Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса и постановка задач 9
1.1 Актуальность применения САЕ-технологий в промышленности 9
1.2 Проблемы использования САЕ-систем 13
1.3 Инженерный анализ в станкостроении 22
1.4 Постановка цели и задач работы 32
2 Математические модели стыков элементов НСС 34
2.1 Математическая модель для расчета параметров жесткости стыков 34
2.2 Алгоритм формирования модели стыка 46
2.3 Математическая модель для расчета параметров демпфирования стыков 49
3 Инженерный анализ шпиндельных узлов в САЕ-системе ANSYS 53
3.1 Математическое описание модели шпиндельного узла 53
3.2 Анализ статической жесткости 54
3.3 Анализ динамических характеристик 60
3.3.1 Определение собственных частот колебаний 60
3.3.2 Анализ динамических характеристик 61
3.4 Методика создания программного средства в среде САЕ-системы 64
3.5 Апробация разработанного программного средства 79
4 Методика моделирования несущих систем станков 84
4.1 Обоснование выбора типа расчетной модели 84
4.1.1 Статический анализ деталей 89
4.1.2 Определение собственных частот и форм колебаний деталей 92
4.2 Математическое описание модели несущей системы 96
4.3 Методика автоматизированного построения модели несущей системы станка 103
4.3.1 Структура сценария, реализующего модель базовой детали 105
4.3.2 Структура сценария, реализующего модель стыка 109
4.3.3 Структура сценария, реализующего модель привода 109
4.3.4 Процедура формирования модели несущей системы станка 113
5 Исследование статических и динамических характеристик в рабочем пространстве станка 119
5.1 Анализ результатов натурных и вычислительных экспериментов 119
5.2 Анализ изменения характеристик несущей системы в рабочем пространстве станка 134
5.2.1 Анализ изменения статической жесткости в рабочем пространстве станка :... 135
5.2.2 Анализ изменения динамических характеристик в рабочем пространстве станка 141
5.2.3 Выводы по результатам анализа 174
Основные результаты и выводы работы 176
Список использованных источников
- Проблемы использования САЕ-систем
- Алгоритм формирования модели стыка
- Определение собственных частот колебаний
- Математическое описание модели несущей системы
Введение к работе
Актуальность темы. Станкостроение — важнейшая отрасль экономики, определяющая темпы развития машиностроения и, в значительной степени, влияющая на рост внутреннего валового продукта. В последние годы наше государство стало предпринимать серьезные меры по созданию условий для возрождения станкостроения. Приказом Минпромэнерго России от 27.12.2007 г. №575 утвержден план развития отрасли, содержащий комплекс мероприятий, направленных на стимулирование инвестиционной деятельности и развитие экспортного потенциала предприятий отечественного станкостроения, стимулирование инновационного развития отрасли, а также систему подготовки кадров для станкоинструментальной промышленности.
Согласно прогнозу к 2010 году ежегодное потребление металлорежущих станков (МС) предприятиями машиностроительного комплекса, в том числе военно-промышленного, оценивается порядка 35,0 тыс. единиц. При этом планируется 80 % потребления покрывать за счет отечественного производства, 20 % - за счет импорта. Производство станков с ЧПУ должно составлять около 18-20 тыс. штук, в том числе обрабатывающие центры — 7-8 тыс. штук.
Для выполнения прогнозируемых темпов развития экономики необходимо сокращение сроков разработки новых станков, что реализуется внедрением CALS (ИЛИ) - технологий. Неотъемлемой составляющей CALS -технологий для высокотехнологичных станков является инженерный анализ их несущих систем, реализуемый на базе универсальных САЕ-систем (Computer Aided Engineering). Однако эффективность использования данных систем в отечественном станкостроении сдерживается отсутствием формализованного аппарата по их применению. Поэтому разработка автоматизированных средств поддержки и сопровождения САЕ-систем, формализующих процесс их использования при проектировании МС, является актуальной научной задачей.
Решение научной задачи выполнялось в рамках приоритетных направлений развития науки и техники «Производственные технологии» из перечня критических технологий РФ, а также в рамках федеральных целевых программ: «Национальная технологическая база» и «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы».
Работа выполнена в рамках финансируемой Рособразованием бюджетной темы № 1.4.06 «Разработка методологии создания высокоэффективных производственных систем нового поколения с заданными свойствами» на кафедре технологии машиностроения, металлообрабатывающих станков и комплексов ГОУ ОГУ.
Объект исследования - универсальные автоматизированные системы инженерного анализа, САЕ-системы.
Предмет исследования - адаптация и формализация использования САЕ-систем в САПР технических систем (на примере металлорежущих станков).
Цель работы — повышение эффективности автоматизированного проектирования металлорежущих станков в среде универсальных САЕ-систем.
Задачи работы. Для достижения цели работы необходимо решить следующие задачи:
создать математические модели для расчета параметров жесткости и демпфирования подвижных и неподвижных стыков в несущих системах металлорежущих станков (НСС);
разработать методику создания программного средства в среде САЕ-системы, в автоматическом режиме формирующего модель элемента НСС;
разработать программное средство в виде модуля-препроцессора САЕ-системы для определения статических и динамических характеристик шпиндельных узлов МС;
разработать методику автоматического построения параметризованной модели НСС с возможностью ее перестроения при изменяющихся параметрах объекта;
разработать методику исследования статических и динамических характеристик МС в его рабочем пространстве по электронной параметризованной модели;
апробировать разработанные средства поддержки и сопровождения на примере конкретных моделей станков.
Научная новизна диссертации заключается в разработке автоматизированных средств поддержки и сопровождения САЕ-систем, направленных на повышение эффективности автоматизированного проектирования МС, и включает:
формализацию применения универсальных автоматизированных систем инженерного анализа при проектировании МС;
методику генерации в автоматическом режиме моделей несущей системы станка;
методику исследования статических и динамических характеристик МС в его рабочем пространстве по электронной параметризованной модели.
Практическая значимость работы состоит в совокупности разработанных программных средств и практических методик, позволяющих широко использовать универсальные автоматизированные системы инженерного анализа при проектировании МС. Главной практической ценностью работы является реализация двухуровневой методологии: системный программист САЕ-системы — инженер-пользователь. Совокупность предложенных в работе решений позволяет системному программисту САЕ-системы оперативно разработать необходимое для конкретного производства программное обеспечение. Практическая значимость работы также представлена в виде законченных программных средств:
- модуль-препроцессор инженерного анализа шпиндельных узлов,
использующий средства программирования САЕ-системы «ANSYS»;
- электронная математическая параметризованная модель консольно-
фрезерного станка.
Методы исследования. Теоретические исследования выполнены с использованием основных положений теории автоматизации проектирования, теории алгоритмов, испытаний станков, планирования эксперимента, теории упругости, теории моделирования. Были использованы методы теории вероятностей и математической статистики, дифференциального и интегрального исчисления, аналитической геометрии и линейной алгебры; методы аппроксимации функций. При разработке программных модулей использовались методы структурного и объектно-ориентированного программирования.
Реализация работы. Результаты работы, представленные в виде методического, программного, информационного обеспечения и практических рекомендаций, приняты к использованию на Оренбургских предприятиях ОАО «Гидропресс», ФГУП ПО «Стрела», а также используются в учебном процессе кафедр «Технология машиностроения, металлообрабатывающие станки и комплексы» и «Системы автоматизации производства» Оренбургского государственного университета.
На защиту выносятся:
методика автоматизированного построения модели шпиндельного узла в среде САЕ-системы;
методика автоматизированного построения реконфигурируемой параметрической модели несущей системы МС в среде САЕ-системы;
методика исследования статических и динамических характеристик МС в его рабочем пространстве по электронной параметризованной модели.
Апробация работы. Основные научные и практические результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных и всероссийских научно-технических и научно-практических конференциях: второй и третьей всероссийских научно-практических конференциях «Компьютерная интеграция производства и ИЛИ технологии» (Оренбург, 2005 и 2007 г.);
8 четвертой, пятой и шестой всероссийских научно-практических конференциях (с международным участием) «Современные информационные технологии в науке, образовании и практике» (Оренбург, 2005, 2006 и 2007 г.); ХІ-й международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в прикладных задачах» (Воронеж, 2006 г.); международной научно-технической конференции «Повышение качества продукции и эффективности производства» (Курган, 2006 г.).
Проблемы использования САЕ-систем
Полученные результаты показывают, что наиболее распространенными являются инструменты для проведения прочностных расчетов (structural) в различных вариантах - 27,5%. Не удивительна популярность инструментов для тепловых расчетов (thermal) и для моделирования движения конструкций (motion), которые с показателем 15,9% делят 3-е и 4-е места. Появление на втором месте (18,7%) существенно более сложного газогидродинамического моделирования (CFD), которое еще не стало предметом первой необходимости для большинства конструкторов, скорее всего, может свидетельствовать о том, что больший интерес к опросу на сайте CIMdata проявили работники высокотехнических отраслей, таких как автомобильная, аэрокосмическая и оборонная промышленности.
Более трети респондентов (37,5%) ответили, что проводят инженерный анализ для всех проектируемых изделий. Свыше половины респондентов (57,3%) указали, что САЕ-технологий проводится проверка части проектируемых изделий. О том, что вообще не пользуются виртуальным тестированием, сообщили 5,3% респондентов [66].
Учитывая предметную область указанных выше наукоемких программных систем инженерного анализа можно утверждать, что критические САЕ-технологии, основанные на применении этих программных систем, являются базовыми технологиями, т.е. технологиями, лежащими в основе создания широкого спектра наукоемкой продукции.
Современный рынок информационных технологий предлагает широкий спектр универсальных и специализированных CAD/САМ- и САЕ-систем, позволяющих пользователям обеспечить сквозную цепочку автоматизированного проектирования и технологической подготовки производства новых изделий любой степени сложности.
Современные САЕ-системы представляют собой мощные средства инженерного анализа с развитым сервисным инструментарием, успешно применяющиеся для решения всех практических задач.
Анализ динамики развития САЕ-систем позволяет выделить следующие основные тенденции и актуальные направления их развития: - многодисциплинарность; - повышение скорости и эффективности; - повышение доступности тяжелых технологий [24].
Современный рынок наукоемкого программного обеспечения характеризуется теми особенностями, что разработчики программного обеспечения находятся в условиях жесткой конкуренции, в результате которой практически каждые полгода на рынке появляются новые и все более сложные в освоении версии САЕ-систем. Следует отметить, что, по мнению разработчиков, уровень сложности освоения и эффективности применения современных САЕ-систем уже на данном этапе это уровень PhD-специалистов, т.е. кандидатов наук [86].
Поскольку программные средства симуляции и инженерного анализа являются достаточно сложными, их применение в 41,3% случаев требует навыков работы специалиста из соответствующей области. Только в 18,7% случаев инженер-конструктор справляется сам, а в 34,7% случаев инженер-конструктор и специалист работают в тандеме. Оставшиеся 5,3%, вероятно, можно интерпретировать как оформление заказа на проведение инженерного анализа сторонними организациями. Приведенные данные (компания CIM-data) свидетельствуют о том, что вендорам, которые делают ставку на распространение инструментов, рассчитанных на массовое применение, предстоит еще немало потрудиться, чтобы сделать САЕ-технологии доступными для среднестатистического конструктора [66].
В процессе автоматизированного проектирования нового изделия, основная часть внимания обычно уделяется вопросам создания CAD-моделей (графических моделей) отдельных деталей и сборок и разработке технологии изготовления деталей по построенным графическим моделям с привлечением САМ-систем. При этом за кадром остается важная часть процесса проектирования, связанная, в частности, с анализом работоспособности этого изделия, его способности воспринимать планируемые нагрузки и адекватно реагировать на окружающую среду.
Алгоритм формирования модели стыка
Для формирования моделей стыков между базовыми деталями станка был разработан алгоритм их построения, приведенный на рисунке 2.14. Практической реализацией алгоритма служат сценарии, написанные на макроязыке APDL САЕ-системы ANSYS [4,5,37,61,91], в количестве равном числу моделируемых стыков. Все эти сценарии имели однотипную структуру и позволяли в автоматическом режиме воспроизводить модели стыков в среде ANSYS. Обязательным условием, необходимым для использования сценариев, является наличие двух КЭ моделей сопряженных поверхностей, образующих стык. с Сеточные модели \ сопряженных деталей 1и2у Выделение двух наборов поверхностей А и В, образующих стык (набор А є деталь 1і набор В є деталь 2) Выделение сеток I и II, принадлежащих наборам А и В (сетка І є набор Аі сетка II є набор В) Определение числа узлов в сетках I и II Nn1 - число узлов в сетке 1, Nn2 - число узлов в сетке Удаление сетки II да Лп - допуск на совпадение узлов, установленный в САЕ-системе; 8П - максимальная величина погрешности сопадения двух узлов в модели стыка Копирование сетки I на поверхности набора В Удаление сетки I I Приведение геометрии наборов поверхностей А и В к общему виду т Генерация сетки IV на поверхностях набора А Формирование сетки III на поверхностях набора В Копирование сетки IV на поверхности набора В Генерация элементов-пружин в совпадающих узлах сеток
Так как стыки моделировались на основе использования конечного числа упругих элементов-пружин, то для их формирования в автоматическом режиме требовалось провести коррекцию конфигурации сетки сопряженных поверхностей. Под коррекцией сетки здесь понимается получение на сопряженных поверхностях одной детали сетки, конфигурация которой является точной копией сетки на сопряженных поверхностях второй детали.
Данная коррекция обеспечивалась соответствующими командами каждого сценария и осуществлялась в несколько этапов (рисунок 2.15). На первом этапе производилось изменение конфигурации сопряженных поверхностей, таким образом, чтобы они полностью соответствовали друг другу. На втором этапе на сопряженные поверхности одной из моделей деталей наносилась сетка конечных элементов. Затем сетка, полученная на этих поверхностях, копировалась на соответствующие поверхности сопряженной детали, за счет чего достигалось точное совпадение узлов сетки на поверхностях модели стыка. Поверхности, образующие Исходная сетка стык основание-станина на поверхностях стыка Приведенная геометрия Приведенная сетка поверхностей стыка на поверхностях стыка
По завершению коррекции сетки по ходу выполнения сценария инициализировался блок команд, которые обеспечивали окончательное формирование моделей стыков. При выполнении этих команд программа произво 49 дила анализ сопряженных поверхностей моделей деталей и автоматически генерировала элементы-пружины, используя совпадающие узлы сетки оболочковых элементов на поверхностях. Каждой такой команде в данном блоке предшествовал ряд команд, определяющих выбор необходимого типа конечного элемента и соответствующего ему набора действительных констант.
Математическая модель для расчета параметров демпфирования стыков
Учет параметров демпфирования в модели стыка осуществлялся путем определения для соответствующих элементов-пружин коэффициентов демпфирования. Для этого были разработаны специальные сценарии, производящие модификацию всех моделей стыков. Эта модификация выражалась в дополнении действительных констант элементов-пружин, формирующих стыки, параметрами демпфирования. Благодаря этим параметрам фактически каждая пружина в модели стыка дополнялась вязким демпфером, характеризуемым определенным значением коэффициента демпфирования. Схематичное изображение окончательной модели пружины в стыке приведено на рисунке 2.16.
Окончательная модель пружины в стыке
Значения коэффициентов демпфирования для каждой пружины в моделях стыков рассчитывались в автоматическом режиме на основе зависимости вида [124,131]: N v J где к — средняя жесткость стыка в данном координатном направлении, моделируемая посредством набора одинаковых пружин, Н/м; М - масса колеблющегося тела, т.е. масса детали (набора деталей), образующей стык с деталью, которая имеет более близкое расположение по отношению к детали, связанной с фундаментом станка, кг; Н; - относительный коэффициент демпфирования; N - количество пружин в моделируемом стыке.
Средние значения жесткости стыков определялись на основе зависимостей, приведенных на рисунках 2.4-2.13. Массы деталей, рассчитывались программой автоматически по ходу выполнения сценария на основе полученных конечно-элементных моделей деталей, образующих стык.
Для определения приблизительных значений относительных коэффициентов демпфирования был выполнен натурный эксперимент, направленный на измерение статической жесткости реального станка. Результаты этого эксперимента впоследствии также использовались для подтверждения достоверности разработанной модели несущей системы станка. Описание методики проведения эксперимента приведено в пятом разделе работы.
По результатам эксперимента были получены зависимости координатных перемещений (шпинделя относительно стола станка) от нагрузки, полученные при нагружении и разгружении станка по средним значениям трем замеров. Полученные зависимости изображены в виде диаграмм на рисунках 2.17-2.19. В первом квадранте каждой диаграммы приведены нагрузочная и разгрузочная ветви зависимости, полученные при действии нагрузки в положительном направлении, а в третьем квадранте - при действии нагрузки в отрицательном направлении.
Определение собственных частот колебаний
Приоритетным условием создания конкурентоспособных станков и любых сложных технических объектов в настоящее время является полномасштабное использование компьютерных технологий. Основной целью комплексного анализа станка на этапе проектирования является проект станка, обеспечивающего регламентированные показатели точности. Решение задачи комплексного анализа станка реализуется или созданием специализированной системы компьютерного моделирования или использованием готовых САЕ-систем. Использование САЕ-систем связано с проблемой реализации многовариантного моделирования с учетом варьирования большого количества параметров модели (геометрические размеры, относительное положение деталей, физические свойства материала и т.д.). Варьирование этими параметрами средствами интерфейса существующих систем является чрезвычайно трудоемким, что в большинстве случаев обусловлено потребностью перестроения модели (частичного или полного).
Несмотря на большие заявленные возможности САЕ-систем, и в частности ANSYS, для инженерных приложений, в практике отечественных предприятий реальное использование этой системы пока недостаточно. Это обусловлено двумя основными причинами: сложностью системы, требующей специализированной подготовки пользователя системы; отсутствием на сегодняшний день развитых методик моделирования отдельных узлов и несущих систем станков.
Однако одним из достоинств ANSYS (как и других систем аналогичного класса) является наличие достаточно мощного макроязыка, позволяющего практически полностью автоматизировать работу в системе. В ANSYS таким макроязыком выступает APDL. APDL (ANSYS Parametric Design Language) представляет собой параметрический язык проектирования системы ANSYS, то есть является описательным языком позволяющим автоматизировать различные процедуры, начиная с решения общих задач и заканчивая построением полностью параметризованных моделей.
Это дает возможность рассматривать APDL как основу для создания программных средств, значительно упрощающих процесс инженерного анализа в ANSYS. Для подтверждения этого была разработана методика создания программного средства, автоматизирующего процесс моделирования узлов станка. Моделируемым элементом выступал шпиндельный узел станка, как один из наиболее ответственных узлов станка.
В общем случае комплексный анализ шпиндельного узла включает расчеты статических, динамических и тепловых характеристик. Эти расчеты можно реализовать в системе ANSYS на единой модели двумя методами. Первый метод заключается в последовательном проведении расчетов указанных характеристик и имеет ряд недостатков, обусловленных необходимостью изменения некоторых параметров модели (тип конечного элемента, вид граничных условий и т.д.) перед проведением каждого последующего вида расчета. Второй метод основан на прямом параллельном определении характеристик различного типа на основе использования в модели специализированных конечных элементов, и также имеет недостатки, выражающиеся в увеличении времени расчета в связи с необходимостью решения нелинейной задачи.
Построение ЗО-модели (объемной модели) шпиндельного узла осложняется необходимостью построения объемной модели опоры. Для опор качения ЗО-модель на сегодняшний день, несмотря на наличие теоретических решений [3,15,21,25,97], пока не реализована. Одной из практических причин сложности реализации ЗБ-модели подшипника являются большие вычислительные ресурсы компьютера, которые, как показали проведенные исследования, не могут быть выполнены на персональных компьютерах типа Р4 или AMD 64. Такие исследования включали составление ЗБ-модели радиального и радиально-упорного подшипников качения (внутреннее, наружное кольца, тела качения и сепаратор) средствами препроцессора ANSYS для определения статической жесткости подшипника. В этом случае конечно-элементная модель подшипника, построенная на элементах типа «10-узловой тетраэдр» для колец и тел качения и контактных элементах для моделирования поверхностей контакта, включала около 100 тыс. элементов при среднем размере грани конечного элемента 3 мм (без учета сгущения сетки в местах контакта). При такой размерности задачи решение не было получено. Поэтому было принято решение разработать методическое обеспечение для инженерного анализа шпиндельного узла (ШУ) с использованием устоявшихся в инженерной практике моделей опор в виде пружин [69].
Расчетная модель ШУ была построена при следующих допущениях: - использование стержневых конечных элементов для геометрического представления шпинделя; - представление моделей опор качения в виде комбинации различных типов упругих элементов-пружин, обладающих фиксированными коэффициентами жесткости и демпфирования; - использование сосредоточенных нагрузок, задаваемых в узлах стержневых элементов.
Математическое описание модели несущей системы
Анализ результатов модального расчета, приведенных показывает, что для оболочковых моделей величины полученных собственных частот незначительно отличаются от частот полученных для их твердотельных аналогов. Так максимальное отклонение по всем пяти частотам для оболочковых и твердотельных моделей основания составляет 6,1%, и 7% для оболочковых и твердотельных моделей станины. При этом время, затраченное на проведение расчетов для оболочковых моделей в десятки раз меньше чем для твердотельных моделей при использовании компьютера одной и той же конфигурации (Intel Pentium IV 3200, ОЗУ 1024).
Полученные в ходе двух видов анализа результаты позволяют сделать заключение об эффективности использования оболочковых моделей и возможности замены ими твердотельных моделей. Этот вывод подтверждается следующими данными: - для статического и модального расчетов элементов несущей системы станков замещение твердотельных моделей оболочковыми позволяет гарантировать: 90%-ую точность результатов расчетов; десятикратное сокращение времени расчетов; семикратное уменьшение размерности решаемых задач; - использование оболочковых моделей позволяет существенно снизить требования к вычислительным мощностям используемых для моделирования компьютеров.
Исходя из этого, был сделан вывод о необходимости дальнейшего моделирования остальных деталей несущей системы станка на основе применения оболочковых моделей, что позволит значительно снизить вычислительные затраты на анализ такой модели. Несмотря на это в некоторых случаях полная замена объемных конечных элементов оболочковыми элементами невозможна в силу тех или иных причин, поэтому было принято сохранить некоторый процент объемных элементов для моделирования отдельных узлов станка, а именно приводов станка.
Для моделирования несущей системы станка было принято решение использовать три основных типа конечных элементов. Этими элементами являются следующие типовые элементы САЕ-системы ANSYS: оболочковый элемент «Shell63» (модели базовых деталей), объемный элемент «Solid45» (модели приводов) и элементы-пружины «Combinl4» и «Combin39» (модели стыков) [124,125,131]. Геометрия, расположение узлов и системы координат для оболочкового элемента приведены на рисунке 4.10. Аналогичные параметры для объемного элемента приведены на рисунке 4.11.
Для двух остальных координатных направлений функции формы не приводятся, так как имеют аналогичную структуру записи.
Вычисление статических перемещений для полученной модели происходит на основе решения уравнения в матричной постановке метода конечных элементов, имеющего следующий вид [14,26,76,78,80,102-105,137-139]: [K]-{u}={F} (68) где [К] - глобальная матрица жесткости; {и} - вектор узловых смещений; {Г} - вектор нагрузки. Глобальная матрица жесткости формируется путем вычисления суммы интегралов следующего вида: М = jJB(e)]T [D e)]. [В е ].dV (69) ПІ где [В(е)] - матрица деформаций-смещений единичного элемента, определяемая по формуле: [B(e)] = [L]-[H(e)] (70) где [L] - дифференциальная матрица, определяемая для каждой конкретной задачи согласно теории упругости; [Н(е)] - интерполяционная матрица смещений, формируемая на основе функций формы конкретного типа конечного элемента; [D(e)] - матрица упругости единичного элемента, определяемая для каждой конкретной задачи согласно теории упругости; m - общее количество элементов. Вектор узловых смещений может быть записан следующим образом: W=S{« e)} (71) m где {u(e)} - вектор смещений единичного элемента, который в общем случае при наличии п узлов может быть записан в следующей форме: {и(е)Г =К uyi uZi фХі Фуі Фїі ...uXn uyn uZn Фхп Фуп 9zn} (72)
Вектор нагрузки {F} включает в себя три составляющие, обусловленные действием объемной, поверхностной и сосредоточенной нагрузки, то есть: {F}={FB}+{FS}+{FC} (73) где {FB} - вектор объемной нагрузки, определяемый по формуле: {FB} = Zj;[H(e)]T-fB(e)-ciV; (74) пі где {Fs} - вектор поверхностной нагрузки, определяемый по формуле: {Fs)=EJ[[HS(e)]T-fS(C) dS (75) m где {Fc} - вектор внешних сосредоточенных сил, действующих на узловые точки; f8 - массовые силы, Н; (е) - силы трения, действующие на поверхность, Н; [HS(e)] - поверхностная интерполяционная матрица смещений, получаемая из объемной интерполяционной матрицы смещений [Н(е)] подстановкой координат поверхности элемента.
Выражение (68) описывает статическое равновесие. Если приложенные силы изменяются во времени, это выражение применимо к любому конкретному моменту. Однако при быстром приложении нагрузки необходимо учитывать силы инерции. По принципу Даламбера силы инерции отдельных элементов могут быть добавлены к массовым силам. Если предположить, что ускорение в любой точке элемента связано с ускорениями в узловых точках матрицей [Н(е)] подобно смещениям, вклад массовых сил в вектор нагрузки {F} будет выражаться:
