Введение к работе
Актуальность темы. Ряд задач механики космического полета, механики сплошной среды, электрофизики, квантовой физики, медицины и экономики характеризуются тем, что в них возможны ситуации, когда за короткие промежутки времени под действием внешних воздействий высокой интенсивности происходит существенное изменение параметров, описывающих функционирование исследуемого объекта. Например, при выполнении коррекции орбиты космического аппарата управляющие двигатели включаются лишь на несколько секунд или минут, а полет продолжается в течение нескольких дней или недель; при включении электросети происходят большие изменения силы тока за очень малые промежутки времени; быстрое изменение цены на товар приводит к скачкообразной реакции его запаса; введение в организм лекарства за короткий промежуток времени может существенно изменить состояние больного; и т.д., Математическое моделирование таких процессов приводят к динамическим системам с разрывными траекториями. Другим источником таких систем является теория оптимального управления. Дело в том, что многие задачи оптимального управления без мгновенных ограничений на управление в пространстве обычных функций решений не имеют, а рассмотрение минимизирующих последовательностей приводит к разрывным оптимапьным траекториям.
Принципиальные результаты по описанию и качественному анализу динамических систем с разрывными траекториями, а также по теории импульсного оптимального управления получены в работах отечественных и зарубежных авторов: Е.А.Барбашина, А.Брессана, В.И.Гурма-на, М.Г.Дмитриева, В.А.Дыхты, С.Т.Завалищина, Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского, Я.Курцвейля, Я.Лигезы, А.А.Меликяна, Б.М.Миллера, А.Д.Мышкиса, Ю.В.Орлова, Ю.С.Осипова, Я.Перссона, Н.А.Пе-рестюка, Ф.Рампаццо, А.М.Самойленко, А.Г.Ченцовр., Ф.Л.Черноусь-ко, Ш.Швабика и этот список является не полным.
Существует несколько подходов к описанию динамических систем, имеющих разрывные траектории. Один из них состоит в том, что дифференциальное уравнение, описывающее непрерывную составляющую траектории дополняется правилом, по которому происходит скачок
траектории. Исследование таких систем начато в работе1 и системно продолжено в2.
Другой подход использует дифференциальные уравнения в распределениях Л.Шварца (обобщенных функциях). Важное с точки зрения физико-технических приложений место среди таких уравнений занимают нелинейные дифференциальные уравнения с аффинными по импульсному воздействию правыми частями. Для дифференциальных уравнений этого типа не удается формализовать понятие решения в рамках классической теории обобщенных функций. Это связано с тем, что и правой части может возникнуть некорректная операция умножения обобщенных' функций. Сложилось три подхода при исследовании таких уравнений.
Первыйсиз них использует порождаемое дифференциальным уравнением интегральное уравнение с интегралом Лебега-Стилтьеса или Перрона-Стилтьеса (импульсное воздействие считается обобщенной производной функции ограниченной вариации). Этот подход развивался в работах Я.Курцвейля и его учеников в3, а также в4. Заметим, что величина скачка так определенного решения будет зависеть от того, как оно доопределяется в точке разрыва. Так, полагая решение функцией, непрерывной слева, мы получим одно решение, а полагая решение функцией, непрерывной справа, другое.
Второй подход к обсуждаемой проблеме восходит к работе5, где Я.Курцвейль^предложил в качестве решения системы дифференциальных уравнений, содержащей 6 -функцию в качестве сомножителя (другой сомножитель зависит от фазовых переменных), предел последовательности абсолютно непрерывных решений системы дифференциальных уравнений, в которой 6 -функция заменена последовательно-
' Ммльман В.Д., Мышкис А .Д.. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский математический журнал, I960, Т.1, 2. -С. 233-237.
2Самопленко A.M., Иерестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Нища Школа, I9S7. 288с.
3 Schwabik S.8., Tvrdy М., Vejvoda О. Differential and integral equations. Boundary value problems and
adjoints. Praha: Academia, 1979- 248p.
4 PanJit S.G., Deo SG. Differential systems involving impulses*?. Lect. Notes Math. 1982. Vol.954.
102p.
5 Kuriweil i. Generalised ordinary differential equations // Ciechosl. Math. 3. 1958. Vol.S, oo.l. P.360-
388.
стыо ее гладких аппроксимаций.- Естественность построения обобщенных решений при помощи предельного перехода с точки зрения теории управления отмечалась в монографии Н.Н.Красовского б (с.85). Этот подход получил свое развитие в7 , где для линейного дифференциального уравнения п -го порядка с обобщенными коэффициентами было получено достаточное условие, обеспечивающее независимость предела последовательности гладких решений от "выбранного способа аппроксимации обобщенных коэффициентов последовательностями гладких функций. Далее в монографии 8 указаны условия (типа Фробениу-са) единственности предельных решений и выписано их представление в классических терминах для воздействий - обобщенных производных локально интегрируемых функций. Формулировка результата о предельном переходе в нелинейной системе дифференциальных уравнений с воздействием - обобщенной производной функпин ограниченной вариации впервые была опубликована в9. Полное доказательство этого результата вышло в [2], и позже с использованием другой техники в10. Отметим, что в работе [2] техника разрывной замены времени была разработана для построения замыкания множества обычных траекторий в отличие от п, где техника разрывной замены развивалась для замыкания множества траекторий, порожденных чисто импульсными управлениями. Это позволило рассмотреть не только "корректный" случай (когда из сходимости последовательности, аппроксимирующей обобщенные функции, входящие в систему, следует сходимость соот-зетствующей последовательности решений), но и случай, когда последовательность решений системы дифференциальных уравнений, поро-кденная гладкими аппроксимациями обобщенных функций, сходящей-
КрасовсхиЯ Н.Н. Теория управления даиженвеы.Лииейные системы. И.: Наука, 1968. 476 с.
7 Левин АЛО. Вопросы теория обыкновенного линейного ур&ввеввя. II //'Качественные и прв-
ілиженньїе методы исследования операторных уравнений (Вестник Ярославского ун-та,вып. 8), Яро-
лавль, 1974. С. 122-144.
8 Завалиашн С."Г.,Суханов В.И. Прикладные задачи синтеза и проектирования управляющих алгс-
іитмов. М.: Наука, 1985, 144 с. „
' Миллер Б.М. Импульсное управление движением в динамических системах: Тезисы Ш Всесоюз-
юй конференции. Киев, 1979. С. 85;8в. 10 Орлов Ю.В. Виброкорректные дифференциальные уравнения с мерами // Матеи. заметки. 1985.
Г. 38, вып. 1. С. 110-119.
" Миллер Б.М. Задача нелинейного импульсного управлення объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями с мерой. 1,И // АиХ 1978. N 1. С. 75-85; N 3. С.34-42.
ся не является, и описать все частичные пределы этой последователь
ности [6,7,10,14),.12. В дополнение к перечисленным работам следу
ет отметить статью13, где получено дифференциальное соотношеїгає
для начального скачка без предположения его единственности, рабо
ту м, где с помощью квазидифференциальных уравнений исследуется
линейное дифференциальное уравнение га-го порядка с обобщенными
коэффициентами. Из работ, вышедших в последнее время, представля
ет интерес работа.15 , где исследуется вопрос определения разрывного
решения без предположения мультипликативного вхождения обобщен
ного воздействия в правую часть системы. , -.'''
Наконец, в настоящее время предложено несколько конструкции произведения обобщенных функций 16,,17:,18, 19. Заметим, что решения рассматриваемых дифференциальных уравнений с различными определениями произведения обобщенных функций также получаются раз: личными. Подход С.Т.Завалищина к проблеме умножения обобщенны» функций применительно к исследуемым в диссертации дифференциальным уравнениям приводит к определению решений, рассматриваемому в данной работе. С помощью этого подхода решен ряд зада1; об оптимальном импульсном управлении межорбитальными космиче-
" Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с обобщенными управлениями // AuT. 1.089- -Iі
6. С. 23-34. " .:''.,, ...-.
13 Дмитриев М.Г, Дифференциальные соотношение для начального скачка в одной сингулярно возмущенной задаче и их приложения // Докл. АН ССР. 1982. Т; 264, N 4.. С. 804- 806. иДерр В.Я. К определению решении линейного дифференциального уравнения с обобщенный!
функциями в коэффициеитах.-Докл.АН СССР. 1988. Т.298. N2. С. 269-272.
15 Миллер Б.М. Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управле пнями I. Проблема существования решения // АиТ. 1995. N 4. С.62-76., II. Представление решений > помощью дифференциальных уравнений с мерой // АиТ. 1995. N. 5. С.56-70.-
18 Завалити» СТ. Специальные нелинейные дифференциальные уравнения в обобщешшх'функчи ях // Дифферент уравнения. 1990. Т. 26, N 8. С. 1316-1323.
17 Ligeza J. On generalised solutions of some differential noa-linear equations of order n // Attn. Pol
Math. 1977. Vol.31, no.2 P.l 15-120. .
18 Colornbeau J,F. New generalized functions and multiplication of distributions. Amsterdami North
Holland, 1984. 375p. , '
'^Persson J. Regularization of non-linear measure differential equation» // Le matematiche. 198!)
Vol.XLIV. Fasc.l. P.113-130.
скими перелетами м/механики жидкости 2!, квантовой механики 22, и математической экономики 23
Цель работы состоит в формализации и описании движений динамических систем с нелинейной импульсной структурой, в исследовании свойств.множеств достижимости'нелинейных динамических систем с импульсным.интегрально ограниченным управлением, в изучении ряда задач импульсного оптимального управления.
Методы исследования.' Работа опирается на методы качествен
ной теорий /ифференпнальйых уравнений, функционального анализа,
обіцей топологий и теории оптимального управления. .
г, Научная новизна; Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них отметим/следуюшне:
., , - введено определение решения в пространстве функций ограниченной вариации, основанное на замыкания множества абсолютно непрерывных решений в топологии поточечной сходимости, получено интегральное, включение, описывающее так,определенные решения; '..'' -для нелинейной динамическойсистемы с мультипликативным об-общённъщ' воздействием в .правой, части; Vr обобщенной производной функций ограниченной фариаіпги найдены достаточные условия, обеспечивающие .единственность реакции системы на импульсное управление; ' -.''..:'':".'[-'--: '..,'.' ;.'.'-'.. '. ~\'';'.'. '.''... '-'-..'-.-..': '[ :---, ' ', ' '. ''^ получело обобщение неравенства, Гровуолла/в пространстве функций.ограниченной: вариации;'.;; ,;:'".'". л V ?';':-\>.;':.';/: г '-' '- в'"случае интегрально ограниченных импульсных управлений исследованы свойства компактности, непрерывной "зависимости от параметров и ресурса управляющего возДёйствия^связности множества до-стижимостй;.. ':''. ,. .'"..''.'-./".:'. '; -'' -C.-'.'V'.'."
' :- построено расширение задачи минимизаций функционала, характеризующего затраты энергии на процесс управления, выделен случай,
Завалящий СТ. Добавление ж теории Лоудена//Прикл. математика и механика. 1989. N 5. С.
572-576. >:.'--. :'':"^S,:-<.'; -.-":.'-.'' '..".' '''';.'_' ..'.-'"'.
'.п Завалищин Д.С., Завалйшии СТ. Оптимальное по расходу энергии управление движением цилиндрического тела'в вязке}В среде// Прикл. математика и механика. 1995; N 5. С. 721-730.
"Завалищин СТ., Ревенко В.В. Оптимизация кинетической энергий микрообъекта // Изв. АН
СССР. Техв\ кибернетака.;;Д988. N 3. G. І2О0-2ОЗ. ,; :,.
:' 5а Zavalishchin SSI,' Impulse dynamic systems and applications to mathematical economics // Dynamic System» arid Applications, vol.,3,:no. 3. 1994. P. 443-450. "
;j.
когда можно понизить на единицу размерность вектора-управления в расширенной задаче;
- установлен порядок сингулярности оптимального управления, ре
шающего задачу минимизации вырожденного интегрального квадра
тичного функционала на конечном промежутке времени вдоль траек
тории линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыва
нием в фазовых координатах, получен явный вид оптимального про
граммного управления, решающего эту задачу, предложен импульсный
позиционный алгоритм для решения этой задачи.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации .результаты могут служить основой для дальнейших исследований в- теории динамических систем со сложной импульсной структурой и в теории оптимального импульсного управления. Предложенные методы решения задач импульсного оптимального управления допускают численную реализацию, использовались и могут быть использованы при решении ряда прикладных задач. Возможно использование материалов диссертации в специальных курсах по теории динамических систем и оптимальному управлению.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались
на Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1983г,);
на "Десятой международной конференции по нелинейным колебаниям" (Болгария, Варна, 12 - 17 сентября 1984г.);
на "Шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике" (Ташкент, 24 - 30 сентября 1986г.);
на VI и VII Всесоюзных конференциях "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1-3 июля 1986г., Рига, 3-7 апреля 1989г.);
на Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 2-6 февраля 1983г., Челябинск, 2-5 февраля 1987г., Пермь, 1-5 февраля 1988г.);
па научных конференциях цикла "Разрывные динамические системы" (Киев, 16 -18 мая 1989г., Изано-Франковск, 11 -14 сентября 1990г., Ужгород, 17-20 сентября 1991г.);
на Шестой и Седьмой Всесоюзной конференции "Управление в ме-
о ханических системах" (Львов, 26 - 28 апреля 1988г., Свердловск, 12 -
14 июня 1990г.); '
на II Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 24 - 30 мая 1993г.);
на I, II и III Международных семинарах "Сингулярные решения и возмущения в управляемых системах" (Переславль-Залесский, 23 - 27 августа 1993г., 26 - 30 июля 1995г., 7 - 11 июля 1997г.).
Результаты, составляющие содержание диссертации, докладывались на научных семинарах сектора нелинейного анализа отдела оптимального управления ИММ УрО РАН (руководитель семинара - про-. фессор С.Т.Завалищип), иа объединенном семинаре Института проблем передачи информации РАН (руководитель семинара - доктор физ.-мат. наук Б.М.Миллер), на семинаре по дифференциальным уравнениям Киевского государственного университета (руководители семинара - академик А.М.Самойленко и профессор Н.А.Перестюк), на семинаре кафедры математического анализа Ижевского Государственного "Университета (руководитель семинара - профессор Е.Л.Тонков).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах [1-20]. ' ' "
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 20 разделов, приложения и списка литературы, включающего 185 наименований. Общий объем диссертации, выполенной в издательской системе I*TgX, составляет 224 страницы.
