Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оценки скорости приближения полиномами некоторых функций на полупрямой с весом cJn(RvA) 24
1. Постановка задачи. Полиномы Тп (Л) 24
2. Приближение функции (Я + Р2)"1 30
3. О порядке погрешности наилучшего приближения функции
4. Приближение функций типа экспонент 38
5. Оценки снизу модуля полинома Тп(2) на прямых, параллельных вещественной оси 42
6. Оценки скорости приближения полиномами функций вида Є 47
7. Оценки скорости приближения полиномами функций вида СОА(Ол) 50
Глава 2. Полиномиальные представления решений дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами . 53
1. Полиномиальные представления функций самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве 53
2. Функции дифференциальных операторов и обобщенные решения дифференциальных уравнений 58
3. Примеры дифференциальных операторов, для которых >о содержит множество аналитических функций 66
4. Оценки снизу величины R0(&J) для дифференциальных операторов 80
5. Оценки параметров р и R. для модельного оператора 95
6. Теорема о гладкости решений вырождающихся эллиптических систем с полиномиальными коэффициентами и правыми частями 102
7. Пример уравнения, гладкость решений которого в точности такая, какая гарантируется теоре мой 6.1 107
8. Оценки гладкости решений уравнения в случае, когда т - не полином 113
9. Гладкость решений задачи Коши для нестрого параболических систем 118
10. Аналитичность решений задачи Коши для нестрого гиперболических систем 123
11. О применении полиномиальных представлений для
численного решения дифференциальных уравнений 126
Глава 3. Полиномиальная разрешимость самосопряжен ных дифференциальных уравнений с бесконечно гладкими коэффициентами . 140
В 1. Классы С(М(К)) бесконечно дифференцируемых функций и класс уравнений Е(М(Ю) 140
2. Доказательство необходимости квазианалитично сти С(М(К)) для полиномиальной разрешимости уравнений из Е(М(К)) 144
3. Полиномиальная разрешимость уравнения в гильбертовом пространстве 148
4. Доказательство достаточности квазианалитичности С(М(К)) для полиномиальной разрешимости
уравнений из Е(М(Ю) 150
5. Построение полиномов Рп в явном виде 156
Глава 4. Полиномиальная разрешимость дифференциальных уравнений с несамосопряженным оператором. 165
. 1. Симметричные системы первого порядка . 165
2. Полиномиальная разрешимость уравнений в банаховом пространстве 171
3. Построение полиномов Рп(Л) 177
4. Построение функций %і(І) 181
5. Доказательство теорем о полиномиальной разрешимости 187
6. Полиномиальная разрешимость уравнений второго порядка 191
Глава 5. Выражение решений нелинейных уравнений через итерации операторов . 196
1. Вводные замечания 196
2. Основные определения 199
3. Локальная линеаризация 202
4. Локальная линеаризация нелинейных дифференциальных операторов на торе 206
5. Аналитическое продолжение 211
6. Глобальная линеаризация нелинейных дифференциальных операторов на торе 217
5. Стр. $ 7. Собственные функционалы оператора сопряженного к нелинейному оператору К 225 S 8. Вещественные нецелые и комплексные степени нелинейных операторов 230
9. Экстраполяционная задача 238
10. Приложения к дифференциальным уравнениям 242
11. Еще одно приложение теоремы об экстраполяции 245
Приложение. О неаналитических решениях задачи Коши для вырождающегося параболическоге уравнения 251
Литература
- О порядке погрешности наилучшего приближения функции
- Примеры дифференциальных операторов, для которых >о содержит множество аналитических функций
- Доказательство необходимости квазианалитично сти С(М(К)) для полиномиальной разрешимости уравнений из Е(М(К))
- Полиномиальная разрешимость уравнений в банаховом пространстве
Введение к работе
Введение 10
Глава І. Исторический очерк развития хроматографии в современный метод анализа полимеров
1.1. Создание метода и его применение к анализу низкомолекулярных веществ 21
1.2. Развитие жидкостной хроматографии высокомолекулярных соединений 22
1.3. Технические основы развития метода жидкостной хроматог-графии 25
1.4. Развитие общих теоретических основ жидкостной хроматографии 29
1.5. Развитие теоретических концепций в жидкостной хроматог-графии макромолекул 1.5.1. Концепция объемного исключения 35
1.5.2. Геометрическая концепция 35
1 5.3. Диффузионная концепция 38
1.5.4. Гидродинамическая концепция 39
1.5.5 Термодинамическая концепция 42
1.5.6. Попытки учета различных специфических особенностей хроматографии макромолекул 45
1.5.7. Развитие интерпретационных методик в жидкостной хроматографии макромолекул 46
1.5.8. Развитие хроматографаческих методик для определения ММР, СІМ и других физических характеристик полимеров 48
Глава, 2. Закономерности, хроматографического; процесса, общие для низкомолекулярных веществ и высокомолекулярных соединений 51
2.1, Характеристика хроматографического метода 51
2.2, Эффект нелинейности изотермы сорбции , 56
2.3, Эффекты, связанные с динамикой течения вязких растворов 57
2.4, Способы описания хроматографического процесса
2,5 Кинетика хроматографического процесса
2.6. Роль кинетики в описании: хроматографического процесса 67
2.7. Неравновесность хроматографического процесса 72
2.8. Пирсоновский характер хроматографического процесса 78
2.9. Аппроксимация хроматограмм распределениями Пирсона
2.10. Метод статистических моментов в хроматографии 84
2.11. Изучение динамики размывания хроматографической зоны
с помощью метода статистических моментов 86
2.11.1, Динамика размывания зоны без явного выделения профиля скорости потока 87
2.11.2. Динамика размывания зоны с учетом профиля
скорости потока .4..., 91
2.12. Связь структурных параметров хроматографического слояс его динамическими характеристиками 94
2.12.1. Случай 1-І (трансколоночный эффект дальнего действия в классификации Гиддингса) , 97
2.12.2. Случай 1 -2 (трансколоночный эффект ближнего действия) 98
2.12.3. Случай 1=3 (трансканальный эффект) 98
2.12.4. Случай / =4 (канальный эффект) 100
2.13. Оптимизация хроматографического процесса 101
2.13.1. Классификация хроматографических процессов 102
2.13.2, Классификация операционных параметров хрома тографического процесса 103
2.13.3 Предпосылка оптимизации 104
2.13.4. Оптимизация по скорости анализа 105
2.13.5, Оптимизация по эффективности анализа 115
2.13.6, Оптимизация по чувствительности анализа 122
2.13.7. Учет экстраколоночного размывания 129
Глава 3. Теория хроматографического процесса для растворов
взаимодействующих молекул 131
3,1. Эксклюзионная жидкостная хроматография растворов молекул, совершающих конформационные переходы 132
3.2 Эксклюзионная жидкостная хроматография растворов ассоциирующих молекул 141
3.2.1. Основные закономерности 143
3.2.2. Определение степени ассоциации 147
3.2.3. Доказательства двухкомпонентности раствора 152
3.2.4. Определение констант равновесия в условиях статического эксперимента 157
3.2.5. Использование квазиреального ("машинного:") эксперимента для проверки согласования данных прямой и обратной задач при изучении ассоциации макромолекул 161
Глава 4. Специфические особенности: хроматографии макромолекул 167
4.1. Изменение свободной энергии макромолекул при, межфазных переходах, как основная характеристика, поведения вещества в хроматографическом процессе 167
4.2. Особенности: изменения свободной энергии, макромолекул при межфазных переходах. Две основные разновидности хроматографии полимеров 171
4.3. Модельные расчеты изменения свободной энергии макромолекул при межфазных переходах в ЭЖХ на жестких ненабу хающих сорбентах типа макропористых стекол- 174
4.3.1 Модель структуры пор макропористых стекол 174
4.3.2. Модельные представления гибкоцепных макромолекул 177
4.3.3. Метод конечных цепей Маркова 183
4.3 4. Метод Монте-Карло 184
4.3.5. диффузионный метод 185
4.4. Взаимосвязь хроматографияеских и физических характеристик макромолекул. Общая универсальная калибровка в ЭЖХ полимеров 187
4.5. Особенности хроматографии полимеров,, связанные с адсорбционным взаимодействием макромолекул с жестким ненабуха-гощим сорбентом. 195
4.6. Особенности, хроматографии гибкоцепных полимеров на набухающих макропористых сорбентах 1
4.6.1. Хроматография на набухающих сорбентах в условиях ЭЖХ 202
4.6.2. Влияние адсорбционного, взаимодействия на результаты анализа при; хроматографии, на набухающих сорбентах 2
4.7. Зависимость параметров удерживания макромолекул в ЭЖХ от качества растворителя, объемных эффектов и величины гидродинамического взаимодействия макромолекулярных сегментов 212
4.8. Специфические особенности размывания хроматографической зоны в ЭЖХ полимеров 226
4.8.1. Экстремальный характер размывания зоны в ЭЖХ 226
4.8.2. Размывание хроматографической зоны в АЖХ 229
4.8.3. Зависимость размывания хроматографической зоны от качества: растворителя и величины гидродинамического; взаимодействия макромолекулярных сегментов, связанная с особенностями диффузионной под вижности макромолекул; в ограниченных объемах » 229
4.9. Концентрационные эффекты в ЭЖ полимеров 238
4.9.1. Эффект изменения размера макромолекул 240
4.9.2. Эффект,, связанный с осмотическим давлением 243
Глава 5. Оптимизация хроматографического процесса в ЭЖ по лимеров 246
5.1. Требования к эффективности при определении. МНР и СММ полимеров 246
5.2. Требование к эффективности системы при. необходимости визуального; разделения компонентов 253
5.3. Требование к степени асимметрии хроматографических пиков 260
5.4. Выбор и приготовление сорбента для получения линейной калибровочной зависимости: и достижения требуемой селективности хроматографической системы 263
Глава. 6, Применение ЭЖ к исследованию физических свойств
полимеров 275
6.1. Определение размеров линейных макромолекул, их молекулярных масс и распределений по этим характеристикам 275
6.1.1. Коррекция хроматограмм на приборное уширение с помощью ЭШ 276
6.1.2. Коррекция хроматограмм на приборное уширение 285
6.1.3. Переход от хроматограмм к распределениям по размерам макромолекул и их молекулярным массам 289
6.2. Определение констант Йи Д« уравнения Марка-Куна-Хау-винка с помощью ЭЖ 291
6.3. Сочетание ЭЖХ с другими физико-химическими, методами для анализа разветвленных полимеров 296
6.3.1. А-налиа разветвленных полимеров сочетанием ЭЖК
и вискозиметрии 297
6.3.1а. Использование проточного, вискозиметра 298
6.3.16. Использование обычного (непроточного) вискозиметра 302
6.3. Дв. Определение ММР разветвленных полимеров сочетанием методов ЭЖ и вискозиметрии без постулирогвания модели ветвления • 308
6.3.2. Анализ разветвленных полимеров сочетанием методов ЭЖ и седиментации 313
6.4. Сочетание ЭЖ с независимыми методами определения средних молекулярных характеристик (общий случай) 316
6.5. Определение коэффициентов диффузии макромолекул в растворе методом ЭЖ 319
6.6. Погрешность при определении молекулярных масс методом ЭЖ 326
Глава 7. Применение ЭЖ к изучению процессов синтеза и деструкции полимеров на примере поли-(4,4ж-оксидифени-лен)пиромеллитамидокислоты 333
7.1. Выбор и калибровка хроматографической системы для исследования растворов ПАК ПМ 334
7.2. Определение ММРи СШ полиамидокислот методом ЭЖ 337
7.3. Исследование кинетики процессов образования и деструк - 9 ции полиамидокислоты 342
Глава 8. Хроматографическая порометрия 356
8.1. Постановка и решение задачи 356
8.2. Примеры применения метода 360
8.3. Статический вариант метода 364
Заключение 369
Выводы 372
Литература 375
Приложение 406
О порядке погрешности наилучшего приближения функции
А именно, имеется пример уравнения (1) из рассматриваемого в теореме 2 класса, решение которого U0 не принадлежит VVP (Т Зпри &-ЩВ±- (см. 7 гл. 2). Имеется также пример задачи (2), решение которой, бесконечно гладкое на / при t 0 , не аналитично на Тт по х ни при каком ± 0 . Более того, оценка роста производных по OZ этого решения, данная в пункте 2 теоремы 2, не может быть существенно улучшена (см. 9 гл. 2 и приложение).
Вопросу о гладкости решений дифференциальных уравнений посвящено огромное количество работ. Здесь будут упомянуты лишь наиболее близкие к полученным в теореме 2 результатам.
Неэллиптические стационарные уравнения вида (1), где оператор А имеет вид (8) или более общий вид, изучались во многих работах (см.Гі2] ,[13] ,Г42] и приведенную там литературу) Большое количество работ посвящено изучению условий на структуру оператора А , гарантирующих бесконечную гладкость решения. В ряде работ (см.[12] , Гі4І ,Гі5] ) на структуру оператора А накладывалось, как и в теореме 2, лишь условие (9). В Гі4] ,fl2] в скалярном случае указаны условия на оператор А , гарантирующие принадлежность Ы0 к С если р в (1) достаточно велико, и позволяющие оценить в зависимости от Р . Эти условия сформулированы в совершенно других терминах, чем условия теоремы 2. Есть примеры, когда пункт 1 теоремы 2 дает более точные оценки гладкости. Случай систем вида (1) рассмот 14. рен в [15] , где доказано, что U0eU4 ,А- + при_р- оо, но нет оценок А в зависимости от Р Принадлежность решения задачи Коши (2) в скалярном случае к С доказана в [14] , где, в отличие от п. 2 теоремы 2, не оценена скорость роста производных.
Аналитичность решения (3) следует в скалярном случае из результатов Г16J , [17] (не охватывающих случай систем). Условие (11) теоремы 2 означает, грубо говоря, что АкЛиС1Г2К(2К)! (18)
В значительном числе работ (см. [18 - 211 ) при различных условиях на структуру оператора А доказаны теоремы о том, что наличие оценки вида (18) эквивалентно аналитичности Jt (а следовательно и А" 7 , так как AM"V = AK"V ). Эти теоремы применялись и для изучения свойств решений задач вида (2) и (3) (см. [20] ). Теорема 2 показывает, что использование полиномиальных представлений (6) позволяет выводить из (18) нетривиальные оценки гладкости решений и в случае, когда оператор А вырождается произвольным образом, подчиненным лишь условию (4).
В отличие от методов работ Г12 - 21, 42] в теореме 2 утверждения о гладкости выведены путем исследования формулы (6), дающей представление решений. (1), (2), (3) в явном виде. Факт различной гладкости Uo, U-f и Ug допускает при помощи теорем 1 и 2 простое объяснение. А именно, функции (Р +Л)",в ,СО&ІІЛ имеют различную регулярность в . Большей регулярности соответствует большая скорость приближения полиномами и, как следствие, более высокая гладкость решения.
Когда коэффициенты оператора А и функция k" - полино мы, вычисление Pfi(A)r особенно просто и сводится к IS. чисто алгебраическим операциям и легко реализуется на ЭВМ.
Это позволяет использовать формулы (6) для численного решения задач (1), (2) или (S). При решении стационарных уравнений вида (1) скорость сходимости приближений Рп (А)г к точному решению, как видно из (15), степенная с показателем степени 29.F/1T , сильно зависящим от числа R . Число R в свою очередь сильно зависит от аналитических свойств коэффициентов оператора А . Сравнение числа арифметических действий, нуж ных для вычисления Uо с заданной точностью с применением разностных методов и с применением (6) показывает, что при малых Q.f разностные методы эффективнее (в тех случаях, ко гда они могут быть применены, то есть в случае гладких реше ний; подчеркнем, что мы не требуем аналитичности решений, а требуем лишь аналитичность правых частей уравнения; поэтому в неэллиптическом случае решения могут быть негладкими). При больших R? применение формул типа (6) для решения ука занных уравнений оказывается эффективнее. Подробно сти см. 11 главы 2, а также Г46] , где указаны также приме ры уравнений с большим значением Rf ).
Примеры дифференциальных операторов, для которых >о содержит множество аналитических функций
Очевидно, это определение совпадает с (2.1), где & - единичная матрица. Теорема 3.1. Пусть оператор В определяется формулой (3.1) на Z)0 -(ОгСГ)) - Тогда выполнены условия (2.2), (2.3), (2.4) и для любой тєЗ)0 выполнено условие (2.6) с некоторыми R 0 и М 0.
Доказательство. Включение (2.2) очевидно, так как дифференциальный оператор с аналитическими коэффициентами переводит аналитические функции в аналитические. Равенство (2.3) получаем, воспользовавшись формулой интегрирования по частям и условием (3.2) (граничные члены отсутствуют из-за периодичности). Проверим (2.4), воспользовавшись формулой интегрирования по частям и условием (3.3):
Неравенство (2.6) для операторов В второго порядка с аналитическими коэффициентами и аналитических функций г в ограниченной области ? хорошо известно (см. [14], см.также 5 4). Теорема доказана.
В силу теоремы 3.1 выполнены все условия теоремы 2.3. определяется формулой (3.1), для обобщенных решений уравнений (2.7), (2.8) и (2.9) справедливы представления вида (2.14), построенные в теореме 2.3.
Замечание 3.1. Если в неравенстве (3.4) и, соответственно, в (2.4), Ь 0, то оператор 6 можно представить в виде 3=А+р21 , где PZ by f\ 0y I - единичный оператор, и решение уравнения ВЫ0 = т представимо в виде (2.14). Полином Рп (Я)-Рп(- ) определяется формулой (2.1) главы 1, где Х-2Я АіГ . Таким образом, для нахождения Рп (Л) нужно задать два числа _Р и & : Р & , R ft . Для нахождения этих чисел требуется иметь оценки снизу числа о в (3.4) и числа ft в (2.6). Простейшую оценку снизу для о имеем в случае, когда матрица 000(х)положительно определена: СИ00(Х) о01 \JXCQ , где о0 0 не зависит от X . В этом случае из вывода (3.4) сразу видно, что D o,, . Оценки снизу числа R. будут проведены в следующем параграфе.
Замечание 3.2. Совершенно аналогично оператору В » оп л ,, „ формулой 3.1, можно рассмотреть самосопря женный оператор второго порядка на аналитическом многообразии Q без края (скалярное произведение берется в где аШ - некоторая гладкая мера на 2 .
Пример 3.2. (Дифференциальный оператор, вырождающийся на границе области). Пусть Я. - ограниченная область в IR. с гладкой границей ЪЯ, . Обозначим через ((К(Я.)) множество вещественно-аналитических на замыкании О. области Q вектор-функций. Рассмотрим дифференциальный оператор В определяемый формулой (3.1). Предполагается, что коэффициенты этого оператора принадлежат Оі(Я) и что выполнены условия (3.2) 69. и (3.3). Кроме того на оператор В накладывается условие вырождения на границе: где (ґ)1(Х)у..уґ)т(Х)) - внешняя нормаль к Ъ& в точке X . Согласно формуле Гаусса - Остроградского = f [-Z с ц Э\ U,V nj of + (TK0UЭ; W, Э; 7/ c/a + (3.6)
В силу условия (3.5) интеграл по дЯ равен нулю. Еще раз проинтегрировав по частям, получаем, что (Su,v) = ( Sv) T.Q. оператор В симметричен на (Ot(Q.)) . Так же как в (3.4) проверяется полуограниченность снизу оператора В на (ас(Я)) Таким образом справедлива
Теорема 3.2. Пусть оператор В определяется (8.1) на 2)0-(0 (9.)) и удовлетворяет условиям, наложенным в примере 3.2. Тогда выполнены условия (2.2), (2.3), (2.4) и для любой тсЪ0 выполнено условие (2.6). (Условия (2.3) и (2.4) уже проверены, (2.2) и (2.6) устанавливаются так же, как в теореме 3.1). Пример 3.3. (Самосопряженный с весом дифференциальный оператор, вырождающийся на границе области).
Доказательство необходимости квазианалитично сти С(М(К)) для полиномиальной разрешимости уравнений из Е(М(К))
Сформулируем основной результат этой главы. Теорема 1.1. Пусть М(к) - последовательность, удовлетворяющая условию (1.1). Для того, чтобы все уравнения из класса Е(И(к)) были полиномиально разрешимы, необходимо и достаточно, чтобы С(МСк)) било квазианалитическим классом функций.
Замечание 1.6. Мы ограничились случаем уравнений вида (1.9) на торе ради простоты изложения. Аналогично можно рассмотреть уравнения в ограниченной области типа рассмотренных в примерах 3.3 или 3.4 главы 2 (см. [22] ), а также системы уравнений.
Доказательство теоремы 1.1 мы проведем в последующих параграфах. Доказательство необходимости квазианалитичности для полиномиальной разрешимости уравнений из Е(М(кї).
Мы здесь докажем несколько более сильное утверждение, чем утверждение необходимости в теореме 1.1. А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть коэффициенты оператора В - фиксированные функции из С(Тт), причем выполнены условия (1.10), (1.11). Пусть уравнение В л=г полиномиально разрешимо при любой .С(М(Ю) . Тогда С(М(Ю) -квазианалитический класс функций.
Доказательство теоремы основывается на следующей лемме. Лемма 2.1. Если С(М(К)) - не квазианалитический класс функций, то для любой точки ХеТт и любого Гс 3 0,9Г[ существует функция (зс)є C(M(K)j, удовлетворяющая двум условиям: условию положительности
Доказательство. Очевидно, что периодическое решение можно рассматривать как решение, гладкое в ограниченной области Q U содержащей куб [.-JTyTf] , и максимум дости гается во внутренней точке Я. . Если максимум положителен, то утверждение леммы 2.2 следует из сильного принципа макси мума (см. [51 - 53] ). Если максимум равен нулю, то ы(х) 0 Vx cQ и утверждение леммы следует из [53, тео рема 3, гл.П] . Доказательство теоремы 2.1. Предположим, что все условия теоремы 2.1 выполнены, а класс С(М) не квазианалитический. Тогда,согласно лемме 2.1, найдется функция УсСІМ) , удов летворяющая (2.1) и (2.2), где S- Jz,X 0 . Рассмотрим уравнение (1.9), где t = -f . 3 силу (2.2) 4 0
Отметим, что и(Х)-СОШк не является решением (1.9). Дей ствительно, если \A(X)-coibbi в силу (1.9), то м(а) = /(хУ 7адф, а это невозможно, так как согласно (2.1) и (2.2) т(О) 0 ,
Так как уравнение (1.9) эллиптическое, то его решение гладкое. Воспользовавшись принципом максимума, гдеф -некоторая область, содержащая внутри куб [-7T, rJrn , полу
В силу условия (2.2), где S" -ЧГ/% , t(X)-0 при хеш (2.11) Воспользуемся теперь полиномиальным представлением а по формуле (1.15), которое существует согласно предположению теоремы. В силу (2.11) Pn(8jl=(9 в ио при всех и , и вследствие (1.15) Ц(Х)=о при Х(Ю. А это противоречит тому, что выполнена оценка (2.10). Таким образом мы пришли к противоречию, и теорема доказана.
Замечание 2.1. Рассмотрев доказательство теоремы 2.1, нетрудно заметить, что полиномиальная разрешимость уравнения использована лишь для того, чтобы установить "локальность" зависимости и от т , то есть тот факт, что ц(Х0) однозначно определяется значениями (Х0) Вт( о)9--і д к$(Хо)}... . При этом совершенно несущественно, каким образом U(X0) выражается через &кі(Х0), к=0,4,
Изучению вопроса о том, какие ограничения на рост II 6 11 для различных классов операторов В гарантируют выполнение свойства "локальности" зависимости решений уравнения Вы-т от т посвящен ряд работ (см. [60 - 63] ).
Полиномиальная разрешимость уравнений в банаховом пространстве
Таким образом, для построения функций lii (Z) , удовлетворяющих требуемым в теореме условиям, достаточно построить функции тС (Л) , удовлетворяющие (4.2) - (4.6) и перейти затем к обратному преобразованию Фурье.
В дальнейшем нам понадобится функция УСЛ) , определяемая формулой Эта функция обладает следующими свойствами: 1) f(0)=1 ; 2) функция (Л) аналитична в полосе 3) функция У(Я) удовлетворяет в этой полосе оценке причем константа С не зависит от »? , а зависит лишь от 4) отображение -Я - Сі-Я) взаимно однозначно и конформно в полосе 5) отображение Л- У(і-А) переводит полосу в круг К=[г / Ігі/-ctfd UcM2 } с выкинутой точ кой 0 ; при этом прямая пере ходит в окружность, ограничивающую этот круг с выкинутой точкой нуль, и при прямая LR переходит в полуинтервал
Проверим сформулированные свойства ЩЛ) . Свойства 1) и 2) очевидны. Для проверки свойства 3) воспользуемся тем, что Учитывая, что f(4 + Ul S)) = f _І + Ц?Г легко выводим отсюда (4.9). Чтобы проверить 4) и 5) заметим, что отображение w = = т(ІЛ) является суперпозицией следующих отображений:
Очевидно, что отображение Л "U/z переводит прямую Lp в интервал (-1Д), а прямые Lpl -3ft J9 у5 в дуги окруж ностей, соединяющие точки 1 и -1 , лежащие в нижней полу плоскости, и составляющие угол (fi-fiO VC fi) с отрез ком -1,1] . Полоса - 3J3 е.Я J3 переходит взаимно однозначно в полуплоскость IrYMM CO Отображение Л - ІлТ взаимно однозначно переводит эту полосу в плоскость с выки нутым лучом Ъ1Ъ І . Отсюда сразу следует, что отобра жение Л 2// взаимно однозначно и конформно в этой полосе.
Таким образом, свойство 4) имеет место. Чтобы проверить пункт 5) заметим, что отображение Щ - к/ переводит интервал (-1,1) в полуинтервал ( О, OOA /g ) Следовательно, отображение Л-+гіґ переводит Le в этот полуинтервал. Отображение Л- гіЛ переводит прямую La в дугу окружности, перпендикулярную интервалу (-1,1) в точках -1 и 1, то есть в полуокружность \іАГг\=.і . При отображении 1АТг -+ ц/ъ эта полуокружность переходит в окружность \zwb--\\-A с выкинутой точкой О . Отсюда следует справедливость пункта 5).
Заметим теперь, что множители Ч (УЧ-Я)) в формуле (4.16) ограничены при Ут Л 1 2J3 . Действительно, нетрудно заметить, что отображение Л Ч (Л) переводит полосу 187. \Ут Я\ 2fi в ограниченное множество, а полином у на ограниченном множестве ограничен. Поскольку функция
УІ (У(Я)) аналитична при \,Ьг\Я\ 2$ в силу свойства 2) функции УСЯ) , то условия (4.5) и (4.6) выполнены. Таким образом функции %і (Я) , определяемые формулой (4.16), удовлетворяют (4.2) - (4.6). Как указывалось в начале доказательства теоремы, выполнения этих условий достаточно для того, чтобы функции (1) - обратные преобразования Фурье функций i- (Я) - обладали всеми требуемыми в теореме свойствами. Таким образом теорема 4.1 полностью доказана.
В этом параграфе будут, основываясь на результатах пре дыдущих параграфов, доказаны две теоремы о полиномиальной раз решимости уравнений вида А и-т , К-i или Z . Вначале будет доказана теорема 1.1 о полиномиальной разрешимости опе раторных уравнений в банаховом пространстве. Затем, в качест ве следствия из этой теоремы будет доказана сформулированная в 1 теорема 1.2 о полиномиальной разрешимости в М симмет ричных систем первого порядка с аналитическими коэффициента ми и правыми частями.