Содержание к диссертации
Введение
1. Методы описания трехмерных объектов и машинного формирова ния их изображения II
1.1.. Анализ существующих методов и алгоритмов формирования изображений трехмерных объектов II
1.2. Математические модели геометрических тел, ограниченных плоскостями и хшадратичными поверхностями 20
1.3. Задачи процесса формирования изображения и методы их решения 23
1.3.1. Системы преобразований изображаемых объектов 23
1.3.2. Проекции элементов поверхности и преобразование.их в границы сегментов 29
1.3.3. Удаление невидимых точек поверхностей 35
1.4. Задачи исследования и пути их решения 39
2. Преобразование в границы сегментов заданной Плоской области 46
2.1. Постановка задачи преобразования в границы сегментов заданной области 46
2.2. Классификация границ сегментов элементарной области. 48
2.3. Выделение границ сегментов заданной области» 57
2.4. Алгоритм выделения границ сегментов заданной области. 64
Выводы 69
3. Проецирование и преобразование граней простых геометрических тел в границы сегментов 70
3.1. Границы проекций граней простых геометрических тел. 70
3.2. Метод расчета координат точек пересечения двух квад- ратичных поверхностей 84
3.3. Выделение и классификация границ участков квадратичных поверхностей 92
3.4. Преобразование Б границы сегментов проекций граней простых геометрических тел 97
Выводы 107
4. Оптимизация и экспериментальное исследование алгоритмов и программ формирования'изображения 108
4.1. Анализ путей повышения эффективности алгоритмов формирования изображения. * 108
4.2. Минимизация: площади области сканирования для простого геометрического тела
4.3. Минимизация площади области сканирования на уровне граней простого геометрического тела. 126
4.4. Комплекс программ машинного синтеза изображений трехмерных объектов 133
4.5. Экспериментальное исследование алгоритмов и программ 142
Выводы 158
Заключение 159
Основные результаты работы 162
Литература
- Анализ существующих методов и алгоритмов формирования изображений трехмерных объектов
- Задачи процесса формирования изображения и методы их решения
- Постановка задачи преобразования в границы сегментов заданной области
- Метод расчета координат точек пересечения двух квад- ратичных поверхностей
Введение к работе
Б условиях непрерывного ускорения темпов научно-технического прогресса автоматизация проектно-конструкторских работ стала одной из важнейших задач совершенствования современного промышленного производства, успешное решение которой позволяет значительно сократить сроки проектирования, снизить трудовые и материальные затраты на техническую подготовку производства новых изделий, повысить их качество.
Б нашей стране созданию систем автоматизированного проектирования придается большое значение. Так, необходимость "расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники" записана в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на І98І-І985 годы и на период до 1990 года" (Материалы ЖХУТ съезда КПСС- М.: Политиздат, 1981, сЛ44).
В настоящее время как в нашей стране, так и за рубежом системы автоматизированного проектирования (САПР) успешно используются в различных отраслях промышленности /2,13-16,24,25,28,40,46,49,52-59,77,88,93,105,III,113,114/. Тем не менее, накопленный опыт эксплуатации САПР машиностроительных изделий говорит о недостаточном уровне автоматизации начальных этапов проектных работ таких, на которых осуществляется выбор и отработка принципов действия, определение внешнего облика разрабатываемого изделия, поиск конструкторских решений. Поскольку при этом определяются многие геометрические характеристики будущих изделий; взаимное расположение элементов конструкции, их форма и отдельные размеры, то работа конструктора на этих этапах требует выполнения большого объема чертеж-но-графических работ по прорисовке многочисленных вариантов проектных решений. Поэтому одной из актуальных задач дальнейшего совершенствоваыия САПР, предназначенных для проектирования сложных технических изделий, является автоматизация геометрического моделирования, т.е. моделирования геометрических отношений в разрабатываемых объектах /17,40,43,50,53,54,58,75,39/.
Б решении этой задачи важную роль играет визуализация результатов машинного моделирования с помощью средств интерактивной машинной графики. Визуальное исследование изображений позволяет контролировать ввод геометрической информавди в ЭВМ, качественно оценивать результаты проектирования на всех этапах, своевременно выявлять недостатки разрабатываемых конструкций и принимать меры, направленные на их устранение.
Применяемые в настоящее время средства векторной машинной графики /3-6,12,18-23,26,27,30,40,51,59,87,90,91,102,103/ не удовлетворяют в полной мере всем требованиям геометрического моделирования. Формируемые ими контурные изображения трехмерных объектов не всегда обладает достаточной наглядностью. Кроме того, векторные дисплеи имеют ограничение на сложность воспроизводимых ими изображений.
Более высокими изобразительными возможностями обладают средства растровой машинной графики /1,42,51,73,80,85,86,94,98,105, 106,111/. Применение их в САПР делает возможным представление результатов геометрического моделирования сложных технических объектов в виде наглядных и реалистичных тоновых изображений, сложность которых ограничивается только разрешающей способностью растра и числом используемых градаций яркости и цвета.
При формировании растровых изображений трехмерных объектов помимо чисто геометрических отношений необходимо моделирование фотометрических факторов таких, как характер освещения, отражательная способность поверхностей и т.п. /101/. С одной стороны, такое моделирование необходимо для получения наглядного представления о глубине пространства, т.е. форме и взаимном расположении трехмерных объектов Б пространстве.
С другой стороны, моделирование фотометрических факторов при синтезе машинного изображения позволяет визуально оценивать характер освещенности поверхностей, возможность затенения одних элементов конструкции другими и т.п. При проектировании таких объектов, в состав которых входит аппаратура, предназначенная для регистрации и преобразования светового излучения, это имеет не менее важное значение, чем геометрическое моделирование. Таким образом, растровая машинная графика открывает возможность постановки и решения различных задач по оптимизации конструкций разрабатываемых объектов с учетом заданных фотометрических требований.
Б настоящее время в растровой машинной графике наиболее всесторонне исследованы вопросы синтеза изображений объектов, ограниченных плоскими многоугольниками. Поверхности же большинства технических объектов, в частности, машиностроительных изделий состоят не только из участков плоскостей, но и из участков криволинейных поверхностей, превде всего квадратичных поверхностей. Однако вопросы машинного синтеза изображений трехмерных объектов данного класса остаются в настоящее время мало исследованными. Такой подход к решению данной задачи, как аппроксимация участков квадратичных поверхностей плоскими многоугольниками, нельзя считать удовлетворительным , так как он связан с необходимостью решения другой сложной и трудоемкой задачи - задачи автоматической аппроксимации /105/.
Таким образом, актуальность разработки методов и алгоритмов синтеза растровых изображений трехмерных объектов, заданных участками плоскостей и квадратичных поверхностей, обуславливается, во-первых, широким распространением данного класса объектов в практике, во-вторых, отсутствием удовлетворительных методов решения данной задачи, в-третьих, практической потребностью их использования как при геометрическом моделировании разрабатываемых изделий, так и при моделировании фотометрических факторов, соответствующих условиям их функционирования.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ заключается в разработке и исследовании методов и алгоритмов машинного формирования цветных тоновых изображений трехмерных объектов, ограниченных участками плоскостей и квадратичных поверхностей, и внедрении их в практику автоматизированного проектирования технических объектов. Указанная цель достигается в результате:
1) разработки метода формирования изображения, основанного на декомпозиции изображаемых геометрических тел на простые геометрические тела и представлении проекций потенциально видимых частей их граней в алгебро-логической форме;
2) разработки методики и алгоритмов преобразования произвольных ограниченных областей плоскости в границы сегментов их сечений линиями сканирования;
3) разработки методов проецирования потенциально видимых частей граней простых геометрических тел и преобразования их проекций в границы сегментов;
4) разработки методов и алгоритмов сокращения времени формирования изображения за счет минимизации площади области сканирования, достаточной для преобразования в границы сегментов простых геометрических тел и их граней;
5) экспериментального исследования эффективности алгоритмов минимизации площади области сканирования при различных режимах их использования.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы состоит в следующем:
I) предложен и обоснован новый метод формирования изобра жения объектов, заданных плоскостями и квадратичными поверхностями, основанный на декомпозиции геометрических тел на простые геометрические тела и представлении проекций их граней в алгебро-логической форме;
2) разработан метод юшссификации границ сегментов элементарных областей плоскости и методика выделения из них границ сегментов заданной области;
3) получены аналитические соотношения» описывающие в алгеб-ро-логической форме проекции потенциально видимшс частей граней простых геометрических тел, и исследованы условия их существования;
4) разработан новый метод расчета координат точек линии пересечения квадратичных поверхностей и метод классификации их проекций как границ сегментов;
5) разработаны методы минимизации площади области сканирования для проекций простых геометрических тел и проекций их граней, обеспечивающие сокращение непроизводительных затрат машинного времени при построении изображения.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Куйбышевского ордена Трудового Красного Знамени политехнического института и комплексной научно-технической программой Минвуза РСФСР "Системы автоматизированного проектирования1 .
Практическую ценность представляет комплекс программ машинного формирования цветных тоновых изображений трехмерных объектов, использование которого в САПР обеспечивает повышение качества проектных решений и приводит к сокращению сроков проектирования.
Комплекс программ реализован на универсальном языке PL -I и может быть использован в САПР различных организаций, занимающихся проектированием технических объектов и систем.
ВНВДРЕВИШ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Основанная на применении разработанного комплекса программ методика геометрического моделирования технических изделий использовалась в хоздоговорной работе 5/77 (гос. per. № 76093943) и хоздоговорной работе 3/83 (гос. per. J 01830000624), выполняемой по важнейшей тематике.
Экономический эффект от внедрения результатов работы составил 40 тыс. руб.
НА ЗАШИТУ ВЫНОСИТСЯ:
1) обоснование метода формирования растровых изображений трехмерных объектов f заданных плоскостями и квадратичнши поверхностями, основанного на декомпозиции геометрических тел на простые геометрические тела и представлении проекций потенциально видалых частей их граней в алгебро-логической форме;
2) алгоритм преобразования произвольных ограниченных областей плоскости, заданных в алгебро-логкческой форме, в гранили сегментов их сечений ЛИНИЯМИ сканирования:;
3) метод и алгоритм проецирования потенпдально видимых частей граней простых геометрических тел и преобразования их проекций в границы сегментов;
4) методы повышения эффективности разработанных алгоритмов формирования изображений трехмерных объектов за счет минимизации площади области сканирования на уровне простых геометрических тел и их граней.
АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
- областная научно-техническая конференция "Молодые ученые
Куйбышевской области - производству", Куйбшев, 1977г.;
- отраслевые семинары по применению электронно-вычислительной техники в проектно-технических разработках, Куйбшев, 1977» 1978г.;
- 5,7,8,9 научно-технические конференции факультета математических знаний Куйбышевского политехнического института, Куйбышев, 1980, 1982, 1983, 1984 г.;
- научно-технический семинар кафедры "Техническая кибернетика" Куйбышевского авиационного института, Куйбышев, 1984 г.;
- научно-технический сешнар Института аналитического приборостроения АН СССР, Ленинград, 1984 г.;
Общемосковский сешнар по математическому обеспечению систем машинной графики, Институт проблем управления: АН СССР, Москва, 1984 г.;
- научно-технический семинар кафедры инженерной графики Московского авиационного института, Москва, 1984 г.
Анализ существующих методов и алгоритмов формирования изображений трехмерных объектов
В конечном итоге задача машинного формирования цветного тонового изображения трехмерных объектов и сцен состоит в определении яркости и цвета всех его точек, число которых в растровых дисплеях в зависимости от разрешающей способности составляет от нескольких десятков тысяч до миллиона и выше.
Исходные данные для этих расчетов можно подразделить на три вида; 1) геометрические данные, определяющие форму, размеры и расположение в пространстве изображаемых объектов; 2) видовые параметры /10,11,110/, задающие вид и направление проецирования, плоскость проекции, а также границы области пространства, называемой видимым объемом, которую вместе с расположенными в ней объектами требуется изобразить на экране; 3) фотометрические параметры.
К числу фотометрических параметров в зависимости от требований, предъявляемых к фотометрическому моделированию, могут относиться яркость и расположение в пространстве источников света, цвет ж отражательная способность поверхностей изображаемых объектов и ряд других параметров /51,99,101,104,105/.
В практике как традиционного ручного, таї: и автоматизированного проектирования сложные трехмерные объекты принято конструировать и рассматривать состоящими из отдельных более простых элементов, которые, в свою очередь, также могут разбиваться на отдельные элементы следующего уровня и так. далее,вплоть до некоторых базовых элементов /28,106,111/. При таком разбиении сложные объекты имеют древо видную иерархическую структуру. Для обеспечения возможности независимого рассмотрения и преобразования ее элементов в математических моделях объектов также выделяются элементы различных структурных уровней, для описания которых используются собственные системы координат. Вопросы структурной организации геометрических данных в соответствии со структурой объектов достаточно подробно исследованы в работах /8,11,28,51,52,65/.
Базовым элементам структуры объектов в их математической модели обычно соответствуют геометрические тела. Так, математической моделью детали - базового элемента структуры машиностроительного изделия является геометрическое тело» совпадающее с ним по форме и размерам /16,28/,
С точки зрения геометрического моделирования и машинного формирования изображений геометрические тела саш чаще всего представляют собой сложные объекты, задание которых требует разбиения их на более простые элементы. Математическим моделям геометрических тел посвящено значительное число работ /7,11,16,19,20,28,31,35,36, 38-40,43,50-58,69,72,74,84,88,93,95,100,108,110,111/. Б них всесторонне рассмотрены способы разбиения геометрических тел или их поверхностей на элементы и способы формального описания этих элементов. Исследование данных работ показывает, что в математических моделях геометрических тел применяются три типа поверхностей, существенно отличающихся методами их описания: 1) плоскости; 2) квадратичные поверхности; 3) произвольные криволинейные поверхности сложной геометрии.
В качестве математической модели геометрических тел с поверхностью, состоящей только из плоских многоугольников, используется полигональная модель /11,38,40,51,110,111/.
Согласно /16,28/ основными видами математических моделей гео метрических тел с поверхностью из участков плоскостей и квадратичных поверхностей являются кусочно-аналитические, алгебро-лопгческие и комбинированные модели. Вопросы использования подобных моделей для задания геометрических тел рассмотрены также в работах /7,53, 84,88,108,56-58/.
Дпн описания и конструирования геометрических тел с более слоя-ной криволинейной поверхностью разработано большое число специальных математических моделей. К числу таких моделей относятся, например, каркасные и непрерывно-каркасные модели, рассмотренные в работах /31,35,36,38,39,43,50,54,55,93/. Данные модели применяются для описания элементов авиационных конструкций, лопаток турбин, корпусов кораблей и других изделий со сложной геометрией поверхности, а также для построения их изображения средствами векторной графики.
Кроме того, существуют различные методы описания гладких криволинейных поверхностей с помощью полиномиальных параметрических моделей. Б виду своей универсальности данные модели находят все более широкое применение как в векторной, так и в растровой графике /11,20,74,95,100/. Следует отметить, что серьезную проблему представляет построение линий пересечения параметрических поверхностей /100,104/. Поэтому полиномиальные параметрические модели наиболее удобны для задания геометрических тел с простой структурой поверхности, допускающей ее описание как единой непрерывной гладкой поверхности.
Рассматриваемые в диссертационной работе геометрические тела чаще всего имеют сложную структуру поверхности, требующую разбиения ее на отдельные элементы - грани /16,28/. Кроме того, полиномиальные параметрические модели дают лишь приближенное описание квадратичных поверхностей, более сложное, чем при использовании алгебраических уравнений /74/.
Задачи процесса формирования изображения и методы их решения
Тогда, если задано некоторое невырожденное преобразование вида где W = [k4/J, ,У= 2Д4 - матрица этого преобразования, то матрица Р преобразованных коэффициентов уравнения плоскости, согласно /51/, находится как P = W4P, 1.4) Здесь 1 - матрица» обратная по отношению к матрице W
В литературе не описаны методы аналогичного преобразования для уравнений квадратичных поверхностей, поэтому покажем» что в однородных координатах преобразование таких уравнений тагахе можно представить в матричной форме /68/.
Используя принятые выше обозначения, запишем уравнение квадратичной поверхности Р(х у,г) = анх1+аг1у2+аъъг+2(2ихи + ганхг+ , , ( Т т 1 + la2lyz +ZaMx іагііу +1а$мг +0 =0 в матричном виде: К А КТ = 0, где А =[ &Lj] » hj - 2,3,4 - симметрическая матрица коэффициентов уравнения (1.5), К - транспонированная матрица К . С другой стороны матрипу А можно рассматривать как матрицу квадратичной формы Т(х ,y}z,u) = анхг+atzy2+ albiz + а и,2-- zafZ х у + га15х f 2af xu +ZaZbyz + 1й1Щуи + IU ELL от четырех переменных а: , у ( z и ii , а преобразование W как линейное преобразование в четырехмерном пространстве /?4 с системой координат Oxyzu . Тогда, согласно известным соотношениям /92/1 преобразование 1А/ квадратичной формы $(xfy,z,u) приводит к следующему преобразованию ее матрицы: A W A (W )T 9 (1.6) Здесь Д - матрица преобразованных коэффициентов квадратичной формы. Поскольку при и — / $(X7y,Z;U) =F(x,ytz)f то матрица А является такке и матрицей преобразованных коэфЗшщ ентов уравнения (1 5). Следовательно, формула (1,6) соответствует преобразованию матрицы коэффициентов этого уравнения для рассматриваемого преобразования W .
Отметим, что, как и выше, преобразованием IV в форщуле (1.6) может быть любое невырожденное преобразование, в том числе и перспективное .
Итак, полученное здесь соотношение (1.6), а также известное соотношение (1.4) дают возможность выполнять любые координатные преобразования рассматриваемых в данной работе геометрических тел, заданных плоскостями и квадратичными поверхностями, единым образом в матричной форме.
Как уже отмечалось в разд. І.І., среди известных работ, посвященных преобразованию отсечения, отсутствуют работы, в которых были бы рассмотрены методы отсечения для геометрических тел, заданных участками криволинейных, в частности, квадратичных поверхностей. Очевидно, это объясняется в первую очередь тем, что практически во всех существующих системах машинной графики участки криволинейных поверхностей аппроксжшруготся многоугольниками,
С другой стороны,рассмотрение путей осуществления отсечения для гєометричесшїх тел, заданных плоскостями и квадратичными поверхностями, показывает, что точное решение данной задачи сопряжено с трудоемкими расчетами и сложным анализом. По этой причине такое отсечение может оказаться в целом не только не элективным, но и приводить к дополни тельным затратам времени.
Исходя из сказанного, представляется целесообразной разработка приближенного метода преобразования отсечения для рассматриваемого класса геометрических тел с использованием такой системы предварительных преобразований, в которой отсечение осуществляется наиболее просто.
Постановка задачи преобразования в границы сегментов заданной области
В соответствии с результатами выполненного в разд. I. анализа одной из задач процесса формирования изображений является задача преобразования в границы сегментов произвольных областей плоскости, заданных в алгебро-логической форме. Пусть заданная область, где Qj={(zSlfj(x,y) 0), j W,- (2.2) исходные элементарные области на плоскости I/ .
В реальных алгоритмах изображение строится на ограниченном участке плоскости И , соответствующем экрану дисплея. Поэтому далее в качестве такого участка будем рассматривать прямоугольную область Е , заданную неравенствами: X, х Хт; Ус $У Vm Причем, поскольку число строк телевизионного растра конечно, то для преобразования будем рассматривать не всю непрерывную область Е 9 а только совокупность из конечного числа ее строк
Хотя это и не принципиально, удобно считать значения У&[У0,Ут] определяющие строки, целыми числами. В этом случае Е будет сос и тоять из Y/n-Yo+1 строк, т.е. Е - 1) StY.
Таким образом, целью преобразования в границы сегментов облао-ти & фактически является нахождение границ сегментов для всех Ym Y0+1 сечений Sr(6 ) В1(\Ыг области 9 -9ПЕ строками $iy .
Обозначим через С(09 множество точек граничного контура области 07 , Тогда под сегментом С сечения $Y(&J будем понимать отрезок строки Sty такой, что Таким образом, всякий сешент С с в/ определяется нарой $ = (( , ) Лхг,1)), XtiXr, котокую в дальнейшем будем называть границами сегмента, из них точку (а: К) - левой, а точку Гг, У) - правой границами (рисЛЛ). Б соответствии с выбранным подходом задача преобразования в границы сегглентов заданной области 6 состоит в преобразовании в границы сеилентов элементарных областей Qj и выделении из них границ сеилентов области в т
Обозначим через fq множество границ сегментов произвольной элементарной области 5 . Тогда первый этан решаемой задачи формулируется следующим образом: найти преобразование где такое, что Г, =?,($). (2.3) Имея множества Vqj границ сегментов для всех элементарных областей fly j j = \f29 . ., /і f второй этап задачи мояно сформулировать так: найти преобразование такое, что где f 0 \Q j - множество границ сегментов преобразуемой области
Классификация границ сегментов элементарной области
Рассмотрим первый этап решения поставленной выше задачи, т.е. преобразование в границы сегментов элементарных областей. Пусть в соответствии с 2.3) необходимо преобразовать в множество границ сегментов Гд элементарную область а ={ у)1Мй (?}. (2.4) Уравнение f(X,y) -0 определяет граничную линию рассматриваемой области GL . Обозначим через SY(Q} = #Л5 сечекия области Й - Q (\Е л Очевидно, что границами сегментов сечешш $у(&) & у у при условии» что $r(Q) 0 , будут, во-первых» точки пересечения линии & со строкой Sty » если они существуют, т.е. точки, удовлетворяющие уравнению /ґж;У) = 0 % координаты її которых лежат на интервале (Ко, Хм) . Во-вторых, границами сегментов могут быть граничные точки (Х»,ї) иАм, У) строки 5 у . Причем, поскольку всегда (XQ9Y) - левая, a j) - правая границы строїш Sty , то, соответственно, и для SylQ QOSty точка (Хо, Y) будет левой границей сегмента при условии, что (ХР,ї) =1 , а точка (Xm,Y) - правой границей сегмента при условии, что(% ,У)еЙ .
Метод расчета координат точек пересечения двух квад- ратичных поверхностей
Итак, при &зз=0 и #з ИСКОМОЕ проекцией Pr(Qij) служит область Pr(H[)f] У . При -б неравенство Я/Ї У ) # , определяющее область l j , одновременно задает и область І? У на плоскости 1/ , т.е. Таким образом при 3 = tf Pr(GCj) - Рг(Н%) О V, Теперь осталось рассмотреть последний, наиболее сложный случай выделения проекции Pr(Qij) , когда обе поверхности НІ и Hj являются квадратичными. Пусть W задана уравнением (3.15), a Hj - уравнением(3,7). Участок Qtj поверхности Ні в этом случае определяется системой a&Z + Ui(xsy) 0? (3.34) [ $п гг ±2 VjU,y)z +Wj( ,y) Л.
Для определения Pr(Qcj) и в этом случае можно использовать преж ний подход, т#е, путем исключения переменном Я из системы (3.34) ее можно привести к системе из двух неравенств, одно из которых определяет проекцию РҐ(НІ) потенциально видимой части носителя гра ни, а второе - область 52 такую, что В част ности, Рг(Н[) как и в предыдущем случае определяется неравенством (3.22). Что ае касается преобразования в границы сегментов области І2 , то тут возникает ряд затруднений.
Во-первых, как показывает анализ, область 52 представляется более слолшыми, чем в предыдущем случае, теоретико-шожественныш выражениями от нескольких элементарных областей. Поэтому выделение границ сегментов области 52 становится значительно сложнее.
Во-вторых, в число этих элементарных областей входит область, ограничиваемая проекцией tij линии пересечения квадратичных поверхностей НІ и Hj .В то же время в разд. 1.3.2, уяе отмечалось, что в общем случае линия ІЦ представляет собой кривую четвертого порядка, расчет коэффициентов уравнения которой требует громоздких вычислений. Кроме того, там же на основе анализа недостатков существующих методов расчета линий пересечения квадратичных поверхностей была показана необходимость поиска более эффективных путей решения данной задачи.
Метод расчета координат точек пересечения двух квадратичных поверхностей
Учитывая недостатки известных методов расчета координат точек линий пересечения квадратичных поверхностей, отмеченные в разд. 1.3.2,, рассмотрим иной путь решения данной задачи /66/.
Пусть необходимо рассчитать координаты точек линии Lcj пересечения произвольных квадратичных поверхностей НІ и Hj с уравнениями Р1Ша)=а„х1+а11у1+аъъгг±2ааху+га зхв +la yi +2Qf4z +2а їУ+2а3і г+а4ч =0, 3.35) +2ауг +ЯвмХ + 28ыу+2$з42 +$44 = 0. (з.зб)
Для нахождения границ сегментов области SZ из системы уравнений (3.35), 13.36) необходимо определить координаты всех действительных точек пересечения линии Lij с плоскостями Рг [( )У ?)\Я } при всех заданных значениях У .
Всякой заданной плоскости Ру соответствуют сечения 5Г(НЇ)=Ш0РЇ и $r(Hj) —Hjfl Р рассматриваемых поверхностей, которые Б общем случае представляют собой линии второго порядка.
Если обе линии / и j действительные и пересекаются, то точки их пересечения принадлежат интересующей нас линии Lq Координаты этих точек определяются системой уравнений (3.41) fax,2)= о, //( . ) =0.
Известно, что число точек пересечения двух кривых второго порядка в зависимости от их характера и взаимного положения лежит в пределах от 0 до 4, Очевидно, что если хотя бы одна из кривых $i или ij мнимая, то в рассматриваемом сечении действительные точки линии Lij отсутствуют. Для обнаружения таїшх случаев воспользуемся упоминавшейся выше классишкацией линий второго порядка с помощью инвариантов их уравнений. В данном случае линия li будет мнимой,
Аналогичные соотношения шлеют место и для линии j .
Известно /37,88/, что если две плоские кривые с уравнениями fifa}z)-0 и /г(29г)=0 пересекаются, то уравнениеft(xti)+l(Zt$=0 при любом действительном значении А определяет новую кривую, проходящую через вое точки пересечения исходных кривых, действительные или мнимые. Тогда в нашем случае уравнение КуО Кгг = 0, (3.42) где С = Ау +Д8у , долано соответствовать новой линии Zc второго порядка, проходящей через точки пересечения линии Ві и j Характер линии с зависит как от исходных уравнений (3.35) и (3,36), так и от коэффициента X . Б частности, при определенном значении Л уравнение (3.42) гложет соответствовать вырожденной линии. К числу вырожденных кривых второго порядка относятся: єдине-твенная действительная точка, пара действительных прямых или пара мнимых параллельных прямых.
