Содержание к диссертации
Введение
1 Асимптотический анализ модели субгармонического авторезонанса 16
1.1 Асимптотики, метод многих масштабов 17
Асимптотические последовательности и ряды 17
Метод многих масштабов 19
1.2 Случай п=1 24
1.3 Случай п = 2 27
1.4 Случай п = 3 29
1.5 Случай п = 4 31
1.6 Заключение 34
2 Асимптотика авторезонансных колебаний. Внутреннее разложение 36
2.1 Переход к усредненным уравнениям 37
2.2 Дальнейшее усреднение исходного уравнения 42
2.3 Решение уравнений в медленной переменной 52
2.4 Заключение по внутреннему асимптотическому разложению 56
2.5 Определение структуры внешнего разложения 57
3 Асимптотика авторезонансных колебаний. Внешнее разложение 59
3.1 Решение невозмущенпого и линеаризованного уравнения . 59
3.2 Усреднение в быстрой переменной 65
3.3 Идентификация промежуточной переменной 69
3.4 Усреднение в промежуточной переменной 74
3.5 Решение системы в медленной переменной 80
3.6 Заключение но внешнему разложению 83
Асимптотика авторезонансных колебаний. Согласование и обоснование 85
4.1 Согласование внутреннего и внешнего асимптотического решения 85
4.2 Обоснование асимптотического решения 91 Численные эксперименты 97
Заключение
Выводы
- Асимптотические последовательности и ряды
- Дальнейшее усреднение исходного уравнения
- Усреднение в быстрой переменной
- Обоснование асимптотического решения 91 Численные эксперименты
Введение к работе
Основным объектом исследования в настоящей работе является дифференциальное уравнение второго порядка с малым возмущением:
^-+ V'(u)=ef(r) cos (-^), *>0> 0<є«1, ,r = et. (0.1)
Предполагается, что потенциал V(u) имеет в нуле точку локального минимума. В качестве фазы возмущения берется функция Ф(т) = г + тгф(т)/6. Здесь /(т),0(т), V(«) - гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Предполагаем, что /(0) ф 0,^(0) ф 0.
При наложенных ограничениях невозмущеппое уравнение имеет двух-параметрическое семейство периодических решений в окрестности точки равновесия. Цель данного исследования - построение асимптотики при -)-0 решений возмущенного уравнения (0.1) вблизи таких периодических решений. Основное внимание уделяется отысканию авторезонансных решений, характерным признаком которых является изменение амплитуды колебаний на величину порядка единицы на далеких временах
Задачи о возмущениях периодических решений впервые возникли в связи с изучением движения небесных тел в XVIII веке. Вначале влияние возмущений учитывалось через дифференциалы за последовательные промежутки времени. В дальнейшем А. Линдштедт [1] и А, Пуанкаре [2, 3] предложили отслеживать глобальные параметры движения, которые в предельных уравнениях являются постоянными. Дальнейшее развитие и современное состояние теории возмущений переодических решений можно отследить по работам Б. Ван-дер-Поля [4], Н.Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [5, 6], Г.Е. Кузмака [7], А.Н. Колмогорова [8], В.И. Арнольда [9, 10, 11, 12], Ю. Мозера [13], Г. Уизема [14], А.Х. Найфе [15], А. И. Нейштадта [16], Ф. О л вера [17], Р. Хабермана [18], СЮ. Доброхотова и В.П. Маслова [19], М.Ф. Федорюка [20] и др.
Уравнения, подобные (0.1), возникают при исследование разных физических процессов. Например, ряд задач, связанных с разогревом плазмы, работой ускорителей релятивистских частиц приводят к уравнениям вида (0.1). Модель физического маятника, возмущенного малой периодической силой дает один из простых примеров уравнения типа (0,1):
-—-+smu = cos(t + e2t*) , t > 0, 0 <є « 1, ,т = єі. (0.2)
При исследовании осциллирующих процессов важнейшую роль играют резонапсы. С математическими моделями этого явления знакомо большинство специалистов с техническим образованием. Популярный пример явления такого рода наблюдается в гармоническом осцилляторе с накачкой, который описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка
й + и> и = ecosvt, 0 < -С 1, (*}, v = const.
Случай, когда собственная частота, не совпадает с частотой накачки со'2 ф и2, соответствует отсутствию резонанса. При этом все решения
и = /1 сш(ші + В) -\—т——- cos vt, А,В = const
и1 — vl
ограничены равномерно по і Є К. 0 < < 1 и остаются малыми, если мала начальная амплитуда и амплитуда накачки є. Случай, когда собственная частота совпадает с частотой накачки ш2 — і/2, соответствует резонансу. Все решения
г/
a — A eos(wi -у В) + -~ sin wi
неограниченно растут и иа далеких временах і w є-1 имеют амплитуду колебаний порядка единицы независимо от начальных данных и амплитуды накачки в.
Несколько иная ситуация складывается в случае, когда, собственная частота колебаний постоянна и равно ш, а частота внешней силы медленно меняется и равна Ф'(єі) :
й + ш2и = єсоя(Ф(єі)/є).
Здесь Ф(т) - гладкая функция. Точное решение этого уравнения имеет вид:
и = Асоб(ш1; + В) +г / smw(i- 0)cos$(0)d9.
J to
Возможны разные варианты изменения амплитуды колебаний. Если Ф'(єі) ф іш при t Є (0, со), то амплитуда колебаний меняется на величину О (є). Если существует единственная точка і*, такая что Ф'(єі*) = и, тогда изменение амплитуды более значительно и равно 0(є1№), здесь к наименьшее натуральное число, такое, что Ф^(е^) ф 0. В этом можно убедиться, воспользовавшись методом стационарной фазы [21] для исследования получившегося интеграла. В случае, если подобных точек несколько, то каждая из них дает соответствующий вклад вблизи резонансной точки. Изменение амплитуды на величину порядка О (у/є) происходит в узком слое (с характерным размером О (у/є)). Это явление носит название локального резонанса.
Аналогичная ситуация складывается при исследовании линейного осциллятора с переменной собственной частотой ш(єі) и постоянной частотой внешней СИЛЫ V.
Более сложная ситуация возникает в нелинейных системах, например, при возмущение маятника малой периодической силой с постоянной частотой v.
й + smu = ecosvt.
В этом случае нет явной формулы для точного решения, но можно построить асимптотику решения при є —> 0. Подобные задачи интенсивно изучались математиками и физиками [22, 6]. Известно, что максимально возможное изменение амплитуды колебаний имеет порядок 0(е1^2) для траекторий вдали от положения равновесия и порядок 0(е1^) вблизи положения равновесия. При фиксированной частоте накачки система выходит из резонанса из-за изменения собственной частоты с ростом амплитуды, и поэтому дальнейший рост амплитуды не происходит. Описанное явление носит название нелинейного резонанса. В нелинейной системе при постоянной частоте внешней силы изменение амплитуды на величину порядка единицы оказывается невозможным.
Несложно догадаться, что для более существенного изменения амплитуды колебаний в нелинейных системах необходимо менять частоту внешней накачки, чтобы оставаться в резонансе в течение длительного времени. Впервые эта идея была использовано в 40-х годах прошлого
века Векслером [23, 24] и МакМиланом [25] при создании ускорителей релятивистских частиц. Позднее она использовалась в экспериментах по разогреву плазмы с теоретическим обоснованием в работах Головапев-ского в начале 1980-х годов, [26, 27, 28]. В настоящее время эффекты, связанные с авторезоиансом, обнаруживаются в колебательных системах разной природы, и они знакомы многим физикам. По видимому, такого тина эффекты играют центральную роль в передаче и концентрации энергии в различных подсистемах окружающего мира. Систематическое исследование математических моделей этого явления, представимых в форме дифференциальных уравнений, началось с работы Фрщілянда и Меерсоиа [29], опубликованной в 1990 году. Оказалось, что длм изменения амплитуды на величину порядка единицы достаточно, чтобы было правильно выбрано направление изменения частоты и чтобы амплитуда внешней накачки превышала некоторый порог. При выполнение этих условий система подстраивается под внешние условия так, что остается в резонансе продолжительное время. Следствием такого резонанса оказывается значительное изменение амплитуды вынужденных колебаний. Явление с автоматической подстройкой носит название авторезопанса или автофазировки. Диссертация посвящена математической проблеме, которая возникает при исследовании этого явления.
Возможно два различных сценария авторезопанса. В первом варианте невозмущенное решение находится вдали от положения равновесия, и иод действием внешней накачки меняется на величину порядка единицы. Этот случай исследован в работе Б.В. Чирикова [30]. Во втором варианте невозмущенное решение находится вблизи положения равновесия и амплитуда вынужденных колебаний нарастает до величин порядка единицы.
К настоящему времени для модели, описываемой уравнением (0.1), известно существование двух типов решения с малыми начальными данными. Решения первого типа остаются малыми в течение длительного промежутка времени, решения второго типа нарастают со временем до величии порядка единицы. Как раз решения такого типа и будут исследоваться в работе. Известно, что разделение на разные типы решений происходит на начальном временном этапе и описывается так называемым уравнениям главною резонанса:
А'д±(\А\2-02)А = д. (0.3)
Для этого уравнения известно существование двух типов решения [31].
Решения первого типа ограничены при всех значениях В, решения второго типа линейно растут при В —) со. Решения второго типа как раз и соответствуют авторезонапспому режиму колебаний.
Как известно, в решениях нелинейных уравнениях наблюдается эффект размножение гармоник. Из-за этого возможно возникновение эффекта авторезонанса при условии кратности собственной частоты и частоты внешней накачки. Подобное явление называется авторезопансом на субгармопиках [32].
Постановка задачи.
В данной работе решаются две задачи. Одна из них связана с авторезонансом на главной гармонике. Для уравнения (0.1) рассматриваются решения, которые в начальный момент находятся в окрестности точки равновесия:
(!H + l«'[)Ua = C>(eVV->0. (0.4)
Ставится задача о построении асимптотики нарастающих до единицы решений на далеких временах і та є-1.
Вторая задача связана с субгармоническим авторезонансом. Исследуется уравнение с частотой возмущения, которая является делителем частоты невозмущенных колебаний:
^ + V'{u) = є J оо8(Ф(і, 9)/и), 0 = єЧ. (0.5)
Здесь 0<<1- малый параметр, фазовая функция Ф(, В) = і + фв^/б, 0 = e''t медленное время, f, ф ф- 0, 7 > 0 - константы; п - натуральное число; в работе рассматриваются значения п = 2, 3, 4. Уравнение дополняется малыми начальными данными
Цель - выяснить ограничения на исходные данные, при которых энергия решения
(t,e) = (vf)2/2 + V{u)
вырастает до величины 0(1) на временах t — 0(є~"), несмотря на малость возмущающей силы ef(t,s) — О (є).
Для решения поставленных задач в работе используются различные асимптотические методы. Это прежде всего методы усреднения [б], нелинейный метод ВКБ [19, 18], метод согласования асимптотических разложений [33, 34].
Краткое содержание по главам.
В первой главе проводится построение главного члена асимптотики как для задачи о гармоническом, так и для задачи о субгармоническом авторезонансе. В п. 1.1 приведены определения асимптотических последовательностей и рядов. Приводится пример использования метода многих масштабов для уравнения Ван-дер-Поля. В п. 1.2 предъявлен главный член асимптотики, пригодный на начальном этапе, задачи о гармоническом авторезонансе. Здесь показано, что для модуляции параметров главного члена асимптотики получается уравнение главного резонанса (0.3). Для этого уравнения приведена теорема о существовании двухпа-раметрического семейства растущих решений [35]. Показано, что решения, которые описывает приводимая асимптотика, становятся порядка единицы при t = 0(є~г). Это время называется характерным временем авторезонанса.
Пункты 1.3-1.5 посвящены проблеме субгармонического авторезонанса и содержат результаты автора [36]. В пункте 1.3 проводится исследование уравнения (0.5) при п = 2. Показано, что в этом случае для возникновения авторезонансного эффекта необходимо выбрать показатель 7 = 4/3. Главный член формального асимптотического решения в этом случае имеет вид:
и = 2/32Rc [Aexpz(t + фР/Ь)] + 0{є).
Здесь А - комплексиозпачпая амплитуда. Из требования ограниченности следующих поправок на нее выписывается уравнение. Оказывается, что при некоторых ограничениях на исходные данные амплитуда А определяется из стандартого уравнения главного резонанса (0.3). В этом случае характерное время авторезонансаравно t = 0(е~2). Результаты этого параграфа сформулированы в следующем утверждении:
Теорема 1.4. Пусть в случае п = 2 правая часть уравнения (0.5) имеет амплитуду f и фазовую функцию:
Ф = і + 9*ф/6, в = є4/3і, ф = const
со свойствами:
((5/ЗУ(3)(0))2-У(4)(0))^<0,
9 { >J У 4]^1
Тогда уравнение (1.2) для амплитуды главного члена асимптотики решения уравнения (0.5) имеет, линейно растущие решения. А{В) = 0(в) при В —ї со.
Требования па исходные данные имеют простую физическую интерпретацию. Первое означает, что с течением времени внешняя и собственная частота меняются в одном направлении. Второе условие является требованием превышения амплитуды накачки над критической.
Пункт 1.4 посвящен случаю п = 3. При этом значении п главный член асимптотики имеет порядок , для модуляции его амплитуды также получается уравнение (1.2). Характерное время авторезопаиса в этом случае і = 0(є~3). Верна следующая теорема:
Теорема 1.5. Пусть в случае п = 3 правая часть уравнения (0.5) имеет амплитуду }' и фазовую функцию:
ф = t -I- в3ф/6, В - є\ ф = const
со свойстшми:
((5/3V^(0))2-V^4)(0))^<0,
t*( 243 vW(n\ 6561
> 1.
1 (,16384у (0) - 81920* Щ) ) f W~~ ~
Тогда уравнение для амплитуды главного члена асимптотики им,еет линейно растуш^е решения А{в) = 0{В) при В ~> оо.
В пункте 1.5 первой главы исследуется задача при n = 4. Этот случай принципиально отличается от предыдущих. Главный член формального асимптотического решения в этом случае также имеет порядок є, он равен по порядку возмущению. В работе показано, что при разумных ограничениях на исходные данные для модуляции амплитуды главного члена получается уравнение, все решения которого ограниченные функции медленного времени. Доказана следующая теорема:
Теорема 1.6. Пусть в случае п = 4 правая часть уравнения (0.5) им.еет. амплитуду f и фазовую функцию:
$ = t + фВ*/6, В = еН
со свойствами:
((5/3F<3>(0))2-V(4>(0))#<0.
Тогда амплитуда главного члена асимптотики является, функцией, ограниченной при e~3t —! сю.
При п = 4 оказывается, что авторезонапспый эффект не возникает. Возможно это связано с неправильным выбором медленной переменной в фазе. Другой выбор в в данной работе не обсуждается.
Главы 2-4 посвящены построению и обоснованию асимптотики для авторезопаиса на главной гармонике.
В главе 2 строится формальное асимптотическое решение уравнения (0.1) на временном промежутке, который соответствует начальному этапу авторезонанса. В соответствие с принятой терминологией это разложение называется внутренним. Основной результат этого пункта -
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
6(^(0))7з - ^.(о) > о, т > -6(vm(0)ff_yW(0) > о,
тогда для уравнения (0.1) существует асимптотическое решение в виде ряда
u(t, є) = є1/32Я cos(^> + Ф) + є11'6 ]Г ek/3vk(ip, в, ТІ ехр гФ, т).
Здесь ір = і — 93ф(т)/6, в = e2^t, vk - ограниченные, периодические функции первого аргумента, гладкие по г, полиномы по второму и третьему аргументу. Параметры 71, Ф удовлетворяют усредненным уравнениям и имеют асимптотику при 9 —> оо, определенную выражениями
П = 9Rq(t) + X9~3^Csmri + ЛГ3'4 ^Г^Ч(т/, С, г),
со /г=1
Здесь все функции являются гладкими, периодическими по г/, полиномами по С. Для параметров С, п построена асимптотика при 9 —f со:
C = CoCo(r)+^0-fc/2C7,(r,C0),
*! = 1
П = 0-%(т) + № г*/=Ч(т, С0) + ч«(т) 1пв + гД
к~\
которая содероісит два произвольных параметра С ,if. Построенные ряды является асимптотическим при є —> 0 равномерно по 9 -С е~г^, либо определены при О < т < т0 и являются асгшпт,отическими при в —ї оо равномерно по параметрам. В конструкции асим,птотичесгсого решения присутствуют два произвольных параметра С0//"/0.
Доказательство этого утверждения разбито на несколько подпунктов, теорем и лемм.
В заключение этой главы определяется структура асимптотики при є —ї 0 на далеких временах (во внешней области). Для этого используется асимптотика при в —у оо построенного внутреннего разложения. В пей проводится замена в = є~1'дт и ряд заново перераскладывается при є —ї- 0. Получившееся разложение соответствует ростку формального решения во внешней области. На этом пути, исходя из соображений согласования [33], выясняется, что амплитуда и фаза внешнего разложения в главном являются функциями т, а поправки имеют порядок г7''12 и г1/12 соответственно и осциллируют в масштабе в^Н.
В главе 3 строится формальное асимптотическое решение при є —> О для уравнения (0.1) на далеких временах і ж є-1 (во внешней области). Главный член внешнего разложения W(a,A) представляет собой решение нсвозмущенного уравнения:
w2(A)cPaW + V'(W) =0.
Здесь ио{А) - частота собственных колебаний. Параметр А - полная амплитуда первой основной гармоники колебаний. Асимптотическое решение строится с использованием идей нелинейного метода ВКБ. Результат по внешнему разложению сформулирован в следующем утверждении
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда для уравнения (0.1) cywficmeyem двухпараметрическое семейство асимптотических решений
со оо
Ці, є) = W{a, A)+J2Y1 ekamUba{a, П, A, T).
fc=1 m=0
Здесь а, а определены вьіраоїсепиями:
a = tll + n, a = u{A) - Ф'(т-).
Параметры А, ГЗ определяются выражениями
А = А0(т) 4- 7'12А0С sin в + Ли^12 Yl kfupk(s, С, г),
О = П0(т) + 1/12С cos s 4- 1/12 fe/12xU^ С, г).
Для величин С, s построена асимптотика
C(r,)-CCo(r) + J]^6C7t(r;C0),
71,= 1
5(т, г) = ^-1/2.So(r) + є"1/2 J] єпі**п fa С) + з.
в кот.орой присутствует два произвольных параметра С, з. Все ряды являются асимптотическими при є — 0 равномерно по е-2'3 < t <
Асимптотические последовательности и ряды
Иногда говорят также, что функция /(є) разлагается в асимптотический ряд или имеет, асимптотическое разложение по заданной асимптотической последовательности при є — 0. Чаще будем просто говорить, что /(є) имеет асимптотику (1.2).
Свойство сходимости ряда не имеет никакого отношения к свойству асимптотичности. Для аппроксимации функций обычно интересуются не самим рядом, а конечным отрезком разложения. При этом важна оценка остатка в асимптотическом разложении. Имеет место следующая известная теорема: Теорема 1.1. Если функция имеет асимптотическое разлозісєние по данной асимптотической последовательности, то такое разлоэ/сение единственно. В случае, если коэффициенты рядов зависят от є, то единственность асимптотического разложения отсутствует, в этом легко убедиться рассмотрев следующую функцию sin(i + s(t + 1)). С одной стороны прямое разложение в ряд по целым степеням є дает: ft! sin(i 4- s{t + 1)) = єк sin(i + тгк/2у } , А:=0 с другой стороны, можно написать другое асимптотическое разложение в ряд: sin(i + e{t + 1)) = J єк sin(i + єі + тг/с/2) —. jt=0 В задачах о возмущении по параметру функции, подлежащие разложению, могут зависеть от одной или большого числа независимых переменных, не считая параметра возмущения. Говорят, что функция /(ж,є), где х Є G, 0 є є а разлагается в ряд по асимптотической последовательности {о т{є)}, равномерно по х Є G, при Е — 0 : f{x,e) = 2 н{х)ъ{е), є -» 0, i-i если N ViV 3MN:5N : /(e) -53ОІ ТІ(Є) ъ \ MjvffW+1(e), V 0 є 5N, где MN - коснтанта, не зависящая от х. Как легко убедиться па примере, приведенном выше, для функции sin.(t + el + є) первый ряд является равномерно асимптотическим лишь при С є"1, а второй ряд на промежутке МЕ 1, М = const. С этой точки зрения второй ряд более предпочтителен.
При построении асимптотики решений дифференциальных уравнений в данной работе используется метод многих масштабов. Одни из таких подходов заключается в усреднении исходного уравнения. Формально процедура усреднения является асимптотической заменой неизвестных. Основной целью таких замен являются более простые уравнений на новые переменные. В частности, может оказаться, что система, уравнений для новых переменных является треугольной, либо не содержит быстрых осцилляции. Почти всегда после усреднения оказывается, что новую систему требуется исследовать на более коротком промежутке изменения независимой переменной. В данном параграфе этот метод описан на примере уравнения Ван-дер-Поля. Приведенное изложение следует [6].
В случае нелинейных возмущений точные ответы получить обычно нельзя, однако можно строить асимптотики, которые похожи на (1.3)-(1-4). С нашей точки зрения интерес представляют собой приближения пригодные при t = 0(є 1), поэтому мы стремимся получить формулу типа (1.4).
С физической точки зрения принятие этих условий соответствует выбору в качестве А полной амплитуды первой основной гармоники колебании. После подстановки отрезков рядов (1.6).(1.7) в уравнение (1.5) получим рекуррентную систему уравнений для определения Uj..: и2(д,і,ик + ик) = Fic(: l;,A,r) + 2и)ЬкАсоаф + 2uat,,s mip. (1.8) Здесь Рк(ф,А,т) функции, определяемые предыдущими поправками. Для коэффициентов Uk,a,k;bk можно доказать следующее утверждение: Теорема 1.2. Для любого к существует единственные Пк,Ь } такие, что решения уравнения (1-8) определяются однозначно в классе периодических функций, не содероісащих первую гармонику. Верны, следующие формулы: «2 -i = АР4к„2(А)/ш2к-2, hk-i = О, 2к-\ "«-і = =ї X A2l+ Pi -2i-2(A) sin(2/ + 1) , i=1 (1.9) 0.2k = 0; ; b2k = P4k(A)/u;2k-\ U2k = Х 2(+1р -2;(А)соз(2г + 1) . Здесь Pj(A) различные полиномы по А степени j с постоянными коэффициентами. Построение формального асимптотического решения для уравнения (1.6) свелось к решению системы (1.7). Для этой системы можно легко построить асимптотическое решение в виде ряда по степеням є следующего вида: ф = -1ит + J22k+1M А) + , т - st. fc=0 Здесь А,ф константы интегрирования. В частности, для А0,ф0 получаем следующие уравнения: A Q = А0/2 - А /8, 32-32А1 + 7А WQ 256W Из первого уравнения определяется AQ(T,A0): А0 = ±2 ЄХ Л0,А 0. у схр т + Ли С учетом явного вида А$ решение второго уравнения имеет вид: _ 1п(А + ехрг)-2т 7А 16w ш(Аа + ехр т) Остальные функции также определяются из последовательности линейных дифференциальных уравнений. Выпишем явно главный член асимптотики - выражение, которое содержит все члены порядка единицы формального асимптотического решения: щ = ±2/І ЇГС08( + \+о(є) Y ехр т + А0 \ є J Для выписывание главного члена необходимо определить модуляцию параметров решения невозмущеиного уравнения в главном порядка единицы. В данном случае оказалось, что модуляция фазы начинается со слагаемых порядка є, т.е. не входит в главный член.
Дальнейшее усреднение исходного уравнения
В предыдущем параграфе исследование исходного уравнения свелось к уравнению (2.2). Оно и будет рассматриваться в дальнейшем. Задача об авторезонансе заключается в нахождение растущих решений этого уравнения. Исследование уравнение (2.2) на конечном промежутке 9 [0, в0] не представляет затруднений. При конечных в для решений этого уравнения может быть построена асимптотика при є — 0 в виде ряда с коэффициентами, зависящими от в: Д = JV/%(0). (2.16) После подстановки этого ряда в (2.2) получается рекуррентная система уравнений для Аі.(в): doAQ+ Ao(0 \A0f + 202ф(0)) = lf(Q), (2.17а) доА+ ЦЗ Л02 + в2ф{0)) + %-АфА1 = (2.176) = -1ф (О)0 Ао - \f (0) - AQe2fi(0), (2.17в) двАк+ Ак(Р Ио!2 + в2Ф№) + \АфА\ = Gk{9). (2.17г) Здесь Gk(0) функции, определяемые по предыдущим поправкам. Для первого из этих уравнений доказывается глобальная теорема существования решений. Решения остальных уравнений выписываются в терминах Ай через интегралы.
Основную сложность представляет определение асимптотики функции А при в — со пригодной при 9 «С е-1 3. При исследовании асимптотики коэффициентов ряда (2.16) А {в) при в —V со обнаруживается, что At — 0{В1ллък ). Следовательно область пригодности этого ряда 0в/зо - J Зтой области недостаточно для решения исходной задачи, т.к. исходная постановка задачи подразумевала нахождение решения пригодного при t -С е-1, что соответствует вє1 t. 1. Для построения ряда, пригодного на требуемом промежутке, необходимо усложнить структуру коэффициентов разложения А(в, є) в асимптотический ряд, а именно, ввести зависимость от г в коэффициенты этого ряда, аналогично методу многих масштабов [7j: к-(\ На этом пути можно построить ряд, пригодный для решения поставленной задачи, определить асимптотики коэффициентов при 0 —У оо. Однако этот способ приводит к сложным и запутанным вычислениям. В данной работе предлагается другой путь. Здесь будет построена асимптотика при в — оо растущих решений урезанного уравнения: = у/»іЬ(А,б). (2.18)
Здесь N 0 любое число; функция А зависит от N. однако эта зависимость не будет явно указываться. Предлагается строить асимптотику в виде ряда по обратным степеням в с коэффициентами, зависящимРІ ОТ (?, с. Оказывается, что всю зависимость от є удобнее удерживать в переменной т = єу в. Далее будет определен ряд, который является асимптотическим решением уравнения (2.18) при в — со равномерно по т на некотором конечном промежутке. Обоснование построенной асимптотики может быть проведено способом аналогичным обоснованию асимптотики уравнения главного резонанса [35], которое соответствует уравнению (2.18) при JV = 0.
Для дальнейших построений удобнее выделить множитель, характеризующий порядок роста, решений А(в,є) = вЯ{0,г)єіч т\ (2.19) и свести задачу к поиску двух действительных функций: неубывающей амплитуды - R{B,T) И фазы - Ф(0, т), которые зависят от в,т и не зависят от Е. Для этих функций выписываются свои уравнения. В них самое замечательное то, что є исключается в силу формулы є — т3/(?3. Уравнения на R и Ф имеют вид: Л /З 03/-1 (R, r) + R [в + T j + J2 9-3hh(R, Ф, т) = 0, к=0 Здесь fk,3k гладкие функции, определяемые по виду коэффициентов _Ffc, например: U = \mz + \ф{т)П + тф Н + ...- aNrNRN+\ /о = Щ1 cos Ф + і\т)т2 cos Щс.К2 + с2ф(т)) + ... + rN,U(R, Ф, г), 5о = Л + Ш- вгаФ + r2/(r)2 sin Ф(с3Д2 + С40(т-)) + ... + rNgQN(R, Ф, г). Все остальные функции также, очевидно, являются полиномами по R, зависимость от Ф содержится в тригонометрических функциях. При т — О эти функции ведут себя следующим образом: дк,А = Э{тгк), г-» О, ft L Для системы (2.20) можно построить степенные асимптотики при в — со двух частных решений с неубывающей амплитудой: Теорема 2.2. Пусть /3 0 и выполнены, условия: « о, (,2!) тогда существует, т0 О такое, что при т Є [0,7] для системы уравнений (2.20) существует асимптотическое решение в виде ряда, по обратным степеням 9: R \ _ а гк ( Rkij) s =х - :; 2-22 к=а Коэффициептм і4,Ф& гладкие функции т. Если требовать Ro{r) 0,Фп(т) Є (—тг,7г) при г Є [0, г0], то существует два асилттотических решения в форме рядов (2.22). Доказательство. После подстановки рядов (2.22) в систему (2.20) получим реккурептпую систему для определения коэффициентов Я ,Ф : /-1( 0,7-)=0, (2.23а) ?[)№, Фо,т-)-]-гі% = 0, (2.236) /.--1 i=i} +Fk(r, RQ,..., Rk_u Ф0,..-, Фй_і) = 0, (2-24) ФА 7о№, Фо, г) + RkdRgo(Ro, Ф0, т) + т + -l-G/;(r, Яо,..., ДЙ_1, Фи,..., Wfc_j) = О. Здесь i )., Gj: гладкие функции. Рассмотрим уравнение (2.23а). У этого уравнения при г = 0 суще-ствует единственный положительный корень равный у/—2(/)(0)//5. Так как cW-i(\/—2(/)(0)//3, 0) = 0(0)/2 0, то по теореме о неявной функции у уравнения (2.23а) при т [0, TR] существует единственный простой корень -RQ(T) такой, что Ro(0) = \/—20(0)//3. Так как /_г(й,т) - гладкая функция, то К0 (г) также гладкая функция.
Рассмотрим уравнение (2.236). При г = 0 это уравнение принимает вид: -20(0)/ + sin Ф0 (0)=0. При выполнении условия (2.21) у этого уравнения в промежутке (—7Г, 7г) существует два корня: Фд(0) = —тг + arcsiu(4y/—20(0)//3//) и $1(0) = — arcsin(4\/—20(0)//3//). Также из теоремы о неявной функции следует, что у уравнения (2.236) на отрезке [0, Тф] существует два простых корня фі(т) и Ф(г). В качестве Го можно взять минимум двух чисел TR И T . Если зафиксировать один из корней Фо(т), то построение остальных коэффициентов проводится однозначно, они находятся из линейных алгебраических уравнений (2.24). Теорема доказана.
Для решения задачи о двухпараметрической асимптотике необходимо присутствие- двух произвольных параметров в конструкции асимптотического разложения. В вышеприведенных степенных асимптотиках они отсутствуют. Ниже приводится конструкция асимптотики двух параметрического решения уравнения (2.20). Эти решения находятся в окрестности первой из приводимых выше степенных асимптотик. Вторая из степенных асимптотик описывает неустойчивое решение.
Усреднение в быстрой переменной
Целью данного пункта является переход от исходного к усредненным уравнениям. Для рассматриваемого уравнения (0.1) с: внешней осциллирующей силой существует много решений с двухфазной асимптотикой [19]. В данной работе мы интересуемся однофазными решениями, которые выделяются резонансным условием близости собственной и вынуждающей частоты: (А) — Ф (т) -С 1. В качестве главного члена асимптотического решения берется решение певозмущенного уравнения с медленной деформацией параметров: u&W(a,A), (7 = е_1Ф(7-) + а(і,е), Л = А(і,є). Как видим, структура быстрой фазы а и є-1Ф(т) фиксируется в главном. Переход от исходного уравнения (0.1) к усредненным уравнениям осуществляется посредством замены u{t,e) = U(а, Л,П,т, а,є), т = et, а = и (А) - Ф (т), где Q(t, e),A(t, є) новые неизвестные переменные. Как это делается в похожих задачах {7], замена выбирается не точной, а асимптотической с использованием решения невозмущенного уравнения в качестве главного члена: U(a,й,А,т,є,a) = W{u, A) + YsHekamUkm(a,fi, Аут), є,а -Л 0. к=1 т=а (3.12) В отличие от известных методов [7] предлагаемый анзац содержит разложение по малой величине ш(Л) - Ф (т) = a(t,e) - 0, а - 0, (3.13) которая априори неизвестна, поскольку функцию А(і,є) еще предстоит найти. Такой подход значительно упрощает изложение и позволяет найти эффективные асимптотические формулы.
Здесь и ниже все ряды понимаются как асимптотические; вопрос о сходимости рядов не обсуждается. Целью замены является переход к таким уравнениям для А, П, которые бы не содержали зависимости от быстрой переменной а. Такие уравнения обычно называются усредненными. Они являются аналогами уравнений эйконала и переноса в методах типа ВКБ: со со =и(А)+Е Е msu А т) (3-14а) dt ,,=1 m=0 di со ОС = EEVnD T)- 3-146) k=l m=l)
На первом этапе вычисляются коэффициенты рядов (3.12),(3.14). Дополнительным ограничением является требование периодичности функций Ukm(cr, ГЇ, Л, т) по быстрой переменной (т. Именно это (секулярное) условие, вместе с требованием отсутствия первых гармоник, приводит к однозначному определению коэффициентов рядов (3.12),(3.14). Исходное уравнение для функции и(а,А,1,т,а,є) имеет вид: - + Vl{U)=efcos( r-Sl). (3.15) Здесь надо учитывать, что оператор полной производной по t от функции U выписывается с учетом зависимости от I всех переменных. Рекуррентная система задач для коэффициентов разложения (3.12) Ukm получается обычным образом. Зависимость от быстрой неременной и находится из линейных уравнений: u2%Ukm + V"(W)Ukm = GkmW, А О, г) - 2uSkm&eW -Dkm {u {A)daW + 2wdffdAW), к 1, m 0. l } Функции Gjtm из правых частей вычисляются через предыдущие поправки; например, при А; — 1 они имеют вид: Gio=/(r)cos( 7-fl), GLm - - %Ulim-2 - 2udanUhm-L - dnSi -idrW- (3.17) - dnDUm-,dAW, m l. На. каждом шаге правые части содержат пару коэффициентов 5&,„, Dkm рядов (3.14). Эти коэффициенты определяются одновременно с решениями Ukm из секулярпых условий (3.9),(3.11). Для решений уравнений (3.16) доказывается следующее утверждение: Теорема 3.1. 1) Для исходного уравнения (0.1) существует асимптотическая замена вида (3.12) такая, что усредненные уравнения (3.14) на новые неизвестные A, Q не содсроісит быстрой переменной и. 2) Для решения Ukm и коэффициентов DkmiSkm верно: Ukm Є Al k, Dkm e Л[ к, Skm Є А к. Эти функции гладко зависят, от остальных аргументов; коэффициенты и т являются 27г периодическими по а.
Доказательство, Утверждение теоремы следует из леммы 3.2, если доказать, что Gkm Є Л] к. Такое включение доказывается индукцией по к. Из представления (3.17) видно, что требуемая асимптотика верна при к = 1. Целью данного пункта является редукция усредненных уравнений (3.14) после выделения в них главных членов асимптотики. При построении асимптотики решений для этих уравнений возникает новая переменная є1 Н, которая является медленной по отношению к і и быстрой по отношению К Т = ЄІ. Полученные выше усредненные уравнения (3.14) содержат малый параметр. Из них требуется извлечь асимптотику функций Q(t,e),A(t,e) при г —» 0 на достаточно далеких временах і = Q(E 1). На первый взгляд эти уравнения весьма похожи на уравнения в переменных действие-угол с малым возмущением. Однако, резонансное условие а. = и (А) — Ф (т) — о(1),є — 0 делает непригодным известные подходы [6]. Кроме того, надо иметь в виду, что для функций Л(, є), Q(t. є) известна структура асимптотики при є — 0, которая возникает из требования согласования со внутренним разложением. При получении уравнения (3.21) использовалась явная формула для Dw. Решения этих уравнений берутся в качестве главных членов в (3.19). Для разрешимости полученных алгебраических уравнений необходимы дополнительные условия на исходные данные.
Обоснование асимптотического решения 91 Численные эксперименты
В предыдущих главах доказано существование двухпараметричееко-го семейства авторезонансных решений. Цель данного пункта показать, что такие решения действительно обнаруживаются численно. Кроме того, в численном счете обнаруживаются много решений, которые так и остаются малыми при больших t = 0{є 1).
При решении задачи поставленной в данном параграфе удобнее исследовать задачу Копти не для исходного уравнения (0.1), а для уравнения, описывающего деформацию главного члена в медленной переменной (2.17а). Ранее было показано, что авторезонансные решения соответствуют растущим решениям этого уравнения. После перенормировки зависимой и независимой переменной: А0(в) = У-32 НО)//Ш(0), в=$/2/\фЩд уравнение (2.17а.) можно переписать в виде содержащим один параметр д = /(0) -2/3/0(0)/8, определяемый исходными данными: iB + sign/?(tf2- \В\2)=д. (5.1) Для уравнения (5.1) рассматривается задача Коши с начальным условием в виде В новых переменных условия (2.21) переходят в условие д 1, при выполнение которого для уравнения (5.1) существует двух параметрическое семейство растущих решений. Асимптотика этих решений при 0 — оо можно записать в виде: Л(0) = 0ехр[(г0Фі(1 + о(1))](1 + о(1)), і-юо, Фг= const.
При д 1, а именно при д = 2, п = 2, в результате численного счета получена область начальных данных, изображенная на рис.5.3. На рис,5.3 начальные данные, соответствующие растущему решению, отмечены точкой. На рис.5.4 слева показана область в увеличенном масштабе, рисунок справа соответствует окрестности нуля. Рис.5.5 слева соответствует окрестности пуля при д = 1.5, справа - при д = 3.
Представляет также интерес развитие области растущих решений при изменении начального момента времени. Для этого исследуется задача о поведении области растущих решений с течением времени. Результаты отражены на рисунках 5.6-5.9.
Пока у автора нет строгих математических обоснований полученный результатов. Существуют только формальные рассуждения, связанные со структурой фазового портрета у системы (5.1). Под фазовым портретом в данном случае понимается фазовый портрет системы с замороженным временем. При построениях численного решения уравнения (5.1) использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности с постоянным шагом [45]. Возникновение в асимптотике решения степеней параметра є кратных 1/12 кажется необычным. Область авторезонаысных данных д = 2,i0 = 3 и t0 = 5. численного эксперимента, показать, что добавка к А является величиной порядка є7 2. Был проведем численный эксперимент для задачи Коши: и + sin и = єfa cos f - - ) , и(0) - u (0) = О при различных значениях є, /0 = const. В качестве Ф(т) использовалось непрерывная функция со следующей производной: = Г (m + охр( ,V(1 - )/(т + 1), 0 г 1, L 7Іт + 1), Т" 1 Это гладкая на всей положительной полуоси функция. При различных значениях є была определена амплитуда колебаний функции А и было показано, что она приблизительно имеет порядок є7/12, что полностью совпадает с теоретическими выкладками данной работы. Рассмотрим поведение асимптотического решения при т 1, когда частота внешнего возмущения становится константой. Во-первых, из уравнений (3.20),(3.21) определяется А0(т) = А0 = const, sinS20(r) = 0. 103 Во-вторых, в этом случае функция PQ(T,C) = 0, т 1. Следовательно, при г 1 для амплитуды первой гармоники имеем: A = A0(T)+e7/12Csms + 0(є 12) = Аа + є 12САsins + 0(є и),т 1. Здесь Сл константа, не зависящая от е. Однако, вместо величины А при численном счете удобнее отслеживать энергию Е (3.6) на решениях возмущенного уравнения. Для нее верно: Е= ( \ +1-соаи{і) = Е(А)+є7/12Е (А0)САвш8 + О{єУ12),т 1. В процессе численного эксперимента определена зависимость энергии Е от медленного времени т, например, при /о = 8, m 10, є — 0,001 и є = 0.0001 она приведена на рис.5.10. 0.8-г Рис. 5.10: Зависимость энергии от времени. Из графика видно, что действительно при т 1 энергия стабилизировалось и колеблется около некоторой уровня. Можно оцепить амплитуду колебаний Ас = є7 2Е {А)Сл. В таб лице 1 содержатся результаты расчетов при различных е.
