Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопросов диссертационного исследования. Постановка основных задач 11
1.1. Основные методы параметризации 19
1.1.1. Проектирование с использованием параметрических ограничений 21
1.1.2. Проектирование с помощью истории построения 23
1.1.3. Проектирование с использованием конструктивных элементов, фичерсов 26
1.1.4. Проектирование сборок 29
1.1.5. Ассоциативное проектирование 30
1.2. Обзор существующих средств параметризации 32
1.3. Постановка основных задач диссертационного исследования 46
1.3.1. Разработка структур данных параметрических моделей.. 46
1.3.2. Разработка средств создания параметрических моделей 47
1.3.3. Разработка алгоритмов анализа определенности моделей 47
1.3.4. Разработка алгоритмов расчета геометрии объекта 48
Выводы 49
2. Структуры данных 50
2.1. Структура для хранения геометрии плоских объектов 54
2.2. Структура для хранения геометрии трехмерных объектов 56
2.3. Идентификация элементов геометрической модели 71
2.4. Структура для хранения плоских параметризованных объектов 75
2.5. Структуры для хранения параметрических ограничений 79
Выводы 86
3. Методы расчета параметрических моделей геометрических объектов 88
3.1. Основные методы расчета параметрических моделей 88
3.1.1. Численные и символические методы 88
3.1.2. Методы деления на подзадачи 89
3.1.3. Метод Хоффмана 91
3.2. Декомпозиция систем алгебраических уравнений 92
3.2.1. Система алгебраических уравнений и граф 96
3.2.2. Структурные свойства двудольных графов 98
3.2.3. Декомпозиция Дульмаджа-Мендельсона 99
3.2.4. Двудольные графы с совершенным паросочетанием 101
3.2.5. Общий случай 103
3.3. Алгоритмы декомпозиции систем уравнений 107
3.3.1. Алгоритм декомпозиции на несократимые части для полностью определенных систем 107
3.3.2. Алгоритм декомпозиции на несократимые части для полностью определенных и переопределенных системы 108
3.3.3. Практические примеры 109
3.4. Проблемы практической реализации метода декомпозиции .113
3.4.1. Практический пример 116
3.4.2. Анализ конфликтных ситуаций , 127
3.4.3. Пересчет модифицированного контура и поддержка актуальности контура 129
3.4.4. Применение метода декомпозиции систем уравнений 13 1
Выводы 131
4. Метод Хоффмана 134
4.1. Основные определения 135
4.2. Декомпозиция на подзадачи с использованием графа ограничений 141
4.3. Конденсационный алгоритм -. 151
4.4. Модифицированный граничный алгоритм 153
4.5. Расчет параметрической модели в соответствии с полученной декомпозицией 153
4.6. Выбор подходящего из дискретного множества решений 154
4.7. Сравнительный анализ методов декомпозиции 156
Заключение 159
Библиографический список
- Проектирование с использованием параметрических ограничений
- Структура для хранения геометрии трехмерных объектов
- Алгоритм декомпозиции на несократимые части для полностью определенных систем
- Декомпозиция на подзадачи с использованием графа ограничений
Введение к работе
Результатом работы любой системы геометрического моделирования обычно являются чертежи и трехмерные модели. Первые системы, появившиеся более 20 лет назад, являлись лишь специализированными графическими редакторами, их возможности были ограничены производительностью компьютеров. Такие системы автоматизировали создание чертежа с помощью плоских геометрических примитивов - отрезков прямых, дуг окружностей, текстовых надписей и т.д. Одним из важных изменений при развитии систем геометрического моделирования стало то, что первичной стала модель объекта, по которой уже в дальнейшем строился чертеж. Конструктор стал работать с геометрическим объектом, а не с набором примитивов, его составляющих[1].
Одним из методов проектирования, позволивших совершить качественный прорыв в развитии CAD-систем стала так называемая параметризация [2,3].
Современные параметрические системы геометрического моделирования принципиально изменили представления конструктора о проектируемом объекте и упростили создание сложных мо-делей[1].
Одним из первых и наиболее простых и естественных подходов к решению проблемы удобного и эффективного конструирования сложных объектов явился метод, опирающийся на то, что сложные механизмы строятся, как правило, из однотипных деталей и узлов. Первоначально, в большинстве CAD-систем этот подход был реализован с помощью некоторого формального языка, который позволял описывать последовательность действий, необходимых для создания чертежей и моделей типовых деталей по их заданным параметрам
[6] (например, размерам). Из этих деталей в дальнейшем можно составлять стандартные узлы (с помощь того же языка). При конструировании сложного механизма можно использовать созданные ранее стандартные детали и узлы, вводя их параметры и вставляя полученный объект в нужное место чертежа или модели.
Фактически, это один из методов параметризации геометрических объектов. Недостатком описанного подхода является то, что при использовании языка для описания геометрических объектов конструктору необходимо иметь навыки программирования. К тому же, процесс задания объекта при этом не является наглядным. Другим недостатком является невозможность легкой модификации созданного ранее геометрического объекта, так как после его формирования он хранится в виде набора простых геометрических примитивов. В результате теряется информация, как о самом объекте, так и о его связях с другими объектами. Все эти недостатки были свойственны CAD-системам на ранних этапах развития параметризации. Однако подобные недостатки встречаются и в современных системах, и это, скорее, проблема недостаточно серьезного подхода к разработке средств параметризации.
Для решения описанных выше проблем необходимо хранить не только геометрическую информацию, но и геометрические связи между элементами детали, отдельными деталями, историю их построения. Это позволяет в любой момент синтезировать отдельную деталь механизма на основе ее параметров, описать взаимодействие этой детали с остальными деталями, определить работу всего механизма в целом. Обычно в качестве параметров выступают значения размеров модели объекта, инерционные, прочностные характеристики и др.
Термин "параметризация" получил довольно большое распространение. Он может означать и процесс создания модели, и ре-
зультат проектирования, который характеризует параметрические свойства модели[10]. В широком смысле под параметризацией понимается процесс проектирования, результатом которого является модель с небольшим набором простых и понятных параметров[9]. Меняя их, конструктор получает нужную ему модель объекта. В процессе проектирования конструктор постепенно абстрагируется от исходных примитивов и получает результат, максимально соответствующий его представлениям^].
До недавнего времени большинство промышленных САПР могли предложить только средства геометрического моделирования и частичной параметризации. Главное достоинство таких систем - это легкость внесения изменений в проект без необходимости серьезной переработки отдельных деталей и узлов. Немаловажным является и удобство совместной работы коллектива конструкторов над целым проектом и отдельными деталями [11].
За последние пять лет ситуация принципиально изменилась[12]. Расширилась сфера применения современных САПР-решений. На сегодняшний день оказались востребованными системы PLM (Product Lifecycle Management - управление жизненным циклом изделия)[13,14,17]. PLM - это название группы программных продуктов, используемых для создания изделия (проектирование изделия и процессов его производства), организации продаж, обслуживания покупателей, а также для создания четкой обратной связи между этапами проектирования, дальнейшими маркетинговыми исследованиями и работой с покупателями [15,16].
Ключевым моментом является повышение эффективности на этапе проектирования изделия, а именно:
возможность решения смешанных задач, включающих геометрические и инженерные ограничения на различных этапах проек-
тирования изделия - от этапа создания моделей отдельных деталей до получения сборочных чертежей;
возможность организации эффективной коллективной работы над проектом - так называемого распределенного, коллективного проектирования. Участники обмениваются не геометрией тех или иных деталей, а их параметрическими моделями. Это позволяет на порядок ускорить этап проектирования. Конструктор может начать работу еще до того, как необходимые ему детали будут закончены. Например, конструктор может начать компоновку узлов и агрегатов автомобиля еще до того, как будут получены, основанные на прочностных и силовых расчетах, модели двигателя и трансмиссии. Компоновка может зависеть от расположения органов управления и габаритов узлов, а параметры подвески и мощности двигателя от массы всего автомобиля;
возможность использования базы параметрических моделей и сборок в системах автоматического документооборота.
Таким образом, термин "параметризация" приобретает более широкий смысл, расширяется сфера ее применения, а конструктор получает более мощный набор инструментов.
В настоящее время также бурно развивается рынок специализированных САПР. Как правило, такие системы предусматривают работу с геометрической моделью проектируемого объекта. Использование геометрического ядра, обладающего развитыми параметрическими возможностями, позволяет абстрагироваться от проблем ввода и обработки геометрии модели, предоставит пользователю современный инструмент работы с этой моделью.
К сожалению, на рынке CAD-продуктов практически отсутствуют готовые компоненты, позволяющие встраивать параметризацию в пользовательские приложения. Исключением являются ядро
параметрического твердотельного моделирования Parasolid и пара-метризатор британской фирмы D-Cubed, которые позиционируются фирмой Unigraphics как PLM-компоненты.
Эти компоненты дороги, обладают рядом серьезных наследственных недостатков, статичны и плохо подходят для интеграции в легкие специализированные САПР. В попытке претендовать на универсальность применения эти компоненты потеряли в доступности, легкости использования и внедрения сторонними разработчиками.
В связи с этим актуальной является проблема разработки и совершенствования средств создания параметрических моделей геометрических объектов, которые, могут применяться в указанных выше системах управления жизненным циклом изделия, современных промышленных САПР и т.д.
Объект исследования. Объектом исследования данной работы являются параметрические модели геометрических объектов, проектируемых в различных САПР.
Предмет исследования. Предметом исследования являются алгоритмы создания и расчета параметрических моделей.
Цель работы. Целью данной работы является разработка
структур для представления параметрических моделей и алгоритмов расчета этих моделей (ядра параметрического конструирования), позволяющих гибко подходить к процессу проектирования, создавать сложные детали и сборки, универсально сочетать в одной модели различные методы проектирования. Для достижения поставленной цели необходимо провести исследование современных методов представления и расчета параметризованных моделей геометрических объектов.
Научная новизна. Научная новизна данной работы заключается в следующем: предложена универсальная параметрическая модель объекта, по-
зволяющая создавать объект с необходимым конструктору уровнем абстракции, независимо от способа ее получения;
предложена оригинальная структура данных, позволяющая сочетать разнообразные методы проектирования и алгоритмы расчета параметрических моделей;
исследованы современные и актуальные методы проектирования и расчета параметрических моделей;
предложены модификации существующих методов, улучшающие их функциональные возможности.
Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и структуры данных позволяют создавать различные САПР, обладающие развитыми средствами параметрического конструирования. Проанализированы достоинства и недостатки существующих методов параметризации, предложены модификации, расширяющие их функциональные возможности. Исследованы ряд практических, проблем возникающих в процессе проектирования, и предложены методы их решения.
Публикации. Основное содержание работы отражено в 7 статьях, опубликованных преимущественно в тезисах докладов научно-технических конференций, а в также центральных рецензируемых изданиях.
Апробирование работы. По теме диссертации выполнены доклады на научно-практических конференциях молодых ученых УГТУ-УПИ с 2002 по 2005 г.
Проектирование с использованием параметрических ограничений
Технический прогресс позволяет разработчикам реализовывать алгоритмы, выполняющие более точный анализ параметрических ограничений, полученных решений, решать более сложные, и как следствие, имеющие большую временную сложность, практические задачи.
Использование технологии параметрического конструирования позволяет, при необходимости, легко изменять форму модели, в результате чего пользователь имеет возможность быстро и эффективно получать альтернативные конструкции или пересматривать концепцию изделия в целом.
Технология параметризации затрагивает различные методы проектирования. Это требует как модификации самих подходов, так и реализации различных алгоритмов расчета параметрических моделей.
Данная технология возникла достаточно давно и непрерывно развивается благодаря росту производительности современных компьютеров и совершенствованию алгоритмов расчета параметрических моделей. Поэтому, ситуацию, сложившуюся на современном рынке CAD-систем удобнее всего раскрыть в контексте исторического развития технологии параметризации.
Существуют два основных подхода к созданию параметризованных геометрических объектов: ? параметрическое проектирование плоских контуров и сборок с помощью параметрических ограничений; ? объектно-ориентированное проектирование.
Первоначально параметрические ограничения использовались при создании плоских чертежей. В дальнейшем плоские контура стали использоваться при создании моделей кинематическим способом и при создании сборок.
Объектно-ориентированный подход предлагает посмотреть на проектируемый объект, как на единое целое. Составными частями такого объекта являются не только примитивы, но и разнообразные конструктивные элементы и операции. В свою очередь, в объектно-ориентированном подходе можно выделить: ? проектирование с помощью истории построения; ? проектирование с использованием конструктивных элементов (фичерсов).
В настоящее время широко используется метод параметризации, основанный на истории построения трехмерных твердотельных объектов. Кроме того, на использовании истории построения и параметрических ограничений основан метод проектирования с использованием конструктивных элементов или фичерсов.
Работы со сборками - важная часть технологии параметризации. Параметрическая сборка отличается от обычной гибкостью, легкостью модификации. При расчете элементов сборки и взаимного положения ее элементов используются те же алгоритмы, что и при расчете отдельных деталей сборки. Основное отличие заключается в используемых ограничениях.
Хотя ассоциативное проектирование не имеет прямого отношения к параметризации, без ассоциативности нормальная работа ядра параметризации невозможна. Ассоциативность - это неотъемлемая части технологии параметризации, связывающая в единое целое все этапы проектирования деталей. Упомянутые компоненты технологии параметризации ниже обсуждаются более подробно.
Структура для хранения геометрии трехмерных объектов
Трехмерные параметризованные модели в последние годы завоевали большую популярность среди конструкторов как средство получения чертежа, как конечный результат проектирования и как наиболее адекватный способ представления информации о проектируемом объекте.
Существует три способа представления трехмерных моделей: проволочные, поверхностные и твердотельные модели[41].
Проволочные модели стали использоваться в CAD-системах исторически первыми. Набор конструктивных элементов ограничен точками и отрезками. Главных преимуществом проволочных моделей является их простота, однако в общем случае каркасные модели являются неоднозначными.
Логическим развитием проволочных моделей стали поверхностные модели. При построении модели объекта предполагается, что он ограничен поверхностями, отделяющими его от остального пространства. Любая грань (поверхность) объекта задается ребрами, которые также ограничивает соседние грани объекта. В девяностые годы поверхностное моделирование являлось основным способом создания моделей объектов в подавляющем числе CAD-систем. Однако в последнее время ситуация стремительно меняется в сторону твердотельного моделирования.
Твердотельные модели являются наиболее адекватным способом представления объектов. В CAD-системах применяют разнообразные способы конструирования объектов[43]. Один из самых распространенных способов - кинематический. Средствами двумерной графики создается произвольный замкнутый контур, который может свободно перемещаться или вращаться по заданной пользователем траектории.
В результате формируется кинематическая модель твердого тела. Сюда можно отнести также тела, полученные выдавливанием и вращением, кроме того, твердое тело может быть получено по готовым профилям. Кроме кинематического, существует еще два основных способа представления сложных твердотельных моделей - граничное представление (В-Rep) и представление с помощью конструктивных элементов или структурное представление (CSG).
В системах с граничным представлением сплошное тело определяется как совокупность ограничивающих его элементов (граней-поверхностей, ребер-кривых и вершин). Граничное представление состоит из трех компонент: геометрической, топологической и вспомогательной. Геометрическая компонента хранит информацию о поверхностях, ограничивающих твердое тело, а также помогает отследить, с какой стороны грани находится тело, а с какой - наружное пространство. Топологическая компонента хранит информацию о топологических связях между гранями объекта. Эта информация позволяет поддерживать целостность модели, особенно в случае возникновения неточностей в геометрической компоненте. Вспомо гательная компонента позволяет хранить дополнительные атрибуты граней, такие как цвет, материал, степень прозрачности, текстуру. Основным требованием к телу, заданному граничным представлением, является замкнутость, отсутствие самопересечений, а также односвязность.
Граничное представление абстрагировано от того, каким способом получена твердотельная модель, поэтому она может иметь неограниченную сложность, обладать поверхностями сложной формы, полученными такими инструментами поверхностного моделирования как, например, аппроксимация.
В большинстве CAD-систем в дополнение к граничному представлению применяется метод конструктивной объемной геометрии. В этом случае объекты "собирают" из объемных базовых элементов, геометрических примитивов. Обычно в число примитивов входят элементарные геометрические фигуры типа параллепипеда, сферы, цилиндра, усеченного конуса, пирамиды и др. В этом методе над примитивами производятся булевы операции объединения, вычитания, пересечения. В результате формируется структурная модель, представляющая собой граф, терминальными вершинами которого являются объекты, а ребрами - операции. Нетерминальным вершинам в таком графе соответствуют объекты, являющиеся результатами соответствующих операций. CSG-дерево является прообразом способа параметризации, основанного на истории построения объекта.
Алгоритм декомпозиции на несократимые части для полностью определенных систем
Вершины и ребра геометрической модели являются аргументами для операций скруглення, снятия фасок, операций над контурами и т.п. Поверхности используются для идентификации рабочих плоскостей, булевых операций, построения оболочки, припусков, напусков и др.
Следовательно, для выполнения операций из дерева построения необходимо преобразовывать промежуточную модель в граничное представление (другими словами - рассчитывать ее геометрию) всякий раз, когда это необходимо для той или иной операции.
Например, объект сцены получается из какого-то промежуточного объекта путем скруглення ребра. Система рассчитывает геометрию промежуточного объекта, пользователь выбирает операцию, указывает ребро и получает требуемый ему результат. Однако аргумент операции нельзя сохранять в виде ссылки на ребро, т.к. при последующем пересчете геометрической модели объекта старая модель будет уничтожена, а вместо нее будет создана новая. Следовательно, указатель на ребро станет неактуальным.
Проблема заключается в правильном наименовании вершин, ребер и поверхностей модели объекта, позволяющем однозначно идентифицировать их. Очевидно, для идентификации необходимо использовать не указатели на область памяти, а символьные метки, однозначно идентифицирующие объект. Эти метки будем называть идентификаторами.
Идентификатора делятся на два типа: идентификаторы исходной геометрии и идентификаторы операций. На их основе строятся составные идентификаторы для любых производных геометрических объектов.
На первом этапе создаются идентификаторы для исходной геометрии - плоских и пространственных контуров, трехмерных примитивов, импортированных объектов. Очень важно, чтобы правила создания идентификаторов не зависели от положения объекта и его типа. Т.к. исходная геометрия не удаляется при пересчете модели, метки геометрических элементов должны быть статичными и формироваться один раз при создании геометрии.
Следовательно, если геометрический элемент будет удален и создан повторно, ему будет соответствовать другой идентификатор.
Для импортированных объектов идентификаторы также строятся однократно путем обхода геометрических элементов.
Любые идентификаторы объектов, полученных в результате выполнения различных операций над исходным объектом, строятся на основании идентификаторов этого объекта и операции.
Рис. 20. Пример создания идентификаторов На Рис. 20 показан пример формирования идентификаторов модели, полученной выдавливанием плоского контура. В данном примере формируются идентификаторы для ребер и вершин, полученных сдвигом, ребер, полученных из вершин при выдавливании. Аналогично формируются идентификаторы и для других геометрических операций - вращения, скруглення, построения оболочки. Главное отличие - это идентификатор операции. Для поверхностей можно формировать идентификаторы отдельно, с другой стороны, поверхность можно идентифицировать ограничивающими ее ребрами.
Некоторую специфику имеют идентификаторы вершин и ребер, полученных в результате комбинации нескольких объектов, например, булевых операций. В этом случае идентификация отдельных элементов является довольно нетривиальной задачей.
Существует два способа формирования представления идентификаторов. Первый способ заключается в хранении всего идентификатора вместе с геометрическим элементом. Это не эффективно с точки зрения затрат памяти. Альтернативным вариантом является динамическое формирование идентификаторов в соответствии с историей построения — каждый узел в графе истории формирует свои, уникальные идентификаторы.
Как уже говорилось ранее, данные идентификаторы используются в качестве аргументов для различных операций. При модификации исходных объектов, модификации истории построения, изменении взаимного положения объектов отдельные вершины и ребра при пересчете модели могут пропадать или появляться.
Появление новых геометрических элементов не должно приводить к изменению идентификаторов других элементов. С другой стороны, модификация исходных геометрических объектов (плоских и пространственных контуров, трехмерных примитивов) может привести к тому, что после пересчета отдельные ребра и вершины перестанут существовать. Ссылки на эти геометрические элементы будут неактуальными, соответствующие идентификаторы не будут использованы повторно. Кроме того, конечная геометрическая модель, являющаяся частью сцены, не будет рассчитана автоматически, для исправления истории построения потребуется вмешательство поль зователя.
Декомпозиция на подзадачи с использованием графа ограничений
Рассмотрим двудольный граф G=(V,E), который соответствует системе уравнений. Обозначим п = \V\, т = \Е\. Сейчас мы рассмотрим алгоритмы получения описанных выше декомпозиций.
Доказательство правильности алгоритмов напрямую следуют из теорем и их свойств, изложенных выше. 1. Найти в графе G максимальное паросочетание М. 2. Получить ориентированный граф G из G путем замены каждого ребра ху, входящего в М на пару ориентированных ребер ху и ух, и ориентацией всех остальных ребер от доли Y к доле X. 3. G2 представляет собой совокупность всех потомков источника в G . 4. Аналогично, Gj представляет собой совокупность все предков стока G . 5. В итоге, Gi G-Gj-Gi. Шаги 2, 3, 4 и 5 могут быть выполнены за время 0(т + п). Если для шага 1 использовать, например, алгоритм Хопкрофта и Кар-па[24], то весь алгоритм потребует времени 0(тп,/2). Вычисление связанных компонент Gj, G2, G3 может быть выполнено поиском в глубину или в ширину за линейное время.
Предположим, что G полностью определена. Тогда G=G/ и G2 = G3 = 0. Следующий алгоритм дает уникальную декомпозицию G на несократимые компоненты и порядок их решения. 1. Найти максимальное паросочетание М в G (в действительности М является совершенным паросочетанием). 2. Получить ориентированный граф G из G путем замены каждого ребра ху, входящего в М на пару ориентированных ребер ху и ух, и ориентацией всех остальных ребер от Y к X. 3. Найти сильно связанные компоненты в графе G . Каждая из этих сильно связанных компонент является несократимой. 4. Для вычисления зависимостей между этими несократимыми подграфами строится граф R путем стягивания в вершину каждой сильно связанной компоненты. Каждая дуга в R от si к S2 означает, что нужно решать систему S2 перед sj. Порядок решения систем уравнений можно получить топологической сортировкой графа R.
Скорость работы всего алгоритма ограничивается затратами на поиск максимального паросочетания. Декомпозиция не зависит от полученного максимального паросочетания.
Предыдущий метод декомпозиции может быть применен и графу G]UG2. Однако максимальное паросочетание не является совершенным, кроме того, декомпозиция графа G2 зависит от максимального паросочетания М.
Суть метода заключается в отбрасывании непокрытых вершин графа Gi- Таким образом, мы получим полностью определенную систему, которая может быть полностью решена. В заключении необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное решение отброшенным уравнениям. Если граф G2 не пуст и рассчитанные параметры удовлетворяют всем наложенным ограничениям, то модель переопределена непротиворечиво. DM-декомпозиция не дает однозначного и стабильного ответа о том, какие ограничения необходимо убрать, чтобы сделать модель полностью определенной. Пользователю необходимо самостоятельно решить, какие ограничения из G2 нужно убрать.
Рассмотрим несколько иллюстративных примеров реальных систем параметрических ограничений и приведем соответствующую декомпозицию.
Схема параметризации (способ, с помощью которого наложены ограничения) показана на рисунке. Первоначально точки А и В фиксированы. Помеченные ребра соответствуют размерным ограничениям (квадратным уравнениям), я/ и аг являются аргументами угловых размерных ограничений.
Система уравнений, соответствующая показанной схеме является полностью определенной, т.е. G=Gi и G2=Gi = 0. Совершенное паросочетание {eqlxC, eq2yC, eq3xD, eq4yD, eq5xE, eq6yE, eq7xF, eq8yF, eq9xG, eqlOyG} и декомпозиция G на несократимые компоненты показана на рисунке. Эти несократимые компоненты решаются в следующем порядке: Gj/, Gj2, G/з, Gj4 и G/j. На первом шаге вы вычислим координаты точки С, используя два первых уравнения, а затем координаты точек D, Е, F и G в указанном порядке.
На практике для решения систем алгебраических уравнений часто использую вариации различных итерационных методов, например, метода Ньютона. Важной проблемой является локализация всех корней решаемой системе уравнений. За счет использования методов декомпозиции время решения системы уравнений, показанной в примере, сокращается в 20 раз. Выигрыш особенно ощутим при решении больших систем уравнений, в том случае если эти системы сократимы. В случае если системы являются несократимыми, то декомпозиция не может ускорить процесс решения. Однако время, затрачиваемое на декомпозицию, незначительно по сравнению с самим процессом решения.
При решении переопределенных и недоопределенных системы уравнений возникают значительные проблемы в том случае, если системы решаются классическими методами.
