Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Новый формализм для описания электрослабых свойств составных систем 21
1.1 Релятивистская инвариантность и релятивистские гамильтоновы динамики 21
1.2. Описание электромагнитной структуры- простой -двухчастичной системы 29
1.3 Модифицированное импульсное приближение 40
1.4 Нерелятивистский предел 44
1.5 Связь с дисперсионными соотношениями 46
1.6 Об одном методе решения матричной задачи Римана-Гильберта 50
Глава 2. Построение операторов электрослабых токов в мгновенной форме релятивистской динамики 57
2.1 Введение 57
2.2 Параметризация матричных элементов одночастичных операторов 59
2.3 Параметризация матричных элементов двухчастичного тока 65
2.4 Параметризация матричных элементов операторов системы двух взаимодействующих частиц 72
Глава 3. Электрослабые свойства легких мезонов 79
3.1 Введение 79
3.2 Электромагнитная структура легких псевдоскалярных мезонов 83
3.3 Лептонные распады легких псевдоскалярных мезонов 97
3.4 Полулептонные распады легких псевдоскалярных мезонов 106
3.5 Асимптотика зарядового формфактора пиона 116
3.6 Модельно независимое определение параметров конституентных кварков 123
Глава 4. Электрослабые свойства мезонов, содержащих один тяжелый кварк 133
4.1 Введение 133
4.2 Вычисление функции Исгура-Вайзе для мезонов, содержащих один тяжелый кварк 135
4.3 Модельно независимые ограничения на наклон функции Исгура-Вайзе 138
4.4 Лептонные распады мезонов, содержащих один тяжелый кварк 142
Глава 5. Электромагнитная структура р - мезона
5.1 Матричный элемент оператора электромагнитного тока составной системы с J =1
5.2 Оператор электромагнитного тока р - мезона
5.3 Электромагнитные формфакторы и статические р - мезона
Глава 6. Электромагнитная структура дейтрона
6.1 Введение
6.2 Упругое ed- рассеяние в мгновенной форме РГД
6.3 Статические моменты дейтрона
6.4 Результаты расчетов упругого неполяризационного ed- рассеяния
6.5 Поляризационное электрон-дейтронное рассеяние
6.6 Обменные мезонные токи
6.7 Зарядовый формфактор нейтрона
Заключение
Литература
Приложение 1
Приложение 2
- Описание электромагнитной структуры- простой -двухчастичной системы
- Параметризация матричных элементов операторов системы двух взаимодействующих частиц
- Модельно независимое определение параметров конституентных кварков
- Модельно независимые ограничения на наклон функции Исгура-Вайзе
Описание электромагнитной структуры- простой -двухчастичной системы
Составные системы со взаимодействием рассматриваются в подразделе 2.4. Особенностью параметризации операторов электрослабых токов в таких системах является то, что матричный элемент оператора берется в обкладках из векторов состояния свободной двухчастичной системы. В этом случае оператор и векторы обкладок преобразуются по разным представления группы Пуанкаре: оператор - по представлению, генераторы бустов которого содержат взаимодействие, а векторы обкладок -по представлению, генераторы которого не содержат взаимодействия. Показано, что параметризация в этом случае может быть проведена, если интерпретировать матричные элементы оператора как обобщенные функции. Получено, что формфакто-ры составной системы имеют вид функционалов, порожденных некоторыми лоренц-инвариантными обобщенными функциями на пространстве волновых функций составной системы. Производится параметризация матричного элемента: электромагнитного тока для составной системы с набором квантовых чисел J = J = S — S = 1.
Третья глава, посвящена описанию в развитом формализме электрослабых свойств легких псевдоскалярных мезонов - пиона и каона. В подразделе 3.1 производится краткий обзор существующих подходов к расчетам электрослабых свойств легких псевдоскалярных мезонов, а также экспериментальных данных, в частности, полученных в последних экспериментах JLab. В подразделе 3.2 в рамках развитого в предыдущих главах: формализма производится релятивистский расчет электромагнитных свойств легких псевдоскалярных мезонов. Для расчетов используются различные модельные волновые функции кварков в мезонах. Исследуется роль релятивистских эффектов в электромагнитной структуре легких мезонов, в частности, релятивистские эффекты в среднеквадратичном радиусе (СКР) пиона. Получено, что релятивистские эффекты могут давать большой вклад в СКР. Например, вклад релятивистского эффекта поворота спина в СКР достигает 30%. В приближении точечности кварков рассчитаны электромагнитные формфакторы пиона и ка-она при Q2 б ГэВ2. Произведена оценка роли вклада вигнеровского поворота спинов в электромагнитный формфактор пиона. Произведен расчет электромагнитных формфакторов легких мезонов с учетом внутренней структуры конституентных кварков - аномальных магнитных моментов кварков, СКР кварков, электромагнитных формфакторов кварков. На примере расчета пионного формфактора произведено сравнение результатов модифицированного импульсного приближения, развитого в диссертации и импульсного приближения в обычной формулировке. Получено, что результаты отличаются почти в два раза при Q2 1 ГэВ2.
Подраздел 3.3 посвящен расчету лептонных распадов легких псевдоскалярных мезонов. На основании развитого в главах 1 и 2 формализма выведено интегральное представление для констант лептонного распада псевдоскалярных мезонов. Показано, что расчет констант лептонного распада пиона и каона в развитом подходе дает хорошее согласие с экспериментами по лептонным распадам и хорошо согласуется с расчетами электромагнитных свойств этих мезонов с учетом внутренней структуры конституентных кварков. Аномальные магнитные моменты конституентных кварков в этих расчетах брались из правил сумм С.Б.Герасимова.
В подразделе 3.4 производится расчет полулептонных распадов легких псевдоскалярных мезонов. С использованием развитого в главах 1 и 2 релятивистского формализма получены интегральные представления для формфакторов полулептонных распадов. Производится расчет полулептонного распада каона в пион. Рассчитанные наклоны этих формфакторов в нуле совпадают в пределах экспериментальных ошибок с имеющимися экспериментальными данными. Результаты расчетов хорошо согласуются с выполненными в подразделах 3.2 и 3.3 главы 3 расчетами электромагнитной структуры легких псевдоскалярных мезонов и констант лептонного распада.
В подразделе 3.5 производится оценка асимптотики полученного в диссертации формфактора пиона при Q2 —) со , М — 0. Получено, что при таком предельном переходе асимптотика формфактора пиона не зависит от вида волновых функций пиона и в приближении точечности кварков в ведущем члене совпадает с асимптотикой, полученной в размерном кварковом счете и КХД:
Показано, что этот результат позволяет установить простой функциональный вид кваркового формфактора, содержащего один параметр - среднеквадратичный радиус конституентного кварка. Подраздел 3.6 посвящен модельно независимому определению масс, аномальных магнитных моментов, а также среднеквадратичных радиусов конституентных кварков из данных по электромагнитному формфактору пиона при средних и больших значениях переданных импульсов и по данным о константе лептонного распада пиона.
В четвертой главе производится описание электрослабой структуры мезонов, содержащих один тяжелый кварк. Подраздел 4.1 посвящен краткому описанию современного состояния теории составных систем, содержащих один тяжелый кварк. Кратко излагаются основные выводы эффективной теории тяжелых кварков при описании таких систем. Вводится понятие функции Исгура-Вайзе, для вычисления которой необходимо привлечение непертурбативных подходов. В подразделе 4.2 из форм-факторов полулептонных распадов тяжелых мезонов, полученных в нашем подходе, рассчитывается функция Исгура-Вайзе. Обсуждается аналитическая формула для этой функции. В подразделе 4.3 производится получение явного выражения для наклона функции Исгура-Вайзе при t = 0. Модельно независимым образом установлена верхняя и нижняя границы для этой величины. Ограничения, вычисленные в нашей работе хорошо согласованы с последними экспериментальными данными для нее, полученными коллаборациями на ускорителе LEP и коллаборацией CLEO, а также с расчетами на решетках и с рядом расчетов в правилах сумм КХД. Подраздел 4.4 посвящен расчету констант лептонного распада мезонов, содержащих один тяжелый кварк (В- ,Bt- ,D- ,.0,-мезонов). Для расчетов используется оператор взаимодействия с кулоновским поведением на малых расстояниях и линейным запиранием. Для оператора производится размазывание, зависящее от одного параметра. Волновая функция рассчитывается вариационным методом. Показано, что теоретическая неопределенность в расчетах, связанная с неопределенностью в массах тяжелых кварков не превышает 13%. Значения рассчитанных констант хорошо согласованы с расчетами на решетках и с имеющимися экспериментальными данными. Получено, что релятивистские поправки являются большими и достигают для /Э-мезонов 60% и для В-мезонов 40%. Для оценки поправок по обратной массе тяжелого кварка константы рассчитаны в главном члене по I/TUQ. Получено, что для В-мезонов эти поправки являются незначительными, для D-n. .0,-мезонов достигают 30% и 20% соответственно. Получены модельно независимые ограничения на отношение релятивистского и нерелятивистского значений констант лептонного распада.
Параметризация матричных элементов операторов системы двух взаимодействующих частиц
В настоящем подразделе излагается наш подход к релятивистскому описанию двухчастичных составных систем и их электрослабых свойств. Изложение строится/на базе простой модели; А именно, описывается электромагнитная структура системы, состоящей из двух Сёсспиновых частиц, одна из которых является незаряженной; в 5-состоянии относительного движения. Заметим, что подобная модель использовалась в [13] для демонстрации описания взаимодействия конституентов в рамках мгновенной формы РГД, в частности, при описании спектра состояний такой системы. Мы в нашей работе используем эту простую модель для демонстрации описания электромагнитных свойств в рамках нашей формулировки мгновенной формы РГД. Важно подчеркнуть, что предлагаемый метод носит достаточно общий характер. Использование его для описания более сложных систем проходит по схеме, описанной в данном; подразделе. Изложение будем вести следуя работе [167].
Электромагнитные свойства введенной выше простой системы описываются матричным элементом оператора тока, который выражается через зарядовый формфактор системы: где р с , рс - 4-импульсы составной системы в начальном и конечном состояниях, Q2 = — t , t = ІРс—р с)2 = q2 , Я2 квадрат переданного импульса. Структура формулы (35) определяется только условиям лоренц-ковариантности и законом сохранения и. не зависит от модели внутренней структуры системы. Представление (35) является простейшим примером реализации аналога теоремы Вигнера-Эккарта на группе Пуанкаре. Как известно, эта теорема сформулирована для группы вращений [177], и утверждает, что матричный элемент неприводимого тензорного оператора на группе вращений можно представить в виде произведения ковариантной части, описывающей трансформационные (геометрические) свойства матричного элемента при вращениях, и инвариантной относительно вращений части (приведенного матричного элемента). Приведенный матричный элемент содержит всю физическую информацию о переходе, описываемом данным матричным элементом. Как видно, в выражении (35) также производится выделение приведенного матричного элемента. 4-вектор (рс + р с)ц описывает симметрийные или трансформационные свойства матричного элемента. Приведенный матричный элемент (или форм-фактор) содержит всю динамическую информацию о процессе, описываемом током. При этом в формфакторе обычно не указывается зависимость от еще одной скалярной величины — массы составной системы рс2 = р 2 = Мс2, т.к. матричный элемент по этой величине является диагональным. Представление матричного элемента в терминах формфакторов часто называют параметризацией матричного элемента. Через зарядовый формфактор Fe(Q2) выражается, например, сечение упругого рассеяния электронов на составной системе, таким образом, формфактор является величиной, измеряемой на эксперименте и, значит, вычисление формфактора является одной из основных задач при теоретическом изучении составной системы. В настоящей главе мы будем вычислять формфактор составной системы в рамках мгновенной формы РГД, описанной в предыдущем подразделе. Перечислим теперь условия, которые накладываются на оператор электромагнитного тока при релятивистском рассмотрении (см., например, [15]). Лоренц-ковариантность: Здесь Л - матрица преобразования Лоренца, U{A) - оператор унитарного представления группы Лоренца. Трансляционная инвариантность: U(а) - оператор унитарного представления трансляций. Закон сохранения тока: На языке матричных элементов оператора (У(0)) закон сохранения можно записать так: Здесь д„ - 4-вектор переданного импульса. Преобразования оператора тока при пространственно-временных отражениям В (40) Up - унитарный оператор представления пространственных отражений, UR - антиунитарный оператор представления пространственно-временных отражений, Я=РГ. Условие кластерной сепарабельности. Это условие для оператора тока составной системы может быть сформулировано следующим образом: при выключении взаимодействия оператор тока составной системы равен сумме операторов одночастичных токов. Неренормируемость заряда при включении взаимодействия: электрический заряд системы со взаимодействием равен сумме электрических зарядов конституентов. В настоящей работе явные формулы для формфакторов составных систем выводятся с учетом всех перечисленных условий. Рассмотрим сначала систему двух частиц без взаимодействия, имеющую те же квантовые числа, что и система, описываемая равенством (35). Процессы упругого рассеяния зондирующей частицы, например, электрона на такой системе будут описываться оператором электромагнитного тока свободной двухчастичной системы j {0). Этот оператор может быть вычислен либо в представлении, задаваемом базисом (15), либо в представлении, задаваемом базисом (16). В первом случае оператор выражается через одночастичный ток в соответствии с представлением )(0) = j\fi h- Здесь jip - электромагнитный ток заряженной частицы, її - единичный оператор в гильбертовом пространстве состояний незаряженной частицы.. Матричный элемент одночастичного тока бесспиновой частицы выражается через единственный формфактор - зарядовый формфактор частицы fi(Q2): Таким образом, электромагнитные свойства системы из двух невзаимодействующих частиц описываются, фактически, формфактором /i(Q2), который содержит всю динамическую информацию об упругих переходах, описываемых матричным элементом (41) (см. также [13]). В частности, заряд системы задается значением этого форм-фактора в нуле: где ес - заряд системы.
Запишем теперь матричный элемент электромагнитного тока системы из двух невзаимодействующих частиц в базисе с отделенным движением центра масс (16):
В векторах состояний по сравнению с (16) опущены те переменные, которые в рассматриваемой системе равны нулю, а именно J = S = / = 0. Этот матричный элемент можно рассматривать как матричный элемент неприводимого тензорного оператора на группе Пуанкаре и применить к нему аналог теоремы Вигнера-Эккарта (см. [16]). Как известно, в условиях этой теоремы матричный элемент представляется в виде произведения инвариантной части - приведенного матричного элемента и ковариантной части (для группы вращений это коэффициент Клебша-Гордана), описывающей трансформационные свойства матричного элемента.
Модельно независимое определение параметров конституентных кварков
Проблема полного вычисления формфактора G(s ,Q2 ,s ), включающего учет двухчастичных токов является достаточно трудной задачей. В качестве приближенного решения можно предложить некоторый аналог релятивистского импульсного приближения, которое заключается в том, что в формфакторе G(s ,Q2 , з ) оставить вклад только одночастичных токов, а вклад двухчастичных токов отбросить.
При этом обратим внимание, что ковариантную часть матричного элемента тока Бй в (62) мы изменять не будем, т.е. ковариантная часть матричного элемента тока будет по-прежнему содержать вклад двухчастичных токов и, значит, трансформационные свойства матричного элемента не изменятся.
Таким образом, приближение заключается в том, что мы заменяем в (62) обобщенную функцию G(s, Q2, s ) на обобщенную функцию go(s, Q2, s ) из (45), (49), описывающую, как мы отмечали выше электромагнитные свойства системы из двух свободных частиц. В данном приближении матричный элемент (62) в целом будет содержать вклады (правда, усеченные) двухчастичных токов. Итак, наши выводы не противоречат общим утверждениям (см. [13]), что для выполнения условий лоренц-ковариантности и закона сохранения для оператора тока необходим учет многочастичных токов.
Обсудим теперь модифицированное импульсное приближение с точки зрения теоремы Вигнера-Эккарта для группы Пуанкаре. Матричный элемента тока, содержащего многочастичные токи, в соответствии с теоремой Вигнера-Эккарта для группы Пуанкаре, представим в виде (62), (64). При этом динамическая информация о многочастичных токах содержится в приведенном матричном элементе - формфакторе, а трансформационные свойства вкладов многочастичных токов описываются кова-риантной частью разложения (62). Таким образом; модифицированное импульсное приближение заключается в том, что динамическая часть вклада многочастичных токов в полный ток отбрасывается, а ковариантное часть этих вкладов остается. Т.е. динамика многочастичных токов, описываемая определенным набором параметров, например, константами взаимодействия, остается вне пределов данного приближения. Трансформационные же свойства полного тока в данном приближении не изменяются.
Таким образом, в указанном приближении скалярное равенство (67) перейдет в приближенное скалярное равенство, физически соответствующее релятивистскому импульсному приближению. В развитом математическом формализме при этом физическом приближении мы не нарушили ни лоренц-ковариантности оператора тока, ни закона сохранения тока, кроме того для вычисления формфактора мы не использовали какие-либо выделенные компоненты тока, что имеет место в других математических формулировках РГД (см., например, [3, 26]). Чтобы отличить нашу формулировку импульсного приближения от традиционной, будем называть ее модифицированным импульсным приближением (МИП). Формула для формфактора составной системы в этом приближении будет иметь вид:
Отметим, что равенство (64) и, соответственно, формула (68) может быть формально получена при замене в (53) матричного элемента тока со взаимодействием на ток свободной двухчастичной системы (45) при следующем изменении ковариантной части (46):
Таким образом, построенный нами ток для системы со взаимодействием (точнее матричный элемент тока со взаимодействием) получается из свободного двухчастичного тока включением взаимодействия в ковариантную часть матричного элемента Ац в (45), т.к. в (69) компоненты векторов рс , р с отличаются от векторов свободной двухчастичной системы Р , Р в (16) учетом взаимодействия. Т.е. наш подход не противоречит общему выводу [3], что ток системы со взаимодействием должен зависеть от взаимодействия для выполнения условий лоренц-ковариантности и закона сохранения тока и содержать двухчастичные токи.
Формула (69) дает простой рецепт представления матричных элементов тока взаимодействующей системы в базисе (16) в МИП, опираясь на параметризацию тока свободной системы (45). Рецепт заключается в том, что в векторах параметризации (45), (46) необходимо заменить импульсы центра инерции свободной двухчастичной системы на импульсы составной частицы. Заметим, что этот рецепт будет работать и в случае рассмотрения более сложных систем, которые мы рассмотрим в следующих главах.
Проблему выхода за пределы МИП, т.е. вычисление поправок к свободному двухчастичному формфактору go[s ,Q2 ,з ) в (68) мы в диссертации обсуждать не будем. Это означает, что, например, при описании системы нуклонов мы не будем затрагивать проблему учета обменных мезонных токов.
Обсудим теперь выполнение условий (36)-(40), а также условий кластерной сепарабельности и неренормируемости заряда на электромагнитный ток при включении взаимодействия (см. подраздел 2 настоящей главы). Условия (36)-(39) выполняются в нашем подходе по построению. Условие (40) выполняется тривиально, т.к. в нашей простой модели и формфактор до(з ,Q2 ,з ) в (45), и формфактор G{s,Q2,з ) в (62) являются скалярами. Т.е. выполнение этого условия обеспечивается правильными трансформационными свойствами 4-векторов в (45) и в (62), (64). Отдельно следует обсудить условие кластерной сепарабельности. При увеличении расстояния между частицами (или при выключении взаимодействия) вклад двухчастичных токов в (66) должен обращаться в нуль d(s, Q2, s ) - 0. Это значит, что в представлении матричного элемента тока (66) формфактор G{s , Q2 , s ) должен перейти в формфактор go(s ,Q2\s ), что уже сделано нами в МИП. Волновые функции должны будут интерпретироваться как основные функции, а само интегральное представление (68) как функционал, задающий обобщенную функцию QQ{S,Q2 ,S ). Получившийся матричный элемент выражается через одночастичные токи (48). Таким образом, условие кластерной сепарабельности, выполняется, т.е. ток составной системы переходит в сумму одночастичных токов. Условие неренормируемости заряда при включении взаимодействия в МИП также выполняется тривиально в силу существования слабого предела (47) на основных функциях (61). Из всего сказанного видно, что изложенная процедура построения тока в МИП, отвечает всем условиям, накладываемым на этот оператор. Безусловно вызывает интерес сравнение ИП и МИП в мгновенной форме динамики. Произведем этот сравнение на примере нашей простой модели. Для этого вычислим формфактор пиона в мгновенной форме динамики без процедуры канонической параметризации. В частности, сформулируем ИП не в терминах формфакторов, а в терминах операторов, как это обычно делается. Разложим матричный элемент (35) по набору состояний (15):
Модельно независимые ограничения на наклон функции Исгура-Вайзе
На примере рассматриваемой в настоящем разделе простой модели двухчастичной,. составной системы мы обсудим одну из нерешенных: пока проблем? РГДf- проблему связи этой теории с квантовой теорией поля І [13, 15, 179]. Тот факт, что РГД в отличие от КТП оперирует лишь с конечным числом степеней свободы, делает ее похожей на дисперсионный подход, который в принципе также имеет дело с конечным числом степеней свободы. Однако дисперсионные соотношения, опирающиеся на, аналитические свойства амплитуд рассеяния, матричных элементов, формфакторові в комплексной плоскости энергий имеют довольно строгое обоснование в КТП, т.к. аналитические свойства упомянутых величин можно вывести в рамках КТП [62]. Таким образом, нам представляется, что решать проблему связи РГД и КТП можно не только прямым сравнением одной и другой, но и сравнением РГД с дисперсионным подходом.
В настоящем подразделе мы на примере простой модели проведем сравнение нашей формулировки РГД с так называемым модифицированным дисперсионным подходом к проблеме описания составных адронных систем Этот подход позволил выразить электромагнитные формфактори таких составных систем, в, частности дейтрона, через физическую фазу рассеяния нуклонов и обеспечил хорошее описание экспериментальных данных по упругому е /-рассеянию. Подробное описание такого дисперсионного подхода может быть найдено в [57,63-68] (см. также [69]). Однако непосредственное использование его в описании кварковых систем затруднительно, поскольку имеет место явление невылетания кварков. Тем не менее существуют работы, в идейном плане примыкающие к упомянутым, в которых исследуются формфакт торы адронов как связанных состояний конституентных кварков в рамках техники дисперсионного интегрирования по массе [70].
Изложим кратко, опуская некоторые доказательства, суть модифицированного дисперсионного подхода и выведем формулы для электромагнитного формфактора составной системы для нашей простой модели, следуя работе [57].
Гейзенберговский оператор тока составной системы взаимодействующих частиц в соответствии с (65) представим в виде суммы двух операторов: В (82) j 0 - ток свободной двухчастичной системы (см. (41), (45)). j nt - оператор, включающий в себя взаимодействие. Предположим, что в системе конституентов в нашей модели существуют состояния рассеяния, и вычислим матричный элемент оператора (82) в обкладках из in- к out- состояний. Будем считать, что в состоянии рассеяния частицы находятся в S- состоянии относительного движения. Матричный элемент оператора j будет выражаться через свободный двухчастичный формфактор (45), который уже вычислен нами (49). Матричный элемент оператора учитывающего взаимодействие будет выражаться через формфактор: Знак + соответствует in- состоянию, out- состоянию. Формфактор в (83) име ет кинематические разрезы в комплексной плоскости переменных з , з , идущие по вещественной оси от точки 4 М2 до бесконечности. Запись Gi(s + іє, Q2, з — іє) озна чает, что формфактор аналитически продолжим из физической области переменной л в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости, а по переменной з соответственно в нижнюю. Убедиться в этом можно на простых моделях. Формфактор, параметри зующий полный ток (82), представляется в виде суммы формфакторов: Рассмотрим матричный элемент полного тока. Зафиксируем переменную з, а векторы базиса переменной з свяжем при помощи 5 - матрицы: S{s) = exp(2i J), 5 - фаза рассеяния. S - матрицу можно представить в виде: Выражение (92) дает правильные аналитические свойства формфактора, полученные в квантово-полевом подходе [62]. В частности, оно содержит аномальные точки ветвления, известные по дисперсионному подходу к описанию составных систем (например, к дейтрону). Формула (92) может быть использована для получения формфактора связанного состояния конституентов в 5 - состоянии относительного движения. Для этого необходимо по переменным з,з выполнить аналитическое продолжение выражения (92) в точку связанного состояния з = з — М (Мс - масса связанного состояния) и взять вычеты в полюсах. В результате мы получаем формфактор связанной системы, выраженный непосредственно в терминах S фазы рассеяния конституентов: Постоянная Г2 определяется из условия Fc(0) = ес и учитывает вклад так называемых нефизических разрезов. Скачки функции Иоста выражаются через фазу рассеяния, измеряемую на эксперименте. Свободный двухчастичный формфактор для нашей модели задается формулой (49). FC(Q2) - функционал, порожденный go{3tQ2,s ) на функциях А(з)/(з — Ml). Изложенный формализм в работах [64, 68] был применен к дейтрону и дал хорошее согласие с экспериментами.
Отметим, что формула (93), полученная в модифицированном дисперсионном подходе является вполне аналогичной формуле (68), полученной в МФ. Эта аналогия может быть более явной, если воспользоваться результатами работы [67], где нейтрон-протонная система рассматривалась в нерелятивистском дисперсионном подходе. В этой работе показано, что если амплитуда электрорасщепления дейтрона удовлетворяет представлению Мандельстама, то волновая функция нейтрон-протонной системы является хорошо определенной и может быть выражена в терминах фаз пр - рассеяния. Эта волновая функция удовлетворяет дисперсионному соотношению, и аналитические свойства, используемые при выводе этого соотношения, имеют место для широкого круга феноменологических потенциалов нуклон-ну к лонного взаимодействия. Данное дисперсионное соотношение может быть использован для: вычисления двухнуклонной волновой функции. Из структуры решения видно, что оно является устойчивым как в обычном смысле, так и по отношению к изменению фазовых сдвигов. Волновая функция связанного состояния нейтрона и протона имеет форму (детали вывода см. [67]):
