Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Кинематика неупругого рассеяния заряженного лептона на нуклоне 15
1.1. Основные обозначения 15
1.2. Границы кинематической области 17
1.2.1. Лептонная вершина 17
1.2.2. Адронная вершина . 20
1.3. Кинематика неупругого рассеяния для квазиулругого случая 23
1.4. Сечение неупругого рассеяния на протоне ; 28
1.5. Кинематические коэффициенты , 31
ГЛАВА 2. Анализ основных предельных случаев неупругого рассеяния 37
2.1. Квазиупругое рассеяние 37
2.1.1. "Наивная" партонная модель 37
2.1.2. Учет отдачи мишени 39
2.1.3. Система эволюционных уравнений,... ; 41
2.1.4. Эволюционное уравнение для распределений валентных кварков .. 43
2.1.5. Решение уравнения для несинглетной комбинации 45
2.1.6. Структурная функция протона в квазиупругом пределе 46
2.2. Предел фоторождения 50
2.2.1. Модель доминантности векторных мезонов 50
2.2.2. Сечение фоторождения .. 54
2.2.3. Сечение фоторождения в резонансной области 58
2.2.4. Неупругое рассеяние в пределе малых Q2 59
2.2.5. Область высоких энергий 61
ГЛАВА 3. Структурные функции протона во всей кинематической области 65
3.1. Единый подход к описанию неупругого рассеяния 65
3.2. Связь между предельными случаями 67
3.2.1. Скейлинговые переменные 67
3.2.2. Переходная область 70
3.2.3. Область малых хв 72
3.3. Описание структурных функций для любых хв и Q2 77
3.3.1. Структурная функция протона F2 77
3.3.2. Продольная структурная функция 80
3.3.3. Производные структурной функции 83
ГЛАВА 4. Неупругое рассеяние заряженных лептонов в веществе 86
4.1. Сечение неупругого взаимодействия заряженного лептона с протоном, 86
4.1.1. Дважды дифференциальное сечение неупругого рассеяния 86
4.1.2. Полное сечение неупругого рассеяния на протоне 89
4.1.3. Поведение сечения в области малых Q2 91
4.1.4. Учет нуклонных резонансов , 94
4.2. Ядерные эффекты 97
4.2.1. Формализм неупругого рассеяния на ядрах 97
4.2.2. Краткий обзор исследования ядерных эффектов 99
4.2.3. Описание ядерных эффектов 102
4.3. Полное сечение и потери энергии при неупругом взаимодействии 107
4.3.1. Сечение неупругого рассеяния заряженных лептонов на ядрах 107
4.3.2. Коэффициент потерь энергии на неупругое рассеяние 109
4.3.3. Влияние различных приближений при расчетах Ьпцс] 112
4.4. Неупругое рассеяние мюонов на большие углы 115
4.4.1. Уравнение переноса 115
4.4.2. "Нулевое" приближение 116
4.4.3. Неупругое рассеяние на большие углы 117
4.4.4. Пределы интегрирования 118
4.4.5. Критический угол 120
Заключение 122
Список литературы
- Лептонная вершина
- Эволюционное уравнение для распределений валентных кварков
- Связь между предельными случаями
- Полное сечение неупругого рассеяния на протоне
Введение к работе
Исследование неупругого взаимодействия заряженных лептонов с адронной материей представляет собой одну из наиболее интересных и актуальных задач в физике высоких энергий. Этот процесс характеризуется большими переданными энергиями и импульсами и сопровождается рождением вторичных частиц, поэтому при его изучении затрагивается широкий спектр проблем современной физики элементарных частиц.
Неупругое рассеяние является одним из четырех основных электромагнитных процессов, которые сопровождают прохождение заряженного лептона через вещество (три остальных: упругое рассеяние, в частности на атомных электронах, в котором образуются 5-электроны, тормозное излучение и рождение злектрон-позитронных пар). Наряду с другими электромагнитными процессами неупругое рассеяние вносит свой вклад в потери энергии частицей и влияет на кривую поглощения заряженных лептонов в веществе - одну из важнейших характеристик при исследовании космических лучей в подземных или подводных экспериментах. И хотя сечение неупругого рассеяния в области ГэВных и ТэВных энергий гораздо меньше сечений тормозного излучения или рождения пар, оно, в отличие от других, логарифмически растет с энергией лептона, что необходимо учитывать при исследовании области сверхвысоких энергий.
Другая особенность неупругого взаимодействия состоит в том, что сечение убывает с ростом переданного импульса значительно слабее, чем для других электромагнитных процессов. Это делает неупругое взаимодействие релятивистских лептонов с нуклонами удобным инструментов для исследования структуры материи на сверхмалых расстояниях. При неупругом взаимодействии начинает проявляться составная структура адронов и происходит рождение вторичных частиц. Для описания этих явлений необходимо использовать квантовую хромодинамику (КХД) — теорию сильных взаимодействий. Таким образом, неупругое рассеяние находится на стыке электромагнитных и кварк-глюонных процессов.
Слабое уменьшение сечения с ростом угла рассеяния приводит к тому, что неупругое рассеяние дает значительный вклад в величину фона в экспериментах по регистрации мюонов из нижней полусферы, так как является основным механизмом образования альбедных мюонов (рассеянных в верхнюю полусферу атмосферных мюонов), которые могут имитировать мюоны от нейтрино.
Эксперименты по взаимодействию заряженных лептонов с нуклонами неразрывно связаны с исследованием внутренней структуры последних. В середине 50-х годов Хофштадтер и его сотрудники измерили зависимость упругого формфактора протона от угла рассеяния [1]. Эти эксперименты положили начало исследованиям внутренней структуры протона и ядер с помощью заряженных лептонов высоких энергий, в первую очередь электронов. Они убедительно показали, что протон является не точечной, а протяженной частицей.
Дальнейшее изучение внутренней структуры протона и ядер в процессах неупругого рассеяния электронов и мюонов в последние 40 лет проводилось в четырех научных центрах, в которых активно исследовался этот процесс: Стандфорский линейный ускорительный центр (СЛАК - SLAC) [2], Национальная ускорительная лаборатория им, Энрико Ферми (ФЕРМИЛАБ — FNAL) [3], Европейский центр научных исследований (ЦЕРН - CERN) [4] и Немецкий Электронный Синхротрон (ДЕЗИ - DESY) [5].
Первые эксперименты по неупругому рассеянию электронов на протоне для энергий выше резонансной области начались в СЛАК в 1967 году. Предполагалось, что данные СЛАК подтвердят модель об экспоненциальном распределении заряда в протоне, обнаруженном в эксперименте Хофштадтера, и расширят исследованную кинематическую область1 в сторону больших Q2 (до 16 ГэВ2). Однако, первые же результаты показали, что зависимость неупругого дифференциального сечения от переданного импульса была слишком слабой, а неупругие формфакторы, вопреки теоретическим представлениям, зависели 1 Все кинематические переменные будут введены в Главе 1. Здесь используется следующие обозначения: Q2 - квадрат переданного 4-импульса, IV2 - квадрат 4-импульса конечного адронного состояния, Рг - структурная функция протона. только от отношения Q2 и переданной энергии2 [6-7]. Эти результаты полностью опровергали представления большинства физиков о протоне, как о протяженном объекте с диффузной внутренней структурой. Новые экспериментальные данные ясно указывали на присутствие в протоне точечных составляющих, которые позднее стали отождествлять с кварками.
Наблюдаемая независимость структурных функций протона от величины Q2 означает, что сечение рассеяния уже не зависит от структуры протона, а определяется взаимодействием лептона с составляющими протон частицами. На рис. В.1 представлены полученные значения неупругого формфактора vW2 (устаревшее обозначение Fi) при разных Q2 для фиксированной величины х3 - 0.25. Зависимость от Q2 отсутствует, и такое поведение структурных функций получило название масштабной инвариантности или скейлинга (от английского scaling — масштабирование). Обзор первых экспериментов по изучению неупругого электрон-протонного рассеяния в СЛАК можно найти в работе [8]. Последние результаты обработки данных СЛАК опубликованы в работах [9, 10].
0,5 г-0,4
О* (ПБ/С)г
Рис. В. 1. Неупругий формфактор протона, как функция Q2 [8].
Полученные результаты дали мощный импульс теоретическим разработкам в области неупругого взаимодействия и структуры протона. За вклад в исследования неупругого рассеяния в СЛАК Ричард Тейлор, Генри Кендалл и Джерри Фридман в 1991 году получили Нобелевскую премию по физике (см. [11-13]). 2 Обычно в этом случае используется бьеркеновская переменная хв =Q*/2Mv, где М- масса протона, v - переданная энергия.
Отдельное направление исследовании неупругого рассеяния связано с использованием в качестве налетающего лептона не электрона, а мюона. Широкомасштабные эксперименты по изучению неупругого рассеяния мюонов высоких энергий связаны с запуском мюонной фабрики в ФЕРМИЛАБ, в которой создавались пучки мюонов с энергиями от 50 до 270 ГэВ (см. обзор [14]). Первые же эксперименты обнаружили логарифмическое нарушение скейлинга [15]. Более детальные исследования показали, что структурная функция протона Рг логарифмически уменьшается при больших хв и так же логарифмически растет при малых хв [16-17],
На рубеже 80-х и 90-х годов прошлого века в ФЕРМИЛАБ был проведен новый эксперимент (Е665) по изучению неупругого рассеяния мюонов на протонах и ядрах. Использовался пучок мюонов с энергией 470 ГэВ. Кроме угла рассеяния и энергии конечного мюона исследовались характеристики вторичных нейтральных и заряженных частиц. Эксперимент Е665 позволил измерить структурные функции протона вплоть до значений бьеркеновской переменной -8-10^4 [18-20].
Практически одновременно с опубликованием результатов, полученных в ФЕРМИЛАБ, был получен мюонный пучок в ЦЕРН со средней энергией 200 ГэВ. Диапазон изменения импульса мюонов составил от 50 ГэВ/с до 300 ГэВ/с. Измерения осуществлялись двумя коллаборациями: ЕМС3 (эксперимент NA2) [21] и BCDMS4 (эксперимент NA4) [22]. Измерения проводились для энергий мюона 90, 120, 200 и 280 ГэВ. В этих экспериментах в качестве мишени использовались как протоны, так и ядра. Одним из важнейших результатов эксперимента NA2 стало открытие ЕМС-эффекта в рассеянии мюонов на ядрах [23]. Позднее установка ЕМС была модернизирована, и коллаборацией NMC5 был проведен новый эксперимент (NA37) для уточнения хв-за виси мости структурной функции ядра [24-27]. 3 European Muon Collaboration. 4Bologna-CERN-Dubna-Munich-Saclay. 6 New (or Nuclear) Muon Collaboration.
Новую эпоху в изучении неупругого рассеяния заряженных лептонов на адронах открыл запуск первого в мире электрон-протонного коллайдера ГЕРА (см. обзор [28]). Он расположен в ДЕЗИ (Гамбург, Германия) и начал работу в 1992 году. Основные параметры встречных пучков: энергия протонов — 820 ГэВ, энергия электронов — 27.5 ГэВ. Два основных эксперимента по измерению сечения неупругого ер-рассеяния проводятся коллаборациями Н1 [29] и ZEUS [30].
Основным предметом исследований на ГЕРА являлось инклюзивное ер-рассеяние. Измерения 1992 года [31-32] обнаружили, что рост структурной функции с уменьшением хв гораздо сильнее логарифмического. Эти данные подтвердили и все последующие эксперименты [33-44]. Экспериментальные результаты, полученные на коллайдере ГЕРА, послужили стимулом для бурного развития теоретических исследований области малых Хв, которая соответствуют большим переданным энергиям и высокой плотности виртуальных кварков внутри нуклона.
На сегодняшний день экспериментальные данные охватывают огромную кинематическую область. Сечение неупругого рассеяния измерено для энергий лептона (или эквивалентных энергий в лабораторной системе) от 1 ГэВ до 45 ТэВ. Величина Q2 изменяется в пределах 0.2
Как видно из рис. В.2, структурная функция протона является гладкой функцией кинематических переменных хв и Q2. Однако до сих пор поиск аналитической зависимости Рг от хв и Q2 не привел к окончательному решению этой задачи, хотя за несколько десятков лет предложены самые разнообразные теоретические модели для описания структурной функции протона и неупругого рассеяния заряженных лептонов на протонах.
,, *-a.oocz&3 x-O-OCKH *_^ *=олси X-0.OODWZ ,. M-O.SQOS ** *—oiramz я=О.0СИЗ ._**** И-0.ОТ16І Х-ІШИ1 ,t: „« 10' сі qios
107 r
10бг : +* к-0,О«ЮЄЗ .*» Х-О.0МЇСІ2 ,.*s\, X=0.O0OI62 .«***' . — *""" l^Dff *******,»,, ..1-W Proton
Х-0Л0253 Я-СОСЭ2 **- - «=o.oos *.— »** x*a.Q13 *«*«*» + * *M1D5 — *» * jc-ome .~«.*J,f і J } x-0.13 ї-OJJJ х-0.4 к-O.OS -2 10 г к
1-O.flS (1.-1) ? ' "11 lil ill ml ' ' ' "inl I 1 1 l_LJl.llllll 1.,1 I Hill io5 iotf Q1 (GeV2) Puc.B.2. Структурная функция протона. Экспериментальные данные из обзора [47].
Первое теоретическое рассмотрение неупругого взаимодействия заряженных лептонов с протонами относится к началу 60-х и связано с работами Ханда [48], а также Дрелла и Валечки [49], которые обнаружили, что сечение этого процесса определяется через два функции, которые зависят от переданной энергии и импульса. При этом в этих работах использовались различные пары формфакторов, которые линейным образом связаны друг с другом. В работе [48] сечение неупругого рассеяния записывалось через сечения рассеяния поперечно и продольно-поляризованного виртуального фотона. В работе [49] использовались неупругие формфакторы протона. Это различие в подходах в какой-то мере отражает два основных направления изучения неупругого взаимодействия, которые разделились по выбору объекта изучения при рассмотрении акта рассеяния,
В первой группе моделей [50-51] неупругое рассеяние рассматривается в рамках концепции доминатности векторных мезонов, т.е. взаимодействие виртуального фотона с протоном происходит через векторные мезоны, в которые флуктуирует фотон, и которые взаимодействуют с протоном посредством ядерных сил. Подобное описание направлено в первую очередь на виртуальный фотон, а мишень представляется цельным объектом с заданными адронными свойствами. Дальнейшее развитие подхода привело к созданию модели обобщенной векторной доминантности (ОВД), в которой учитывается бесконечный спектр масс векторных мезонов. Использование различных простых аппроксимаций структурных функций, полученных на основе ОВД [52-53], хотя и не позволяет описывать область больших переданных 4-импульсов, тем не менее, приводит к хорошему согласию с экспериментальными данными для не очень больших переданных 4-импульсов Q2, что позволяет использовать их при расчете энергетических потерь (см. обзоры [54-55]).
Второй подход [56] определяет неупругое рассеяние как взаимодействие виртуального фотона с частицами, являющимися составными частями протона — партонами, в качестве которых подразумеваются кварки. При таком рассмотрении виртуальный фотон является идеальным электромагнитным объектом без внутренней структуры, а объектом исследования выступает протон (или нейтрон). Вместо размерных неупругих формфакторов используются безразмерные структурные функции, которые выражаются через импульсные функции распределения кварков в нуклоне. Развитие квантовой хромодинамики привело к созданию системы уравнений, которые определяют зависимость струтурных функция от Q2 (см. [57-60] или обзор [61]).
Следует отметить, что ни одна из моделей неупругого рассеяния не описывает неупругие формфакторы протона во всей кинематической области: модели векторной доминантности работают при не очень больших квадратах переданных импульсов (порядка ГэВ2), а кварк-партонные модели, которые используют кварковую хромодинамику в качестве основноймодели сильного взаимодействия, наоборот применимы в области достаточно больших переданных импульсов, где бегущая константа связи мала и можно использовать теорию возмущений.
Для описания сечения также используется формулы, полученные фитированием экспериментальных зависимостей [62-64]. Однако, такой подход надежен только в пределах экспериментально изученной области.
Наряду с изучением неупругого рассеяния на протоне, большой интерес вызывают неупругое рассеяние на ядрах и возможные поправки, которые ядерное окружение может вносить в неупругий формфактор протона, В литературе [65-66] выделяются три основных ядерных эффекта: затенение, ЕМС-эффект и эффект Ферми-движения. Для каждого из них существуют модели, описывающие его влияние на сечение рассеяния лептона с протоном. Кроме того, проведено достаточно много экспериментов (см., например, обзор [66]), в которых влияние ядерного окружения исследовано для значительной области изменения кинематических переменных на различных мишенях. Но в целом информации о поведении неупругих формфакторов протона, который находится внутри ядра, значительно меньше, по сравнению со свободным протоном.
Следует отметить, что, начиная с 70-х годов 20 века, основные усилия были сосредоточены на изучении именно неупругих формфакторов. Для расчета полного инклюзивного сечения и других характеристик взаимодействия заряженных лептонов с веществом обычно использовались ставшие классическими результаты, полученные в уже упомянутых работах [48-49], а кинематические границы вычислялись в рамках и приближениях той или иной конкретной задачи.
Естественным способом получения выражения для сечения неупругого рассеяния во всей кинематической области является соединение двух основных подходов к описанию неупругого рассеяния. Использование выражений, полученных в области небольших Q2, в качестве начальных условии для эволюционных уравнении (например [62, 67-68]), позволило описать неупругие формфакторы протона в широкой кинематической области. Эти работы стимулировали развитие нового подхода к изучению неупругого рассеяния, основанного на аналитическом обобщении предельных случаев описания этого процесса [69-72], который и рассматривается в диссертации. С помощью полученных зависимостей в предельных (граничных) областях разрешенного диапазона изменения кинематических переменных, и после анализа поведения неупругих формфакторов в промежуточной области, удалось аналитически описать структурную функцию протона в всей кинематически разрешенной области.
Цель диссертационной работы
Получение единого аналитического выражения, описывающего структурные функции нуклона и сечение неупругого рассеяния заряженных лептонов на протонах и ядрах во всей кинематической области изменения переданной энергии и 4-импульса.
Результаты, выносимые на защиту
Аналитические зависимости, описывающие поведение структурной функции протона в квазиупругом пределе и пределе фоторождения,
Формула для сечения фоторождения, справедливая в широком диапазоне энергий.
Выражение для сечения неупругого рассеяния заряженных лептонов на нуклоне, которое обеспечивает правильное поведение во всей кинематически-разрешенной области и на ее границах.
Методика и формулы для учета основных ядерных эффектов.
Результаты расчетов полного сечения неупругого рассеяния заряженных лептонов и коэффициентов для потерь энергии в различных веществах с учетом точных кинематических зависимостей на границах разрешенной области.
Аналитические оценки потока атмосферных мюонов, рассеянных на большие углы, на различных глубинах и на поверхности Земли.
Научная новизна результатов
На основе модели векторной доминантности и теории Редже получена простая формула для сечения фоторождения, учитывающая наблюдаемый рост сечения при больших энергиях. Сформулировано определение предела фоторождения в неупругом рассеянии, найдены аналитические выражения для структурной функции протона и сечения неупругого рассеяния в этом пределе.
На основе оригинального решения эволюционных уравнений для валентных кварков получены аналитические формулы, описывающие эволюцию структурной функции в квазиупругом пределе с учетом отдачи мишени.
Показана тесная связь поведения структурной функции протона при больших переданных энергиях в пределе фоторождения и в пертурбативной области бьеркеновского предела; получены формулы, описывающие структурную функцию протона как в пертурбативной, так и в непертурбативной части предела высоких энергий.
На основе результатов анализа предельных случаев неупругого рассеяния впервые получена единая формула для структурной функции протона, которая является аналитическим обобщением предельных зависимостей и обеспечивает правильное поведение во всей кинематически-разрешенной области, в том числе на ее границах.
Показано, что при расчетах сечения необходимо полностью учитывать кинематику лептонной вершины, в противном случае при использовании приближенных формул происходит некорректное расширение разрешенной кинематической области.
Предложены простые формулы для всех основных ядерных эффектов; показано, что при больших значениях бьеркеновской переменной проявляется сильная зависимость структурной функции нуклона в ядре от квадрата переданного 4-импульса.
Практическая значимость
1. Полученная формула для сечения неупругого рассеяния мюонов на ядрах может быть использована при обработке экспериментальных данных; для расчета эффектов, связанных с неупругим взаимодействием заряженных лептонов с ядрами; в различных пакетах программ, моделирующих прохождение мюонов через вещество; для вычисления вклада неупругого взаимодействия в энергетические потери заряженных лептонов, которые определяют кривую поглощения в различных веществах;
2. Результаты проведенных исследований источников неаппаратного фона в нейтринных экспериментах, обусловленным неупругим взаимодействием мюонов, позволяют проводить оценки потоков частиц из нижней полусферы на различных глубинах; при планировании соответствующих экспериментов определять диапазон зенитных углов, в котором фон атмосферных мюонов, рассеянных в процессе неупругого взаимодействия, меньше величины потока мюонов от нейтрино космических лучей.
Апробация работы и публикации
Результаты, послужившие основой диссертации, докладывались на международных конференциях по глубоко неупругому рассеянию {Краков, 2002; Санкт-Петербург, 2003), международной конференции по космическим лучам (Пуне, Индия, 2005), международной конференции по неускорительной и новой физике (Дубна, 2001), международном совещании по нейтринным телескопам (Венеция, 1996), научных сессиях МИФИ (1998, 2000), Баксанской молодежной школе по экспериментальной и теоретической физике (2002), научных семинарах ИЯИ, ФИАН, Гран Сассо.
Основные результаты, вошедшие в диссертацию, отражены в 4-х статьях, опубликованных в журналах Ядерная физика и Astroparticle Physics, а также в трудах вышеупомянутых конференций. Перечень работ по теме диссертации, содержащих основные выносимые на защиту результаты, приведен в конце списка литературы.
Структура диссертации
Диссертация состоит из Введения, четырех глав и заключения. В первой главе приводится изложение формализма неупругого рассеяния заряженных лептонов на свободном протоне, подробно исследуется кинематика неупругого рассеяния. Во второй главе проводится анализ двух предельных случаев неупругого рассеяния, для которых получены аналитические выражения для структурных функций. В третьей главе формулируются основные принципы подхода, используемого для получения неупругих формфакторов во всей кинематической области, который основан на аналитическом обобщении поведения структурной функции в предельных случаях. Четвертая глава посвящена применению полученных результатов для описания неупругих процессов при прохождении заряженных лептонов через вещество. В Заключении приводятся основные результаты и выводы диссертационной работы.
Лептонная вершина
В процессе неупругого рассеяния заряженного лептона на протоне: в лабораторной системе отсчета, в которой протон покоится, налетающий лептон с энергией Е и импульсом р взаимодействует с протоном посредством виртуального фотона6, вследствие чего теряет энергию v и импульс q = p-p . Протон переходит в новое конечное состояние X, характеризуемое квадратом инвариантной массы W2 M2. Здесь М — масса протона-мишени, масса налетающего лептона будет обозначаться ті. Фейнмановская диаграмма, отвечающая этому процессу, изображена на рис. 1.1. Там же приведены основные обозначения.
Кинематические переменные (1.2) и (1.5) характеризуют виртуальный фотон. Можно сказать, что v — это энергия виртуального фотона, а О2 — его "масса". Если до и после рассеяния лептон является ультра релятивистской частицей (Е,Е »т,), и, кроме того, угол рассеяния лептона в лабораторной системе не слишком мал: sin2(8/2) »mf I{ЕЕ ), то можно приближенно записать: Q2-4EE sin2(e/2). (1.6) В качестве удобной безразмерной величины используется так называемая бьеркеновская переменная: которая равна отношению квадрата переданного импульса к его максимально возможному значению, соответствующему процессу упругого рассеяния и определяемому кинематикой адронной вершины (см. п. 1.2.2). Переменная хв имеет еще несколько физических интерпретаций. Например, она показывает, какая часть переданной энергии связана с переданным импульсом, а какая часть (1-XS) ушла на образование новых состояний. Для упругого рассеяния хв = 1. В кварк-партонной модели бьеркеновская переменная равна доле импульса протона (в специальной брейтовской системе — см. п. 2.2.1), которую несет партон, взаимодействующий с виртуальным фотоном. Кроме этого существуют две инвариантные энергетические переменные. Квадрат 4-импульса конечных состояний в адронной вершине:
При энергиях много больших масс протона и лептона, а также переданных при рассеянии импульсов (т.н. предел Редже), часто полагают W2 s, хотя, из сравнения (1.8) и (1.9) видно, что подобное приближенное равенство справедливо не для всей кинематической области.
Величины v и Q2, определяемые формулами (1.2) и (1.4), являются двумя основными независимыми переменными, используемыми при рассмотрении неупругого рассеяния. Для правильного определения кинематически разрешенной области, крайне важно знать пределы изменения этих переменных. Чтобы не смешивать ограничения, обусловленные разными физическими причинами, удобней провести рассмотрение кинематических ограничений раздельно для лептонной и адронной вершин.
Закон сохранения 4-импульса в лептонной вершине представлен формулой (1.4), которая является и определением величины Q2. Отсюда же следуют и выражения для верхней и нижней границы Q2:
Нижнюю границу изменений Q2 можно записать в следующем виде: представляет собой рассеяния: + = р-р . Обычно при определении границ кинематической области выражение (1.12) разлагают в ряд с точностью mf, В этом случае нижняя граница Q определяется как Выражение (1.13), широко используемое в различных работах, является приближенным и применимо только для произведение скоростей (в единицах скорости света) лептона до и после лептонов, находящихся в ультрарелятивисткой области энергий как до, так и после рассеяния. Нетрудно получить для Q n выражение, аналогичное (1.13), но которое справедливо для любых энергий лептона:
Формула (1.14) является точной, прямо вытекающей из выражения (1.10). В ультра релятивистском случае формула (1.14) переходит в (1.13).
Следует обратить внимание, что значения переданного 4-импульса не могут быть сколь угодно малыми. Хотя при исследовании неупругого рассеяния в области малых О2 часто используют процесс фоторождения (ур-»Х) в качестве граничного условия, не следует забывать, что в силу (1.10) и (1.14) прямой переход между неупругим рассеянием лептонов и фоторождением невозможен. Более подробно этот вопрос рассмотрен в п. 1.5.
Верхнее ограничение (1.10) на величину Q2 обусловлено тем, что косинус угла рассеяния не может быть меньше -1. Максимальное значение Q2 можно записать в виде QL7=2E (l + +)-2mf. (1.15) или (в ультарелятивистком случае до и после рассеяния) QLt=4EE . (1.16) Из выражения (1.10) следует ограничение на максимальную переданную энергию, которая достигается при 0 (1) = Q2maxi: У.ах=Е-тг (1.17) Переданный квадрат 4-импульса в этом случае равен Q2v =2m/vmax=2m,(E-m,). Этот случай соответствует полной остановке лептона после неупругого рассеяния. На рисунке 1.2 показаны зависимости границ изменения Q2 от переданной энергии для рассеяния мюона с энергией 0.5 ГэВ на протоне.
Кинематиские ограничения для неупругого рассеяния мюона. Сплошная толстая линия - формула (1.14), штриховая линия - формула (1,15). Приближенные выражения; тонкая сплошая линия - формула (1.13), пунктирная линия - формула (1,16).
Кинематика лептонной вершины построена так, что при увеличении переданной энергии происходит сужение диапазона возможных значений Q2. Следует заметить, что использование приближенных выражений (1.13) и (1.16) в качестве границ кинематической области приводит к расширению кинематического диапазона за счет запрещенных законами сохранения значений v и Q2 в области переданных энергий близких к начальной энергии лептона.
Эволюционное уравнение для распределений валентных кварков
Эволюционное уравнение, записанное таким образом, аналогично уравнениям каскадной теории, при этом феинмансвская переменная х соответствует "энергии" частиц, a t - "глубине". Первое слагаемое в уравнении (2.33) равно приходу валентных кварков со значениями доли импульса нуклона и массы виртуального фотона х и Q2 соответственно, а второе слагаемое -уходу. Аналогично тому, как в каскадной теории распределение частиц с энергией Е определяется только частицами с энергиями Є Е, распределения партонов со значением переменной х определяются только партонами, которые несут долю импульса нуклона х х. Поэтому, если ставится задача определения функций в области хо х 1, то результат не будет зависеть от того, какими мы выберем начальные значения функций (при Q2 =Q%) на промежутке (0, Хо).
Для того чтобы получить аналитическое решение уравнения (2.33), сначала решим другое уравнение:
Это уравнение в отличие от уравнения (2.33) решается аналитически. Для его решения необходимо задать начальную функцию q x, t = 0) на промежутке 0 х оо. Как будет показано ниже, если начальная функция равна нулю при х 1, то и при t 0, функция q x 1, г) = 0. Это можно объяснить качественно, если снова обратиться к аналогии с каскадной теорией. Предположим, что на границе нет частиц с "энергией" х 1, тогда, естественно, при дальнейшем развитии каскада частиц с такой энергией не может появиться. Таким образом, на интересующем нас классе функций qv{t = 0) =0 уравнения (2.33) и (2.35) эквивалентны.
Контур интегрирования в обратном преобразовании лежит правее всех особенностей функции p(s). Уравнение для образа распределения валентных кварков принимает следующий вид: Отметим, что, применив преобразование (2.36) к уравнению (2.33), мы бы не смогли вынести образ распределения валентных кварков из-под знака интеграла в выражении (2.37). Теперь же решение для образа записывается элементарно: Соответственно, эволюция функции распределения валентных кварков в протоне описывается следующим выражением: Воспользовавшись преобразованием Меллина (2.36), подставим в выражение (2.40) начальное условие:
В результате решение эволюционного уравнения для функции распределения валентных кварков в нуклоне принимает вид Подставляя функцию P z) в выражение {2.39), получим аналитическое выражение для p(s): логарифмическая производная гамма-функции, С — постоянная Эйлера.
Выражения (2.42)-(2.43) представляют собой решение эволюционного уравнения (2.33) для несинглетной комбинации партонных распределений. Действительно, перепишем выражение (2.42) в другом виде: функция во внутреннем интефале экспоненциально убывает при Re интефал равен нулю (подынтефальная функция не имеет особенностей правее контура интефирования в (2.42). Поэтому выражение (2.42) удовлетворяет как уравнению (2,35), так и уравнению (2.33).
Структурная функция протона в квазиупругом пределе Структурная функция неупругого рассеяния в кварк-партонной модели зависит от всех кварковых распределений. Но как было показано раньше, каарковые распределения при данном значении х зависят только от партонных распределений с х х. В квазиупругом случае вклад в структурную функцию будет вносить область, в которой существенны только распределения 1 валентных кварков. Для того чтобы найти структурную функцию в квазиупругом пределе, рассмотрим решение эволюционного уравнения для валентных кварков (2.42) при Хв г 1. В качестве начального условия используем стандартное выражение, применяемое для фитирования экспериментальных данных [87-96]:
Образ начального условия легко получить, подставив (2.45) в формулу (2,36): При г 0 выражение для функции распределения валентных кварков можно записать в следующем виде
Все особенности бета-функции находятся левее контура интегрирования. Поэтому при вычислении интефала (2.47) величину с можно считать сколь угодно большой. Используя асимптотические формулы для бета- и пси-функции:
После несложных преобразований получаем выражение, описывающее эволюцию структурной функции нуклона в квазиупругом пределе (здесь и ниже мы опять используем обозначение хрдля фейнмановской переменной):
Связь между предельными случаями
В главе 2 былЬ получены формулы, которая описывает структурную функцию протона в двух предельных случаях. Для для квазиупругого рассеяния — это решение эволюционных уравнений в пределе хв - 1 (2.52), для фоторождения — интеграл по спектру масс векторых мезонов (2.97). Также был учтен аномальный рост Я, в области малых хв, который описывается с помощью формулы (2.99).
На первый взгляд выражение для структурной функции протона, полученное в пределе фоторождения, т.е. при малых Q2, является естественным граничным условием для решения эволюционного уравнения в квазиупругом пределе. Однако переход от области квазиупругого рассеяния к пределу фоторождения связан с рядом проблем и требует более подробного рассмотрения. При сравнении выражений (2.51) и (2.97) можно выделить три основных трудности, не позволяющие прямо использовать Fh в качестве начального условия для Fuas e (отсутствие множителя (1-xF) при малых Q2 объясняется тривиально, так как в этом случае хв и соответственно xF стремятся к нулю).
Во-первых, функции Ffoto и Fu siel зависят фактически от разных переменных (2.17) и (2.96), непереходящих друг в друга напрямую. К тому же, переменная хт была определена п. 2.2.4 при условии Q2 к М2 + 2Mv, которое, естественно, неприменимо при больших Q2.
Во-вторых, в выражении для р ш присутствует функция G0(t), отсутствующая в формуле для F/ft0/o, при этом величина t не определена для 02 Л2.
В-третьих, структурная функция в пределе фоторождения, когда хв по определению мало, пропорциональна функции распределения морских кварков, в то время как в качестве начального условия для эволюционного уравнения (2.28) требуются функции распределения валентных кварков.
Пути преодоления этих трудностей базируются на основной идее обсуждаемого подхода — возможности получения единых функциональных зависимостей для описания процесса неупругого взаимодействия заряженных лептонов.
При описании неупругого взаимодействия заряженных лептонов используются две скейлинговых переменных: Бьеркена хв и Фейнмана xF, связь между которыми дается формулой (2.17). Как показано в п. 2.1.2, при описании квазиупругого рассеяния при хв -»1 необходимо использовать xF, а не ха.
В разделе 2.2 было показано, что структурная функция F2, а следовательно, и сечение неупругого рассеяния в пределе фоторождения (при малых Q2) зависят не от хв или xF, а от некоторой новой переменной хт, которая связана с хв соотношением (2.96):
Таким образом, при переходе к анализу промежуточной области возникает проблема нахождения соответствующей переменной, которая в предельных случаях хв -И и Q2 - 0 переходила бы в (2.17) и (2.96) (см. рис. 3.2), Чтобы получить выражение для общей скейлинговой переменной, необходимо исследовать поведение xF и хт при переходе от одной предельной области к другой. Для этого рассмотрим предел выражения (2.17) при малых Q2 и предел выражения (2.96) при хв -И. При малых переданных импульсах фейнмановская переменная xF принимает следующий вид: (3.1)
Если учесть, что xF была определена только в области хв«1, то для xF в области малых Q2 получим:
Другая скейлинговая переменная легко экстраполируется в область больших хв, для этого достаточно переписать (2.96) в следующей форме которая совпадает с (3.2). Таким образом, переменная хт в виде (3.3) является скейлинговой при малых Q2 для любых xs. В свою очередь переменная xF является скейлинговой при хв для любых Q2. В области малых Q2 и больших хв обе переменные совпадают.
Тем не менее, при малых значениях хв фейнмановская переменная не переходит в хт из-за "лишнего" показателя степени при xs под знаком радикала. Для того чтобы решить эту проблему, была предложена [68] новая переменная которая в области ха «1 совпадает с феинмановской переменной, но в то же время обеспечивает правильный переход к хт в пределе малых Q2.
На рис. 3.3 приведена зависимость трех скейлинговых переменных от хв при Q2 = 0.5ГэВ2. При увеличении Q2 все три переменные сближаются, однако качественная зависимость и их взаимное соотношение остаются неизменными. В пределе малых хв, при фиксированном Q2, все три переменные, изображенные на рис. 3.3, переходят в исходную скейлинговую переменную хв.
Рассмотрим вторую проблему: использование функции G0(f) и переменной t при малых Q2. Из определения функции G0(t) (2.53) видно, что на границе пертурбативной области при Q2 = Q2 (t = 0) функция G0(f) = 1. Перенесем эту точку путем регуляризации переменной t
Теперь t = 0 при Q2 = 0. Соответственно при Q2 = Q2 значение t = 0.07, а функция G0 равна 1.06. При больших Q2 расхождение между старым и новым определением Остановится совсем незначительным.
Для решения третьей проблемы воспользуемся тем обстоятельством, что структурная функция Fhota, которая рассматривается в качестве начального условия, содержит вклады всех кварковых распределений, и интеграл в (2.97), благодаря эффективному интерсепту (2.86), описывает одновременно реджевскую зависимость от хв (энергии) функций распределения и морских, и валентных кварков. Так как решение эволюционного уравнения описывает эволюцию только валентной части F2, а при малых хв основной вклад в структурную функцию вносят морские кварки, то необходимо, чтобы -зависимость в я?"35 исчезала при хв - 0. Ниже {см. п. 3.2.3) Q2 -эволюция морских кварков будет описана без решения эволюционных уравнений, в рамках померонной концепции. Для перехода между областями xs 1 и малых хв введем связующую функцию G(xB,f), которая должна удовлетворять следующим условиям:
Полное сечение неупругого рассеяния на протоне
Полное сечение неупругого рассеяния заряженного лептона на протоне т,р представляет собой интеграл выражения (1.58) по всему разрешенному диапазону Q2 и переданной энергии. Полное сечение неупругого рассеяния зависит только от энергии лептона. Часто, перед вычислением сг,р исследуется сечение da fdy, которое представляет собой дважды дифференциальное сечение, проинтегрированное по С?2: где коэффициент (he) = 389.4 мкбарн ГэВ2. Пределы интегрирования определены в пп. 1.2-1.4. Минимальная величина Q2 определяется формулой (1.14), максимальное значение вычисляется с помощью формул (1.15) или (1.18), в зависимости от величины переданной энергии.
Сечение (4.2) более удобно для анализа, чем дифференциальное сечение, и в то же время, достаточно наглядно демонстрирует основные свойства поведения сечения. На рисунке 4.5 изображено проинтегрированное по Q2 сечение неупругого рассеяния мюона на протоне при различных начальных энергиях для мюона. Здесь кинематическая область ограничена снизу условием (1.23), причем вблизи границы наблюдается рост сечения, аналогичный росту сечения фоторождения при малых энергиях24. Как в случае фоторождения, так и для неупругого /р-рассеяния такое поведение объясняется вкладом реджевского полюса с интерсептом ЛА, что соответствует зависимости сечения от энергии вида - v"1/2. При больших переданных энергиях (и больших у) проявляется рост сечения, обусловленный ростом померонного интерсепта (3.30) с энергией. Особенно это заметно при больших энергиях лептона.
Как показано в параграфе 1.6, в пределе фоторождения в области высоких энергий при стремлении Q2 к минимально возможному значению дифференциальное сечение неупругого рассеяния определяется в основном величиной продольной компоненты (см. (1.70)-(1.71)). Подобное поведение меняет характер зависимости сечения на нижней границе изменения Q2 и приводит к значимым поправкам в полное сечение.
Довольно неожиданным является тот факт, что при Е, - со пренебрежение массой лептона приводит к значимому увеличению сечения на 3-5 %. Причина такого эффекта лежит в том, что именно область малых Q2 дает основной вклад в интеграл (4.2). На рис. 4.9-4.10 изображена зависимость функции Q252a№/(5Q25v) от Q2 для мюона с энергией 109 ГэВ. Треугольниками показана зависимость сечения в предположении т. = 0, квадратами изображено поведение точного сечения.
В области малых энергий мюона существенным становится вклад нуклонных резонансов, который существенно меняет поведение сечения неупругого рассеяния вблизи нижней энергетической границы. Методика учета влияния нуклонных резонансов в процессе фоторождения была описана в параграфе 2.2.3. Основной принцип предложенной схемы заключается в разделении сечения на две части: первую, обусловленную взаимодействием виртуального (или реального) фотона с кварк-партонным континуумом, и вторую, описывающую брейт-вигнеровское резонансное рассеяние.
Как было показано в п. 2.2.3, структурная функция неупругого рассеяния в области малых Q2 может быть записана через функцию динамической плотности состояний векторных мезонов p(m2, W2):
При учете вклада нуклонных резонансов необходимо добавить к выражению (4.5) слагаемые, описывающие брейт-вигнеровские кривые рассеяния векторных мезонов на резонансах. Кроме того, необходимо плавно нивелировать в резонансной области вклад от взаимодействия с кварк партонным континуумом, который описывается формулой (4.5), так как динамическая плотность (4.5) в области резонансных энергий уже дает сглаженное значение резонансных пиков. Итоговое выражение для плотности состояний векторных мезонов принимает следующий вид: где К является эквивалентной25 энергией для виртуального фотона и определяется формулой (1.53), функция ?(К) определяется соотношением (2.90). Величины К%Ь, как и для фоторождения, имеют брейт-вигнеровскую форму: Значения параметров резонансов и числовых множителей В,- будут определены ниже.
После подстановки функции (4.6) в выражение (4.4) и взятия интеграла для второго (резонансного) слагаемого, функция Fi в области малых Q принимает следующий вид: Здесь А, = В, /Ып2) . Выражение (4.8) можно переписать в следующем виде: где вклад резонансов описывается функцией
Структурная функция (2.97) использовалась в качестве граничного условия в пределе фоторождения. Поэтому, если ввести переобозначение для структурной функции протона, описывающей взаимодействие с кварками-партонами в виде F2QP, которая определяется выражением (3.11), то структурная функция протона с учетом резонансов примет вид, аналогичный (4.9)
Термин "эквивалентная" здесь понимается как энергии реального фотона, соответствующая квадрату массы конечного адронного состояния в неупругом рассеянии лептона. Все параметры, необходимые для вычисления Fs приведены в Таблице 2.1.
Используя выражение для структурной функции F2 (4.11) и соотношение Калана-Гросса для продольной структурной функции, а также формулы для дифференциального сечения рассеяния (1.57), (4.2) и (4.3), можно повторить расчет основных интегральных характеристик неупругого рассеяния. На рис. 3.20 приведены кривые неупругого сечения рассеяния мюона на протоне, проинтегрированного по О2 для различных начальных энергий мюона. Синим цветом изображены кривые, приведенные на рис. 4.11, т.е. рассчитанные только с F2QP (формула (3.11)).
