Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Адаптивная подсистема оптимального планирования АСУП. 12
1.1. Обзор работ по оптимальному планированию и смежным вопросам 12
1.2. Структура подсистемы и задачи оптимального планирования 17
1.3. Модель случайных простоев ресурсов оборудования и рабочей силы 24
1.4. Детерминированный эквивалент задач стохас тического программирования 30
1.5. Методы решения рассматриваемых оптимизационных задач 33
Выводы 45
ГЛАВА II. Оценивание параметров моделей оптимального планирования 47
2.1. Оценивание параметров случайных простоев 47
2.2. Оценивание характеристик расхода ресурса в случае, когда известен его расход на группы однотипных изделий 51
2.3. Оценивание характеристик расхода ресурса в случае, когда известен его расход на группы разнотипных изделий 58
Выводы 65
ГЛАВА III. Прогнозирование параметров моделей оптимального планирования 67
3.1. Постановка задачи и обзор работ по прогнозированию
3.2. Процессы изменения параметров моделей оптимального планирования 75
3.3. Оптимальное прогнозирование горизонтального стохастического тренда 81
3.4. Оптимальное прогнозирование наклонного стохастического тренда 85
3.5. Частные случаи оптимального прогнозирования наклонного стохастического тренда 92
Выводы 97
ГЛАВА ІV. Экспериментальная проверка и практическое использование полученных результатов 99
4.1. Экспериментальное исследование предлагаемыхметодов прогнозирования 99
4.2. Пакет прикладных программ "Годовое планирование" и внедрение полученных результатов 115
Выводы 126
Заключение 127
Литература 131
- Обзор работ по оптимальному планированию и смежным вопросам
- Оценивание характеристик расхода ресурса в случае, когда известен его расход на группы однотипных изделий
- Процессы изменения параметров моделей оптимального планирования
- Экспериментальное исследование предлагаемыхметодов прогнозирования
Введение к работе
В настоящее время особую актуальность приобретает совершенствование системы планирования и применение для этой цели математических методов. Вопросам улучшения системы планирования и управления народным хозяйством уделялось большое внимание на ХХУІ съезде КПСС. В этой связи возникает необходимость в развитии специальных математических методов управления экономическими системами, которые должны найти широкое применение в автоматизированных системах управления производством (АСУП). Так, в материалах ХХУІ съезда КПСС [I] признавалось целесообразным, в числе прочих научных проблем, обеспечить "развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях." Одной из основных задач управления народным хозяйством является формирование производственных планов промышленных предприятий. Причем на начальном этапе проект плана должен составляться на предприятии и быть оптимальным, т.е. при имеющихся ресурсах производства наилучшим образом соответствовать целям данного предприятия и всего общества в целом. Справедливость этого становится особо очевидной в свете Постановления ЦК КПСС и Совета Министров СССР "Об улучшении планирования и усилении воздействия хозяйственного механизма на повышение эффективности производства и качества работы [2] , в котором, в частности, отмечается: " Составление годового плана начинать снизу - с производственных объединений (предприятий) и организаций...," и далее "Пятилетние и годовые планы производственных объединений (предприятий) и организаций составлять на основе экономических и инженерных расчетов, не допуская установления плановых заданий только из сложившейся динамики соответствующих показателей."
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию комплекса вопросов, связанных с разработкой подсистемы оптимального планирования АСУП, которая предназначена для определения производственных планов промышленных предприятий. Для широкого класса промышленных объектов целесообразно, чтобы такая подсистема удовлетворяла, в числе прочего, следующим трём требованиям:
в моделях оптимального планирования учитывалось влияние случайных факторов ;
подсистема включала звено идентификации, осуществляющее по реальным данным о ходе производства оценивание параметров моделей, которые используются в качестве входной информации при решении оптимизационных задач ;
подсистема содержала звено прогнозирования, осуществляющее по текущим и прошлым оценкам прогнозирование этих производственных параметров.
Рассмотрим эти требования более подробно. Случайные возмущения в производственном процессе порождаются многими факторами, к числу которых можно отнести случайные поломки оборудования, заболевание и прогулы работников, производственный брак. Игнорирование этих факторов уменьшает адекватность моделей оптимального планирования, что, в свою очередь, может привести к существенной потере эффективности (например, при неоправданно больших страховых запасах ресурсов для компенсации случайных возмущений), если не к практической непригодности получаемых решений (в случае недопустимости плана из-за отсутствия достаточных страховых запасов ресурсов для компенсации случайных возмущений).Поэтому для большинства промышленных предприятий модели оптимального планирования должны содержать формальное описание действующих случайных факторов. На необходимость учета влияния случайных возмущений и использования для производственного планирования методов стохастического программирования указывалось многими авторами и в частности авторами работ [36, 80] , содержащими общие методологические принципы использования математического аппарата для управления экономикой. Так, например, автор работы [80] особо подчеркивает необходимость "введения и планирования резервов производственных мощностей для преодоления последствий случайных сбоев". Формальное описание случайных факторов необхо-димо, конечно, только для предприятий, для которых случайные возмущения оказывают ощутимое влияние на план. Именно такие предприятия являются объектом исследования в диссертации. Однако даже для предприятий, для которых влияние случайных факторов незначительно и им можно пренебречь, этот факт, как правило, априори не известен, и решение об игнорировании случайных факторов должно приниматься в результате обработки информации о ходе производственного процесса. Теперь разберем два последних требования. Непременным условием эффективного использования моделей, оптимального планирования является достоверность входной информации. Этот аспект особо подчеркивается в работе [36] . Всю входную информацию для задач оптимального планирования можно условно разделить на три класса. К первому классу отнесем данные, определяемые внешними организациями. Это, например, цены на изделия, нижние и верхние границы на план выпуска, границы на технико-экономические показатели, цены на оборудование и т.п. Ко второму классу отнесем производственные параметры, которые могут быть либо измерены, либо вычислены по измеряемым или планируемым величинам. В качестве этих параметров можно привести стоимость основных производственных фондов, количество различного вида оборудования, численность работников различных специальностей, длительности плановых фондов времени для отдельных единиц ресурсов разного вида и т.п. К третьему классу отнесем производственные параметры, которые не определяются внешними организациями и не могут быть измерены или вычислены по измеряемым или планируемым величинам. Это параметры случайных простоев ресурсов оборудования и рабочей силы, а также характеристики расхода ресурсов на изготовление отдельных изделий. Для рассматриваемых промышленных объектов данные третьего класса являются, по сути дела, числовыми характеристиками случайных величин. Если входная информация, относящаяся к первым двум классам может, быть подготовлена достаточно точно, то с данными третьего класса дело обстоит хуже. Если эти данные устанавливать волевым порядком, то они не будут отражать реально существующее на предприятии положение, что в ряде случаев сведет на нет эффект от применения сколь угодно точных методов оптимального управления. Поэтому разумным путем в данном случае представляется систематическое оценивание и корректировка параметров моделей оптимального планирования. (Здесь и везде в дальнейшем под параметрами моделей оптимального планирования будем понимать производственные параметры, относящиеся к третьему классу входной информации.) Причем желательно, чтобы оценивание параметров осуществлялось автоматически, т.е. чтобы оно являлось функцией самой подсистемы оптимального планирования. Таким образом, мы пришли к целесообразности включения в подсистему оптимального планирования звена идентификации, осуществляющего оценивание параметров моделей. Следует заметить, что такое оценивание должно осуществляться по реально имеющейся на предприятии информации. Однако в подавляющем большинстве практических случаев реализации случайных величин, параметры которых оцениваются, ненаблюдаемы, а идентификация должна осуществляться по реализациям других величин, косвенно характеризующих оцениваемые параметры. Это, в свою очередь, порождает специальные задачи, которые не нашли своего отражения в литературе по идентификации. Не требует особого доказательства тот факт, что
_ 8 каждый из параметров моделей оптимального планирования может со временем изменяться. Причем, определяемые звеном идентификации оценки относятся к прошлым периодам, а задачи оптимального планирования решаются для будущего периода. Поэтому представляется целесообразным использовать специальные процедуры для выявления тенденций изменения параметров и их прогнозирования. Все это приводит к необходимости включения в подсистему оптимального планирования звена прогнозирования, осуществляющего по определяемым звеном идентификации оценкам прогнозирование параметров моделей. При этом необходимо формально определить процесс изменения параметров моделей и построить для этого процесса оптимальную при конечном числе наблюдений прогнозирующую функцию. Звено идентификации и звено прогнозирования вместе составляют идентификатор, который в цепи обратной связи производит адаптацию моделей оптимального планирования. Следовательно, удовлетворяющая всем этим требованиям подсистема оптимального планирования будет относиться к классу адаптивных систем управления с идентификатором (АСИ)
[69] . Этот новый перспективный класс систем управления интенсивно развивается в последнее время. Идентификатор необходим в первую очередь для предприятий с ощутимым влиянием случайных факторов. Однако даже для предприятий с незначительным влиянием случайных возмущений идентификатор целесообразно использовать для оценивания расхода ресурсов и принятия решения об игнорировании случайных факторов. Заметим, что если построение моделей оптимального планирования и методы решения оптимизационных задач рассматриваются в литературе (хотя и не все вопросы полностью исследованы), то вопросы идентификации и прогнозирования параметров этих моделей до настоящего времени практически не рассматривались. Поэтому исследованию именно этих вопросов уделяется особое внимание в данной работе.
Высказанные выше соображения определяют содержание диссертации. Первая глава посвящена общему описанию подсистемы оптимального планирования и ее моделей. В § I.I приводится обзор работ по оптимальному планированию и смежным вопросам, к которым относится стохастическое программирование, оценивание и прогнозирование. В § 1.2 описывается структура подсистемы и формулируются задачи оптимального планирования. В § 1.3 предлагается модель случайных простоев ресурсов оборудования и рабочей силы, и исследуются ее свойства. В § 1.4 определяется детерминированный эквивалент задач стохастического программирования и окончательно формулируются все оптимизационные задачи. В § 1.5 предлагаются методы решения этих задач. Во второй главе рассматривается оценивание параметров моделей оптимального планирования. В § 2.1 приводятся методы оценивания параметров случайных простоев ресурсов оборудования и рабочей силы, в § 2.2 решается задача оценивания характеристик расхода ресурса по информации о расходе ресурса на группы однотипных изделий, а в § 2.3 эта задача решается по информации о расходе ресурса на группы разнотипных изделий. В третьей главе исследуются методы прогнозирования параметров моделей оптимального планирования. В § 3.1 дается постановка задачи и приводится обзор работ по методам прогнозирования. В § 3.2 определяются два формальных процесса изменения производственных параметров: процесс с горизонтальным стохастическим трендом и процесс с наклонным стохастическим трендом. В §3.3 определяется оптимальная при конечном числе наблюдений прогнозирующая функция для процесса с горизонтальным стохастическим трендом и предлагается метод оценивания характеристик этого процесса. В § 3.4 определяется оптимальная при конечном числе наблюдений прогнозирующая функция для процесса с наклонным стохастическим трендом и предлагается метод оценивания характеристик
этого процесса. В § 3.5 исследуется прогнозирование для частных случаев процесса с наклонным стохастическим трендом. Четвертая глава посвящена экспериментальной проверке и практическому использованию полученных результатов. В § 4.1 описывается программный комплекс, предназначенный для моделирования временных рядов и сравнительного анализа результатов прогнозирования тренда этих рядов различными методами, включая предложенные. В этом параграфе приводятся также результаты прогнозирования тренда временных рядов различными методами. В § 4.2 описывается разработанный на основе теоретических результатов диссертации пакет прикладных программ "Годовое планирование", приводятся данные о внедрении полученных результатов и даются рекомендации по их даль-нейшему использованию. Основное содержание диссертации изложено в работах [74, 8б-9б] . Результаты диссертации докладывались:
на Республиканской научно-практической конференции "Автоматизация оперативного управления основным производством" (Казань, 1977 г.)
на Республиканской научно-практической конференции "Пути совершенствования информационного и математического обеспечения АСУ" (Казань, 1979г.О
на ХХУ конференции молодых ученых Института проблем управления (Москва, 1979г.)
на Всесоюзной конференции "Использование методов оптимизации в текущем планировании и оперативном управлении производством" (Москва, 1979г.)
на УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления (Таллин, 1980г.)
на постоянно действующей школе-семинаре "Экономико-математические методы в планировании и управлении" (Челябинск, 1981г.)
на У Всесоюзном совещании по статистическим методам в про - II цессах управления (Алма-Ата, 1981г.)
на Республиканском научно-техническом семинаре "Пути совершенствования оперативного управления производством в условиях АСУІГ (Казань, 1981г.)
на постоянно действующих семинарах лаб.41 Института проблем управления и ГНШШ-ВТ.
На защиту выносится:
1. Структура адаптивной подсистемы оптимального планирования с идентификатором.
2. Постановки задач оптимального планирования.
3. Модель случайных простоев ресурсов оборудования и рабочей силы и законы распределения ее основных характеристик.
4. Детерминированный эквивалент задач стохастического программирования.
5. Специальный алгоритм решения задач стохастического программирования.
6. Методы оценивания параметров случайных простоев ресурсов оборудования и рабочей силы.
7. Метод оценивания характеристик расхода ресурса по известной информации о расходе ресурса на группы однотипных изделий.
8. Методы оценивания характеристик расхода ресурса по известной информации о расходе ресурса на группы разнотипных изделий.
9. Оптимальный при конечном числе наблюдений метод прогнозирования для процесса с горизонтальным стохастическим трендом.
10. Оптимальный при конечном числе наблюдений метод прогнозирования для процесса с наклонным стохастическим трендом.
Обзор работ по оптимальному планированию и смежным вопросам
Задачам определения оптимальной производственной программы посвящено большое количество работ. В подавляющем большинстве из них, и в частности в работах [12,16-18,78] , рассматривается подход, при котором игнорируются случайные факторы и используются линейные критерии и линейные ограничения на план выпуска, на технико-экономические показатели, на фонд развития производства, на площади для размещения дополнительного оборудования и на ресурсы производства. В качестве критериев предлагается, как правило, использовать максимум объема товарной продукции, прибыли, объема продукции в натуральном выражении и минимум себестоимости. Однако применение двух последних критериев оптимизации не всегда представляется оправданным, т.к. в большинстве практических случаев продукция разного типа не сравнима между собой и простая арифметическая сумма объемов ее выпуска не имеет смысла, а при использовании последнего критерия без дополнительных ограничений снизу на другие технико-экономические показатели задача вырождается. Действительно, если при минимизации себестоимости не использовать нижние границы на другие технико-экономические показатели и система ограничений на ресурсы производства совместна с ограничениями на план выпуска, то для получения решения нет необходимости решать задачу линейного программирования, т.к. оптимальное решение в данном случае известно априори - оно равно минимальному плановому заданию (под минимальным плановым заданием понимается план, определяемый нижними границами). В [17] и [18] наряду с перечисленными критериями предлагается использовать рентабельность, которая является дробно-линейной функцией определяемых переменных. В работе [17] для решения получающейся при этом задачи предлагается специальный алгоритм, заключающийся в решении последовательности задач линейного программирования (ЛП). Это неоправданно, т.к. при использовании данного алгоритма необходимо решать целую серию задач ЛП и будет получено только приближенное решение, хотя, как будет показано в 1.5, данная задача может быть сведена к задаче ЛП, и поэтому точное решение может быть получено путем решения одной задачи линейного программирования. Интересные критерии при формировании производственной программы используются в [8,81] . В работе [8] предлагается максимизировать минимальный процент выполнения минимального планового задания. В [81] для единичного производства применяются ещё три новых критерия: минимум максимальной относительной загрузки оборудования, минимум среднеквадратической перегрузки мощностей и максимум числа позиций выполнения минимального планового задания. Следует заметить, что в отличие от других работ представленные в [8] и [81] подходы применимы и в случае недопустимости минимального планового задания. В работах [8,81] используются линейные ограничения на ресурсы, не учитывающие влияние случайных факторов. В [52] используются линейные детерминированные модели планирования, однако указывается на случайность расхода ресурсов при планировании производства новой продукции и отмечается необходимость разработки стохастических моделей. Большое внимание в этой работе уделяется описанию способов формирования коэффициентов матрицы условий задач оптимального планирования. В работе [58] намечаются общие подходы к учету случайных факторов и предлагаются модели, учитывающие зависимость между различными технологическими процессами. Анализ причин недостаточно широкого внедрения задач оптимального планирования и необходимые требования к автоматизированной системе оптимального планирования приводятся в [б2] . Для решения задач оптимального планирования к настоящему времени имеются стандартные программные средства. За исключением ППП-Г0Д0В0Е ПЛАНИРОВАНИЕ, который будет описан в ГЛАВЕ ІУ, это ПШ-СОЛМИ [бб] и ППП -ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ [б5] . В первом из этих пакетов используются традиционные линейные модели, но имеются сервисные средства для работы в диалоговом режиме, а во втором - наряду с линейными моделями, используется модель дробно-линейного программирования для критерия рентабельность и при недопустимости минимального планового задания определяются минимальные количества дополнительных ресурсов, необходимые для его выполнения. Ни в одной из имеющихся работ по оптимальному планированию не рассматриваются вопросы идентификации и прогнозирования параметров используемых моделей. В диссертации предлагаются стохастические модели, учитывающие влияние случайных факторов, а также новые практически целесообразные модели принятия решений при недопустимости мини -мального планового задания.
Основные методы и модели стохастического программирования представлены в [14] и [ЮЗ] . В этих работах имеется классификация моделей стохастического программирования. Рассматриваются одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи. По интерпретации решения одноэтапные задачи, в свою очередь, делятся на три класса : решение - детерминированный вектор; решение - стохастический вектор и определяются решающие правила; решение - стохастический вектор и определяются решающие распределения. При случайной целевой функции предлагаются следующие подходы: оптимизация математического ожидания целевой функции; оптимизация вероятности нахождения целевой функции в заданной области; оптимизация порогового значения, которое с заданной вероятностью не превосходит (или превосходит) целевую функцию. В этих работах предлагаются, также, методы решения рассматриваемых задач. В основном это непрямые методы. Они заключаются в определении для каждой задачи стохастического программирования детерминированного эквивалента, который является обычной задачей математического программирования, как правило, нелинейного. В отличие от этого в [15] [27,72,83] рассматриваются прямые методы, которые существенно используют стохастику исходных задач. Это стохастический квазиградиентный метод [27] , стохастическая аппроксимация [15] , случайный поиск [72] и специальный метод минимизации квадратичной целевой функции, когда она измеряется с помехами, а аргументы тоже искажены помехами, пропорциональными длительности поиска экстремума [83] .
Оценивание характеристик расхода ресурса в случае, когда известен его расход на группы однотипных изделий
Из выражения (2.2.5) следует, что при 0 предельный закон распределения величины "Ys представляет собой сумму двух независимых законов, один из которых нормальный, а второй предельный закон распределения величины " -ь. Поэтому в данном случае предельный закон распределения величины Ч при 1 1 0 будет нормальным тогда и только тогда, когда нормальным будет предельный закон распределения величины X. s. Из полученных результатов можно сделать практический вывод, что для того, чтобы при большом математическом ожидании входной переменной можно было закон распределения выходной переменной считать близким к нормальному, необходимо и достаточно, чтобы или дисперсия входной переменной была существенно меньше ее математического ожидания, или закон распределения входной переменной был близок к нормальному.
Для оценки параметров & и 6 по известным реализациям величин x(t) и УCt) ,связанных соотношением (2.2.1), воспользуемся методом максимального правдоподобия [46] . При этом,будем считать условный закон распределения величины y(t) при фиксированном значении X(t) нормальным. Для этого достаточно выполнения хотя бы одного из двух условий: а) случайные величины W (t) распределены по нормальному закону; б) величина X(t)достаточно велика. Близость условного закона распределения величины У (t) к нормальному следует в этом случае из центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых [46] . При сделанных предположениях оценки максимального правдоподобия параметров а и (5 будут определяться выражениями центральный момент случайной величины Ук « Для нормального закона Иц --5-(5 и последнее слагаемое в правой части (2.2.13) пропадает. Из свойств оценок максимального правдоподобия [4б] следует, что при нормальном условном законе распределения величин y(t) оценки сх и б будут состоятельными и асимптотически эффективными. Причем оценка ел будет эффективной при конечном количестве наблюдений. Однако из (2.2.12) и (2.2.13) следует, что DE l- O и 1 [б" ]- Q при - . А это значит, что оценки о и б будут состоятельными при любом законе распределения величин У(). Относительно оценки ел справедливо более сильное утверждение. Эта оценка имеет наименьшую дисперсию среди всех линейных относительно y(t) и несмещенных оценок параметра а . Действительно, пусть
Выражение (2.2.16) является положительно определенной квадратичной формой относительно величин Поэтому необходимое условие минимума будет также и достаточным. Дифференцируя (2.2.17) по сК1),...с№ 0,приравнивая частные производные нулю и решая получившуюся систему совместно с уравнением (2.2.15),а затем подставляя результат в (2.2.14),получим, что оптимальная линейная несмещенная оценка параметра & должна определяться по формуле (2.2,9). Заметим,что оценки д иб обобщают выборочное среднее и выборочную дисперсию на случай сгруппированной выборки. В частном случае,когда известен расход ресурса на каждое изделие в отдельности,т.е. Х(і)И при tH, M определяемые выражениями (2.2.9) и (2.2.II) оценки о. и б превращаются соответственно в выборочное среднее и в выборочную дисперсию с поправкой на смещение. Выражения (2.2.9) и (2.2.II) получены впервые. В работе [57] рассматривалась задача определения оценок характеристик расхода ресурса на однотипные изделия для двух вариантов задания информации: а) известны различные количества изделий, изготовленные за один и тот же интервал времени; б) известны различные фонды рабочего времени, затрачиваемые на изготовление одного и того же количества изделий. В предположении,что изделия изготавливаются без простоев одной и той же единицей ресурса, в этой работе получены методом моментов оценки характеристик о. и Сэ2 . Фактически в [57J дополнительно требуется: I) все изделия одной группы изготавливаются одной и той же единицей ресурса; 2) эта единица ресурса работает без простоев; 3) одинаковы или времена изготовления различных групп изделий, или численность этих групп (или У СО ,или ХШ не зависит от t ). Накладываемые требования ограничивают возможность практического использования полученных оценок.
Процессы изменения параметров моделей оптимального планирования
Первоначально экспоненциальное сглаживание было предложено как эвристический метод. Однако впоследствии Дж.Матт [I2IJ определил процесс,для которого простое экспоненциальное сглаживание обеспечивает получение асимптотически оптимальной прогнозирующей функции, и П.Харрисон [ИЗ] предложил процесс,для одного из частных случаев которого асимптотически оптимальная прогнозирующая функция определяется методом двойного экспоненциального сглаживания. Затем К.Коггер [ill] в 1974 г. доказал, что обычный метод экспоненциального сглаживания порядка п определяет асимптотически оптимальную прогнозирующую функцию для процесса проинтегрированного скользящего среднего порядка (ОіГигО ,в котором 0LaH)L+,C„-O- OL при l-Vi , а ііж Ледол тер и Дж. Бокс [lI9j доказали в 1978г.,что обобщенный метод экспоненциального сглаживания определяет асимптотически оптимальную прогнозирующую функцию для процесса авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего,для которого Q(x) =44(1- )0 ,а производящая функция 4W определяется функциями,используемыми для описания тренда процесса. Различные эвристические процедуры для определения и корректировки d предлагаются в работах [48,124,110,131,117] . В [112] определяется оптимальное d при использовании метода экспоненциального сглаживания для прогнозирования процесса авторегрессии первого порядка. Оптимальное ск при использовании экспоненциального сглаживания для фильтрации процесса с экспоненциальными автокорреляционными функциями сигнала и помехи определяется в работе [33] . Б [99] и [132] предлагаются эвристические модификации метода экспоненциального сглаживания при неравноточных наблюдениях. Учет конечности числа наблюдений рассматривался в работах [10., .60] . В [60] предлагается в выражении (3.1.4) суммировать до t - \ , а в [10] предлагается заменить недостающие наблюдения нулями. Как будет показано в 3.3 и 3.4, ни один из этих приемов не обеспечивает получение оптимальных прогнозов. Заметим,что во всех работах по прогнозированию дискретных одномерных процессов строгие результаты получены при бесконечном числе наблюдений.
Задачи прогнозирования многомерных процессов можно разделить на два класса. К первому классу отнесем задачи,для которых значения некоторых процессов известны в прогнозируемый момент времени, и для которых используются регрессионные модели. Ко второму классу отнесем задачи прогнозирования многомерных процессов,ни один из которых не известен в будущем. Для задач второго класса существенно используются методы фильтрации. Обычные регрессионные модели, включая оптимальные свойства метода наименьших квадратов для них,исследовались в [5] . Линейная множественная регрессия при наличии ограничений изучалась в [77] ,а нелинейная регрессия - в А.Эйткеном [Юб] предложен обобщенный метод наименьших квадратов,который является оптимальным для регрессионных моделей при коррелированной случайной составляющей. В [3] предложена рекуррентная вычислительная схема для обобщенного метода наименьших квадратов. В [4] проводилось сравнительное исследование различных методов оценки коэффициентов регрессии при коррелированной случайной составляющей. Регрессионная модель с процессом авторегрессии в качестве случайной составляющей рассматривалась в [107] . В работе [123] учитывалась сезонная составляющая в регрессионной модели. Метод группового учета аргументов предложен в [32] . Модели с запаздывающими эндогенными (зависимыми) или экзогенными (независимыми) переменными рассматривались в [38,50] . Наиболее общая модель с запаздывающими эндогенными и экзогенными переменными и с коррелированной случайной составляющей,являющейся процессом авторегрессии - скользящего среднего,рассматривалась в работе[125]. В [59,61] предлагались адаптивные алгоритмы оценивания дрейфующих коэффициентов регрессии. В работе [54] исследуется рекуррентный алгоритм оценивания оператора многомерной линейной регрессии при независимой случайной составляющей и доказывается его асимптотическая оптимальность при некоторых дополнительных предположениях. В [128]исследовалось оптимальное прогнозирование для линейной регрессионной модели со спонтанно изменяющимися коэффициентами. Исследование многомерных процессов методами гармонического анализа проводится в [II]. Основополагающие результаты в фильтрации и прогнозировании многомерных процессов получены Р.Калманом [116] и Р.Калманом, Р.Бьюси [115] для многомерного обобщения авторегрессии первого порядка при наличии помех. Нелинейная фильтрация рассматривалась в [47,67] . В работе [28] предлагается нелинейный робаст-ный (устойчивый) фильтр,сохраняющий свои почти оптимальные свойства для целого класса законов распределения. Фильтрация марковских процессов исследовалась в [76] . В работе [42] рассматривалась специфика фильтрации экономических процессов. Заметим,что во всех работах по фильтрации предполагалось известным математическое ожидание процесса.
Экспериментальное исследование предлагаемыхметодов прогнозирования
Предложенные в главе Ш методы оптимального прогнозирования процессов с горизонтальным и наклонным стохастическим трендом по сравнению с известными методами, и в частности методом Бокса -Дженкинса [ДО] , обеспечивают получение меньшей среднеквадрати-ческой ошибки. Сравним результаты прогнозирования реального ряда К, приведенного на стр.389 работы [Ю] . Этот ряд представляет собой отсчеты через каждые 2 часа концентраций химического процесса. В работе [10] он идентифицирован как процесс проинтегрированного скользящего среднего порядка (0,4,0 ,к которому, как было показано в 3.3, сводится процесс с горизонтальным стохастическим трендом. Метод Бокса-Дженкинса для процесса проинтегрированного скользящего среднего порядка (0,4,0 совпадает с методом экспоненциального сглаживания. Поэтому будем сравнивать результаты прогнозирования ряда А методом экспоненциального сглаживания и методом, определяемым теоремой 5. В методе Бокса-Дженкинса предлагается при прогнозировании конечного ряда заменить недостающие наблюдения нулями. Тот же прием рекомендуется для экспоненциального сглаживания в [39] . Однако при этом нарушится условие несмещенности, что увеличит среднеквадратическую ошибку. Поэтому будем прогнозировать ряд А также и модифицированным (улучшенным) методом экспоненциального сглаживания,при котором ,что обеспечивает получение несмещенных прогнозов. В соответствии с формулами (3.3.8) для ряда А получим,что 1 -0,1558 и % = 0,46 . При этом использовались все 197 наблюдений ряда Д . Из выражений (3.3.10) имеем б = 0,0242 и 6 2= 0,0558 . Тогда на основании (3.3.2) с =0,4& . Результаты прогнозирования 9 первых наблюдений ряда А методами экспоненциального сглаживания, модифицированного экспоненциального сглаживания и оптимальным при ol=0,4& представлены в табл. I (для ряда A Х 47,0 ).
Начиная с одиннадцатого наблюдения результаты прогнозирования этими методами практически совпадают. Из этой таблицы видно, что предложенный метод оптимального прогнозирования дает выигрыш по сравнению с двумя другими. Однако для экспоненциального сглаживания этот выигрыш в основном определяется условием смещенности. Так,при оптимальном методе для первых 5 наблюдений Ст.е.при X е [2;б] ) среднеквадратическая ошибка уменьшается по сравнению с методом экспоненциального сглаживания в среднем на 98,75%,а для последних 4 наблюдений (т.е.при, Ь [7;10] ),когда смещенность в основном преодолена, - в среднем на 49,99%. Большая среднеквадратическая ошибка метода экспоненциального сглаживания для первых 5 наблюдений объясняется значительным средним уровнем ряда, равным 16-17. При меньшем среднем уровне эта среднеквадратическая ошибка уменьшилась бы,а при нулевом среднем уровне для метода экспоненциального сглаживания выполнялось бы условие несмещенности. По сравнению с модифицированным методом экспоненциального сглаживания прогнозы оптимального метода практически отличаются только при "t = 3,4,5 и на этом интервале они обеспечивают уменьшение среднеквадратической ошибки для ряда А в среднем на 4,23%. В общем случае уменьшение среднеквадратической ошибки при оптимальном методе прогнозирования зависит от момента времени и от характеристик процесса. Следует иметь в виду,что сравнение методов на отдельном временном ряде не позволяет сделать окончательных выводов. Поэтому для экспериментального сравнения различных методов прогнозирования и исследования влияния моментов времени и характеристик процесса на уменьшение среднеквадратической ошибки при оптимальном методе прогнозирования был разработан специальный программный комплекс,который производит статистическое моделирование временных рядов,их прогнозирование различными методами и сравнение полученных результатов. Данный комплеке состоит из 16 программных модулей и работает под управлением монитора. Прогнозирование по желанию пользователя может осуществляться методами: наименьших квадратов,модифицированного экспоненциального сглаживания,модифицированного Бокса-Дженкинса и оптимальным. Для процесса с горизонтальным трендом методы экспонен-циального сглаживания и Бокса-Дженкинса отличаются только тем,что для последнего из них & определяется из наблюдений. Модификация методов экспоненциального сглаживания и Бокса-Дженкинса заключается в таком определении начального прогноза,которое обеспечивает выполнение условия несмещенности. Так например,при прогнозировании горизонтального тренда обычными методами экспоненциального сглаживания и Бокса-Дженкинса игнорируются недостающие наблюдения, т.е. полагается "L, (4) - d Х1 а модификация этих методов заключается в данном случае в использовании И)в%1 ,что обеспечивает получение несмещенных прогнозов. Входной информацией для комплекса служат константы и параметры,указывающие количество моделируемых временных рядов, число наблюдений в одном ряде, вид тренда, характеристики процесса, методы прогнозирования,необходимость выдачи тех или иных отчетов и т.п. В качестве выходной информации на печать могут быть выданы константы и параметры, результаты моделирования, результаты прогнозирования отдельных временных рядов различными методами и среднеквадратические ошибки для каждого метода и каждого момента времени, усредненные по всем временным рядам. Для получения псевдослучайных чисел используется метод,предложенный Маклареном и Марсальей [41] .
