Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейная периодическая задача оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния 19
1.1. Постановка задачи 20
1.2. Формализм прямой схемы 20
1.3. Оценки приближенного решения 36
1.4. Пример 53
Глава 2 Линейно-квадратичная периодическая задача оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества 69
2.1. Постановка задачи 69
2.2. Формализм прямой схемы 71
2.3. Оценки приближенного решения 78
2,4. Невозрастание значений минимизируемого функционала 86
2.5. Пример 90
Глава 3. Асимптотика решения периодической задачи для матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати 104
3.1. Постановка задачи 104
3.2. Алгоритм построения асимптотики решения 105
3.3. Оценка остаточного члена 115
3.4. Пример 123
Литература 131
- Формализм прямой схемы
- Оценки приближенного решения
- Невозрастание значений минимизируемого функционала
- Алгоритм построения асимптотики решения
Введение к работе
Аюуальность темы. Сингулярно возмущенные уравнения привлекают внимание многих математиков, что объясняется их большой прикладной значимостью. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике. Сингулярно возмущенным задачам посвящены работы Тихонова АН., ВишикаМЛ, ЛюстерникаЛА, Васильевой АБ., Ломова СА, КугузоваВ.Ф., ВазоваВ., ИлыгнаАМ. идр. Если решение сингулярно возмущенного уравнения удовлетворяет условиям периодичности, то возникают сингулярно возмущенные периодические задачи. Такие задачи рассматривались Васильевой АБ., Волком KM., Flatto L, Levinson'oM N., Аносовым ДВ., Rang'oM ЕЛ., Борисовичем ЮГ. и др.
В работе Васильевой АБ. "Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных" (Успехи математических щук -1963. - Т. 18. - Вып. 3. - С. 5-86) были рассмотрены периодические задачи для сингулярно возмущенных систем, для которых при некоторых условиях построено асимптотическое разложение решения в виде ряда по степеням малого параметра.
Обычно методы теории сингулярных возмущений применяются в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению задач, вытекающих из необходимых или достаточных условий оптимальности управления. Однако при этом не учитывается вариационная природа исходной постановки задачи и неясен вариационный смысл асимптотических приближений.
В работах Белокопытова СВ. и Дмитриева МГ. (Systems and Control Letters. -1986. -V. 8. -P. 129-135; Автоматика и телемеханика. -1989. -№ 7. - С. 71-82) рассматривается, так называемая, прямая схема применения метода пограничных функций Васильевой АБ., которая связана с прямой подстановкой постулируемого асимптотического разложения решения в условия задачи без перехода к необходимым условиям оптимальности управления, построением серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотического разложения и оценкой близости построенного приближенного решения к точному решению задачи.
Важный класс задач оптимизации представляют задачи управления линейными объектами, в которых уравнение состояния имеет вид
АЛЪНАя] ЕКА 1
|Ht))-C(t>(t)+DfclUU —, О)
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ| 3 БИБЛИОТЕКА
С.Пгг*р*ур
где оператор F в общем случае не является обратимым. Не разрешенные относительно производной системы вида (1) носят в литературе название дескрипторных, вырожденных или сингулярных, систем обобщенного пространства состояний, систем полусостояния, дифференциально-алгебраических, неявных и обобщенных линейных систем. Такие системы встречаются, например, в экономике (уравнение межотраслевого баланса, модель Леонтьева), в теории электронных схем,- в задачах управления.
Задачи управления с уравнением состояния вида (1) представляют интерес в теории сингулярных возмущений в случае, когда F = F0 + eFj , где оператор F0 вырожден, a F0 +sFj обратим п рЄі б,а к как при пренебрежении малым параметром дифффенциальный порядок модели понижается, и возникают вопросы о существовании оптимального управления в вырожденной задаче и о корректности пренебрежения в смысле близости решений возмущенной и невозмущенной задач. Также представляет интерес построение асимптотического разложения решения возмущенной задачи.
Краткая характеристика работ, касающихся задач управления с уравнением состояния вида (1), приведена в статье Куриной ГА "Сингулярные возмущения задач -управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной (обзор)" (Техническаякибернетика. -1992. -№4. -С. 20-48).
Другой вид сингулярно возмущенных задач появляется при рассмотрении минимизации функционала
J = l}(x'(t)W(t)x(t)+U'(t)l(t,S>i(t))dt ' (2)
на траекториях уравнения для х путем выбора управления u(t). Матрица R(t,s) в (2) при Є > 0 обратима, а при Е = 0 вырождена В этом случае при є = 0 управление является особым в смысле принципа максимума Понтрягина.
В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, приходят к исследованию уравнений, в которых матрица А + еВ, стоящая перед производной, имеет вид diag (І,єІ), где I-единичная матрица. На практике встречаются задачи с более сложной структурой оператора А+бВ . Асимптотики решений различных классов матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление были построены ранее в работах ГА Куриной
путем построения асимптотики решений двуточечных краевых задач, получаемых из принципа максимума Понтрягина.
Задачи оптимального управления периодическими движениями возникают в механике, теории регулирования, химической технологии, кардиологии и многих других приложениях Они обладают целым рядом особенностей и представляют большой теоретический и прикладной интерес. Обзор работ, посвященных изучению условий оптимальности управления в таких задачах, приведен в статьях Тонкова ЕЛ. (Оптимальные периодические движения управляемой системы // Математическая физика. Киев. - 1977. - Вып. 21. - С. 45-59; Оптимальное управление периодическими движениями//Математическая физика. Киев. - 1977. - Вып. 22. - С. 54-64; Некоторые вопросы управления периодическими движениями // Динамика управляемых систем. -Новосибирск: Наука, 1979. - С. 286-293).
Сингулярно возмущенные периодические задачи оптимального управления изучались Дмитриевым МГ., Мурадовой Н.Д., Яньшиным ВЦ, Соболевым В А, Жариковой Е.Н.
Хорошо известно, что при отыскании оптимального управления для периодической линейно-квадратичной задачи в форме обратной связи возникает необходимость отыскания периодического решения матричного уравнения Риккати. Если уравнение состояния сингулярно возмущенное, то соответствующее уравнение Риккати будет также сингулярно возмущенным. Поэтому представляет интерес построение асимптотики периодического решения сингулярно возмущенного матричного уравнения Риккати.
Цель работы. Целью диссертационной работы является развитие и обоснование прямой схемы построения асимптотики решения, получение оценок близости приближенного решения к точному по управлению, траектории и функционалу, установление невозрастания значений минимизируемого функционала при использовании асимптотического приближения оптимального управления высшего порядка для нелинейных периодических задач оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния и для линейно-квадратичных периодических задач с матричным сингулярным возмущением в критерии качества, а также построение асимптотического разложения периодического решения матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати с периодическими коэффициентами.
Методы исследования. В работе применяются методы теории оптимального
управления, дифференциальных уравнений и асимптотической теории сингулярно
возмущенных уравнений.
Научная новизна работы определяется следующими основными результатами: построена асимптотика решения нелинейной периодической задачи оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния, установлены условия, обеспечивающие при достаточно малых значениях параметра существование решения возмущенной задачи и оценки близости построенного приближенного решения к точному по управлению, траектории и функционалу, доказано свойство невозрастания значений минимизируемого функционала с каждым новым асимптотическим приближением оптимального управления; построена асимптотика решения линейно-квадратичной периодической задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества, получены оценки близости точного решения к приближенному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании новых членов построенного асимптотического разложения оптимальпого управления; построена асимптотика периодического решения для матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати, возникающего при отыскании оптимального управления в форме обратной связи для линейно-квадратичной периодической задачи с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния.
Практическая и теоретическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при построении схем приближенной декомпозиции матрично сингулярно возмущенных периодических задач оптимального управления; при исследовании задач математической экономики и теории цепей, а также для развития соответствующих численных методов, когда в качестве начальных приближений берутся найденные в работе асимптотические разложения.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII Крымской осенней математической школе-симпозиуме (Симферополь, 1996г.), на Международной конференции женщин-математиков "Математика. Экономика" (Ростов-на-Дону, 1997г.), на Международной конференции. IFAC "Singular solutions and perturbations in control systems" (Переславль-Залесский, 1997г.), на конференции по функциональному анализу и уравнениям математической физики, посвященной 80-ти летаю Крейна С.Г. (Воронеж, 1997г.), на Международной конференции "Математика. Обрячовяние- Экология/ Тендерные проблемы." (Воронеж. 2003г.), на Воронежской весенней математической школе ТТонтрягинские чтения XV" (май 2004г.), на семинаре под руководством Крейна СР. в Воронежской лесотехнической академии, на ежегодных научных сессиях ВГУ и ВГЛТА, на семинаре под руководством
Куриной ГЛ. и ЗадорожнегоВГ.
Проведенные в работе исследования выполнялись при частичной поддержке РФФИ (проекты 99-01-00968,02-01-00351).
Публикации. Основные результаты опубликованы в восьми работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах соавтору принадлежат постановки задач и схемы доказательств теорем.
Объем и структура работы. Диссертация содержит 140 страниц печатного текста и состоит из введения, трех глав и библиографического списка, включающего 78 наименований литературных источников.
Формализм прямой схемы
Для построения асимптотики решения задачи (1.1) — (1-3) будем использовать прямую схему, которая заключается в подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и построении серии задач оптимального управления, решениями которых являются члены асимптотического разложения. Решение задачи Рє будем искать в виде Подставляя разложение (2.1) в (1.2), (1.3), раскладывая правую часть в (1.2) в ряд по степеням є и приравнивая в полученных выражениях коэффициенты при одинаковых степенях є, получаем соотношения для членов разложения (2 Л): Черта сверху здесь и далее будет означать, что значения функций и их произв соотношению Доказательство. Если u0(t), x0(t), является решением задачи Р0, то u(t)=u0(t), y(t)=(l-P)x0(t) является решением задачи Р. При этом выполняются соотношения (2.10) - (2.13). Введем обозначение Отсюда имеем Из последних двух выражений вытекает равенство Найдем —. P)J. Находим производную Фу неявной функции Ф путем дифференцирования равенства (2.9) с учетом условия 3. Ну, Фу и соотношения (2.19), (2.18), из уравнения (2.13) получим равенство Из этого выражения и из (2.20) вытекает, что iy0, определенное формулой (2.17), является решением уравнения (2.15). Из (2.13) также следует, что Vo(0 удовлетворяет условию Т- периодичности (2.16). Используя функцию \/о(0» определенную формулой (2.17), преобразуем выражение для —. Для этого сначала путем дифференцирования равенства ди (2.9) при условии 3 находим производную Фц неявной функции Ф. Тогда с учетом (2.19), (2.18), (2.12) имеем ч-1 Получили, что выполняется доказываемое равенство (2.14). Предложение 2.2 доказано. Теперь преобразуем коэффициент J из (2.6). Используя выражение для Fx, полученное из (2.15), выражение для Fa, полученное из (2.14), формулу интегрирования по частям, а также соотношения (2.4), (2.16), (2.3) при j = l, находим Итак, коэффициент J2 зависит от решения задачи Р0 и от u t), x t), причем он является квадратичным по ult хІР При достаточно малых є 0 для решения задачи Рє из принципа максимума
Понтрягина вытекает равенство да где гамильтониан Н задается формулой сопряженная переменная q = cp(t) является решением задачи Если сделать замену y(t) = (A + eB ) cp(t), то из предыдущих соотношений и из (1.2), (1.3) следует, что решение задачи Ре будет удовлетворять равенствам Подставим в (2.21) - (2.23) вместо x(t) и u(t) их разложения (2.1), а вместо vj/(t) разложение Разложим в ряд по степеням одных вычисляются при х = x0(t), u = u0(t), є = 0. Волна сверху будет означать, что значения функций и их производных вычисляются при Подставляя (2.1)в(1.1)и раскладывая функцию F в ряд по степеням є, получаем разложение функционала Je(u) y(t) =ImA , u(t)eU. Допустим, что выполнено условие 2. Задача Р имеет единственное решение, определяемое из условия где Н - гамильтониан для задачи Р, сопряженная переменная \]7 = \j/(t) является решением задачи Предложение 2.1. Дрм условиях 1, 2 задача Р0 имеет единственное решение. В справедливости этого утверждения легко убедиться, если положить u0(t) = u(t), x0(t)= I (y(t),u(t)u)+ y(t), где u(t), y(t) -решение задачи P. В дополнение к условиям 1, 2 предположим, что выполнено условие 3. При всех te[0,T] оператор QfxP:KerA- KerA имеет обратный (QfxP)_1;KerA - KerA. Предложение 2.2. При условиях 1 — 3 оптимальное управление для задачи Р0 удовлетворяет соотношению Доказательство. Если u0(t), x0(t), является решением задачи Р0, то u(t)=u0(t), y(t)=(l-P)x0(t) является решением задачи Р. При этом выполняются соотношения (2.10) - (2.13). Введем обозначение Отсюда имеем Из последних двух выражений вытекает равенство Найдем —. P)J. Находим производную Фу неявной функции Ф путем дифференцирования равенства (2.9) с учетом условия 3. Ну, Фу и соотношения (2.19), (2.18), из уравнения (2.13) получим равенство Из этого выражения и из (2.20) вытекает, что iy0, определенное формулой (2.17), является решением уравнения (2.15). Из (2.13) также следует, что Vo(0 удовлетворяет условию Т- периодичности (2.16). Используя функцию \/о(0» определенную формулой (2.17), преобразуем выражение для —. Для этого сначала путем дифференцирования равенства ди (2.9) при условии 3 находим производную Фц неявной функции Ф. Тогда с учетом (2.19), (2.18), (2.12) имеем ч-1 Получили, что выполняется доказываемое равенство (2.14). Предложение 2.2 доказано. Теперь преобразуем коэффициент J из (2.6). Используя выражение для Fx, полученное из (2.15), выражение для Fa, полученное из (2.14), формулу интегрирования по частям, а также соотношения (2.4), (2.16), (2.3) при j = l, находим Итак, коэффициент J2 зависит от решения задачи Р0 и от u t), x t), причем он является квадратичным по ult хІР При достаточно малых є 0 для решения задачи Рє из принципа максимума Понтрягина вытекает равенство да где гамильтониан Н задается формулой сопряженная переменная q = cp(t) является решением задачи Если сделать замену y(t) = (A + eB ) cp(t), то из предыдущих соотношений и из (1.2), (1.3) следует, что решение задачи Ре будет удовлетворять равенствам Подставим в (2.21) - (2.23) вместо x(t) и u(t) их разложения (2.1), а вместо vj/(t) разложение Разложим в ряд по степеням є правые части уравнений и приравняем коэффициенты при нулевой степени е. Получим равенства (2.7), (2.8), (2.15), (2.16),(2.14).
Оценки приближенного решения
Предположим, что найдены решения задач Р : функции Vj(t), Xj(t), j = 0,n. Введем обозначения где матрицы V3(t,e), V4(t,e) легко записать в явном виде. Несложно убедиться в том, что V3(t,0) совпадает с матрицей, стоящей при неизвестных в системе (2.8), (2.9), которая при условии II имеет единственное Т- периодическое решение. Поэтому Т- периодическое решение уравнения (3.6) удовлетворяет равенству где Z(t,s) - функция Грина, определяемая системой (2.8), (2.9). Учитывая вид функции Грина, разбиение отрезка [0,Т] на два отрезка [0, t] и [t,T], формулу интегрирования по частям и Т- периодичность PAx(t), QA\y(t), из последнего соотношения получаем Оператор, стоящий перед неизвестной в последнем уравнении, является положительно гамильтоновым. Значит» он не имеет точек спектра, лежащих на мнимой оси (см., например, [37]). Поэтому существует (см. [1]) Т- периодический непрерывно дифференцируемый на отрезке [0, Т] обратимый оператор S(t): Ker A + Ker А - Ker А + Кег А такой, что В силу оценок (3.14), (3.15) Т- периодические решения уравнений (3.12), (3.13) можно записать в виде (см., например, [58]) Итак, для определения (I-P)Ax(t), (I-P)Arj(t), co t), o2(t) имеем систему интегральных уравнений (3.7), (3.16), (3.17) (входящие в правую часть уравнения (3.7) функции Дх, Ai/ выражаются через (І-Р)Дх, (І-Р)Дті, coj, (о2). С помощью пришщпа сжимающих отображений доказывается существование единственного решения этой системы уравнений, причем норм Р : функции Vj(t), Xj(t), j = 0,n. Введем обозначения где матрицы V3(t,e), V4(t,e) легко записать в явном виде. Несложно убедиться в том, что V3(t,0) совпадает с матрицей, стоящей при неизвестных в системе (2.8), (2.9), которая при условии II имеет единственное Т- периодическое решение. Поэтому Т- периодическое решение уравнения (3.6) удовлетворяет равенству где Z(t,s) - функция Грина, определяемая системой (2.8), (2.9). Учитывая вид функции Грина, разбиение отрезка [0,Т] на два отрезка [0, t] и [t,T], формулу интегрирования по частям и Т- периодичность PAx(t), QA\y(t), из последнего соотношения получаем Оператор, стоящий перед неизвестной в последнем уравнении, является положительно гамильтоновым. Значит» он не имеет точек спектра, лежащих на мнимой оси (см., например, [37]). Поэтому существует (см. [1]) Т- периодический непрерывно дифференцируемый на отрезке [0, Т] обратимый оператор S(t): Ker A + Ker А - Ker А + Кег А такой, что В силу оценок (3.14), (3.15) Т- периодические решения уравнений (3.12), (3.13) можно записать в виде (см., например, [58]) Итак, для определения (I-P)Ax(t), (I-P)Arj(t), co t), o2(t) имеем систему интегральных уравнений (3.7), (3.16), (3.17) (входящие в правую часть уравнения (3.7) функции Дх, Ai/ выражаются через (І-Р)Дх, (І-Р)Дті, coj, (о2). С помощью пришщпа сжимающих отображений доказывается существование единственного решения этой системы уравнений, причем норма этого решения в пространстве С[0,Т] не превосходит сєп+1, где постоянная с не зависит от Б . Обозначим через х (t), v (t) -решение задачи (1.5) - (1.7), через \j/(t)-сопряженную переменную из принципа максимума Понтрягина для этой за-дачи (то есть х (t), v (t), \j/(t) - решение задачи (2.13) - (2.15)).
Пусть u (t)-оптимальное управление для задачи (1.1)-(1.3), то есть u (t) = = (А + єВ) v (t). Несложно доказывается следующая Лемма 3.1. Для произвольного управления u(t) и соответствующей Т -периодической траектории x(t) имеет место тождество постоянная с не зависит от є. Замечание 3.1. Используя vn в выражении для їїп, можно обеспечить, вообще говоря, при условии Ш только точность порядка єп_р, поэтому разложение (А + єВ) по степеням е нужно записывать только до членов порядка еп р включительно. Легко видеть, что задача (1.6), (1.7) при фиксированном управлении v(t) и е = 0 не является однозначно разрешимой. Поэтому будем использовать управление в форме обратной связи следующего вида а этого решения в пространстве С[0,Т] не превосходит сєп+1, где постоянная с не зависит от Б . Обозначим через х (t), v (t) -решение задачи (1.5) - (1.7), через \j/(t)-сопряженную переменную из принципа максимума Понтрягина для этой за-дачи (то есть х (t), v (t), \j/(t) - решение задачи (2.13) - (2.15)). Пусть u (t)-оптимальное управление для задачи (1.1)-(1.3), то есть u (t) = = (А + єВ) v (t). Несложно доказывается следующая Лемма 3.1. Для произвольного управления u(t) и соответствующей Т -периодической траектории x(t) имеет место тождество постоянная с не зависит от є. Замечание 3.1. Используя vn в выражении для їїп, можно обеспечить, вообще говоря, при условии Ш только точность порядка єп_р, поэтому разложение (А + єВ) по степеням е нужно записывать только до членов порядка еп р включительно. Легко видеть, что задача (1.6), (1.7) при фиксированном управлении v(t) и е = 0 не является однозначно разрешимой. Поэтому будем использовать управление в форме обратной связи следующего вида
Невозрастание значений минимизируемого функционала
Теория сингулярных возмущении начала интенсивно развиваться после опубликования известных работ Тихонова А.Н. [46], [47]. Она привлекает внимание многих математиков, что объясняется ее большой прикладной значимостью. Сингулярно возмущенные уравнения выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике. Если решения этих уравнений удовлетворяют условиям периодичности, то возникают сингулярно возмущенные периодические задачи. Сингулярно возмущенным задачам посвящены работы [7, 9, 10, 11, 13, 14, 41, 46,47]. Сингулярно возмущенные периодические задачи рассматривались Васильевой А.Б. [9], Аносовым Д.В. [2], Борисовичем Ю.Г. [4], Волком И.М. [15-17], Flatto L., Levinson oM N. [58], Rang ом E.R. [68]. В работах [2], [58] при некоторых условиях доказано существование периодических решений сингулярно возмущенных систем, если вырожденная система имеет периодическое решение. Вопрос построения асимптотики решения в этих работах не рассматривался. Результаты работы [58] обобщены на случай банахова пространства в работе Борисовича Ю.Г. [4]. В работе [9] были рассмотрены периодические задачи для сингулярно возмущенных систем, для которых при некоторых условиях построено асимптотическое разложение решения в виде ряда по степеням малого параметра. Методы теории сингулярных возмущений могут успешно применяться для приближенного решения задач оптимального управления, обоснования приближенной декомпозиции, определения структуры особых и импульсных управлений. Литература, посвященная исследованию сингулярно возмущенных задач оптимального управления, насчитывает сотни наименований (см., например, [64,63,12,69,33, 26]). Обычно методы теории сингулярных возмущений применяются в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению задач, вытекающих из необходимых или достаточных условий оптимальности управления. Однако при этом не учитывается вариационная природа исходной постановки задачи и неясен вариационный смысл асимптотических приближений.
В работах [3, 54] рассматривается, так называемая, прямая схема применения метода пограничных функций Васильевой А.Б. [10, 11], которой не присущи те недостатки, которые перечислены выше. Основная идея прямой схемы связана с прямой подстановкой постулируемого асимптотического разложения решения в условия задачи без перехода к необходимым условиям оптимальности управления, построением серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотического разложения и оценкой близости построенного приближенного решения к точному решению задачи. Важный класс задач оптимизации представляют задачи управления линейными объектами, в которых уравнение состояния имеет вид где оператор F в общем случае не является обратимым. Не разрешенные относительно производной системы вида (0.1) носят в литературе название де-скрипторных (descriptor), вырожденных или сингулярных, систем обобщенного пространства состояний (generalized state-space systems), систем полусостояния (semistate), дифференциально-алгебраических (differential-algebraic), неявных (implicit) и обобщенных линейных систем. Такие системы встреча ются в экономике (уравнение межотраслевого баланса, модель Леонтьева) [45, 57, 70] в теории электронных схем [24, 53, 57], в задачах управления [5, 57]. Другие многочисленные примеры, в которых возникают такие уравнения, приведены в [5,52,6,66]. Обзор работ, касающихся задач управления с уравнением состояния вида (0.1), приведен в [65], [33]. Задачи управления с уравнением состояния вида (0.1) представляют интерес в теории сингулярных возмущений в случае, когда F = F0 + eFj, где оператор F0 вырожден, a F0 + eFt обратим при є Ф 0, так как при пренебрежении малым параметром дифференциальный порядок модели понижается и возникает вопрос о корректности пренебрежения в смысле близости решений возмущенной и невозмущенной задач. Также представляет интерес построение асимптотического разложения решения возмущенной задачи. Другой вид сингулярно возмущенных задач появляется при рассмотрении минимизации функционала R на траекториях уравнения для х путем выбора управления u(t). Матрица 1,є)в(0.2) при є 0 обратима, а при є = 0 вырождена. В этом случае при є = 0 управление является особым в смысле принципа максимума Понтряги-на. В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, приходят к исследованию уравнений, в которых матрица А+ єВ, стоящая перед производной, имеет вид diag (І, єі), где I - единичная матрица. На практике встречаются задачи с более сложной структурой оператора А + ЕВ (см., например, пример электрической цепи из [32]). Асимптотики решений различных классов матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управле
Алгоритм построения асимптотики решения
Другой вид сингулярно возмущенных задач появляется при рассмотрении минимизации функционала R на траекториях уравнения для х путем выбора управления u(t). Матрица 1,є)в(0.2) при є 0 обратима, а при є = 0 вырождена. В этом случае при є = 0 управление является особым в смысле принципа максимума Понтряги-на. В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, приходят к исследованию уравнений, в которых матрица А+ єВ, стоящая перед производной, имеет вид diag (І, єі), где I - единичная матрица. На практике встречаются задачи с более сложной структурой оператора А + ЕВ (см., например, пример электрической цепи из [32]). Асимптотики решений различных классов матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управле ния в случае отсутствия ограничений на управление были построены ранее в работах Куриной ГА. путем построения асимптотики решений двухточечных краевых задач, получаемых из принципа максимума Понтрягина (см., например, [33], [34]). Задачи оптимального управления периодическими движениями возникают в механике, теории регулирования, химической технологии, кардиологии и многих других приложениях. Они обладают целым рядом особенностей и представляют большой теоретический и прикладной интерес. Обзор работ, посвященных изучению условий оптимальности управления в таких задачах приведен в [48,49, 50]. Сингулярно возмущенные периодические задачи оптимального управления изучались Дмитриевым М.Г. [19], Дмитриевым MX. и Мурадовой Н.Д. [21], Мурадовой Н.Д. [43], [44], Дмитриевым М.Г.и Яныниным В.Н. [22], Соболевым В.А. и Жариковой Е.Н. [23]. Хорошо известно, что при отыскании оптимального управления для периодической линейно-квадратичной задачи в форме обратной связи возникает необходимость отыскания периодического решения матричного уравнения Риккати. Если уравнение состояния сингулярно возмущенное, то соответствующее уравнение Риккати будет также сингулярно возмущенным. Поэтому представляет интерес построение асимптотики периодического решения сингулярно возмущенного матричного уравнения Риккати. В работах [19], [21], [43], [44] о периодическими движениями возникают в механике, теории регулирования, химической технологии, кардиологии и многих других приложениях. Они обладают целым рядом особенностей и представляют большой теоретический и прикладной интерес. Обзор работ, посвященных изучению условий оптимальности управления в таких задачах приведен в [48,49, 50]. Сингулярно возмущенные периодические задачи оптимального управления изучались Дмитриевым М.Г. [19], Дмитриевым MX. и Мурадовой Н.Д. [21], Мурадовой Н.Д. [43], [44], Дмитриевым М.Г.и Яныниным В.Н. [22], Соболевым В.А. и Жариковой Е.Н. [23]. Хорошо известно, что при отыскании оптимального управления для периодической линейно-квадратичной задачи в форме обратной связи возникает необходимость отыскания периодического решения матричного уравнения Риккати. Если уравнение состояния сингулярно возмущенное, то соответствующее уравнение Риккати будет также сингулярно возмущенным.
Поэтому представляет интерес построение асимптотики периодического решения сингулярно возмущенного матричного уравнения Риккати. В работах [19], [21], [43], [44] обоснована идеализация математических моделей некоторых классов линейно-квадратичных периодических задач оптимального управления, приводящих к исследованию уравнений с оператором вида diag (І,ЄІ) при производной, построено асимптотическое приближение к решению периодической задачи оптимального управления путем построения асимптотического решения периодического уравнения Риккати. В [44] также произведена регуляризация нелинейной периодической задачи со скалярным управлением, особым в смысле принципа максимума. Установлены условия предельного перехода по параметру в регуляризованной задаче. В [22] рассмотрена нелинейная периодическая задача оптимального управления для системы с малым параметром при части производных. Построено асимптотическое приближение к экстремали задачи и доказано, что предел экстремали возмущенной задачи является экстремалью задачи меньшей размерности. Заметим, что в этой работе было построено только два первых члена асимптотического разложения решения. Прямая схема для построения и получения асимптотических оценок не использовалась. В работе Соболева В. А. и Жариковой Е.Н. [23], посвященной асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных периодических задач управления в линейно-квадратичной постановке, использован оригинальный метод сведения периодической задачи для сингулярно возмущенного матричного уравнения Риккати к начальной задаче для матричного уравнения боснована идеализация математических моделей некоторых классов линейно-квадратичных периодических задач оптимального управления, приводящих к исследованию уравнений с оператором вида diag (І,ЄІ) при производной, построено асимптотическое приближение к решению периодической задачи оптимального управления путем построения асимптотического решения периодического уравнения Риккати. В [44] также произведена регуляризация нелинейной периодической задачи со скалярным управлением, особым в смысле принципа максимума. Установлены условия предельного перехода по параметру в регуляризованной задаче. В [22] рассмотрена нелинейная периодическая задача оптимального управления для системы с малым параметром при части производных. Построено асимптотическое приближение к экстремали задачи и доказано, что предел экстремали возмущенной задачи является экстремалью задачи меньшей размерности. Заметим, что в этой работе было построено только два первых члена асимптотического разложения решения. Прямая схема для построения и получения асимптотических оценок не использовалась. В работе Соболева В. А. и Жариковой Е.Н. [23], посвященной асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных периодических задач управления в линейно-квадратичной постановке, использован оригинальный метод сведения периодической задачи для сингулярно возмущенного матричного уравнения Риккати к начальной задаче для матричного уравнения меньшей размерности без сингулярных возмущений. Настоящая работа посвящена исследованию периодических задач оптимального управления, приводящих к уравнению с оператором при производной, мало отличающимся от вырожденного. Целью диссертационной работы является развитие и обоснование прямой схемы построения асимптотики решения, получение оценок близости приближенного решения к точному по управлению, траектории и функционалу, установление невозрастания значений минимизируемого функционала при использовании асимптотического приближения оптимального управления высшего порядка для нелинейных периодических задач оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния и для линейно-квадратичных периодических задач с матричным сингулярным
