Содержание к диссертации
Введение
1 Электрослабая структура составных кварковых систем 18
1.1 Слабые взаимодействия 18
1.2 Принципы описания составных кварковых систем . 28
1.3 Метод квазипотеициала 31
1.4 Базисные положения РГД 38
1.5 Реализация группы Пуанкаре на базисе конечного числа взаимодействующих частиц 48
2 Полулептонные распады мезонов 54
2.1 Вычисление матричного элемента тока полулептонных распадов псевдоскалярных мезонов 54
2.2 Вычисление свободных формфакторов 61
2.3 Расчет процесса К~ —> irQjrfi~ +й^ в рамках мгновенной формы РГД 67
3 Функция Изгура—Вайзе для мезонов, содержащих один тяжелый кварк 74
3.1 Эффективная теория тяжелых кварков и функция Изгура Вайзе 74
3.2 Вычисление функции Изгура-Вайзс в рамках мгновенной формы РГД 77
3.3 Параметр наклона функции Изгура-Вайзе 82
4 Электрослабые свойства тяжелых мезонов 90
4.1 Вычисление волновых функций РГД вариационным методом 90
4.2 Вычисление констант лептонного распада В- и .D-мезонов 100
4.3 Расчет поправок по — к константам лептонного распада 102
4.4 Оценка релятивистских поправок к константам лептонного распада 106
4.5 Полулептонные распады тяжелых мезонов и матричные элементы Каббибо-Кабояши-Маскава 108
Заключение 114
Литература 117
- Принципы описания составных кварковых систем
- Вычисление свободных формфакторов
- Вычисление функции Изгура-Вайзс в рамках мгновенной формы РГД
- Расчет поправок по — к константам лептонного распада
Введение к работе
Проблема описаниея электрослабых свойств составных кварковых систем является актуальной для теоретической физики элементарных частиц на протяжении уже многих лет. Особый интерес вызывает теоретическое описание систем, состоящих из кварка и антикварка - мезонов. Интерес к такого рода исследованиям обусловлен, в первую очередь, проводимыми в наше время и планируемыми в будущем экспериментами на различных ускорителях [1]-[27], в которых важное место отводится изучению свойств мезонов. Так, изучение электрослабых свойств мезонов занимает важное место в таких экспериментальных программах как осуществляемые в США исследования в Джеффер-соновской лаборатории (JLab) [11, 27] коллаборациями BABAR [11], исследования в CERN коллаборациями OPAL [23], L3 и Delphy[16], а также Протвино [1,2], CLEO, CDF, LHC, BES [3, 10] и других. Наиболее полная экспериментальная информация накоплена к настоящему времени о легких мезона- пионе и каоне (см. например [1, 2]). Экспериментальные данные о других мезонах, например, мезонах, содержащих один тяжелый кварк (В— и D— мезоны) являются значительно менее полными. На сегодняшний день экспериментально измерены массы и времена жизни некоторых низколежащих состояний В— и D— мезонов; парциальные ширины для ряда мод распадов [3, 4], а также некоторые константы лептонных распадов [5]—[18] и относительные ширины распадов гголулептонных распадов [19]—[26]. В настоящее время планируются эксперименты по изучению электромагнитной структуры тяжелых мезонов, для которых пока не удается определить, например, электромагнитные радиусы [21] [26].
С теоретической точки зрения изучение мезонов как составных кварковых систем имеет важное значение, во-первых, потому что, в силу достаточно полной экспериментальной информации о них, мезоны могут сыграть роль полигона для проверки наших модельных пред-
ставлений о взаимодействии кварков и глюонов на промежуточных и больших расстояниях. Во-вторых, процессы с участием мезонов могут быть источником информации о фундаментальных параметрах Стандартной модели, например, о матричных элементах матрицы Каббибо-Кабояши-Маскава [19]-[2б].
Среди существующих теоретических подходов к описанию составных систем отметим наиболее распространенные в настоящее время: правила сумм КХД (см., например, [28]-|36]); расчеты на решетках, примерами которых являются работы [37]- [43]); эффективную теорию тяжелых кварков, основные принципы которой развиты в работах [48|-[53]: потенциальные модели [54]- [60]; модель Намбу-Иона-Лазинио [61] -[63]; квазипотенциальный подход [64]-[70]. Особо следует отметить расчеты электрослабых свойств мезонов в дисперсионном подходе к описанию составных кварковых систем [71]-]73]. В последние годы для описания составных систем широко используются т.н. релятивистские гамильтоновы динамики (РГД) [74]-[120]
Перечисленные подходы к описанию составных систем различаются как исходными посылками, так в значительной мере и результатами, поэтому формулировка новых подходов к описанию мезонов является важной задачей. В диссертации в рамках мгновенной формы РГД развивается новый подход к описанию электрослабых свойств составных систем.
Ключевой проблемой при описании свойств составных систем в настоящее время является проблема учета релятивистских эффектов. В первую очередь это связано с тем, что большое количество экспериментальных программ связано с интенсивным развитием физики быстро движущихся частиц (например, тяжелых ионов), что приводит к необходимости учета релятивистских эффектов для описания различных процессов -- столкновений, распадов и т.д. Так, например, квадрат переданного импульса при электромагнитном зондировании дейтрона на ускорителе JLab достигнет в ближайшем будущем 12 (ГэВ/с)2 [27], что делает безусловно необходимым учет релятивистских эффектов.
Как известно, самый последовательный способ учета релятивистских эффектов дает квантовая теория поля. В настоящее время считается, что все наблюдаемые ядерные и субъядерные эффекты должны описываться Стандартной моделью, т.е. лагранжевой теорией электрослабых взаимодействий и квантовой хромодинамикой (КХД) [121,
122]. Однако КХД дает достаточно надежные вычислительные рецепты только для описания так называемых "жестких"процессов, которые характеризуются, например, большими переданными импульсами. В области же небольших переданных импульсов, к которой относится широкий набор адронных процессов, современные возможности анализа в рамках пертурбативной КХД являются ограниченными. Конечно, граница между пертурбативной и непертурбативной областями КХД не является четко определенной. Разные авторы указывают разные границы этих областей от 1 до 100 (ГэВ/с)2 (см., например, |28]-[65]).
В области небольших переданных импульсов для расчета адронных процессов прибегают к различным моделям и приближениям [121, 122]. За последние годы появились серьезные аргументы в пользу того, что сложные и не до конца выясненные механизмы непертурбативного взаимодействия в КХД между глюонами и кварками эффективно сводятся к взаимодействию так называемых конституентных кварков. Т.е. фактически делается переход от бесконечного числа степеней свободы КХД к конечному числу степеней свободы, описываемых конституент-ными кварками.
На сегодняшний день не существует единой точки зрения на то, с помощью каких степеней свободы следует описывать, например, электромагнитные и электрослабые свойства адронов - конституентных кварков или, например, мезонных (векторная доминантность). В диссертации мы будем следовать интенсивно развиваемой в последнее время модели конституентных кварков. И здесь, конечно, необходим корректный учет релятивистских свойств кварков.
В релятивистской теории описания систем с ограниченным числом степеней свободы можно выделить два направления. В работах первого направления авторы развивают подходы, основанные на методах теории поля. Это, в частности, подходы, связанные с использованием ковариантного полевого уравнения Бете- Солпитера. (см., например, [66]-[70]), которое для двухчастичной системы формально записывается в виде
л л л Л Л Л
M^l + IGGM, (1)
где М - полная амплитуда, например, NN-рассеяния, / - "неприводимый четырехполюсник", играющий роль взаимодействия, G - точные одночастичные пропагаторы. При попытке решения точного уравнения (1) встречаются по крайней мере с тремя сложностями;
Вид одночастичного пропагатора.
Четырехмерность интегрального уравнения.
Вид неприводимого четырехполюсника.
Эти сложности преодолеваются различными способами. Так., одно-частичные пропагаторы, как правило, считаются пропагаторами свободных частиц (с перенормироваиной массой). От четырехмерности интегрального уравнения (1) избавляются интегрированием по пулевой компоненте промежуточного импульса. Однако результат интегрирования сильно зависит от поведения неприводимого четырехполюсника. В рамках нспертурбативной теории нахождение точного вида этого блока невозможно. Поэтому в решении этой проблемы прибегают к различным приближениям, например, полностью пренебрегают зависимостью / от нулевой компоненты импульса или одну из частиц помещают на массовую поверхность (спектральное приближение). В результате получают некоторое уравнение типа уравнения Шрединге-ра. Существенный вклад в развитие этого направления был сделан в работах Фаустова и Галкина [66]-[70].
В работах второго направления используют метод, основывающий
ся на прямой реализации алгебры группы Пуанкаре па базисе взаи
модействующих частиц. Этот подход называют теорией прямого вза
имодействия или релятивистской гамильтоновой динамикой (РГД) 1
(см., например, обзоры [74]-[76] и ссылки, приведенные в них). Сле
дует отмстить, что установление связи между РГД и теорией поля
является трудной и в настоящее время нерешенной проблемой. Идея
РГД восходит к работе Дирака |123], в которой рассматриваются раз
личные способы описания эволюции классических релятивистских си
стем - различные формы динамики. В этой работе Дирак указал три
способа включения взаимодействия в алгебру группы Пуанкаре, при
водящие к различным формам динамик: точечной, мгновенной и ди
намике на световом фронте. Каждую из этих динамик можно связать
с трехмерной гиперповерхностью в четырехмерном пространстве, на
которой задаются начальные условия, и эволюция которой в дальней
шем описывается. Точечная t > 0; мгновенная форма
динамики - х = 0 и динамика светового фронта - поверхность свето-
*В литературе встречается и другое название — релятивистская квантовая механика (РКМ) с фиксированным числом частиц.
вого конуса x(i + х3 = 0. Генераторы алгебры Пуанкаре разбиваются на генераторы, содержащие взаимодействие, которые Дирак называл гамильтонианами, и па генераторы, несодержащие взаимодействие и образующие кинематическую подгруппу. Генераторы кинематической подгруппы оставляют неизменной соответствующую динамике гиперповерхность.
При построении релятивистского подхода для системы с конечным числом степеней свободы важным является условие кластерной сепарабельности. Это условие, например, для оператора тока составной системы может быть сформулировано следующим образом: при выключении взаимодействия (или при разведении отдельных компонент системы на большие расстояния) оператор тока составной системы равен сумме операторов одночастичных токов. Требование сепарабельности [74] заменяет, фактически, принцип микропричииности квантовой теории поля [124] - [127].
В настоящее время основное число проведенных количественных исследований конкретных систем связано с динамикой на световом фронте (см., например, [78]—[101]), в частности, потому, что эта форма динамики имеет наименьшее число (три) генераторов (см., например, обзоры [74]-[7б], а также [78]—[84]), содержащих взаимодействие Однако использование динамики светового фронта приводит к определенным трудностям, связанным с потерей вращательной инвариантности, поскольку в генератор полного момента входит взаимодействие. Ряд работ содержит также исследования по другим формам динамики: точечной (см., например, [102]—[105]) и мгновенной (см., например, [106]-[112]) .
Важным вопросом при использовании различных форм динамики является вопрос об их эквивалентности друг другу, В настоящее время проведено доказательство эквивалентности динамики светового фронта и мгновенной формы динамики. В работах [81] [82] это доказательство проведено в системе отсчета с бесконечным импульсом. В работе [83] эквивалентность мгновенной и световой форм динамики доказана путем рассмотрения специальной поверхности в пространстве Минков-ского, которую можно свести к "мгновенной"и "световой"поверхности. В работе [84] была доказана так называемая 5-матричная эквивалентность всех основных форм динамик. При этом, однако, фактически не обсуждался вопрос об эквивалентности спектра связанных состояний
гамильтонианов в различных формах динамик, что, вообще говоря, не следует из совпадения 5-матриц. Кроме того, при постановке вопроса об эквивалентности разных типов динамик неясным остается вопрос относительно используемых в теории приближений типа релятивистского импульсного приближения, взаимодействия в конечном состоянии и т.д. Например, при рассмотрении в импульсном приближении тока системы нескольких частиц он представляется суммой од-ночастичных токов. Но при использовании унитарного преобразования, содержащего взаимодействие и переводящего один тип динамики в другой, в новом типе динамики должны появиться двухчастичные, трехчастичные токи и т.д. A priori не ясно, для какого типа динамики то или иное приближение является более подходящим, а также что произойдет с приближением, если сделать унитарное преобразование (которое, вообще говоря зависит от взаимодействия) от одной формы динамики к другой. К сожалению, решить эти вопросы последовательно, опираясь на пространственно- временную картину процессов, т.е. на полевую картину пока не предоставляется возможным, т.к., как мы уже отмечали, связь между РГД и теорией поля еще не прояснена до конца.
Настоящая диссертация относиться к работам второго направления - РГД. Диссертация посвящена актуальной в настоящее время проблеме описания электрослабых свойств составных кварковых систем.
Как уже говорилось выше, особенность составных кварковых систем обусловлена их релятивистской природой. Прежде всего это относится к системам, образованным из легких кварков, однако и в системах, содержащих тяжелые кварки, релятивистские эффекты в электрослабых процессах могут быть достаточно большими. В диссертации исследуется, в частности, роль релятивистских эффектов как в системах легких кварков (пион, каон), так и в системах, содержащих тяжелые кварки (В- и >-мезоны).
При описании электрослабых процессов важное значение имеют модельные представления о внутренней структуре адронов. Таким образом, описание экспериментально наблюдаемых электрослабых процессов являются хорошей проверкой модельных представлений, как о внутренней структуре адронов, так и о характере взаимодействия между компонентами системы. Например, при описании мезонов мы в диссертации, как указывалось выше, исходим из концепции конституентных
кварков. Т.е. при описании электрослабых процессов мы определяем, в частности, и пределы применимости этой модели внутреннего строения мезонов.
Одной из основных проблем описания электрослабых процессов является, построение тока перехода, удовлетворяющего условию релятивистской ковариантности, а в случае электромагнитного тока и закону сохранения [113]- [120].
Для построения оператора тока в рамках мгновенной формы РГД в диссертации используется общий метод релятивистски инвариантной параметризации матричных элементов локальных операторов [131, 132]. Этот метод позволяет выразить матричные элементы оператора любой тензорной размерности (лоренц- скаляр, лоренц-вектор, лоренц-тензор) через конечное число релятивистски инвариантных функций -формфакторов. Формфакторы содержат всю динамическую информацию о переходах, описываемых данным оператором. Именно поэтому систему в дальнейшем можно описывать в терминах формфакторов.
Получающиеся формфакторы составной системы в общем случае являются обобщенными функциями, т.е. задаются линейными непрерывными функционалами на некотором пространстве основных функций. Поэтому, например, матричные элементы токов составной системы в нашем формализме представляются как функционалы, порожденные некоторыми регулярными лоренц-ковариантными обобщенными функциями, а соответствующие формфакторы - как функционалы, порожденные лоренц-инвариантными обобщенными функциями [125].'
Вообще говоря, сложности с построением оператора тока составной системы, удовлетворяющего условиям лоренц-ковариантности и сохранения, возникают во всех подходах в том числе и в пертурбативной квантовой теории поля. Эта проблема довольно активно обсуждается в текущей литературе (см., например, [101]).
Наш подход к построению оператора тока содержит следующие ключевые моменты.
Из матричного элемента тока составной системы выделяют приведенные матричные элементы - формфакторы, содержащие динамическую информацию о процессе. С математической точки зрения эти формфакторы в общем случае являются обобщенными функциями.
Наряду с формфакторами из матричных элементов выделяется часть,
описывающая симметрийные свойства тока. Например, трансформационные свойства при преобразованиях Лоренца, дискретные симметрии, законы сохранения и т.д.
3. Физические приближения, в рамках которых вычисляется ток, формулируются не на языке операторов, а на языке приведенных матричных элементов или формфакторов - обобщенных функций.
Развитый в диссертации подход используется для описания слабых распадов конкретных составных кварковых систем. Среди составных кварковых систем особый интерес вызывает описание электрослабых свойств легких псевдоскалярных мезонов - пиона и каона [32, Q5, 85]. Связано это с существующей обширной экспериментальной информацией об этих частицах (см. например [1, 2]), кроме того, на современных ускорителях продолжается интенсивное изучение процессов с их участием. Например, в JLab в настоящее время осуществляется экспериментальная программа по прецизионному измерению зарядовых формфакторов этих частиц в области передач квадрата импульса до 8 ГэВ2 (Е-93-021 и Е-93-018) [27]. Относительно пиона этот интерес вызван еще и дуальностью пиона как составной системы и как возможного кандидата на роль голдстоуновского бозона спонтанно нарушенной киральной симметрии КХД [28, 33]. В настоящей диссертации производится расчет полулептонного распада каона в пион. В частности, рассчитанные в диссертации наклоны соответствующих формфакторов в нуле хорошо согласуются с последними экспериментальными данными.
В последние годы не ослабевает интерес к изучению составных кварковых систем, содержащих тяжелые Ь— , с— кварки. Это касается как экспериментального изучения таких систем (см., например, работы [5] - [26]), так и теоретических расчетов [34, 35],[36]-[47], [55]-[63],[66]-[70], [71]-|73],[48]-[53], [90]-[101],[106]-[112]. Особое место при изучение тяжелых мезонов занимают составные системы, содержащие один легкий кварк. Это связано с тем, что в таких системах тяжелый кварк можно рассматривать как статический источник цветового поля и развивать теорию возмущение по обратной массе тяжелого кварка. Соответствующая полевая теория получила название эффективной теории тяжелых кварков (ЭТТК). В ЭТТК для описания электрослабых процессов в таких системах вводится некоторый универсальный форм-фактор, получивший название функции Изгура-Вайзе. Через функ-
цию Изгура-Вайзе выражаются матричные элементы токов переходов в электрослабых процессах с участием мезонов с различными ароматами я ориеитациями спинов тяжелых кварков. В рамках ЭТТК получить эту функцию не удается в силу ее непертурбативной природы. Поэтому для вычисления функции Изгура - Вайзе необходимо использовать пепертурбативные методы, в частности, ее вычисляют в рамках правил сумм КХД [34],[50]- [53], в квазипотенциальном подходе [67] и в различных формах РГД (см. например, вычисления в динамике на световом фронте [95. 96] и в рамках мгновенной формы РГД [106]-[112]).
Отметим, что в последние время произведено измерение величины наклона этой функции экспериментальными коллаборациями CLEO и LEP [19, 21, 25], которое является весьма критичным к теоретическим моделям и может дать возможность выбора наиболее адекватной из них.
В диссертации в рамках мгновенной формы РГД вычисляется функция Изгура-ВаЙзе для мезонов. В диссертации впервые получена модельно независимое ограничение сверху и снизу на наклон функции Изгура-Вайзе, которое хорошо согласуется с существующими экспериментальными данными.
Процессы с участием тяжелых мезонов служат одним из важных источников информации об основных параметрах Стандартной модели, например, о матричных элементах Каббибо-Кабояши-Маскава. Для извлечения их, например, из ширин лептонных распадов тяжелых мезонов необходимо точное знание величины соответствующих распад-ных констант. Однако результаты расчетов их в решеточных подходах [40]-[47] и в правилах сумм КХД [35, 36], как правило, имеют большие теоретические неопределенности и сильно отличаются друг от друга. Поэтому формулировка новых подходов и выполнение более точных расчетов этих величин, в частности, в релятивистских составных моделях является актуальной задачей (см., например, обзоры [3, 4]).
В диссертации произведен релятивистский расчет констант лептонного распада В- и >-мезонов (/в, /gs, /#, /d,)- Результаты хорошо согласуются с имеющимися на сегодняшний день экспериментами и расчетами на решетках.
В диссертации произведен также расчет ряда мод полулептонных распадов В- и D-мезоиов, и из соответствующих ширин произведе-
но выделение матричных элементов Каббибо-Кабояши-Маскава Vbu, Vbc, Vcd: Ks, которые хорошо согласуются с существующими экспери-мептальпыми оценками.
Таким образом, все конкретные расчеты, проведенные в диссертации являются актуальными и содержат новые результаты.
Целью диссертации является развитие релятивистского метода описания электрослабых свойств составных кварковых систем и расчет на его основе слабых распадов мезонов в том числе мезонов, содержащих один тяжелый кварк.
Научная новизна и практическая ценность в диссертации в рамках
мгновенной формы РГД развит новый подход к описанию электрос
лабых свойств мезонов. В ней предложен новый метод построения
матричного элемента электрослабого тока перехода, описывающего по-
лулептонные распады мезонов. Получено интегральное представление
для формфакторов полулептонных распадов псевдоскалярных мезо
нов. В рамках развитого формализма вычислена функция Изгура-
Вайзе для мезонов, содержащих один тяжелый кварк. Впервые по
лучено модельно независимое ограничение сверху и снизу на наклон
функции Изгура-Вайзе, хорошо согласующееся с экспериментальны
ми данными. Рассчитаны константы лептонных распадов псевдоска
лярных мезонов, содержащих один тяжелый кварк (В- и D-мезонов).
Результаты хорошо согласуются с существующими экспериментальны
ми данными и расчетами па решетках с учетом больших теоретических
неопределенностей данных расчетов . В предложенном в диссертации
подходе вычислены ширины полулептонных распадов В- и D- мезонов
и произведена оценка соответствующих матричных элементов матри
цы Кабиббо-Кобаяши-М Предложенный в диссертации подход
может быть использован для расчета электрослабых свойств двухча
стичных составных систем, для объяснения существующих экспери
ментальных данных по составным системам, а также для предсказания
результатов планируемых экспериментов по изучению электрослабых
свойств составных систем.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Новый метод построение матричных элементов тока перехода для процессов полулептонного распада псевдоскалярных мезонов с учетом условий релятивистской ковариантности,
Полученные в рамках развитого метода интегральные представления для формфакторов полулептонных распадов псевдоскалярных мезонов.
Расчет процесса полулептонного распада К± —> тг \щ. В частности, вычисление наклона соответствующих формфакторов в нуле, хорошо согласующееся с последними экспериментальными данными.
Расчет функции Изгура- Вайзе для мезонов состоящих из тяжелого и легкого кварка.
Модельно независимое ограничение сверху и снизу на параметр наклона функции Изгура-Вайзе, хорошо согласующееся с последними экспериментальными данными.
Вычисление в рамках развитого в диссертации подхода констант лептонного распада для В- и D-мезонов (/#, /gs, fo, Id,)- Результаты хорошо согласуются с имеющимися на сегодняшний день экспериментами и расчетами на решетках.
Расчет в развитом формализме парциальных ширин распадов псевдоскалярных В- и D-мезонов и вычисление матричных элементов матрицы Каббибо-Кабояши-Маскава Vt>u, Vj,c, V^, Vcs.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались и обсуждались на XII, XIV, XV и XVI Международных семинарах по физике высоких энергий и квантовой теории поля (QFTHEP) (Самара, 1997; Москва, 1999, 2001; Тверь, 2000), на международной конференции ISSHEP-XV (Дубна, 2001), на международных семинарах "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Самара, 1997, 2001), на Второй и Третьей Всероссийских конференциях "Университеты России - Фундаментальные исследования. ФЭЧАЯ"(Москва, МИФИ, 2001, 2002), на сессии Отделения ядерной физики РАН (Москва, ИТЭФ, 2002), на конференции, посвященной 30-летию кафедры ОТФ (Самара, СамГУ, 1999), на конференции "100 лет квантовой механики" (Самара, СамГУ, 2001), на научных семинарах ОТФВЭ НИ-ИЯФ МГУ им. Д.В.Скобельцына и кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, на научных конференциях преподавателей и сотрудников Самарского госуниверситета (Самара, СамГУ, 1997-2002 гг.)
Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, ее объем составляет 130 страниц, она содержит б таблиц, 9 рисунков, и список литературы из 152 наименований.
Во введении дается краткий обзор современных проблем описания электрослабых процессов с участием составных кварковых систем, формулируются цели диссертации, дается краткая характеристика ее содержания, формулируются основные результаты диссертации и приводится список опубликованных работ,
В первой главе дается краткий обзор современного состояния теории электрослабой структуры составных кварковых систем. В параграфе 1.1 рассматривается феноменология электрослабых процессов и основные теоретические подходы к их описанию. Параграфах 1.2 посвящен принципам описания составных кварковых систем, кратко обсуждаются проблемы теории. В параграфе 1.3 приводится основы метода квазипотенциала, как примера релятивистского подхода к описанию составных систем, основанного на принципах квантовой теории поля. В параграфе 1.4 рассматриваются общие вопросы релятивистской инвариантности и основные положения релятивистской гамильто-иовой динамики. Проводится построение релятивне теки инвариантной теории системы из свободных частиц. В параграфе 1.5 рассматривается вопрос о релятивистски инвариантном включении взаимодействия в двухчастичную систему. Вводятся основные динамические уравнения РГД.
Во второй главе развит метод построения лорегщ-ковариантпого оператора тока для полулоптонных распадов мезонов, получены интегральные представления для соответствующих формфакторов распадов псевдоскалярных мезонов. В параграф 2.1 получен явный вид лорепц-ковариантного слабого тока перехода для полулептониых распадов псевдоскалярных мезонов. Найдено интегральное представление для формфакторов. В параграфе 2.2 методами релятивистской кинематики вычислены т.н. свободные двухчастичные формфактори, через которые выражаются формфакторы полулептопных распадов псевдоскалярных мезонов в импульсном приближении. В параграфе 2.3 проведен расчет формфакторов полулептониых распадов К-мезона. в пион при различных переданных импульсах с различными волновыми функциями кварков в мезонах. Вычислены значения формфакторов, а также наклоны формфакторов в нуле. Значения формфакторов
в нуле хорошо согласуются с другими подходами, а результаты расчета для наклона этих формфакторов хорошо согласуются с последними экспериментами.
В третьей главе рассмотрены основные положения эффективной теории тяжелых кварков (ЭФТТ), а также проводится расчет функции Изгура-Вайзе. В параграфе 3.1 рассматриваются основные положения ЭФТТ. Вводится функция Изгура-Вайзе. В параграфе 3.2 в рамках мгновенной формы РГД получено интегральное представление для функции Изгура-Вайзе. Представление получено из формфакторов полулептонных распадов псевдоскалярных мезонов предельным переходом к бесконечной массе тяжелого кварка тд -л оо. Проведены расчеты функции Изгура-Вайзе с различными волновыми функциями кварков в мезонах. Проведенные расчеты показывают слабую модельную зависимость этой функции при w < 2 (w = (vv')t v,v' -4-скорости мезонов в начальном и конечном состояниях). В параграфе 3.3 вычислен параметр наклона функции Изгура-Вайзе р2 при w = 1. Выделены вклады релятивистских эффектов. Произведен расчет этого параметра для различных волновых функций кварков в мезонах. Получены независимые от вида волновой функции ограничения сверху и снизу на этот параметр. Полученные в диссертации ограничения хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.
В четвертой главе рассмотрен вопрос о вычислении парциальных ширин слабых распадов В -и D- мезонов и извлечении из них матричных элементов матрицы Кабиббо-Кабояши-Маскава. В параграфе 4.1 производится вычисление волновых функций основного состояния В -и D - мезонов, содержащих один тяжелый кварк, вариационным методом. Задачи на собственные значения оператора массы для составной системы решается вариационным методом. Пробная функция имеет вид волновой функции основного состояния гармонического осциллятора и зависит от одного параметра. В параграфе 4.2 с полученными в предыдущем пункте волновыми функциями производится расчет констант лептонного распада В -, Bs -, D - Ds - мезонов. Результаты хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными и расчетами на решетках. В параграфе 4.3 производится оценка поправок по обратной массе тяжелого кварка к константам лептонного распада. Расчет проводится путем асимптотической оценки интеграла для соответствующей константы в пределе бесконечной массы тяже-
лого кварка. Параграф 4.4 посвящен оценке релятивистских поправок в константам лептонных распадов. Нерелятивистское выражение для констант получено из релятивистского предельным переходом. Оценка поправок проведена путем сравнения релятивистского и нерелятивистского результатов. Получено, что релятивистские поправки в мезонах с одним тяжелым кварком являются определяющими. В параграфе 4.5 рассчитаны ширины ряда мод полулептонных распадов В- и D -мезонов. Путем сравнения с экспериментальными значениями ширин вычислены матричные элементы матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава. Полученные результаты дают хорошее согласие с имеющимися экспериментальными оценками.
В заключении приведены основные результаты и выводы работы.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:
Крутов А.Ф., Троицкий В.Е., Шро О.И. Функция Изгура-Вайзе // Тез. докл. международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара, 1997. - С.6.
Krutov A.F., Shro 0.1., Troitsky V.E. Instant-Form Approach to Two-Body Systems: Electrowcak Properties of Pseudoscalar Mesons /"/ Proceedings of Xllth Workshop on QFTHEP, ed. B.B.Levtchenko. - Moscow State University, 1999. - P. 275-279 .
Баландина E.B., Крутов А.Ф., Троицкий B.E., Шро О.И. Полу-лептонные распады псевдоскалярных мезонов в мнгновеной форме релятивистской гамильтоновой динамики // ЯФ. 2000. Т.63. -С. 301 311.
Крутов А.Ф., Троицкий В.Е., Шро О.И. Функция Изгура-Вайзе в мгновенной форме релятивистской гамильтоновой динамики // Теоретическая физика. - 2000. Т.1. - С.25-29.
Krutov A.F., Shro O.I., Troitsky V.E. Isgur-Wise function in instant form of relativistic hamiltonian dynamics // Report of XVth Workshop on QFTHEP, ed. Levtchenko B.B., Savrin V.I., M.:Moscow State University, 2001. - P.225-230.
Krutov A.F., Shro ОЛ., Troitsky V.E. Isgur-Wise function in the instant form relativistic hamiltonian dynamics // In: Relativistic nuclear physics and quantum chromodynamics Abstracts, Proc.of the XV ISHEPP. - Dubna, 2000 - P.22.
Krutov A.F., Shro О.I., Troitsky V.E. Isgur-Wise function in the relativistic model of constituent quarks// Phys. Lett. B. - 2001. V.502. - P. 140-146. (; aXiv: hep-ph/0012296)
Крутов А.Ф., Троицкий B.E., Шро О.И. Лептонные распады мезонов //Тез. докл. международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара 2001. - С.5.
Крутов А.Ф., Троицкий В.Б., Шро О.И. Релятивистская теория составных систем// Вторая Всероссийская конференция "Университеты России - Фундаментальные исследования. ФЭЧАЯ", Сб. научных трудов. - 2001. М.:МИФИ, С.47-48,
Шро О.И. Лептонные распады тяжелых мезонов в мгновеной форме релятивистской гамильтоновой динамики // Теоретическая физика. - 2001. Т2. С.144-149.
Крутов А.Ф., Шро О.И. Полулептонные распады В- и >-мезонов в мгновеной форме релятивистской гамильтоновой динамики // Вестник СамГУ - 2001. Т.2(20) - С. 141-150.
Shro O.I., Yakovleva LP. Lepton decays of the heavy-light pseudoscalar mesons - the instant form relativistic hamiltonian dynamics approach
// Report of XVIth Workshop on QFTHEP, ed. Dubinin M.N., Savrin V/ M.:Moscow State University - 2002. P.296-300 .
13. Крутов А.Ф., Троицкий B.E., Шро О.И. Релятивистское описа
ние лептонных распадов мезонов // Третья Всероссийская конфе
ренция "Университеты России - Фундаментальные исследования.
ФЭЧАЯ", Сб. научных трудов. -М.:МИФИ, 2002. - С.Ш-112,
Принципы описания составных кварковых систем
Проблема описания составных кварковых систем является одной из фундаментальных проблем современной физики. В настоявшее время существует полная уверенность в том, что истинной теорией сильных взаимодействий является квантовая хромо-динамика (КХД). Кратко изложим базовые положения КХД [122]: 1. Кварки обладают не только электрическим зарядом но и сильным зарядом трех сортов (цветом). 2. Обмен цветов осуществляется посредством восьми двухцветных глю-онов, безмассовых частиц со спином 1. 3. Принимается, что цветовое взаимодействие совершено аналогично электромагнитным взаимодействиям, т.е. вычисления в КХД прово дятся по правилам квантовой электродинамики с заменой а на as в каждой вершине, где as - бегущая константа КХД. 4. Глюопы сами несут цветовой заряд и, следовательно, сами могут взаимодействовать между собой. 5. На малых расстояниях величина as настолько мала, что мы можем вычислять цветные взаимодействия используя теорию возмущений. Теоретически вся физика сильных взаимодействий основана на лагранжиане КХД: где Dp = dp — ідА Та - ковариантная производная, Та Xа/2 - генератор группы S/(3) в фундаментальном представлении определенные через матрицы Гелл - Манна Ла (а — 1,2,..., 8), ф${х) - кварковос поле, Ар - глюонное поле. Сумма берется по всем сортам кварков / с массой m,f, Ga - тензор напряженности калибровочного (глюонного) поля Ар. Генераторы группы SU(2 ) связаны следующим соотношением: где fabc - структурные константы группы 5Г7(3). Для квантования теории необходимо к лагранжиану (1.50) добавит член, фиксирующий калибровку и духовую часть. КХД дала ряд замечательных предсказаний при описании процессов при высоких энергиях.
Однако попытка применить КХД к описанию взаимодействий кварков при малых энергиях, например, к описанию наблюдаемого спектра адронов наталкивается на ряд трудностей, связанных, например, с ростом значения бегущей константы КХД. Укажем основные сложности при описании связанных состояний кварков: 1. Первая сложность состоит в том что до настоящего времени не решен вопрос об описании взаимодействия между компонентами системы: - сложные и до конца не выясненные механизмы взаимодействия между глюонами и кварками в рамках КХД при низких энергиях. Эта сложность может быть разрешима, например, в рамках концепции кон-ституентных кварков. - Произвольность выбора потенциала взаимодействия между кварками в модели конституентных кварков. Нам не известен характер взаимодействия между кварками, поэтому при выборе потенциала взаимодействия его подбирают из феноменологических соображений. 2. Движение кварков в мезонах и барионах является релятивистским, что нельзя не учитывать при расчете различных характеристик, таких, например, как формфакторы. В настоящее время для описания свойств адронов в области низких и промежуточных энергий успешно применяется модель конституентных кварков или составная кварковая модель (СКМ) [33, 55, 92, 99, 113, 119, 120]. Причина этого успеха состоит в том, что эта модель эффективно использует адекватные физической природе адронов степени свободы, и, кроме того, описывает непертурбативные эффекты, что дает возможность успешного использования ее для описания "мягкой"структуры адронов, например, в эксклюзивных процессах, чего не может сделать КХД (см., например,[31]). Главным отличием СКМ от КХД является выделение конечного числа степеней свободы, в терминах которых описывается адрон. Все динамические эффекты КХД инкорпорированы в СКМ путем введения эффективной (конституентной) массы кварка, а также внутренней структуры кварка, которая может быть феноменологически описана путем введения формфакторов. Таким образом, в СКМ принимается, что конституентные кварки имеют все материальные свойства свободных частиц, и что они взаимодействуют между собой посредством удерживающего потенциала. Это означает, в частности, что конституентные кварки характеризуются эффективной массой, среднеквадратичным радиусом и аномальным магнитным моментом.
Следует отметить, что представление о конституентных протяженных кварках возникает также в моделях квантовой теории поля типа моделей Намбу-Иона-Лазинио со спонтанным нарушением ки-ральной симметрии [611—[63]. В этих моделях конституентные кварки описываются тем же набором параметров, что и в феноменологических СКМ. В этом смысле можно считать, что СКМ инициирована квантовой теорией поля. Тем не менее важно иметь ввиду, что составная кварковая модель не является прямым следствием КХД, но только лишь успешной феноменологической моделью [74]. Для описания спектра масс составных кварковых систем достаточно нерелятивистских формулировок СКМ [55], однако, при описании электрослабых свойств составных систем необходим учет релятивистских эффектов, которые являются большими, особенно в системах легких кварков. Релятивизация СКМ может проводится различными способами. Перечислим здесь лишь некоторые: модель Намбу-Иона-Лазинио [61, 62, 63]; квазипотенциальный подход [64]-[70]. Особо следует отмстить дисперсионный подход к проблеме описания составных систем. Расчету элск-трослабых мезонов в рамках дисперсионного метода посвящены работы [71]- [73]. В последние годы для описания составных систем широко используются т.н. релятивистские гамильтоновы динамики (РГД) [78] [120]. Существующие релятивистские теоретические подходы к описанию составные систем следует разделить на два класса: во-первых, это подходы, базирующиеся на квантовой теории поля и, во-вторых, это подходы, базирующиеся на реализации представления группы Пуанкаре па гильбертовом пространстве состояний составной частицы. В следующих параграфах мы опишем один из основных релятивистских подходов, основанных на квантовой теории поля метод квазипотенциала, а также метод РГД, используемый в настоящей диссертации.
Вычисление свободных формфакторов
В этом параграфе мы получим свободные двухчастичные формфак-торы G± (s, Q2, s ), которые входят в выражение для матричного элемента оператора тока полулептонного распада системы из двух невзаимодействующих частиц. Такое вычисление необходимо, поскольку в импульсном приближении оператор тока системы из двух взаимодействующих частиц заменяется па оператор тока системы из двух свободных частиц (2,9), а мы будем в дальнейшем использовать приближение физически соответствующее именно импульсному приближению. Представим матричный элемент тока системы из двух свободных частиц в терминах свободных двухчастичных формфакторов, вычисление которых и является целью настоящего раздела. Соответствующий ток перехода может быть представлен в базисе (1.132). Для матричного элемента тока в этом базисе можно применить общую процедуру параметризации [131]. Рассмотрим матричный элемент адронного тока JH 1 перехода, для системы двух свободных частиц (1.132), с квантовыми числами J = I = S =0: двухчастичные формфакторы, которые зависят в общем случае от трех скалярных величин. Представление (2.13) полностью аналогично (2.2) и отличается от него лишь тем, что инвариантные функции в (2.13) зависят от дополнительных инвариантных переменных s , s . G± (s,t, sr) - свободные двухчастичные формфакторы полулептон-пых распадов, для которых будут получены явные формулы и которые далее мы подставляем в выражениях для формфакторов полулептон-ных распадов (2.12) вместо G±(s} t,sr). Разложим теперь матричный элемент (2.13) по базису индивидуальных импульсов и спинов (1.107).
Получим следующее выражение: Базисы (1.107) и (1.132) связаны между собой при помощи разложения Клебша-Гордана группы Пуанкаре (1.107) [133, 115] (более подробное описание соответствующей процедуры см. в Главе 1): представлены формулой (1.136). Матрицы вращений D3 для спина половина (см. (1.136)) имеют следующий явный вид (см., например. [133]): Рассмотрим теперь матричный элемент слабого тока перехода для системы свободных частиц в базисе индивидуальных импульсов и спинов кварков (1.107). В этом базисе он имеет следующую структуру: В соотношении (2.17) учтено то обстоятельство, что слабый переход претерпевает только один из кварков системы (см. рис. 2.1). Правая часть (2.17), содержащая одночастичный ток, может быть выражена через одночастичные формфакторы кварков. В стандартной дираков-ской параметризации соответствующее выражение имеет следующий вид: um (p ),wm(p) - дираковские биспиноры, q+ — {р+р )1 , g_ = {р — р У, I = Я-, F{ = () - дираковские формфакторы. Однако в дальнейшем удобнее работать с матричным элементом одночастичного тока перехода в (2.17) в иной параметризации [131]: Г (р ) - 4-вєктор спина кварка, Яд = ё11/ 9р1/р х Г&(р ), D , , матрица поворота спина (2.16). Формфакторы, входящие в (2.18) и (2.19), молено выразить друг через друга [132]. Мы выпишем здесь только те соотношения, которые понадобятся нам в дальнейшем: h(t) = С учетом (2.17) приходим в (2.14) к следующему выражению для матричного элемента свободного двухчастичного тока: Интегрируем правую часть выражения (2.21) в системе отсчета Для интегрирования удобно ввести новые переменные: где суммирование идет по переменным mi, m-i, тг, Ш2, т І5 rh[, m2, т 2, m;, С учетом рассмотренной выше параметризации (2.19) и того факта, что J = I = S = 0, получаем выражение: В дальнейшем снимаем в выражении (2.24) интегрирование по D,D\ q", q ,0 за счет 6- функций, интегрирование по ф проводится тривиально. После суммирования по дискретным переменным вычисляем правую часть в (2.24) явно. Нахождение явного вида свободных двухчастичных формфакторов в (2.13) проводится по простой схеме. Получившееся в (2.24) выражение с учетом (2.13) умножим последовательно сначала на вектор Q/(, а затем на вектор Р .
Получаем следующую систему уравнений: Разрешая полученую систему (2.25) относительно формфакторов G± получаем явные выражения для свободных двухчастичных формфакторов: - ступенчатая функция, Si и s2 определяют кинематически допустимую область изменения переменных s , s (см. рис. 2.2). a — u!i + C02 + Ш3, од " т.н. параметры поворота спинов из разложения Клебша- Гордана, связывающего базисы (1.107) и (1.132) в (2.21). а также из параметризации (2.19): В импульсном приближении, сформулированном па языке форм-факторов, в выражении (2.12) мы заменяем формфакторы G±(s) t, s1) на свободные двухчастичные формфакторы (2.26). Окончательное выражение для формфакторов полулептонных распадов в импульсном приближении имеет вид: Заметим, что совершенно аналогичным образом в импульсном приближении получаются выражения для электромагнитных формфакторов мезонов [119] и для констант лептонного распада мезонов [120]. Интересно отметить, что в последнем случае используемый нами метод построения матричных элементов приводит к выражению для константы лептонного распада, совпадающему с соответствующим выражением в динамике на световом фронте [92]. Полученные выражения для формфакторов (2.36) можно использовать для расчета полулептонных распадов любых псевдоскалярных
Вычисление функции Изгура-Вайзс в рамках мгновенной формы РГД
Общий формализм для описания полулептонпых распадов псевдоскалярных мезонов в рамках мгновенной формы РГД развит нами в главе 2 (см. также работы [140, 141]). Для вычисления функции Изгура-Вайзе рассмотрим слабый переход псевдоскалярного в псевдоскалярный мезои. Дальнейшее изложение мы будем вести, следуя работе [141]. Адронная часть инвариантной амплитуды для полулептонных распадов может быть стандартным образом параметризована (см также (1.49)): Здесь р с, , рс - 4- импульсы мезонов в начальном и конечном состояниях соответственно, Р- — (рс — р У1 , -Р+ = (ре 4- p dY , Q2 —t = Интегральное представление (2.12) для формфакторов F-(Q2), F+(Q2) в импульсном приближении, в рамках мгновенной формы РГД, мы получили в Главе 2 (см. также наши работы [140, 141]): срс (б ) , c(s) -волновые функции мезонов в начальном и конечном состоянии. G± (s,Q2,s ) - так называемые свободные двухчастичные формфакторы, заданные выражениями (2.26)-(2.35). Обсудим детали описания полулептонных распадов псевдоскалярных мезонов в терминах функции Изгура-Вайзе. Адронная часть инвариантной амплитуды (ЗЛО) процесса полулептонного распада псевдоскалярного мезона может быть параметризована в терминах функций h±(w) (95]: где w = vv , v (у ) 4-скорости мезонов в начальном и конечном состояниях, М(: , Мс - массы начального и конечного мезона соответственно. Нетрудно установить связь между переменной w и переданным импульсом: Функция Изгура-Вайзе вычисляется путем предельного перехода при rriQ — оо в выражениях (3.12) [48] - [96]: Для функции h-(w) должно выполняться условие. Вычисление функции Изгура-Вайзе из соотношения (3.14) выполняется с использованием формул (2.12) и (2.26)-(2.35), а также с помощью равенства (3.13). Для удобства вычислений перейдем в выражениях (2.26)-(2.35) от инвариантной переменой s к импульсу к, описывающему движение частиц "внутри"системы относительно центра масс: По сравнению с (2.26)-(2.35) введены новые обозначения: mq М\-масса легкого кварка, W.Q = Мч — М$ - масса тяжелого кварка. Введем также безразмерную переменную z:
Выражения для s\ задаются формулой (2.32). Таким образом, внутренний интеграл в (4.65) сводится к интегралу по отрезку [-1,1]. Используя явный вид (2.32), запишем формулу (3.17) в виде: (3.18) С учетом преобразований (3.16)-(3.18) проводим разложение в формулах (2.26)-(2.35) но массе тяжелого кварка. Как видно из (3.14), функция Изгура-Вайзе является коэффициентом при нулевой степени 1/mg: Выделяем вклад при нулевой степени I/TUQ и получаем явный вид функции Изгура-Вайзе в рамках мгновенной формы РГД: Здесь a - параметр поворота спина легкого кварка, и(к), и(к ) - феноменологические волновые функции. Явный вид волновых функции в (3.20) определяется используемой моделью взаимодействия. Проведем численный расчет функции Изгура-Вайзе для модельных волновых функций, заданных формулами (2.38), (2.39), (2.40). При этом возникает вопрос о значениях параметров, от которых зависят волновые функции. Будем фиксировать параметры двумя различными способами. В первом случае параметры волновых функций фиксировались нами из подгонки среднеквадратичного радиуса D -мезона. Среднеквадратичный радиус D-мезона экспериментально пока не измерен, однако для него существуют модельно независимые оценки, полученные в работах [135, 136]. В этих работах значение среднеквадратичных радиусов для системы с запиранием выражаются через наблюдаемые уровни энергии в такой системе. Более подробное обсуждение соответствующих формул и фиксация параметров волновых содержится в следуюіцем параграфе. После подгонки мы получаем следующие значения параметров волновых функций: в модели (2.38) Ь — 0.372 ГэВ, в модели (2.39) для п — 2 Ь — 0.526 ГэВ и для п —3 b 0.731 ГэВ. Результаты соответствующего расчета для функции Изгура- Вайзе представлены на рисунке 3.1. f.fc Второй способ фиксации параметров волновых функций - подгонка константы лептонного распада ?-мезона.
Экспериментальное значение этой константы неизвестно. Однако ее величина вычислялась, например, в правилах сумм КХД [35, 36] - JB = 0.180 ГэВ. Это дает следующие значения параметров волновых функций: в модели (2.38) 6 = 0.547 ГэВ, в модели (2.39) для п =2 Ь = 0.561 ГэВ и для п =3 6 = 0.918 ГэВ, в модели (2.40) а - 0.216 ГэВ2 и as = 0.52 на масштабе масс тяжелых мезонов. Результаты вычислений представлены па рисунке 3.2. вой функции кварков в мезоне при небольших знамениях переменной w. Значение функции Исгура-Вайзе при расчетах с различными волновыми функциями совпадают с точностью до 0.5 — 1%, при w 2.0. В пределе w — 1 функция Изгура Вайзе может быть разложена в ряд (3.7) по параметру (w — 1)(см. например [103, 106, 107, 108, 110, 109, 111, 112]): где р2 - параметр наклона функции Изгура - Вайзе. Таким образом, получить параметр наклона можно путем разложения интегрального представления для функции Изгура-Вайзе (3.22) по переменной w в окрестности точки w 1. Для вычисления наклона в формулах (3.20)-(3.22) перейдем от переменой w к переменой у — w — 1: В выражениях (3.20), (3.24), (3.25) проведем разложение в ряд по степеням переменой у в окрестности точки y—Q. Выделив вклад при первой степени по переменой у, получим явное выражение для параметра наклона функции Изгура - Вайзе. Параметр наклона функции Изгура-Вайзе в наших вычислениях может быть представлен также как в работах [103, 106, 107, 108] в виде трех слагаемых: РІрасе описывает вклад от волновых функции с учетом релятивистской нормировки (2.33), p2VR - вклад от вигнеровского поворота спина легкого кварка, /0qUorft - вклад кваркового тока. PwR и второе слагаемое в р2расс имеют релятивистскую природу. Значение pquaTk, полученное в нашей работе, совпадает с результатами других работ (см., например, [107]). Интегралы, содержащие производные волновой функции, удобно записать в координатном представлении с помощью преобразований Фурье-Бесселя: где jo(kr)-сферическая функция Бесселя. В результате преобразования (3.28) получаем следующие соотношения: Здесь (г2м) - среднеквадратичный момент мезона в основном состоянии -0о(г) Обратим внимание, что все интегралы, входящие в выражения (3.26) (3.27), имеют положительный знак. Используя представления (3.26), (3.27), можно установить пределы изменения р2. Для получения ограничения рассмотрим отдельно релятивистские члены в (3.26), (3.27). В нерелятивистском пределе, т.е. при mq — со, положительные релятивистские слагаемые в (3.26), (3.27) исчезают, и мы получаем нижнюю границу параметра наклона: В ультрарелятивистском пределе, т.е. при mq — 0, данные слагаемые принимают максимальное значение, и мы получаем верхнюю границу для р2: Обратим внимание, что минимальное и максимальное значения отличаются на 1/3. Для дальнейшей оценки воспользуемся результатами
Расчет поправок по — к константам лептонного распада
Одним из последовательных полевых подходов к вычислению характеристик электрослабых процессов для тяжелых мезонов является эффективная теория тяжелых кварков (см. главу 3). Эффективная теория тяжелых кварков фактически работает в рамках теории возмущения по обратной массе тяжелого кварка. Строго говоря, вычисление констант лептонного распада в рамках эффективной теории тяжелых кварков проводить нельзя, так как в процессе лептонного распада в конечном состоянии мезона нет, и, следовательно, мы не можем построить диагональный матричный элемент и ввести аналог функции Изгура-Вайзе. Однако, мы в нашем подходе можем вычислить константу лептонного распада, изходя из того факта, что мы рассматриваем мезон, состоящий из одного тяжелого и одного легкого кварка. Сравнивая наш точный расчет и расчет в главном члене по можно сделать вывод о роли поправок и тем самым о применимости ЭТТ К для расчета констант лептоного распада мезонов содержащих один тяжелый кварк. Т.к. наш подход является непертурбативным, то представляет интерес вычисление поправок по — к главному члену разложения (см. главу 3 формулу (3.9)). Масса тяжелого кварка mq больше легкого mq в зависимости от сорта кварков от 5 до 20 раз (4.40), (4.41). Т.е. для перехода к эффективной теории надо рассмотреть предел rriQ - оо. Перейдем к исследованию асимптотики константы лептонного распада (4.44) при mq — оо: Технически задача сводится к асимптотической оценке интеграла в выражении (4.44). Оценку будем выполнять в два этапа. На первом этапе вычислим главный член разложения подинтеграль-ной функции GQ(S) (4.44): Для волновой функции (2.5), входящей в выражение (4.44) соответствующая оценка будет иметь вид: Таким образом, формула (4.46) для fs представляется следующим образом: На втором этапе проведем оценку интеграла Для этого сделаем замену переменных где а(то) - быстро растущий параметр, который в рассмотриваемом нами пределе зависит от массы тяжелого кварка. а(тпо) не зависит от переменой t. Следует остановится на расмотрснии некоторых свойств волновых функций (2.38) и (2.39), используемых при расчете лептоных констант. Это убывающие вещественные функции, следовательно, мы можем представить такие функции в виде: где (t) - функция переменой t не зависящая от параметра с (т з) имеющая минимум. С учетом (4.53) мы можем переписать интеграл (4.52) в следующем виде: где введены новые обозначения \(тд) — In а(тпд) и p(t) — ln() Асимптотическое разложение интеграла (4.54) может быть получено на основании теоремы об ассимптотической оценке интегралов [138J: Теорема: Рассмотрим интеграл следующего вида: В этом интеграле: х 0, а, 6, p(t), q(t) ие зависят от х, а - конечно, а Ъ может быть бесконечным- Без потери общности можно считать, что минимум функции p(t) достигается в точке а.
Иначе область интегрирования можно разбить на части точками минимума и максимума функции p(t) и, если это необходимо, изменить знак t. Пусть выполняются следующие условия: 1) p(t) р{а) при \/t Є (a,b) и p(t) имеет минимум лишь в точке а; 2) p (t) и q(i) непрерывны в малой окрестности точки а, исключая, возможно, саму точку а; 3) при t — а справа и первое из этих соотношений допускает дифференцирование. Здесь С, 7) v - положительные постоянные (целые или нет), aD/О- действительная или комплексная постоянная: 4) интеграл (4.55) абсолютно сходится при всех достаточно больших х. При сформулированных условиях: а (4.56) напрямую применима к интегралу (4.54). Соответствующая оценка имеет вид: Если в качестве волновой функции выбрать функцию гармонического осцилятора (2.38), то для константы лептонного распада главный член разложения (4.58) в пределе mq —У оо будет иметь вид: (4.59) Проведем численную оценку предельного значения константы лен-тонного распада f%s в (4.59) для В, Л8, D, Ds - мезонов. Для этого в качестве mq возьмем массу тяжелого кварка в мезоне, а Ь - параметр волновой функции, найденный ранее (см. таб. 4.2). Сравнивая теперь fs со значениями констант лептонного распада, вычисленными точно, можно оценить величину поправок к константам лептонных распадов по —. Для В мезона поправки составляют 0, 01%, для Bs мезона 3%, для D - 34% и, наконец, для Ds - 22%. Видно, для В -мезонов эти поправки являются малыми. Для D и Ds мезонов эти поправки являются заметными. Можно сделать вывод, что эффективная теория тяжелых кварков в главном члене разложения для описания таких систем работает хуже, чем для В- мезонов. Надо отметить, что с точки зрения эффективной теории все четыре рассматриваемые нами системы В — , Bs —, D-, Д, -- мезонов должны описываться одинаково. Следовательно, константы лсптонных распадов всех четырех мезонов должны иметь близкие значения. Из приведенной таблицы видно, что для В и Bs мезона /я действительно можно считать близкими по значению. Но между остальными, например В и D мезонами, различие в fs составляет около 50 %. В настоящем разделе проводится оценка релятивистских эффектов при описании лептонных распадов мезонов, содержащих один тяжелый кварк. Эта оценка является важной, поскольку нерелятивистские расчеты этих процессов встречают трудности [55]. Для решения этой задачи в выражении для константы лептонного распада перейдем к нерелятивистскому пределу, т.е. проведем асимптотическую оценку при mQ,mq — со релятивистского выражения для константы лептонного распада /с (4.44):
