Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Граничные задачи для бесконечных областей
1.1. Некоторые обозначения, определения, теоремы
1.2. О применениях обобщённой потенциальной системы 22
1.3. Обобщённая система Коши-Римана в трёхмерном пространстве 26
1.4. Обобщённая задача Римана-Гильберта 33
1.5. Решение первой смешанной задачи методом Винера-Хопфа 39
1.6. Вторая смешанная задача 45
1.7. Граничные задачи для бесконечного пространства, разрезанного вдоль полуплоскости 50
ГЛАВА II. Теоремы существования и единственности для граничных задач типа неймана
2.1. Обобщённая задача Неймана для уравнения Гельмгольца 57
2.2. Граничные задачи типа Неймана для обобщённого потенциального вектора 64
ГЛАВА III. Обобщённая система коши-римана в n- мерном (К>3) Евклидовом пространстве
3.1. Обобщённая задача Римана-Гильберта 74
3.2. Решение смешанной задачи методом Винера-Хопфа 82
3.3. Обобщённая задача Неймана для уравнения Af-H2 84
3.4. Граничная задача для конечной области 87
Список основной использованной литературы 89
- О применениях обобщённой потенциальной системы
- Решение первой смешанной задачи методом Винера-Хопфа
- Граничные задачи типа Неймана для обобщённого потенциального вектора
- Решение смешанной задачи методом Винера-Хопфа
Введение к работе
Система дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа имеет важное теоретическое и прикладное значение. Среди таких систем особое место занимает система Коши-Римана, класс решений которой - аналитические функции одной комплексной переменной - исследован достаточно глубоко. Обобщённая система Коши-Римана, решениями которой являются обобщённые аналитические функции, обладает целым рядом свойств, характерных для системы Коши-Римана. Теория обобщённых аналитических функций впервые была обоснована в работах Т.Карлемана [Зі], а затем в работах И.Н.Векуа [3], Л.Берса[30] построена общая теория обобщённых аналитических функций.
Весьма интересным и важным яеляєтся выделить ещё такие системы, которые также имеют общие свойства с системой Коши--Римана, в частности, исследовать следующие вопросы, касающиеся решений таких систем и их сходства с аналитическими функциями:
оС ) справедливы ли для них интегральные представления, аналогичные интегральной формуле Коши?
fi ) являются ли всё ещё приемлемыми для них классические граничные задачи для аналитических функций - задачи Гильберта и Римана-Гильберта?
Y ) действительна ли теорема Лиувилля? Более конкретно, должно ли целое решение, обращающееся в нуль на бесконечности, быть тождественно равным нулю?
О ) имеют ли они свойство единственности продолжения, такое, что если решение системы обращается в нуль на открытом множестве, то тогда оно тождественно равно нулю?
Существуют многие работы, в которых исследуются эти вопросы для более общих систем первого порядка [2]}[5,6], [l2,I3j, [14,15] , [22,23,24,25] , [27] , [28] , [зз] , Ы) , [зв].
В работе [і] в трёхмерном пространстве рассмотрена эллиптическая система Моисила-Теодореску [37],а в [23] - её обобщение, для которых вышеуказанные вопросы решены положительно.
Большое применение при исследовании многих вопросов физики, гидромеханики, теории упругости и др. имеет система дифференциальных уравнений для потенциального вектора и
oUvU = о,
где U=Uiu,Cp),Uzcp),Чъ(р)1 ; p=CX-,,rz> ос3) - точка трёхмерного евклидова пространства. Система (I) переопределена, но является системой эллиптического типа в смысле Хила и Протера Г34]. В трудах Р.Мизеса [Зб], А.В.Бицадзе [і] для системы (I), являющейся трёхмерным аналогом системы Коши-Рима-на, построены фундаментальная матрица, соответствующий пространственный аналог интеграла типа Коши, рассмотрены связанные с ними другие вопросы.
Как обобщение потенциальной системы, с одной стороны, и как трёхмерный аналог обобщённой системы Коши-Римана, рассматривается система
где U^UiUiCphUifPhUtCp)], р^(т,,х2)т%); А(а<,о(2,с1л)
и $(&/,#*,?)- заданные векторы. Очевидно, при А = &-0 по-
- б -
лучается система (І), а при 1С3=с1ь-$)-0 и при условии, что U(и-/,112,%)ве зависит от #з , имеем обобщённую систему Коши--Римана.
Для системы (2), которая, как и система (I), является переопределённой системой эллиптического типа, положительно решаются вышеприведённые вопросы. Заметим при этом, что проблема и) была исследована Г.Хилом и М.Протером в 1977 году для общей переопределённой системы первого порядка эллиптического типа.
В случае переменных коэффициентов система (2) в многомерном евклидовом пространстве рассмотрена в работе [25], в которой выведены обобщённая формула Помпею и обобщённая интегральная формула Коши, рассмотрен обобщённый интеграл типа Коши и изучен ряд вопросов, связанных с ним ( выведение формул Сохоц-кого-Племеля, обращение одного интегрального уравнения).
В том случае, когда А и В - постоянные, эти же вопросы для системы (2) в случае многомерного пространства рассмотрены
в [24].
В 1.2 главы I приводятся некоторые примеры применения системы (2), которую называем обобщённой потенциальной системой, а её решение - обобщённым потенциальным вектором.
Цель настоящей работы - перенесение для обобщённого потенциального вектора некоторых свойств аналитических функций, а также ( и главным образом) изучение ряда граничных задач, аналогичных тем задачам, которые рассматривались для упомянутых выше функций, т.е. исследование вопроса J3 .
Заметим, что в случае, когда А и б - постоянные векторы, с помощью некоторого преобразования неизвестной функции систему (2) можно привести к виду
cUvV + (H-V) = o,
(ь)
где H = {(A + B)=H(k<,k,,hs); і/=(іг<, ггг, ъ).
В первой главе диссертационной работы для системы (3) решаются следующие граничные задачи для бесконечных областей, а именно, для полупространства и бесконечного пространства, разрезанного вдоль полуплоскости.
I. Определить в полупространстве (тьх2)Я , 0<х7* оо исчезающее на бесконечности решение систеглы (3) по граничному условию
<<У< +f>Vz + уУз = /fav,xz) при r3 = О,
где d, J}>, у - постоянные, причём <^z+Jl>z+y фО', f(Tj,X2)-- заданная функция класса L (Я1). Решение ищем в классе функций, удовлетворяющих следующим условиям:
а) Vj(p), Ш , ^eUR2) tf*teiO,co)-
б) в каздом конечном интервале для 3 є [О, ї функции
dffi fj=-/,2, 3) имеют интегрируемые мажоранты, т.е. ЯГ*, *
^
где J-j(r4,Xi)eJL (Rz).
Эта задача является пространственным аналогом задачи
Римана-Гильберта для обобщённой аналитической функции [3J.
2. Определить в полупространстве (г*, г2 )/?*, О^Т2<оо решение систеглы (3) по следующим смешанным граничным условиям
= ffa,Yx)t OC,>0
т3=о
> — OO ^ 0CZ
где - заданные функции, удовлетворяющие
условиям
Т X I //. *х)\ < С, (тг) Є ' при X* -» + со,
I sy*v, г^' * с* (* J сг * при ъ-+-9
причём -А« ^(їі < ftx ^ /гу ; , fa*3) и Л Лгг) - функции класса /, (/?). Решение ищем в классе функций, удовлетворяющих тем же условиям а) и б), что и в предыдущей задаче. Заданные функции // ЗД и У(х<,Хя) будут принадлежать классу относительно ТА .
3. Определить в полупространстве Ст*,Т2)вК , 0< Т3 < оо регулярное решение системы (3) по смешанным граничным условиям
= f(CCi9Tt)t r*>
о
俥г
досу
0С3=О
= (Ъ,*г)9 *4«0
— оо<ґХ,а<оо
где ^(Т^уТг) » ^Ycr*, я*? - заданные функции, удовлетворяющие условиям
Т, ОС,
при Ті -> -оо ,
причём -/Н| ^T«*fi ^/H|, С^У и С2(\)еі(Ю , здесь to, »?) , $ frv, J) - преобразования Фурье функций /#:,, о*J и [f(xb хг) по переменной ДГд, . Считаем также, что /(^, т 2), (хі,Хг)І(Ю относительно 9CZ \ -/ и СЛ - некоторые числа, |НІ= vhf+kl + kf . Решение ищем в том же классе функций, что и в случае двух предыдущих задач.
Для решения задач 1-3 применяется метод интегральных преобразований Фурье, а в случаях задач 2 и 3 используется также метод Винера-Хопфа [2l].
4. В бесконечном пространстве, разрезанном вдоль полуплоскости Т2=0 , Х^>0 определить регулярное решение V — =(іїігіГг,іҐі) системы (3) по граничным условиям
%
+_
= ±/fc,rJ, Х,>0, ~оэ*Тг<оо,
f-
= ± У(0С4,Т2) , X, >0, - ootCC^oo,
где ffa,rz)yL IffajXi) - заданные функции класса 1С(&2) . Знаками (+) и (-) в левых частях последних равенств обозначены граничные значения, принимаемые соответствующими функциями из верхней и нижней полупространств, т.е. при стремлении 0< ос3 -» О и О > х2 -> о соответственно.
5. В бесконечном пространстве, разрезанном вдоль полуплоскости от з = О, Т-т > О определить регулярное решение системы (3) по граничным условиям
?Л
± +
= / (Т<, Tz), Г, >0 , - оО<0Ся^ оо,
хъ=о
= f/7 (г*,Хг), T^>0, -co
где ~ % tf ~~ - заданные функции класса X (& ). Эти задачи удаётся решить при условии, когда в системе (3) h2=0 , так как в этом случае можно применить принцип симметрии Рима-на-Шварца. Решение этих задач сводится к решению задач 3 и 4 .
Во второй главе исследуются Еопросы существования и единственности решения граничных задач типа Неймана, поставленных для конечной и бесконечной областей, ограниченных замкнутой поверхностью, в трёхмерном евклидовом пространстве.
Пусть и - область трёхмерного евклидова пространства, ограниченная замкнутой поверхностью Ляпунова S ', Ь - дополнение д +S до полного пространства.
I. Определить в области D регулярное решение уравнения
по граничному условию
-НпУ
где Н=Сki,hz, hj) - заданный постоянный вектор, Ніг - проекция вектора л на її - внешнюю нормаль к поверхности S в точке 0^ , J-(q) ~ заданная на S непрерывная функция. Методами потенциала и интегральных уравнений, хорошо из-
- II -
вестными в литературе, например, Г17J , f 18J , fl9j , исследуются вопросы единственности и существования решения поставленной задачи.
Эта же задача рассматривается и для области D . Доказывается, что в этом случае задача всегда разрешима и решение её определяется единственным образом.
2. Определить в области D непрерывно дифференцируемое решение системы (3) по граничному условию
- fty) >
где J(ty) - заданная на 5 непрерывная функция, Vn, - проекция вектора V на внешнюю нормаль к поверхности S в точке ^ -
Доказывается, что решение поставленной задачи существует и определяется единственным образом. Задача рассматривается и для области Э
Пусть область и ограничена замкнутой гладкой поверхностью 5 ; Г - замкнутая гладкая линия на S , Г0 - её проекция на плоскости Xi О Xz , которая ограничивает двумерную область Ъг изменения координат ос і » #* точек трёхмерной области Ь .
3. Требуется определить в области Ъ , регулярное решение системы (3), удовлетворяющее граничным условиям
ИЛИ і
$
где j и ff Л, Jh - заданные непрерывные функции на S и Г соответственно.
Решение последних задач приводится к решению в области Uz некоторой задачи Римана-Гильберта для обобщённой аналитической функции.
В третьей главе диссертации рассматриваются задачи, аналогичные тем, какие рассматривались в первой и второй главах, для системы уравнений
nil
g—fc + kiUi = О U - глухой индекс)
где Х-(Т4,т2,х3)- точка И- мерного евклидова пространства Rn (П> 3) ', А і , В і - заданные постоянные, U~U [1/^ (ос\ U2(oc)J...,'Utj(x)] - искомый вектор. Эта система является И-мерным аналогом обобщённой системы Коши-Римана.
Если Аі=Ві=0 ( 1 = 4,2,..., п) , то система (4) является системой Рисса [28J. Система (4) рассмотрена в [2AJ ,[25j.
Следует подчеркнуть, что исследование вопросов с(), ji)t Y), 6) в трёхмерном случае является гораздо более сложным и неполным по сравнению с двумерным случаем, а К - мерный (П>3) случай совершенно аналогичен трёхмерному.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора [ 7 , 8 , 9 , 10 , IIJ .
С этими результатами автор выступала на конференции молодых учёных и аспирантов в Институте прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета (апрель 1974 года), на республиканской конференции молодых учё-
- ІЗ -
ных по математике и механике, там же, в июне 1976 года, а также на семинарах отдела уравнений математической физики Тбилисского математического института им. А.М.Размадзе АН Груз.ССР ( руководитель семинара академик АН ГССР Н.П.Векуа).
О применениях обобщённой потенциальной системы
Иногда функции К+ и К_ можно просто угадать, рассматривая левую часть этого равенства (именно такой случай представляется в рассматриваемых ниже некоторых граничных задачах), в противном случае можно применить т.н. метод бесконечных произведений [21], или же, если функция, которую надо факторизовать, имеет точку ветвления, используется приведенная ниже теорема С , доказывающая возможность факторизации KM = К+ Ш К-Ш для весьма общего класса функций
Эта теорема дает также практический метод выполнения факторизации, если элементарные методы не применимы. Теорема Если -аналитическая функция ск - 6 + і Т » регулярная в полосе 1_ Т Т+ и такая, что lf(6 Lt)l С \б\ , Р 0 при \6\ - оо ,причем это неравенство выполняется равномерно для всех 1 в полосе 7_ + . Т 1+ - , S О (эти условия, в частности,означают, что функция К Ы) регулярна и не имеет нулей в полосе _ 1 Т + , - оо є оо и К (А) — при б" —у ± оо в полосе _ - гс Т + ) » то существует представление КЫ)=К+МК-М где К + С ) ъ K-( Q регулярные, ограниченные и не имеющие нулей функции при Т т;_, Т Г + соответственно. Можно доказать аналогичную теорему и при менее ограничительных условиях. Справедлива более общая теорема, которая, в частности, охватывает случаи, когда КЫ) имеет нули внутри полосы, а также случаи, когда Kid.) — expfLp) , К CoQ — exp(l))) при 6 - + оо І Є —» - оо соответственно ( р. и )} -вещественны) , и, наконец, когда \KW\ \6\P при \6\- оо в полосе. Используя равенство (I.I.6), после ряда определенных выкладок и рассуждений, функции Ф+ (А) и т- Cei) определяются с точностью до произвольного множителя — полинома РМ, т.е. с точностью до конечного числа произвольных постоянных, которые должны быть определены из других условий. Допустим, в ft- мерном ( п у 3) полупространстве fa, Яг,..., Kn-i) Кп \ 0 Хц при определенных условиях на границе Хп - 0 ищем решение системы дифференциальных у равнений ГДЄ U - (Ui( U2, ..., UK) ИСКОМЫЙ ВеКТОр, Н =(ki, (гг,..., kn) -заданный постоянный вектор. Приведем общую схему применения преобразования Фурье. Решение ищем в классе функций,удовлетворяющих следующим условиям б) в каждом конечном интервале для осп to, оо ) функции 5-і С /=г у, 2,..., п ) имеют интегрируемые мажоранты, где Jj(Xitx,..., Xn-«) б-Л (# " ). Кроме того, заданные функции, участвующие в граничных условиях, принадлежат классу к. ("" ). Для решения задачи производим преобразование Фурье данной системы по переменным Хл , ОС 2 , ... , ХИ-І .В силу условий а) это возможно. Применяя условия б), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Затем производим преобразование Фурье граничных условий по переменным ос у,, х3,... , х ц.± . Если с помощью этих условий вполне однозначно определится решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, то в силу теоремы единственности преобразования Фурье, в вышеуказанном классе решение заданной системы уравнений с заданными краевыми условиями также определится однозначно. С помощью теоремы обращения, которую следует обосновывать в каждом частном случае, однозначно определится искомая функция. И, наконец, нужно проверить, действительно ли удовлетворяет она исходному уравнению в рассматриваемой области и заданным граничным условиям. Неоднократно используемый в тексте глухой индекс, по А.Эйнштейну, означает следующее: если в однозначном выражении какой-либо индекс встречается дважды, то подразумевается суммирование по этому индексу, причем изменение индекса происходит от і до К , где К -размерность пространства, в котором рассматривается заданное выражение. Обобщенной потенциальной системой, как отмечалось во введении, называем следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка где U=U [гіЛх), гі2(х),и і(х)] ; x = (oCf,oc3,x3)-точка трехмерного евклидова пространства & 3 ; A (cii, CLZ, сіг)ш Ъ ( &і у #2 , $з ) -заданные вектор-функции. Систему (1.2.1) можно записать и в таком виде Систему (1.2.2) можно рассматривать ив -мерном евклидовом пространстве ( тогда , j - -і, Z , ..., И ). Приведем несколько примеров, показывающих, что приведенные здесь системы, являясь обобщением потенциальной системы и обобщенной системы Коши-Римана, находят применение при изучении различных задач физики, гидромеханики, при исследовании системы Коши-Римана в римановом пространстве и др. Укажем, прежде всего, на некоторые применения потенциальной системы
Пусть внутри некоторого объема Т с границей S имеет место стационарное безвихревое течение несжимаемой жидкости (плотность p-comt ), характеризуемое скоростью V(0Ci,xt,2s\ причем источники отсутствуют. Тогда скорость V удовлетворяет системе уравнений (1.2,3).
Решение первой смешанной задачи методом Винера-Хопфа
Пусть D - область трёхмерного евклидова пространства, ограниченная замкнутой поверхностью Ляпунова 5 , J) - дополнение D +S до полного пространства.
Рассмотрим граничную задачу. Определить в области V регулярное решение уравнения по граничному условию где п-(k ,,h2f п3)- заданный постоянный вектор, Нп,-- проекция вектора И на внешнюю нормаль к поверхности 5 в точке Ch , f(CL) - заданная на S непрерывная функция. Регулярным называем решение, которое непрерывно дифференцируемо в рассматриваемой области вплоть до границы и имеет непрерывные вторые производные в D . Заметим, что для уравнения (2.I.I) граничная задача типа (2.1.2) и более общие задачи исследованы, например, в [I6J. В частности, известно, что если коэффициенты при !f в уравнении (2.I.I) и в граничном условии (2.1.2) -отрицательные,то решение поставленной граничной задачи единственно ( при условии, что оно существует). В нашем случае -/-/2 0 но /-/«, является функцией точки поверхности S и она,наверное, будет менять знак при изменении положения нормали ъ .Поэтому мы не можем воспользоваться указанным критерием. Ряд задач для уравнения (2.1.1) методом потенциалов исследованы в f 17], [18] , [19]. Наша цель состоит в исследовании вопросов единственности и существования решения задачи (2.1.1)-(2.1.2). Выпишем первую формулу Грина Рассмотрим теперь однородное граничное условие, соответствующее условию (2.1.2) и возьмем в формуле (2.1.3) f= /= Я о »где У о -решение задачи (2.1.1)-(2.1.4), будем иметь Отсюда следует Решая последнюю систему получим где Со- произвольная постоянная. Таким образом, имеем следующий результат. Решение обобщенной внутренней задачи Неймана с граничным условием (2.1.2) для уравнения (2.1.1) определяется с точностью до слагаемого вида С0тр(М р) Докажем теперь, что решение поставленной задачи существует. Будем искать решение в виде потенциала простого слоя где K(p,fy) , рб /)f, $6$; Hty)- искомая функция, непрерывная в смысле Гельдера. Очевидно, свойства потенциала простого слоя, для $(fy) получим следующее интегральное уравнение Выпишем соответствующее этому уравнению однородное уравнение а также сопряженное однородное уравнение Отметим , прежде всего, одно следствие, непосредственно вытекающее из формулы (2,1.3): если f -произвольное решение уравнения (2.I.I), то для него справедливо равенство S которое легко получить, подставляя в (2.1.3) вместо т функцию хр( /г -f -kz Xt+ h-ъ Хг) . Если же У7 дополнительно удовлетворяет и граничному условию (2.1.2), то естественно будем иметь Таким образом, условие (2.1.11)- необходимое условие для разрешимости задачи (2.1.1)-(2.1.2) . Покажем, что оно является также и достаточным. Подставляя А ехрСЬъ+кгХг+Ьх в (2.1.9), легко убедимся, что эта функция удовлетворит данному уравнению.
Граничные задачи типа Неймана для обобщённого потенциального вектора
Таким образом, решение обобщенной задачи Неймана с граничным условием (3.3.2) для уравнения (3.3.1) определяется с точностью до слагаемого вида С-? » где С - произ вольная постоянная. Отметим теперь одно следствие, легко вытекающее из формулы (3.3.3): если !/- произвольное решение уравнения (3.3.1), то для него справедливо равенство S которое легко получить, подставляя в (3.3.3) вместо У функцию -ЄХР ( Н-ос) . Если при этом \f дополнительно удовлетворяет и граничному условию (3.3.2), то вместо (3.3.5), будем иметь Таким образом, условие (З.З.б) - необходимое условие для разрешимости задачи (3.3.1)-(3.3.2). Покажем, что оно является также и достаточным. Пусть Л- нечетное число. Будем искать решение задачи (3.3.1)-(3.3.2) в виде обобщенного потенциала простого слоя где T в Ї) , у Є S , t Vfay) р(У) -искомая функция класса Q(o,X) # Используя свойства потенциала простого слоя, из граничного условия (3.3.2) для определения fi(у) получим следующее интегральное уравнение для которого справедлива альтернатива Фредгольма. Нетрудно убедиться в том, что сопряженное ему однородное уравнение имеет единственное ненулевое решение С0 -воср ( /-/ х). По теореме Фредгольма, необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (3.3.8), а вместе с тем и задачи (3.3.1)-(3.3.2), будет Таким образом, необходимое условие (3.3.б) разрешимости задачи (3.3.1)-(3,3.2) является также и достаточным. При /ь четном существование решения поставленной задачи доказывается аналогично выбором соответствующего обобщенного потенциала простого слоя. 3.4. Граничная задача для конечной области Пусть Z)+, D , S означают то же, что и в 3.3, а область д++ S вновь принадлежит классу А . Рассмотрим задачу. Определить в области Ь+ непрерывно дифференцируемое решение системы (3.1.2) по граничному условию где т- заданная на S непрерывная функция, СО -проекция вектора V — (Vi, tf2j...,Vn,) на внешнюю нормаль к поверхности S в точке у = ( у4, yZf .,., Уп),
Покажем, что решение поставленной задачи существует и определяется единственным образом. Прежде всего заметим, что аналогично трехмерному случаю, нетрудно убедиться в том, что любое решение системы (3.1.2) можно представить в виде 7/= pad у- НУ, (2.Ї.2) где f — решение уравнения Задача (3.1.2)-(3.4-.1) в силу (3.4.2),(3.4.3) приводится к следующей граничной задаче. Определить в области D регулярное решение уравнения (3.4.3) по граничному условию где / - заданная на S непрерывная функция. Эту задачу мы рассматривали в предыдущем параграфе. Было установлено, что если решение задачи существует, то оно определяется с точностью до слагаемого вида % = Со Р ( Н я) «где С0- произвольная постоянная. Решение же задачи (3.1.2)-(3.4.1),согласно (3.4.2), определится однозначно, так как Доказательство существования решения задачи (3.1.2)-(3.4.1) основывается на результатах предыдущего параграфа. А именно, условие (З.З.б), необходимое для разрешимости задачи (3.4.3)-(3.4.4), будет необходимым и для разрешимости задачи (3.1.2)-(3.4.1). Что оно является также и достаточным, следует из достаточности этого условия для разрешимости задачи (3.4.3)-3.4.4).
Решение смешанной задачи методом Винера-Хопфа
Во второй главе исследуются Еопросы существования и единственности решения граничных задач типа Неймана, поставленных для конечной и бесконечной областей, ограниченных замкнутой поверхностью, в трёхмерном евклидовом пространстве.
Пусть и - область трёхмерного евклидова пространства, ограниченная замкнутой поверхностью Ляпунова S , Ь - дополнение д +S до полного пространства.
Определить в области D регулярное решение уравнения по граничному условию где Н=Сki,hz, hj) - заданный постоянный вектор, Ніг - проекция вектора л на її - внешнюю нормаль к поверхности S в точке 0 , J-(q) заданная на S непрерывная функция. Методами потенциала и интегральных уравнений, хорошо из - II вестными в литературе, например, Г17J , f 18J , fl9j , исследуются вопросы единственности и существования решения поставленной задачи. Эта же задача рассматривается и для области D . Доказывается, что в этом случае задача всегда разрешима и решение её определяется единственным образом. 2. Определить в области D непрерывно дифференцируемое решение системы (3) по граничному условию где J(ty) - заданная на 5 непрерывная функция, Vn, - проекция вектора V на внешнюю нормаль к поверхности S в точке Доказывается, что решение поставленной задачи существует и определяется единственным образом. Задача рассматривается и для области Э Пусть область и ограничена замкнутой гладкой поверхностью 5 ; Г - замкнутая гладкая линия на S , Г0 - её проекция на плоскости Xi О Xz , которая ограничивает двумерную область Ъг изменения координат ос І » # точек трёхмерной области Ь . 3. Требуется определить в области Ъ , регулярное решение системы (3), удовлетворяющее граничным условиям где j и ff Л, Jh - заданные непрерывные функции на S и Г соответственно. Решение последних задач приводится к решению в области Uz некоторой задачи Римана-Гильберта для обобщённой аналитической функции. В третьей главе диссертации рассматриваются задачи, аналогичные тем, какие рассматривались в первой и второй главах, для системы уравнений g—fc + kiUi = О U - глухой индекс) где Х-(Т4,т2,х3)- точка И- мерного евклидова пространства Rn (П 3) , А і , В і - заданные постоянные, U U [1/ (ос\ U2(oc)J..., Utj(x)] - искомый вектор. Эта система является И-мерным аналогом обобщённой системы Коши-Римана. Если АІ=ВІ=0 ( 1 = 4,2,..., п) , то система (4) является системой Рисса [28J. Система (4) рассмотрена в [2AJ ,[25j. Следует подчеркнуть, что исследование вопросов с(), ji)t Y), 6) в трёхмерном случае является гораздо более сложным и неполным по сравнению с двумерным случаем, а К - мерный (П 3) случай совершенно аналогичен трёхмерному. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора [ 7 , 8 , 9 , 10 , IIJ .
С этими результатами автор выступала на конференции молодых учёных и аспирантов в Институте прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета (апрель 1974 года), на республиканской конференции молодых учёных по математике и механике, там же, в июне 1976 года, а также на семинарах отдела уравнений математической физики Тбилисского математического института им. А.М.Размадзе АН Груз.ССР ( руководитель семинара академик АН ГССР Н.П.Векуа).