Содержание к диссертации
Введение
1. Проблемы математического и лингвистического обеспечения в машиностроительных САПР 63
1.1. Основные проблемы современного геометрического моделирования в машиностроительных САПР 64
1.1.1 Обмен геометрическими моделями 64
1.1.2. Точность геометрического моделирования. 70
1.2. Аналитическая геометрия и дискретная математика, как основы математического обеспечения САПР 72
1.3. Теоретические основы представления проектируемого изделия в САПР
1.3.1. Классическое представление о симметрии 79
1.3.2. Конвексная геометрия 83
1.4. Негеометрические методы для создания модели изделия 86
1.4.1. Декартово произведение и аксиоматика множеств 86
1.4.2. Лингвистические методы и термины 90
1.4.3. Реляционная алгебра и отношения на множестве 93
1.5 Фундаментальное свойство подобия как единый механизм объединяющий геометрическое моделирование, расчеты и дизайн 96
2. Системный анализ внутренних отношений объекта проектирования машиностроительных изделий 100
2.1. Канонические формулы системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями в ортонормированном базисе 100
2.2. Канонические формулы и именные преобразования в САПР 105
2.3. Непротиворечивость вырожденных преобразований ГМ 110
2.3. Исследование симметрии Дьедонне 124
2.4. Теоретико-информационный анализ применения переставной симметрии в реляционной алгебре 130
2.5. Теоретико-множественный анализ внутренних отношений евклидовой плоскости. Гипотеза баланса симметрии
2.6. Выводы по главе 140
3. Изменения математического обеспечения САПР при проектировании изделия с использованием новой теории 142
3.1 Окружность. Понятие СНОП базиса 142
3.2 Эллипс в СНОП базисе 146
3.3 Гипербола в СНОП-базисе 152
3.4. Метод решения системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями 155
3.5 Исследование значений полученных параметров 159
3.6. Выводы по главе 173
4. Создание базы лингвистического обеспечения САПР на основе предлагаемой теории 175
4.1. Алгебраическое обоснование 175
4.2. Математическое моделирование трансформаций плоских кривых
4.2.1. Исследование свойств симметрии матриц преобразования 184
4.2.2. Канонические преобразования плоских кривых
4.3 Исследования преобразований декартова листа 191
4.4 Исследования преобразований лемнискаты Жероно 202
4.5. Выводы по главе 217
5. Методы увеличения точности геометрического моделирования в САПР 219
5.1 Некоторые случаи нахождения точек пересечений 219
5.1.1 Пересечение двух отрезков прямых. 219
5.1.2 Пересечение дуги окружности и отрезка прямой. 221
5.1.3 Пересечение дуг окружностей. 223
5.1.4 Пересечение дуги эллипса и отрезка прямой. 226
5.1.5 Пересечение дуги окружности и дуги эллипса 227
5.2. Первые шаги цепочки преобразований 231
5.3 Выбор вида именного преобразования 233
5.4. Исследование преобразования сдвиг 237
5.4.1 Параметры эллипса при сдвиге вдоль оси X 238
5.4.2. Параметры эллипса при сдвиге вдоль оси Y 242
5.4.3 Приведение к единому СНОП базису по углу симметрии 247
5.4.4 Решение по сдвигу
5.5. Последние шаги цепочки преобразований 256
5.6. Моделирование нахождения параметра сдвига 264
5.7. Другие вычислительные эксперименты 268
5.8. Выводы по главе 276
6. Применения теории в решении задач машиностроительных САПР
6.1. Оценка точности действительной арифметики для расчетов 278
6.2. Траектория движения точки вне оси шатуна 283
6.3. Точный расчет фрезерной и токарной обработки 287
6.4. Проблемы передачи геометрической модели 289
6.5. Расчет высокоточных стальных профилей 296
6.6. Применения теории в нематематических задачах автоматизированного проектирования 304
6.6.1. Геометрическая модель и восприятие человеком изделия в задачах дизайна 304
6.6.2. Методика обучения для работы в машиностроительном САПР 318
6.7. Выводы по главе 320
Основные выводы и результаты 322
Список литературы
- Аналитическая геометрия и дискретная математика, как основы математического обеспечения САПР
- Исследование симметрии Дьедонне
- Метод решения системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями
- Исследования преобразований лемнискаты Жероно
Введение к работе
Актуальность исследования. Точность изготовления продукции машиностроения влияет не только на потребительские качества изделий, но и, в конечном счете, на саму человеческую жизнь. Поэтому точность геометрического моделирования в САПР должна быть как можно более высока. NURBS и R-функции хорошо определяют различные сложные поверхности, но с помощью них нельзя обеспечить высокую точность по их определению. Таким образом, решение задачи увеличения точности в геометрическом моделировании вместе с улучшением дизайна изделия позволят увеличить потребительские свойства выпускаемой в нашей стране продукции и успешно конкурировать в условиях глобализации российским фирмам.
Для повышения эффективности поддержки жизненного цикла, в течение последних четырех десятилетий разрабатывается набор международных стандартов для CALS-технологий. Технологии обогатили информатику шаблонами IDEFIX, DFD и т.д., которые успешно применяются в документообороте, проектирования реляционных баз данных и других составляющих поддержки жизненного цикла изделия. Для обмена геометрическими моделями (ГМ) предназначен язык Express-G стандарта STEP. Отсутствие результатов в геометрических исследованиях форм сложнее, чем квадратичная, определенных для всех значений метода для линейных преобразований, привело к тому, что описание ГМ ведется преимущественно лингвистическими средствами. Ответственность за интерпретацию возлагается то на производителя ГМ, то на конечного пользователя. Как результат такого подхода является разработка и отмена различных эталонов обмена ГМ в рамках стандарта STEP. Мало того, современное толкование CALS-технологий подразумевается исключительно обмен геометрическими моделями между информационными системами. Современное производство требует работы с объемной ГМ на самых ранних стадиях проектирования изделия. Вместе с тем, невозможность однозначной передачи заставляет фирмы производители САПР либо разрабатывать модель в глобальной сети (AutoCAD, CATIA, Pro/ENGINEER) либо проектировать прямые трансляторы (Pro/ENGTNEER, Solid Works).
В современных производственных технологиях, например, в быстром прототипировании наиболее трудозатратным этапом является создание ГМ. Вместе с тем, точность и правильность проектирования значительно возрастают, так как ГМ является эталоном для проверки изготовляемой продукции. Сложилась парадоксальная ситуация, когда точность ГМ ниже точности оборудования, на котором выпускается деталь. Точность проектирования зависит от математических методов расчета ГМ заложенных в САПР. Применение аналитических методов расчета невозможно в связи с недостаточной их развитостью в различных частях геометрии. Основой же САПР является аналитическая геометрия. Считая, что основой пространства Ж" является евклидова плоскость,
основные работы по решению геометрических проблем должны быть сосредо-
точены именно на Ж .
Аналитическая геометрия является базовой математической дисциплиной естественных наук. В последние 50 лет развития аналитической геометрии стало принято рассматривать декартово произведение, как основу построения пространства. Данный результат принято связывать с работами группы Бурбаки и, в частности, с работами Дьедонне. Последние работы в области аналитической геометрии в СССР можно связать с именами Н.В. Ефимова, П.С. Александрова, Н.И. Мусхешвили. С точки зрения данной работы, главным теоретическим результатом этих исследований является утверждение о том, что вырожденное преобразование трансформирует плоскость в прямую линию по Ефимову. В настоящее время исследования по аналитической геометрии переместились в вычислительную геометрию.
Вычислительная геометрия - это дисциплина предназначенная, прежде всего, для получения практических результатов. В алгоритмах, используемых в ней, принято употреблять результаты исследований различных наук. К собственным методам вычислительной геометрии следует отнести цепочки преобразований, описанные в работах П. Шенена, М. Коснара, И. Гардана. В задачах вычислительной геометрии необходимо находить не только точки пересечения фигур, но и определить принадлежность данной точки множеству точек ограниченной части фигуры. В вычислительном процессе последняя задача может занимать большее время, чем непосредственно расчет. Цепочки преобразований позволяют свести количество данных проверок к минимуму. К сожалению, алгоритмы и методы вычислительной геометрии не всегда могут обеспечить требуемую точность геометрического моделирования, что вынуждает проводить исследования в области математики.
Бурное развитие информационных технологий, начиная с середины двадцатого века, принесло множество научных результатов, напрямую не связанных с геометрией, но оперирующих с тем же декартовым произведением. Операция «декартово произведение» является частью теории множеств. Одним из главных результатов является построение ZF аксиоматики на основе автоморф-ного отношения принадлежности множеству, предложенное А. Френкелем. Соединение теории множеств и геометрии в настоящее время активно осуществляется в рамках дискретной или конвексной геометрий. Следуя тому же принципу, можно соединить геометрию и реляционную алгебру, как науку, вытекающую из теории множеств. При этом необходимо отметить работы Э. Кодда, предложившего, что отношения определяются перед множеством, а не наоборот. Сравнительный системный анализ применения декартова произведения в реляционной алгебре (информационные технологии), теории множеств и геометрии может привести к получению новых результатов.
Вместе с тем, еще Гильберт предполагал, что для решения геометрических задач следует изучить лингвистическими правила построения плоскости. Поэтому предлагается дополнительно использовать структурную лингвистику в интерпретации В.А. Звегинцева.
Базисные работы исследования - это труды Кантора в области теории чисел, Г. Вейля и Дьедонне, развивших фундаментальный принцип подобия Лейбница, Ефимова в геометрии, Бахмана и Яглома в симметрической аксиоматике, Цермело и Френкеля в теории множеств, Кодда в реляционной алгебре; Звегинцева в структурной лингвистике. Многие из этих направлений вышли из геометрических исследований. Главные теоретические результаты теорий сформулированы. Настал момент системно проанализировать их вместе, что, возможно, позволит решить три основные проблемы САПР, унификацию протоколов обмена, увеличение точности проектирования, соединения в единую математической теорию лингвистического, математического и дизайнерского обеспечения САПР.
Область исследования. Диссертационная работа выполнена в соответствии с пунктами «2. Разработка научных основ создания систем автоматизации проектирования и автоматизации технологической подготовки производства (САПР и АСТПП)», «6. Разработка научных основ реализации жизненного цикла проектирование - производство - эксплуатация, построения интегрированных средств управления проектными работами и унификации прикладных протоколов информационной поддержки», «8. Разработка научных основ построения средств компьютерной графики, методов геометрического моделирования проектируемых объектов и синтеза виртуальной реальности» паспорта специальности 05.13.12 «Системы автоматизации проектирования», «8. Теоретико-множественный и теоретико-информационный анализ сложных систем», «13. Методы получения, анализа и обработки экспертной информации» паспорта специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации».
Объект исследования: методология создания геометрической модели в САПР, построенной с учетом внутренних свойств евклидовой ПЛОСКОСТИ Ж X Ж.
Предметом исследования является теоретическое обоснование и математическое моделирование внутренних свойств евклидовой плоскости для задач САПР, а именно, трансформаций плоских кривых, методы увеличения точности геометрического моделирования в САПР, принципы применения теории в нематематических задачах автоматизированного проектирования.
Цель и задачи диссертационной работы. Целью исследования является совершенствование существующих и разработка новых научных основ математического и лингвистического обеспечения САПР на базе новых методов геометрического моделирования, исходя из внутренних отношений (автоморфизмов), присущих евклидовой плоскости, что повысит эффективность новых САПР путем увеличения точности геометрических расчетов и унификации протоколов проектируемой информации для передачи без потери семантики.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- выявить ограничения существующих теоретических геометрических исследований и практических реализаций, не позволяющих развивать математическое и лингвистическое обеспечение САПР;
уточнить и развить теорию геометрического моделирования в САПР, разработать методологические принципы, математические модели, методы и алгоритмы, предложив системные связи между геометрией, теорией множеств и информационными технологиями, на основе которых обосновать новые принципы математического обеспечения САПР путем теоретико-множественного и теоретико-информационного анализа;
описать правила теории, предназначенной для решения вычислительных задач САПР, на основе структурной языковой лингвистики, реляционной алгебры, методов искусственного интеллекта для вычислительных задач, решаемых в компьютерной графике САПР;
развить на основе системного анализа методологию аналитической геометрии посредством построения адекватных математических моделей вычислительных процессов, методов и алгоритмов, позволяющих решать типовые задачи проектирования и расчета, обеспечивая оптимальные варианты компьютерного моделирования в САПР;
сформулировать и дать решения практических задач проектирования и расчета геометрических параметров жордановых кривых в условиях реального времени, позволяющих повысить эффективность, количественные и качественные показатели функционирования графических построений в САПР;
разработать рекомендации и предложения по обеспечению внедрения прикладного программно-методического комплекса в практику реального проектирования машиностроительных изделий, по их использованию для получения перспективных решений задач геометрического построения в САПР и по унификации прикладных протоколов информационной поддержки.
Методы исследования. В работе применялись теоретические и экспериментальные методы исследования.
Теоретические исследования базируются на использовании теории аналитической геометрии в части метода получения параметров линейного преобразования с использованием обратной матрицы в собственном базисе, понятием вырожденного преобразования по Ефимову, бинарным представлением симметрии Бахмана, определением симметрии в интерпретации М.Борна; универсальная алгебра представлена алгебраическим методом получения решений, некоторыми аксиомами; теория множеств используется на уровне определения базового ав-томорфного отношения Френкеля, понятия декартово произведение и аксиоматики теории множеств; теория лингвистики представлена структурной лингвистикой в интерпретации Звегинцева, а именно, бинарными правилами внутреннего представления языка; из реляционной алгебры взят принцип первенства отношения над множеством, применимость выборки из множества вне зависимости от мощности множества; теория чисел представлена базовыми отношениями Кантора на числовых множествах, аксиомой Дедекинда; теория подобия берется по работам Дьедонне с учетом таблицы автоморфизмов Вейля и другими сим-метриями, представленными в его работах; из вычислительной геометрии взято понятие цепочки преобразований; из теории искусственного интеллекта метод семиотический анализа и логический вывод.
Информационная модель интерпретирующих систем создана с учетом объектно-ориентированных принципов разработки программных комплексов. Математического моделирование реализовано на алгоритмическом языке высокого уровня - Object Pascal, интерфейс пользователя разработан в интегрированной среде Borland Delphi 2006. Методическое обеспечение проверялось в учебном процессе в ФБГОУ ВПО ИжГТУ им. М.Т. Калашникова на протяжении десяти лет.
Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов: обеспечены строгими математическими доказательствами теорем, выполненными в ходе исследований, или экспериментальной проверкой; подтверждены сопоставлением результатов теоретических исследований с экспериментальными данными, полученными путем моделирования. Достигнутые результаты дополняют современные научные представления и данные отечественных и зарубежных информационных источников. Они также подтверждаются их представительным обсуждением в научных изданиях и выступлениях на научных конференциях международного и российского уровней. Некоторые технические решения внедрены в производство.
Основные положения, выносимые на защиту:
Методология расчета параметров вырожденных преобразований жорда-новых кривых, как не противоречащая внутренним свойствам ГМ в САПР.
Информационно-множественный (системный) анализ для обоснования синтаксического правила взаимодействий внутренних свойств евклидовой плоскости - гипотезы сохранения баланса симметрии и собственного неортогонального постоянного базиса квадратичных и более сложных форм.
Методология прямого аналитического расчета непроективного линейного преобразования конического сечения, объединяющего вырожденные и линейно-независимые преобразования, как основа геометрического моделирования в САПР.
Математическая модель и алгоритм построения, компьютерное моделирование цепочки линейных преобразований для нахождения точек пересечения двух эллипсов.
Методология решения прикладных геометрических задач:
принципы представления и хранения ГМ в стандартах обмена информацией на основе канонических формул пространственных и плоских кривых;
траектория расположения точки, расположенной вне оси плоского шатуна при его движении применительно для проектирования шлифовальных и строгальных станков;
траектория обработки сложных эллиптических поверхностей для фрезерной и токарной обработки;
автоморфизмы евклидовой плоскости в произведениях живописи и исследованиях человека для задач дизайна проектируемого изделия;
основы методики обучения работы в САПР. Постановка и алгоритмы решения вычислительных задач:
оценка точности действительных команд на компьютере;
- расчет мгновенного центра деформаций плоского стального высокоточ
ного профиля.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:
-
На основе системного подхода построена информационно-лингвистическая интерпретация геометрии, базирующаяся на внутренних отношениях евклидовой плоскости и гипотезы их взаимодействий, которая, в отличие от известных интерпретаций, позволяет: оптимизировать структуру и процессы построения для создания геометрического решателя предметно ориентированной САПР, унифицировать лингвистическое обеспечение САПР для создания протоколов информационной поддержки.
-
Выявлено единство линейных преобразований на эвклидовой плоскости, позволяющая улучшить ядро математического обеспечения САПР и принимать любые решения при проектировании геометрии объекта.
-
Выявлен и исследован собственный неортогональный постоянный базис квадратичной формы, позволяющий избавиться в расчетах от радикалов и получать аналитические решения на всех этапах проектирования формы тела в САПР.
-
Математически аргументирован и изучен прямой аналитический метод непроективных произвольных линейных преобразований конических сечений. Доказана применимость метода для более сложных кривых, что позволило сформулировать и предложить новые принципы лингвистического обеспечения САПР для обмена геометрической моделью (ГМ) на основе канонической математической записи и матрицы линейного преобразования, спроектированной пользователем.
-
Выделена и математически обоснована цепочка линейных преобразований для нахождения точек пересечения двух эллипсов. Полученное решение позволяет найти единый базис для двух квадратичных форм и является основой для нахождения точных действительных координат точек пересечений между различными кривыми для математического обеспечения САПР.
-
Предложен и промоделирован метод оценки точности действительных команд на вычислительных устройствах, позволяющий на ранних этапах произвести исследования процессора для решения задач САПР.
-
Определены новые смыслы геометрических объектов, таких как, автоморфизмы теории множеств и геометрии, собственный угол, квадратичная форма Клейна, термин «канонический», что позволило связать единой теорией математическое и лингвистическое обеспечение САПР.
Практическая значимость результатов диссертационной работы:
- теоретические исследования и научные результаты работы доведены до
инженерных решений в виде методик и алгоритмов, пригодных для практиче
ского использования при разработке математического и программного обеспе
чения САПР технических систем различного назначения и программных
средств, реализующих предложенные и разработанные модели, методы и алго
ритмы геометрического моделирования;
предложенный прямой аналитический метод произвольных линейных преобразований позволяет разработчику предметной САПР получать точные результаты при использовании быстрых алгоритмов и отказаться от сложных и трудозатратных методов, таких как конечно-элементный анализ;
на основе теоретических разработок получена возможность непосредственного представления сложных геометрических моделей за счет хранения геометрии в виде аналитической поверхности или кривой, а не в виде массива вертексов, что позволяет уменьшить объем передаваемой информации;
разработан метод сохранения семантики спроектированной геометрической модели при межплатформенных и межсистемных обменах;
создана методика точной оценки действительных вычислений;
предложенные методы, модели и алгоритмы, позволяют при их модификации для пространства более быстро и точно рассчитывать движение конструктивных объектов в машиностроительной обработке.
Реализация и внедрение работы. Теоретические и прикладные результаты диссертационной работы апробированы и внедрены:
в ОАО «Ижсталь» при разработке методологии геометрического ядра САПР высокоточных стальных фасонных профилей, а также в других инжиниринговых фирмах;
в Фонде алгоритмов и программ зарегистрирован ППП «Система решения уравнения 4-ой степени методом Декарта-Эйлера и нахождения точек пересечения 2-ух эллипсов методами информационно-лингвистического интерпретации геометрии». Свидетельство о гос. per. программы для ЭВМ № 2009614746 от 3.09.2009г.
в учебном процессе на кафедре «Автоматизированные системы обработки информации и управления» и «Программное обеспечение» ИжГТУ при чтении лекций, проведении практических и лабораторных занятий студентов и магистрантов по дисциплинам учебного плана направлений 220200, 230100, 230100.62, и 230100.68-12, 230100.68-27 «Автоматизированные системы обработки информации и управления», «САПР и компьютерная графика», «Системы мультимедиа и компьютерная графика», «Компьютерная графика и Web-дизайн» при выполнении курсовых и дипломных проектов.
Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических семинарах и конференциях: научных семинарах кафедры ПО и АСОИУ ИжГТУ (Ижевск, 1994-2013 гг.); научно-технические конференциях факультета информатики и вычислительной техники ИжГТУ (Ижевск, 1994-2013 гг.), Чайковского филиала ИжГТУ (Чайковский 2005г.); всероссийских научно-технических конференциях и научных конференциях, (математика) «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008г.); «Конференция по математике и механике» (Томск, 2008г.); «Математика и математическое моделирование» (Саранск, 2011г.) (математическое моделирование) «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-хххх)» (Анжеро-Судженск, 2008, 2009, 2011гг.); (информационные технологии) «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и
защиты информации» (Ульяновск, 2009г.); «Микроэлектроника и информатика» (Москва, 2009г.); «Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе» (Йошкар-Ола, 2010г.); «Информатика и вычислительная техника» (Ульяновск, 2011г.); (педагогика) II Всероссийская конференция по информатике и математике (Иркутск, 2009г.) (дизайн) «Актуальные проблемы архитектуры, градостроительства и дизайна» (Магнитогорск, 2011г.) (лингвистика) «Язык как система и деятельность» (Елец, 2011г.) международных научно-технических и научных конференциях: (САПР) «Информационные технологии в промышленности (ГГРхххх)» (Минск, 2008, 2010, 2012гг.); «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта (ИНФОС-2009)» (Вологда, 2009г.); «Интеллектуальные системы» AIS и «Интеллектуальные САПР» CAD (Дивноморское, 2008, 2009гг.); «Математические методы в технике и технических науках - ММТТ-22» (Псков, 2009г.); (компьютерная графика) «Graphicon'95» (С.Петербург, 1995г.); (математика) «Геометрия в Одессе» (Одесса, 2008, 2010гг.); «Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики» (Тамбов, 2008г.); «Геометрия «в целом», топология и их приложения» (Харьков, 2009г.); «Математика. Образование» (Чебоксары, 2009г.); «Геометрия многообразий и ее приложения» (Улан-Удэ, 2010г.); «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел. Применения. Конференция в честь 120-ия Б.Н. Делоне» (Москва, 2010г.); «Математика. Экономика. Образование» (Ростов на Дону, 2010г.); «Алгебра и геометрия» (Екатеринбург, 2011г.); «Современные проблемы топологии и приложения» (Ташкент, 2013г.); «Алгебра и комбинаторика» (Екатеринбург, 2013г.); (дизайн) «Современные проблемы дизайна, архитектуры и изобразительного искусства» (Магнитогорск, 2010г.); «Традиции и инновации в дизайне» (Новочеркасск, 2010г.) (искусственный интеллект) «Интерактивные системы и технологии проблем общения человек-компьютер» (Ульяновск, 2011г.); «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2011г.); (информационные технологии) «VIII. конференции «НИТиС - 2008»» (Пенза, 2008г.); «Информационные процессы и технологии «Информатика - хххх» (Севастополь, 2009, 2012, 2013гг. в 2012, 2013гг.- член оргкомитета конференции). Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 70 печатных работах: трех монографиях (две в РФ, одна в ФРГ); 15 представлены в научных изданиях, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ; две статьи опубликованы в межвузовских и ведомственных тематических сборниках; 22 работы в сборниках трудов международных и 14 работ -всероссийских научно-технических конференций.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 6 глав, заключения, списка использованной литературы и 4 приложений. Работа содержит 681 рисунок, 13 таблиц. Список использованной литературы включает 175 наименований. Объем работы без учета приложений составляет 338 страниц.
Аналитическая геометрия и дискретная математика, как основы математического обеспечения САПР
Введение содержит обоснование актуальности, описываются объект, предметы и методы исследования, указаны средства обеспечения достоверности и обоснованности полученных результатов и выводов, отмечены научная новизна и практическая значимость результатов, приведены основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту, а также сведения об апробации, реализации и внедрении результатов работы, сведения о публикациях и личном вкладе соискателя в работах, опубликованных в соавторстве. Приведены сведения об объеме и структуре работы.
В первой главе «Проблемы математического и лингвистического обеспечения в машиностроительных САПР» приводится характеристика рассматриваемой предметной области и проводится анализ современного состояния, тенденций и перспектив развития методов и алгоритмов математического и программного обеспечения САПР, формулируются цель и задачи исследования.
Для повышения эффективности поддержки жизненного цикла военной продукции, производимой в США, в течение последних четырех десятилетий разрабатывается набор международных стандартов CALS. Для обмена геометрическими моделями (ГМ) предназначен язык Express-G, а так же некоторые другие стандарты. Разработчикам систем геометрического моделирования и САПР предлагалось описать языковыми средствами процесс и все алгоритмы создания модели. При создании самого сложного пакета прикладных программ предполагалось двойное описание включаемых модулей и затруднялось модификации программ. Решение не могло быть поддержано разработчиками программного обеспечения. В настоящее время, предполагается, что в состав передаваемой модели могут входить части программного кода, например на языке С. Предполагается доработка ГМ «на лету». Как результат такого подхода является разработка и отмена различных эталонов обмена ГМ в рамках стандарта STEP и выводы о невозможности обмена трехмерными моделями. В рамках исследования были протестированы САПР. При этом употреблялись демонстрационные версии или модификации для бесплатной инсталляции в учреждениях образования. Все данные соединены в таблицу. Первая строка таблицы отражает количество пройденных тестов при сборке детали состоящей из трех элементарных объемных тел. Проблема Кардана заключается в том, что любой вектор (х,у), где х,ує Ш, {х,у) хОу, {х,у) xOz, (х,у) zOy можно представить комбинацией как минимум 2 из 12 поворотов осг вектора (х1,0), где х1 = х2 +у2, осг є хОу или осг є xOz или осг є zOy. Проблема разрешается применением кватернионов Гамильтона: xj + yl + zk + w = О, где x,y,z,we R, j,k,l - гиперкомплексные числа. Кватернионы применяются во всех развитых современных геометрических библиотеках, например в OpenGL и DirectX. В кандидатской работе автора было доказано, что проводить анализ даже на эвклидовой плоскости геометрической модели изделия САПР необходимо с представлением информации на нижнем уровне в виде кватернионов.
Первые три теста не имеют сложных поворотов и редактирования сборки. Параметры объемных тел создавались с использованием положительных и отрицательных чисел. Последние два - это сложные сборки с поворотами. В том числе, последний имеет редактирование положения тела после финальной сборки. С простыми тестами справились все САПР. С установкой после сложного поворота 5 из 6. С редактированием трехмерного поворота только половина. С высокой долей вероятности можно говорить об отсутствии в первых трех САПРах кватернионов. Вместе с тем, так как AutoCAD и 3ds МАХ выпускается одной фирмой, то можно вести речь только об употреблении или неприменении соответствующих библиотек в отвечающих командах. Хотелось бы так же заметить, что применение кватернионов усложняет диалог при задании трехмерной сцены. Поэтому во многих подсистемах геометрического моделирования кватернионы явно не задаются.
Следующие две строки таблицы показывают возможность доработки программного и математического обеспечения внутренними средствами САПР. В двух системах из шести доработка математического обеспечения возможна с минимальными трудовыми затратами и без необходимости изучения внутреннего представления геометрической информации в системе. Следующие две строки отражают количество форматов обмена ГМ.
Так как возникающие при передаче ошибки не позволяют однозначно передать объемную модель, то многие САПР применяют специальные организационно-методические средства для проектирования машиностроительного изделия (последняя строка таблицы). Для успешной передачи объемной геометрической модели, в основном, используется метод сетевого проектирования. Прямая трансляция предполагает договоренность фирм производителей САПР о формате используемой объемной модели. Насколько прямая трансляция лучше обычной передачи очень сложно судить по демонстрационным версиям, так как у них эти средства, как правило, отключены.
Таким образом, решения проблемы межсистемной передачи по прежнему решается организационно-методическими средствами. При этом проблемы сохранения семантики и минимальности набора информации остаются, в том числе, даже для двумерной модели.
Вместе с тем, теория аналитической геометрии, лежащая в основе геометрического решателя САПР остается на уровне если не XVII века, то максимум начала XX. Любое линейное преобразования да же для конического сечения произвести нельзя, сложные (жордановы) кривые после трансформации вообще не представимы через единый объект. За прошедшие сто пятьдесят лет крупные результаты были достигнуты в такой науке, как теория множеств. Появилась прикладная ветвь математики - информатика. Все эти дисциплины работают с декартовым произведением - основой евклидовой плоскости RxR. Применяя метод подобия Лейбница, попытаемся получить новые результаты и в теории построения геометрической модели в машиностроительных САПР.
Исследование симметрии Дьедонне
Разбор начинается с самых простейших фигур цепочки преобразований для нахождения точек пересечений. Представлены случаи: пересечения двух отрезков прямых; отрезка прямой и дуги окружности; двух дуг окружности; дуги эллипса и отрезка прямой. Цель любой цепочки преобразований расположить комбинацию фигур таким образом, чтобы точки пересечения образовывали множество с симметрией. При этом координаты точек определялись на основе зеркального автоморфизма. Показано, что для нахождения пересечения сложных фигур, используются простые. Цепочки преобразований строятся по повторяющемуся алгоритму. Цепочки преобразований могут состоять только из именных преобразований. Кроме того, разобран случай, когда точки пересечения окружности и эллипса можно найти используя только квадратное уравнение.
Далее рассмотрены первые три шага цепочки преобразований; параллельный перенос, поворот и сжатие/растяжение вдоль оси. Поворот и параллельный перенос совпадают со всеми ранее рассмотренными случаями нахождения точек пересечения. Параметры трансформации сжатие/растяжение нужно определить используя формулы прямого аналитического метода произвольного линейного преобразования.
Для решения задачи необходимо найти такой случай, когда две фигуры будут иметь одинаковый базис. Исходя из результатов, можно сделать вывод, что применение сжатия для случаев эллипс и окружность не применимо, так как базисы всегда будут разные (0 и не нулевой). Для двух повернутых эллипсов может быть существовать одинаковый базис, но тогда более простой случай пересечения эллипс-окружность надо искусственно преобразовывать к более сложному - эллипс-эллипс. Другие простые преобразования не применимы из-за того, что они не изменяют форму фигуры. Общее преобразование не применимо, так как не имеет физического смысла и не предполагает разложения по именным аффинным преобразованиям, в чем заключается метод разложения сложного преобразования на цепочку простых.
Одинаковый СНОП-базис существует для двух эллипсов для избыточного преобразования одной из них, когда одно из преобразований для данной фигуры -сдвиг. Следствие Для нахождения равных базисов двух фигур необходимо рассмотреть случай, когда первая фигура представлена трансформированными функциями, а вторая трансформированными функциями. При этом вторая фигура должна быть обязательно повернута на произвольный угол не равный 0, ±тг/2. В случае поворота на угол ±к/4 точки пересечения получаются без трансформации, только за счет поворота. Для случая эллипсов, это будет окружность и повернутый относительно ОСИ X эллипс. Таким образом, найден вид именного преобразования, с помощью которого можно осуществить трансформацию произвольного расположения эллипсов к случаю симметричного расположения эллипса и окружности. Для решения этой задачи дополнительно необходимо проанализировать: 1. Какое преобразование сдвига Г или Г необходимо выбрать; v0 \) yg 1у 2. Насколько соотносятся сдвиг вдоль оси абсцисс и оси ординат; 3. По какому углу СНОП базиса, собственному углу наклона квадратичной формы а или углу хранения симметрии р, необходимо осуществить расчет. Выведены формулы для сдвига эллипса, повернутого на некоторый угол, (\ ti\ (\ оЛ для разных матриц сдвига или . Далее рассматривается решение, по которому для нахождения параметра сдвига происходит вывод формулы по уг лу симметрии р определяемому СНОП-базисом. В результате выкладок необхо димо решить кубическое уравнение: ,з (tf-)(tfsin2q + &cos2q ) (а2 +ь2) а1-Ъ1 „ 0 = А +2 h +2 h + 2 . Решение не отли аЪ sin2cp аЪ absin2(p чается от классического. Кратко рассмотрено ограничение на нахождение результата. Полуось по оси абсцисс должна быть больше полуоси по оси ординат. Напомнен метод решения кубического уравнения. Далее рассмотрен поиск параметра по значению собственного угла а. Параметр сдвига h линейно определяется по формуле: -і h = tg ф - tg ф, где ф - угол поворота второго эллипса перед сдвигом. Параметр (\ 0\ сдвига g преобразования с матрицей определиться, как g = -h. Кратко рас g смотрены рекомендации по применению сдвигов. Приводим цепочку преобразований к случаю расположения эллипса и окружности симметрично координатной оси, рассмотренному ранее.
Перед преобразованием сдвиг необходимо повернуть эллипс таким образом, чтобы в результате сдвига полуоси эллипсов лежали на одной прямой, проходящей через начало координат и точку центра второго эллипса. Искомый угол , может быть найден из любой из двух систем тригонометрических уравнений: обратный собственному -а; растяжение/сжатие вдоль координатной оси. Рассчитываем корни из квадратного уравнения, осуществляем обратные преобразования. Таким образом, получаем решение более простое, чем в классических методах. Так как решение может быть найдено и классически (через угол 3), то геометрической сущностью кубической резольвенты является поиск преобразования через угол симметрии р определяемом СНОП-базисом.
Поскольку параметры преобразования сдвига и поворота перед сдвигом не зависят от значения полуосей, да и фактически от вида матрицы сдвига, они могут быть использованы для вычисления пересечений других конических сечений.
Описываются результаты математического моделирования коэффициента матрицы сдвига для осуществления главного шага в цепочке преобразований для получения точек пересечения эллипса. Так как коэффициент может принимать комплексное значение, то комплексные параметры могут быть и получающихся координат точек пересечения. Дополнительно доказано непротиворечивость предлагаемого метода расчета и классического. Описаны вычислительные эксперименты по моделированию цепочки. Результаты экспериментов показали, что несмотря на найденный общий базис эллипсов, точное решение не получается. Дополнительное применение дополнительных преобразований псевдоэвклидовой (преобразований Лоренца) плоскости так же не привели к необходимому результату. Очевидно, что алгоритм должен учитывать не только младшие четыре симметрии, но и более старшие.
В главе 6 «Применения теории в решении задач машиностроительных САПР» рассматриваются вычислительные эксперименты и некоторые задачи, решаемые в проектировании машиностроительных САПР, в которых используются результаты полученной теории. В п. 6.1. «Оценка точности действительной арифметики» предлагается метод оценки точности действительных вычислений на вычислительном устройстве. Для решения данной проблемы предлагается использовать оценку параметров, получающихся в процессах, использующих симметрию, а именно, в прямом аналитическом методе произвольных преобразований центрально-симметрических конических сечений (простой тест) и в методе расчета точек пересечения двух эллипсов (усложненный тест). Приведены результаты практического применения. Действительные вычисления на математическом сопроцессоре процессора Pentiumll оказались незначительно выше, чем такие же вычисления на калькуляторе Casio fx-901.
Метод решения системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями
Вырожденное преобразование трансформирует плоскость в прямую. Аналитическая геометрия рассматривала задачу преобразования кривых в ортогональных базисах. С появлением дифференциальной геометрии была предпринята попытка решить возникающие геометрические проблемы с использованием неортогонального базиса. Как известно [31 с.5], дифференциальная геометрия изучает свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей. Для каждой точки, принадлежащей пространственной кривой или поверхности был предложен базис Картана-Вейля [32]. Базис изначально предназначен для описания кривой или поверхности в пространстве С" [33], но может быть использован и в евклидовом пространстве. Наиболее простое его определение дано в книге [34 с. 8] для трехмерного пространства, как произвольный невырожденный косоугольный трехгранник с меняющими углами и длинами базисных векторов для каждой точки кривой или поверхности. Переход от репера к реперу осуществляется за счет линейной подста-новки. К сожалению, подбор базиса по 12 параметрам в трехмерном пространстве более затруднителен, чем обычная линейная интерполяция и так же не может дать точных результатов, так как обладает недостатками интерполяции. Необходимо отметить, что данный базис рассматривался авторами в симметрических пространствах.
Для окончательной постановки задачи, рассмотрим проблемы симметрии и аксиоматику евклидовой плоскости с точки зрения современных научных исследований в математике. А так же изучим, как эти знания употребляются в смежных науках. 1.3. Теоретические основы представления проектируемого изделия в САПР
В данном параграфе рассмотрим определения симметрии и связь ее с аксиомами плоскости, опишем родственное направление современной геометрии.
Термин симметрия (автоморфизм, внутренне отношение пространства) возьмем из трудов Макса Борна [35]: “симметрия - понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними определенных преобразований (преобразований симметрии); в широком плане - свойство неизменности (инвариантности) некоторых сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований”.
Симметрия широко исследуется на протяжении последних десятилетий в такой научной области, как физика. Например, книга группы российских авторов, изучающих симметрию в физике [36], выдержала за короткий срок два издания и переведена на английский язык. В изике рассматривается широкий круг симметрии: знаковая, суперсимметрия, цветная, аналитическая. Но основной базой всех исследований является изучение закономерностей в пространстве R" или С", либо в ортонормированном базисе, либо в базисе Картана-Вейля. Замена знака и перестановка значений и другие виды симметрии широко применяются в математике [36]. Рассмотрим точку 71 =(х,у) и симметрии, возникающие на плоскости, в том числе относительно прямой у = х (рис. 1.2). Симметрии относительно осей координат определяют изменение знака и координат точек Т4, Т5 и T8. Симметрия относительно прямой у = х перестав 80 ляет координаты в векторе точки Т2 =(у,х) и определяет кроме точки Т2 дополнительные точки Т3, Т6 и Т7. В некоторых работах принято считать количество осей симметрии [37, 38], в данной работе рассмотрим не количественные показатели, а только симметрии, как внутреннее свойство евклидовой плоскости. Таких симметрии две - алгебраическая (знаковая, кососим-метрия) симметрия и переставная (просто симметрия) [39 с. 56-57]. Симметрию классически связывают с углом поворота [40]. В качестве исходного положения рассмотрим симметрию для векторов.
Точка, как упорядоченная пара, является элементом множества точек плоскости и не обладает симметрией. Когда на плоскости вводится нулевая точка, возникает отношение алгебраической симметрии. Для точки (х,у) существуют две знаковые симметричные точки: (-х,у) и (х,-у). Симметрия хранится в знаке действительного числа. После определения координат может быть определена переставная симметрия. К сожалению, аксиоматика Гильберта рассматривает точку в пространстве как единый объект и поэтому вопрос о переставной симметрии не решает [41, с. 3].Q
Исследования преобразований лемнискаты Жероно
Для широкого толкования второго правила Кодда, применим лингвистику, как раздел науки, занимающийся изучением смыслов текстов. Рассмотрим этого правило как категорийное понятие во всех разделах семиотического анализа. Базовое толкование правила представлено в п. 1.4.3. Назовем определение основателя реляционной алгебры синтаксическим. С точки зрения теории множеств имя таблицы - это имя подмножества совокупного декартова произведения всех возможных множеств, определяющего весь окружающий мир и его знания. Имя столбца определяет уникальный идентификатор, определяющий как имя подмножества, так и его вычислительные свойства. Данный совокупный объект принято называть в реляционной алгебре доменом. Первичный ключ определяет некоторый порядок кортежей в таблице и обеспечивает уникальность каждого. На этом этапе применение операции перестановка возможна для имени столбца и для любого кортежа до тех пор, пока порядок не зафиксирован.
Семантическую и прагматическую интерпретацию будем рассматривать принятыми в реляционной алгебре способами: рассмотрением применения теоретической конструкции в алгоритме использования БД и соответствия интерпретации предметной области. Будем считать, что операция перестановки является атакой на базу данных.
Пример семантической интерпретации второго правила Кодда. Пусть имеется нормализованная двумерная таблица, содержащая сведения о работниках и получаемой ими зарплате. По крайне мере, три поля в этой таблице, в условиях Российской Федерации, принадлежат одному множеству т.: налоговые удержания (/г), сумма на руки (z-) и общая сумма зарплаты (s.). Домен L упрощенно определится, как L = {/ / = 0,13 }. Домен Z, как Z = {z-1 z- = 0,87 }. Домены L, Z, S всегда можно переставить между собой. В ячейках /, z-, st будут храниться некоторые числовые значения. Поменяем местами для п кортежа 1П и zn. Внешне изменения можно не заметить и даже напечатать ведомость получения зарплаты.
Но смысл, определяемый в данных случаях формулами, либо будет удален, либо формулы поменяются местами. Целостность БД нарушится. Нарушено правило 4 первой нормальной формы таблицы (см. п. 1.4.2.). Атака известна в СУБД. Она запрещается либо специальным атрибутом домена, либо удалением функциональной зависимости (потерей смысла информации в ячейке) [77]. Остается перевести термин «элементы кортежа, имеющие функциональную зависимость, фиксируются» с языка описания программ на язык математики. Займемся этим после рассмотрения прагматического применения второго правила Кодда.
Пример прагматической интерпретации второго правила Кодда.. Многотабличная реляционная база данных, отражающая информационные потоки в супермаркете. В магазине имеется определенный товар tovt, который для покупателя упрощенно обладает tovt = nami,vesi,ceni,... , где NAM - домен наименований товара, VES - вес товара, CEN - цена товара. При конкретной покупке можно обнаружить, что на упаковке картошки значится товар клубника (перестановка namt\ цена товара больше обозначенной на ценнике (перестановка cent), вес товара меньше (перестановка vest). При этом целостность БД может не меняться, так как данной покупке может соответствовать другая покупка: клубники по цене картошки, товара по заниженной цене, большого объема товара по цене меньшего. Данная атака на БД встречается и может быть решена появлением другой таблицы с реальными параметрами продаваемого товара. Нарушено 5 правило первой нормальной формы. Человеческий фактор вносит хаос в порядок кортежей на рассматриваемом множестве декартовых произведений.
Таким образом, в широкой интерпретации второго правила Кодда, операция перестановки нарушает адекватность информации. Вообще, операция перестановки разрешена реляционной алгеброй. Она часто используется при вводе новых значений в ячейку таблицы.
Для интерпретации математического закона полученных в предыдущем подпункте результатов рассмотрим формулу (1.4) определяющую порядок расположения атомов в кристалле с точки зрения автоморфизмов плоскости. Пусть х,у є N+, тогда трансляция ху = ух содержит переставную симметрию Y . Кроме того, для создания полного набора значений используется симметрия переноса определяемая порядком множества N+. Назовем эту симметрию Ym и симметрией порядка. До сих пор она применялась практически только в кристаллографии и химии. Рассмотрим взаимодействие симметрии Yp nYm. Очевидно, что симметрии оказываются взаимоисключающими. Если есть два элемента множества х и у, между которыми существует отношение «о », то переставная симметрия не нарушит симметрию переноса тогда и только тогда, когда == (симметрия Ym определяется формулой xt = уі для любых двух элементов множества или множеств).
Рассмотрим множество ж с точки зрения симметрии переноса. На данном множестве существует ритм, определяемый отношением rt - ri+l, но не существует такого А є R, что A = ri+1-rt. Можно ли считать данный ритм симметрией порядка - очевидно, что да. Таким образом, симметрия переноса может и не содержать величины переноса. Очевидно, что так же существует дополнительное свойство для каждого элемента г, - изображение его в алфавите цифр, запятой или точки, знаков минус и плюс уникально. Предположим, что алфавит АЇ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,.,-,+} заменен другим алфавитом, содержащим, например символы английской азбуки и цифры. Некоторые правила образования могут порождать слова в данном алфавите и известно, что все слова уникальны. Очевидно, симметрия порядка будет и на нечисловом множестве рожденным и изображен 133 ным не только цифровыми символами. Уникальность изображения элемента множества образует порядок (симметрию переноса) на множестве.
Возникает вопрос, выразим ли данный порядок через функциональную или, по крайней мере, знаковую зависимость. Кроме отношения «Ф» автор не может дать других законов. Отношение очень простое и, казалось бы, не может вызы-вать разнообразия. Опыт же мировой литературы говорит о том, что лингвистическая симметрия порядка не менее продуктивна, чем математическая. Каждый порядок не абстрактен, но выражает точную определенность [59 с. 187]. Даже если лингвистический порядок не изобразим алгебраическими формулами, то это не говорит о том, что его нет на евклидовой плоскости, определяемой декартовым произведением, где имя каждого множества (координаты) уникально.
