Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретические модели 15
1.1 Подход fcr-факторизации 15
1.2 Нерелятивистская квантовая хромодинамика 19
1.3 Модель фрагментации 22
1.4 Модель возбуждения очарования в протоне 24
2 Элементарные процессы взаимодействия с участием канальных глюонов 26
2.1 Подпроцессы рождения тяжелых кварков и глюонов 26
2.1.1 Q + R-^QnR+ R-+g 26
2.1.2 e + R-^e + Q + Q 29
2.1.3 j + R->Q + Q 33
2.1.4 R + R-+Q + Q 35
2.2 Подпроцессы рождения S- и Р-волновых тяжелых кваркониєв 38
2.2.1 e + R-*e + Hue + R-^e + H + g 38
2.2.2 f + R-^Hn'y + R->H + g 41
2.2.3 R + R->HuR + R->H + g 45
2.3 Подпроцессы рождения Бс-мезонов 50
2.3.1 Q1 + R-+H12 + Q2 50
3 Рождение тяжелых кваркониєв в подходе ^-факторизации 52
3.1 Адронное рождение тяжелых кваркониєв 52
3.1.1 Адронное рождение S- и Р-волновых чармониев . 52
3.1.2 Адронное рождение S- и Р-волновых боттомониев . 63
3.2 Сечение рождения чармониев в 77-> еР~ и 7Р взаимДействиях 72
3.2.1 Рождение чармониев двумя фотонами 72
3.2.2 Электророждение чармониев 75
3.2.3 Фоторождение чармониев 80
3.3 Рождения ?с-мезонов в адронных взаимодействиях 84
4 Фрагментационное рождение тяжелых мезонов и кваркониев в подходе /^-факторизации 90
4.1 Электророждение /)*-мезонов 90
4.1.1 Глубоконеупругое рождение >*-мезонов 92
4.1.2 Фоторождение >*-мезонов 97
4.1.3 Структурная функция протона F^x, Q2) 103
4.2 Адронное рождение J/ip- и -^'-мезонов 104
4.3 Адронное рождение Лс-мезонов 121
Заключение 127
Список литературы
- Нерелятивистская квантовая хромодинамика
- Модель возбуждения очарования в протоне
- Адронное рождение тяжелых кваркониєв
- Структурная функция протона F^x, Q2)
Введение к работе
Актуальность проблемы
Исследуемые в диссертации процессы рождения тяжелых кваркониев при высоких энергиях в рр-взаимодействиях на коллайдере Tevatron, тяжелых мезонов и тяжелых кваркониев в ер-взаимодействиях на коллайдере HERA и тяжелых кваркониев в 77"взаимДеиствиях на коллайдере LEP2 представляют значительный интерес для проверки реджевского предела квантовой хромодинамики (КХД) и КХД-мотивированных моделей, описывающих процессы адронизации тяжелых кварков. Теоретической основой моделей, претендующих на описание существующих экспериментальных данных по рг-спектрам тяжелых мезонов и кваркониев на коллайдерах Tevatron, HERA и LEP2 является гипотеза факторизации эффектов физики больших и малых расстояний в процессах рождения тяжелых кварков при высоких энергиях.
Хорошо известно, что в процессах рождения тяжелых кваркониев в столкновениях протонов и электронов при высоких энергиях доминирующую роль играет глюон-глюонное и фотон-глюонное слияние. Взаимодействие в начальном состоянии в случае рассматриваемых процессов описывается в рамках моделей основанных на теории возмущений КХД. В коллинеарной партонной модели [1] динамика глюонов в начальном состоянии описывается уравнением Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи (ДГЛАП) [2], при этом предполагается, что S > ц2 ^$> Л-qcdi гд.е VS — полная энергия сталкивающихся протонов, а \х — характерный масштаб жесткого процесса. При этом, в уравнении эволюции ДГЛАП [2] в лидирующем логарифмическом приближении (ЛЛП) учтен лишь вклад больших логарифмов типа log(^/Agcx)), и используется коллинеарное приближение, при котором поперечный импульс начальных глюонов отсутствует.
При высоких энергиях, в так называемом реджевском (S ^$> \t\ ~ /г2) пределе, начинают доминировать процессы с обменом глюоном в t-
канале, поэтому в рамках ЛЛП необходимо учитывать вклады больших логарифмов нового типа log(\/5//i), что приводит к неколлинеарной динамике глюонов, которая описывается уравнением эволюции Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ) [3]. При этом необходимо учитывать поперечный импульс и виртуальность взаимодействующих ^-канальных глюонов. Учет этих эффектов может быть выполнен в подходе кт~ факторизации [4, 5, 6] или в рамках подхода квази-мульти-реджевской кинематики (КМРК) [7], который основан на эффективной квантово-полевой теории с неабелевым калибровочным взаимодействием [8, 9], являющейся высокоэнергетическим пределом КХД.
В последнее десятилетие, для описания процессов распада и рождения тяжелых кваркониев был развит формализм нерелятивистской квантовой хромодинамики (НРКХД) [10], который позволяет представить сечение рождения кваркония в партонном подпроцессе как сумму членов, в которых факторизуются жесткие амплитуды рождения тяжелых кварков и непертурбативные матричные элементы, описывающие переход системы (QQ) в конечный кварконий. НРКХД является пертурбативной теорией с двумя малыми параметрами: as — константой сильного взаимодействия на масштабе массы тяжелого кварка uv — относительной скоростью тяжелых кварков в кварконий.
Одной из центральных проблем в физике высоких энергий является определение относительной роли механизмов слияния и фрагментации при адронизации кварков и глюонов. Механизмы слияния и фрагментации основаны на различных предположениях о способе обесцвечивания кварко-вой или глюошюй струи, что напрямую связано с проблемой соотношения синглетного и октетного механизма образования тяжелых кваркониев.
Прогресс в экспериментальном изучении процессов рождения связанных состояний тяжелых кварков, связанный с вводом в строй коллайдеров нового поколения LHC и TESLA, несомненно должен улучшить теоретическое понимание процессов взаимодействий кварков и глюонов при высоких энергиях, а также правильность КХД в промежуточной области, где важны пертурбативные и непертурбативные эффекты.
Цель диссертационной работы
Диссертация посвящена исследованию процессов рождения связанных состояний тяжелых кварков в подходе ^-факторизации и НРКХД. В рам-
ках механизмов слияния и фрагментации изучаются процессы адронного рождения тяжелых кваркониев (ее и ЪЪ) и ІЗс-мезонов, глубоконеупруго-го рождения и фоторождения чармониев и ?*~мезонов, а также процессы рождения чармониев двумя фотонами.
В основе диссертации лежат результаты работ, выполненных автором в период с 2002 по 2005 годы в Самарском государственном университете, а также во время стажировки во И-м Институте теоретической физики Гамбургского университета, г.Гамбург, Германия.
Научная новизна и практическая ценность работы
Для партонных подпроцессов с участием ^-канальных глюонов в подходе &т-факторизации в низшем порядке теории возмущений по as вычислены квадраты модулей амплитуд рождения тяжелых кварков, кваркониев и Рс-мезонов, и представлены их аналитические выражения. Показано, что полученные нами аналитические выражения для квадратов модулей амплитуд рассматриваемых процессов в рамках КМРК совпадают с полученными в подходе &г-факторизации. Эти выражения могут быть использованы в генераторах Монте-Карло , которые получили широкое распространение для моделирование реальных экспериментов на ускорителях высоких энергий. Для трех неинтегрированных функций распределения глюонов в протоне получены наборы октетных по цвету непертурбативных матричных элементов НРКХД для 5- и Р-волновых состояний чармониев и боттомониев. Единым образом описаны экспериментальные данные по адронному рождению, глубоконеупругому и фоторождению тяжелых кваркониев. Сделаны предсказания на выход 5с-мезонов на коллайдерах Tevatron и LHC.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием точных аналитических выражений для квадратов модулей амплитуд процессов рождения, использованием неоднократно апробированных методов, идентичностью результатов полученных в разных подходах, и соответствием результатов полученным раннее в коллинеарной партонной модели.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. В рамках нерелятивистской квантовой хромодинамики в низшем порядке по as и v рассмотрено адронное рождение S- и Р-волновых
тяжелых кваркониев (се, bb) при высоких энергиях в подходе кт-факторизации. Произведено фитирование р^-спектров различных S-и Р-волновых состояний тяжелых кваркониев при энергиях коллай-дера Tevatron (run I и run И), и получены наборы октетных непер-турбативных матричных элементов для трех различных неколлинеар-ных функций распределения глюонов в протоне. Показано, что только неколлинеарная функция распределения Кимбера-Мартина-Рыскина (KMR) удовлетворительно описывает всю совокупность экспериментальных данных по рождению тяжелых кваркониев.
Проведен сравнительный анализ предсказаний коллинеарной партон-ной модели и подхода ^-факторизации в случае электророждения 2}*-мезонов на ер-коллайдере HERA. Показано, что, в отличие от предсказаний коллинеарной партонной модели, подход ^-факторизации, благодаря эффективному учету поправок следующего порядка по константе сильного взаимодействия as в неколлинеарных функциях распределения, увеличивает абсолютную величину сечений электророждения очарованных мезонов примерно в 1.5-2 раза, что улучшает согласие с экспериментом за исключением спектра по псевдобыстроте, где форма спектра существенно отличается от экспериментальной и сильно зависит от выбора неколлинеарной функции распределения глюонов в протоне.
Рассчитан выход б'-волновых состояний кваркония (ее) на коллайдере Tevatron в модели фрагментации и подходе /^-факторизации. Показано, что вклад от фрагментации глюонов превосходит вклад от фрагментации с-кварков. Экспериментальные данные коллаборации CDF согласуются с предположением о доминирующей роли фрагментации глюонов в J/ф- и ^'-мезон через октетное состояние QQ[3S[ } с примерно одинаковым значением непертурбативного матричного элемента в партонной модели и подходе /^-факторизации.
В подходе /^-факторизации рассчитаны спектры ?с-мезонов при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC в моделях фрагментации и слияния. Расчеты в модели слияния выполнены в рамках гипотезы о возбуждении очарования в протоне. Показано, что в подходе /^-факторизации фрагментационный механизм начинает доминировать над механизмом слияния уже при |рг| > 20 ГэВ. Это связано с тем, что в подходе кт-
факторизации распределение по рт конечных ?с-мезонов в значительной мере обусловлено распределением начальных глюонов по поперечному импульсу, что, естественно, приводит к росту сечений рождения при больших рт-
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных форумах: конференции Института теоретической и экспериментальной физики "Физика фундаментальных взаимодействий" (Москва, 2002 и 2005); международной школе-семинаре "Тяжелые кварки" (Дубна, 2002 и 2005); международной конференции "Глубоко-неупругое рассеяние" (Санкт-Петербург, 2003); международной конференции "Квантовая теория поля и физика высоких энергий" (Самара-Саратов, 2003 и Санкт-Петербург, 2004); конференции "Мы - будущее Российской науки" (Москва, 2004); конференции "Проблема связанных состояний в квантовой теории поля" (Самара, 2004); международной конференции "Структура адронов и квантовая хромодинамика" (Санкт-Петербург, 2004 и 2005); рабочем семинаре II-го Института теоретической физики (Гамбург, 2004); конференции Института Густава Штрессмана (Бонн, 2005); конференции "Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике 21 века" (Самара, 2005); XI международной конференции "Физика спина при высоких энергиях" (Дубна, 2005); конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века" (Самара, 2005); а также на регулярных научно-практических конференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете.
Публикации.
По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ, в том числе: в журналах из списка рекомендуемых ВАК — 5 [11, 12, 13, 14, 15]; в иностранных журналах — 4 [16,17,18, 19]; в сборниках трудов международных симпозиумов и конференций - 3 [20, 21, 22]; в других изданиях— 1 [23].
Личное участие автора
Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии. Постановка задач и обсуждение полученных результатов выполнялись совместно с соавторами.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии из 106 наименований. Она содержит 4 таблицы и 52 рисунка. Общий объем диссертации составляет 139 страниц.
Содержание работы:
Введение содержит краткую характеристику темы исследования, формулировку целей работы и описание структуры диссертации. В конце введения отмечается личный вклад автора в полученные результаты и апробация работы.
Первая глава. Теоретические модели. В этой главе дан краткий обзор основным существующим теоретическим моделям, которые используются для описания процессов рождения тяжелых кварков и кваркониев при высоких энергиях, это подход /^-факторизации [4, 5, 6], НРКХД [10] и модель фрагментации.
Первый параграф посвящен подходу ^-факторизации. В подходе кт-факторизации [4, 5, 6] или факторизации в реджевском пределе, рассматриваются процессы с участием ^-канальных глюонов. Для вычисления матричных элементов процессов с виртуальным i-канальным глюоном в низшем порядке по as используются эффективные правила Фейнмана со специальным образом выбранным вектором поляризации начального глюона [6].
В подходе Ajy-факторизации [4, 5, 6] выражение для адронного сечения рождения кваркония Н в процессе р + р —> Н + X определяется сверткой, по доли импульса протона уносимой глюоном х и по поперечному импульсу і-канального глюона кг, сечения рождения в подпроцессе с участием ^-канальных глюонов R + R-^НЛ-X с неколлинеарной (неинтегрирован-ной) функцией распределения глюонов в протоне Ф(х, |кт|2,/^2)) которая зависит от трех параметров, где ji — характерный масштаб жесткого процесса взаимодействия.
Предполагается, что после усреднения неколлинеарной функции распределения глюонов по поперечному импульсу t-канального глюона, она воспроизводит соответствующую коллинеарную функцию распределения. В партошюм пределе, когда поперечный импульс t-канального глюона полагается равным нулю кг = 0 в квадратах модулей амплитуд процессов
рождения в подходе ^-факторизации, квадраты модулей амплитуд переходят в обычные результаты для янг-миллсовских глюонов в начальном состоянии. Таким образом, сечение рождения в подходе /^-факторизации приближенно нормировано на соответствующее сечение рождения в кол-линеарной партонной модели.
Известно, что рассмотрение процессов следующего за низшим порядком по теории возмущений по as в подходе /гу-факторизации сталкивается с серьезными трудностями, которые в принципе могут быть решены в рамках подхода КМРК [7], который основан на эффективной квантово-полевой теории с неабелевым калибровочным взаимодействием [8, 9], являющейся высокоэнергетическим пределом КХД, и в которой начальные ^-канальные глюоны рассматриваются как реджезованные глюоны, которые взаимодействуют с кварками и обычными янг-миллсовскими глюонами особым образом.
Во втором параграфе рассматривается НРКХД. В рамках подхода НРК-ХД [10] сечение рождения тяжелого кваркония Н в партон-партонном взаимодействии а(а-\-Ь —» И.+Х) может быть представлено как сумма членов, в которых факторизуются коэффициенты, определяемые физикой жесткого взаимодействия, и матричные элементы, описывающие эффекты физики больших расстояний. Жесткий процесс взаимодействия описывается сечением рождения пары тяжелых кварков a(QQ[n]), где п обозначает набор цветовых, спиновых и орбитальных квантовых чисел QQ-пары. Непертур-бативный переход QQ-пары в конечный кварконий Ті описывается матричным элементом (Оп[п\), который может быть рассчитан в рамках непер-турбативных методов КХД или извлечен из экспериментальных данных.
В НРКХД [10] волновая функция конечного кваркония представляется в виде ряда по v — относительной скорости тяжелых кварков в кварконий. В модели цветовых синглетов (МЦС) [24] учитывается только первое слагаемое ~ v. В этом случае непертурбативный матричный элемент, например для 5-состояния, (On[3S[ ^]) напрямую связан с квадратом модуля волновой функции кваркония в нуле |Ф^(0)|2, который может быть рассчитан в рамках потенциальной кварковой модели или извлечен из экспериментальных данных по ширинам лептонных или фотонных распадов кваркония.
В третьем параграфе обсуждается механизм фрагментации. Анализ процессов рождения тяжелых мезонов и тяжелых кваркониев в рамках коллинеарной партонной модели показывает, что в области р? ^> т^ в
глюон-глюонном рождении реализуются условия фрагментационного приближения, при котором имеет место факторизация процесса рождения тяжелого кварка и его превращения в конечный мезон. В этой области сечение рождения тяжелого мезона или кваркония Н может быть представлено в факторизованном виде, в котором сечения рождения всех типов партонов (q, Q или д) сворачиваются с соответствующими функциями фрагментации партонов в конечный адрон Ті.
Функции фрагментации на масштабе (і2 — т2^ могут быть получены в рамках НРКХД или путем фитирования экспериментальных данных. Например, в наших расчетах фрагментационного рождения 1)*-мезонов используется феноменологическая функция фрагментации Петерсона [25]. В тоже время для расчетов фрагментационного рождения чармониев и Бс-мезонов используются функции фрагментации полученные в рамках НРКХД [10] и представленные простыми аналитическими формулами [26, 27, 28, 29].
При расчетах необходимо учитывать эволюцию функции фрагментации, которая описывается уравнениями эволюции ДГЛАП [2].
Вторая глава. Элементарные процессы взаимодействия с участием ^-канальных глюонов. Эта глава посвящена выводу аналитических выражений для квадратов модулей амплитуд процессов рождения с участием ^-канальных или реджезованных глюонов в начальном состоянии. Все процессы рассматриваются в низшем порядке по asuv. Отдельно рассмотрены процессы рождения тяжелых кварков и глюонов, процессы рождения различных состояний тяжелых кваркониев, и процесс рождения Бс-мезонов.
Для всех квадратов модулей амплитуд процессов рождения с участием i-канальных глюонов проверено совпадение коллинеарного предела и квадрата модуля амплитуды соответствующего процесса в партонной модели. Показано, что квадраты модулей амплитуд рассматриваемых пар-тонных процессов в подходе ^-факторизации с точностью до нормировочного коэффициента совпадают с квадратами модулей амплитуд в КМРК [12, 14, 17, 21, 30].
Следует отметить, что почти все приведенные в настоящей работе аналитические выражения для квадратов модулей амплитуд процессов рождения с участием ^-канальных глюонов получены и опубликованы впервые.
Третья глава. Рождение тяжелых кваркоииев в подходе кт-факторизации. Данная глава содержит результаты численных расчетов по аналитическим формулам из второй главы. Все полученные численные результаты сравниваются с имеющимися экспериментальными данными.
В первом параграфе исследованы экспериментальные данные Коллаборации CDF на коллайдере Tevatron по рождению тяжелых кваркоииев [31, 32, 33, 34]. Рассчитаны спектры по поперечному импульсу и быстроте для S- и Р-волновых состояний чармония и боттомония [14, 21, 30]. Для чармониев и боттомониев произведено фитирование экспериментальных данных Коллаборации CDF с целью получения неизвестных октетных непертурбативных матричных элементов, которые будут использованы для расчетов в других процессах. Проведено сравнение с экспериментальными данными коллайдера Tevatron при энергии y/S =1.96 ТэВ [32], включающими область малых поперечных импульсов тяжелых кваркониев рт < 5 ГэВ, в которой наблюдается существенное противоречие между предсказаниями коллинеарной партонной модели и экспериментальными данными. Напротив, в подходе А^-факторизации [21, 30], где более адекватно учитывается глюонная динамика в неинтегрированных функциях распределения глюонов, область малых рт хорошо описывается. Анализ, полученных в результате фита экспериментальных данных, октетных непертурбативных матричных элементов НРКХД [10] для рассмотренных неколлинеарных функций распределения глюонов в протоне показывает, что: во-первых, функции распределения JB [35] и JS [36] не позволяют с удовлетворительной достоверностью фитировать полный набор экспериментальных данных, напротив, функция распределения KMR [37] позволяет непротиворечиво фитировать рг-спектры чармониев и боттомониев; во-вторых, непер-турбативные переходы из промежуточного октетного состояния в конечное синглетное приближенно удовлетворяют условию: AL ~0и AS — 0, т.е. являются дваждыхромоэлектрическими и сохраняют спин и орбитальный момент тяжелых кварков, как это и предсказывается принципами спиновой симметрии процессов с участием тяжелых кварков.
Во втором параграфе рассмотрены экспериментальные данные по фоторождению и глубоконеупругому рождению чармониев Коллаборации HI [38] и ZEUS [39] для коллайдера HERA. Рассчитаны спектры по р\ и z для процесса фоторождения J/ф-мезоиов на коллайдере HERA. Показано, что в подходе &і--факторизации экспериментальные данные по фото-
рождению «//-0-мезонов на коллайдера HERA могут быть описаны в рамках МЦС [24], а вклад октетных промежуточных состояний сильно подавлен. При описании z-спектра фоторождения J/^-мезонов в области малых z < 0.2 доминирует вклад неиптегрированной функции распределения глюонов в фотоне [30]. Также рассчитан р^-спектр прямого рождения J/ф-мезонов в процессе глубоконеупругого рассеяния и произведено сравнение с экспериментальными данными Коллаборации HI [38]. Показано, что син-глетный механизм хорошо описывает экспериментальные данные, а вклад октетного механизма в прямое электророждение J/^-мезонов и вклад от распадов Xcj-мезонов пренебрежимо мал. Эти результаты согласуются с полученными ранее в МЦС.
Для процессов 77"взаимоДеиствия на коллайдере LEP2 [40] были рассчитаны р^-спектры S- и Р-волновых состояний чармония, и показано, что доминирующим процессом является процесс, в котором учтен вклад неколлинеарной глюонной структурной функции одного из фотонов [30]. Однако расхождение между экспериментальными данными и теоретическими предсказаниями составляет фактор 2-3, что в значительной степени связано с большой неопределенностью при вычислении неколлинеарной глюонной функции распределения в фотоне.
В третьем параграфе для коллайдеров Tevatron [41, 42] и LHC были сделаны предсказания на сечение рождения ?с-мезонов, и рассчитаны их ^г-спектры [15]. Произведен анализ неопределенностей подхода, связанных с выбором массовых и других параметров, а также связанных с выборов неколлинеарной функции распределения глюонов в протоне. Расчеты в модели слияния выполнены в рамках гипотезы о возбуждении очарования в протоне. Получено, что результаты расчета в модели возбуждения очарования в протоне и коллинеарной партонной модели, хорошо согласуются с результатами, полученными ранее для глюон-глюонного слияния. Это позволяет предположить, что и результаты, полученные в подходе кт-факторизации и модели возбуждения очарования, воспроизводят результаты расчета подпроцесса слияния двух ^-канальных глюонов.
Таким образом, в данной главе единым образом выполнено теоретическое описание экспериментальных данных по адророждению чармониев, боттомониев и Дгмезонов на коллайдере Tevatron, элетро- и фоторождению чармониев на коллайдере HERA, хорошо согласующееся с экспериментальными данными, за исключением случая процессов рождения чар-
мониев двумя фотонами, где требуется дополнительный фактор 2-3.
Четвертая глава. Фрагментационное рождение тяжелых мезонов и кваркониев в подходе /^-факторизации. В последней главе исследован фрагментационный механизм рождения 1?с-мезонов, J/ф-мезоіюв и )*-мезонов, показана область его применения.
Рассчитаны ру-спектры прямых J/ф- и ^'-мезонов в рр-взаимодействиях при энергии y/S = 1.8 ТэВ коллайдера Tevatron. Показано, что вклад от фрагментации глюонов превосходит вклад от фрагментации с-кварков, как в партонной модели, так и подходе ^-факторизации [12, 17]. Экспериментальные данные коллаборации CDF [31] согласуются с предположением о доминирующей роли фрагментации глюонов в J/ф- и ф'-иезон через ок-тетное состояние [3S[ ] с примерно одинаковым значением непертурбатив-ного матричного элемента {Oj^'^[3S[ ^]) в партонной модели и подходе /^-факторизации.
Для коллайдера HERA [43, 44, 45, 46] были рассмотрены как область фоторождения, так и область глубоконеупругого рождения или электророждения. В случае фоторождения рассчитаны рт- и 77-спектры рождения >*-мезонов. В случае электророждения рассчитаны рт-, г\- и Ж-спектры, а также распределения по хщ и Q2 для >*-мезонов [11, 13, 16, 18, 20].
В подходе /^-факторизации рассчитаны спектры Д~-мезонов при энергиях коллайдеров Tevatron [41, 42] и LHC в модели фрагментации [19, 23]. Численный анализ показывает, что учет в данном случае КХД-эволюции функции фрагментации только незначительно (меньше 5%) меняет величину р^-епектра І?с-мезонов в рассматриваемой области, и для упрощения численных расчетов можно пользоваться скейлинговой параметризацией функции фрагментации.
В заключении сформулированы основные результаты, представленные в диссертации.
Нерелятивистская квантовая хромодинамика
В последнее десятилетие, для описания процессов распада и рождения тяжелых кваркониев был развит формализм, основанный на НРКХД [10], который позволяет представить сечение рождения кваркония в партонном подпроцессе как сумму членов, в которых факторизуются жесткие амплитуды рождения тяжелых кварков и непертурбативные матричные элементы, описывающие переход системы (QQ) в конечный кварконий. НРКХД является пертурбативной теорией с двумя малыми параметрами: as — константа сильного взаимодействия на масштабе массы тяжелого кварка и v — относительная скорость тяжелых кварков в кварконий.
В рамках подхода НРКХД сечение рождения тяжелого кваркония Н в партон-партонном взаимодействии а{а+Ъ — ТС+Х) или функция фрагментации D(a — Н) могут быть представлены как сумма членов, в которых факторизуются коэффициенты, определяемые физикой жесткого взаимодействия, и матричные элементы, описывающие эффекты физики больших расстояний [10]: da(H) = ] #(QQ[n])(0w[n]), (1.7) n D(a- H) = (а- д0[п])(Оя[п]). (1.8) n
Здесь n обозначает набор цветовых, спиновых и орбитальных квантовых чисел (JQ-пары, сечение рождения которой j(QQ[n]) или функция фрагментации в которую D(a — QQ[n]). Последние могут быть рассчитаны в рамках теории возмущений по константе сильного взаимодействия as и нерелятивистского приближения для относительного движения тяжёлых
кварков в QQ-n&pe. Непертурбативный переход QQ-пары в конечный квар-коний Н описывается матричным элементом {Оп[п]), который может быть рассчитан в рамках непертурбативных методов КХД или извлечен из экспериментальных данных.
Например, в случае рождения J/ -мезонов, волновая функция физического орточармония может быть представлена как суперпозиция фоков-ских состояний:
где для определения квантовых чисел сс-пары используются обычные спектроскопические обозначения, а верхние индексы (1,8) в круглых скобках обозначают синглетное или октетное по цвету состояние, a v — относительная скорость тяжелых кварков в кварконии.
В МЦС [24] в разложении (1.9) учитывается только первое слагаемое v. В этом случае непертурбативный матричный элемент, например для J/ -мезона, (OJ [3S\ ]) напрямую связан с квадратом модуля волновой функции кваркония в нуле Ф(0)2, который может быть рассчитан в рамках потенциальной кварковой модели [50]: ) где Nc = 3 и J = 1. Аналогично и для Р-волновых чармониев имеем: где Ф (0)2 — квадрат модуля производной волновой функции Ха/-мезона в нуле. В общем случае сечение рождения кваркония Ті через образование QiQ2-napbi с квантовыми числами п — 2S+1Lj связано с сечением рожде ния состояния [п] в жестком подпроцессе и непертурбативным матричным элементом перехода следующим образом [10, 51]: В случае синглетного по цвету состояния JVCoi = 2NC, а в случае октетного iVcoi = 8, iVp0i = 2J + 1.
Сечение рождения 5і 2-парьі стандартным образом связано с соответствующей амплитудой партонного подпроцесса где / — потоковый фактор, который, например, в случае слияния двух t-канальных глюонов равен / = 2x\X2S, с?Ф —дифференциальный фазовый объем конечных частиц. Амплитуда рождения фіФг-парьі в состоянии [п] = s+1Lj ] может быть получена проецированием амплитуды рождения QiQ2-napbi с произвольными квантовыми числами.
Проекторы на состояние со значением спина 0 и 1, соответственно, имеют вид [52]: где р = 7аРа Ра 4-импульс фхфг-пары, q = 7аЯа, Яа — 4-импульс относительного движения тяжелых кварков, ті — масса тяжелого кварка, т\ — масса тяжелого антикварка, М — гп\ + ГП2 — масса тяжелого кваркония.
Амплитуды рождения QiQ2-napbi в синглетном и октетном по цвету состоянии получаются сверткой исходной амплитуды с проекционными операторами:
Проецирование на состояние с определенным значением орбитального момента L фіОг-парьі выполняется путем L-кратного дифференцирования спроецированной на требуемое спиновое и цветовое состояние амплитуды по 4-импульсу относительного движения кварков, затем q полагается рав ным нулю. Для интересующих нас случаев с L = Ои L = 1 можно записать: Л(а + b - QiQ2N1,8)]) = Тг [С1)8П0Л(а 4- 6 -+ QiQ2)] ,=о, (1.18) Л(а + Ь - giQ2[3 1,8)]) = Тг [С ЩЛ{а + 6 - Q e»] ,=0, (1.19) Л(о + Ъ - QiQ2[3PJ1,8)]) = -Тг [Сіі8П?Л(а + 6 - дід2)єа/з] 1,=0, (1-20) Л(а 4- fr - QiQ if ]) = -Тг [Сі,8П0Л(а + 6 - QiQ2) ] =о, (1.21) где Л(а + 6 — QiQ2) —стандартная КХД-амплитуда рождения (50_паРЫ с ампутированными кварковыми линиями спиноров.
Суммирование по поляризациям частиц в конечном состоянии можно осуществить при помощи тензора Га0(р) = -9а0 + . (1-22) Суммирование по поляризациям в случае состояний [3 Si] и P-Pi], описываемых 4-векторами поляризации єа, дает: ]Гаа = а - (1 ) Л В случае [3Pj] состояний, для J = 0, 1 и 2, соответствующие тензоры поляризации сворачиваются по правилам:
Одной из центральных проблем в физике высоких энергий является определение относительной роли механизмов адронизации кварков и глю-онов. На сегодняшний день существуют два подхода к учету адронизации, это механизм слияния и механизм фрагментации. Эти два подхода основаны на различных предположениях о механизме обесцвечивания кварковой или глюонной струи, что напрямую связано с проблемой соотношения син-глетного и октетного механизма образования тяжелых кваркониев.
Реализация условий фрагментационного приближения, при котором имеет место факторизация процесса рождения тяжелого кварка и его превращения в конечный мезон, происходит только при рт Мл- В этой области сечение рождения 7 -мезона может быть представлено в виде da(a + b- H + X) = Y [ A- w( , tf)dzdd{a + b - і + X), (1.27) где сумма берется по всем типам партонов і = с, 6, g, a Di- n(z, /І2) — универсальная функция фрагментации партона і в Н-мезон, у? — характерный масштаб жесткого процесса рассеяния, z — параметр фрагментации.
Модель возбуждения очарования в протоне
Формула (2.44) может быть преобразована к виду (2.43), что подтверждает калибровочную инвариантность амплитуды с реджезованным глю-оном.
Как и в случае электророждения в пределе \кт\ — О, матричный элемент с реджезованным глюоном переходит в матричный элемент с реальным глюоном: 2тг \A( y + g Q + Q)\2 = Jim [ И(7 + Я-+ Q + QW, (2.47) kr- o J гіг о где (f — угол между фиксированной осью ОХ и вектором kj% В результате предельного перехода получаем квадрат модуля амплитуды процесса 7 + 2-+Q + Q, (2.48) усредненный по поляризациям фотона и глюона, а также по цветовым состояниям начального глюона, он хорошо известен и может быть представлен в виде [58] Л(7 + 9 -+ Q + QW = Ш2е2да3а х /ш2 га2\ Ym2 m2\ й t (2.49) х -Ц-Г + — ) -4- - + -+-= + \ t и J V t и I t и здесь m — масса тяжелого кварка, eg — электрический заряд тяжелого кварка в единицах элементарного заряда.
Квадрат модуля амплитуды для процесса рождения пары тяжелых кварков (см. рис. 2.5) с реджезованными глюонами в начальном состоянии R + R- Q + Q (2.50) был впервые получен в работе [6]. Здесь приводится наш собственный результат из работ [13, 19, 23], который полностью согласуется с результатом работы [6], но более удобен для численных расчетов:
Диаграммы, описывающие рождение двух тяжелых кварков в низшем порядке по а3 в подходе / -факторизации.
В результате предельного перехода получаем квадрат модуля амплитуды процесса g + g Q + Q, (2.65) усредненный по поляризациям, а также по цветовым состояниям начальных глюонов, он хорошо известен и может быть представлен в виде [58]
Для вычисления сечения рождения кваркония в глубоконеупругом ер-рассеянии получен соответствующий квадрат модуля амплитуды для рассеяния электрона на реджезованном глюоне, диаграммы представлены на рис. 2.6. Далее приводятся формулы для рождения кваркония без учета дополнительного реального глюона в конечном состоянии: G, + « H,p e,p R, h Q,? + 7 Є,Ре niP Q,2,-q Амплитуды процесса є + Я —» е + Н + дне приводятся в силу их громоздкости, но отвечающие ей диаграммы представлены на рис. 2.7. 2.2.2 j + R- Hu-y + R H + g В случае подпроцесса 2 — 1 имеет место слияние реального фотона с реджезованным глюоном (см. рис. 2.8), при этом вклад любых синглет-ных промежуточных состояний в этом подпроцессе равен нулю, ненулевыми остаются вклады лишь октетных промежуточных состояний.
Наши результаты для квадратов модуля амплитуды рождения октетных промежуточных состояний выглядят следующим образом: Є, Ре Є, ре R,k2 QA + q R + q R, k2 g, k3 Є, Ре Є, p Рис. 2.7: Диаграммы, описывающие процесс рождения тяжелого кваркония в 3S[ -состоянии в подходе fcr-факторизации в процессе рассеяния электрона на реджезован-ном глюоне в низшем порядке по аа. 7, 2i Q, % + Q WW H,p 7, ч\ ЯЛ-q ww— H,p R,k2 Qz-q R,k2 Q, + q Рис. 2.8: Диаграммы, описывающие процесс рождения тяжелого кваркония в подходе /ст-факторизации в процессе слияния фотона и реджезованного глюона в низшем порядке по as. (2.79) (2.75) (2.76) , (2.77) , (2.78) \A( y + R- Hps[8)}\2 = О, (owN8)i) ?(8) \A(7 + R H№U)}\2 = laase — 32 Л(7 + Д- [3Р0(8)]І2 = y WI (6 [3P0(8)j) (3M2 +12)2 M4 (M2 +t2)2 (OnpPJ8)})(2M2 + t2)t2 M3 (M2 +12)2 0 [3P2(8)] x 15" "" Q M3 (6M4 + 6M2t2 +1\) x (M2 + t2y И(7 + Я- [ЗР2{8)]2 = Vaase2 где eg — это электрический заряд тяжелого кварка в кварконии Н. В коллинеарном пределе, воспроизводятся известные формулы: (8 II2 = о, ЇР = S-K2aasel{H[!SP]) х М2 ; Г 2„.„, 2 ( МО 1) х j -2 \А( у + 9-Н1 РР}\2 = тг2аа5е2д \A(j + g-+Hl3Sl \A{l + g- H[lSf И(7 + Р- [3Р0(8 H(7 + ?- [3if ]2 = 96тг2аа5е ЇР = о, 128 М3 м5 СЯ[3Р2(8)] М5 xMJ (2.80) (2.81) (2.82) (2.83) (2.84) И эти формулы совпадают с полученными ранее в работе [60]. Квадрат модуля амплитуды рождения кваркония в низшем порядке в случае 2 — 2 подпроцесса (7+Р — 7і+д) в синглетном канале, диаграммы которого представлены на рис. 2.9, может быть представлен в виде: 9, f - 7 W,P R,k2 R, h 7, q\ www 7, Qi WWW Я, /c2 0,f-e 7, 9i ЛЛЛЛЛЛ R,k2 7, 9i WWW Я, fc2 Q, l + q O.i-e 0, -« Рис. 2.9: Диаграммы, описывающие процесс рождения тяжелого кваркония в 3S\ -состоянии в подходе /сг-факторизации в процессе слияния фотона и реджезованного глюона в низшем порядке по as. 20487 3 1 і л(7+R _ nps?]+,P=27M(M2_,)2(il;2!,v;y(;;;;2_u)2 x x ( 4M2 + M2(s2 + s +12 - M2(s + ))2 + 4{-7M4 - st + M2(5s + +3 )) + 4(si(i -5) + M4(3 - lis) + M2(752 + 2s - Зі2)) + t2s(sP + +M4(- 65) + M2(452 + st-P)) - 2у/Г2\рт\(4М2 + 2(-7M4 - l + +M2(35 + At)) + 2(M4(-75 + 2t) - sH + M2(252 + st - 21?)) --M2(2M\s + І) - 2MH(3s + 2t) + (352 + Ast + 2p))) cos --2M2pr2( + M252 + (M2 + 2s) + 2(2M25 + +52 - 2u2)) cos2 Д (2.85) где s,iuu — стандартные мандельстамовские переменные, tp — азимутальный угол между поперечным импульсом начального реджезовашюго глю-она к.т и поперечным импульсом р кваркония ТС. Эта формула совпадает с формулой из работы [61], но имеет более простой вид. В случае соответствующего подпроцесса с реальными глюонами в начальном состоянии 7 + 9 - ftpSi4] + 9 имеем: х (М4Р - 2М2Р + ІА + М4Ш - дМ2Рй + 2Рй + М4й2 -ЪМЧй2 + 32 - 2М2й3 + 23 + и4), (2.86) что совпадает с известным ранее результатом [62]. 2.2.3 R + R- HnR + R- H + g В этой части будут получены квадрированные матричные элементы процессов рождения кваркониев двумя реджезованными глюонами в рамках модели слияния. Будут рассмотрены партонные подпроцессы в низшем порядке по as и v (см. рис. 2.10): R + R - H[zsf\ x Mj\ zPf ], (2.87) R + R Hfsf +g. (2.88) R, h я, fci Q, f+q R,h Q,%-Q Г H,p Hp — R,k2 Q -q R,h 0, f +« Я, A;2 Q,! + 7 W,P Рис. 2.10: Диаграммы, описывающие рождение кваркония Ті в низшем порядке по as в подходе fcx-факторизации. Следует заметить, что вклад подпроцесса в коллинеарной партонной модели, соответствующий подпроцессу (2.87) в октетном канале отличен от нуля лишь при \рт\ — 0. Поэтому в коллинеарной партонной модели необходимо учитывать процессы типа д + д — H[BS\ ] + #, но в подходе fcr-факторизации соответствующий данному подпроцесс (в октетном канале) имеет инфракрасные (ИК) расходимости, однако подпроцесс (2.88) в синглетном канале дает конечный вклад. Анализ поправок следующего за низшим порядка по теории возмущений по аа в подходе -факторизации находится вне рамок данной работы и требует специального рассмотрения. Заметим, что феноменологическую процедуру устранения ИК расходимости, путем введения в знаменатели пропагаторов регуляризующего феноменологического параметра [63], едва ли можно считать теоретически хорошо обоснованной. Проблема учета поправок следующего за низшим порядком по теории возмущений по as в процессах с i-канальными глюонами в подходе / -факторизации до сих пор не решена, а в КМРК проделаны лишь первые шаги на этом пути, например вычислены поправки к процессу R + R- g [64].
Адронное рождение тяжелых кваркониєв
Результаты, полученные для рг-спектров прямых (direct) J/ -мезонов с учетом подпроцесса 2 — 1, в работе [63] существенно отличаются от результатов работы [68] как и от наших результатов (см. рис. 3.3, кривая 1). Различие может быть объяснено в существенно большем значении непер-турбативного матричного элемента (OJ [3S[ ]) « 15.0 10_3 ГэВ3. В работе [63] это значение в 2 раза больше, чем аналогичное в работе [68], и на порядок превышающее значение, полученное нами в результате фити-рования с функцией распределения JB [35]. Также, полученный в работе [63] рт-спектр очень пологий, дифференциальное сечение рождения изменяется лишь на один порядок при изменении рт в интервале от 2 ГэВ до 20 ГэВ. Последнее противоречит результатам [68] и нашим расчетам. К тому же, такая зависимость противоречит прямой зависимости р -спектра от поведения функции распределения глюонов в протоне, которая спадает с ростом кт более круто.
Наши расчеты показывают (см. рис. 3.4), что наилучшее описание рт спектров J/ -мезонов, рожденных в каскадных распадах - -мезонов по лучается при {0 [3PQ ]) = {O SQ ]) = 0, а вклады матричных эле ментов доминируют при разных рт- Также как и для прямого (direct) рождения 7/-0-мезонов, при больших рт основным яв ляется вклад соответствующий [3S[ ] промежуточному состоянию. Вклад синглетного матричного элемента (0 S[ ]) доминирует при рт 6 ГэВ.
Фитирование данных для J/ф-мезонов рожденных в радиационных распадах Xcj-мезонов наиболее простое, т.к. имеется лишь один свободный параметр (0Xd: {3Si ]), поскольку синглетные непертурбативные матричные элементы (0XcJ[3Pj ]) уже фиксированы. Мы подтвердили вывод работы [69], что в подходе -факторизации рождение Р-волновых чармониев может быть описано в рамках синглетного механизма. Наилучший фит получается, когда значение непертурбативного октетного матричного элемента (OXc0[3S[ ]) полагается равным нулю или пренебрежимо малым. В случае функции распределения JB [35], при фитировании возникают нефизические отрицательные значения (OXc0 S{ ]), так как вклад синглетно го непертурбативного матричного элемента превышает экспериментальные данные при рг 8 ГэВ. На рис. 3.5 показаны предсказания и экспериментальные данные коллаборации CDF [31] для рождения J/ф-мезоиов через радиационные распады XcJ-мезонов при y/S =1.8 ТэВ и ?7 0.6.
На рис. 3.3 представлен р -спектр суммарного (prompt) рождения J/ф-мезоиов при VS = 1.96 ТэВ. Мы получили, что в области малых рг 5 ГэВ преобладает вклад от распадов Ха/-мезонов, а в области ру 5 ГэВ преобладает вклад прямого (direct) рождения. Вклад от распадов ф -мезонов не велик и не превышает нескольких процентов при всех значениях рт- Рис. 3.3 показывает хорошее согласие между теоретическими предсказаниями и экспериментальными данными [32] в случае неколлинеарных функций распределения глюонов в протоне JS [36] и KMR [37]. В случае функции распределения JB [35] имеется существенное отличие в области малых \рт\ 5 ГэВ, и это невозможно исправить выбором непертурбатив-ных октетных матричных элементов, т.к. теоретическая кривая превышает экспериментальные данные даже, если учитывается только синглетные матричные элементы, что легко видеть на рис. 3.5 для кривой 3, отвечающей выбору {0XcJ[3S[ ]) = 0. Причина расхождения в быстром росте функции распределения Ф(х, ку2, ц2) при кг —» 0 для функции распределения JB [35]. В отличие от функции распределения JB [35], функции распределения JS [36] и KMR [37] предсказывают меньшие значения Ф(ж, kr2,/i2), слабо зависящие от кт в этой области. Учитывая сказанное выше, в данной работе процедура фитирования для функции распределения JB [35] произведена для рг 5 ГэВ.
Результаты фитирования S- и Р-волновых непертурбативных октетных матричных элементов для трех различных неинтегрированных функций распределения глюонов в протоне представлены в табл. 3.1.
Анализ, полученных в результате фита экспериментальных данных, октетных непертурбативных матричных элементов для рассмотренных неинтегрированных функций распределения глюонов в протоне показывает, что: во-первых, функция распределения JB [35] значительно завышает выход Xcj-мезонов в области малых \рт\ 6 ГэВ, даже если не учитывать вклад октетного механизма рождения, во-вторых, с хорошей точностью получено, что непертурбативные переходы из промежуточного октетного состояния в конечное синглетное удовлетворяют условию: AL 0 и AS с± 0, т.е. являются дваждыхромоэлектрическими и сохраняют спин и 102 E
В настоящее время Коллаборацией CDF опубликованы данные по рт-спектрам б -волновых боттомониев Т(15), T(2S), Т(35) при [33] ирг-спектры Т(15)-мезонов в различных интервалах по быстроте при y/S = 1.96 ТэВ [34]. При этом спектры рождения Т(35), Т(25) и Т(15) включают прямой вклад и вклад от распадов более высоко лежащих S- и Р-волновых состояний боттомония, включая каскадные переходы, например: Т(35) — хы(2-Р) —» Т(15). Вероятности переходов между различными состояниями боттомония, с учетом всевозможных каскадов, представлены в табл. 3.2. Как и в случае чармония, синглетные непертурбативные матричные элементы определяются из данных по лептонным T(nS) — е+ + е и фотонным ширинам распадов [101], а если это невозможно, то используются значения, полученные теоретически в потенциальной кварковой модели [100].
Структурная функция протона F^x, Q2)
В настоящей работе впервые рассчитываются р -спектры ІЗс-мезонов, рожденных в адронных взаимодействиях при энергиях коллайдеров Tevatron и LHC в подходе -факторизации в модели слияния. Расчеты в модели слияния выполнены в рамках гипотезы о возбуждения внутреннего очарования в протоне, в которой с-кварк рассматривается как партон в составе протона с определенной функцией распределения.
Комбинация модели слияния и модели возбуждения очарования в подходе -факторизации требует расчета амплитуды партонного процесса R + с Вс + Ь, (3.34) который описывается пятью феймановскими диаграммами, показанными на рис. 2.12. При этом ?с-мезон рассматривается как нерелятивистская система бс-кварков с определенными значениями спина (5), орбитального (L) и полного (J) момента импульса, в синглетном по цвету состоянии. В нерелятивистском приближении вероятность рождения связанного состояния (be) определяется значением квадрата модуля волновой функции с-мезона в нуле Фд.(0)2, которая может быть рассчитана в потенциальной модели [50]. Мы используем при расчетах численное значение Ф#с(0), отвечающее константе лептонного распада 1?с-мезона /вс = 560
МэВ (fBe = у/Щ еЪВе(0)) На рис. 3.17 показаны результаты наших расчетов для р -спектров В -мезонов при энергии коллайдера Tevatron y/S = 1.8 ТэВ, а на рис. 3.18 — при энергии коллайдера LHC y/S = 14 ТэВ. Полученные спектры сравниваются с известными результатами расчетов в коллинеарной партонной модели в приближении фрагментации [83] и в модели слияния, учитывающей полный набор диаграмм для процесса (4.55) [84]. На рис. 3.17-3.20 расчеты проведены с набором параметров [84]: тс = 1.5 ГэВ, ть = 5.1 ГэВ, as 0.23, fBc = 560 МэВ.
На рис. 3.17 представлены результаты расчетов ру-спектров в модели слияния. Заметим, что штриховые кривые, рассчитанные в модели возбуждения очарования в протоне и коллинеарной партонной модели, хорошо согласуются с результатами, полученными в работе [84], где в рамках партонной модели рассчитан вклад партонного подпроцесса (4.55). Это позволяет надеяться, что и кривые, полученные в подходе / -факторизации (JB,
JS, KMR) и модели возбуждения очарования, воспроизводят результаты расчета с учетом подпроцесса (4.55) в подходе -факторизации. Точный расчет рг-спектров Б -мезонов в подходе &г-факторизации с учетом подпроцесса (4.55) с реджезованными глюонами в начальном состоянии еще не выполнен ввиду значительных вычислительных трудностей, связанных с большим число феймановских диаграмм (36) и большой размерностью (9) интеграла по фазовому объему конечных частиц.
Рисунок 3.19 демонстрирует относительный вклад механизмов фрагментации и слияния в коллинеарной партонной модели (кривая "GRV") и подходе -факторизации (кривая "JS"). Видно, что в коллинеарной партонной модели фрагментационный механизм начинает доминировать над механизмом слияния при \рт\ 40 ГэВ, а в подходе -факторизации уже при рг 20 ГэВ. Это связано с тем, что в подходе / -факторизации распределение по рт конечных ? -мезонов в значительной мере обусловлено распределением начальных глюонов по поперечному импульсу, что, естественно, приводит к росту сечений рождения при больших рт В настоящее время экспериментальные данные о форме ру-спектров Д?-мезонов отсутствуют, известна только величина сечения рождения при рг б ГэВ, \у\ 1 и s/S = 1.8 ТэВ, которое составляет авс — 10 ± б нбн [41, 42]. Согласно оценкам [84], уровень неопределенности при теоретических расчетах составляет 50%. Этот уровень зависит от неопределенностей в выборе массовых параметров, аргумента бегущей константы сильного взаимодействия as и значения константы лептонного распада /д.. Кроме этого, как показывают наши расчеты в подходе -факторизации,
