Трояновский, В.П. Мат-веенко, И.Н. Шардаков, А.А. Адамов, А.Н. Филатов, Г.С. Ларионов и многие другие.
Рядом авторов предлагались различные аналитические представления для ядер ползучести и релаксации. Среди них можно отметить ядро типа Абеля [136], введенное Больцманом, ядро Бронского, ядро и резольвента Работнова [136], ядро и резольвента Колтунова-Ржаницына [83], экспоненциальное яд-ро[136]. Эти ядра неоднократно использовались при решении как модельных, так и практических задач. В работах С.Г. Пшеничнова и М.Ю. Старовской [134,135] обосновано применение экспоненциального ядра, обеспечивающего хорошую точность при решении динамических задач для любого линейно-вязкоупругого материала.
При проектировании и анализе поведения конструкций распространенным приемом является использование собственных форм колебаний линейно-упругого тела, которые обладают свойствами ортогональности и полноты. Такой подход, называемый модальным анализом, широко используется как в расчетах [65], так и экспериментальных исследованиях [68].
Тогда можно сформулировать цель работы: определение закона движения вершины токарного резца в процессе обточки и его влияние на качество обрабатываемой поверхности
В рамках этой общей цели предполагается решить следующие задачи: разработать математическую модель движения вязкоупругого стержня при различных видах напряженно-деформированного состояния и произвольных законах изменения во времени внешних воздействий; исследовать влияния параметров ядра релаксации на реакцию вязкоупругого стержня при гармонической вибрации, ударах различной формы, сериях ударов; исследовать влияние движений токарного резца в процессе обточки на качество обрабатываемой поверхности; - разработать систему корректирующих коэффициентов, позволяющих учесть отличие стержневой и 3D - моделей токарного резца.
Научная новизна работы: на основании метода модального разложения получены аналитические выражения, представляющие математическую модель вынужденных движений вязкоупругих тел, универсальную по отношению к законам изменения внешних нагрузок во времени; предложен простой метод определения импульсно-переходной характеристики, основанный на представлении ее изображения по Лапласу в виде суммы простейших дробей; получены аналитические выражения для реакции вязкоупругих тел на установившуюся моногармоническую вибрацию, однократные удары и серии ударов; проведены исследования влияния параметров экспоненциального ядра на реакцию вязкоупругого тела на перечисленные виды внешних воздействий; - с помощью модального разложения решена задача об автоколебаниях токарного резца, которая позволяет оценить шероховатость обрабатываемой поверхности; - получены формулы для поправочного коэффициента, позволяющие рас пространить формулу для определения частоты свободных колебаний тонкого консольного стержня на короткие стержни.
Практическая значимость работы: определены области сочетаний параметров экспоненциального ядра, в которых доминирующими являются апериодические или колебательные свободные движения; сформулированный алгоритм исследования автоколебаний может быть использован для оценки качества поверхности детали после обработки; полученные зависимости для поправок к частотам свободных колебаний консольного стержня могут быть использованы в системах проектирования режущего инструмента и технологических процессов токарной обработки.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается выбором известной математической модели, адекватно отражающей переходные процессы в линейно-вязкоупругих телах при малых деформациях, использованием строгого математического аппарата на всех этапах исследования и сравнением отдельных полученных результатов с экспериментальными данными других авторов.
Основные положения, выдвигаемые на защиту:
Обобщенная математическая модель вынужденных движений вяз-коупругого тела.
Частные математические модели движений стержня при различных воздействиях: гармонической вибрации, ударах различной формы, сериях ударов.
Результаты параметрических исследований по влиянию ядра релаксации на реакцию стержня при указанных видах возмущений.
Построение корректирующих коэффициентов, учитывающих отличие коротких стержней от трехмерных тел, применительно к токарным резцам.
Решение задачи об автоколебаниях токарного резца с помощью модального разложения, которая позволяет оценить шероховатость обрабатываемой поверхности
Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка использованных источников из 175 наименований. Она содержит 110 рисунков, 4 таблицы, ее общий объем составляет 121 страницу машинописного текста.
В первом разделе рассматриваются особенности процесса токарной обработки: заготовок и инструментов, внешних воздействий на инструмент, формулируются решаемые задачи.
Во втором разделе данной работы формулируется математическая модель движения вязкоупругого резца при произвольных законах изменения внешних нагрузок во времени. Модель основана на разложении вынужденных движений по формам свободных колебаний. Устанавливается фундаментальная роль корней характеристического уравнения: мнимая часть корня представляет частоту свободных колебаний, вещественная - коэффициент затухания. Для аналитического описания реологических свойств используется экспоненциальное ядро. При этом удается получить аналитические выражения для корней характеристического уравнения, которое является кубическим. Исследуется влияние реологических свойств материалов на динамические характеристики стержней, зависимости вещественных и комплексных частей корня характеристического уравнения, амплитуды колебаний и начального фазового сдвига от параметров ядра и частоты свободных колебаний сопряженного тела.
В третьем разделе изучается реакция вязкоупругого резца на периодическое внешнее воздействие: гармоническую вибрацию и серии импульсов раз- личной формы. Такие воздействия позволяют описать макроскопические дефекты обработки типа «овальность», «волнистость» и т.д.
В четвертом разделе получены зависимости для поправок к частотам свободных колебаний консольного стержня, которые могут быть использованы в системах проектирования режущего инструмента и процессов токарной обработки. Рассматривается движение вершины токарного резца в процессе обточки, причем в число факторов, определяющих величину силы резания, включаются перемещения вершины резца. Получены графики установившихся значений амплитуд автоколебаний резцов со стальными и бетонными корпусами; они показывают, что резцы с бетонной державкой имеют преимущество перед стальной в режимах, соответствующих чистовому и получистовому точению. Оценивается статическая прочность бетонной державки.
В заключении приводятся основные выводы по работе.
Математические модели, применяемые при проектировании резцов и технологических процессов
Большинство решений, повышающих точность обработки и снижающих износ оборудования, разработаны с использованием методов математического моделирования. При этом начиная с классических работ И.А. Тиме, К.А. Зворыкина, А.А. Брикса, Я.Г. Усачева, уже более ста лет доминировало представление о процессе резания как о некотором установившемся (статическом) состоянии. Сохраняются основные недостатки такого подхода: рассматривается не процесс в общем, а установившееся состояние; используются различные схемы для сливной стружки и стружек скалывания; сильно упрощены модели взаимодействия между резцом и заготовкой, поведения резца и т.п. В настоящее время изучению процессов резания посвящено множество работ, однако, значительная их часть относится к экспериментальным исследованиям: Зорев Н.Н., Розенберг A.M., Бобров В.Ф.; из последних работ - академик Кабалдин Ю.Г., А.В. Кудинов, В.Н. Подураев, J.Tlusty, Кравченко Е.Г., Ефимович И.А., Нодельман М.О., N.H. Наппа и другими российские и зарубежные ученые. При проектировании режущего инструмента и процессов обработки металлов резанием одной из важнейших проблем является виброустойчивость процесса обработки [17,37,60,62], связанная с определением реакции системы станок - приспособление — инструмент - деталь на вибрационные воздействия, возникающие в процессе относительного перемещения резца и заготовки. Проводя декомпозицию этой системы, выделяют подсистему инструмент, который, вообще говоря, может иметь сложную структуру [311 78]. Тем не менее, зачастую используется модель резца в виде консольного стержня ввиду ее простоты; как правило, используются простейшие формулы для вычисления частот свободных колебаний упомянутого стержня, закрепление инструмента имити руется жёсткой заделкой, а свойства материала, из которого изготовлена державка резца, считаются линейно-упругими [39]. Рядом авторов проведены различные исследования в области динамического моделирования процесса резания (С.А. Васин, Л.А. Васин, Ю.И. Городецкий, A.M. Гуськов, С.А. Воронов). Динамические расчеты позволяют уточ-нить существующие формулы, полученные экспериментальным путем. На стадии проектирования станков закладываются большие запасы прочности, что обусловлено высокими требованиями к их надежности. Здесь динамические расчеты имеют основной целью оценку деформируемости конструкции при силовых воздействиях с тем, чтобы определить ее влияние на устойчивость и точность заданных движений в стационарных и переходных процессах. Немалую погрешность при этом вносит поведение самого резца. Поэтому, в общем комплексе динамических расчетов необходимо уделить особое внимание конструкции и свойствам резцов, а также процессу взаимодействия между инструментом и деталью. Существующие математические модели описывают различные варианты взаимодействия элементов системы СПИД и их поведения.
Однако, как и ранее, эти модели, либо сильно упрощены по сравнению с реальным процессом резания, стружкообразования, либо рассматривается какая-то часть конкретного процесса. Это связано с тем, что крайне сложно (а часто невозможно) аналитически описать поведение и взаимодействие элементов системы во всем их многообразии. Наиболее полно экспериментальные методы, описывающие характер изменения силы резания при точении изложены в трудах С.А. Васина и Л.А. Васина. Ими была разработана микро-макромодель силы резания, которая может быть применена не только для анализа влияния вибраций в системе «инструмент-заготовка» на динамическую составляющую силы резания. Заслуга авторов, несомненно, заключается в возможности прогнозирования на этапе проектирования токарной операции устойчивости системы по характеру изменения силы в момент резания. Экспериментальные исследования подтвердили значительное влияние вибрации, действующей в подсистеме «инструмент-заготовка», на формирование динамической составляющей силы резания. Было отмечено влияние геометрической формы обрабатываемой поверхности на характер изменения силы резания. С.А. Васин и Л.А. Васин, рассмотрев обработку различных поверхностей (прерывистых, с эксцентричным припуском, овальных и пр.), на основе результатов экспериментальных исследований разработали модели силы резания, которые позволили произвести динамические расчеты, связанные с виброустойчивостью таких элементов технологической системы, как инструмент и заготовка. Различными учеными проведено множество исследований в области построения динамических моделей процесса резания. В работах Ю.Г. Кабалдина [79] рассматривается модель процесса резания с плавлением на фрикционном контакте инструмента с обрабатываемым материалом. Эта модель более справедлива для установившегося процесса стружкообразования. В работе В.А. Кудинова [94], Ю.В. Виноградова предлагаются схема процесса стружкообразования в виде процесса упругопластического деформирования. Описываются условия получения стружки типов: сливной и надлома. При этом указывается, что формирование суставчатой стружки зависит от характеристик автоколебательного процесса стружкообразования (а никак не станка). Делается предположение о том, что суставчатая стружка образуется при потере устойчивости замкнутой динамической системы упруго-пластического деформирования. Это отчасти не верно, так как к потере устойчивости и образованию стружки надлома и суставчатой приведет возникновение автоколебаний в системе инструмент - обрабатываемая деталь. Эти исследования, а также исследования взаимодействия обрабатываемой поверхности, режущей части резца и полученной стружки закономерны в том случае, если будут обеспечены условия для стабилизации процесса при отсут ствии внешнего вибрационного воздействия. Ведь при возникновении вибрационного воздействия картина процесса значительно изменится. Например, достаточная жесткость элементов системы СПИД, использование демпфирующего инструмента, режимы резания, лежащие вне диапазонов частот, возбуждающих колебания и др. Основным, на мой взгляд, недостатком описанных выше моделей является использование плоских моделей. Переход от упрощенных плоских (2D) моделей к более сложным объемным (3D) моделям позволит: уменьшить погрешность вычислений, а также рассматривать процесс в комплексе. Широкое распространение в мире получили модели, построенные с учетом дальнейшей конечно-элементной реализации: Wince J.N., Fang N., Yen, Park, Ozel, Altan. Данные модели обладают
Модель свободных и вынужденных движений
При выводе учитывалось, что составлена из тензоров модальных деформаций, которые получаются применением оператора def к столбцам матрицы мод Н как к векторам: Уравнение ( 2.28) можно решить, используя интегральное преобразование Лапласа: В последнем выражении введена передаточная функция W (s) (МПФ) — . при однородных начальных условиях по перемещениям и скоростям отношение изображения воздействия Р к изображению отклика системы a (s). Отметим, что в (2.30) передаточная функция не зависит от характера внешнего воздействия; она полностью определяется распределением физико-механических характеристик материала по объему и условиями закрепления. Вектор внешнего воздействия, помимо перечисленных факторов, зависит также от распределения внешних сил по поверхности и объему тела, а также от их изменения во времени. Оригинал a{t) находится с помощью теорем о свертке и дифференцирования оригинала: Здесь введена функция времени W(Y), которая названа матрицей импульсно-переходных характеристик (ИПХ), зависящая только от времени и присущая именно данному телу с его распределением механических и физических характеристик по объему и кинематическими граничными условиями. Отметим, что в рассматриваемом случае вязкоупругого поведения материала обе матрицы - и МПФ, и МИПХ - будут диагональными [64]. Таким образом, если заданы внешние воздействия как функции времени, и известна МИПХ, то решение задачи о вынужденных движениях сводится к интегрированию и дифференцированию. Рассмотрим определение МИПХ для вязкоупругого поведения материала, определенного п. 2.1. Как отмечалось, эта матрица будет диагональной и ее компоненты могут быть определены независимо. Для экспоненциального ядра, изображение которого имеет вид:
При этом передаточная функция в изображениях по Лапласу имеет вид: позволяет установить критерии подобия двух вязкоупругих тел: это частота свободных колебаний, отношение параметра (3 к частоте свободных колебаний и параметре. Преобразуя ( 2.35) в соответствии с ( 2.37), получим: Подставив (2.38) в (2.37) и разложив на простые дроби изображения импульсно-переходной характеристики (ИПХ), а также учитывая представление ИПХ для случая двух комплексных и одного вещественного корня (колебательный режим) получим: ( 2.39) где X,Y,U - корни характеристического уравнения, отнесенные к частоте сво-бодных колебаний упругого резца. Для однородного уравнения при неоднородных начальных условиях: т.е., производная от импульсно-переходной характеристики (ИПХ) во времени равна единице в нуле времени; импульсно-переходная характеристика (ИПХ) равняется нулю в нуле времени. Отсюда видно, что корни характеристического уравнения зависят только от безразмерных параметров А и В = р/ах , а частота свободных упругих колебаний является масштабным множителем. При изменении номера частоты ме няется отношение рУа о, которое при фиксированном Р может только убывать. Поэтому если известно Р (например, из эксперимента), то исследовать его влияние нужно для фиксированных значений В = рУсооі, рУй 02, рУщз- Для экспоненциального ядра использовались аналитические выражения корней уравнения 3-го порядка: ента имеем: Анализ ИПХ (рис.2.2), и (рис.2.3) позволяет сделать вывод о принципиальных различиях в данной характеристике: у слаборелаксирующего материала доминируют колебательные составляющие, соответствующие паре комплексных корней, а апериодическая составляющая, соответствующая вещественному корню, является практически ненаблюдаемой; у сильнорелаксирующего материала доминирует именно апериодическая составляющая, или же колебательные составляющие вообще отсутствуют (случай трех вещественных корней). Тогда ясным становится физический смысл комплексных корней: их мнимая часть- есть частота свободных колебаний, а вещественная - коэффициент затухания. Таким образом, в рамках данной модели фундаментальную роль играет импульсно-переходная характеристика, которую можно определить как реакцию стержня на единичное возмущение скоростью перемещений в задаче о свободных колебаниях при нулевых начальных перемещениях. Исследуем зависимости вещественных и комплексных частей корня характеристического уравнения ( 2.34), амплитуды колебаний и начального фазового сдвига от параметров ядра и частоты свободных колебаний сопряженного тела. С этой целью построим линии уровня соответствующей величины, отнесенной к со0, на плоскости {A, ft) при фиксированном соо
Далее приведены карты линий уровня для относительных частот свободных колебаний, относительных коэффициентов затухания, относительной амплитуды колебаний и начальной фазы. Относительные величины определялись следующим образом: Из этого рисунка видно, что действительный корень характеристического уравнения при lg р/со0 0,5 практически не зависит от параметра . j При изменении lg р/ х о в пределах от 0...0,5 эта зависимость практически линейна при небольших 4 0,8. Так как по сути этот корень определяет затухание апериодической составляющей, то при больших lg J3/a o затухание велико и упомянутая составляющая становится ненаблюдаемой при больших значениях времени. і На последнем графике (рис. 2.6) отчетливо видно особую область, отделенную линией уровня «0», внутри которой колебательные движения отсутствуют. Это соответствует наличию у характеристического уравнения только вещественных корней, т.е. только апериодических составляющих ИПХ. Эта область соответствует большим значениям параметра A (0,9...1) и значениям параметра lg В ( 0,25). Сравнивая с предыдущим графиком, видим, что эта особая область соответствует большим значениям коэффициента затухания.
Реакция на серию импульсов
Исследования реакции на одиночные ударные импульсы показали, что для слаборелаксирующего материала доминируют колебательные составляющие ИПХ (рис. 3.7-3.9). При коротких импульсах длиною 0,5 периода свободных колебаний реакция слабо зависит от формы ударного импульса. Последействие для рассмотренного материала представляет собой периодические свободные колебания с весьма слабым затуханием. Влияние формы импульса хорошо заметно на рис. 3.8, где реакция на прямоугольный импульс представляет собой сдвинутую по фазе практически на %/2 синусоиду; реакция же на треугольный и синусоидальный импульсы имеет вид деформированной синусоиды, подходящей к концу импульса со значительной начальной скоростью.
Это и определяет разницу в последействии. Рис. 3.9 не вносит принципиальных отличий в предыдущие разъяснение. Для сильнорелаксирующего материала (рис. 3.10-3.12) видно, что форма реакции принципиально иная — два апериодических процесса. Рассматривая амплитуду реакции, можно указать, что большим значениям параметра А соответствует, значительно большая амплитуда реакции, примерно в 5 раз превышающая такие же при малых А. Это объясняется следующем: если считать что сопротивление движению определяется упругой и вязкой составляющими, то у материалов с малой вязкостью (А — малое) соответственно малое сопротивление; при больших А — вязкое сопротивление велико и является определяющим. Предположим, что поверхность заготовки прерывистая, например, имеет шпоночную канавку. Тогда сила резания может быть представлена в виде (3.1), но величина A(t) представляется в виде серии импульсов, период которой Ти определяется числом оборотов шпинделя, а длительность tu — отношением ширины канавки к длине окружности заготовки. Для описания такого варианта обточки рассмотрим реакцию стержня на серию импульсов длительностью tu и периодом Ти. Амплитуда импульсов принималась равной 1. При исследовании реакции на серию импульсов установлено, что серия с большой скважностью представляет собой последовательность реакций на одиночные импульсы.
Взаимное влияние импульсов в серии тем больше, чем меньше параметр А, что объясняется большим временем затухания реакции на одиночный импульс. Для 4=0,9 таковое практически отсутствует. Уменьшение скважности до величин, близких к единице, приводит к усилению взаимного влияния импульсов серии и стремлению реакции на серию импульсов к реакции на одиночный импульс с длительностью, равной суммарной длительности серии (рис. 3.13-3.18). Так как колебания резца при таком варианте обточки происходят в соответствии со спектром резца, то они являются источником шероховатости поверхности детали. 1. Применение полученных результатов к внешним воздействиям распространенного вида - вибрациям и ударам - привело к построению аналитических моделей реакции вязкоупругих тел, что дало возможность провести исследования реакции вязкоупругих тел в широком диапазоне параметров как параметров ядра, так и внешних воздействий. 2. Результаты исследований ударных импульсов различной формы показали, что для слаборелаксирующих материалов реакция в общем соответствует литературным данным, за исключением того, что последействие является затухающим.
Для сильнорелаксирующих и в активной фазе, и в последействии наблюдаются апериодические реакции. В то же время «амплитуда» реакции по отношению к амплитуде импульса для сильнорелаксирующих материалов
Движения токарного резца при обточке цилиндрической заготовки
Здесь последние слагаемые в правых частях уравнений для аук и azk учитывают изгибающие моменты, возникающие за счет внецентренного приложения продольной составляющей силы резания Рх, у& zc — координаты вершины резца относительно центра тяжести державки в вертикальной плоскости. Входящие в правые части (1.5) продольные перемещения и поперечные скорости (по отношению к резцу) вычисляются по формуле модального разложения (2.31 Соотношение (1.6) раздела 1, и соотношение (4.11) представляют собой математическую модель резца в процессе обточки, учитывающей координатную связь. Подставим в (1.6) выражение (4.11) для перемещений и скоростей. Тогда модель (1.6) может быть приведена к системе интегро-дифференциальных уравнений с заполненной матрицей: Так как каждое последующее приближение определяется путем интегральной свертки предыдущего приближения с ИПХ то можно утверждать, что последовательность поправок на каждом приближении может быть мажорирована геометрической прогрессией, знаменателем которой является норма матрицы W. Если принять спектральную норму, то этот знаменатель является величиной, обратной среднему геометрическому из наибольшей и наименьшей частот свободных колебаний резца.
Так как частоты колебаний резца достаточно велики (табл. 4.1), то можно утверждать, что знаменатель этой прогрессии меньше 1, она является сходящейся и, соответственно, последовательность приближений является сходящейся. В связи с тем, что структура модели представляет собой диагональную левую часть и заполненную правую, для последовательных приближений оказалась эффективной формула: где а = ja! а aS j- вектор модальных коэффициентов; di ag[W(f)] — диагональная матрица импульсно-переходных характеристик; R(a) — вектор, составленный из правых частей уравнений ( 4.12). За начальное приближение принимается решение задачи при постоянной силе резания. Расчеты проводились для резца с бетонной державкой (i?o=4.236-1010 Па, 4=0.1645, Р=1.13Ы04 1/С); ДЛЯ сравнения проводились расчеты и для стальной де утверждать, что последовательность поправок на каждом приближении может быть мажорирована геометрической прогрессией, знаменателем которой является норма матрицы W. Если принять спектральную норму, то этот знаменатель является величиной, обратной среднему геометрическому из наибольшей и наименьшей частот свободных колебаний резца. Так как частоты колебаний резца достаточно велики (табл. 4.1), то можно утверждать, что знаменатель этой прогрессии меньше 1, она является сходящейся и, соответственно, последовательность приближений является сходящейся. В связи с тем, что структура модели представляет собой диагональную левую часть и заполненную правую, для последовательных приближений оказалась эффективной формула: где а = ja! а aS j- вектор модальных коэффициентов; di ag[W(f)] — диагональная матрица импульсно-переходных характеристик; R(a) — вектор, составленный из правых частей уравнений ( 4.12). За начальное приближение принимается решение задачи при постоянной силе резания. Расчеты проводились для резца с бетонной державкой (i?o=4.236-1010 Па, 4=0.1645, Р=1.13Ы04 1/С); ДЛЯ сравнения проводились расчеты и для стальной державки. Режим резания варьировался: глубина - 0.2...2 мм, подача - 0.1 мм/об, число оборотов шпинделя - 185...630 об/мин. Во всех случаях параметры в формуле для силы резания принимались из экспериментальных данных Н.Н. Бородкина по обточке образцов из стали 40Х. Графики установившихся амплитуд автоколебаний приведены на рис. 4.76 и 4.77.
При построении графиков максимум амплитуды отождествлялся с Rz — предельной высотой шероховатости. Приведенные графики позволяют сделать вывод о том, что применение бетонных державок оправдано в области режимов резания, соответствующих чистовому и получистовому точению - умеренным припускам (порядка 0.2...0.7мм), малой подаче и умеренным ржавки. Режим резания варьировался: глубина - 0.2...2 мм, подача - 0.1 мм/об, число оборотов шпинделя - 185...630 об/мин. Во всех случаях параметры в формуле для силы резания принимались из экспериментальных данных Н.Н. Бородкина по обточке образцов из стали 40Х. Графики установившихся амплитуд автоколебаний приведены на рис. 4.76 и 4.77. При построении графиков максимум амплитуды отождествлялся с Rz — предельной высотой шероховатости. Приведенные графики позволяют сделать вывод о том, что применение бетонных державок оправдано в области режимов резания, соответствующих чистовому и получистовому точению - умеренным припускам (порядка 0.2...0.7мм), малой подаче и умеренным оборотам шпинделя (100..350 об/мин. Вершина резца описывает эллипсоид в пространстве, причем полуоси этого эллипсоида есть амплитуды установившихся автоколебаний. Так как автоколебания осуществляются в соответствии со спектром свободных колебаний, то эти колебания имеют частоты намного выше, чем частота вращения шпинделя и является причиной образования шероховатостей. Суперпозиция колебаний на разных частотах приводит к тому, что эти шероховатости носят нерегулярный, близкий к стохастическому, характер. Наибольшая амплитуда автоколебаний может служить мерой шероховатости Rz. Проведенные расчеты согласуются с данными экспериментов Н.Н. Бо-родкина (рис. 4.78 - 4.83) по обточке вала со шпоночной канавкой.
