Задачи выживания для систем с последействием Баранов Виктор Николаевич

Постановка задачи выживания

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторое непустое подмножество Met". Напомним определение выживаемости. Определение 2.1 (см. [36, с. 9]). Пусть XQ Є М. Решение x(t, хо) системы (2.1) с начальным условием х(0) = XQ выживает в множестве М, если существует а 0 такое, что x(t) Є М для всех t Є [0, а]. Определение 2.2 (см. [36, с. 9]). Множество М обладает свойством выживаемости для системы (2.1), если для всякого XQ Є М найдется решение x(t, хо) системы (2.1), выживающее в М. Следующее утверждение известно как теорема Нагумо. Теорема 2.1 (см. [36, с. 11]). Замкнутое множество Mcln обладает свойством выживаемости для системы (2.1) тогда и только тогда, когда для всех х Є дМ выполнено включение где ТХМ — конус Булигана к множеству М в точке х. В теории дифференциальных включений х Є F{x) с фазовыми ограничениями известна теорема (см. [40]), дающая необходимое и достаточное условие существования выживающего решения дифференциального включения в множестве М. Оказывается, это условие похоже на условие в теореме Нагумо, а именно: дифференциальное включение имеет выоюивающее решение в множестве М если и только если во всех х Є дМ имеет место неравенство где ТХМ — конус Булигана. Обратимся теперь к автономной системе дифференциальных уравнений с последействием x(t) = f(xt). В соответствии с трактовкой Н.Н. Кра-совского [20], предложившего рассматривать в качестве естественного фазового пространства систем с последействием пространство непрерывных функций, задачу выживания для систем с последействием мы будем формулировать как задачу выживания в заданном подмножестве пространства непрерывных функций. Введем следующие обозначения. Для произвольной непрерывной функции t -» x(t) Є R", t Є [—r, а], ще г 0, а 0, обозначим xt— отображение отрезка [0,а] в пространство непрерывных функций С([—г,0],Ш1), действующее по правилу Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с последействием Напомним определение решения системы (2.3) с начальным условием где ч Є С{[-г, 0],1"). Определение 2.3 (см. [35, с. 11]). Решением задачи Коши (2.3), (2.4) называется непрерывная функция t — x{t) Є Кп, где t Є [—г, a], а 0 такая, что для всех t Є [—г, 0] выполнено равенство х(t) = p{t) и для почти всех t Є [0, а] выполнено x(t) = f(xt). Вместе с системой (2.3) будем рассматривать некоторое непустое подмножество М С j4C([-r, Определение 2.4. Пусть ір Є М.

Будем говорить, что решение x(t,(p) задачи Коши (2.3), (2.4) выживает в множестве М, если существует а 0 такое, что для всех t Є [0, а] выполнено включение xt Є М, где xt — движение в пространстве АС{[—г, 0],R?) определеное равенством Определение 2.5. Множество М обладает свойством выживаемости для системы (2.3), если для всякого ер Є М найдется решение x(t, (р) задачи Коши (2.3), (2.4), выживающее в М. В данной работе существенное внимание уделено исследованию необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять автономная система (2.3) и множество М, чтобы множество М было множеством выживаемости для (2.3). Аналогичный вопрос изучается для неавтономной системы x(t) = f(t,xt). Кроме того, в работе изучаются задачи выживания для дифференциальных включений с последействием (что позволит в будущем рассматривать задачи выживания для управляемых систем с последействием). Важное внимание уделено также рассмотрению примера с множеством М, имеющим конкретное экономическое содержание. Следует отметить, что задача выживания имеет многочисленные приложения. В частности, в математической экономике представляет интерес исследование условий, при которых конкретная экономическая система функционирует в заранее заданных ограничениях. Эти ограничения определяются плановым заданием и возможностями самой экономики. Математическое описание экономических моделей чаще всего приводит к соответствующим системам дифференциальных уравнений. Существенно при этом, что при внимательном моделировании экономических моделей мы вынуждены учитывать всегда присутствующий в экономике эффект запаздывания (инвестиции, вложенные в экономику, приносят доход не сразу, а через некоторый промежуток времени). Таким образом, мы вынуждены моделировать экономические процессы с помощью уравнений с последействием. На важность этого обстоятельства и актуальность задачи выживания движения xt, порожденного решением дифференциального уравнения с последействием обратили внимание участников городского семинара по дифференциальным уравнениям и теории управления пермские математики В. П. Максимов [1, с. 263] и Д. Л. Андрианов [2], [3]. Первые из известных нам работ по теории выживания для дифференциальных систем с последействием принадлежат J.-P. Aubin [36, глава6] и Е. Л. Тонкову [29]. Близкими к задачам выживания являются задачи о построении стабильных мостов в дифференциальных играх сближения-уклонения. Оказывается, что стабильные мосты можно строить в терминах конуса Булигана (см. работу В. Н. Ушакова [30]). В связи с задачами описания стабильных мостов в Екатеринбурге (в ИММ УрО РАН) под руководством А. Б. Кур-жанского, Т. Ф. Филипповой и В. Н. Ушакова активно развивается теория выживания для дифференциальных включений [14], [15], [16], [24], [25], [34]. Важное внимание в этих работах уделяется построению ядра выживания и разработке численных алгоритмов, позволяющих строить ядро выживания для конкретных математических объектов. В этом разделе найдены условия (теорема 3.2), при которых для заданных непустого множества М С X и функции F : X — 2), порождающей уравнение найдутся а 0 и решение t - xt уравнения (3.1) удовлетворяющее при всех t Є [0, сх] включению х% Є М. Следующая теорема дает нам необходимые условия выживания. Теорема 3.1. Пусть X и 2} удовлетворяют условию А (см. с. 23), и заданы множество М в X и непрерывное отображение F : X — 2). Пусть далее, для всех точек ір Є М существуют число а О и непрерывное отображение t —» Xt Є М, Є [0, а] такое, что XQ — ip и Sxt = F(xt) для почти всех t Є [0, а), то есть существует выживающее в М решение (3.1) с начальным условием XQ = (р. Тогда для всех точек ер Є М имеет место включение Доказательство.

Возьмем произвольную точку ер Є М. По условию теоремы существуют число а О и непрерывное отображение t - xt Є М, t Є [0, а] такое, что rco = /? и &xt — F(xt) для почти всех t [0, or), в частности По определению 1.1 вариации 5xt это означает, что отображение xt представимо в виде для єб[0,і?], її Є (0, аг], и выполнены условия lim IWflfc = о, sup Это означает, что для точки р Є М и элемента -Р( р) Є 2) нашлось отображение є — г (є) Є 2) такое, что и имеют место свойства (3.2). По определению 1.2 получаем, что F((p) является касательным направлением к множеству М в точке х. Следовательно, имеет место включение для всех р Є М. Напомним, что множество М С X называется локально компактным, если для всякой точки х Є М найдется число г 0 такое, что множество ;x[z,r] ПМ- компактно. Отметим теперь, что функция r(t) и последовательность {U} в определении 1.2 зависят от точки х и элемента h. Поэтому, при необходимости, мы будем пользоваться записью r(t,x,h) и U(x,h). Если h = F(x), то для краткости записи будем писать Теорема 3.2. Пусть X и 2) удовлетворяют условию А (см. с. 23), и заданы локально компактное множество М в X и непрерывное отображение F : X - 2). Пусть далее: 1) для каждого х Є М имеет место включение F(x) Є Т М\ 2) найдется константа с О такая, что для всех х Є М выполнено неравенство U{x) Тогда для всякого ер Є М существуют число а 0 и непрерывное отобраоюение t — xt Є М, t Є [О, а] такое, что XQ = р и 5xt = F(xt) для почти всех t Є [О, а). Докажем сначала следующую лемму. Лемма 3.1. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда, для любой точки х Є М и всякого целого т существуют число є(х,т) Є (0,1/m) и элемент и(х, т) Є X такие, что имеют место свойства: 1) х + е(хі т)и(х, т) Є М; 2) и(х, т) Є Вю [F (Вх[х, 1/m]), 1/m]; 3) при каждом натуральном т функция х — є(х, т) ограничена сни зу некоторым положительным числом, то есть inf є(х, т) = $m О; 4) sup гі(ж,т)зє +оо. Доказательство. Пусть т Є N и у Є М. Тогда из условия F(y) Є Т М и теоремы 1.1 следует, что существуют число 6у Є (0,1/m) и элемент hy Є X, удовлетворяющие следующим условиям: В силу условия теоремы о локальной компактности пространства М, не ограничивая общности будем считать, что само пространство М компактно (в противном случае будем рассматривать пересечение М с некоторым замкнутым шаром). Следовательно, найдется конечное покрытие {Bx(yj,rjyj)} множества М. Далее, для каждого х Є М найдется j, что я Є BxiVjiVyj)- Обозначим

Дифференциальное уравнение с последействием и одним ограничением

Пусть и множество М задано в X уравнением М = {(р Є X : o(v?) = 0}, где отображение а : X — R имеет вид р1 : R" -» R и a:RxRM R— непрерывные функции. Введем следующие обозначения: /3 (ж)1=Хо—градиент функции /?(ж) в точке хо, то есть Обозначим через (, ) скалярное произведение в Rn. Лемма 5.1. Пусть функция (3 : R" — R непрерывна вместе со своей производной Р (х) на всем пространстве Rn. Функция a : R х Rn — Ж непрерывна вместе со своей производной Oix(t,х) на всем пространстве Exl". Тогда отображение а : X -» R, где дифференцируемо no Фреше во всех точках ф ЄХ и производная а (ф)[-]:Х- Ш действует по правилу Доказательство. Зафиксируем произвольную точку р Є X. Найдем производную отображения В силу того, что функция /3(х) дифференцируема во всех точках я Є Rn, имеем равенство Из непрерывной дифференцируемости а(, ж) по re следует, что под знаком интеграла можно перейти к пределу: линейно и непрерывно, то есть a (v)[#] Є X . Покажем, что отображение непрерывно в каждой точке /?, как отображение, действующее из X в X . По определению нормы в X имеем равенство Напомним, что X есть пространство абсолютно непрерывных функций, поэтому из равенства \\ф\\х — 1 следует, что 1 ( )1 1 для всех s Є [—г, 0]. Следовательно, мы можем оценить правую часть неравенства следующим образом Эти неравенства выполнены для всех \\ф\\х — 1 следовательно, норма разности \\а {ф) — а!( р)\\х оценивается сверху следующим образом Из сходимости \\ф — (р\\х — 0 следует, что (s) —У (p(s) равномерно на отрезке [—г, 0]. В силу непрерывной дифференцируемости Р(х) имеем, что Из свойств функции a(t, х) (ах(-, ) — непрерывна по (t, х) и на каждом компакте G Є R х R" ограничена константой) следует, что под знаком интеграла можно перейти к пределу (теорема о предельном переходе см. [19, с. 276]): По теореме о сильной дифференцируемости (см. [18, с. 36]) получаем, что отображение a : X — Е дифференцируемо по Фреше в каждой точке ф Є X и эта производная а (ф)[-] : X - R действует по правилу М = {срЄХ: а{ір) = 0}, где отображение а : X — R есть функции р(х) : R" -) 1 и аг(, ж) : 1x1" - R непрерывно дифференцируемы по х. Тогда во всех точках ф Є М, в которых выполнено неравенство \Р (х)\ =Ф(0)\ + / K faiSJU wl ds Ф i касательное пространство ТфМ имеет вид Г ТфМ = {феХ: (Р {х)\х=ф{0),ф{0)} + у аЛ .а01х= м («))Ж = 0}- Доказательство. Покажем, что для всех ф Є X таких, что отображение а ( )[-] : ;Е —» R сюрьективно, то есть 1та ( )[ ] = R. Для этого достаточно указать хотя бы одно ф Є X такое, что а (ф)[ф] ф- 0. Действительно, если такое ф существует, то для произвольного Л Є R получим откуда следует, что о ( )[-] может принимать любые значения из R. Пусть Из свойств функции a(t,x) имеем, что \ax(t,x)\ ограничена на множестве {(s,(p(s))}sg[_r)o] некоторой константой (в силу того, что {(s, p(s))}s[_r)o] компактно в Е х Rn). В качестве ф Є X возьмем абсолютно непрерывную функцию, такую, что В силу ограниченности ax{s,x)\x=tp{s) и Ф(3) можно выбрать є достаточно маленьким, чтобы Из свойств интеграла следует, что существует є 0 такое, что / \ax(s,x)\x {s)\ds 0.

Найдется абсолютно непрерывная на [—г,—є] функция i (s), такая, что Определим абсолютно непрерывную функцию V на отрезке [—г, 0] следующим образом: (s) = Получаем, что Таким образом получим, что Рассмотрим произвольное ір Є М, то єсть а((р) = 0. Если имеет место неравенство то в этой точке выполнены все условия теоремы Люстерника (см. [18, с. 41]) (а( р) сильно дифференцируемое отображение и Ima ( /?)[«] = Е). Следовательно D Рассмотрим дифференциальное уравнение с последействием где х Є К", / : C([—r, 0],R") -» Rn)— непрерывная функция, и начальное условие где ер Є X. Следующее утверждение дает достаточные условия выживания решения задачи (5.1), (5.2) в множестве, заданном одним уравнением. Теорема 5.1. Пусть где отобраоюение а : X — R есть функции /3 : Rn -» R u a : 1 х 1" -) R непрерывно дифференцируемы по х. Пусть далее, для множества М выполнены следующие условия: 1) во всех точках ер Є М выполнено неравенство 2) во всех точках (р Є М выполнено равенство Гог а длл всех точек (р Є М, с существенно ограниченной производной, существуют число $ 0 и отобраоюение t — #() Є Rn, Є [—г, #] являющееся решением задачи (5.1), (5.2) такие, что для всех t Є [0,$] выполнено втслточение Доказательство. Введем в рассмотрение множества W(l,c), где I 0, с 0, Все множества W(l, с) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, следовательно, по теореме Арцела, они являются относительно компактными в пространстве С([—г, 0],R"). Докажем, что множества W(l,c) С С([—г, 0], ") замкнуты. Пусть { Pi} С W(l,c) И (pi -ыр в С([—г,0],К ), то есть Для любого г и любых s\, s2 Є [—r,0] в силу ограниченности производной vraisup с имеем, что Перейдя к пределу і —» -foo получим, что для любых 51, 52 Є [—г, 0] имеет место неравенство то есть (р абсолютно непрерывная функция. Для всяких i, t Є [—г, 0] и є Є R таких, что s + є Є [—г, 0] имеем неравенство Перейдя к пределу і - +оо получаем, для всяких г, 5 Є [—г, 0] и ебК таких, что s + є Є [—г, 0] имеем неравенство Из этого неравенства и так как функция ір абсолютно непрерывна следует, что предел существует почти всюду на [—г, 0] и для почти всех s Є [—г, 0]. Получили, что (р Є W(l,c). Из непрерывности а( р) следует, что М — замкнутое множество. Тогда множества компактны для всех I О, с 0. Возьмем произвольное р Є М такое, что Обозначим Множество M(?iP) — компактно и Заметим, что \J W{l,c) всюду плотно в шаре В[0,1], поэтому оо Из леммы 1.3 следует, что Тогда, для всякого с О имеет место равенство По условию леммы во всех точках ір Є Mjp 9] выполнено равенство Из теоремы 4.2 следует, что существуют константа # 0 и отображение і - я() Є Еп, і Є [—г,0] являющееся решением задачи (5.1), (5.2) такие, что для всех t Є [—г, 0] выполнено включение В работе Е. Л. Тонкова [29] показано, что если Ґ Р Ш=а(о)К) + / otx{s,x)\x=(T{s)&(s)ds 0 для всех а Є дМ, где М = {а Є X: а{ст) 0}, то задача локального выживания в М разрешима. В теореме Тонкова движение t —» Xt не может оставаться на границе множества М. Последнее утверждение дополняет этот результат для движения по границе множества М.

Дифференциальное уравнение с последействием и конечным числом ограничений

Пусть и множество М задано в X уравнением где отображения ог- : X — R, г = 1,..., т имеют вид Введем обозначение a(ip) : X — Rm Лемма 6.1. Пусть функции A : Rn — R, г = 1,...,m непрерывны вместе с производными /3J(x), а; Є Rn. Функции ОІІ : R х Rn —» R, г = 1,...,m непрерывны вместе с производными a (t,x) на всем R х Rn. Тогда отображение а : X — R дифференцируемо по Фреше во всех точках ф Є X и производная а (ф)[-] Є (, Rm) определена равенством Доказательство. Аналогично одномерному случаю имеем, что а{ф) в каждой точке р Є X имеет производную по направлению а (ір)[ф] : Легко проверить, что a (y?)[#] Є (3,Mm) для всех (р Є X. Аналогично одномерному случаю получаем, что отображение непрерывно в каждой точке ф Є X как отображение, действующие из X в (,Rm), то есть По теореме о сильной дифференцируемости [18, с. 36] отображение а((р) дифференцируемо по Фреше во всех точках ф Є X и эта производная совпадает с а ( )[]. Лемма 6.2. Пусть где отображения а,- : X — R, г = 1,..., т, есть функции Д- : Rn - R и а : R х Rn - R непрерывно дифференцируемы по х. Тогда во всех точках ф Є М, для которых выполнены условия: 1) для всех і — 1,..., т выполнены неравенства 2) функционалы а[{ф)[ ] Є Э , г = 1,... ,m линейно независимы, где касательное пространство ТфМ состоит из элементов ф Є X, удовлетворяющих системе уравнений Доказательство. Из леммы 6.1 следует, что отображение дифференцируемо по Фреше и производная а ( ,е )[-] Є (3,Rm) имеет вид где для всех і = 1,..., т Докажем, что оператор а ( ,3)[-] сюръективен, то есть По лемме 5.2 имеем, что для всех і = 1,..., т Из линейности оператора а (ф)[-] Є (,Rm) следует, что а (ф)[Х] есть линейное подпространство в Rm. Обозначим Предположим, что С ф Ет, то есть базис в С. Рассмотрим совокупность т к— мерных векторов Так как векторов больше, чем их размерность (к т) получаем, что найдутся числа Aj Є R і = 1,..., га не все равные нулю такие, что Для любого ф Є X имеет место включение Следовательно, так как f1,..., образуют базис в С, то найдутся числа pi (ф),..., tik (ф) такие, что Рассмотрим линейную комбинацию функционалов aj( /?)[], г = 1,..., m Vi№)H + А2оі(Й[.] + ... + \та т(ф)1], где Ль Аг, ..., Аш те же что и в (6.1). Для всякого ф Є X имеем, что Аіаі(ЙИ + - + Ат )-Подставив (6.1), получаем что для всех ф Є X. Следовательно, функционалы aj ( )(-), і = 1,...,т линейно зависимы, что противоречит условию 2 леммы.

Таким образом, к = т и, следовательно, Ima ( )[-] = Rm. По теореме Люстерника [18, с. 41] (выполнены все условия: отображение а(ф) дифференцируемо по Фреше и производная а (ф)[ф] является сюрьективным отображением X — Rm) получаем, что во всех точках ф Є М имеет место равенство Это означает, что ТфМ состоит из решений системы уравнений Рассмотрим дифференциальное уравнение с последействием и начальное условие где (р Є X. Аналогично случаю, когда множество задано одним уравнением, доказывается следующее утверждение, дающее достаточные условия выживания решения задачи (6.2), (6.3) в множестве, заданном конечным чилом уравнением. Теорема 6.1. Пусть где отображение ai : X — R, г — 1,..., т есть функции 0і : Жп - К ua{-:lxln- R непрерывно дифференцируемы по х. Пусть далее, во всех точках ір Є М еътолнетш следующие условия: 1) для всех г = 1,..., т выполнены неравенства 2) функционалы о}(у)[ ] Є Э , і = 1,... ,т линейно независимы, где 3) для всех і = l,...,m имеют место равенства Тогда для всех точек ер Є М, с существенно ограниченной производной существуют ЪОи отображение t -ї x(t) ЄШП, t Є [—г, 0] являющееся решением задачи (6.2), (6.3) татше, что d/іл всех і Є [0,$] выполнено включение 7. Смешанные системы уравнений Рассмотрим систему уравнений функции. Пусть заданы начальные условия где р,- Є C([-r,0],R), г = 1,...,n, yj Є R, г = 1,...,m. Для краткости будем записывать эту задачу следующим образом Заметим, что в таком виде всегда можно записать неавтономную систему уравнений Определение 7.1. Решением системы (7.1), (7.2) называются непрерывные функции такие, что 3) на [0, $) я() и y(t) абсолютно непрерывны и обращают (7.1) в тождество. Перепишем систему (7.1) в следующем виде — решение задачи (7.1), (7.2). Согласно этим леммам задачи выживания для смешанных уравнений могут быть исследованы с использованием соответствующих утверждений для уравнений с последействием. Следующая теорема дает достаточные условия выживаемости для смешанных уравнений и одного ограничения.

Задача выживания для включений с последействием

Введем следующие обозначения. Для произвольной функции обозначим В дальнейшем будем считать, что Для того, чтобы пространства X и 2} удовлетворяли условию А (см. с. 23), (напомним, что условие А означает включение X С 2) и выполнение неравенства sup г +оо) будем рассматривать элемент ер Є X, как пару В дальнейшем будем отождествлять X и X В этом случае пространство X является подмножеством пространства 2). Везде в дальнейшем считается, что / : X — compR" — полунепрерывное сверху отображение. Пусть имеется задача Коши для дифференциального включения с последействием f:X-+ compRn. Определение 9.1. Решением задачи Коши (9.1) называется функция непрерывная на интервале [—г, г?), абсолютно непрерывная на любом отрезке [0, г], 0 г # и удовлетворяющая условиям Введем в рассмотрение отображение F : X — сотр2), определенное равенством и вместе с задачей (9.1) будем рассматривать задачу Определение 9.2. Решением задачи (9.2) называется отображение t -» xt Є X, t Є [0, а), а 0 такое, что XQ = , отображение я абсолютно непрерывно на любом отрезке [0,/?], ft а и для почти всех t Є [О,») выполнено включение Sxt Є F(xi). Как и в случае дифференциальных уравнений с последействием справедливы леммы, устанавливающие взаимно однозначное соответствие между решениями задач (9.2) и (9.1). Лемма 9.1. Пусть функция является решением задачи (9.1). Тогда отображение построенное по правилу имеет для почти всех t Є [0,ог) вариацию Sxt и является решением задачи (9.2). Доказательство. Рассмотрим отображение t - Xt Є X, где t [0, а).

По определению вариации такая, что Рассмотрим функцию двух переменных y(t,s) == yt(s), где t Є [0, or), se [-r,0]. Аналогично случаю, когда правая часть является однозначной функцией, доказывается, что функция y{t,s) постоянна вдоль отрезков прямой s +1 = const, s Є [—г, 0], t Є [0, а). Покажем, что yt+T(s) — У +аМ для всех s,r Є [—г, 0). Имеют место равенства . (т) = Um y,Ur и поэтому ун-3(0) = i/f(s). D Таким образом, на основании теоремы 8.1 и лемм 9.2, 9.1, можно сформулировать достаточное условие выживаемости для включений с последействием. Теорема 9.1. Рассмотрим некоторое локально компактное множество М С X. Для того, чтобы существовало движение t — х% Є М, порожденное дифференциальным включением с последействием и начальным условием XQ = (р Є М, достаточно, чтобы для всякой точки а Є М выполнялось включение Возьмем, теперь, в качестве пространств Докажем, что отображение о — F{p) Є comp2), а Є X, действующее по правилу является замкнутым. Лемма 9.3. Пусть отображение является полунепрерывным сверху многозначным отображением. Пусть отображение о - . (а) действует из пространства C([—r,0],W) в пространство comp(Li([—г, 0],Rn)) по правилу областью определения является пространство абсолютно непрерывных функций D(F) = АС([—г, 0],R"). Тогда это отображение является замкнутым. Доказательство. В параграфе 4 доказана замкнутость оператора дифференцирования Полунепрерывное сверху многозначное отображение а - /И является замкнутым (см. [33, с. 53]). Поэтому, многозначное отображение является замкнутым. Из этой леммы, теоремы (8.2) следует утверждение, дающее достаточные условия выживаемости для включений с последействием и множества, заданного в пространстве непрерывных функций. Теорема 9.2. Пусть М — некоторое множество абсолютно непрерывных функций, локально компактное в пространстве непрерывных функций. Для того, чтобы существовало движение t — xt Є М, порожденное дифференциальным включением с последействием и начальным условием XQ = р Є М, достаточно, чтобы для всякой точки а Є М выполнялось включение

Похожие диссертации на Задачи выживания для систем с последействием

Линейно-квадратичные задачи управления для систем с последействиемЛожников, Андрей Борисович

Управляемые и численные модели систем с последействиемПименов Владимир Германович

Отслеживание движений стохастических систем с последействием Котельникова Анна Николаевна

Ляпуновская приводимость линейной системы с последействиемБыкова Татьяна Сергеевна

Оптимальная стабилизация линейных автономных систем с последействиемБыков, Данил Сергеевич

Методы построения характеристического уравнения в задаче устойчивости одного класса периодических систем с последействием Тарасян Владимир Сергеевич

Методы анализа устойчивости систем автоматического регулирования с последействиемЖабко, Алексей Петрович

Сравнительный анализ последействия разнотипных систем начального образования на интеллектуальное и личностное развитие школьниковХарламов, Анатолий Алексеевич

Агроэкологическая оценка действия и последействия разных систем удобрения в агроценозах на дерново-подзолистых почвахЕгоров Владимир Сергеевич

Об устойчивости и управлении некоторыми системами с последействиемКовалев Александр Андреевич