Содержание к диссертации
Введение
1 Бифуркации двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием многообразий седловой точки нейтрального типа 22
1.1 Постановка задачи и основные результаты 22
1.2 Свойства локального отображения 29
1.3 Построение отображения первого возвращения. Дока-зательство леммы о рескейлинге 33
1.4 Доказательство основных теорем (теорем 1.1 и 1.2) 40
1.5 Условия сосуществования однообходных периодических траекторий 41
1.6 Исследование бифуркаций в обобщенном отображении ЭНО 46
1.6.1 Определение типа устойчивости замкнутых инвариантных кривых 49
1.6.2 Резонансы 55
2 Бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с нейротым гомоклиническим касанием 62
2.1 Постановка задачи и основные результаты 62
2.2 Геометрия непростого гомоклинического касания 73
2.3 Нормальная форма локального отображения TQ 76
2.4 Свойства глобального отображения Ті 79
2.5 Доказательство основных теорем 81
2.5.1 Доказательство леммы 2.3.3 81
2.5.4 Доказательство теоремы 2.2 85
2.5.5 Доказательство теоремы 2.3 89
2.5.6 Доказательство теоремы 2.4 92
3 О бифуркациях трехмерных систем с гомоклиниче-ской петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с нулевой дивергенцией 94
3.1 Постановка задачи и основные результаты 94
3.2 Вспомогательные результаты 102
3.3 Доказательство теоремы 3.1 и 3.2 104
3.3.1 Доказательство теоремы 3.1 104
3.3.2 Доказательство теоремы 3.2 107
3.4 Доказательство теоремы 3.3 108
3.5 Гиперболические свойства потока/115
3.6 Доказательство теоремы 3.4 128
3.7 Доказательство теоремы 3.5 135
Литература
- Свойства локального отображения
- Условия сосуществования однообходных периодических траекторий
- Нормальная форма локального отображения TQ
- Доказательство теоремы 3.1 и 3.2
Введение к работе
Основной темой диссертации является исследование бифуркаций многомерных динамических систем, имеющих негрубые гомоклини-ческие (двоякоасимптотические) траектории к периодическим траекториям или состояниям равновесия седлового типа. Такие гомоклини-ческие траектории называются также либо гомоклиничсскими петлями в случае состояний равновесия, либо негрубыми гомоклинически-ми орбитами Пуанкаре в случае седловых периодических траекторий. В последнем случае говорят также о гомоклинических касаниях, поскольку устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия сед-ловой периодической траектории пересекаются нетрансверсально в точках соответствующей гомоклинической орбиты.
Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем - теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.
Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина оформилась в работах А.А. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Н.Н. Баутина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на
Введение 4
плоскости (Андронов, Понтрягин); для систем с конечным множеством особых траекторий построен полный топологический инвариант (Леонтович, Майер). Также были изучены бифуркации систем первой степени негрубости (Андронов, Леонтович). Уже для двумерных потоков эти бифуркации стали подразделяться на локальные и нелокальные. К основным локальным бифуркациям систем на плоскости относятся бифуркации состояний равновесий типа седло-узел и сложный фокус, а также бифуркации сложных (полуустойчивых) предельных циклов. Основные нелокальные бифуркации составляют бифуркация гомоклинической петли сепаратрисы седла, гомоклини-ческой петли сепаратрисы седло-узла, а также бифуркация сепаратрисы, идущей из седла в седло.
В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность фазового пространства которых не меньше трех для потоков и двух для отображений). При этом основным объектом исследования по началу стала теория грубых динамических систем, получившая наименование гиперболической теориия. Основы теории грубых многомерных динамических систем были заложены в работах Д.В. Аносова и С. Смейла. Здесь важную роль играли понятия гиперболичности и трансверсальности. Позднее, необходимые и достаточные условия грубости были найдены в работах Робинсона, Мане, Хаяши и др.
Что касается теории бифуркаций многомерных динамических систем, то основные локальные бифуркации составляют а) бифуркации состояний равновесия и периодических движений типа седло-узел или седло-седло; б) бифуркация состояния равновесия типа сложный фокус; в) бифуркация удвоения периода периодической траектории (когда у последней есть мультипликатор —1); г) бифуркация рождения инвариантного тора из периодической траектории (с мультипликаторами е±г,р, где 0<<р<7ги(/?т^ ^/2,27г/3). Таким образом, здесь
Введение 5
по сравнению с локальными бифуркациями двумерных потоков по сути новыми являются два последних типа бифуркаций.
Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П.Шильникова. Так ещё в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических петель к состояниям равновесия типа седло ([22, 27]), седло-узел ([22]), седло-седло с одной ([24]) и несколькими [28] гомоклиническими траекториями, а также были исследованы бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус [23, 29].
В дальнейшем нелокальные бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В.С.Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А. Белякова, В.В.Быкова, Н.К.Гаврилова, С.В.Гонченко, Ю.С.Ильяшен-ко, Л.М.Лермана, В.И.Лукьянова, С. Ньюхауса, Дж.Пэлиса, Ф.Такен-са, Д.В.Тураева и др.
В настоящей диссертации будут изучаться нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, целиком лежащих в некоторой окрестности исходной гомоклинической орбиты. Такие задачи хорошо изучены в случае бифуркаций коразмерности один. Здесь нужно отметить прежде всего глобальные бифуркации коразмерности один, ведущие от систем с простой структурой (системы Морса-Смейла) к системам со сложной структурой (со счетным множеством периодических траекторий). Примерами таких бифуркаций являются 1) бифуркация гомоклинической связки из двух или более гомоклинических петель состояния равновесия типа седло-седло (Шильников, [28]); 2) бифуркация гомоклинического касания в так называемом случае систем первого класса, получившая наименование "гомоклинического П-взрыва" (Гаврилов, Шильников, [8]; Ньюхаус, Пэлис, [44]; Стеиь-кин, Шильников, [19]); 3) глобальные бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории (Афраймович,
Введение 6
Шильников, [5]; Ньюхаус, Пэлис, Такенс, [45]; Тураев,Шильников, [20]); 4) некоторые многомерные бифуркации типа "катастрофа голубого неба" (Тураев, Шильников, [46]) и ряд других. Заметим, что последние два типа бифуркаций отвечают переходу от простого аттрактора к странному (соответственно, к "тор-хаосу" или к гиперболическому аттрактору).
Нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, могут происходить и в классе систем со сложной структурой. Примерами таких бифуркаций являются: бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории, имеющей трансверсальную гомоклиниче-скую орбиту (Лукьянов-Шильников, [16]); бифуркаций гомоклиниче-ского касания в так называемом случае систем второго класса (Гаври-лов, Шильников, [8]). Приведенные выше примеры бифуркаций имеют коразмерность один.
В случае же коразмерности два наибольший интерес представляет исследование тех нелокальных бифуркаций, которые приводят к резкому изменению структуры или характеристических свойств нсблуж-дающих множеств. В случае трехмерных потоков, допускающих го-моклинические петли состояний равновесия типа седло-фокус, такие бифуркации в критических случаях были изучены Л.А.Беляковым [31, 30]. Пусть трёхмерная система имеет гомоклиническую петлёй седло-фокуса, т.е. состояния равновесия с характеристическими числами 7 и —А ± гш, где 7 > 0,А > 0 и и ф 0. Как показано Шильнико-вым [23] для трехмерного случая и [29] для многомерного, структура множества N траекторий, целиком лежащих в окрестности петли, существенно зависит от того больше или меньше единицы ссдловой
индекс v — —. Так, если v > 1, то N имеет тривиальную структуру
7 (содержит только состояние равновесия и гомоклиническую траекто-
Введение 7
рию), и бифуркации здесь, во-первых, не выводят из класса систем Морса-Смейла, и во-вторых, проходят по хорошо известному сценарию бифуркации петли сепаратрис "при ег < 0", Шильников [22, 27]. Если же 0 < v < 1, то N имеет сложную структуру (содержит нетривиальные гиперболические подмножества, которые, вообще говоря всё iV не исчерпывают). Беляковым [31, 30] были рассмотрены три критических случая, отвечающие тому, что в момент петли выполняются следующие условия: а) и — 0; б) А = 0; в) v — 1. Таким образом, им были изучены бифуркационные явления при переходах а) "от седла к седло-фокусу"; б) "от фокусу к сложному фокусу"; в) "от сложной структуры к простой" в системах, допускающих гомоклини-ческие петли седло-фокусов. Однако, здесь существует ещё один важный критический случай, именно, v — \j1% который рассматривается в данной диссертации. Как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], при 1/2 < v < 1 в окрестности петли грубые периодические траектории могут быть только седловыми и асимптотически устойчивыми, а при 0 < v < 1/2 - только седловыми и вполне неустойчивыми. Таким образом здесь можно ожидать кардинального изменения тип устойчивости периодических траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты.
Возможность таких переходов "от устойчивой динамики к неустойчивой" или "от устойчивой к седловой" можно ожидать на основе анализа особенностей некоторых других хорошо известных гомоклиниче-ских бифуркаций коразмерности один. А именно, в настоящей работе рассматриваются нелокальные бифуркации следующих типов.
Первый класс составляют бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих иегрубую гомоклиническую траекторию к седловой неподвижной точке. Пусть исходный диффеоморфизм / имеет сед-ловую неподвижную точку О с мультипликаторами А, -у, такими что |А[ < 1 < К), и гомоклиническую к О траекторию Го в точках кото-
Введение 8
рой многообразия Ws(0) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Хорошо известно, Гаврилов-Шильников, [8], что если седловая величина a = JA7I меньше единицы, то бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториям, а если а > 1 - к вполне неустойчивым. Причем, в достаточно малой фиксированной окрестности гомоклинической орбиты при о < 1 нет вполне неустойчивых периодических траекторий, а при и > 1 -устойчивых. Таким образом, случай а = 1 естественно становится "переходным" между устойчивой и неустойчивой динамикой.
Второй класс задач составляют бифуркации многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклиническим касанием. Характерным для наших целей являются такие трехмерные диффеоморфизмы, имеющие неподвижную точку О с мультипликаторами Аі,Аг,7 такими, что |А2І < |Аі| < 1 < І7І и lAiA-y) < 1, а также имеющие гомо-клиническую траекторию, в точках которой Ws(0) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Как установили С.Гонченко, Тураев, Шиль-ников [13, 38], при |Аі7І < 1, бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториям; однако, когда |Аі7І > 1, при общих условиях ни сам диффеоморфизм, ни близкие не имеют устойчивых периодических траекторий (в малой окрестности гомоклинической орбиты). Если же эти общие условия нарушены (получаемое квадратичное гомоклиническое касание коразмерности два в этом случае называется обобщенным, или обобщенным - см. подробности в Главе 2), устойчивые периодические траектории могут возникать при бифуркациях.1
Третий класс задач составляют бифуркации гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус. Характерным примером
'Частный случай трехмерных диффеоморфизмов, у которых |Аі7І > 1, |-^г7І < 1 и |Аі АгО'І < 1, рассматривался в работе Татжера |47) при дополнительном (излишнем) предположении, что диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки допускает достаточно гладкую линеаризацию.
Введение 9
такой задачи является трёхмерная система с гомоклинической петлёй седло-фокуса. Как уже было сказано ранее, если седловой индекс v удовлетворяет соотношению 1/2 < v < 1 (в этом случае дивергенция векторного поля (72 = 7 — 2А, вычисленная в седло-фокусе, отрицательна), то бифуркации гомоклинической петли могут приводить, как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], к устойчивым периодическим траекториям - при этом, вполне неустойчивых периодических траекторий в малой окрестности петли нет; если же 0 < v < 1/2 (дивергенция больше нуля), могут рождаться вполне неустойчивые периодические траектории, тогда как устойчивых нет. Очевидно, что случай v — 1/2 (что соответствует ич = 0) является "переходным" между устойчивой и неустойчивой динамикой.
В связи с вышеизложенным, возникают естественные задачи исследования пограничной динамики и соответственно бифуркаций потери устойчивости периодическими траекториями, которые и рассматриваются в настоящей диссертации.
Основная задача диссертации состоит в изучении и описании нелокальных бифуркаций, связанных с переходом от систем, имеющих в некоторой фиксированной малой окрестности негрубой гомоклинической орбиты асимптотически устойчивые периодические траектории (возможно даже бесконечно много), к системам, в которых такие траектории отсутствуют. При этом, принципиальным моментом является то, что в диссертации рассматриваются бифуркации, происходящие в классе систем, допускающих гомоклинические касания. Насколько нам известно, бифуркационные задачи в такой постановке ранее не рассматривались.
В этом случае исходные системы, бифуркации которых могут приводить к указанному явлению должны быть как минимум коразмерности два, поскольку помимо существования негрубой гомоклинической орбиты должно выполняться некоторое дополнительное уело-
Введение 10
виє. Обычно это условие связано либо со специальным характером особой точки, либо с тем, что гомоклиническая траектория находится не в общем положении. Например, условие может быть такого типа: дивергенция состояния равновесия равна нулю; якобиан неподвижной точки равен единице; гомоклиническое касание не является простым и т.п. Такого типа условия необходимы для того, чтобы переходная динамика {от устойчивых периодических траекторий к вполне неустойчивым или седловым) могла быть осуществима в принципе.
Более конкретно, в диссертации будет проведен бифуркационный анализ систем коразмерности два в следующих трех случаях.
Исходная система является двумерным диффеоморфизмом с квадратичным гомоклиническим касанием к седловой неподвижной точке с мультипликаторами Л и у (0 < |Л| < 1 < J7I) такими, что седловая величина а = \\у\ равна 1 (рис. 1а). Такая неподвижная точка называется седлом нейтрального типа.
Исходная система является трехмерным диффеоморфизмом с непростым квадратичным гомоклиническим касанием к неподвижной точке с мультипликаторами Аі, Аг, 7 такими, что 0 < J Аз | < |Ai| < 1 < І7І, ІА1А27І < 1 и |Аі7І ф 1. О непростых гомоклинических касаниях см. подробнее в Главе 2. На рис. lb представлен один из случаев такого касания.
3} Исходная система является трехмерным потоком с гомоклини-ческой петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с характеристическими корнями —А±гш и 7 (А > 0,7 > 0, о; Ф 0) такими, что 2А = 7 (дивергенция потока в состоянии равновесия равна нулю). См. рис. 1с.
В диссертации представлены основные результаты, полученные автором при исследовании динамики и бифуркаций таких систем. В первых двух случаях решается задача исследования бифуркаций однообходных периодических траекторий из малой окрестности го-
Введение
Рис. 1: а) Квадратичное гомоклиническое касание R2; Ь) непростое гомоклини-ческое касание(один из двух вариантов) в R3; с) гомоклиническая петля седло-фокуса
моклинической орбиты. Особое внимание здесь обращается на исследование бифуркаций потери устойчивости такими траекториями. В третьем случае решается более глобальная задача. Помимо исследования собственно бифуркаций однообходных периодических траекторий, здесь также изучаются свойства динамики в целом и дается ответ на вопрос, когда в малой окрестности гомоклиническои петли существуют устойчивые периодические траектории, и когда их нет.
Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 16 работ. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: V Международная конференция "Нелинейные коле-
Введение
бания механических систем", 1999; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2000; VI сессия молодых ученых, Саров, 2001; Международная конференция, посвящена 100-летию А.А. Андронова "Progress in Nonlinear Science", Нижний Новгород, 2001; Конференция "Актуальные проблемы современности", Самара, 2001; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2002; Конференция, посвященная памяти В.Ф. Лазуткина, Санкт-Петербург, 2002; Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004; Международная конференция, "Dynamics, Bifurcations and Chaos", Нижний Новгород, 2005.
По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (руководитель - проф. Л.П.Шильников); на семинаре по дифференциальным уравнениям в институте Вейерштрасса (2002, руководитель - проф. К.Шнайдер), на семинаре факультета математики университета Утрехта (2003, руководитель - проф. Ю.А. Кузнецов), на семинаре по динамическим системам в Барселонском университете (2002,2004 руководители - проф. К.Симо, А.Делыпамс), на семинаре кафедры численного и функционального анализа Нижегородском государственном университете (руководитель - проф. Баландин Д.В.).
Результаты диссертации явились составной частью работы, выполненной при поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследовании (гранты No.04-01-00487, No.04-01-00483 и No.05-01-00558), Министерства образования и науки (грант "Университеты России" No. 03.01.180) и гранта CRDF (No. RU-M1-2583-MO-04).
Введение 13
Публикации Всего по теме диссертации автором опубликовано 16 работ. Основные результаты являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [50]-[65]. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию вошли только результаты доказанные автором самостоятельно.
Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации: 147 стр., 19 рис., 65 наименований литературы.
Содержание диссертации В Главе 1 изучаются основные бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих квадратичные гомо-клинические касания к седловой неподвижной точке нейтрального типа. Пусть /о - такой диффеоморфизм класса Ст , г > 5 , удовлетворяющий следующим условиям:
/0 имеет седловую неподвижную точку О с собственными числами А и 7 такими, что |А| < 1 < J7|;
седловая величина о = \\у\ равна 1 (т.е. О - седловая точка нейтрального типа);
устойчивое Wq и неустойчивое Wq многообразия седла О имеют квадратичное гомоклиническое касание в точках некоторой гомокли-нической траектории Г0
Пусть /м, \х = (/^1,/)) двухпараметрическое семейство, содержащее диффеоморфизм /о при jtti = //2 ~ 0. Без ограничения общности, можно считать, что ji\ - это параметр расщепления инвариант-пых многообразий седла О относительно некоторой точки траектории Го, а № - это отклонение седловой величины от единицы, т.е.
|А(/*)7(/*)| = 1 + Д2.
Пусть U = U(О U Го) - достаточно малая фиксированная окрестность замыкания траектории Го . Она представляется в виде объеди-
Введение 14
нения малого диска Uq, содержащего точку О , с некоторым числом малых окрестностей тех точек траектории Г0 , которые не лежат в Щ.
Определение 1.1.1 Периодическую траекторию, целиком лежащую в U , будем называть р-обходной, если она пересекает каждую из окрестностей в множестве U\Uq ровно в р точках.
Основной задачей Главы 1 является изучение бифуркаций одно-обходных (р — 1) периодических траекторий из (71. Точки таких периодических траектории являются неподвижными точками отображений первого возвращения. Эти отображения строятся в виде суперпозиций двух отображений: локального отображения Т0(р), определенного в окрестности Uq седловой неподвижной точки Оц диффеоморфизма ffj, и глобального отображения Тї(//), определенного вблизи глобального куска Г0, т.е. Т\{у) = fjj;0 для некоторого натурального По- Тогда однообходной периодической траектории периода к + щ для всех достаточно больших к отвечает отображение первого возвращения Т& = T{Tq.
Сразу отметим, что при а — 1 наблюдается принципиально новый тип бифуркаций, по сравнению со случаем <т ^ 1, а именно, бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых. В случае однооб-ходных траекторий такие бифуркации будут невырожденными, если некоторая величина R, вычисляемая по коэффициентам локального и глобального отображений (см. формулу (1.5)), отлична от нуля. И здесь имеет место следующий результат.
Теорема 1.1 Пусть R = 0. Тогда на плоскости параметров (МъМг) существует последовательность открытых областей Аь, накапливающихся к р — 0 при к —* +оо, таких, что диффеоморфизм fp -имеет периодическую замкнутую инвариантную кривую при fj, є Д&. Инвариантные кривые являются либо асимптотически устойчивыми при R\k < 0, либо неустойчивыми при RXk > 0.
Введение
Эта теорема непосредственно вытекает из следующей теоремы о структуре бифуркаций однообходных периодических траекторий.
Теорема 1.2 1. На плоскости параметров (ді,/^) для каждого достаточно большого к существуют бифуркационные кривые Ь^, L~j; uL\, отвечающие однообходным периодическим траекториям с мультипликаторами -\-Х, — 1 и е±г^ (0 < ф < ж) соответственно.
При значениях \i из области D^, располооюенной между кривыми L и Lfc, диффеоморфизм /м имеет две однообходные периодические траектории, одна из которых - седловая, а другая - асимптотически устойчивая при рь є Dsk и вполне неустойчивая при р, Є ~D\, где DskuD\ - это подобласти D^, разделенные кривой Ь%.
В случае RXk < 0 (RXk > 0) первая ляпуновская величина "сложного фокуса7' при и L\ отрицательна (положительна).
Предварительные сведения и формулировки этих теорем, приведены в Параграфе 1.1. Доказательства же их занимают Параграфы 1.2, 1.3 и 1.4. При этом в параграфе 1.2 доказан результат о возможности представления отображения Та(р,)к в перекрестном виде для случая когда а — 1 при \i = 0. В параграфе 1.3 строится отображение первого возвращения 7 = Т{Гк с использованием стандартной техники. Далее, доказывается (Лемма 1.3.1 о рескейлинге) о том, что отображение Ifc при достаточно больших к и малых /і может быть приведено к виду (путем некоторого перемасштабирования координат и параметров).
х = у, з/ = Afi - М2х -у2 + є\ху + 4їД
где х: у - новые координаты, М^Мъ - новые параметры, а е\ — К)Р,є\ = S^~k (R - "сепаратрисная величина", a S - некоторый коэффициент, определяемый по глобальному отображению). При этом, параметры Mi ~ 7~2fc(/*i—<**) iak —» 0 при к — +оо), М2 ~ (l+^2)fc-Заметим, что области значений параметров М1; Мъ и координат (х, у)
Введение 16
покрывают при к — +оо все конечные значения (М% - положительные, если /о - ориентируемый). Исследование бифуркаций уже этого отображения, которое мы назвали обобщенное отображение Эно, занимает параграф 1.6. Знание бифуркаций его неподвижных точек и знание связи между старыми и новыми параметрами позволяет построить бифуркационные диаграммы для однообходных периодических траекторий в случае семейства /м, что сделано в параграфе 1.4.
В Параграфе 1.5 изучается структура бифуркационной диаграммы однообходных периодических траекторий "в целом". На основе этого найдены условия (Теорема 1.3), при которых сосуществуют од-нообходные периодические траектории различных периодов и различных типов устойчивости.
В Главе 2 исследуется двухпараметрическое семейство трехмерных Сг-гладких диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму / Є Cr, г > 5, удовлетворяющему следующим условиям:
/ имеет седловую неподвижную точку О с действительными мультипликаторами Аі,А2,7 такими что 0 < |Аг| < |Аі[ < 1 < І7І, J0 = |АіА27І < 1, седловая величина а = |Аі7І ф 1;
Устойчивое Ws(0) и неустойчивое Wu(0) инвариантное многообразия точки О имеют квадратичное касание в точках некоторой гомоклинической траектории Го;
Расширенное неустойчивое многообразие Wue(0) (которое содержит Wu(0) и касается в точке О собственного направления, отвечающего мультипликатору \\) нетрансверсально к слоям сильно устойчивого слоения Fss в Ws(0) в точках гомоклинической траектории Го.
Рассмотрим двухпараметрическое семейство /МьМ2, диффеоморфизмов, близких к /, где в качестве параметров рассматриваются: \i\ -параметр расщепления многообразий Ws(0) и Wu(0) относительно некоторой точки траектории Го, и и>2 - параметр, разрешающий уело-
Введение 17
виє С) непростоты касания.
Основной объект изучения здесь - однообходные периодические траектории. При этом, выделяется "сильно диссипативный" случай (|Аі7І < 1), в котором динамика является по существу одномерной,
что показывает следующая теорема.
Теорема 2.1 Пусть f удовлетворяет условиям А)-В) и |Аі7І < 1. Рассмотрим однопараметрическое семейство /№.' Тогда, в любой окрестности точки \i\ = 0 существует бесконечно много непересекающихся интервалов (5 —^ 0 при к —> оо таких, что отображение первого возвращения Ти при \і\ Є Sk может быть приведено к отображению, которое асимптотически СГ~2-близко (при к —» <х>) к следующему предельному отображению
Xi = О, Х2 = О, Y = Mx-Y2 . (1)
гдеМх ~ 72*[Мі-0(7_/с)].
Когда |Аі7І > 1, условие С) оказывается уже весьма существенным для динамики, и здесь выделяются два основных случая:
Случай I. Wue(0) и W3(0) имеют трансверсальное пересечение, но при этом Wu(0) касается слоя устойчивого слоения.
Случай II. Wue(0) касается Ws(0), но при этом Wu(0) и соответствующий слой устойчивого слоения пересекаются общим образом.
Теорема 2.2 Пусть |Аі7І > 1- Тогда, на плоскости параметров (//1,//2) существуют бесконечно много областей Д&, накапливающихся при к —> оо к началу координат, таких, что отображение первого возвращения Т^ в соответствующих перемасштабированных координатах асимптотически близко в Сг~2-топологии при к —* оо к одному из следующих предельных отображений:
Хх = M2Y, Х2 = У, Y = Mi - Хг - У2, (2)
Введение
б Случае I, или
Xi = У, х2 = О, У = Mi - M2Xt - У2, (3)
в Случае II, где координаты Хі,Х2,У и параметры Мі,М2 могут принимать произвольные конечные значения при больших к.
Отметим, что предельные отображения из Теоремы 2.2 являются вырожденными: они обладают при Мч ф 0 инвариантными плоскостями (вида Хі — М2Х2 = 0 в случае отображения (2) и вида XО в случае отображения (3)), на которые за одну итерацию попадает любая точка из Я3. Соответственно, отображение первого возвращения Т& при больших к будет обладать притягивающим Сг_2-гладким двумерным инвариантным многообразием М.^. На A4k отображение первого возвращения может быть представлено в следующем виде.
Теорема 2.3 Пусть условия теоремы 2.2 выполнены. Тогда, для любого є>0« |Мг| > є отображение Тц^к при любых достаточно больших к может быть записано в следующей форме
*і = У , У = Мх- МчХі-У2 + Ль ХгУ + (4)
где Rk —> 0 при к — оо является некоторой величиной, определяемой коэффициентами локального и глобального отображений (см. формулы (2.15) и (2.16)).
Теорема 2.4 описывает структуру бифуркационной диаграммы на плоскости (fjLiffjq) для семейства ДьД2.
Теорема 2.4 Пусть условия Теоремы 2.2 выполнены и предположим также, что JA27I ф І.ий / 0 при |Аг7І < 1- Тогда па плоскости параметров (рі,^) в любой окрестности начала координат существует бесконечно много открытых областей Dsk и Ds (принадлежащих областям Д& из теоремы 2.2), накапливающихся к началу координат при к —> +оо такие, что отображение Іріі(і2 пРи (^1>М2) ^ Щ имеет однообходную периодическую траекторию асимптотически устойчивую периодическую траекторию, а
Введение 19
при (//1,//2) Є Df имеет однообходную периодическую асимптотически устойчивую инвариантную кривую.
Геометрия непростого гомоклинического касания описана в Параграфе 2.2. Параграф 2.3 посвящен доказательству Леммы 2.3.1 о представлении локального отображения. Параграф 2.4 посвящен построения глобального отображения для Случаев I и П. В Параграфе 2.5 приведены доказательства основных теорем. Основной метод здесь, как и в Главе 1 - построение и рескейлинг отображения первого возвращения.
В Главе 3 исследуется двухпараметрическое семейство трехмерных потоков, близких к потоку с гомоклинической петлей к седло-фокусу с нулевой дивергенцией (седловой индекс v = 1/2). В Параграфе 2.1 приведены формулировки основных теорем. Исследование здесь проводится по "классической схеме" теории бифуркации. Вначале изучается система с гомоклинической петлей и v — 1/2. Вводится величина I — f_divf(TQ(r))dr, где / - поток, а Г(т) - решение, отвечающее гомоклинической петле. Знак этой величины определяет поведение потока в окрестности гомоклинической петли (/ < О отвечает сжатию объемов, а I > 0 - растяжению), а именно имеет место следующий результат
Теорема 3.1 В достаточно малой окрестности U гомоклинической петли Го поток /о не имеет в U
а) вполне неустойчивых периодических траекторий при I < 0;
б) устойчивых периодических траекторий при I > 0.
Рассмотрим двухпараметрическое семейство Д, где // = (//1,//2)
потоков, близких к /о. Не ограничивая общности, в'качестве параметров рассматриваются следующие: fX\ - параметр расщепления гомоклинической петли; а //2 - отклонение дивергенции в седло-фокусе от нуля.
Теорема 3.2 При достаточно малых (//1,//2) в зависимости от
Введение 20
знака I имеет место следующая ситуация:
I) если I < 0; поток /^ при всех ^2 < 0 не имеет в U вполне неустой
чивых периодических траекторий;
II) если / > 0, поток /^ при всех Д2 > 0 не имеет в U асимптоти
чески устойчивых периодических траекторий.
Утверждение II) Теоремы 3.2 дает некоторое представление о виде области неустойчивости (т.е. таких значений параметров, при которых в малой фиксированной окрестности гомоклинической петли не существует устойчивых периодических траекторий). Оно показывает,
ЧТО При I > облаСТЬ НеусТОЙЧИВОСТИ СОДерЖИТ ПОЛУПЛОСКОСТЬ Д2 > 0.
На самом деле эту область можно уточнить, что показывает следующая теорема
Теорема 3.5 В случае I > 0 1) в области ді < 0, Д2 < 0 существует кривая Bfs
такая, что при pi < 0 и их < ^(дг) поток Д не имеет устойчивых периодических траекторий.
2) на полупрямой В+ : {ц2 = 0, \i\ > 0} в любой окрестности точки (pi -0,/^2- 0)
а) существует бесконечное множество точек, в любой окрестно
сти которых есть значения параметров, отвечающих существо
ванию у fp счетного множества устойчивых периодической траек
тории;
б) существует счетное множество интервалов Ik С В+ т,аких,
что у каждой точки (^і,0) Є Ik существует такая окрестность
на плоскости параметров (дьДг)* что для всех р, из этой окрест
ности /м не имеет устойчивых периодических траекторий в U.
В Главе 3, как и в Главах 1 и 2, показано, что отображение Пуанкаре двумерной секущей Sq при определениях значениях параметров
Введение - 21
приводится к обобщенному отображению Эно (где опять же величина є\ вычисляется по коэффициентам отображения Пуанкаре исходного потока (см. формулу (3.19))и не равна нулю при 1 ф 0), тем самым, имеют место результаты (составляющие Теорему 3.3), аналогичные предыдущим (Теоремы 1.2 и 2.3), о характере устойчивости однообходных периодических траекторий.
Существенным моментом Главы 3 является теорема 3.4 о существовании гетероклинического контура, составленного из многообразий двух седловых периодических траекторий.
Теорема 3.4 При р\ — 0 существуют значения параметра ц^ при которых отображение на секущей Sq имеет две седловые периодические точки Оі, Оч} такие что Wu(Oi) и Wa{0^) пересекаются трансверсалъно, a Wu(02) и Ws{0\) имеют, квадратичное касание. Причем седловая величина седла 0\ меньше 1, aO- больше 1.
Из нее непосредственно вытекает (на основании результатов работы С. Гонченко, Тураева, Шильникова [15]) следующий вывод о так называемой смешанной динамике
Вывод. На плоскости параметров (/^ь/іг) в любой достаточно малой окрестности начала координат существуют счетное множество областей Ньюхауса, лежащих в полуплоскости р,% > 0 при I < 0 или в полуплоскости р^ < 0 при I > 0; б которых плотны значения параметров (^1,^2), отвечающие потокам /^ имеющим одновременно счетное множество устойчивых, вполне неустойчивых и седловых периодических траекторий.
Доказательства Теорем 3.1 и 3.2 приведены в параграфе 3.3. Доказательству Теоремы 3.4 и исследованию дополнительных свойств отображения Пуанкаре посвящены параграфы 3.6 и 3.5 соответственно. Доказательство Теоремы 3.5 приведено в параграфе 3.7.
Свойства локального отображения
Эта теорема доказывается посредством изучения бифуркаций од нообходных периодических траекторий или, что то же самое, бифур каций неподвижных точек отображений Т& = Т{Г при всех доста точно больших к: к = к, к + 1, По определению (1.1.1 при р 1), однообходная периодическая траектория имеет ровно по одной точке в каждой из окрестностей П+ и П . Пусть М+ Є П+ и М П такие точки. Тогда М+ — Т\{М ) и существует такое целое к , что М - Т$(М+). Таким образом, точка М+ є П+ является неподвижной для отображения Т% = T\TQ . Период соответствующей однооб-ходной траектории диффеоморфизма Д равен к 4- щ, см. (1.2); аналогично, периодическая инвариантная кривая из теоремы 1.1 имеет период к + щ в том смысле, что если обозначить через Ck какую-нибудь ее компоненту связности, то fu+n(Ck) — Ck Теорема 1.2 1. На плоскости параметров (/хь/іг) для каждого достаточно большого к существуют бифуркационные кривые L , L и &, отвечающие однообходным периодическим траекториям (неподвижным точкам отображения Т ) с мультипликаторами +1,-1 и е±г (0 ф 7г) соответственно. Кривые L и L% накапливаются к оси 1 = 0 при к — -boo. Кривые Щ. соединяют точки В+ и В на Lfr и Lfr соответственно и накапливаются к точке jxr = fi2 - 0.
2. При значениях \i из области Dk, расположенной между кривыми L и Lfc, диффеоморфизм / имеет две однообходные периодические траектории, одна из которых, Qk, - седловая, а другая, Рк, - асимптотически устойчивая при ц Є Df, и вполне неустойчивая при fi Є Dt, где Dl (D\) - это подобласть в Dk , примыкающая слева (соответственно справа) к 1%. Переходам в область Dk через кривые Lfc (кроме точки В + — L П Щ.) и L (кроме точки Bj" = L П L\) отвечают невырожденные бифуркации траектории /V соответственно седло-узловая и удвоения периода (на кривой L траектории Р и Q сливаются вместе). При р, — В + оба мультипликатора траектории Р равны +1, а при pi = В оба ее мультипликатора равны — 1 .
3. В случае RXk 0 (RXk 0) первая ляпуновская величина "сложного фокуса" при fi Є Ь% отрицательна (положительна). Бифуркационная диаграмма к теореме 1.2 изображена на рис.1.1. Очевидно, теорема 1.1 вытекает из теоремы 1.2. Здесь область Д& --это некоторая часть области Dk, примыкающая к Щ. слева (Д С Df.) при RXh О или справа (Д С В) при RXk 0.
Обозначим через То ограничение диффеоморфизма Д на окрестность UQ , т.е. То(д) = fmy . При всех достаточно малых д отображение То имеет седловую неподвижную точку Ofj, , и хорошо известно, что в некоторых локальных Сг-координатах (х,у) на Щ оно может быть записано в следующем виде где /іі(0, у, д) = pi(х, 0, д) 0 . Данные координаты соответствуют тому, что оси х и у - собственные направления мультипликаторов А(д) и 7( )) и локальные устойчивое и неустойчивое многообразия точки О распрямлены.
Отметим, что форма (1.6) отображения То не очень удобна с технической точки зрения, так как в правых частях в (1.6) содержится слишком много нерезонансных членов. Например, если записать hi и 01 в развернутой форме hi{x, у, д) = (pi(x, fi)x + р2{у, fj)x + h{x,y,ц)х2у , gi(x, у, д) = Vife, ІАУ + Ых1 Р)У + {х,У, фу2 , где /?а(0, д) = 0 , 0а(О, д) = 0 , а — 1, 2, то легко видеть, что функции (риф содержат только нерезонансные мономы - это следствие того, что А 1,17І 1 .2 В [10, 12] (а также в [41] для общего многомерного случая) было показано, что такие функции, содержащие "всегда нерезонансные члены", могут быть занулены достаточно гладкими заменами координат. Именно, существует замена координат (которая является класса Ст 1 по координатам и Сг 2 по параметрам), приводящая отображение То к виду (1.1).
Пусть П+ и П - достаточно малые окрестности точек М+(х+, 0) и М (0, у ) гомоклинической траектории Г0. Обозначим координаты в П+ и П как (хо,уо) и (xi,yi) соответственно. Не ограничивая общности, будем считать
Для того, чтобы изучить отображения 7 = Т\Т$ первого возвращения, нам нужно, прежде всего, иметь подходящие формулы и оценки для отображений Т$ : П+ — П при всех достаточно больших к. В этом смысле вид (1.1) локального отображения То(ц) является весьма удобным, поскольку в этом случае итерации отображения То, записанные в перекрестной форме, будут асимптотически близки (при к — со) к соответствующим итерациям в случае, когда TQ линейно . Именно, справедлива следующая лемма.
Условия сосуществования однообходных периодических траекторий
Прежде всего заметим, что если мы знаем уравнения бифуркационных кривых для L+, L и L в параметрах Mi и Мі для отображения из леммы 1,3.1, то мы можем найти соответствующие кривые L ,L и L, к = fe, к + 1,..,, на плоскости первоначальных параметров (/іі,//г) Для отображений Тк первого возвращения. Так как отображение (1-18) возникает также в главе 2 и 3, то изучению его бифуркаций посвящена отдельный параграф 1.6. Используя (1.19) и соотношение А7 — 1 + №, мы можем переписать формулы (1.37) и (1.38) в следующем виде (1.34) Lt : ді = 7 (У- - (1 + ы)ксх+) + rk + 7 1 + + -)8 , LJ" : ftl = 7-А(Г -(1+ М2) сх+) + гк- 7- t1 + Ml + №? + - - -J2 _ 7-А(Г-(1+М2) +)+г.-7- с082 -2со8 (1 + ,,,) где r& = o(7-fc) и многоточия обозначают члены стремящиеся к нулю при к —» оо.
Очевидно, кривые Lfc и Г накапливаются к линии ji\ О, отвечающей диффеоморфизмам, имеющим (однообходную) иегрубую гомоклиническую траекторию. Кривые 1 соединяют точки В + и В на кривых Lfr и L соответственно и накапливаются к точке Mi = № = 0. Бифуркационная часть теоремы 1.2 (пункты 2 и 3) непосредственно вытекают из нашего анализа бифуркаций отображений первого возвращения (параграф 1.6). Наконец, теорема 1.1 немедленно вытекает из теоремы 1.2: область Д& - это некоторая часть области Dk, примыкающая к L (например, к отрезку 0 ф тг/2) либо сле ва, если RXk О, либо справа, если RXk 0.
Отметим, что бифуркации однообходных периодических траекторий у диффеоморфизмов ffiUfi2 при переходе параметров р,\ и \хч через бифуркационные кривые (1.34) происходит в соответствии с бифуркациями отображения (1.18).
Новые явления по сравнению с бифуркациями индивидуальных отображений (1.18) (для конкретного к), состоит в том, что кривые (1.34) для разных к могут пересекаться, и, тем самым, здесь могут сосуществовать однообходные периодические устойчивые или неустойчивые траектории различных периодов. Вопрос о том, когда и какие траектории могут сосуществовать у диффеоморфизмов семейства ffij i рассматривается ниже.
Прежде всего заметим, что е случае с 0 неседловые однообходные периодические траектории из U с разными периодами сосуществовать не могут. Это является следствием того, что кривые Lk , р и L , р не пересекаются при разных к и j. Их поведение на плоскости ДІ,/І2 ДЛЯ различных случаев показано на рис. 1.5.
Случай с 0. В этом случае, в отличие от с 0, неседловые однообходные периодические траектории из U с разными периодами уже могут сосуществовать. Это связано с тем, что области D& и Dj существования неседловых однообходных периодических траекторий периодов к + Щ и j + Щ соответственно, обязательно пересекаются при больших к и j (здесь Dk - это область между кривыми L и Lj ). Это является простым следствием формул (1.34) для случая с 0 (поскольку
Отметим, что типы сосуществующих однообходных-периодических траекторий для fj, Є Вщ могут быть различны. Это зависит от знаков следующих величин a = ln L ) р = \п( Ъс) , р = + 1 , (1.35)- X которые являются инвариантами для диффеоморфизма /о, в том смысле, что их значения не меняются, если выбрать вместо М+ и М какие-либо другие гомоклинические точки или сделать гладкую замену переменных на С/0, сохраняющую вид (1.1) отображения То-Имеет место следующий результат:
Теорема 1.3 Пусть с 0. Для любого к к на плоскости параметров ( i, дг) существует счетное мнооюество таких областей Dkj, что Седло нейтрального типа 43
1) в случаях а О, /3 0 и а 0, /3 0}р О при р, Є Dkj диффеоморфизм fp имеет две устойчивые однообходние периодические траектории;
2) в случаях а 0,{3 0иа 0,{3 0:р 0 при р, Dkj диффеоморфизм f имеет две вполне неустойчивые однообходние периодические траектории;
3) в случаях а 0,/3 0,р 0 и а 0, /? 0,р 0 при рь D 3 диффеоморфизм ffi имеет две однообходние периодические траектории: одну - устойчивую, а другую - вполне неустойчивую. В первом случае устойчивая имеет период j + щ, а неустойчивая - период k+щ, во втором случае, наоборот, устойчивая имеет период к-\-щ, неустойчивая - период j + щ Доказательство. Проведем доказательство только для диффеоморфизмов, у которых Л 0,7 0} 0,.поскольку в остальных случаях оно аналогично.
Рассмотрим случай а 0,/3 0. Из (1.34) нетрудно извлечь, что условие а 0 (а 0) означает, что кривые L пересекают ось fi2 в точках с отрицательными (положительными) значениями ц%-Действительно, если подставить р\ — 0 в формулу (1.34) для кривых h\ , то получим, что (1 + №) = JC- + ... = , = 1(1,, + ...) = -1(0 + ...) ехг к сх+ к
С другой стороны, условие (3 0 означает, что координата ji2 на кривой L из (1.34) положительна (для //2 из (1.34) имеем: р2 — — /3+ 0(Л )). Тогда, при достаточно больших k,j knk j имеет место расположение областей Dk и Dj, такое как на рис. 1.5а. Для fi Є D = Dk П Dj диффеоморфизм /м имеет, очевидно, две устойчивые одиообходные периодические траектории, периодов к + Щ И j + По, что и требовалось.
Нормальная форма локального отображения TQ
Это отображение является невырожденным не только в отношении седло-узловых бифуркаций и бифуркаций удвоения периода, но и относительно бифуркаций рождения замкнутой инвариантной кривой, если Rk ф 0 (см. Главу 1). В этом смысле, использование отображения (2.13) для изучения бифуркаций одно-обходных периодических траекторий весьма плодотворно.
Бифуркации обобщенного отображения Эно изучались в параграфе 1.6. Здесь же мы сейчас сформулируем основной результат касающийся бифуркаций однообходных периодических траекторий и описывающий их структуру для отображений с непростым гомоклини-ческим касанием.
Теорема 2.4 Пусть условия Теоремы 2.2 выполнены и предположим также, что \\2l\ Ф 1 и R ф 0 при АгТІ 1- Тогда на плоскости параметров ( 1,/) в любой окрестности начала координат существует бесконечно много открытых областей Dsk и Dlc
Непростое гомоклиническое касание 73 (принадлежащих областям Ak из теоремы 2.2), накапливающихся к началу координат при к — +оо такие, что отображение ffj.ifj-2 пРи О ъМг) Щ имеет однообходную периодическую траекторию асимптотически устойчивую периодическую траекторию, а при (/ 1,/) Є Щс имеет однообходную периодическую асимптотически устойчивую инвариантную кривую.
Теорема 2.4 показывает, что бифуркационная диаграмма в семействе f p,2 содержит бесконечно много бифуркационных кривых Lj[", L и Щ. которые определяют, соответственно, бесконечно много областей, таких как Dsk и Dc, с одинаковым поведением траекторий.
В этом параграфе будет дано описание геометрии непростого касания и двух его возможных вариантов (мы их назовем Случай I и Случай и).
Пусть U = U{О U Го) - достаточно малая фиксированная окрестность Го, состоящая из объединения окрестности UQ точки О и неко-торого(конечного) числа окрестностей тех точек Г0, которые лежат вне UQ. Обозначим за Го - ограничение отображения / па Щ. Мы назовем То локальным отображением. Линейной заменой координат на Щ мы можем привести То к следующему виду (Sl,32,jj) = ( 1, Л2Х2,7У) + h--L Начало координат О = (0,0,0) является неподвижной точкой для TQ. Устойчивое (двумерное) многообразие Ws(0) касается плоскости (:гі,Х2) в точке О и неустойчивое (одномерное) многообразие Wu(0) касается О по оси у. Возьмем две точки М+ Є W,s и М Є Wit на Го такие, что М+ = /П(М ) для некоторого цоложительного целого щ. Пусть П+ С Щ и П С UQ малые окрестности М+ и М , соответственно. Отображение Ті = fn : П — П+ называется а глобальным отображением. Обозначим Lu = W . П П и Ls — Щос п п+. Как следует из условия В) T\{LU) и Ls имеют квадратичное касание М+. Далее, по определению, мы можем выбрать, в малой окрестности точки М+ локальные C2-coordinates (1, 2 ) такие что уравнения of L8 и Ti(Lu) могут быть записаны в следующей параметрической форме (2.19) где t - параметр. Касание будет квадратичным, если Q2 + а2 ф 0 and р ф Q _ (2.20)
Для того чтобы объяснить условие С) обобщенного гомоклини-ческого касания, напомним следующие хорошо известные факты из нормальной гиперболической теории (см., например, [39, 41, 42]).
1) Существование сильно устойчивое инвариантное многообразие и слоения. Локальное сильно устойчивое инвариантно многообразие Wfa лежит в Wj и касается плоскости х2 в точке О. Многообразие Wi, единственное, одномерное и Сг-гладкое. Более того, на Wloc определено сильно устойчивое слоение Fss, Каждый слой Fss трансверсален к гсі-паправлению и Wf, один из таких слоев. Слоение Fss является Сг-гладким и единственным. См. Рис. 2.3.
2) Существование расширенных неустойчивых инвариантных многообразий. По определению, локальное раслпиренное неустойчивое многообразие Wlfc(p) - инвариантное многообразие, содержащее W JjD) и касающееся плоскости (х\,у) в точке О (см. Рис. 2.3). Такое мно Непростое гомоклиническое касание гообразие является не единственным и в общем случае С1-гладким. С другой стороны касательная плоскость Рие(М) к W ec в заданной точке М Є W c задается единственным образом. В частности, плоскость Рие(М ) определяется единственным образом. Используя вышеуказанные определения мы можем переписать условия С) и СТ) как С. Ti(Pue{M )) касается слоя FSS(M+) слоения Fss, проходящего через точкуМ+. СТ. Т1(Рие(М )) трансверсальнокР33(М+).
Заметим, что по [47] условие С) дает нам два различных класса диффеоморфизмов с непростыми квадратичными гомоклиническими касаниями. А именно возможны следующие варианты, Сі и Сц. Сі. Поверхность Т\(Рие(М-)) трансверсальна к плоскости W[soc, но касателъна к линии FSS(M+) в точке М+. Сц. Поверхность Т\(Рие{М )) и W30C имеют касание в точке М+ и кривые Ti(Lu) и FS3(M+) имеют трапсверсалъное пересечение. Следовательно, в случае Сі мы имеем, что касательные вектора 1и к Ti(Lu) и lss к F33(M+) в точке М+ коллинеарны, а когда выполня ется Сц, эти вектора имеют различные направления (см. Рис. 2.4а и 2.4Ь).
Доказательство теоремы 3.1 и 3.2
Легко видеть, что главная часть (3.13) состоит из двух множителей: якобиана глобального отображения (3.9) (линейной части) Jgi , — АВ sm(02 — 8i) и якобиана локального отображения (3.8) (с отброшенными малыми членами) J = XQCOZ- .
Теперь видно, что при ді — fi2 = О, якобиан JTXOvEo имеет вид и его можно равномерно оцепить при малых значениях параметрах [Л,№ и малых значениях координат из окрестности петли \х — х+\, г (предполагаем /лі = 0), как JT\XOtZQ x+LjABsm(02 - $!) +з (3.14) где з можно сделать сколь угодно малым за счет выбора окрестности по параметрам и координатам. Для понимания связи между якобианом глобального отображения J glob и і (3.2) докажем следующую лемму.
Отметим, что у нас есть разные координаты "исходные", в которых поток записывается в форме (3.1), у которого многообразия не распрямлены, и "новые", в которых верно представление (3.3), многообразия распрямлены и более того выполняются соотношения (3.4). Далее, мы будем работать только в "новых" координатах, в которых локальное отображение записывается в удобном для нас виде (3.8). Но, в силу того, что величина / вычислена для (3.1), нам необходимо связать характеристики отображения Пункарс (в частности якобиан глобального отображения Jgiob) в новых координатах со старыми координатами.
Лемма 3.3.1 Пусть р,\ = fa = 0. Рассмотрим координаты, в которых верно представление (3.3). Тогда, якобиан глобального отображения (3.9) в этих координатах, вычисленный в точке Р\ = ГоПбі Седло-фокус с нулевой дивергенцией 106 на секущей Siy равен J9iob\Pl = - -el(l + 0(e)) где для I верно выражение (3.2), а є - размер окрестности. Доказательство
Обозначим Tfin - кусок гомоклинической петли от точки Pi = Го П Si до Р2 — Го П SQ. Тогда по теореме ЛиуБИЛЛЯ выполняется соотношение на бесконечно малые объемы (в "исходных" координатах) dV2 = dVie1
С другой стороны, бесконечные концы решения Г(т), отвечающего гомоклинической петле, сходятся по экспоненте к нулю и, соответственно, интеграл j divf(r(r)) сходится. Более того, его концы имеют оценку порядка 0(e), т.е. f divf{T(r)) = /г divf 4- 0(є).
Таким образом имеем соотношение в "исходных" координатах dV2 = dVieIrfdivf = dVxe1-0 - dViel(l + 0(e)) В "новых" координатах, в которых будет верно представление (3.3), это соотношение измениться на dV2detG\P2 = dVidetG\Piel(l + 0(є)) где и — G(x) - замена переменных от "старых" координат к "новым". В силу того, что Pi и Р2 лежат в varepsiJon-окрестности седло-фокуса, то detG\p2/detG\pl — (1 + О(е)), то есть для объемов в "новых" координатах окончательно имеем формулу dV2 = dViel{l + 0(s))
Теперь, для вычисления, для вычисления якобиана глобального отображения нам необходимо знать соотношение площадей (причем на секущих). Заметим, что поток в точке Рі в "новых" координатах ортогонален к Si, поэтому если в качестве dV\ взять объем, натянутый на вектор vi — fo(Pi) = (0,0,1), его нормаль и бинормаль, то площадь на секущей Si будет определяться как dVi/l il- С другой стороны, dV 2 в силу того, что гомоклиническая петля является траекторией потока, будет натянут на образ V\ относительно потока, т.е. на вектор V2 = /о (Яг) = (1/2ж+, шх+, 0). С учетом того, что этот вектор, не является нормалью к So, то искомая площадь на секущей 5о будет проекцией эту секущую.
Теперь видно, что если I меньтне нуля, то JT\XOfZQ можно равномерно для для всех достаточно малых XQ, ZQ оценить как JTe0iW еЧ єз 1 при достаточно малом є3- Применяя это неравенство в (3.12), получаем, что якобиан периодической траектории не может быть больше 1. Отсюда следует утверждение а) теоремы 3.1. Аналогично доказывается утверждение б). Это завершает доказательство теоремы 3.1.
