Содержание к диссертации
Введение
1 Методы описания составных систем 13
1.1 Релятивистские модели составных систем 13
1.2 Основные подходы к описанию дейтрона 23
1.3 Принципы описания составных кварковых систем. Основные подходы к описанию пиона 34
1.4 Описание электромагнитной структуры составных систем в мгновенной форме РКМ 37
2 Асимптотическое разложение дейтронных формфакторов 49
2.1 Асимптотическая оценка п-кратного интеграла 49
2.2 Формфакторы дейтрона в мгновенной форме РКМ . 55
2.3 Асимптотический ряд для дейтронных формфакторов . 57
3 Асимптотика дейтронных формфакторов и современный эксперимент 63
3.1 Асимптотика дейтронных формфакторов для волновых функций юкавского типа 63
3.2 Дейтронные формфакторы при больших переданных импульсах и эксперименты JLab 67
3.3 Вклад обменных мезонных токов в асимптотику дейтронных формфакторов 70
4 Электромагнитная структура пиона при больших переданных импульсах 77
4.1 Формфактор пиона в мгновенной форме РКМ 77
4.2 Асимптотика пионного формфактора 83
Заключение 89
- Основные подходы к описанию дейтрона
- Формфакторы дейтрона в мгновенной форме РКМ
- Дейтронные формфакторы при больших переданных импульсах и эксперименты JLab
- Асимптотика пионного формфактора
Введение к работе
Актуальность
Работа посвящена проблеме релятивистского описания составных систем в ядерной физике и физике частиц.
Все атомы, ядра и большинство так называемых элементарных частиц представляют собой составные системы. Именно поэтому роль корректных методов количественного описания структуры составных систем является очень важной. В нерелятивистской динамике составных систем имеются достаточно надежные методы, опирающиеся на использование модельных или феноменологических потенциалов взаимодействия. Однако для описания процессов, протекающих с участием составных систем, при больших энергиях необходимо развитие релятивистских методов. Более того, даже при низких энергиях описание, например, систем, содержащих легкие кварки, обязательно требует учета релятивистских эффектов. Следует, однако, подчеркнуть, что количественное описание релятивистских адронных составных систем представляет собой весьма сложную задачу, которая в полном объеме вряд ли может быть решена в ближайшие годы, поскольку для этого нужно решить многотельную релятивистскую задачу, да и то еще с далеко не всегда хорошо известным взаимодействием. Применение методов теории поля для решения этой проблемы сталкивается с серьезными трудностями. Так, например, известно, что пертурбативная КХД не может быть применена к проблеме связанных состояний кварков (см., например, [1, 2]). В связи с этим для описания составных адронных систем получили широкое распространение т.н. релятивистские составные модели.
Релятивистские методы описания основываются, как известно, на требовании локальности и ковариантности взаимодействий относительно группы Пуанкаре; удовлетворяя этим условиям, мы приходим к общепринятой локальной релятивистской квантовой теории поля, которую можно сформулировать на языке операторов рождения и уничтожения
частиц. Существенным затруднением при этом является неограниченное число частиц в теории, что приводит к необходимости оперировать с бесконечным числом степеней свободы. В случае описания систем с сильным взаимодействием это, как известно, приводит к серьезным вычислительным проблемам. Данная трудность преодолена в феноменологических релятивистских моделях с фиксированным числом частиц. Такие релятивистски инвариантные методы описания связанных состояний можно разделить на две большие группы: релятивистские квантовые механики (РКМ) и пропагаторные динамики [3]. Методам каждой группы присущи свои достоинства и недостатки. Так, например, существенным достоинством РКМ является исключение состояний с отрицательной энергией, что значительно упрощает расчеты, однако недостатком такого выбора является несохранение свойств локальности и явной ковариантности, присущих теории поля. При включєнирі состояний с отрицательной энергией в пропагаторы частиц мы приходим к пропагаторным динамикам. Недостатком пропагаторных динамик является сложность вычислений в связи с наличием состояний с отрицательной энергией, а также сложность интерпретации результатов. Эти недостатки обходятся по-разному в каждой конкретной реализации проиагаторной динамики.
РКМ обычно формулируется в трех основных формах: мгновенной форме, точечной форме и динамике светового фронта. В диссертации использован метод мгновенной формы РКМ, разработанный таким образом, чтобы удовлетворить условиям релятивистской ковариантности при описании электрослабых свойств систем с конечным числом степеней свободы.
В рамках РКМ в диссертации изучается электромагнитная структура простейших двухчастичных систем: дейтрона как нуклон-нуклонной системы и пиона как двухкварковой системы. Их исследованию посвящено в последнее время много работ [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. Особенность этих систем заключается в том, что они могут быть экспериментально изучены в широкой области переданных импульсов: от небольших до таких, где может быть применима пертурбативная КХД (пКХД). Изучение электромагнитной структуры дейтрона и пиона является, в частности, одним из приоритетных пунктов программы JLab "12 GeV Upgrade" [16]. Модернизация ускорителя на непрерывном электронном пучке позволит быстро набрать необходимую статистику и получить экспериментальные данные по упругому электрон-дейтронному
и электрон-пионному рассеянию при больших переданных импульсах с высокой точностью. И для дейтрона, и для пиона в этих экспериментах предсказывается проявление режима пКХД. Вообще говоря, вопрос о переходе от непертурбативного режима к пКХД до сих пор является открытым. Проведенные к настоящему времени эксперименты пока не достигли той области переданных импульсов, когда описание в терминах пКХД является оправданным. Отметим также, что до сих нор нет единства даже в предсказаниях относительно нижней границы перехода к режиму пКХД. Так, для дейтрона она варьируется в пределах 9-20 ГэВ2 [16]. Что касается пиона, то ожидается, что для его описания пКХД можно будет применять при более низких квадратах переданных импульсов по сравнению с другими составными системами, возможно, начиная с 5 ГэВ2 [15, 16].
Предсказания пКХД справедливы для асимптотически больших переданных импульсов, так что область будущих экспериментов JLab может рассматриваться как асимптотическая для дейтрона и пиона. В связи с этим появляется задача изучения асимптотического поведения форм-факторов дейтрона и пиона при Q2 —» со. Решение этой задачи в рамках составных моделей позволяет, в частности, прояснить проблему перехода от непертурбативного режима к пертурбативному. Таким образом, исследование формфакторов пиона и дейтрона при больших переданных импульсах, проводящееся в диссертационной работе, инициировано планирующимися экспериментами JLab, лежит в русле современных теоретических исследований этих систем и, несомненно, является актуальным.
Цель диссертационной работы
Целью диссертации является исследование электромагнитной структуры двухчастичных составных систем в области переданных импульсов, которые будут достигнуты в ближайших экспериментах в JLab, а также в области асимптотических переданных импульсов. Для изучения асимптотического поведения электромагнитных формфакторов была доказана теорема о разложении n-кратных интегралов некоторого специального вида в асимптотический ряд. Применяя доказанную теорему к формулам для формфакторов дейтрона и гоюна, мы исследовали их асимптотическое поведение; из сравнения с планируемыми результатами шюнных экспериментов получены ограничения на параметры составной кваркової! модели.
В основе диссертации лежат результаты работ, выполненных автором в 2005-2008 гг в Самарском государственном университете. Научная новизна и практическая ценность работы
Для исследования асимптотического поведения электромагнитных формфакторов дейтрона и пиона при больших переданных импульсах необходимо провести асимптотическое разложение двукратных интегралов, которые входят в соответствующие формулы. Для этого в диссертации доказана теорема об асимптотическом разложении n-кратных интегралов, точка максимума подынтегральной функции которых лежит на границе области интегрирования, а зависимость функции в экспоненте от большого параметра более общая, нежели в классическом методе Лапласа. С помощью доказанной теоремы исследовано асимптотическое поведение формфакторов дейтрона и пиона, оценен вклад мезонных токов в дейтронные формфакторы, получены ограничения на плохо известные вершинные мезон-нуклоиные формфакторы, на параметры составной кварковой модели. Получен фит экспериментальных данных по упругому электрон-дейтронному рассеянию при наибольших достигнутых сегодня переданных импульсах, произведено сравнение теоретической асимптотики с фитом. Сделан вывод о достижении экспериментом асимптотики, предсказываемой двухнуклонной моделью дейтрона pi релятивистской кварковой моделью пиона.
Полученные в работе результаты могут найти применение при обработке результатов проведенных и планировании новых экспериментов по исследованию электромагнитной структуры составных систем в различных ускорительных центрах мира, в частности, при интерпретации экспериментов JLab.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием общепринятого и обоснованного формализма релятивистской квантовой механики, строгих методов асимптотических оценок, а также совпадением расчетов с современным экспериментом.
На защиту выносятся следующие основные результаты
Сформулирована и доказана теорема об асимптотическом разложении n-мерных интегралов некоторого специального вида.
При помощи доказанной теоремы получен асимптотический ряд для электромагнитных формфакторов дейтрона в релятивистском и нерелятивистском импульсном приближениях. Показано, что в современном эксперименте JLab по упругому электрон-дейтронному рассеянию до-
стигнута асимптотика релятивистской нуклон-нуклонной модели дейтрона.
Показано, что при больших переданных импульсах для учета кварковои структуры дейтрона необходимо модифицировать волновую функцию дейтрона в нуле. Указан явный вид модификации, который дает асимптотику, совпадающую с асимптотикой, предсказываемой пКХД.
Получен вклад асимптотики обменных мезонных токов в формфак-торы дейтрона, т.е. проведено исследование электромагнитной структуры дейтрона за рамками импульсного приближения. Из сравнения асимптотических расчетов с современными экспериментальными данными получены ограничения на явный вид вершинных мезон-нуклонных формфакторов, в частности, отказ от модели векторной мезонной доминантности для ^^-формфактора.
При помощи доказанной теоремы получен асимптотический ряд для электромагнитного формфактора пиона. Показано, что современные экспериментальные данные по упругому пион-электронному рассеянию описываются релятивистской кварковои моделью при наложении ограничений на массу конституентных кварков.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных форумах: международной конференции "Квантовая теория поля и физика высоких энергий (QFTHEP)" (Самара-Саратов, 2003), конференции "Проблемы связанных состояний в квантовой теории поля" (Самара, 2004), XVII и XIX международном семинаре им. A.M. Балдина по проблемам физики высоких энергий (Дубна, 2004, 2008), конференции "Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века" (Самара, 2005), конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века"(Самара, 2005), научной сессии-конференции секции ядерной физики ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий"(Москва, 2005, 2007; Протвино, 2008), X международном семинаре по квантовой оптике (Самара, 2007), рабочем семинаре GSI (Дармштадт, Германия, 2008), международной конференции "Light Cone 2008: Relativistic Nuclear and Particle Physics" (Мулюз, Франция, 2008), международной конференции по математической физике и ее приложениям (Самара, 2008), а также на регулярных научных семинарах в Самарском государственном университете, ЫИИЯФ МГУ, ЛТФ ОИЯИ.
Публикации
По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ, в том числе: в журналах из списка ВАК - 4 [17, 18, 19, 20], в журналах, не входящих в список ВАК - 4 [21, 22, 23, 24], в трудах конференций - 5 [25, 26, 27, 28, 29].
Личный вклад автора
Участие автора является определяющим при получении результатов, составивших основу диссертации. В частности, автором лично разработан метод асимптотического разложения кратных интегралов некоторого специального вида, проведен расчет асимптотики формфакторов дейтрона и пиона. Опираясь на результаты асимптотических расчетов, автор получил ограничения на вершинные мезон-нуклонные формфак-торы, поведение дейтронной волновой функции на малых расстояниях, параметры составной кварковой модели.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии из 157 наименований, 2 приложений. Она содержит 12 рисунков. Общий объем диссертации составляет 110 страниц.
Содержание работы
Введение содержит краткую характеристику темы исследования, формулировку целей работы и описание структуры диссертации. В конце введения отмечается личный вклад автора в полученные результаты и апробация работы.
Первая глава. Методы описания составных систем. Глава носит обзорный характер. В ней рассматриваются различные теоретические подходы к описанию составных систем, в частности, дейтрона и пиона.
Первый параграф посвящен рассмотрению релятивистских моделей описания двухчастичных состояний. Описано разделение релятивистских методов на 2 основные группы: РКМ и пропагаторные динамики. Подробно рассмотрены основы и характерные особенности каждой группы, их достоинства и недостатки.
Во втором параграфе рассматриваются основные релятивистские подходы к описанию дейтрона. Кратко изложено построение уравнения Бете-Сол питера и его различных квазипотенциальных редукций в конкретных моделях пропагаторных динамик, дан обзор результатов. Изложено построение матричного элемента оператора тока в конкретных моделях РКМ, указаны их основные трудности, результаты.
В третьем параграфе рассматриваются основные подходы к описанию составных кварковых систем, в частности, пиона. Рассмотрены основные положения квантовой хромодинамики, связь между КХД и составной кварковой моделью (СКМ), различные способы релятивизации СКМ (модель Намбу-Йона-Лазинио, квазипотенциальный подход и др.)
В четвертом параграфе рассмотрено применение мгновенной формы РКМ в формулировке Крутова и Троицкого к описанию составных систем. Именно на этом подходе основана диссертационная работа. Узловым моментом этого метода является построение матричного элемента оператора тока изначально релятивистски ковариантным образом с помощью общего метода параметризации матричных элементов локальных операторов, предложенного Чешковым и Широковым [30]. Приведены формулы для электромагнитных формфакторов дейтрона и пиона в виде двукратных интегралов от произведения феноменологических волновых функций и свободного двухчастичного формфактора, описывающего электромагнитные свойства двухчастичной системы без взаимодействия. Показано, что в таком подходе релятивистская волновая функция отличается от нерелятивистской только условиями нормировки с релятивистской плотностью состояний.
Вторая глава. Асимптотическое разложение дейтронных формфакторов посвящена анализу представления дейтронных форм-факторов и нахождению их асимптотического разложения.
Первый параграф посвящен нахождению асимптотики интегралов некоторого специального вида. Анализ подынтегральных функций в формулах для формфакторов дейтрона и пиона показывает, что интегралы такого вида не сводятся к классическим интегралам, рассматриваемым в литературе по асимптотическим оценкам. Для интегралов, используемых в диссертации, в литературе даются только лишь некоторые оценки. В данной главе доказана теорема об асимптотическом разложении n-кратных интегралов, у которых точка максимума находится на границе области интегрирования, причем она не является точкой экстремума. Сформулирована и доказана лемма, определяющая, при каких условиях можно ограничиться рассмотрением только малой окрестности точки максимума при интегрировании. Получен асимптотический ряд для интегралов, соответствующих условиям леммы.
Во втором параграфе рассматривается представление формфакторов дейтрона в мгновенной форме релятивистской квантовой механики в ви-
де двойных интегралов. Исследован переход от дейтронных волновых функций юкавского типа к волновым функциям, разложенным по полиномам Лагерра. Такое разложение удобно для нахождения асимптотики дейтронных формфакторов.
Третий параграф посвящен получению с помощью додказанной теоремы асимптотического ряда для дейтронных формфакторов с дейтрон-ными волновыми функциями, представленными в виде разложения по полиномам Лагерра.
Третья глава. Асимптотика дейтронных формфакторов и современный эксперимент посвящена анализу асимптотического поведения дейтронных формфакторов при больших переданных импульсах и его сравнению с экспериментальными данными при наибольших достиг-нутных сегодня переданных импульсах.
В первом параграфе рассматривается нахождение асимптотики дейтронных формфакторов в терминах волновых функций юкавского типа. За основу мы берем ряд, полученный в терминах волновых функций, разложенных по полиномам Лагерра. В этом ряде мы возвращаемся к волновым функциям типа Юкавы, получая асимптотический ряд в их терминах. Асимптотика дейтронных формфакторов находится для релятивистского и нерелятивистского случаев.
Второй параграф посвящен сравнению нерелятивистской и релятивистской асимптотик. Изучается роль релятивистских поправок в асимптотической области. Производится сравнение асимптотичских расчетов с полученным в работе фитом экспериментальных данных по упругому электрон-дейтронному рассеянию при наибольших достигнутых в настоящее время переданных импульсах. Сравнение показывает, что современный эксперимент вышел на асимптотику релятивистской нуклон-нуклонной модели. Далее исследуется соответствие между феноменологической нуклонной моделью и квантовой хромодинамикой. Как известно, при больших переданных импульсах существует строгое предсказание на степень спадания по переданному импульсу, следующее из правил кваркового счета и пертурбативной квантовой хромодинамнки. В диссертационной работе получено условие на поведение дейтронных волновых функций в нуле в нуклон-нуклонной модели, налагая которое, можно получить асимптотику дейтроных формфакторов, совпадающую с асимптотикой кваркого счета и пКХД.
Наконец, в третьем параграфе исследуется роль вкладов обменных
мезонных токов в электромагнитные формфакторы дейтрона. В выражения для обменных мезонных токов входят плохо известные в настоящее время вершинные мезон-нуклонные формфакторы. Из сравнения рассчитанной асимптотики с фитом экспериментальных данных получены ограничения на ttNN—, pNN— и р7Г7-формфакторы. Так, например, для /Ж7~формфактора при больших переданных импульсах необходим выход за рамки модели векторной мезонной доминантности.
Четвертая глава. Электромагнитная структура пиона при больших переданных импульсах посвящена исследованию поведения пионного формфактора в области больших переданных импульсов.
Первый параграф посвящен изучению поведения пионного формфак-торов в зависимости от параметров составной кваркової! модели в области наибольших достигнутых в настоящее время переданных импульсов, а также в области ближайших экспериментов JLab. Исследуется также зависимость от феноменологических шюнных волновых функций. Получено, что при больших переданных импульсах важен не столько вид волновой функции, сколько значение массы кварка. Установлено, что при больших переданных импульсах следует использовать малые массы кварков: т ~ 0.22 ГэВ.
Второй параграф посвящен изучению асимптотического разложения пионного формфактора при больших переданных импульсах. Асимптотика изучается как в пределе точечных кварков, так и с введением форм-факторов кварков. Показано, что для успешного описания экспериментальных данных необходимо вводить в модель структуру кварков. Проводится аналогия с моделью Намбу-Иона-Лазинно. Также показано, что в пределе малой массы кварка асимптотика составной кварковой модели совпадает с асимптотикой пертурбативной КХД: F-Jl{Q2)Q2 = Const (с точностью до логарифмических поправок). В связи с этим делается предположение о том, что ожидаемые экспериментальные данные по упругому электрон-пионному рассеянию могут сигнализировать не о наступлении режима пКХД, а о наступлении асимптотического режима СКМ с зависимостью массы кварка от переданного импульса. Предлагается явный вид такой зависимости.
В заключении сформулированы основные результаты, представленные в диссертации.
Основные подходы к описанию дейтрона
Одной из наиболее изученных составных систем в ядерной физике является дейтрон, который на протяжении уже нескольких десятилетий находится в фокусе теоретических и экспериментальных исследований. Представление о развитии этой области физики за эти годы можно составить из обзоров [3, 36, 37, 38, 39]. Причины большого внимания к этой ядерной системе хорошо известны, во-первых, это единственная 2-х частичная ядерная система ("атом водорода" в ядерной физике) является стабильной и может быть исследована экспериментально с большой точностью. Во-вторых, в силу наличия большого количества надежной экспериментальной информации эта система является первым тестом любой модели нуклон-нуклонного взаимодействия. В-третьих, изучение структуры дейтрона может дать информацию о роли таких эффектов в ядрах как вклады А- изобар, обменных мезонных токов, iViV-нар и т.д. В-четвертых, изучая структуру дейтрона на малых расстояниях (в реакциях рассеяния при больших передачах импульса) можно получить информацию о роли кварковых степеней свободы в ядерных системах. В-пятых, в силу своей простоты дейтрон является хорошим объектом для построения новых подходов к составным системам вообще, например, при построении релятивистских методов описания составных систем. В-шестых, в силу малой энергии связи дейтрон является источником информации о внутренней структуре составляющих его нуклонов, особенно это касается распределения электрического заряда в нейтроне в связи с отсутствием мишеней из свободных нейтронов. В наше время, на новом витке развития ядерной физики, исследование процессов с участием дейтрона, несомненно, позволит решить многие современные, теперь уже релятивистские, проблемы ядерной физики. Результаты исследования электромагнитной структуры дейтрона за последние годы описаны в больших обзорах [3, 4, 39, 40].
Особенность современных исследований состоит в том, что они нацелены главным образом на выявление внутренней структуры дейтрона в области относительно малых расстояний или, что то же самое, в области больших относительных импульсов нуклонов. Замечательными достижениями здесь являются обнаружение мезонных степеней свободы в ядре и выявление явно релятивистских эффектов. С экспериментальной точки зрения идеальным инструментом для изучения электромагнитных свойств дейтрона является упругое электрон-дейтронное рассеяние. Современное развитие этих экспериментов связано с появлением высокоинтенсивных (непрерывных) электронных пучков, позволяющих значительно повысить точность, а также про водить эксперименты с поляризованными частицами. В первую очередь это касается ускорителя в JLab, где программа экспериментального изучения дейтрона при промежуточных энергиях является весьма обширной [41]. Отметим последние экспериментальные работы по исследованию электромагнитной структуры дейтрона в промежуточной области энергий. Во-первых, это работы по прецизионному измерению функции A(Q2) (Q2 = — q2 , q - переданный импульс) в области квадратов переданных импульсов от 0.66 до 6.0 ГэВ2 [42, 43], во-вторых, работы по измерению поляризации в erf-рассеянии и получению информации о зарядовом и квадрупольном формфакторах дейтрона [44, 45, 46] до 1.717 ГэВ2. В связи с большим прогрессом в экспериментальном изучении дейтрона в литературе последних лет очень большое внимание уделяется теоретическому описанию электромагнитной структуры дейтрона (см., например, [5, 6, 7, 8, 33, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61], а также [3, 39] и ссылки там приведенные). В области переданных импульсов Q 0.5 ГэВ упругое ed - рассеяние достаточно хорошо описывается нерелятивистскими потенциальными моделями NN - взаимодействия [3]. Однако с ростом переданных импульсов существует растущее рассогласование между экспериментом и нерелятивистскими расчетами. Это различие может быть объяснено комбинацией релятивистских эффектов, обменных мезонных токов (токов взаимодействия), а также эффектов кварковой структуры на малых расстояниях. Особую важность представляет последовательный учет релятивизма, т.к. учет других эффектов является в настоящее время во многом феноменологическим.
Рассмотрим подробнее некоторые релятивистские подходы к описанию электромагнитной структуры дейтрона. Начнем с двух наиболее широко известных подходов в рамках пропагаторных динамик. Подходы, основанные на пропагаторной динамике. Авторы т.н. спектаторного подхода используют для описания NN-рассеяния и дейтронного связанного состояния спектаторпое уравнение [62]. Релятивистское ядро, использованное для описания NN системы, включает обмен 6 мезонами (7Г,7/,(7,5(ао),р,си). Эта модель включает в себя формфактор нуклона вне массовой оболочки [21], что дает "одетый" пропагатор одиночного нуклона в виде где AJV является одним из параметров модели. Остальные параметры (всего 13) определены фитированием экспериментальных данных. В этом подходе рассчитана релятивистская дейтронная волновая функция. На однонуклонный ток накладывается условие Уорда-Такахаши:
Формфакторы дейтрона в мгновенной форме РКМ
В нерелятивистском импульсном приближении общепринятые формулы для электромагнитных формфакторов дейтрона могут быть записаны следующим образом (см., например, [116]): i,v Здесь щ (к) - дейтронные волновые функции в импульсном представлении, I , / = 0,2 - орбитальные моменты, д$ъ{к ,Q2 ,к ) , г — С, Q, М -т.н. зарядовый, квадрупольный и магнитный нерелятивистские свободные двухчастичные формфакторы соответственно, Md - масса дейтрона. Явный вид дм приведен в Приложении 1. Обсудим кратко типы существующих модельных дейтронных волновых функции. Все известные дейтронные волновые функции можно, по-видимому, разделить на следующие классы: полученные методом микроскопических модельных гамильтонианов iViV-взаимодеііствия в нерелятивистской ядерной физике (в качестве примера см. [117]), выведенные из амплитуд рассеяния в подходе Бете-Солпитера и его различных квазипотенциальных редукциях (см., например,[118]), волновые функции Пуанкаре-инвариантной квантовой механики (как пример, см. волновые функции в мгновенной форме РКМ [102, 103, 106, 104, 119]), а также волновые функции вычисляемые в различных постановках обратных задач рассеяния [120, 121, 122]. Однако независимо от способа вычисления любую волновую функцию без ограничения общности можно представить в виде следующего разложения по полиномам Лагерра (см., например, [122]): в координатном представлении: (2.22) где L "1/2(a:) — обобщенные полиномы Лагерра, размерный параметр г0 может быть связан со средним квадратичным радиусом дейтрона (см. Главу 3). Вообще говоря, при больших переданных импульсах мы должны учитывать вклад релятивистских эффектов в электромагнитную структуру дейтрона. Релятивистское описание дейтрона в нашем подходе производится в формализме мгновенной формы релятивистской гамильтоновой динамики, развитом в работах [102, 103, 104, 106, 119].
В этом методе формфакторы могут быть представлены с помощью выражений, аналогичных нерелятивистскому случаю (2.20). Соответствующие общие формулы в релятивистском импульсном приближении получены в работе [103]: Здесь (pi(s) - волновые функции дейтрона в смысле РКМ, 9oi(s , Q2 , -s7) , г С, Q, М, — зарядовый, квадрупольный и магнитный релятивистские свободные двухчастичные формфакторы соответственно, явный вид их дан в Приложении 2. Волновые функции дейтрона в смысле РКМ являются решением задачи на собственные значения для оператора квадрата массы дейтрона (см., например, [106]): Эта задача совпадает с нерелятивистским уравнением Шредингера с точностью до второго порядка по энергии связи дейтрона 2d: є2,/(4М), значение которой очень мало, Ed = 2.2 МэВ (М — масса нуклона). Поэтому волновые функции в смысле РКМ отличаются от нерелятивистских волновых функций фактически только условиями нормировки, а именно, они нормируются с релятивистской плотностью состояний: Нерелятивистские формулы (2.20) получаются из релятивистских формул (2.23) естественным образом путем перехода к нерелятивистскому пределу, что является отличительной особенностью нашего релятивистского подхода. Найдем сначала асимптотическое разложении дейтронных формфакторов в нерелятивистском случае. Это обосновано относительной простотой нерелятивистских формул, так что нерелятивистские расчеты более прозрачны. Релятивистские расчеты проводятся по аналогичной схеме, однако они являются гораздо более громоздкими. Более того, нерелят-вистские асимптотические расчеты представляют интерес и потому, что нерелятивистские выражения для формфакторов (2.20) являются общепринятыми, поэтому их асимптотическое разложение носит универсальный характер. Релятивистские выражения для формфакторов, а значит и их асимптотические разложения, зависят от метода релятивизации двухнуклоннои модели. Нерелятивистские вычисления также интересны, поскольку они помогают прояснить роль релятивистских эффектов в электромагнитной структуре дейтрона при асимптотических переданных импульсах. Как было показано ранее, формфакторы дейтрона в нерелятивистском импульсном приближении представляются в виде двойных интегралов (2.20). Найдем их асимптотическое разложение, используя доказанную нами теорему. Расчет проведем на примере зарядового формфактора, при этом из суммы (2.20) будем оценивать только слагаемое при I = I — 0.
Асимптотика всех других членов в суммах для формфакторов (2.20) вычисляется совершенно аналогично. Используя (2.21), запишем соответствующее слагаемое при / = V = 0 для зарядового формфактора в (2.20) в виде: S(k, к ) = - - (/с2 + к 1) . (2.26) Выражение для дс(к , Q2 , к ) можно найти в Приложении 1. В рассматриваемом случае размерность пространства п = 2, (яъ#2) = {к,к ), A = Q2 — большой положительный параметр. Граница области интегрирования определяется обрезающими -функциями в с/ос(к, Q2 ік ) и показана на рис. 2.1. Положение точки максимума функции S может быть найдено из анализа (2.26) и ддс(к ,Q2 ,к ): Перейдем к новому базису, как было описано выше. Сдвинем начало координат в точку максимального значения функции S, повернем полученную систему координат таким образом, чтобы внутренняя нормаль к границе в начале координат совпадала с последним ортом. Эта процедура проиллюстрирована на Рис. 2.1. Другими словами, мы переходим в (2.25) к новым переменным: При такой замене функция S(k, к ) получает зависимость от большого параметра Q2: Функции S (Q2,t,tr) , Poc( з Q2 к ) и граница области интегрирования удовлетворяют условиям теоремы 1, 3, 4. Положение точки, удовлетворяющей условиям (2.6), (2.7), определяется простым анализом функции
Дейтронные формфакторы при больших переданных импульсах и эксперименты JLab
Интерес представляет сравнение полученных асимптотических предсказаний с существующими экспериментальными данными.Фитируя существующие экспериментальные точки для семи самых высоких достигнутых на сегодняшний день значений переданного импульса [128] в области 3.040-5.955 (GeV/c)2 степенной функцией, мы получаем следующую оценку (3.13) при нормированном \2 = 1-34: Сравнивая (3.16), (3.20) и (3.21), приходим к выводу, что степень спадания существующих экспериментальных точек в пределах погрешностей интерполяции описывается релятивистской формулой (3.20). Заметим, что этот результат не зависит от выбора конкретной модели нуклон-нуклонного взаимодействия и определяется фактически только общими условиями (3.6), (3.7). Таким образом, можно утверждать, что достигнутая в последних экспериментах JLab в настоящее время область переданных импульсов является асимптотической для нашей релятивистской двухнуклонной модели дейтрона. Отметим, что это касается только нашего релятивистского подхода. Например, в релятивистском подходе [126] асимптотика убывает быстрее, чем экспериментальные данные, и даже быстрее, чем предсказывает кварковый счет. Численное сравнение наших асимптотических предсказаний (3.19) (включая константу) для различных моделей взаимодействия [117, 122, 129, 130] с экспериментальными данными для A(Q2) демонстрирует, что наша теоретическая кривая лежит ниже экспериментальных точек. То же самое справедливо для полных (без асимптотического разложения) релятивистских расчетов с использованием (2.21), (3.14), (2.23), (3.3) [124]. Релятивистские эффекты сдвигают кривую ближе к экспериментальным точкам по сравнению с нерелятивистским случаем. Сравним наш результат с результатами кваркового подхода и КХД. При Q2 —» со в этих подходах существует точно установленное предсказание на поведение обобщенного дейтронного формфактора (без учета логарифмических поправок): Очевидно, что это предсказание не совпадает с результатами современ ного эксперимента (3.21). Другими словами, кварковые степени свободы при доступных переданных импульсах не наблюдаются. Надежда "увидеть" их связана с возможностью получения в будущих экспериментах JLab отклонения от степенного спадания A(Q2) и F Q2), предсказываемого нашей релятивистской моделью (3.19), (3.20) PI сегодняшним экспериментом (3.21). На рис. 3.1 представлены предсказываемые результаты будущих экспериментов JLab [16].
Насыщение интерпретируется как проявление кварковых степеней свободы [16]. Можно видеть, что это имеет место в области Q2 10 (GeV/c)2, где прогнозируемые точки отклоняются от нашего фита (3.21). Обсудим еще одну проблему, связанную с дейтронными формфакторами, а именно, возможность инкорпорировать предсказания КХД в нуклон-нуклоиную динамику. Одна из возможностей получения асимптотического поведения (3.22) в нуклонной физике связана с наложением некоторых условий на нуклопные формфакторы в (3.8)-(3.10). Тем не менее, такой подход не может рассматриваться как самосогласованный. Более корректным является использование предсказаний КХД ( Q A) при Q2 — оо с дипольным фитом (3.12), используемым при получении асимптотических оценок (3.16), (3.20). Мы сформулируем проблему следующим образом: как должны себя вести волновые функции на малых расстояниях или, другими словами, как должен измениться нуклон-нуклопный потенциал для получения асимптотического поведения дейтронных формфакторов, предсказываемого КХД? Анализ показывает что, асимптотическое поведение, предсказываемое кварковой моделью, может быть получено в формализме нуклонной динамики, если s-волновая функция на малых расстояниях будет вести себя следующим образом: Таким образом, в нуле сохраняется стандартное линейное поведение самой функции но (г), а вторая производная зануляется. Это означает, что наряду с условиями (3.7) на s-волновую функцию (2.21) будет наложено дополнительное условие: з Итак, мы решили своего рода обратную задачу: найдено условие для дейтронної! волновой функции, которое дает асимптотическое поведение дейтропных электромагнитных формфакторов в двухнуклонной модели дейтрона, совпадающее с предсказаниями КХД. Наличие кварковых степеней свободы изменяет поведение дейтронной волновой функции (2.21), в соответствии с условиями (3.24), (3.23). В традиционной ядерной физике описание системы N нуклонов не предусматривает наличие в ядре в явном виде других частиц.
Однако при таком описание существует значительное расхождение теоретических предсказаний с экспериментальными данными, которое может быть снято, если учитывать обмен нуклонов мезонами. Так, в настоящее время присутствие мезонов в дейтроне позволяет описать полное сечение теплового захвата нейтронов протонами. Причем других серьезных причин для объяснения экспериментального сечения указать нельзя. В электроразвале дейтрона сечение измерено в области небольших передач импульса, и здесь размораживание мезонных и барионных степеней свободы оказалось решающим. И фотозахват нейтрона, и электроразвал дейтрона объединяет то обстоятельство, что в эти процессы дают вклад нзовек-торные обменные мезонные токи (ОМТ). В трактовке же изоскалярных
Асимптотика пионного формфактора
Как было сказано выше, в ближайших экспериментах по упругому электрон-пионному рассеянию ожидается выход на режим, предсказываемый пертурбативной КХД и правилами кваркового счета [149J: F-z{Q2)Q2 Const. Однако достаточны ли высоки переданные импульсы в экспериментах JLab для этого? Иными словами, действительно ли выход на такую асимптотику будет сигнализировать о проявлении пКХД? Как мы покажем ниже, асимптотика составной кваркової! модели также предсказывает режим, ожидаемый в эксперименте. Иными словами, если реальные экспериментальные данные, которые будут получены в JLab, совпадут с прогнозом, то это может сигнализировать как о проявлении пКХД, так и о выходе на асимптотический режим, предсказываемый составной кваркової! моделью. Следует отметить, что против первого говорит, в частности, несовпадение расчетов в пКХД [157] с ожидаемыми результатами [16]. По-видимому, режим пКХД при описании электрического пионного формфактора проявится при больших переданных импульсах, чем это запланировано в JLab. Итак, изучим асимптотику электромагнитного формфактора пиона (4.1) при Q2 — оо в рамках нашего подхода в модели (4.5). В Главе 2 была доказана теорема об асимптотическом разложении интегралов некоторого специального вида. Применим ее для нахождения асимптотического разложения электромагнитного формфактора пиона по обратным степеням Q2. Рассмотрим сначала приближение точечности конституентных кварков: (Гд) = 0, кд = 0 в (4.3). Выпишем два первых члена асимптотического ряда: В случае учета электромагнитной структуры конституентных кварков (4.3), (4.4) первые два члена асимптотического разложения примут вид:
Произведем численное сравнение асимптотических разложений для пионного формфактора (4.12), (4.13) с ожидаемыми экспериментальными результатами. Как видно из рис. 4.2, первые члены асимптотических рядов в случае как бесструктурных (4.12) (линия, изображенная короткими штрихами), так и с учетом структуры кварков (4.13)(линия, изображенная длинными штрихами) при больших переданных импульсах приближенно выходят на константу. Заметим вместе с тем, что расчет с учетом структуры кварков существенно улучшает согласие с экспериментальными данными. Выполним в асимптотических разложениях (4.12), (4.13) предельный переход М/Ь —г- 0. С точки зрения физических значений параметров модели это означает, что М/Ъ С 1- Физический смысл этого предельного перехода заключается в том, что при увеличении переданных импульсов происходит "раздевание"конституентного кварка, т.е его освобождение от кварк-глюонной "шубы" , и превращение его в токовый кварк пКХД. Формулы (4.12), (4.13) переходят в указанном пределе в следующие: Подчеркнем, что степень спадания по переданному импульсу в (4.14), полученная указанным способом в модели конституентных кварков, совпадает с ожидаемым поведением в будущем эксперименте JLab, а также с поведением, предсказываемым пКХД. Обратим внимание, что учет электромагнитной структуры конституентного кварка в виде (4.3), (4.4) дает логарифмическую поправку, что также допускается пертурбатив-ной КХД. Сравнение выражений (4.14), (4.15) с ожидаемыми результатами показывает, что (4.14) лежит значительно (примерно в пять раз) выше, что и показано на рисунке 4.2 жирной сплошной линией.
На рисунке также видно, что асимптотический расчет (4.15) (линия, изображенная штрихами с точками) значительно лучше согласуется с экспериментальными данными, хотя в области планируемых переданных импульсов лежит все еще выше ожидаемых точек. Выполнение условия М/Ъ С 1 требует специального рассмотрения. В частности, это условие не выполняется в наших расчетах в модели (4.5) по формулам (4.1),(4.2), (4.11) при условиях (4.8), (4.9) ни при каких значениях масс конституентных кварков. Можно также усомниться в применимости предельного перехода М/b 1в данной области переданных импульсов, т.к. при уменьшении массы кварков "пучки"кривых поднимаются вверх, т.е. удаляются от эксперимента. По-видимому, предельный переход М/b — 0 будет справедлив при значительно более высоких переданных импульсах, когда конституентные кварки перейдут в
