Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы и средства моделирования экономических процессов ... 14
1.1. Математическое моделирование экономической динамики 14
1.2. Модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс 26
1.3. Средства математического и эволюционного моделирования в прикладных задачах управления 33
1.4. Постановка задач исследования 38
Выводы 42
Глава 2. Управление одномерными системами экономической динамики 43
2.1. Обобщенно-однородные производственные функции постоянной эластичности замещения 43
2.1.1. Двухфакторная модель с обобщенно-однородными производственными функциями 43
2.1.2. Обобщенная производственная функция Леонтьева 53
2.1.3. Обобщенная производственная функция Кобба-Дугласа 54
2.1.4. Обобщенная производственная функция Солоу 55
2.2. Модель сбалансированного роста 59
2.3. Оптимизация в обобщенной односекторной модели экономической динамики Солоу 64
2.4. Решение уравнения модели с учетом убывающего фактора труда...75
2.5. Расчет односекторной модели экономической динамики с применением квазиоднородных функций для железнодорожной отрасли 79
2.5.1. Метод идентификации параметров производственной функции 79
2.5.2. Расчет параметров производственной функции 84
2.5.3. Расчет односекторной модели экономической динамики 89
Выводы 93
Глава 3. Управление в двухсекторных моделях экономики 95
3.1. Обобщенная модель Солоу-Мэнкью 95
3.2. Асимптотический анализ модели двухсекторной макроэкономической структуры методом теории погранслоиных функций 121
3.3. Принцип предпочтительности выбора вида транспорта на основе системы дифференциальных уравнений 150
Выводы 153
Глава 4. Задачи оптимального управления перевозками 155
4.1. Оптимизация использования подвижного состава частными перевозчиками 155
4.2. Генетические алгоритмы в задачах оптимизации управления на железнодорожном транспорте 162
4.2.1. Постановка задачи 162
4.2.2. Базовый алгоритм задачи нахождения оптимального маршрута 166
4.2.3. Алгоритм решения задачи «Обязательное посещение» 168
4.2 А. Алгоритм решения задачи «Обязательный ремонт» 171
Выводы 176
Заключение 177
Библиографический список использованной литературы 178
Приложение 189
- Модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс
- Двухфакторная модель с обобщенно-однородными производственными функциями
- Асимптотический анализ модели двухсекторной макроэкономической структуры методом теории погранслоиных функций
- Генетические алгоритмы в задачах оптимизации управления на железнодорожном транспорте
Введение к работе
В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении хозяйственной деятельностью. Особую актуальность математическая поддержка стратегий управления приобретает в переходные моменты развития, при смене форм собственности, когда возможные ошибки могут в буквальном смысле слишком дорого обойтись.
Традиционно сферу экономико-математического моделирования разделяют на макро- и микромоделирование. Модели макроуровня описывают экономическую деятельность на уровне государства, отрасли, крупных фирм, производственных объединений. Микроуровень охватывает отдельные задачи текущей хозяйственной деятельности предприятий, компаний, не касающиеся глобального распределения ресурсов. Для таких мощных и динамично развивающихся систем, как транспорт, играющих первостепенную роль в национальном хозяйстве, в равной степени актуальны оба из этих направлений моделирования.
Несмотря на то, что жизнедеятельность реальной экономики не охватывается в достаточно полной мере рамками неоклассических моделей экономического роста, они являются одними из наиболее активно исследуемых в настоящее время. Это объясняется не только обращением к рыночным механизмам российской экономики, но в большей степени тем, что «неоклассическая теория, оперирующая объемами ресурсов и продукции, легче поддается математизации с помощью классического математического аппарата» [58]. Для принятия решений необходимо целостное представление о процессе, знание тенденций и траекторий развития. В пределах
применимости модели можно определить наиболее выгодные пропорции между фондами, быстро оценить результаты инвестиций.
Большинство исследований этого направления оперирует с линейно-однородными производственными функциями как с качественной основой моделей. Для них определены устойчивые состояния равновесия, решен ряд оптимизационных задач, доказаны теоремы магистрального типа. Однако эти модели обладают известными недостатками, приводящими порой к результатам, не имеющим реальной практической интерпретации. Поэтому большой интерес представляет исследование моделей, использующих более широкий класс производственных функций, например, квазиоднородных функций. При этом для изучения свойств объектов, представленных такими моделями, часто более важно исследование не собственно параметров производственных функций, а систем соотношений, например, дифференциальных уравнений, однозначно определяющих класс таких функций.
Известно, что устойчивое экономическое развитие невозможно без введения более совершенных технологий. Модели, не учитывающие научно-технический прогресс (НТП), показывают предельные значения объема фондов, которые не могут быть превзойдены экономическим организмом, дальнейшее их повышение приведет только к падению уровня жизни [76]. Учет технологического прогресса позволяет строить более адекватные, реалистичные модели. В современном индустриальном мире вклад НТП в экономический рост составляет, по разным оценкам, 70-90%, поэтому макромоделирование последних десятилетий все большее внимание уделяет показателям технического прогресса.
Существуют различные подходы учета технологий в моделях, начиная от включения динамических коэффициентов для основных факторов производственных функций, без объяснения их структуры и способов формирования, до построения сложных нелинейных систем, например,
эволюционного типа, учитывающих различные аспекты инновационной деятельности, объемы знаний, выраженные множеством патентов, и даже экономическую политику государства. Развитие, обусловленное НТП, демонстрирует нелинейные зависимости, опосредованные большим количеством обратных связей, границы которых зачастую не определены. Поэтому эволюционный подход в моделях экономической динамики, опирающийся на опыт моделирования сложных систем в технических и биологических науках, часто дает гораздо более реальные прогнозы [24].
Чем выше значимость процессов, описываемых моделью, тем актуальнее вопросы, касающиеся устойчивости получаемых решений. Цель исследования вопросов устойчивости сложной динамической системы -анализ ее поведения под действием незапланированных изменений во внешней среде или режиме управления. Речь идет как об изучении возмущений, возникающих в начальном состоянии или внешнем входе системы, так и возмущений в структуре самой системы. Практическая ценность этих исследований состоит в возможности прогнозировать критические состояния системы, моменты ее перехода на новый технологический уровень. Это позволяет, в свою очередь, не только предотвращать негативные последствия, такие как, например, падение темпов роста эффективности, но и направленно влиять на ход научно-технического прогресса.
Помимо макроэкономических проблем оптимального планирования, обеспечение надежной и безубыточной работы транспортной отрасли требует решения ряда прикладных оптимизационных задач, относящихся к проблеме оптимального управления перевозками. Проблема оптимизация перевозок включает как новые задачи, связанные с реформированием железнодорожного транспорта и сменой форм собственности, так и задачи традиционного направления, касающиеся составления оптимального расписания передвижения составов. Новые технологии, внедряемые на
транспорте, дают возможность применять при управлении вагонным парком математические методы, рассчитывающие пути максимизации прибыли. Такие насущные транспортные проблемы, как оптимизация графика оборота составов и выбора минимального по затратам пути, имеют, как известно, большую, не совместимую с масштабом проблемы, вычислительную сложность, поэтому для их решения требуются новые подходы, например, средства эволюционного моделирования.
Цель данной работы - построение и исследование математических моделей макро- и микроуровня, способствующих процессу принятия решений в экономике, в том числе и в управлении хозяйственной деятельностью транспортной отрасли. Реализация этой цели подразумевает решение следующих задач:
определение класса квазиоднородных производственных функций; обобщение и последующее исследование односекторных неоклассических моделей экономической динамики для класса квазиоднородных производственных функций; решение для полученных моделей задач определения оптимального управления, максимизирующего удельное потребление при заданном горизонте планирования;
обобщение и исследование двухсекторных моделей экономической динамики, учитывающих технологический прогресс и инвестиции в НТП;
исследование двумерной транспортной модели, представляющей динамику выбора видов транспорта для определенного количества перевозок;
решение задачи об оптимальной взаимовыгодной коммерческой перевозке грузов разными грузоперевозчиками;
решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации затрат циклическом маршруте локомотива при условии, что каждый пункт маршрута должен быть посещен один раз и некоторое подмножество пунктов должно быть посещено в первую очередь;
- решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации расстояния (времени) циклическом маршруте подвижного состава при условии, что каждый пункт маршрута должен быть посещен один раз и через каждое фиксированное расстояние (время) состав должен посетить один из определенных пунктов для проведения техобслуживания или ремонта.
Объект исследования - процессы и модели экономической и производственной деятельности в транспортной отрасли.
Предмет исследования - континуальные и дискретные математические модели макро- и микроуровня, эволюционные модели.
Методы исследования: общие принципы математического моделирования, математический анализ и методы оптимизации, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория устойчивости по Ляпунову, численные методы и генетические алгоритмы.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
построено дифференциальное уравнение, определяющее параметрический класс квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замещения, частными случаями которых являются обобщенно-однородные функции Солоу, Кобба-Дугласа, Леонтьева;
для полученного класса функций обобщены и исследованы неоклассические модели экономического роста, для которых решены задачи оптимального управления, максимизирующего потребление, доказаны соответствующие теоремы о магистрали; для обобщенных моделей получены новые оптимальные значения, из которых известные результаты для линейно-однородных производственных функций могут быть выведены как частные случаи.
обобщена на случай факторизованных обобщенно-однородных функций двумерная модель Солоу-Мэнкью, учитывающая «человеческий капитал»; для этой модели и транспортной модели Дененбурга-де Пальма-
Кана, описывающей динамику выбора видов транспорта, впервые проведен полный анализ и детальное исследование устойчивости по Ляпунову;
для функционально-динамической двухсекторной модели НТП Кучина Б.Л., Якушевой Е.В. исследовано обобщение на случай инвестиций в НТП каждой из взаимодействующих отраслей; задача исследована на устойчивость первым методом Ляпунова, решена асимптотически с помощью метода погранслойных разложений А.Б. Васильевой и проанализирована по полученным формулам;
решена задача о взаимовыгодном перевозе грузов несколькими агентами - владельцами или арендаторами подвижного состава, для которой доказано существование безубыточной оптимальной организации перевозок по выбранному маршруту;
разработаны генетические алгоритмы поиска оптимального маршрута при соблюдении ряда условий, ограничивающих свободное перемещение между пунктами.
Содержание работы составляют введение, четыре главы, заключение и приложение.
В первой главе дается обзор некоторых средств и проблем моделирования экономических процессов и обосновывается постановка задачи. В 1.1 приводится краткий обзор существующих подходов к проблеме математического моделирования экономической динамики. В разделе 1.2 рассматриваются модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс. В 1.3 приводятся подходы к моделированию дискретных систем с помощью генетических алгоритмов. В разделе 1.4 обосновываются и формулируются задачи исследования.
Во второй главе строится параметрический класс квазиоднородных производственных функций, исследуются вопросы устойчивости и оптимального управления для ряда известных моделей экономической динамики и построенного класса производственных функций, приводится
расчет односекторной модели для железнодорожной отрасли. В 2.1 выводится дифференциальное уравнение для квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замены факторов, с учетом отдачи на масштаб и неравномерного растяжения по факторам. Строится решение этого уравнения, представляющее параметрический класс таких функций, параметром в которых является эластичность замены (2.1.1). Исходя из этого решения, выводятся обобщенно-однородные производственные функции Леонтьева (2.1.2), Кобба-Дугласа (2.1.3), и Солоу (2.1.4). Для полученного класса функций исследуется неоклассическая модель сбалансированного роста и рассматривается известная оптимизационная задача нахождения нормы накопления (отчисления), максимизирующая душевой доход (2.2). В 2.3 для этой же параметрической квазиоднородной производственной функции исследуется модель экономической динамики Солоу (вариант модели Рамсея). Доказывается асимптотическая устойчивость в целом положения равновесия уравнения модели. На полученной магистрали решается задача поиска оптимального управления, максимизирующего суммарное потребление для заданного горизонта планирования с условием достижения определенной величины обобщенной фондовооруженности. В 2.4 выводится аналитическое решение уравнения этой модели для квазиоднородной функции Кобба-Дугласа в случае убывающего фактора труда. В разделе 2.5 строится модель с квазиоднородной производственной функцией Солоу для железнодорожной отрасли. В 2.5.1 приводится метод идентификации параметров моделей, доказывается корректность этого метода. В 2.5.2 оцениваются параметры обобщенно-однородной производственной функции Солоу с использованием этого метода и процедуры бутстрэпа. В 2.5.3 приводятся результаты численного расчета модели.
В третьей главе исследуется ряд более сложных по размерности моделей двухсекторных экономических структур, с учетом НТП. В 3.1 обобщается и исследуется модель Солоу-Мэнкью, в которой в качестве
третьей независимой переменной производственной функции вводится «человеческий фактор», фактически представляющий собой долю высококвалифицированного труда в его общем объеме. Обобщение касается использования квазиоднородных производственных функций вместо классической функции Кобба-Дугласа, представления модели в виде произведения двух однофакторных функций, одна из которых описывает эволюцию физического капитала, а вторая - человеческого и снятия ограничений на равенство коэффициентов амортизации факторов. Модель исследуется на устойчивость найденных положений равновесия для различных сочетаний типов функций в произведении. Здесь же приводятся примеры численных расчетов для различных значений показателей. В 3.2 исследуется функционально-динамическая модель НТП [68], математической формой которой является система нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа, управление в которой реализуется механизмом обратных связей. Анализируется двухсекторная макроструктура, моделирующая взаимодействие через НТП двух смежных отраслей. В модели учитывается влияние инвестиций в НТП для каждой отрасли. Дается исследование устойчивости системы по Ляпунову и рассматривается процесс самоорганизации в этой двумерной структуре. Для этого проводится асимптотический анализ системы уравнений и определяется приближенное решение методом погранслойных разложений Васильевой [22, 87]. Приводятся результаты расчетов по построенным асимптотическим формулам. В 3.3 решается задача выбора оптимального вида транспорта при перевозке грузов. Используется транспортная модель [99], в которой снимается ряд существенных исходных ограничений. Полученное обобщение модели исследуется на устойчивость выделенных положений равновесия.
Четвертая глава содержит решение ряда задач оптимизации управления перевозками. В 4.1 решается задача взаимовыгодного перевоза заданного набора грузов несколькими агентами. Доказывается возможность безубыточной организации перевозки всех грузов из заданного набора по
выбранному маршруту. В 4.2 рассматриваются задачи нахождения оптимального пути с учетом различных практических ограничений, не вписывающихся в рамки классических постановок. Эти задачи решаются с помощью генетических алгоритмов. В 4.2.1 приводится общая постановка задачи. В 4.2.2 задается новый генетический алгоритм решения известной задачи коммивояжера, служащий основой последующих решений; доказывается корректность применяемого оператора кроссинговера. В 4.2.3 решается задача поиска минимального по затратам маршрута, в котором в первую очередь должны быть посещены пункты (города) из заданного набора. Данная проблема возникает, в частности, в системах управления на сортировочных станциях при выборе пути маневрового локомотива. Задача решается с помощью двухточечного кроссинговера, перемешивающего отдельно первоочередные и оставшиеся города. В 4.2.4 определяется наименьший по протяженности маршрут, в котором состав обязан периодически становиться на техобслуживание или плановый ремонт в одном из заданных пунктов. Для решения задачи использовалась модификация целевой функции - длины (стоимости) маршрута. Стоимость регулируется с помощью системы штрафов, добавляемых к вычисляемой длине маршрута. Величина штрафа пропорциональна отклонению от «идеального» по отношению к расположению ремонтных городов варианта.
В заключении приведены основные результаты работы.
Приложение содержит основные коды программ, реализующих предложенные алгоритмы.
Полученные результаты апробированы в докладах всероссийского семинара «Экология. Экономика. Информатика» (Дюрсо, 1999; Дюрсо,2000), 23-ей международной школы-семинара «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Дивноморск, 2000), второго, третьего четвертого и пятого всероссийских симпозиумов по прикладной и промышленной математике (Самара,2001; Йошкар-Ола, 2002; Сочи, 2003, 2004), X международной конференции «Математика. Экономика.
Образование» (Дюрсо, 2002), международного семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002), XXX всероссийской школы-семинара «Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика» (Ростов-на-Дону, 2002), всероссийской конференции «Вклад ученых вузов в научно-технический прогресс на железнодорожном транспорте» (Самара, 2003), VI всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2002), отраслевых и всероссийских научно-теоретических конференций «Транспорт-2002», «Транспорт-2003», «Транспорт-2005» (Ростов-на-Дону, 2002-2005).
Все основные результаты опубликованы в работах [28-31, 35-44, 46-55].
Результаты работы применимы для моделирования, прогнозирования и управления хозяйственной деятельностью как макроэкономических объектов, так и отдельных предприятий и объединений, в том числе транспортной отрасли. Разработанные алгоритмы и программы позволяют оценить текущее состояние основных экономических показателей крупных транспортных компаний, а также определить оптимальные стратегии управления в конкретных задачах организации перевозок.
Результаты диссертационной работы используются в Ростовском филиале ВНИИАС при разработке систем автоматизации управления сортировочными станциями, учебном процессе РГУПС, а также приняты к внедрению на Северо-Кавказской железной дороге - филиале ОАО «РЖД». Акты о внедрении и использовании результатов работы приведены в диссертации.
Модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс
Кривая зависимости удельного выпуска (Y/L)OT фондовооруженности (K/L) для CES-функций имеет асимптоту, т.е. при бесконечном росте фондовооруженности производство не растет неограниченно, как в случае функции Кобба-Дугласа. Это означает, что в случае ограниченности одного из ресурсов нельзя достигнуть любого наперед заданного общего дохода только за счет увеличения использования другого ресурса. Связь с функцией Кобба-Дугласа в том, что при р — О функция с постоянной эластичностью замещения стремится к функции Кобба-Дугласа.
Парная эластичность замещения факторов является не всегда достаточной характеристикой замены факторов, используемой при анализе производственных функций. В [59] предлагается новая характеристика -эластичность пропорционального роста, представляющая собой эластичность предельной нормы замещения факторов по масштабу производства. Показано, что класс функций с постоянными эластичностями замены и пропорционального роста включает функции Кобба-Дугласа и не включает функции Солоу. Одной из актуальных задач макромоделирования является выделение «эквивалентных систем», например, совокупности дифференциальных, интегральных или функциональных уравнений, отражающих зависимость экономических характеристик производственных функций, решением которых будет исследуемый (параметрический) класс производственных функций. Речь идет, как правило, о выделении условий, однозначно определяющих какой либо класс функций. Одним из важных мотивов такого подхода является тот факт, что экономическое содержание и интерпретацию в общем случае имеют не параметры и операции в записи функции, а специально отобранные производные зависимости, представленные «эквивалентной» системой. Известны такие системы для функций Кобба-Дугласа, Леонтьева. В работе [60] дается аксиоматическое описание многофакторных функций Солоу в терминах соотношений между дифференциальными характеристиками производственной функции. Приводится несколько вариантов условий, необходимых и достаточных для того, чтобы исследуемая функция являлась функцией Солоу. В [92] предлагается подход к построению производственных функций, основанный на формулировании «физически наглядных» дифференциальных уравнений динамики производства.
Задача определения эквивалентных систем расширяет арсенал моделирования, позволяя строить более адекватные модели. В [68] на основе этой концепции исследован класс линейно-однородных CES-функций. В настоящей работе (раздел 2.1) построена система, решением которой является параметрический класс квазиоднородных производственных функций с параметром а, частными случаями которого являются функции Кобба-Дугласа, Леонтьева, Солоу.
Исследование динамики производственных функций предполагает решение ряда вопросов, связанных с изучением потребления и распределения капиталовложений. Одним из наиболее актуальных направлений исследования взаимоотношения процессов производства и потребления является решение различных оптимизационных задач. Так, например, если известна зависимость объема производства от ставки зарплаты (dF/dL), т. е. той части выпуска, которая выделяется на потребление, возникает задача определения наиболее выгодных пропорций между фондами накопления и потребления. В ранних моделях (например, Харрода-Домара [91, 106]), в которых определяющим было развитие фондов, была получена оптимальная («оправданная») для темпа экономического роста траектория, которая, однако, являлась неустойчивой, и движение вдоль нее поэтому было в принципе неосуществимо.
В моделях неоклассического направления, использующих двухфакторные производственные функции (например, функции Солоу), при фиксированной норме накопления движение вдоль оптимальной траектории оказывается устойчивым, причем траектория устойчива тогда и только тогда, когда вдоль нее темп роста труда совпадает с темпом роста капитала и темпом роста выпуска. Такую траекторию называют сбалансированным ростом. Одна из наиболее известных и развиваемых моделей, приводящих к сбалансированному росту, - модель Рамсея [117].
Двухфакторная модель с обобщенно-однородными производственными функциями
Проблема эффективного управления динамикой экономических процессов включает в себя решение задач как на отраслевом, государственном уровне, так и на уровне отдельных объектов хозяйственной деятельности. Поэтому исследования данной работы предполагалось вести в двух направлениях, касающихся макро- и микроэкономической деятельности, и в качестве инструмента исследования использовать аппарат математического и эволюционного моделирования динамических процессов.
Наиболее известные макромодели экономики, позволяющие достаточно быстро оценить результаты экономической деятельности, построены на линейно-однородных производственных функциях, что, хотя и упрощает математический анализ, но не всегда оправдано с практической точки зрения. Развиваемые в последние годы квазиоднородные производственные функции с постоянной эластичностью замены, позволяют избежать этой неадекватности. Поскольку конкретная производственная функция не дает достаточно информации для характеристики поведения и качественного анализа моделей, математическое определение и исследование классов таких функций само по себе является актуальной задачей.
Кроме того, применение квазиоднородных функций в неоклассических моделях недостаточно исследовано, в частности, оптимизационные задачи, магистральные структуры. Между тем известно, что теоремы о магистрали являются теоретическим средством принципиального характера, позволяющим сокращать большую размерность моделей, связанную со временем. Численное решение поиска оптимальных траекторий не обязательно приводит к пониманию изменения во времени связей в динамической модели. В то же время для оценки адекватности и полезности модели правильное представление о существенных чертах ее поведения может быть важнее результатов конкретного расчета. Исследование магистральных структур позволяет характеризовать оптимальные траектории до того, как эти траектории могут быть найдены.
Поэтому первой задачей данной работы стало математическое определение параметрического класса квазиоднородных производственных функций и исследование их применения в неоклассических моделях экономической динамики, в том числе в рамках магистральной теории. Требовалось решить оптимизационные задачи для этих моделей с постоянным и переменным управлением и исследовать характер решения в долгосрочном периоде.
Хотя достаточно простые односекторные модели и дают возможность быстрого анализа экономических ситуаций, они хорошо работают лишь в периоды относительно стабильного развития экономики с существенно не изменяющейся технологией. Известно, однако, что при бурно развивающемся техническом прогрессе доход от инвестиций в НТП составляет весьма значительную часть совокупного дохода. Среди множества подходов к моделированию НТП особое направление составляют модели, аналогичные по своей структуре технико-биологическим моделям эволюционного характера. Они позволяют оценить взаимовлияние через НТП различных экономических объектов и поэтому часто представляются более адекватными. Исследование подобных моделей позволяет изучать процессы самоорганизации, возникающие в макроэкономической структуре под воздействием различных возмущений.
Вторая задача данной работы: исследовать модели, учитывающие технологический прогресс, в частности, в доле высококвалифицированного труда (модель Солоу-Мэнкью) и во взаимодействии двух макроструктур, например, отраслей, реализующем механизм обратных связей (модель Кучина-Якушевой). Последняя модель, исследованная авторами лишь фрагментарно, представляет особенный интерес, так как включает в себя в качестве частных случаев известные модели экзогенного и эндогенного НТП, допускает учет инвестиций в НТП по каждой отрасли и является по своей математической форме системой нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа, аналогичной динамическим моделям развития биологических сообществ.
Дальнейшие исследования, проведенные в данной работе, связаны непосредственно с транспортной отраслью, актуальной задачей которой является оптимизация перевозок. В рамках этой проблемы интерес представляют как разработки теоретического характера, касающиеся аналитического определения оптимальных стратегий управления, так и решение конкретных практических задач, например, поиск оптимального маршрута при заданных условиях, ограничивающих свободное передвижение.
Третья задача работы - поиск оптимальных стратегий при выборе видов транспорта с учетом определенных предпочтений, например, скорости перевозки, и решение задачи об оптимальной взаимовыгодной коммерческой перевозке грузов разными грузоперевозчиками. Для решения первой из этих проблем предполагалось использование в качестве источника транспортной модели Денебурга, де Пальмы и Канна, для решения второй - проведение специального математического исследования.
Задачи оптимального управления перевозками охватывают круг технологических проблем, которые включают в себя, в частности, оптимизацию графиков оборота составов и выбор маневрового пути локомотива в пригородном движении. Проблемы оптимального управления перевозками часто формализуются как те или иные модификации классической задачи коммивояжера. Однако NP-полнота этой проблемы и специфические условия, накладываемые практическими требованиями, выводят эту задачу за рамки классических математических методов решения.
Поэтому четвертая задача работы - разработка генетических алгоритмов построения оптимальных с точки зрения минимизации затрат циклических маршрутов при условиях, что некоторое подмножество пунктов должно быть посещено в первую очередь, и что через каждое фиксированное расстояние (время) состав должен посетить один из определенных пунктов для проведения техобслуживания или ремонта. При этом остаются в силе и ограничения задачи коммивояжера.
Полнота исследований предполагает проведение расчетов для конкретных показателей отрасли. Поскольку реализация каждой из рассматриваемых моделей и подходов является отдельной сложной областью исследований, для практического приложения выбрана неоклассическая модель экономической динамики, известная как одна из разновидностей модели Рамсея, позволяющая «настраивать» управление, что может быть удобным в условиях переходных периодов для экономики. Изменение форм собственности, происходящее в России и в настоящее время, не способствует полноценному применению равновесных моделей, рассчитанных на долговременные периоды достаточно стабильного развития.
Асимптотический анализ модели двухсекторной макроэкономической структуры методом теории погранслоиных функций
При реформировании железнодорожного транспорта предусматривается передача части подвижного состава (различных видов вагонов для перевозки грузов) в аренду, а также приобретение подвижного состава частными перевозчиками и предложение его для компаний, перевозящих грузы. В этих условиях частный владелец подвижного состава или арендующий его будут стремиться к максимизации прибыли, извлекаемой от владения этим составом временно или постоянно.
Внедряемые на транспорте новые информационные технологии уже сегодня могут предоставить достаточно полную информацию о местонахождении вагонов, а также о потребностях в перевозке грузов. Кроме того, эти технологии позволяют делать достаточно точные прогнозы о прибытии вагонов в те или иные пункты назначения. Все это дает возможность применить при управлении вагонным парком математические методы, позволяющие оптимизировать использование подвижного состава с точки зрения максимизации прибыли.
Рассмотрим один из таких подходов. Задача состоит в нахождении оптимального распределения перевозок грузов между различными перевозчиками. Имеются пункты (железнодорожные станции), на которых хранятся грузы различных грузоотправителей, подлежащие перевозке. Составим базу данных, содержащую сведения о грузах, которые могут быть перевезены определенным типом вагонов. Для каждого такого груза вводим его характеристику в виде вектора с параметрами (хі,х2,...,хп). В качестве параметров могут быть взяты, например, , - количество груза, х2 -стоимость его перевозки за единицу на определенное расстояние, х3 -расстояние, на которое его надо перевезти, х4 - вид оплаты за груз (предоплата, оплата по факту доставки), х5 - время погрузки-выгрузки груза и т.д. У владельца (арендатора) подвижного состава имеются предпочтения, Определяемые ВеКТОрОМ V - Набором «ВеСОВ» (vl»v2 - VA7) Для соответствующих показателей груза. Естественно считать, например, что показатели v, 0 и v2 0, так как арендатор предпочитает соответственно перевозку большего количества груза и с большей стоимостью оплат перевозки. Аналогично, v5 0, так как арендатору или владельцу выгоднее, чтобы вагон находился под погрузкой-выгрузкой как можно меньше времени. Общая ценность груза с точки зрения владельца вычисляется как скалярное произведение двух векторов Отметим, что диагональ этой матрицы (zmm) представляет собой набор оценок владельца (арендатора) тех грузов, перевозка которых является для него безубыточной (но и безприбыльной). По сути, Z является произведением матрицы ЛГ (в которой векторы Хк располагаются по строкам) и матрицы V (в которой векторы Vm выстраиваются по столбцам). Возникает вопрос, насколько богатый класс матриц порождает такой способ их построения. Ситуацию проясняют следующие теоремы. при этом в сумме (4.3) существует коэффициент 4» отличный от нуля. Умножим (4.3) скалярно на Vх, тогда с учетом элементов первой строки получаем 4 = 0. Действуя аналогичным образом для всех т п, получаем Лт =0. Поэтому единственный ненулевой коэффициент в (4.3) - это Лп. Но тогда из этого уравнения получаем X" = 0, что противоречит нашему предположению. Возможен не только многоугольник, но и более сложное расположение полупространств. Например, на рис. 4.16 приведена ситуация, соответствующая циклу длины три [Xі - X2 - X3 —» Xі). Но мы будем рассматривать случай, когда образуется многоугольник. Возможна и противоположная ситуация. Обозначим через D -дополнение к Dj. Если пересечение всех D ,...,D M образует многоугольник, на сторонах которого находятся точки 1- J, тп. Тогда не существует ни одного циклического взаимовыгодного обмена. Возникает вопрос: позволяет ли процесс изменения оценок организовать для заданных {Xmj и \Vm\ длинный циклический обмен, охватывающий все A"m j? Утверждение 4.3. Для любого набора грузов \Хт) при подходящем выборе оценок \ут\ возникает циклический обмен, охватывающий все {хт}. Доказательство. Пусть точки \Хт j лежат в Rn. Построим сначала многогранник Р - выпуклую оболочку точек \Хт . А затем опишем вокруг Р многогранник Q так, чтобы каждая грань Q проходила через одну из вершин Р. Здесь возможны следующие два варианта.
Генетические алгоритмы в задачах оптимизации управления на железнодорожном транспорте
Задачи оптимального управления перевозками охватывают круг технологических проблем, которые включают в себя, в частности, оптимизацию графиков оборота составов и выбор маневрового пути локомотива в пригородном движении. Например, минимизация транспортных затрат при прохождении локомотивом циклического маршрута, в котором стоимость переезда пропорциональна пройденному локомотивом расстоянию и матрица расстояний между пунктами известна или минимизация времени ожидания работы составом в различных пунктах.
Проблемы оптимального управления перевозками часто формализуются как те или иные модификации классической задачи коммивояжера. Поэтому генетический алгоритм ее решения будет служить основой в решении задач оптимизации перевозок.
Задача оптимизации управления маневровой работой на сортировочной станции имеет важное значение, так как если рассматривать сортировочную горку, то маневры занимают примерно 20 процентов времени от общего времени работы. Внедрение систем автоматизации управления технологическими процессами на сортировочных станциях позволяет оптимизировать принимаемые решения, в том числе и по управлению маневрами. Одна из таких задач - оптимизация пути маневрового локомотива при выполнении маневров. В ней вершинами ориентированного графа (городам) в задаче коммивояжера соответствуют требующие маневров точки путевого развития станции (перестановка «чужака», ликвидация ситуации «нет прохода» и т.п.), а также местоположение самого маневрового локомотива. В качестве расстояния между вершинами берется фактическое расстояние между точками путевого развития станции или среднее время движения между ними. При этом соединяющие вершины дуги в общем случае имеют разные веса (заезжать для маневров локомотив будет в одну точку, а выезжать может фактически из другой - к примеру, после перестановки вагона с одного пути на другой, а вершина графа (город) фактически соответствует маневровой операции).
В работе впервые рассматривается ситуация, когда некоторые маневры необходимо выполнить в обязательно первоочередном порядке (задача «Обязательное посещение»). В автоматизированных системах управления работой подвижного состава, в частности, в пригородном движении электропоездов, актуальной является проблема разработки графика работы электропоездов, учитывающего расписание движения пригородных электропоездов, а также необходимые технические обслуживания электропоездов в депо. В этом случае вершинам ориентированного графа (городам) в задаче коммивояжера соответствуют поездки электропоездов согласно расписанию движения. Техобслуживания (или ремонты) условно также считаются поездками. Расстояниями между вершинами xt и Xj ориентированного графа (городами) являются сумма времени ожидания составом работы на конечной станции, пункте оборота или приписки (для поездки Xj) и продолжительности самой поездки X:, или сумма времени поездки и порожнего пробега (электропоезд прибыл по расписанию на одну станцию, а отправляется с другой, порожние пробеги можно запретить, задав расстояние между такими вершинами (городами) равным бесконечности). Задача имеет несомненный практический интерес, так как оптимизация графика оборота электропоездов позволяет минимизировать количество электропоездов при выполнении всех заявок на поездки, согласно расписанию движения поездов с соблюдением режимов ремонта и обслуживания подвижного состава. Особенностью задачи «Обязательный ремонт», отличающей ее из известных, является ограничение при решении задачи коммивояжера, заключающееся в том, что через определенное расстояние (или время) необходимо обязательно посетить определенный пункт (город, вершину), где производится техобслуживание или ремонт. В данном разделе исследуются следующие задачи: 1. Задача определения базового генетического алгоритма решения классической задачи коммивояжера: найти оптимальный с точки зрения минимизации транспортных затрат циклический маршрут, включающий N пунктов, каждый из которых должен быть посещен, причем только один раз. 2. Задача «Обязательное посещение»: минимизировать стоимость пути коммивояжера, при условии, что некоторые города являются приоритетными для посещения. 3. Задача «Обязательный ремонт»: найти оптимальный (наименьший) по протяженности маршрут с учетом того, что через фиксированное расстояние коммивояжер должен обязательно побывать в одном из определенных городов. Общим моментом решения этих задач является использование нового оператора кроссинговера. Задается точка разбиения каждой родительской особи. Потомок образуется в результате обмена частями родительских хромосом. В результате этого процесса может образоваться пара потомков, в каждом из которых содержатся одинаковые гены (повтор городов в маршруте). Этот дефект устраняется попарным обменом повторяющихся элементов между потомками.
