Содержание к диссертации
Введение
1 Бифуркации в распределенных динамических системах 13
1.1 Некоторые общие сведения из теории бифуркаций 13
1.2 Бифуркации положения равновесия конечной размерности в модели брюсселятора 21
1.3 Бесконечномерно-вырожденные бифуркации положения равновесия в экономической модели Магницкого 32
1.4 Бифуркации рождения пространственно - неоднородных циклов 40
1.5 Бифуркации рождения торов 50
1.6 Выводы 55
2 Хаотическая динамика в распределенных системах 57
2.1 Методы диагностики пространственно - временного хаоса . 57
2.2 Переход к хаосу в модели брюсселятора 61
2.3 Переход к хаосу в уравнении Курамото-Цузуки 76
2.4 Переход к хаосу в распределенной экономической системе с недиагональной матрицей диффузии 86
2.5 Выводы 89
3 Распределенная модель рыночной экономики Магницкого 91
3.1 Обгцее описание задачи 91
3.2 Распределенная модель рыночной экономики 92
3.3 Пространственно-однородные циклы и недиффузионный хаос 103
3.4 Волновые эффекты в распределенной системе 109
3.5 Некоторые аспекты практического применения модели 113
3.6 Выводы 117
Список литературы 118
- Бесконечномерно-вырожденные бифуркации положения равновесия в экономической модели Магницкого
- Бифуркации рождения пространственно - неоднородных циклов
- Переход к хаосу в распределенной экономической системе с недиагональной матрицей диффузии
- Пространственно-однородные циклы и недиффузионный хаос
Введение к работе
Пространственно - временной хаос - явление, чрезвычайно распространенное в природе. Наиболее очевидными примерами являются непредсказуемо изменяющиеся водовороты в реках, дым от костра, погода. Хаос также присутствует в химических реакциях, динамике популяций, социально-экономических процессах. Если математическая модель природного процесса представляет собой нелинейную динамическую систему, то явлению хаоса может отвечать сложное пространственно-временное поведение решений, чувствительное к малым изменениям параметров и начальных условий. Накопленный к настоящему моменту опыт численного моделирования показал, что многие нелинейные системы дифференциальных уравнений имеют хаотическое поведение, причем оно не связано с ошибками вычислений. Таким образом, проблему пространственно - временного хаоса в природе представляется возможным свести к проблеме динамического хаоса в нелинейных системах уравнений в частных производных.
Динамический хаос, возникающий в распределенных нелинейных системах, уже ни один десяток лет вызывает все более нарастающий интерес. Однако, пока не существует какой-либо единой и последовательной теории его возникновения. Сейчас можно говорить лишь об отдельных подходах и результатах, полученных для распределенных динамических систем, возникающих в моделях химической кинетики, морфогенеза, экологии, социологии, экономики. С другой стороны, в связи с постоянным увеличением мощности компьютеров и быстрым развитием вычислительных
Введение
методов появляются новые возможности, дающие предпосылки для возникновения теории. Поэтому наиболее важной задачей сейчас является определение пути, по которому должно пойти развитие теории пространственно - временного хаоса.
Исторически было несколько попыток дать математическое объяснение возникновения хаоса. В 1944 году Л. Д. Ландау был предложен сценарий, который объяснял механизм возникновения турбулентности в гидродинамических уравнениях, путем последовательного возбуждения все большего числа мод [24],[25]. Фазовым пространством динамической системы в данном случае является пространство скоростей движения вязкой жидкости. Параметром системы является число Рейнольдса /?, отвечающее за интенсивность внешнего воздействия, способствующего движению. Было установлено, что при малых значениях числа R решением системы является устойчивая неподвижная точка в пространстве скоростей, соответствующая стационарному течению. При достижении числом Рейнольдса критического значения R> Rcri, в фазовом пространстве возникает предельный цикл, соответствующий периодически пульсирующему течению. Далее, при достижении следующего критического значения R > Rcr2 цикл становится неустойчивым и в системе возникает дополнительная частота, что приводит к возникновению в окрестности цикла устойчивого "цикла на цикле "или тора. Далее было предположено, что при дальнейшем увеличении R в системе будут возникать все новые и новые частоты. Геометрически это означает потерю устойчивости двумерного тора и возникновению в его окрестности трехмерного тора, затем ему на смену придет четырехмерный тор и т.д., причем интервалы между бифуркационными значениями параметра быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Движение, получающееся в пределе, было названо турбулентным. Независимо от Ландау, подобную теорию
Введение
в 1948 году опубликовал немецкий математик Э. Хопф [61].
Другой подход был предложен в 1971г. французским физиком Д. Рюэлем [50],[41]. Совместно с Ф. Такенсом и С. Ньюхаусом было показано, что на трехмерном торе существует всюду плотное открытое множество систем с подковой Смейла - фрактальным объектом, имеющим дробную размерность. Таким образом, стал возможен еще один сценарий возникновения турбулентности. После образования трехмерного тора совсем не обязателен дальнейший каскад Ландау-Хопфа. В результате малых флуктуации система сваливается во множество систем с подковой Смейла и таким образом в ней возникает хаотическая динамика.
Несколько позже физики и математики уделили внимание работе американского метеоролога Э. Лоренца, численно обнаружившего в 1963 году апериодические решения в нелинейной системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений, широко известной сейчас как система Лоренца. С этого момента возникла новая парадигма, получившая имя - хаос. Было найдено множество других динамических систем конечной размерности, обладающих хаотическим поведением. Особо важное открытие в этом направлении было сделано в 1978 году американским физиком М. Фейгенбаумом [56]. В логистическом отображении
xn+i = гхп(1 -хп), х [0,1], г Є [0,4]
он обнаружил каскад бифуркаций рождения устойчивых периодических орбит удвоенного по сравнению с предыдущим периода: 2,4,8,..., возникающий при увеличении г. Также было обнаружено, что интервалы между бифуркационными значениями г убывали в пределе со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем 5 = 4,66920..., а в конце каскада образовывался сложный апериодический аттрактор. Замечательным фактом является то, что данный сценарий оказался универсальным для широ-
Введение
чайшего класса одномерных отображений. Более того, оказалось, что постоянная 8, получившая название константы Фейгенбаума, не зависит от отображения. Еще ранее, в 1964 г., не менее замечательное открытие было сделано советским математиком А. Н. Шарковским [63], обосновавшим порядок, в котором происходит усложнение одномерных немонотонных отображений, началом которого является каскад Фейгенбаума. Значение этого результата для теории хаоса было осознано лишь в 1975 г. после известной работы Т. Ли и Дж. Йорке, независимо доказавших, что существование цикла периода три в непрерывном отображении отрезка в себя влечет существование циклов любого периода. Позже выяснилось, что данный результат является лишь частным результатом не известной им ранее теоремы Шарковского о сосуществовании циклов периоды которых можно упорядочить следующим образом:
1.< 2 < 22 < 23-< ... <3 22 7 <.22 5 < 22 3 < ...
... < 2 7 < 2 5 < 2 3 < ... <9<7<]5<]3,
где т <\:п означает, что если в отображении существует цикл периода п, то существует цикл периода т.
Оказалось, что сценарий Фейгенбаума - Шарковского играет существенную роль и в теории хаоса для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно, имеют место субгармонические каскады бифуркаций удвоения периода предельных циклов с универсальной постоянной Фейгенбаума и в соответствии спорядком Шарковского. Как было недавно показано Н. А. Магницким [35] , данные каскады определенным образом включаются в общий сценарий Фейгенбаума - Шарковского - Магницкого, имеющий место в огромном классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Связующим звеном между одномерными отображениями и дифференциальными уравнени-
Введение
ями выступает открытая Магницким особая точка тина ротор двумерной неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей главной линейной части.
Пространственно - временной хаос в химических реакциях начал изучаться уже в русле парадигмы динамического хаоса. Экспериментально колебания реакций были обнаружены значительно раньше [48], но хаос тогда воспринимался как неудавшийся эксперимент. В 60-е годы химики начали приходить к мнению, что некоторые химические процессы не объясняются развитой на тот момент теорией линейной неравновесной термодинамики. Ученые брюссельской научной школы под руководством И. При-гожина предложили для их объяснения содержательные нелинейные модели,.в которых используются величины, характерные для термодинамики (концентрации, температуры и.т.д.:)[26]'. Данный подход оказался очень плодотворным, с помощью него было объяснено существование устойчивых пространственно-неоднородных структур и периодических химических колебаний. На возможность существования турбулентности в химических реакциях в 1973 году обратил внимание Рюэль [51], после чего началось активное изучение этого феномена. Большой вклад в теорию нелинейных систем реакции диффузии внесли японские физики И. Курамото и Т. Цузуки. В своей работе 1978 года [22] Курамото писал "Важная, не решенная пока проблема, состоит в том, чтобы найти связь диффузионного хаоса с каким-либо известным видом хаоса, возникающего в системах с несколькими степенями свободы". Подобный вопрос ставился и ранее в работах Лоренца [28] и Рюэля - Такенса [50].
На наш взгляд, построение последовательной теории хаоса для распределенных динамических систем возможно. Более того, развитие данной теории может пойти по пути классификации бифур-
Введение
каций и сценариев перехода к хаосу, только, несомненно, более сложных и разветвленных по сравнению со сценариями в конечномерных системах. Существенно иным должен являться выбор множества объектов исследования. В то время как в конечномерной теории хаоса объектом исследования может являться любая автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью, здесь к объектам исследования нужно подходить более избирательно. Очевидной причиной такого подхода является то, что абстрактное нелинейное уравнение в частных производных может не иметь решениий вообще, более того, нет никаких сколь - угодно универсальных теорем существования и/или единственности. На данный момент разумным кажется ограничение выбора объектов исследования прикладными задачами. В данной работе в качестве примеров для исследования хаоса были выбраны три объекта: модель брюсселятора, уравнение Курамото-Цузуки и распределенная модель рыночной экономики Н.А. Магницкого.
Основная цель данной работы - на примере трех качественно отличных друг от друга модельных систем показать, как в распределенных системах происходит переход от простых решений к более сложным, какие неизвестные ранее бифуркации возможны в распределенных системах, какие из них и каким образом приводят к возникновению хаоса. Оказывается, что бифуркации, сценарии перехода к хаосу и сами хаотические аттракторы в трех рассматриваемых системах имеют качественные различия. Тем не менее, прослеживаются и некоторые общие черты, что позволяет сделать вывод о возможности построения последовательной теории пространственно - временного хаоса, но достаточно сложной и разветвленной.
Помимо основной цели, данная работа имеет некоторую прикладную направленность. Поскольку все примеры, рассматрива-
Введение
емые в данной работе, были взяты из прикладных задач, то, помимо изучения непосредственно явления пространственно - временного хаоса, интерес представляют и другие, нехаотические решения данных систем, такие как стационарные и периодические диссипативные структуры, волны, сложные пространственно -однородные циклы. Особое внимание уделено анализу решений распределенной модели рыночной экономики, представляющей собой систему реакции - диффузии с недиагональной матрицей.
Работа состоит из трех глав. Цель первой главы - показать, каким образом в распределенных системах могут рождаться более сложные решения из более простых. Самым простым устойчивым решением распределенной системы является пространственно - однородное равновесие. Оказывается, что в распределенных системах возможны две качественно различные бифуркационные картины: конечномерная и бесконечномерно - вырожденная. Первый тип может быть описан нормальной формой конечной размерности и порождает изменения фазового портрета на многообразии конечной размерности. Такие бифуркации присущи и системам обыкновенных дифференциальных уравнений, однако, в распределенной системе вследствие существующей симметрии может рождаться континуум диссипативных структур. Данное явление найдено и исследовано для периодической задачи модели брюсселятора. Второй случай - бесконечномерное вырождение, присущ уже только распределенным системам и требует более сложного анализа, не сводящегося к редукции на конечномерное многообразие. В данной главе исследована такая бифуркация, имеющая место в распределенной модели рыночной экономики, причем показано, что данный случай не является экзотическим, а имеет место для целого класса систем данного вида.
Следующим по сложности решением является устойчивый пространственно - однородный цикл, который может родиться в ре-
Введение
зультате бифуркации положения равновесия и претерпевать бифуркацию при дальнейшем изменении праметров. В данной главе был проведен анализ бифуркации пространственно - однородного цикла в распределенной модели рыночной экономики. Показано, что в результате такой бифуркации рождается два симметричных пространственно - неоднородных цикла, вид которых найден асимптотически. Явление, когда из одного симметричного решения рождаются два или континуум, присуще распределенным системам, поскольку они обычно имеют симметрии.
Еще более сложными, но не хаотическими решениями, типичными для распределенных систем, являются двумерные торы, которые могут рождаться как в результате бифуркации устойчивых циклов, так и в результате бифуркации других двумерных торов, имеющих более простую пространственную конфигурацию. Различные ситуации рождения и разрушения-торов, были исследованы численно в первой главе для модели брюсселятора, уравнения Курамото-Цузуки и распределенной модели рыночной экономики. Во второй главе показывается, что именно бифуркации торов играют решающую роль в образовании хаотических аттракторов в распределенных системах.
Вторая глава посвящена исследованию собственно сценариев перехода к хаосу, то есть путей по которым происходит усложнение решений, приводящее к образованию хаотического аттрактора. Для каждой из трех рассматриваемых в работе систем показано, каким образом описанные в предыдущей главе бифуркации складываются.в каскады и из регулярных аттракторов происходит рождение хаоса. Стоит отметить, что современное определение хаоса в распределенных системах пока еще не является полностью удовлетворительным. В современной литературе и статьях пространственно - временным хаосом называют динамику, при которой существует аттрактор, нетривиально зависящий от
Введение
пространственной переменной, причем он не является предельным циклом или тором. Очевидно, что при таком подходе мы никак не можем качественно сравнить две системы, имеющие хаотическое поведение. Однако, если рассматривать виды хаоса без отрыва от сценария, то уже появляется возможность для их сравнения и классификации. Бифуркационные диаграммы, каждая из которых представляет собой область в пространстве параметров, разделенную на подобласти, соответствующие качественно различным решениям, являются объектами, вполне пригодными для сравнения в определенном смысле. Такие диаграммы построены в данной главе для модели брюсселятора, уравнения Курамото-Цузуки и распределенной модели рыночной экономики. Проведено качественное сравнение сценариев, выделены некоторые общие черты и различия. Отдельно уделено внимание явлению квазихаоса в распределнных системах. Оказалось, что для распределенных систем типичным является существование нескольких аттракторов с близко расположенными областями притяжения, что может вызвать хаотическое поведение вследствие малых случайных внешних возмущений.
Третья глава целиком посвящена анализу решений распределенной модели рыночной экономики Н..А. Магницкого. Помимо бифуркаций и сценария перехода к хаосу, рассмотренных в двух предыдущих главах, данная система обладает множеством других интересных свойств. Во-первых, система уравнений данной модели принципиально отлична от систем реакции - диффузии, моделирующих процессы в естественно - научных областях, а именно, имеет недиагональную матрицу диффузии. Во-вторых, оказалось, что данная система трех уравнений обладает пространственно - однородной хаотической динамикой. Наконец, подобный подход ранее не применялся в экономическом моделировании, поэтому, представляет интерес качественная верифика-
Введение
ция модели, а именно соответствие предельных циклов реальным циклам деловой активности, хаотизация экономики при уменьшении государственного регулирования и другие свойства. Специально для анализа решений данной модели в настоящей работе был разработан и использован метод стабилизации пространственно - однородных циклов и подход, разделяющий переменные на быстрые и медленные с целью анализа природы волновых эффектов.
Благодарности Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, академику РАЕН Магницкому Николаю Александровичу за постановку задал, полезные замечания и постоянное внимание к работе, а также старшем/у научному сотруднику ИСА РАН, кандидату технических наук Сидорову Сергею Васильевичу за обсуждения и полезные советы.
Бесконечномерно-вырожденные бифуркации положения равновесия в экономической модели Магницкого
Понятие бифуркации в широком смысле употребляется для обозначения любой качественной перестройки фазового портрета системы при изменении ее параметров. Типичным примером является потеря устойчивости положения равновесия с образованием устойчивого предельного цикла или другого устойчивого положения равновесия; другим распространенным примером является бифуркация удвоения периода предельного цикла в системах обыкновенных дифференциальных уравнений [3],[4]. Более сложным примером может быть рождение или разрушение инвариантного многоообразия, не являющегося неподвижной точкой или замкнутой траекторией, например петли сепаратрисы.
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в настоящее время можно говорить о вполне сложившейся теории бифуркаций. Неформальные ее основы, включая технику нормальных форм, были заложены А. Пуанкаре. Формальные основы были заложены А.А. Андроновым и его учениками [1]. В дальнейшем теорию развивали выдающиеся математики всего мира [4].
Очевидно, что в распределенных динамических системах теория бифуркаций должна быть гораздо богаче, однако в настоящее время говорить о сложившейся теории еще рано. Пока можно говорить лишь об отдельных качественных результатах, полученных для распределенных динамических систем, возникающих в моделях химической кинетики, морфогенеза, экологии и других областей. Если говорить об основах, то нужно выделить работы А. Тьюринга [55] и И. Пригожина [42], открывших явление диффузионной неустойчивости пространственно - однородного состояния равновесия (термодинамической ветви), а также цикл работ СП. Курдюмова,. А.А. Самарского и их учеников [5].
Зачастую, хотя и не всегда, бифуркации в распределенных динамических системах могут иметь конечномерную природу. Примером может быть рождение пространственно - однородного предельного цикла, лежащего на двумерном инвариантном устойчивом многообразии или образование пространственно - неоднородной диссипативной структуры.
В данном разделе мы приведем наиболее значимые конечномерные теоремы, а также выделим некоторые классические приемы анализа, которые могут быть использованы для распределенных динамических систем.
В системах обыкновенных дифференциальных уравнений бифуркации принято разделять на локальные и нелокальные [4]. Из приведенных примеров к локальным относятся бифуркация рождения устойчивого цикла из положения равновесия и бифуркация удвоения периода цикла. Локальные бифуркации предполагают изменение фазового портрета в малой окрестности известного инвариантного многообразия при малых отклонениях значений параметров от известной точки бифуркации. Иными словами, бифуркацию можно назвать локальной, если можно построить ее какую-либо локальную теорию.
В этом смысле бифуркация потери устойчивости положения равновесия занимает особое место. Предпосылки для построения ее локальной теории очевидны. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений Положение равновесия щ находится из системы алгебраических уравнений Критерием устойчивости положения равновесия щ является отрицательность вещественных частей собственных значений матрицы линеаризации Данная задача в свою очередь сводится к задаче определения устойчивости корней характеристического многочлена матрицы Ли может быть решена с помощью критериев Гурвица или Михайлова [8]. Получив четкое описание явления, строим его локальную теорию.
Одним из наиболее мощных инструментов исследования является теория нормальных форм, восходящая к работам Пуанкаре [45],[46],[3],[4]. Суть ее состоит в том, чтобы формальной заменой переменных привести систему уравнений в окрестности неподвижной точки к наиболее простой форме путем разложения правой части по степеням отклонения от положения равновесия и последовательного уничтожения нерезонансных членов. Разложение представляет из себя формальный бесконечный ряд, по первым членам которого во многих случаях можно предсказать фазовый портрет.
Бифуркации рождения пространственно - неоднородных циклов
Данный раздел посвящен более сложному случаю, который принципиально не может быть сведен к конечномерной задаче. Предположим, что для системы (1.2) заданы условия предыдущего раздела, но пространство Е является сепарабельным гильбертовым и оператор LQ генерирует уже не полугруппу, а сильно непрерывную по t Є R группу exp(Lot) линейных ограниченных операторов. При этом Е\ уже бесконечномерно и спектр LQ В Е\ состоит из счетного числа собственных значений ±ішп, шп О, п — 1,2,..., то есть при є — 0 имеет место бесконечномерное вырождение.
Задачи, в которых могут иметь место бесконечномерно-вырожденньк бифуркации, известны в математической физике (телеграфное уравнение, уравнение колебаний балки, уравнение Буссинеска )[19]. Случай бесконечномерного вырождения возникает также ив распределенной модели рыночной экономики Н. А. Магницкого [30],[31], представляющей собой систему реакция-диффузия с недиагональной матрицей. Смысл уравнений модели описан в Главе 3 настоящей работы. В этом разделе мы покажем, что в данной системе в результате бесконечномерно-вырожденной бифуркации образуется пространственно - однородный цикл.
Итак, рассматрим следующий одномерный вариант некласси-ческой системы реакция-диффузия: Параметры я, a, b, d, a, 6 положительны по смыслу задачи. Предполагаем, что функции x{c,t), y{c,b)7 z(cyt) принадлежат Соболевскому пространству И ([0,7г], R) и удовлетворяют граничным условиям Рассмотрим это условие более подробно. Лемма 1.3.1 Линеаризуем систему (1.5) вблизи (x ,y ,z ) и рассмотрим первое приближение L имеет ВИД все собственные значения опрератора L лежат в левой комплексной полуплоскости. При переходе параметра 5 в область значений 5 S в правую комплексную полуплоскость переходит одновременно счетное число собственных значений оператора L. При 5 = 6 собственные значения оператора L задаются формулами Доказательство Поскольку оператор J - с граничными условиями второго рода на [0,7г] имеет собственные значения —п2, n = 0,1,... и соответствующие собственные функции COS ПС, то оператор L будет иметь собственные векторы вида где i;ni 2.3 являются собственными векторами матрицы нормированными на единицу. Соответствующие им собственные значения являются корнями кубического уравнения Исследовав устойчивость многочлена в уравнении (1.7) с помощью критерия Гурвица, нетрудно получить, что оно имеет вид и не зависит от п. Далее, вычисляя собственные значения в критический момент 5 — 5 получаем где подкоренное выражение всегда положительно при выполнении условия 1 — a — S 0. Таким образом, в данной задаче происходит бесконечномерное вырождение с переходом через мнимую ось одновременно счетного числа собственных значений оператора L. Это означает, что в данном случае не может быть применен классический геометрический подход, описанный в предыдущих разделах, состоящий в сведении исходной задачи на конечномерное центральное многообразие и позволяющий применить хорошо развитую теорию бифуркации положения равновесия в конечномерных системах. Однако, оказывается, что и в данном случае при бесконечномерно-вырожденной бифуркации потери устойчивости состояния равновесия системы (1.5) образуется пространственно - однородный устойчивый предельный цикл.
Переход к хаосу в распределенной экономической системе с недиагональной матрицей диффузии
Принципиальным здесь является то, что задача об устойчивости-пространсивенно - однородного цикла щ(с, Ь), подобно рассмотренной выше задаче об устойчивости пространственно - однородного состояния равновесия, также сводится к анализу устойчивости нулевого решения семейства конечномерных систем. Однако, сам анализ устойчивости линейных систем с периодической матрицей гораздо более сложен по сравнению с системами с постоянной матрицей. Как следует из теории Флоке [8], фундаментальная матрица линейной системы с Т - периодической правой частью где P(t) - неособенная Т - периодическая матрица, Р(0) = Id , а Л - постоянная матрица. Таким образом, устойчивость нулевого решения определяется знаком вещественной части собственных значений матрицы Л (показателями Флоке) или, что равносильно, собственными значениями матрицы еЛТ (мультипликаторами). Как показано в [8], ввиду асимптотически орбитальной устойчивости цикла щ(Ь) при п = 0 в системе (1.16) существует мультипликатор равный 1, а остальные два лежат внутри единичного круга. Соответственно, наоборот, если какой-либо мультипликатор лежит вне единичного круга комплексной плоскости, то цикл будет неустойчивым. Таким образом,, условие бифуркации означает пересечение единичной окружности одним или двумя мультипликаторами в системе (1.16) при некотором п. Даже в случаях, если матрица A(t) задана явно, не существует какого - либо общего метода нахождения мультипликаторов в явном виде. Однако их несложно найти численно, решив матричную линейную систему Действительно, в этом случае Х(Т) = еАТ и, таким образом, мультипликаторами будут являться собственные значения матрицы Х(Т). Периодические функции xo{t),yo(t),zo(t), а также сам период Т неизвестны нам в явном виде, но, поскольку цикл щ(і) является экспоненциально орбитально устойчивым, найти указанные величины с заданной точностью не представляет трудностей. Как показал вычислительный эксперимент, кривая потери устойчивости пространственно - однородного цикла, показанная на рис 1.4.1, соответствует переходу одного простого мультипликатора при п=1 через значение 1. Пусть fj, - вещественная часть соответствующего показателя Флоке, a ao(i) - соответствующее нетривиальное периодическое решение системы (1.16) при ц = 0. Мультипликаторы системы (1.16) при п 1 остаются внутри единичного круга. При п = 0 один мультипликатор равен 1. остальные лежат внутри единичного круга, что соответствует экспоненциально устойчивому циклу Uo(t). Таким образом, в окрестности цикла Uo(t) будет существовать двумерное локальное инвариантное экспоненциально устойчивое многообразие, уравнение которого имеет вид [18],[40]: где (T,V) - параметры, причем г Є [0,T\(modT) и все функции являются периодическими по т. Далее, выпишем, на двумерном инвариантном многообразии нормальную форму бифуркации: где [і - вещественная часть показателя Флоке, переходящего через 0 (соответствующего мультипликатору, переходящему через 1). Далее, применяя теорему сведения получаем, что в системе рождаются два симметричных пространственно - неоднородных цикла вида Таким образом, мы показали, что в рассмотренной системе с недиагональной матрицей имеет место бифуркация рождения пространственно - неоднородных осциллирующих структур. Отметим, что данное явление:ранее [40] было обнаружено для некоторых классических систем реакции-диффузии с диагональной матрицей D, возникающих в задачах биологии; в работе [9] было численно показано, что в модели брюсселятора именно с такой бифуркации начинается пространственно - временная ха-отизация при увеличении длины области. Данная бифуркация имеет место также и в уравнении Курамото-Цузуки названное именем авторов работы; другое название - зависящее от времени уравнение Гинзбурга - Ландау (TDGL). Здесь W(c, t) — и(с. t) + iv(c, t), сі и c-2 - действительные постоянные. Будем рассматривать задачу Неймана на отрезке длины I: Уравнение (1.17) является редким случаем, когда пространственно - однородное периодическое решение можно выписать в явном виде. Действительно, если искать его в виде
Пространственно-однородные циклы и недиффузионный хаос
Очевидно, что в практических задачах нет возможности рассматривать данную бифуркацию как двухпараметрическую, поскольку получаемое движение на двумерном торе не является грубым. Однако, само инвариантное тороидальное многообразие плавно деформируется при малых изменениях/І, оставаясь экспоненциально устойчивым. Таким образом, само многообразие является вполне хорошим объектом для исследования.
Учитывая вышесказанное, с этого момента предлагается расширить понятие бифуркации и в некоторых случаях понимать под ней рождемш нового устойчивого инвариантного многообразил. При этом мы не задаемся вопросом о траекторных характеристиках на этом многообразии. Данный подход является единственно возможным в случае, когда вывод сделан на основе численного эксперимента [32], [34], [9], [15].
Вернемся теперь к системе (1.5). Как показал численный эксперимент [15], в пространстве параметров системы (к, 8) существует бифуркационная кривая рождения инвариантных торов, которая отделена от области пространственно - однородных циклов областью существования пространственно - неоднородных периодических структур (рис 1.5.2, 1.5.3)
Поскольку циклы в этом случае пространственно - неоднородны, в данном случае уже крайне проблематично аналитически расщепить систему на счетное семейство трехмерных, как это было сделано методом Фурье в рассмотренном выше гипотетическом случае. Однако можно предположить, что в данном случае в. окрестности цикла также существует трехмерное экспоненциально - устойчивое многообразие, на котором будет рождаться с помощью описанного выше механизма двумерный тор.
Нужно отметить, что данная ситуация вообще типична на практике, то есть двумерный тор очень редко рождается непосредственно из пространственно - однородного цикла [32], [9], но обычно ему предшествует рождение пространственно - неоднородного цикла.
Отметим также, что рождение двумерного тора происходит не всегда в результате бифуркации потери устойчивости цикла. Известны случаи, когда двумерный тор рождается в результате бифуркации потери устойчивости другого тора [32], [34].
В работе [34] при-изучении сценария перехода к хаосу в уравнении Курамото - Цузуки были введены понятия бифуркации двумерных торов по внешней частоте и по внутренней частоте. Если непрерывно по параметру следить за тором с момента его рождения, то частоту цикла, из которого родился тор будем называть внутренней, а частоту появившейся на нем обмотки будем называть внешней. Оказывается, что в уравнении Курамото - Цузуки образовавшийся двумерный тор можно представлять как произведение слабо связанных предельных циклов. При этом каждый из них при соответствующих изменениях параметров может претерпевать бифуркацию удвоения периода (рис 1.5.5, рис 1.5.6).
В заключение отметим, что в отличие от традиционно изучаемых конечномерных систем с хаотической динамикой, где рождение инвариантного тора является, скорее, экзотикой, в распределенных динамических системах данное явление типично при переходе к хаосу. Более того, исторически первая модель перехода к турбулентности по Ландау [25] подразумевала именно движения по торам все большей размерности.
В данной главе были рассмотрены некоторые аспекты качественного изменения поведения распределенных динамических систем при изменении их параметров. Для конкретных примеров найдены условия существования и разрушения устойчивых стационарных и осциллирующих пространственно - однородных и пространственно - неоднородных структур. Таким образом, обеспечен необходимый теоретический "строительный материал "для следующей главы, целью которой оудет описание сценариев возникновения хаотических режимов в распределенных системах.
Полученные результаты имеют также и самостоятельное значение, поскольку пока еще не существует теории бифуркаций для распределенных динамических систем и все факты носят в некотором смысле индивидуальный характер. Поэтому, если говорить о свойствах решений конкретных распределенных динамических систем, то можно отметить следующие новые результаты.
Для периодической задачи в модели брюсселятора найдено условие существования одномерного устойчивого многообразия, состоящего из стационарных пространственно - неоднородных структур. Асимптотически найден вид этих структур при малых отклонениях параметра от точки бифуркации.
Особое внимание уделено бифуркациям в распределенной модели рыночной экономики Н.А. Магницкого, являющейся системой реакции - диффузии с недиагональной матрицей. Для этой системы исследована бифуркация положения равновесия, которая является бесконечномерно - вырожденной и не сводится к нормальной форме на конечномерном устойчивом многообразии. Доказано рождение устойчивого пространственно - однородного цикла. Далее была исследована бифуркация потери устойчивости этого цикла и доказано существование двух симметричных пространственно - неоднородных осциллирующих структур, вид которых был найден асимптотически. Далее приведен численный результат, показывающий потерю устойчивости этих структур и рождение устойчивых двумерных торов.
