Введение к работе
Актуальность темы
Центральным результатом теории оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления [1]. Этот результат и связанные с ним исследования, проведенные Л.С. Понтрягиным и его учениками, послужили толчком для стремительного развития теории управления. В настоящее время теория оптимального управления является важной областью прикладной математики. Научно-исследовательская деятельность в оптимальном управлении рассматривается как источник многих полезных на практике инструментов, таких как, напрмер, оптимальные методы лечения в медицине и стратегии поведения в экономике. Методы теории оптимального управления представляют собой совокупность целого спектра математических результатов из разных областей.
Оптимальное управление и теория оптимизации уже нашли свое отражение во многих областях моделирования и управления в машиностроении [2], и в настоящее время активно используются в биологии и медицине [3,4], экономике и финансах [5-11]. Конкретные примеры моделирования реальных задач из биологии, медицины и экономики иллюстрируют возможности теории управления, представляющие как теоретический, так и прикладной интерес. Так в работе [12] изучается математическая модель роста клеток костного мозга при химиотерапии, в которой в качестве управления рассматривается влияние лекарственных препаратов. В работах [13, 14] рассматривается математическая модель процесса лекарственного воздействия на растущую опухоль. Ставится задача об оптимальном выборе стратегии терапии, воздействующей на опухоль, с целью минимизации количества клеток опухоли к заданному моменту времени. В работах [15,16] рассматриваются вопросы управления иммунной системой человека, пораженной вирусом иммунодефи-
цита человека (ВИЧ), связанные с продлением жизни ВИЧ-инфицированных больных. В работе [17] рассматривается управляемый аналог модели А.Д. Ба-зыкина «хищник-жертва» и для него изучается задача оптимального быстродействия. В работе [18] рассматривается задача оптимального управления эпидемией путем вакцинации и изоляции с учетом латентного периода. Целью является минимизация затрат на погашение эпидемии при имеющихся ограничениях на управление и начальных условиях. В работе [19] исследуется множество достижимости нелинейной управляемой модели из микроэкономики.
Любая задача оптимального управления для системы обыкновенных дифференциальных уравнений является задачей отыскания экстремума функционала (целевой функции) при различных ограничениях в бесконечномерном функциональном пространстве (например, пространство всех ограниченных кусочно-непрерывных функции). Это сложная математическая задача [1].
Существует целый ряд подходов, которые позволяют свести решение задач оптимального управления к анализу конечномерных задач.
В настоящей диссертации предприняты попытки перенести идеи, развитые в работах [19, 20] на нелинейные трехмерные системы, моделирующие некоторые биологические процессы.
Цели диссертационной работы
В проводимых в диссертации исследованиях ставятся следующие цели:
-
Изучить математическую модель, представляющую собой нелинейную трехмерную управляемую систему дифференциальных уравнений, описывающую процесс биологической очистки сточных вод. Исследовать свойства множества достижимости указанной системы и на их основе построить параметрическое описание этого множества с помощью моментов переключений кусочно-постоянных управлений.
-
На основе параметризации множества достижимости рассматриваемой системы разработать алгоритмы решения задачи управляемости и за-
дач быстродействия. Для задачи быстродействия «из точки на плоскость» получить оценки времени оптимального быстродействия и предложить численный алгоритм поиска такого времени, а также, используя динамические свойства множества достижимости, исследовать число решений соответствующей краевой задачи принципа максимума. Для задачи быстродействия «из точки в точку» предложить численный алгоритм поиска моментов переключений экстремальных управлений.
-
Рассмотреть для изучаемой системы задачи оптимального управления с терминальным, интегральным и терминально-интегральным функционалами и исследовать соответствующие оптимальные управления, свести решения таких задач к задачам конечномерной оптимизации.
-
Изучить математическую модель, представляющую собой нелинейную трехмерную управляемую систему дифференциальных уравнений, описывающую процесс подавления ВИЧ-инфекции. Для некоторых задач оптимального управления предложить методы оценки числа переключений соответствующих оптимальных управлений. Использовать такие оценки для сведения исходных задач к задачам конечномерной оптимизации.
-
Для всех рассмотренных задач оптимального управления для математических моделей, описывающих процесс биологической очистки сточных вод и процесс подавления ВИЧ-инфекции соответственно, привести на основе полученных задач конечномерной оптимизации расчеты при различных значениях начальных условий и параметров изучаемых моделей, интересных для приложений.
Теоретическая и практическая значимость работы Работа носит теоретический и практический характер. Разработанные методы могут быть использованы для решения аналогичных задач оптимального управления и для разработки численных методов исследования подобного рода моделей.
Результаты расчетов для задачи управляемости в системе, описывающей процесс биологической очистки сточных вод, проводились по просьбе группы исследователей, возглавляемой А. Коробейниковым, из университета г. Лимерик (Limerick), Ирландия для получения экспериментальных данных управления аэротенком, находящимся в Киларни (КШагпеу), Ирландия. Другие предложенные в диссертационной работе методы решения различных задач оптимального управления для рассматриваемой системы также могут быть использованы при подобных практических прогнозах работы очистных устройств.
Анализ решений задач оптимального управления в модели подавления ВИЧ-инфекции может быть использован при практическом подборе лекарственных препаратов и графика их приема пациентами. Основные методы исследования
В работе используются современные методы оптимального управления, методы дифференциальных уравнений и математического анализа, топология, теория многозначных отображений, численные методы, а также методы оптимизации. Особую роль занимает центральный результат теории оптимального управления - принцип максимума Понтрягина. Научная новизна работы
Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1. Проведен анализ управлений, отвечающих граничным точкам множества достижимости нелинейной трехмерной управляемой системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс биологической очистки сточных вод. Для возникшей при таком анализе неавтономной квадратичной системы дифференциальных уравнений предложено новое достаточное условие продолжимости ее решений на заданный отрезок. Это позволило получить оценку числа переключений указанных управлений, применяемую при анализе
видов оптимальных управлений в задачах быстродействия «из точки на плоскость» и «из точки в точку».
-
Для анализа свойств множества достижимости введено вспомогательное множество, состоящее из концов траекторий исходной системы, отвечающих кусочно-постоянным управлениям с не более, чем тремя переключениями. Для него установлен ряд важных свойств, таких как взаимная однозначность внутренности; единственность управлений, отвечающих граничным точкам; линейная связность дополнения вспомогательного множества до всего пространства. Эти свойства позволили обосновать совпадение вспомогательного множества и множества достижимости рассматриваемой системы, что, в свою очередь, привело к параметризации последнего моментами переключений кусочно-постоянных управлений. С помощью такой параметризации построена задача Коши для системы дифференциальных уравнений для нахождения моментов переключения экстремальных управлений в задаче быстродействия «из точки в точку».
-
Проведен анализ динамики множества достижимости рассматриваемой системы в зависимости от времени, на основании которой удалось получить оценку числа решений краевой задаче принципа максимума для задачи быстродействия «из точки на плоскость». Для указанной задачи также получены оценки времени оптимального быстродействия.
-
Для трехмерной нелинейной управляемой системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс биологической очистки сточных вод, рассмотрены задачи минимизации концентрации загрязнений в конечный момент времени, а также суммарной концентрации на заданном отрезке времени. На основании анализа системы дифференциальных уравнений для функций переключений и вспомогательных функций найдены оценки на число переключений соответствующих оптимальных управлений. На основании этих оценок предложен численный ал-
горитм, сводящий исходные задачи оптимального управления к задачам конечномерной условной оптимизации.
Для указанной трехмерной нелинейной управляемой системы дифференциальных уравнений рассмотрены комбинированные и смешанные задачи оптимального управления: задача минимизации взвешенной суммы концентрации загрязнений в конечный момент времени и суммарной концентрации биомассы на заданной отрезке времени; задача минимизации взвешенной суммы концентрации загрязнений в конечный момент времени и суммарных концентраций кислорода и биомассы на заданном отрезке времени; задача минимизации взвешенной суммы суммарных концентраций загрязнений и биомассы на заданном отрезке времени; а также задача минимизации взвешенной суммы суммарных концентраций загрязнений, кислорода и биомассы на заданном отрезке времени. Как и ранее, на основании похожих систем дифференциальных уравнений для соответствующих функций переключений и вспомогательных функций найдены оценки на число переключений соответствующих оптимальных управлений. Использованы похожие численные алгоритмы, сводящие исходные задачи оптимального управления к задачам конечномерной условной оптимизации.
Для указанной трехмерной нелинейной управляемой системы дифференциальных уравнений рассмотрена задача минимизации энергозатрат при заданном ограничении на концентрацию загрязнений в конечный момент времени. Проведен анализ соответствующей краевой задачи принципа максимума в зависимости от значений множителей Лагранжа, найдены виды соответствующих оптимальных управлений. Предложен способ упрощения краевой задачи принципа максимума, для решения которой используется численный алгоритм, основанный на методе «стрельбы».
-
Для трехмерной нелинейной управляемой системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс подавления ВИЧ-инфекции лекарственными препаратами, проведен анализ задачи минимизации концентрации зараженных клеток в конечный момент времени и суммарной концентрации зараженных клеток на заданном отрезке. Найдены замены для сопряженных переменных, которые упрощают анализ числа нулей функции переключений. Предложены два различных метода оценивания числа переключений оптимальных управлений, опирающихся на теорему Валле-Пуссена, обобщенную теорему Ролля и представление Полия-Маммана.
-
Для рассмотренных задач оптимального управления для математических моделей, описывающих процесс биологической очистки сточных вод и процесс подавления ВИЧ-инфекции соответственно, приведены расчеты при различных значениях начальных условий и параметров изучаемых моделей, интересных для приложений.
Апробация работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
-
Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягиновские чтения - XXII», посвященная памяти Ю.В. Покорного (Воронеж, май 2011);
-
Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И.Г. Петровского (Москва, июнь 2011);
-
Научная конференция «Тихоновские чтения 2011» (Москва, июнь 2011);
-
Четвертая международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математической физики» (Воронеж, сентябрь 2011);
-
Научная конференция «Ломоносовские чтения 2011» (Москва, ноябрь 2011);
-
Научная конференция «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», посвященная 90-летию со дня рождения Е.Ф. Мищенко (Москва, апрель 2012);
-
Научная конференция «Ломоносовские чтения 2012» (Москва, апрель 2012);
-
Научные семинары кафедры оптимального управления «Игровые задачи управления» под руководством Никольского М.С., Григоренко Н.Л., Ровенской Е.А., Камзолкина Д.В. (факультет ВМК МГУ);
-
Научный семинар кафедры оптимального управления «Качественные вопросы оптимального управления» под руководством Киселева Ю.Н., Орлова М.В., Аввакумова С.Н. (факультет ВМК МГУ);
10. Научный семинар кафедры оптимального управления «Методы оптимизации в функциональных пространствах» под руководством Васильева Ф.П., Потапова М.М., Будака Б.А. (факультет ВМК МГУ). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в тринадцати работах: четыре статьи в изданиях, рекомендованных ВАК: [N1]-[N4], три статьи в тематических сборниках: [N5]-[N7], шесть тезисов докладов: [N8]-[N13]. Полный список работ, в которых опубликованы результаты диссертации, приведен в конце автореферата. Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Текст изложен на 215 страницах, диссертация содержит 50 рисунков и 16 таблиц. Список литературы включает 162 наименований.
