Содержание к диссертации
Введение
1 Ограниченные решения нелинейных систем 14
1.1 Постановка задачи 14
1.2 Существование ограниченного на всей оси решения . 22
1.3 Доказательство теоремы 1.3 23
1.3.1 Непрерывность функции Th 24
1.3.2 Существование ограниченного решения 25
2 Интегральные многообразия быстро-медленных систем 31
2.1 Постановка задачи 31
2.2 Предположения. Обозначения 33
2.3 Доказательство Теоремы 2.1 37
2.3.1 Вспомогательные неравенства 38
2.3.2 Непрерывность Th при t = 0 40
2.3.3 Существование медленного интегрального многообразия 48
2.3.4 Примеры 52
3 Асимптотические разложения 56
3.1 Доказательство Теоремы 3.1 62
3.1.1 Непрерывность Тд в t = Q 66
3.1.2 Оценка погрешности 72
4 Гладкость интегрального многообразия 79
4.1 Существование производных первого порядка 80
4.1.1 Предположения 80
4.1.2 Вспомогательные неравенства 83
4.1.3 Непрерывность функции -g-Th при t — 0 87
4.1.4 Существование первой производной медленного интегрального многообразия 94
4.2 Существование старших производных 97
4.2.1 Предположения 97
4.2.2 Вспомогательные неравенства 101
4.2.3 Гладкость функции а(у,є) 105
4.2.4 Гладкость интегрального многообразия 108
5 Маятник Циглера
- Существование ограниченного на всей оси решения
- Предположения. Обозначения
- Непрерывность Тд в t = Q
- Существование первой производной медленного интегрального многообразия
Введение к работе
Актуальность работы.
Быстро-медленные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. В общем случае автономную разнотемповую систему можно записать как в быстро-медленном виде dx ft ї — = є/{х,у,є), dy ( ^ (0-1} так, с помощью замены переменных t = т/є, и в сингулярно возмущенном виде dy , . (0-2)
Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А. Н. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах Андронова А. А., Аносова Д. В., Боголюбова Н. Н., Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вишика М. И., Крейна С. Г., Крылова Н. М., Куриной Г. А., Ломова С. А., Люстерника Л. А., Мартыненко Ю. Г., Маслова В. П., Митропольского Ю. А., Мищенко
Е. Ф-, Моисеева Н. Н., Найфэ А. X., Новожилова И. В., Понтрягина Л. С, Розова Н. X., Чернышева К. И., Chang Н. С, Cole J., Howes F. A., Kelley A., Miller J., O'Malley R. E., Schneider K. R., Smith D. R., Van Dyke M. и многих других авторов (см. [1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 25, 26: 31, 32, 33, 34, 35, 38, 46, 75, 82, 83, 84, 88]).
Для неавтономных систем быстро-медленная форма — = f(t,X,y,), dy (. , (0-3) — = g{t,x,y,e), и сингулярно возмущенная dx dy , , (0-4) не эквивалентны из-за присутствия времени в правой части системы. Поэтому, помимо методов теории сингулярных возмущений, для исследования неавтономных быстро-медленных систем были разработаны собственные методы. Большое распространение получили асимптотические и итерационные методы. Например, метод замены переменных и методы усреднения, целью которых является построение упрощенной модели с помощью специально подобранной замены переменных [9, 17, 31, 34].
Поток публикаций, посвященный теории и приложениям разнотем-повых систем, непрерывно растет. Однако, абсолютное большинство работ по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать за- дачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрическая теория разнотемповых систем находит свои истоки в работах Пуанкаре и Ляпунова. Она занимается вопросами существования и исследования свойств как отдельных решений, обладающих специальными качествами, так и целых классов решений (интегральных многообразий). Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах Боголюбова Н. Н. и Митропольского Ю. А. [8, 9]. Под интегральным многообразием здесь понимается гладкая инвариантная поверхность дифференциальной системы. Большой интерес представляют интегральные многообразия меньшей размерности. Использование интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемых моделей и избавляться от вычислительной жесткости. По сути дела производится построение упрощенных моделей изучаемых объектов, но при этом более простые модели с высокой степенью точности отражают поведение исходных моделей. Теория интегральных многообразий применялась для исследования разнотемповых систем в работах Бариса Я. С, Задираки К. В., Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Соболева В. А., Отрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch. H., Kokotovic P. V., Schneider K. R. и др. [6, 21, 27, ЗО, 43, 48, 58, 59, 75, 80, 83, 84, 90, 91, 92, 93].
Обычное предположение теории разнотемповых систем состоит в том, что линейная часть быстрой подсистемы удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии. Однако, во многих прикладных задачах это условие нарушается, и возникают критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Бутузова В. Ф.,
Васильевой А. Б., Волосова В. М., Кононенко Л. И,, Нефедова Н. Н., Рачинского Д.И., Соболева В. А., Щепакиной Е. A., Gu Z., O'Malley R. Е.; Schneider К. R. [10, 11, 12, 24, 62, 63, 71, 77, 85, 87, 89, 94].
Нарушение этого условия может привести к возникновению эффекта затягивания потери устойчивости. Впервые этот эффект был описан в работе Шишковой М. А. [60]. В дальнейшем, исследование природы этого эффекта проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Нейштадта А, И. [36], в которых достаточно подробно описан эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем. Также в сингулярно возмущенных системах нарушение основного предположения может привести к появлению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартно го анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов [16, 32. 33, 45, 52, 53, 85, 87]. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях [53, 61, 97].
Исследованию условий существования затягивания потери устойчивости и траекторий-уток посвящены работы многих авторов [3, 16, 32, 33, 45, 51, 53, 71, 85, 87, 89]. В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению траекторий-уток и эффекта затягивания потери устойчивости в различных зада-чах биологии, механики» химии, экономики и электроники. Не претендуя на полноту, среди них можно выделить работы Горелова Г. Н., Нсйштадта А. И., Покровского А. Н., Сидоренко В. В., Соболева В. А., Щепакиной Е .A., Dumortier F., Erneux Т., Guckenheimer J., Hoffman К., Krupa M., Milik A., Moehlis J.. Roussarie R., Schneider K., Szmolyan P., Weckesser W. [16, 37, 45, 52, 61, 72, 73, 74, 85, 76, 78, 87].
Данная работа посвящена исследованию интегральных многообразий со сменой устойчивости для быстро-медленных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. В работе рассматриваются системы вида y = eY{t,y,z,e), z = B(t)z + Z{tty,z,) + а, (0.5) где є — малый положительный параметр, а — вектор параметров, у и z — векторные переменные размерности п и 2, соответственно, Y, Z — достаточно гладкие функции.
Определение 0.1 Поверхность S Є Ш х Шп х Ш2 называется интегральным многообразием системы (0.5), если любое решение (i, y(t, є; г/о, z0), z(t, є; y0,z0)) с начальными условиями (о»2/о, ^о) S леэюит на Se для всех І6Й.
Среди интегральных многообразий системы (0.5) особый интерес представляют многообразия размерности медленной переменной, которые описываются уравнением z = h(t,y,s).
Предполагается, что функция h(t,y,e) достаточно гладко зависит от є. Движение по интегральному многообразию осуществляется со скоростями порядка є (в полной системе есть движения со скоростями порядка единицы). Такие многообразия называются интегральными многообразиями медленных движений.
Движение по медленному интегральному многообразию осуществляется в соответствии с уравнением y = eY(t,y,h(t,y,e),e). (0.6)
Если y(t,s) — решение этого уравнения, то пара (y(t,e),z(t,e)), где z{t,e) = h(t,y(t,e),s), является решением исходной системы (0.5), так как эта пара задает траекторию на интегральном многообразии.
Задача о существовании медленного интегрального многообразия в случае, когда линейная система і = B{t)z удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии, рассматривалась в работах Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Соболева В. А., Стрыгшга В. В., Фодчука В. II, Fenichel N,, Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovic P. V. и др. [б, 21, 27, 30, 54, 58, 59, 75, 83, 84]. В работе предполагается, что матрица B(t) имеет вид
Таким образом, условие экспоненциальной дихотомии нарушается. Цель данной работы — определить условия, при которых система (0.5) имеет медленное интегральное многообразие.
Первая глава посвящена развитию теории ограниченных на всей оси решений для уравнений, у которых соответствующая линейная система не удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии. В первом параграфе получено необходимое условие существование ограниченного на всей оси решения. Основываясь на этом условии, объясняется метод склеивания решений, ограниченных на каждой из полуосей и объясняется роль параметра а. Исходя из геометрических соображений, будем называть этот параметр склеивающим параметром. Во втором и третьем параграфах формулируется и доказывается теорема о существовании ограниченных на всей оси решений.
Получившееся решение является притягивающим при t < 0 и отталкивающим при і > 0. Остальные решения системы, начинающиеся при t — to < 0 в любой начальной точке zq через некоторое время попадают в малую окрестность ограниченного на всей оси решения и остаются в ней до момента t = t* > 0. При t > | qI решения быстро покидают малую окрестность ограниченного на всей оси решения. Такое поведение решений похоже на эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем [36, 60].
Вторая глава посвящена исследованию вопросов существования и единственности медленного интегрального многообразия для быстро-медленных систем. Показано, что задача о существовании интегральных многообразий может рассматриваться как обобщение задачи о склеивании решений, ограниченных на каждой из полуосей. Во втором параграфе формулируются основные предположения. В третьем параграфе доказывается теорема о существовании и единственности медленного интегрального многообразия. Полученное многообразие является притягивающим при і<0и отталкивающим при t > 0,
В третьей главе рассматриваются вопросы асимптотического приближения медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. Получены рекуррентные формулы для нахождения коэф- фициентов разложения и доказана теорема об оценках погрешностей этих разложений.
Четвертая глава посвящена исследованию дифференциальных свойств медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. В первом параграфе доказана теорема о существовании частной производной первого порядка по пространствеЕшым переменным.
Во втором параграфе показана связь между дифференцируемостью правой части системы и существованием производных высших порядков для склеивающей функции и функции, описывающей медленное интегральное многообразие. Доказательство основывается на методе математической индукции, база для которой установлена в первом параграфе четвертой главы, и обобщенном принципе сжатия А. И. Перова [42, 55].
В пятой главе рассматривается система Циглера, описывающая колебания двухзвенного маятника под воздействием внешней силы. Исследуется устойчивость положения равновесия и определяются условия, при которых в этой модели существуют траектории с затягиванием потери устойчивости. Определяется траектория с наибольшим временем затягивания потери устойчивости.
Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории интегральных многообразий.
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоре- тический характер. Полученные результаты могут быть использованы при изучении широкого класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные б диссертации методы приближенного построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции International Conference on Differential Equations "Equadiff 2003" (Хассельт, Бельгия, 2003), на Международных семинарах "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 2000, 2004 гг.), на Международном семинаре "International Workshop on Relaxation Oscillations and Hysteresis" (Корк, Ирландия, 2002), на Международном семинаре "Multi-Scaled Systems and Hysteresis" (Корк. Ирландия, 2003), на Международном семинаре "Multiscale Systems and Applications" (Берлин, Германия, 2003), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005). Результаты обсуждались на научных семинарах Университета Гумбольдта, Свободного Университета Берлина и Института Вейерштрасса прикладного анализа и стохастики (г. Берлин, Германия, 2001, 2002, 2003, 2004, руководители семинаров — prof. В. Niethammer, prof. J. Naumann, prof. В. Fiedler, prof. K. R. Schneider),
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64]-[69], [95], [96], [98]-[102]. Из совместных работ [95], [96], [98], [99] в диссертацию вошли только принадлежащие Щетининой Е. В. результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, содержащих 9 параграфов и 5 рисунков, и списка литературы, включающего 105 наименования. Общий объем диссертации - 133 страницы.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
Найдены условия существования и единственности ограниченного на всей оси решения для некоторого класса нелинейных систем без дихотомии.
Доказана теорема о существовании и единственности медленного интегрального многообразия быстро-медленных систем в случае, когда соответствующая быстрая подсистема не удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии.
Получены асимптотические разложения медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. Доказана теорема об оценке погрешностей асимптотических приближений.
4. Доказаны теоремы о дифференцируемости медленного инте грального многообразия и склеивающей функции.
Существование ограниченного на всей оси решения
Рассмотрим уравнение dz — = B(t)z + Z{t,z) + a, (1.21) где B(t) определена в (1.3) и а — вектор параметров.
Теорема 1.3 Пусть функция Z(t,z) в правой части (1.21) удовлетворяет условию (А\). Предположим, что (1+ /2) 1- (1.22)
Тогда существует единственное значение вектора а, при котором уравнение (1.21) илъеет единственное ограниченное на всей оси решение. Обозначим через Н полное метрическое пространство функций h(t), непрерывных при (бій удовлетворяющих условию НЧОН N, (1-23) где N Д, с метрикой p{h,h) = sup над -адц. На пространстве Н определим оператор Т следующим образом - j eJ 1W(t-s)[Z(s,h(s)) + a}ds, t О, J e,jL W(t - s) [Z (s, h(s)) +a]ds, t 0. — 00
В верхней строке здесь записан оператор, используемый для доказательства существования ограниченного решения при t — +оо, в нижней строке — оператор, используемый для доказательства существования ограниченного решения при t —» — сю. Вектор а используется для склеивания решений, ограниченных на каждой из полуосей.
Мы докажем, что оператор Т переводит пространство Н в себя и является сжимающим. Доказательство состоит из нескольких этапов. В начале мы покажем, что функция Th является непрерывной, затем мы найдем условия, гарантирующие, что оператор Т переводит Н в себя, и покажем, что Т является сжимающим в Н. Следовательно, в пространстве Н существует единственная неподвижная точка. Эта неподвижная точка является ограниченным на всей оси решением уравнения (1.21).
Легко видеть, что функция Th является непрерывной при t О и t О для любой функции h Є Н. Непрерывность Th при t — 0 доказана в следующей лемме.
Лемма 1.4 Для любой функции h Є Н существует единственный вектор а, такой что функция Th является непрерывной. Доказательство. Из определения оператора Т следует, что условие непрерывности функции Th при t — 0 эквивалентно следующему условию J e W \s)[Z{s,h{s)) + a]ds = 0. (1.25) — ос Будем рассматривать это соотношения как уравнения для определения вектора а. Перепишем (1.25) в виде Ji + J а = 0, где J определено в (1.18) и +0О Jx := ! e -W-l(s)Z{s,h(s)) ds. Из условия (Ai) следует, что интеграл Л сходится. Следовательно, a := —J lJ\, то есть вектор а задается формулой + а = — -= - / e W-1(s)Z(s,h(s)) ds, (1.26) V2n J что и требовалось доказать. Получим еще несколько вспомогательных иеравенств. Пусть вектор а — решение уравнения (1.25), соответствующее функции h є #", а вектор а — решение (1.25), соответствующее h Є Н.
Такое же неравенство справедливо при t 0. Значит, функция Th ограничена. Следовательно, при выполнении неравенства м(1 + е 2а) N у/at функция Th принадлежит пространству Н. Оценим разность Th(t) — Th(t). Используя условие (Aj) и Лемму 1.5, получаем при t О IIгад -гад +00 J е 1 (Z(s, h(s)) - Z{s, h{s))\\ + \\a ol) ds t +00 / 2 2 e 11 [np(h, h) + e02/2afip(h, h)] ds = 2%(1 + e /2 (M). Такая же оценка справедлива при t 0. Следовательно, p{Th,Th) /І(1 +е 2о)р(А,А), и из неравенства (1,22) следует, что Г является сжимающим оператором в пространстве Н. В силу принципа сжимающих отображений оператор Т имеет единственную неподвижную точку h в пространстве Н. Функция z — h {t) задает ограниченное на всей оси решение уравнения (1.21). Теорема 1.3 доказана.
Из неравенства (1.29) следует, что при t 0 произвольное решение, начинающееся в точке z(to) = ZQ IQ 0 достаточно быстро попадает в малую окрестность ограниченного на всей оси решения. Однако при t О произвольное решение еще некоторое время проводит в малой окрестности ограниченного на всей оси решения z = h (t). Из (1.30) получаем, что при t \t0\+- решение z(t) достаточно быстро покидает малую окрестность ограниченного на всей оси решения.
Такое поведение решений похоже на эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем [36, 60].
Пример 1.6 Вернемся к примеру 1.2. На рисунке 1.2 показаны компоненты решения системы (1.16) с правой частью (1.19) и начальным моментом времени tf) = —2 и ограниченное на всей оси решение (пунктиром). На рисунке 1.3 показаны компоненты решения системы (1.16) с правой частью (1.19) и начальным моментом времени to = — 4 и ограниченное на всей оси решение (пунктиром). Видно, что чем больше величина [) тем позднее произойдет срыв с ограниченного на всей оси решения.
Предположения. Обозначения
Таким образом, при є 0, а = 0 система (2.5) совпадает с (1.7), значит она имеет медленное интегральное многообразие z = 0, которое является притягивающим при t 0 и отталкивающим при t 0. Остальные решения системы (2.5), начинающиеся при t — Q 0 в любой начальной точке ZQ Ф 0 через некоторое время попадают в малую окрестность медленного интегрального многообразия z = 0 и остаются в ней до момента і = 0. При t to решения быстро покидают малую окрестность медленного интегрального многообразия. Величина t зависит 20; чем больше \ ta\, тем позднее произойдет срыв решения с медленного интегрального многообразия.
Такое поведение похоже на эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем [36, 60].
Пусть F обозначает полное метрическое пространство непрерывных функций а, действующих из R х /о в Qa и удовлетворяющих неравенствам (2.П) 1КУ, )П єЬ, а(у,є)-а(і/,є) є у-у, где eL 5, с метрикой р(а,а) = sup \\а(у,є)-а(у,є)\\.
Через Я обозначим полное метрическое пространство непрерывных функций h , действующих изКх Шп х ІЕо в П2 и удовлетворяющих неравенствам Щі,у,є)\\ sN, (2.12) \\h{t,y,e)-h{t,y,)\\ є\\у-у\1 для всех t Є Ш,у, у Є Шп,є Є ІЄоі где N, некоторые положительные числа, такие что eN А. На пространстве Н зададим метрику p(h,h)= sup \\h(t,y,E)-h{t,y,)\\. Функции у (і, є), z(t,e) — h(t,y(t,e),e) являются решением (2.5), если они удовлетворяют системе (2.5). Первое уравнение при этом принимает вид = eY(s,y,h{s,y,e),e). (2.13) Из условий (2.8), (2.12) следует \\Y(s,y,h(s,y ),e) - Y(s,y,h{s,y)),)\\ ц{1 + є)\\у - у.
Функция Y является ограниченной и удовлетворяет условию Липшица по переменной у для всех s є М, г/, у є Кп. Следовательно, задача Коши для уравнения (2.13) с начальными условиями y(t) = уо имеет для любого уо Є Шп единственное репіение, определенное при всех set. Обозначим решение этой задачи Коши через Ф8 (уо, h, в).
Функция z(t,є) = h(t, &sj{yo;h,e),E) является ограниченным на всей оси решением уравнения dz — = B{i)z + Z{U Фв,і(уо, К є), z, а(Фві(ї/0, h, є), є), )+ -На(Ф (у0,/г,є),є),є). (2.14) Из результатов Главы 1 следует, что функция z(t,e) удовлетворяет интегральному равенству +f eaJ W(t - s)[Z + a( 3 Stt{y0jh,8),e),e)) ds, t 0, z{t\y0,e) = І J e W{t - s) [Z () + а(Фм(у0, Л, є),),є)} ds, -оо t о, (2.15) где Z = Z(s, Фм(г/о, /г, г), г, а(Фвіі(у0, Л, є), є), є).
Если мы возьмем вместо уо произвольную функцию у, то получим, что функция h(t,y,e), описывающая медленное интегральное многообразие, удовлетворяет уравнению h(t,y,e) - f ea W(t-S)[Z(-) + a(3 s,t(y,h,E),e)]ds, t 0, t J e W(t - s) [Z + а (ФЯіі(у, Л, ), є)] ds, t 0, — 00 (2.16) здесь Z () = Z{s, Фві (у, /І, ), /г{, Фв]({г/, h, ),), а(Фв,і(у, /г, е),е), г).
С другой стороны, если (2.16) имеет решение z — h(t,yye), удовлетворяющее (2.12), то функция z = h(t,y,e) описывает медленное интегральное многообразие системы (2.5). На самом деле, для любого є Є 1о и любой начальной точки (to,yo,zo), лежащей на медленном интегральном многообразии (z0 = /i(i0, /( ,)), уравнение (2.13) имеет решение y{t,e) = Фі іуо, , )- Из (2.16) следует, что z — h(t, Ф 0(ї/о, ,),) является решением (2.14).
Определим на пространстве Н оператор Т следующим образом (Th)(t,y,) = __ j e - Wit - s)[Z () + а(Ф,л(у, є),г)] ds, t 0, J e Wit -s)[Z(-) + a (Ф.Ду, h7 є), є)} dst t 0, —oo (2.17) где Z(-) = Z(s eit(y,ft,),fe(s, Фвіі(з/,Л,:),є:),а(ФЯ(е(г/,/і,),є),е) Здесь в верхней строке записан оператор, используемый для доказательства существования интегрального многообразия, ограниченного при t — +оо, в нижней строке — оператор, используемый для доказательства существования интегрального многообразия, ограниченного при t — — оо. Функция а(у,є) служит для склеивания интегральных многообразий.
Справедлива следующая теорема Теорема 2.1 Пусть функции У, Z в правой части (2.5) удовлетворяют условиям (Hi), (Н2). Тогда существует значение є є Іо такое что для всех є, 0 є є , существует функция а G F и соответствующее ей медленное интегральное многообразие z — h(t,y,e), h є Я. Доказательство Теоремы 2.1 состоит из нескольких этапов. В начале мы получим несколько вспомогательных результатов. Потом мы докажем, что оператор Т, определенный в (2.17), переводит пространство Н в себя и имеет в этом пространстве единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка описывает интегральное многообразие системы (2.5).
Непрерывность Тд в t = Q
Это уравнение получено из условия непрерывности Tg(t,y,e) при t = 0. Так же, как это было доказано в разделе 2.3.2, покажем, что существует единственная функция v Є V, обеспечивающая непрерывность функции Тд.
Имеет место следующая лемма, которая описывает зависимость решения Фв і(у, (?,:) от начального значения у и функции д Є G. Лемма 3.2 Справедливы следующие неравенства Фв, (у,5,е)-Ф (У,5,е)11 \\У - У\\ 1+ 8Л \\ аАУ,9,є) - ., (»,5, г)II — p(grg) (V -(" - і) . Доказательство этой леммы аналогично доказательству Леммы 2.2. Так же, как это было сделано в разделе 2.3.2, перепишем уравнение (3.22) в виде (I + R)v(y,E) = Qv{y,E), где I — тождественный оператор, а операторы R и Q определяются следующим образом: Rv{y,e) := V j e- -W-\s)[v(4taJU{y,g,E),E)-v{y,e)]ds, —oo (3.23) Qufe.e) := -V - у е И/-1 ) .) , (3.24) —oo здесь Z{-) = Z(s, Фв,0(у, P, e),p(s, Фв,о(у, 3, є), є), и(Фв)0(2/, 5, є),є), є)-Из неравенств (3.15), (3.16) следует "ЬОС \\Rv{y,e)\\ їх- і e= ex\\4 sfl(y,g,e) - y\\ds — oo / e""2 / [У( Ф,,о(і/,5,є), 27Г О о g(v, Фв,о(їЛ 9, є), ))\\dr) ds Если є eJ—a K 1, то существует линейный оператор (/ + Я)""1, для которого справедлива оценка ll(/ + r i-W /v - (3-25) В пространстве У введем оператор Р следующим образом: Pv = (I + R)-lQv. (3.26) В дальнейшем мы докажем, что оператор Р переводит пространство V в себя и является сжимающим. Из определения оператора Q (3.24) и из неравенства (3.17) следует оценка для оператора Q \\Qv(y,e)\\ VaJ- J e -Z(-)ds — со e e D l +eq + ep + єк+1р2). Используя последнее неравенство и неравенство (3.25), получаем , ... Ek+le 2aD1{l + Eq + Ep + k+lp2) \\Ру{у,є)\\ р= еРЧ хК/т/БІЇ Если W " 1 (3.27) л/ап 2 то справедлива следующая оценка \\Pv{y,є)\\ 2ek+1Di{\ +єд + єр + efe+V). Из неравенств (3.18)-(3.20) и Леммы 3.2 следует \\Qv{y,e) - Qv{y,)\\ -j= J e -x -oo \\Z(s, Фв,о(ї/, g,),д(з, ys${y, g, є), є), v( s,o(y, g, є), є),є)--Z{s, Ф,,0(, g, e),g{s, Фв,о(у,g, є),є), v(4fafi{y, g, є), є), e)\\ds — y= / Є 3 (1 +k+1p + Sik+lp +7(1 +Єkp) + C)X v2-7r J oc ЦФв.оСз/iff ) - Фа,о(зЛ0 є)Ц & , +00 2. ,5, J e n+c ds]ly _ л (3 2g) где Si = 1 + є(І + р)(7 + єлр) + EX. Если л/2 -=е(/Л +Є7М) 1, (3.29) то в силу Леммы 2.3 интеграл в (3.28) может быть оценен / e e + ds 3. \/7Г J 2а у/ О
Следовательно, мы получаем \\Qv(y,e)-Qv(y1e)\\ 3ee /2aD1S1\\y-y\\. (3.30) Таким образом, из неравенств (3.25), (3.26), (3.30) имеем ЦМ , ) - Pv(.y,e)\\ к Ь-УЇЇ Для достаточно малых є справедливы неравенство (3.27) и неравенства 2e 2aDi(l +ep + eq + ek+lp2) q, (3.31) V i+ ) lf (3.32) у/а бе аді + е(1 + є р)(7 + єкр) + EH) нл (3.33) следовательно Р действует в V.
Найдем условия, гарантирующие, что Р является сжимающим в V. Оценим норму разности \\Qv — Qvj. Из условий (3.18), (3.24) следует — /ае@ l2 f -аг2 \\Qv(y,s)-Qv{y,e)\\ V / e EDip(v,v)ds = —00 = ee /2aDlP{v,v). Следовательно, для Pv — Pv имеем \\РЬ(У,Є) - Pv{y,E)\\ —-nr—-l——p{yiv) — l\/2e іUaxKI\/air 2ee132/2aD1p(v,v). При достаточно малых значениях є справедливо неравенство 2єОіЄР2/ 2а 1, следовательно оператор Р является сжимающим в пространстве V. Тогда уравнение v = Pv, эквивалентное (3.22), имеет единственное решение в пространстве V. Таким образом, мы доказали следующую лемму: Лемма 3.3 Предположим функции У, Z непрерывны на №. х Шп х Qz х IQ, R х Жп х 1І2 X lid х ІЄа, соответственно) и удовлетворяют условиям (3.15) (3.18). Тогда для любой функции g Є G и достаточно малых значений є Є ІЄо существует единственная функция v є V, при которой функция Тд является непрерывной.
Найдем порядок приближений (ЗЛЗ) для медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. Для этого покажем, что система (3.14) имеет медленное интегральное многообразие и = g(ty w,є).
Тогда T является сжимающим оператором в пространстве G. Следовательно, Т имеет единственную неподвижную точку в пространстве G.
Анализируя полученные выше неравенства, выполнение которых обеспечивает существование и единственность неподвижных точек операторов ГиРв соответствующих пространствах, можно прийти к выводу об их совместности при достаточно малых значениях положительного параметра е.
Функция, являющаяся неподвижной точкой оператора Т, описывает медленное интегральное многообразие системы (3,14).
Существование первой производной медленного интегрального многообразия
Предположим, что функции У, Z в правой части системы (2,5) имеют непрерывные частные производные по переменным у, z, а до порядка г включительно, и справедливы следующие неравенства для всех некоторые положительные числа.
Рассмотрим подпространство і 1 пространства F. Подпростран ство состоит из функций, имеющих г непрерывных, равномерно ограниченных частных производных по компонентам вектора г/, удо влетворяющих следующим неравенствам (4.26) \\а{кЧ.У,є)\\ Lk, \\а(к\у,є)-а{к](у,є)\\ vk\\y - y\l 1 г. Введем на пространстве F } обобщенную метрику d(a, а) = со\(р{а, а),р{ау, ау),.,., р{а{г\ а(г))), где р(а{к), а(к)) = max sup \\аік\у,є) - а{к)(у, є), fc = 1,. .. ,r, и максимум вычисляется по всем частным производным порядка к. Пространство F с введенной таким образом метрикой является полным метрическим пространством.
Рассмотрим пространство Н ГК Это пространство является подпространством пространства Н, состоящее из функций Д(, у, є), которые имеют непрерывные и равномерно ограниченные частные производные по компонентам вектора у до порядка г, удовлетворяющие неравенствам \\hW(t}y,e)\\ Nk, (4 27) \\hlk\t,y,e)-hW(t,y,)\\ Ш-УІ l fc r. В пространстве введем обобщенную метрику d(h,h)=co\(p(h,h),p(hy,hy),...,p(h(r\h{r))), где p{h{k\Uk)) =max sup \\h{k)(t,y,e)-hW(t, у,є)\\, \k\ = 1,... ,r. teR,yeE.n,elt0 Тогда пространство Н г является полным метрическим пространством.
Предположим, что медленное интегральное многообразие h(t,y,e) и склеивающая функция а(у, є) имеют частные производные по компонентам вектора у до порядка г — 1. Частные производные непрерывны на Ш х К х /(), R" X ІЄо, соответственно, и удовлетворяют условиям (4.26)-(4.27) для всех \к\ г — 1. Наша задача показать, что при предположениях (4.22)-(4.25) существуют частные производные порядка г, непрерывные в соответствующих областях и удовлетворяющие неравенствам (4.26)-(4,27), Для этого мы покажем, что операторы Р, Т переводят пространства F r\ Н в себя и являются сжимающими.
Нетрудно показать, что справедливо следующее равенство ЯІЛ —г -- 77 , ) = +00 -I t e W{t - s) \{Zy{.) + Zz(.)hy( ) + Za(-)ay{o)+ S —00 + ( (")4fc)( ) + ZaUctfHo) + (0))П (11 + E G(a+/3+7)(")] 8 где \k\ = k2 + k2 H + kn = r, Z{-) = Z (s, Ф3,і{у, h, є), h(s, Фа,і(у, h, є),є),а(ФзЛ(у, h, є), є),є), h( ) = h(s 9tt{y,h,e),e), a(o) = а(Ф8ії(ї/(М),є), a сумма функций Ga+p+1 содержит производные of Z, /г, а, Ф до порядка г — І. На самом деле, все функции под знаком интеграла непрерывно зависят от у и в силу предположений существуют непрерывные частные производные функций Z и а по компонентам вектора у. Кроме того, интегралы сходятся равномерно по у.
Мы покажем, что функция ду 1 ...dyt является непрерывной при всех t Є Я и удовлетворяет условиям (4.27). Затем мы покажем, что Т является оператором сжатия в пространстве ЯМ
Докажем, что существуют частные производные Ф /, \к\ г, которые удовлетворяют следующим неравенствам Ф%,Л,) С к+1 1+е К (4.28) f ik / к \ \ СЇІІУ-УІІ + CfK U(i)) е" 1+ 1" 1 , А г, (4.29) где Ы = ft. Доказательство будем проводить по методу математической индукции. Существование первой производной и соответствующие оценки были доказаны в разделе 4.1.2. Предположим, что функция Ф3іі(у, Кє) имеет частные производные по компонентам вектора у, удовлетворяющие неравенствам (4.28)-(4.29) до порядка г — 1 включительноОценим разность Я — FL,.. В дальнейшем черта над функцией обозначает, что она зависит от у и К. Обозначим через г-ую компоненту произведения ГДФ 1-1. Получаем
Для того, чтобы оценить разность Рг(ті) — Ргі7}), перепишем функции под знаком интеграла в правой части (4.30) в виде Y a Ylp=i pY[4q=ivq- Здесь вр - это р-ая компонента произведения h \ aug- 4-ая компонента произведения Ф .
