Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Испытания на одноосное растяжение образцов артерий 41
1.1. Методика исследования 41
1.2. Данные трупного материала 44
1.3. Обработка и анализ результатов 48
ГЛАВА 2. Постановки задач о течении крови в артериях. получение параметров гиперупругой модели 66
2.1. Задача о течении крови в артериях с жесткими стенками 66
2.2. Задача о течении крови в моделях артерий с гибкими стенками 69
2.3. Получение параметров гиперупругой модели 73
2.4. Алгоритм получения констант с использование системы компьютерной алгебры Matlab 78
ГЛАВА 3. Конечно-элементное моделирование 80
3.1. Метод конечных элементов 80
3.2. Этапы конечно-элементного моделирования 82
3.3. Создание вычислительной сетки 83
3.4. Вычислительная сетка плоских моделей мозговых артерий 87
3.5. Вычислительная сетка трехмерных моделей отдельных мозговых артерий и замкнутого виллизиевого круга 90
3.6. Результаты численных экспериментов. Плоские модели артерий с жесткими стенками 94
3.7. Результаты численных экспериментов. Трехмерные модели артерий с жесткими стенками 106
3.8. Результаты численных экспериментов. Трехмерная модель бифуркации базилярной артерии без аневризмы с гибкими стенками 112
3.9. Результаты численных экспериментов. Трехмерная модель бифуркации передних мозговых и передней соединительной артерий 117
3.10. Результаты численных экспериментов. Трехмерная модель замкнутого виллизиевого круга 118
3.11. Результаты численных экспериментов. Плоская и трехмерная модели локально ослабленной стенки артерии 122
Список использованной литературы 127
- Задача о течении крови в моделях артерий с гибкими стенками
- Алгоритм получения констант с использование системы компьютерной алгебры Matlab
- Создание вычислительной сетки
- Результаты численных экспериментов. Трехмерные модели артерий с жесткими стенками
Введение к работе
Основными причинами смертности населения на территории России по данным портала statistika.ru [41] являются заболевания системы кровообращения. В 2006 году смертность от болезней сердечнососудистой системы составила 900 человек на 100 тыс. населения, что в 4.5 раза превысило смертность от новообразований (200 человек на 100 тыс. населения).
Наиболее актуально данный вопрос стоит применительно к группе заболеваний, не имеющих яркой клинической картины при стабильном течении, но быстро приводящих к драматическим последствиям при развитии осложнений. Осложнения часто развиваются без симптомов «предшественников», то есть временного промежутка при подозрении на начало развития осложненного течения нет, а, следовательно, у клиницистов нет резерва времени для предотвращения последствий-наступившей катастрофы. Подобное клиническое течение типично для сосудистых заболеваний не окклюзирующего характера и, в первую очередь, для аневризм магистральных и периферических сосудов.
По данным А.В. Покровского [30, 29] в России инсульт головного мозга как финал заболеваний сосудов, кровоснабжающих головной мозг, устойчиво занимает второе место по летальности после инфаркта миокарда. Принято различать ишемический и геморрагический инсульты, отличающиеся по патогенезу развития повреждения головного мозга. Ишемический инсульт характеризуется, в первую очередь, повреждением вещества головного мозга вследствие уменьшения притока крови. Геморрагический инсульт характеризуется повреждением вещества головного мозга вследствие излияния крови в вещество мозга.
Кровоснабжение головного мозга осуществляется двумя парами магистральных сосудов - внутренними сонными и позвоночными артериями, отходящими от ветвей дуги аорты [43]. Магистральные артерии вступают в полость черепа и разделяются на мозговые артерии, которые в норме (порядка 25 % всего населения) образуют замкнутый многоугольник (виллизиев круг, виллизиев многоугольник, круг Виллиса, circle of Willis) [2, 5, 24] - базальный анастомоз между каротидной и вертебрально-базилярной системами головного мозга.
Одним из самых опасных заболеваний сосудов виллизиевого круга являются аневризмы [21, 45, 136, 145] (местное расширение артерий). Аневризмы встречаются у 0.3-0.5% взрослого населения [39]. Согласно статистике в России до 80-90% нетравматических субарахноидальных кровоизлияний (САК) происходят вследствие разрыва внутричерепных (интракраниальных) аневризм. Разрыв аневризм приводит либо к неврологическим расстройствам различной степени тяжести, связанных с повреждением тканей головного мозга, либо к смерти. Особенно важным является тот факт, что САК выводят из строя население работоспособного возраста (40-60 лет). Несколько иначе выглядит ситуация с детьми. По данным Giroud [132] геморрагические инсульты у детей встречаются в 43% всех случаев острого нарушения мозгового кровообращения что часто обусловлено разрывом интракраниальной аневризмы (ИКА).
Хотя ИКА обнаруживаются у новорожденных и детей первых лет жизни [63, 129], общепризнанной является теория приобретенного характера данного заболевания [26, 73, 130, 124, 143, 89]. Принципиально важным является то, что образованию аневризм способствуют гемодинамические и дегенеративные повреждения сосудистой стенки [39]. Очевиден тот факт, что «излюбленной» локализацией аневризм являются бифуркации сосудов [26], хотя описаны и случаи локализации аневризм в местах изгиба сосудов под большими углами [112].
Таким, образом, в настоящий момент можно выделить несколько ключевых вопросов, ассоциированных с ИКА.
1. Причина и факторы, влияющие на возникновение аневризм.
2. Влияние половых и возрастных особенностей на ИКА.
3. Прогнозирование естественного течения ИКА.
5. Выработка наиболее оптимальной тактики лечения. Очевидно, что поиск ответов на эти вопросы путем только анализа всей совокупности клинических наблюдений не представляется возможным. Оценить вклад гемодинамики в патогенез аневризм и рассчитать напряженно-деформированное состояние стенок артерий вилизиевого круга можно лишь с использованием компьютерного моделирования, используя при этом современный математический аппарат, реализованный в численных методах.
Возможность применения численных расчетов методом конечных элементов в поставленной задаче об аневризмах подтверждается успешным применением автором данного метода решения в других подобных задачах. Например, в работе [18] исследовалось движение крови в верхней части аорты - решена задача о течении крови в аорте с жесткими и гибкими стенками. Материал стенок - гиперупругий (резиноподобный). Показано, что время решения задачи напрямую зависит от количества элементов вычислительной сетки, в то же время, качество вычислительной сетки на результаты моделирования (в самом простом случае жестких стенок и несложной геометрией) влияло незначительно. В статье [19] представлены- результаты конечно-элементного моделирования движения крови в артериях при условии сужения просвета с учетом геометрии и механических характеристик реального сосуда. Было выявлено, что наличие стеноза обуславливает появление вихревых зон в районе бляшки, появляется обратный ток крови в районе сужения сосуда, максимальные значения перемещений стенки достигаются в позднюю систолу, результаты расчетов ANSYS и COMSOL MULIPHYSICS [61, 62] совпадают. В статьях [11, 7, 13] описан численный эксперимент на сонных артериях человека с патологическими ИЗБИТОСТЯМИ, выполненных в программном комплексе ADINA [50]. Анализ полученных данных показал, что а) в изгибе локальное давление крови на поперечном срезе артерии минимально на внутренней стенке изгиба, а по мере приближения к наружной стенке увеличивается и достигает максимума на самой стенке;
б) для скорости потока крови характерна обратная зависимость; в) за счет разницы давления (у наружного и внутреннего радиуса) возникают потоки поперечной циркуляции, имеющие характер завихрения. Результаты экспериментов хорошо согласуются с клиническими данными [37].
При моделировании движения крови в артериях необходимо учитывать: характеристики кровотока, модель и параметры материала стенки артерий, а также геометрию сосуда. В качестве модели жидкости часто применяют модель вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости [82]. Для задания характеристик потока используют данные из литературных источников [45, 137] или in vivo данные [20]. Параметры материала стенок артерий получают на основе экспериментов по растяжению образцов артерий [14,15, 16, 20, 27, 31, 42].
Итак, цель исследования состоит в объяснении с механической точки зрения процессов возникновения, роста и разрыва аневризм артерий виллизиевого круга. Решение такой задачи позволит оценить картину течения крови в здоровых артериях и артериях с аневризмами, а также сделать некоторые рекомендации по оптимизации лечения данного заболевания.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
а) исследовать механические свойства артерий виллизиевого круга в продольном и поперечном направлениях; получить константы гиперупругого материала стенок артерий;
б) поставить и решить краевые задачи, моделирующие поведение артерий виллизиевого круга человека;
в) результаты расчетов проанализировать с целью определения влияния механических факторов на патогенез аневризм.
Работа состоит из введения, обзора, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, анализируется степень ее разработанности, определяются цель и задачи исследования, дается краткая аннотация диссертационного исследования, формулируется научная новизна диссертации, отмечается практическая ценность полученных результатов.
В обзоре приводятся основные сведения об особенностях мозгового кровообращения, об анатомии и гистологии мозговых артерий, обсуждается механизм образования аневризм, поясняется взаимосвязь между аневризмами и атеросклерозом, описываются методы диагностики и лечения аневризм, даются выводы, касающиеся перспектив предполагаемых исследований.
В первой главе «Испытания на одноосное растяжение образцов артерий» автором обосновывается необходимость проведения самостоятельных испытаний механических свойств образцов, артерий виллизиева круга. Описывается методика проведения экспериментов и ее особенности. Результаты обработки экспериментальных данных позволили выявить различия в свойствах материала стенок артерий в зависимости от половой принадлежности и возрастной группы.
В главе 2 «Постановки задач о течении крови в артериях. Получение параметров гиперупругой модели» приводится математическая постановка задачи о течении крови в артериях с жесткими и гибкими стенками. Предложен алгоритм вычисления параметров модели Муни-Ривлина, применяемой при моделировании материала стенок артерий человека [10, 16, 15,14, 95]. Приведена пошаговая инструкция по получению констант с помощью системы компьютерной алгебры Matlab [28]. Параметры материала использованы при конечно-элементном моделировании движения крови в мозговых артериях человека.
Глава 3 «Конечно-элементное моделирование» посвящена анализу и обсуждению результатов конечно-элементного моделирования. Численные данные представлены по мере усложнения математической постановки задачи: о течении крови в артериях с жесткими стенками, о течении крови в артериях с гибкими стенками и задача о нагружении давлением локально ослабленной стенки артерии. В первом случае ставились и решались задачи в упрощенных геометрических моделях сосудов с малыми и большими аневризмами. Использовались симметричные и асимметричные граничные условия на выходах. Во втором случае задачи имели более сложную постановку - геометрия моделей сосудов была максимально приближена к реальной, стенки предполагались гиперупругими. Завершающим этапом было построение и обсчет трехмерной модели замкнутого виллизиевого круга в целом с гибкими стенками [9]. Третий тип задач представлял собой краевые задачи в двумерной и трехмерной постановке с упрощенной геометрией сосудов с локально ослабленной стенкой. В качестве модели материала стенок использовался гиперупругий материал.
Результаты моделирования были проанализированы с точки зрения определения и влияния гемодинамических усилий на образование, рост и разрыв аневризм [17, 12]. Проведено сравнение результатов проведенных численных экспериментов с имеющимися литературными данными.
Научная новизна работы состоит в следующем.
В работе впервые осуществлено моделирование замкнутого виллизиевого круга с учетом податливости стенок. Впервые проведено исследование возрастной и половой изменчивости деформационно-прочностных характеристик артерий головного мозга человека, напряженно-деформированного состояния и гемодинамики артерий виллизиевого круга человека в норме, напряженно-деформированного состояния и гемодинамики артерий виллизиевого круга человека при патологии, в частности, при аневризмах мозговых артерий. Результаты исследования заключаются в следующем: • Определены деформационно-прочностные характеристики артерий виллизиевого круга человека. Найдены константы функции энергии деформации Муни-Ривлина для артерий данного типа.
« Выделены три основополагающих фактора: касательные напряжения на стенке, эффективные напряжения в стенке артерий и давление крови, приводящие к образованию аневризм.
• Обоснована методология применения метода конечных элементов для решения связанных упруго-гидродинамических задач течения крови в артериях. Описаны сложности, возникшие при реализации метода конечных элементов.
• Доказана правомерность использования комплексного подхода при исследовании артерий человека в норме и при наличии патологии.
Практическая значимость работы определяется возможностью применения изложенной в диссертации методики моделирования для описания закономерностей процессов образования и развития аневризм. Знание деформационных и прочностных свойств мозговых артерий, а таюке изменчивость этих свойств с возрастом и в зависимости от пола необходимы для прогнозирования возможных повреждений стенки сосудов при внутрисосудистых вмешательствах. Выводы, полученные в результате диссертационного исследования, наглядно показывают влияние механических факторов на процесс возникновения и развития ИКА, позволяют выявить условия, при которых наиболее вероятен их разрыв. Предложенный метод исследования может быть востребован в долечебной диагностике заболеваний конкретного пациента и выявления условий, при которых наиболее вероятен разрыв имеющихся аневризм.
Результаты проведенных исследований внедрены в учебный процесс кафедры математической теории упругости и биомеханики механико-математического факультета Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского и кафедры анатомии человека Саратовского государственного университета имени В.И. Разумовского; включены в программу повышения квалификации профессорско-преподавательского состава «Биомеханика в условиях уровневого высшего профессионального образования» в рамках реализации приоритетного направления «Проблемы подготовки кадров по приоритетным направлениям науки, техники, критических технологий, сервиса» Саратовского государственного университета. Работа проводилась в соответствии с планом научно-исследовательских работ, выполняемых в рамках гранта РФФИ 06-01-00564-а, результаты работы применялись при выполнении гранта РФФИ 09-01-00804-а.
Достоверность исследований, приведенных в работе, обеспечивается применением апробированных моделей и строгих математических методов при построении решения поставленных задач и их анализе, качественным и количественным согласованием полученных результатов с результатами близких по тематике работ других авторов.
Главные положения, результаты исследования и выводы, содержащиеся в диссертации, докладывались на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики и образовательно-научного института наноструктур и биосистем Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского, а также на рабочем совещании БИОМЕХАНИКА - 2010 в Институте механики МГУ (Москва, 2010).
Основные положения и выводы исследования рассматривались на региональных, всероссийских и международных школах-семинарах и конференциях: на ГХ Всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 2008), ежегодной Всероссийской научной школе семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2008, 2009), ежегодной конференции «Математика. Механика» (Саратов, 2008, 2009), Аспирантских чтениях Саратовского государственного медицинского университета (Саратов, 2008), международной конференции Computer methods in mechanics (Zielona Gora, Poland, 2009), Всероссийской конференции «III сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела» (Саратов, 2009), VII международной конференции пользователей ANSYS (Москва, 2009), X Всероссийской конференции «Биомеханика 2010» (Саратов, 2010).
Задача о течении крови в моделях артерий с гибкими стенками
В случае, когда стенки артерии предполагаются упругими (гибкими), система уравнений, описывающих течение крови в артериях усложняется, в нее добавляются уравнения движения стенки [115] и уравнения для сглаживания вычислительной сетки [61, 50, 115]. Основное уравнение движения стенок артерии, называемое уравнением изменения импульса, выглядит следующим образом [115] где М - матрица масс (слагаемое Ми является инерционной составляющей в уравнении) объединяет в себе массу движущегося объема, С - матрица демпфирования (слагаемое См представляет собой демпфирующую составляющую) - слагаемое, обусловленное трением, К матрица жесткости, и - вектор ускорения, и - вектор скорости, и — вектор перемещения узлов, F(t) — вектор внешних сил. Матрица жесткости К представляет собой математическую запись физической связи между реакциями в узлах элемента и узловыми перемещениями. Матрица жесткости является интегральной характеристикой, включающей как физические свойства материала рассчитываемой системы, так и геометрические свойства конечного элемента и сгенерированной сетки. В общем случае матрица жесткости уникальна для каждого элемента и имеет важнейшее значение при реализации метода конечных элементов. Связь между напряжениями и деформациями выглядит следующим образом [115] где Sjj - компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгоффа, W — плотность функции энергии деформации, Су - компоненты правого тензора деформаций Коши-Грина. Тензор деформаций Су выражается через компоненты тензора градиента деформаций Ffj- [115] Вычислительная сетка, на которую разбита стенка артерии, движется вместе со стенкой и перемещения узлов сетки совпадают с перемещениями стенки артерии.
Используются Лагранжевы координаты. Для жидкости используют Эйлеровы координаты и вычислительная сетка в данном случае фиксирована. Совместные координаты Лагранжа-Эйлера (совместный подход Лагранжа-Эйлера) применяются в том случае, когда задача является связанной, то есть граница области, в которой происходит движение жидкости, является подвижной. В этом случае перемещения сетки в области стенки совпадают с перемещениями стенки. В области крови при движении сетки ее перемещения определяются решениями уравнения Лапласа, граничными условиями для которого являются перемещения стенки артерии. В 1963 году Winslow [144] было предложено использовать в качестве уравнений движения узлов вычислительной сетки уравнения Лапласа, что успешно применяется на практике до настоящего времени [120, 49]. В стационарном случае уравнения для перемещения сетки в области течения крови имеют вид На стенку со стороны крови действует сила, представляющая собой силы вязкости и давление F = F0, FQ - -я(- Р1 + 4Vi7 + (У")Г )) (13 где п — вектор внешней нормали к границе, ju — коэффициент динамической вязкости крови, Т - символ транспонирования, р - давление крови, /— единичная матрица. Для узлов вычислительной сетки на границе кровь-стенка ставятся условия равенства перемещений сетки и перемещений стенки артерии dx = ul,dy = v1,dz = wl, (14) где dx, dy, dz — компоненты перемещения узлов вычислительной сетки. Алгоритм решения упруго-гидродинамической задачи сводится к следующему сначала просчитывались перемещения крови, вычислялись усилия, с которыми кровь действует на стенку; в соответствии с этой нагрузкой пересчитывались перемещения стенки, которые изменяют область течения крови; в измененной области происходил расчет в том же порядке. Данная последовательность вычислений осуществлялась на каждом временном шаге.
В качестве модели стенки использовалась модель резиноподобного сверхупругого материала Муни-Ривлина, константы которого были заранее определены из экспериментов на одноосное растяжение образцов артерий. Алгоритм получения констант представлен в следующем параграфе. 2.3. Получение параметров гиперупругой модели В качестве модели материала стенки используем модель Муни-Ривлина где W - функция энергии деформации материала, 1\,12 - инварианты тензора деформаций Коши-Грина, СиС2 - неизвестные параметры материала, подлежащие определению. Этот вид функции энергии деформации W (15) был получен Rivlin и Saunders из экспериментов [119,118] по деформации тонкого листа. Проведем расчет параметров модели сверхупругого резиноподобного материала Муни-Ривлина. Для этого выведем зависимость напряжение-степень удлинения для одноосного растяжения с использованием функций энергии деформации данного материала. Рассмотрим правый C = F F и левый B = FFT тензоры деформаций Коши-Грина, где F - тензор градиента деформации. Инварианты правого тензора С (аналогично для левого тензора) определяются соотношениями 1Х = tr{C), 12=- \1\ - tr\C2 )), I3 = det(C). Так как материал стенки артерии считается несжимаемым [55], третий инвариант 13 тензора деформаций Коши-Грина, характеризующий относительное изменение объема среды, равен единице 13 = 1. Тензор градиента деформации в матричной форме записывается в виде
Алгоритм получения констант с использование системы компьютерной алгебры Matlab
Возникновение метода конечных элементов (МКЭ) можно отнести к 50-м годам XX. века в связи с необходимостью решения задач космических исследований. Сама идея. МКЭ была разработана советскими учёными? ещё в 1936 году, но отсутствие вычислительнойt техники не позволило методу получить должного развития. Важный вклад в теоретическую разработку метода внес Мелош, который в 1963 году показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Рэлея-Ритца. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено, что уравнения, определяющие конечные элементы могут быть легко получены с помощью метода Галеркина. Метод Галёркина (метод Бубнова-Галёркина) - метод приближённого решения краевой задачи для дифференциального уравнения был разработан Галеркиным в 1915 году. Применение этого метода исключает необходимость вариационной формулировки физической задачи, что позволяет применять МКЭ при решении любых дифференциальных уравнений. Основная идея МКЭ [40]; состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление или перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью начений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить,.если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны.
После этого переходят к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом. 1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами. 2. Значения непрерывной величины в каждой узловой точке считаются неизвестными. 3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области. 4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента. Основным преимуществом метода конечных элементов перед другими методами решения дифференциальных уравнений является его универсальность. Она состоит в том, что этим методом можно решать любые дифференциальные уравнения, с любыми краевыми условиями в областях любой геометрии и сложности. Например, один раз реализовав метод для выбранной системы уравнений, решаемых в какой-то области, при изменении краевых условий или геометрии области не требуется менять что-либо в реализации метода, а треугольная (в плоском случае) и тетраэдрическая, (в трехмерном случае) вычислительная сетка позволит дискретизировать область любой формы с нужной точностью. Универсальность метода позволила на его основе разработать современные конечно-элементные программные комплексы, такие как ANSYS [115], Gomsol multiphisics [61, 62], ADINA [50] и др. Основным недостатком МКЭ можно считать высокую размерность результирующей системы алгебраических уравнений. Поэтому реализация метода требует разработки специальных методов решения результирующей системы, и способов хранения матрицы коэффициентов системы. Для решения задач больших размерностей приходится использовать мощную вычислительную технику. Для таких расчетов компьютеры объединяют в вычислительные кластеры. Вычислительные кластеры позволяют уменьшить время- расчетов, по сравнению с одиночным компьютером, разбивая задание на параллельно выполняющиеся подзадачи и выполняя обмен данными по связывающей их вычислительной сети. Моделирование в любом конечно-элементном программном комплексе проводится по стандартной схеме. Алгоритм решения задачи методом конечных элементов состоит из следующих шагов: 1) выбор математической модели. Это означает, что необходимо выбрать соответствующий конечный элемент или задать дифференциальные уравнения, описывающие исследуемый процесс; 2) создание или импорт геометрической модели; 3) задание свойств материалов, граничных и начальных условий, параметров решателя; 4) разбиение модели на конечно-элементную сетку; 5) решение задачи; 6) визуализация и обработка полученных результатов. Выбор дифференциальных уравнений, задание граничных и начальных условий, свойств материалов описан в Главе 2. Сложные геометрические модели сосудов создаются в системах трехмерного проектирования по результатам In vitro или In vivo данных. В первом случае используются силиконовые слепки, полученные силиконовой заливкой артерий,, изъятых у трупов. Слепки разрезают в поперечном направлении, при этом получают совокупность срезов, отстоящих друг от друга на заданном,расстоянии.
По полученным срезам строят поперечные сечения будущего трехмерного объекта, далее по сечениям операцией вытягивания получают геометрию объекта [20]. Во втором случае для построения модели применяют результаты-томографических исследований, которые представляют собой множество картинок поперечных срезов исследуемого объекта. Файлы с картинками обрабатывают в специализированном программном обеспечении, например, в Mimics [107, 1] в полуавтоматическом режиме. Программа позволяет выделять нужные области из картинок томограмм в соответствии с их цветом (оттенком серого). Каждому цвету на томограмме соответствует определенное значение плотности ткани или органа человека. Следовательно, выбрав интервал плотности, можно выделить требуемую ткань или орган человека. Подробно остановимся на 4 этапе — создании вычислительной сетки. Приведем несколько определений, которые будут использоваться при описании построения вычислительной сетки. Регулярная область - это область, ограниченная тремя или четырьмя линиями.
Создание вычислительной сетки
Сложные геометрические модели сосудов создаются в системах трехмерного проектирования по результатам In vitro или In vivo данных. В первом случае используются силиконовые слепки, полученные силиконовой заливкой артерий,, изъятых у трупов. Слепки разрезают в поперечном направлении, при этом получают совокупность срезов, отстоящих друг от друга на заданном,расстоянии. По полученным срезам строят поперечные сечения будущего трехмерного объекта, далее по сечениям операцией вытягивания получают геометрию объекта [20]. Во втором случае для построения модели применяют результаты-томографических исследований, которые представляют собой множество картинок поперечных срезов исследуемого объекта. Файлы с картинками обрабатывают в специализированном программном обеспечении, например, в Mimics [107, 1] в полуавтоматическом режиме. Программа позволяет выделять нужные области из картинок томограмм в соответствии с их цветом (оттенком серого). Каждому цвету на томограмме соответствует определенное значение плотности ткани или органа человека.
Следовательно, выбрав интервал плотности, можно выделить требуемую ткань или орган человека. Подробно остановимся на 4 этапе — создании вычислительной сетки. Приведем несколько определений, которые будут использоваться при описании построения вычислительной сетки. Регулярная область - это область, ограниченная тремя или четырьмя линиями. Нерегулярная область - область, ограниченная более чем четырьмя линиями. Вычислительная сетка называется регулярной (структурированной), если множество сеточных узлов является упорядоченным. Такие сетки позволяют существенно уменьшить число элементов и узлов, что, в свою очередь, существенно уменьшает время расчетов. В задачах вычислительной гидродинамики регулярные сетки более предпочтительны в связи с тем, что по сравнению с нерегулярными (например, треугольными или тетраэдрическими) дают более точные результаты расчетов. Единственным недостатком регулярных вычислительных сеток является сложность, а иногда невозможность их построения на некоторых геометрических объектах. Вычислительная сетка называется нерегулярной, если множество сеточных узлов является неупорядоченным. а б Рис. 33. а - регулярная область и б - линии, ее ограничивающие В двумерном случае регулярные сетки строятся с ПОМОЩЬЮ разбиения заданной области на более простые, которые ограничиваются тремя или четырьмя линиями. В том случае если это сделать не удается, необходимо вручную указать углы разбиваемой поверхности. На рисунке 33 а показана регулярная область и линии ее ограничивающие (рис. 33 б). На рисунке 35 представлены вышеописанные области с построенной регулярной вычислительной сеткой. Вторая область может быть разбита регулярной четырехугольной сеткой методом выбора углов [115]. Другой способ разбиения состоит в делении области на регулярные подобласти, которые в дальнейшем разбиваются регулярной четырехугольной сеткой. Данный способ является универсальным, так как с его помощью на любой поверхности можно создавать регулярные четырехугольные вычислительные сетки.
Поэтому применение этого метода на практике является более предпочтительным. Рис. 35. Регулярная четырехугольная сетка, построенная на регулярной (слева) и нерегулярной (справа) областях Что касается трехмерной регулярной сетки, то ее построение является еще более трудоемким процессом, а в большинстве случаев такие сетки создать не удается. Существует большое количество специализированных программ для создания качественных регулярных сеток. Даже при использовании такого специализированного программного обеспечения при создании регулярной сетки пользователю приходится тратить количество времени, сопоставимое со временем постановки и непосредственного решения задачи. Единственным способом создания регулярной пространственной сетки является протягивание разбитых на конечные элементы торцевых поверхностей вдоль образующей боковой поверхности или осевой линии трехмерного геометрического объекта. Иногда операцию протягивания торцевых поверхностей можно заменить операцией поворота разбитого на конечные элементы поперечного сечения трехмерного объекта вокруг оси симметрии. На рисунке 36 представлена трехмерная вычислительная сетка, построенная для упрощенной модели артерии. На следующих рисунках 3 7-41 изображены регулярные четырехугольные вычислительные сетки плоских моделей бифуркаций базилярной - задних мозговых артерий. Как видно из рисунков 37-39, вычислительная сетка сгущается в направлении стенок сосуда. Сгущение в радиальном направлении выполняется с целью более точного расчета потока в пристеночной области. ис. 37.
Вычислительная сетка упрощенной двумерной модели бифуркации базилярной - задних мозговых артерий без аневризмы Рис. 39. Вычислительная сетка упрощенной двумерной модели бифуркации базилярной - задних мозговых артерий с крупной аневризмой Рис. 41. Четырехугольная регулярная вычислительная сетка 2D модели ослабленной стенки артерии. Цветом обозначены здоровый и ослабленный участки 3.5. Вычислительная сетка трехмерных моделей отдельных мозговых артерий и замкнутого виллизиевого круга Рис. 43. Вычислительная сетка трехмерной модели бифуркации базилярной - задних мозговых артерий с большим куполом аневризмы Геометрия упрощенных плоских моделей бифуркации базилярной артерии построена по аналогии со статьей [137]. Бьши рассмотрены модели без аневризмы, с малым и большим куполом аневризмы. Трехмерные модели отдельных мозговых артерий и замкнутого виллизиевого круга строились на основании морфологических данных, полученных на кафедре анатомии человека ГОУ ВПО Саратовском ГМУ имени В.И. Разумовского Росздрава. Рассмотрим упрощенные модели бифуркации базилярной артерии без аневризмы, с малым куполом и с большим куполом аневризмы для постановок с симметричными и асимметричными граничными условиями на выходах задних мозговых артерий- Будем исследовать характер течения крови в районе аневризмы и в самой аневризме с точки зрения влияния гемодинамических факторов на появление, рост и разрыв аневризм. На рисунках 48 я, 48 б приведены поля давлений и скоростей в момент систолы для модели бифуркации базилярной артерии без аневризмы с симметричными граничными условиями на выходах.
Результаты численных экспериментов. Трехмерные модели артерий с жесткими стенками
На рисунках 57 а, 57 б приведены поля касательных напряжений на стенке трехмерной модели бифуркации базилярной артерии с малым куполом аневризмы в момент систолы с симметричными и асимметричными граничными условиями на выходах. налогично плоским случаям, минимальные значения касательных напряжений обнаруживаются в куполе аневризмы (рис. 57 а - 58 б). Касательные напряжения на стенке артерии достигают минимальных значений ( 1.5 Па) на стенке аневризмы (рис. 57 а, б, 58 а, б) как в случае симметричных граничных условий, так и в случае асимметричных граничных условий. Аналогичные результаты получены и в работе [109]. Такие низкие значения касательных напряжений приводят как к отложению липидов [103] и, как следствие, к образованию бляшек, так и к разрыву аневризм [99]. Вихревые потоки (зоны рециркуляции), обнаруженный внутри купола аневризмы, совпадают с зонами низких касательных напряжений на стенке ( 1.5 Па) и, как было подтверждено в работе [108] на основе сравнения численных данных и данных компьютерной томографии, совпадают с зонами атеросклеротических отложений в аневризме. Подобные выводы о наличии областей рециркуляции в куполе аневризм делали Ferguson [74], Valencia [137], Savas [123] и другие.
На рисунках 59 а, 59 б приведены поля давлений трехмерной модели бифуркации базилярной артерии с малым куполом аневризмы в момент систолы с симметричными и асимметричными граничными условиями на Численный эксперимент показал, что давление крови максимально в аневризме, что может привести к ее разрыву [56, 67, 64, 65] в районе купола. В соответствии с классификацией, приведенной на стр. 24 данной работы, исследованные аневризмы будем, называть цилиндрическими(рис. 59 а) и сферическими, (рис. 60 а). Для дальнейшего анализа влияния. давления крови на натяжение стенки аневризмы использовали закон Лапласа (23,24) 7] = pxRx (натяжение стенки цилиндрической оболочки), (23) Т2 - kiLJL (натяжение стенки сферической оболочки), (24) где Тх - натяжение стенки в тонкостенной.цилиндрической оболочке, Т2 — натяжение стенки в тонкостенной сферической оболочке, Р\, Р2 -внутренние давления в цилиндрической и сферической оболочках, соответственно; Rx, R2 - радиусы кривизны цилиндрической и сферической, оболочек, соответственно. Будем считать аневризмы тонкостенными оболочками. Численные расчеты показывают, что значения давления в куполе аневризм практически одинаковы (разница менее 1 процента). Если внутренние давления в оболочках равны и их
R2 , г Тх 4 _ радиусы кривизны соотносятся как — = 1.5, то —!- =—. Следовательно, Rx Т2 3 можно сделать вывод, что вероятность разрыва цилиндрической аневризмы больше, чем шарообразной. Аналогичные выводы представлены в работах [110, 71]. На рисунках 61 а, 61 б приведены поля давлений и касательных напряжений в стенке трехмерной модели бифуркации базилярной артерии без аневризмы с учетом податливости стенок в момент систолы с симметричными граничными условиями на выходах. максимальных касательных напряжений в стенке бифуркации передней мозговой - передней соединительной артерий. ANSYS 11.0 JAN напряжений по Мизесу в стенке фрагмента виллизиевого круга (бифуркация базилярной-задних мозговых артерий) 119 Рис. 67. Поле эквивалентных напряжений по Мизесу в стенке фрагмента виллизиевого круга (бифуркация передней и средней мозговой артерий) 120 Рис. 68.
Поле максимальных касательных напряжений в стенке фрагмента виллизиевого круга (бифуркация передних мозговых и передней соединительной артерий) Зоны концентрации высоких эквивалентных напряжений по Мизесу (рис. 66, 67) совпадают с областями наиболее вероятного образования аневризм [136] - бифуркация базилярной артерии, бифуркация средней мозговой и передней мозговой артерий. Зоны низких касательных напряжений на стенке ( 1.5 Па) передней. соединительной артерии (рис. 68) совпадают с областями отложения атеросклероза [103, 136]. Следует отметить, что полученные при расчете замкнутого виллизиевого круга зоны наиболее вероятного образования аневризм и атеросклеротических бляшек, совпадают с теми же зонами, выявленными при анализе расчетных данных, анализированных в предыдущих параграфах. Например, в параграфе 3.8 показано, что. область апекса бифуркации базилярной артерии наиболее подвержена дегенеративным повреждениям и, следовательно, образованию аневризм. Аналогичный, вывод можно сделать, проанализировав рис. 66. Передняя соединительная артерия подвержена как атеросклеротическим отложениям, так и образованию аневризм (см. параграф 3.9). Такие выводы сделаны на основе расчетов замкнутого виллизиевого круга и отдельной бифуркации передней мозговой и передней соединительной артерий. Корреляция численных данных, полученных на разных моделях, позволяет говорить о достоверности приведенных в диссертации результатов.
Похожие диссертации на Теоретико-экспериментальное исследование влияния механических факторов на возникновение и патогенез аневризм артерий виллизиевого круга
