Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Распределения по числу частиц в Галактике в модели случайных дискретных источников 13
1.1. Эффекты, приводящие к анизотропии космических лучей у Земли 13
1.2. Диффузионная модель распространения космических лучей 16
1.3. Флуктуации космических лучей, связанные со случайным характером источников 18
1.4. Модель точечных источников влияния 23
1.5. Характеристическая функция распределения по числу частиц 28
1.6. Распределение по току 33
1.7. Выводы главы 1 34
Глава 2. Флуктуации и анизотропия космических лучей в Галактике в модели случайно распределенных дискретных источников 35
2.1. Флуктуации числа частиц и анизотропия космических лучей в Галактике 35
2.2. Зависимость анизотропии от энергии в модели случайных дискретных источников 38
2.3. Флуктуации космических лучей от близких галактических источников 39
2.3.1. Метод расчета . 40
2.3.2. Распределение по числу частиц от «ближайшего» источника 41
2.3.3. Наиболее вероятное положение источника, вносящего наибольший вклад в концентрацию космических лучей в точке наблюдения 41
2.4. Чувствительность результатов к параметрам модели 42
2.4.1. Чувствительность параметра а устойчивого распределения 42
2.4.2. Чувствительность положения ближайшего источника к параметрам модели 44
2.5. Выводы главы 2 46
Глава 3. Распространение космических лучей в среде фрактального типа 48
3.1. Уравнение диффузии частиц во фрактальной среде 49
3.2. Протон-ядерная компонента космических лучей в среде фрактального типа 54
3.2.1. Точечный мгновенный источник 55
3.2.2. Точечный импульсный источник 58
3.3. Спектр протон-ядерной компоненты космических лучей в модели аномальной диффузии 60
3.4. Анизотропия космических лучей в модели аномальной диффузии 61
3.5. Выводы главы 3 65
Заключение 68
Глава 4. Элементы теории устойчивых распределений 72
4.1. Устойчивые распределения и их свойства 72
4.1.1. Устойчивые распределения как предел сумм независимых случайных величин 73
4.1.2. Виды представлений характеристических функций устойчивых распределений 74
4.1.3. Свойства устойчивых распределений 76
4.1.4. Представление устойчивых законов интегралами и рядами 76
4.2. Сферически-симметричные устойчивые распределения . 78
4.3. Оценка параметров устойчивых распределений 79
4.4. Алгоритм моделирования случайных величин, распределенных по устойчивому закону 81
Литература 82
- Флуктуации космических лучей, связанные со случайным характером источников
- Зависимость анизотропии от энергии в модели случайных дискретных источников
- Спектр протон-ядерной компоненты космических лучей в модели аномальной диффузии
- Устойчивые распределения как предел сумм независимых случайных величин
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Одним из центральных вопросов астрофизики космических лучей является проблема их происхождения. Сегодня имеются веские основания полагать, что космические лучи с энергией Е < 1017 эВ имеют, в основном, галактическое происхождение. Считается, что наиболее вероятными источниками космических лучей, удовлетворяющими энергетическим требованиям, являются вспышки сверхновых [1-6]. К настоящему времени на больших экспериментальных установках (AG AS А, Fly's Eye, Якутская установка) накоплена достаточно большая статистика по космическим лучам сверхвысоких (Е > 1018 эВ) и ультравысоких (Е > 1020 эВ) энергий, превосходящих порог чернотельного обрезания для протонов (Е1 = 5 1019 эВ) [7-12]. Вопрос о природе источников частиц таких энергий еще не решен [4,10,13-22], при этом рассматриваются как галактические, так и метагалактические модели происхождения (см., например [19,23]). Если после анализа части данных сообщалось о корреляции направлений прихода частиц с Е > 1019 эВ с направлением на супергалактическую плоскость, то анализ всех данных, выполненный группой AGASA, свидетельствуют об изотропном распределении космических лучей сверхвысоких энергий [12].
Вопрос об источниках космических лучей с Е < 1017 эВ тоже не может пока считаться окончательно решенным. Существующее в настоящее время объяснение излома — укручения в спектре первичного космического излучения при Е — 3 1015 эВ связывают с уменьшением эффективности удержания частиц высоких энергий в Галактике, что в свою очередь предполагает большое время жизни (107 Ч- 108 лет) протон-ядерной ком- поненты в системе и наличие удаленных источников [4,24-26]. Вместе с тем, время жизни электронов в Галактике лишь несущественно превышает 105 лет [20,21,27-30]. Таким образом, интерпретация данных по протон-ядерной и электронной компонентам в рамках одной модели приводит к выводу о том, что эти компоненты должны иметь разные источники, что при едином механизме ускорения не очень понятно.
Для доказательства справедливости какой-либо гипотезы о происхождении космических лучей и определения пространственно-временного распределения их источников S(t,r) необходимо, строго говоря, решить обратную задачу: по наблюдаемым у Земли характеристикам первичных космических лучей и радио- и гамма-астрономическим данным получить информацию о местонахождении источников и длительности их активной фазы. Однако, традиционно извлечение информации об источниках осуществляется путем сопоставления экспериментальных данных с результатами решения ряда прямых задач, полученных при разных предположениях относительно S(t, г).
Зависимость теоретических результатов от распределения источников (,г) и очевидная невозможность их полного определения, особенно в ситуации, когда наблюдаемые космические лучи произошли от невидимых сегодня («мертвых») источников, приводит к задаче предсказания ожидаемых характеристик космических лучей в случае, когда информация об источниках не является полной. Можно было бы, конечно, использовать в расчетах какое-то конкретное распределение источников, однако выбор одной системы источников из всего множества возможных реализаций не может быть достаточно аргументирован. Выход из этой ситуации, подобно [31,32], мы видим во введении статистического ансамбля источников, в котором рассматривается все множество возможных реализаций системы источников с заданной на этом множестве вероятностью. При такой постановке задачи экспериментальные результаты следует сопоставлять со всем распределением теоретических результатов, порожденных введенным ансамблем источников. Это означает, что для предсказания ожидаемых характеристик космических лучей, наблюдаемых вблизи Земли, и решения вопроса об источниках космических лучей должен использоваться статистический подход.
Статистический подход в задаче оценки характеристик космических лучей рассматривался в ряде работ [33-38]. Наиболее подробное изложение этого подхода дано в [38], являющейся развитием и обобщением предыдущих исследований в этой области. В [38] выражены статистические характеристики исследуемых величин (плотность числа частиц, ток и др.) через функцию Грина, описывающую распространение частиц от дискретного моноэнергетического галактического источника, дано формальное выражение для плотности вероятности плотности частиц N первичных космических лучей в данной точке пространства. Из анализа асимптотического поведения распределения при большой плотности N установлена значительная асимметрия распределения и расходимость дисперсии. В работе [38] обсуждается расходимость дисперсии и отмечается, что при равномерно и случайно распределенных дискретных источниках дисперсия не может быть хорошей мерой возможных флуктуации космических лучей вблизи Земли.
Однако, автор не решил проблему оценки флуктуации космических лучей. При проведении оценок в [38], а затем в [4], для устранения расходимости был введен параметр обрезания то, имеющий смысл времени и исключающий из рассмотрения очень молодые и близкие источники. Для того, чтобы получить согласие с экспериментальными данными при оценках флуктуации и анизотропии приходится выбирать разные значения то.
В наших работах [39-41] показано, что введение параметра обрезания 7 не является физически обоснованным. Причина возникшей расходимости — специальный вид распределений, неявно используемых в задаче, у которых нет конечного второго момента. В случае таких распределений дисперсия, как справедливо замечено в [38], не является мерой флуктуации. Для оцен- ки флуктуации необходимо использовать некоторую характерную ширину распределения, что требует знания распределения.
Важное место в решении проблемы источников занимает модель, описывающая распространение космических лучей в галактической среде. В настоящее время интерпретация экспериментальных данных о потоках космических лучей проводится в предположении, что распространение космических лучей в Галактике описывается обычным диффузионным уравнением вида [1,4] ^ = VD(E,r)Vp(rXE) + S(r,t,E).
Основной механизм, обеспечивающий диффузию частиц в межзвездной среде, по-видимому, сводится к рассеянию частиц случайными неоднород-ностями магнитного поля.
Однако, строго говоря, это уравнение справедливо только для слабо неоднородной среды (см., например, [1,42]): учет непрерывных неоднородностей введением зависимости коэффициента диффузии от координат продуктивен лишь при условии, что эти неоднородности имеют достаточно плавный характер. Вместе с тем, распределение вещества и магнитного поля в Галактике, влияющее на прохождение космических лучей, имеет весьма нерегулярный характер на разных масштабах [4,43-46], что дает основание для использования концепции фрактала [47] для описания многофазной межзвездной среды [48-52], по крайней мере, как первого приближения в альтернативном подходе.
Таким образом, дальнейшее развитие теории распространения космических лучей в многофазной межзвездной среде и методов расчета их характеристик в модели равномерно распределенных дискретных случайных источников является актуальной задачей и имеет важное значение для физической интерпретации экспериментальных данных, решения проблемы происхождения космических лучей.
ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является разработка новых подходов к исследова- нию флуктуации и анизотропии космических лучей в модели равномерно распределенных дискретных случайных источников, расчет флуктуации и анизотропии ядерной компоненты космических лучей с применением теории устойчивых распределений, анализ возможного вклада взрывов ближайших сверхновых в концентрацию космических лучей у Земли, исследование влияния фрактальных свойств межзвездной среды на характеристики космических лучей в модели аномальной диффузии.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА данной диссертационной работы заключается в следующем.
Впервые для анализа прохождения космических лучей в межзвездной среде в диффузионном приближении применен аппарат теории устойчивых законов.
Впервые получено точное решение задачи о флуктуациях и анизотропии космических лучей в модели равномерно распределенных случайных моноэнергетических источников при диффузионном характере распространения космических лучей. Показано, что распределения по числу частиц в Галактике и току принадлежат к классу устойчивых распределений с характеристическими показателями 5/3 и 5/4 соответственно.
Показано, что относительные флуктуации числа частиц и анизотропия в модели нормальной диффузии зависят от коэффициента диффузии D и времени удержания частиц в Галактике Г-1 следующим образом: 5N ос D-3/5r и 5j ос DllbY. Полученная в работе зависимость анизотропии от энергии позволяет объяснить имеющиеся экспериментальные данные лишь при условии, что показатель 7 в энергетической зависимости Г ос і?7 меняется от ~ 0,15 до ~ 0,54 в рассматриваемом диапазоне энергий (102 4-108 ГэВ).
Найдены области наиболее вероятного положения источников, дающих основной вклад в наблюдаемую концентрацию космических лу- чей. Сопоставление с известными источниками космических лучей в Галактике показало, что источники Monogen и Geminga могут вносить существенные вклад в концентрацию космических лучей.
Впервые рассмотрена диффузия космических лучей в модели, предполагающей наличие фрактальных свойств у межзвездной среды в Галактике. Предложено уравнение аномальной диффузии в дробных производных, найдено решение этого уравнения в классе трехмерных сферически-симметричных устойчивых распределений.
Исследована зависимость показателя энергетического спектра наблюдаемых космических лучей от энергии и фрактальных свойств межзвездной среды. Показано, что излом в спектре космических лучей может быть следствием фрактальности Галактики.
Предложен алгоритм нахождения параметров модели аномальной диффузии и спектра генерации частиц в источнике на основании данных о показателе спектра космических лучей в области до наблюдаемого излома и после него, а также энергии, при которой наблюдается излом. Показано, что удовлетворительное описание имеющихся экспериментальных данных по спектру всех частиц в энергетическом диапазоне Е — 102 -г-109 ГэВ достигается при спектре генерации частиц в источнике р ~ 2,9 и характеристическом показателе устойчивого распределения, связанного с фрактальной размерностью среды, а и 5/3.
8. Впервые получены оценки анизотропии космических лучей, распрост раняющихся в межзвездной среде фрактального типа.
НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ состоит в разработке новых подходов к анализу прохождения космических лучей высоких и сверхвысоких энергий через межзвездную среду при различных предположениях о характере распределения вещества и магнит- ного поля в Галактике, источников частиц, нахождении точного решения задачи о флуктуациях и анизотропии космических лучей от равномерно распределенных случайных источников, оценке вклада взрывов ближайших сверхновых звезд в наблюдаемую концентрацию космических лучей.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ К ЗАЩИТЕ:
Новый подход к исследованию флуктуации и анизотропии космических лучей, основанный на применении теории устойчивых законов.
Распределение по числу частиц и току в Галактике, оценки флуктуации числа частиц и анизотропии космических лучей в модели равномерно распределенных случайных источников.
Анализ зависимости анизотропии космических лучей в Галактике от энергии.
Оценка вклада ближайших источников в наблюдаемую у Земли концентрацию космических лучей.
Анализ влияния неоднородности межзвездной среды Галактики на потоки космических лучей в модели аномальной диффузии.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ: Результаты представленных в диссертации исследований докладывались на XXIV международной конференции по космическим лучам (Рим, 1995), на IX и X Международных симпозиумах по взаимодействиям космических лучей сверхвысоких энергий (Карлсруэ, Германия, 1996; Гран-Сассо, Италия, 1998), Всероссийской конференции по космическим лучам (Москва, 1994), на семинарах кафедры ТФ АГУ, нашли отражение в монографической литературе (V. Uchaikin and V. Zolotarev. Chance and Stability. VSP, Netherlands, Utrecht, 1999). Исследования поддерживались грантами РФФИ №94-02-03267-а и №96-02-27354-3 и проектом 2.1-252 ФЦП «Интеграция».
ПУБЛИКАЦИИ. Результаты исследований опубликованы в 7 работах.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем 89 страниц текста, 17 рисунков и 1 таблица. Список цитированной литературы содержит 94 наименования.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении формулируется направление исследования, обсуждается актуальность работы, ее цель, положения, которые выносятся на защиту. Отмечается новизна, научная и практическая ценность работы и т. д.
В первой главе кратко обсуждаются процессы, приводящие к анизотропии космических лучей у Земли, а также имеющиеся оценки величины этой анизотропии. Приводятся уравнения, описывающие процесс распространения частиц в диффузионном приближении. Показывается, что для решения задачи о флуктуациях и анизотропии космических лучей в модели случайных дискретных источников должна использоваться теория устойчивых распределений и описывается модель точечных источников влияния, приводящая к появлению устойчивых распределений по числу частиц и току частиц в Галактике в данной задаче и позволяющая получить точное аналитическое решение. Приводится точное решение задачи о флуктуациях числа частиц и анизотропии космических лучей в рассматриваемой нами модели источников космических лучей.
Во второй главе анализируется распределения по числу частиц от различных источников в ансамбле, обсуждаются области, в которых должны находится источники, вносящие главные вклады в концентрацию космических лучей в точке наблюдения в принятой модели, даются оценки относительных флуктуации.
В третьей главе представлены результаты исследования характеристик космических лучей в модели аномальной диффузии. Обсуждается предложенное уравнение аномальной диффузии в дробных производных, приводится его решение для ряда источников. Анализируется энергетическая зависимость показателя спектра протон-ядерной компоненты наблю- даемых космических лучей, показывается, что излом в спектре ядерной компоненты космических лучей может быть следствием фрактальности Галактики. Дается описание спектра всех частиц в энергетическом диапазоне 102 -т-108 ГэВ, обсуждается поведение анизотропии в модели аномальной диффузии.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
В приложении приведены необходимые сведения из теории устойчивых распределений, которые используются при расчете характеристик космических лучей.
Флуктуации космических лучей, связанные со случайным характером источников
Космические лучи, наблюдаемые у Земли, разделяют на три компоненты: солнечную, галактическую и метагалактическую. Солнечные космические лучи имеют энергии, не превышающие Е « 109 эВ [1,4], поэтому при энергиях больше 1 ГэВ их вклад в суммарную интенсивность космических лучей у Земли невелик. Вклад космических лучей сверхвысоких энергий {Е 1017 -т-1020) эВ в поток частиц у Земли также мал. Основная часть наблюдаемых у Земли космических лучей имеет галактическое происхождение. Одним из центральных вопросов астрофизики космических лучей является проблема их происхождения. Считается, что наиболее вероятными источниками космических лучей, удовлетворяющими энергетическим требованиям, являются вспышки сверхновых [1,4,53-56]. Ответить на вопрос о происхождении космических лучей значит указать хотя бы на ориентировочное положение источников космических лучей и идентифицировать источники. Одной из характеристик, используемой при решении этих задач, является анизотропия космических лучей у Земли.
Анизотропия космических лучей — это разница в интенсивности космических лучей, приходящих с различных направлений [4]: Измерения анизотропии космических лучей очень важны для выяснения характера движения релятивистских частиц и пространственного распределения источников. Для расчета распространения космических лучей наиболее часто используется диффузионная модель несмотря на то, что анизотропия космических лучей в конкретной точке (в частности, у Земли) может определяться локальной структурой магнитного поля (см. например, обсуждение этого вопроса в [4,17,18]). Даже в случае отсутствия у локального магнитного поля особенностей типа ловушек, пробок и т. п., простая связь между величиной анизотропии 6 и градиентом концентрации космических лучей существующая в модели изотропной диффузии, может нарушаться из-за тензорного характера диффузии, имеющей место в действительности вследствие «замагниченности» релятивистского газа космических лучей. Для того, чтобы обеспечить коэффициент диффузии D 1029 см2 с-1, необходима эффективная частота столкновений v v2/D 10 8 с-1, которая значительно меньше гирочастоты шн = qH /2imiQc(mc2 / Е) 3 10 2(тс2/Е) с-1 протонов с Е 106 ГэВ в межзвездном магнитном поле с Н 3 10 6 Э. Как известно из физики плазмы, свойства замагничен-ного газа резко анизотропны, в частности, подавлена диффузия поперек регулярного магнитного поля. Вместе с тем, сегодня принято считать, что под действием флуктуационной компоненты магнитного поля с масштабом 100 пк происходит изотропизация локально анизотропного тензора.
Для того, чтобы исключить влияние солнечных магнитных полей, измерения анизотропии обычно проводят в области энергий Е 100 Гэв [4]. Амплитуда анизотропии слабо меняется в диапазоне энергий 5-102-т-105 Гэв и составляет примерно 6 « Ю-3. При больших энергиях анизотропия растет, что может указывать на изменение характера движения частиц при этих энергиях или свидетельствовать о том, что при таких энергиях главный вклад в наблюдаемую концентрацию косических лучей вносят другие источники, нежели при меньших энергиях.
К эффектам, которые могут приводить к возникновению анизотропии космических лучей в Галактике, относятся эффект Комптона-Геттинга, общее вытекание космических лучей из Галактики, асимметрия северной и южной части гало космических лучей, влияние близких источников.
Эффект Комптона-Геттинга связан с пекулярным движением солнечной системы относительно общей массы звезд, межзвездного газа и крупномасштабного магнитного поля Галактики. Если космические лучи распределены изотропно в межзвездной среде, относительно которой Солнце движется со скоростью v & 22 км/с, то за счет эффекта Комптона-Геттинга возникает анизотропия порядка 6 = (у + 2)u/v « 2 Ю-4 [4].
Второй эффект возникновения анизотропии космических лучей связан с общим вытеканием космических лучей из Галактики. При рассмотрении этого эффекта отдельно обсуждаются анизотропия вдоль галактического радиуса 6Г и анизотропия поперек диска 5г, для расчета которых используется формула (1.2). Концентрация частиц берется из решения уравнения диффузии для стабильных ядер, а коэффициенты диффузии в диске и в гало рассчитываются по обилию вторичных ядер [4].
При близком к равномерному распределению источников в диске компонента анизотропии 6Z не зависит от размеров гало, отношения D /Dg и при заданной доле вторичных ядер определяется лишь положением наблюдателя относительно плоскости симметрии Галактики Для солнечной системы z 10 пк и Sz 3-Ю"5. Из-за асимметрии северной и южной части гало 20% возникает анизотропии 5Z такого же порядка. Наблюдения дают оценку асимметрии гало 10%. Если источники сосредоточены в центральной области Галактики, то значение 5Z уменьшается на несколько порядков.
Величина анизотропии вдоль галактического радиуса в модели с большим гало hh 10 -f- 15 кпк при Єк 2-гЗ ГэВ/н равна 5Г 2 Ю-4 при D/i = JD5. Эту оценку можно сравнить с имеющимися наблюдениями при энергиях Е 500 ГэВ и выше. Так как в области энергий от нескольких ГэВ/н до сотен ГэВ/н наблюдается уменьшение доли вторичных ядер, то при Е 500 ГэВ следует ожидать увеличения коэффициента диффузии. В результате получается 8r 2 10 3, что близко к наблюдаемому значению. Если учесть что локальный вблизи солнечной системы коэффициент диффузии может быть примерно в три раза больше среднего, то имеет смысл предположить, что коэффициент диффузии в диске в три раза меньше, чем в гало.
Следующий эффект обусловлен близкими источниками [4]. Для расчета анизотропии, возникающей из-за наличия близких источников, необходимо знание пространственного распределения, мощности, возраста и закона эволюции источников. Амплитуда анизотропии от конкретного источника, находящегося на расстоянии R{ от наблюдателя, через время Т{ после взрыва в предположении изотропной диффузии в бесконечной среде и равной мощности всех источников может быть вычислена по формуле (1.2)
Зависимость анизотропии от энергии в модели случайных дискретных источников
Сопоставление с характеристической функцией устойчивого закона [60] (см. также Приложение), показывает, что найденное распределение принадлежит к классу устойчивых законов с параметрами:
Распределение исходной случайной величины N отличается от N лишь значением параметра j, который является математическим ожиданием и равен (N).
Заметим, что после того, как мы пренебрегли множителем ехр(—T(t—t )), согласно (1.31) распределение по числу частиц будет принадлежать к классу устойчивых законов, а для нахождения значения характеристического показателя а этого устойчивого закона можно было бы сразу воспользоваться формулой (1.32) при р = 3/2, q = 1/2. Небольшое усложнение вида функции N, связанное с наличием множителя ехр(—Г( — і )), лишает нас возможности найти характеристическую функцию распределения аналитически. Поэтому для нахождения характеристической функции мы воспользовались численным методом. После нахождения показателя а устойчивого закона и множителя к, вычисление остальных параметров распределения может быть проведено аналитически.
Нами были использованы два способа нахождения параметра а. Первый способ связан с численным нахождением интеграла вида (1.27). Этот интеграл в нашем случае является двукратным, с достаточно сложным граничным условием для области интегрирования, выражение для которой в общем случае удается записать только в виде неявной функции от переменных интегрирования. Однако, выражения для максимальных значений переменных интегрирования удается получить аналитически, при этом область интегрирования для нашей функции влияния занимает около половины площади ограничивающего ее прямоугольника. В связи с вышеизложенным для численного интегрирования был выбран стандартный метод Монте-Карло. Нами была написана программа для вычисления показателя а устойчивого закона и множителя к для заданной функции влияния. После нахождения этих величин, вычисление остальных параметров распределения может быть проведено аналитически.
Для тестирования программы была использована ранее решенная задача о температурных вспышках в ядерном реакторе [65]. В результате теста установлено, что параметр а вычисляется с погрешностью менее 1%.
Расчет для функции (1.41) показал, что для используемых нами значений Г и D значение параметра а практически не отличается от 5/3, а к = 0,0147. Второй способ восстановления параметров устойчивого распределения описан нами в п. А.З Приложения. Для применения этого способа требуется только каким-либо образом (например, методом Монте-Карло) получить выборку случайных величин, распределение которых оценивается, и применить к этой выборке изложенный выше алгоритм. Тестирование показало, что точность восстановления параметра а этим методом несколько хуже (что можно объяснить универсальностью этого метода), но тем не менее в данной задаче он тоже может быть использован. Аналогичным образом можно получить выражение для характеристической функции распределения по току частиц в Галактике. Эта характеристическая функция, согласно (1.39), будет иметь вид Вид этой функции значительно сложнее вида (1.41) и необходимые выкладки для нахождения характеристической функции проделать аналитически не удается даже если пренебречь множителем ехр(—Г( — t )). В силу этого параметр а находился численно. По результатам расчетов параметр а устойчивого распределения для модуля тока был принят равным 1,25. Остальные параметры устойчивого закона найдены аналитически. Полученные нами значения таковы: /3 = 0, 7 = 0 = 4Г () kqN0 Dl A, к = 0,0484. Распределение по току частиц является трехмерным сферически-симметричным устойчивым законом. Заметим, что правильность наших расчетов подтверждена в [64], где найден способ аналитического вычисления параметров устойчивых законов, возникающих в нашей задаче. В данной главе получены следующие результаты. 1. Показано, что метод моментов не может использоваться для расчетов флуктуации числа частиц и анизотропии ввиду того, что используемые при этом распределения принадлежат к классу устойчивых законов и не имеют конечных вторых моментов. 2. Разработан новый подход к исследованию флуктуации и анизотропии космических лучей в модели равномерно распределенных дискретных случайных источников, основанный на применении теории устойчивых распределений. 3. Получено точное решение задачи о флуктуациях и анизотропии космических лучей при диффузионном характере распространения космических лучей. Показано, что распределения по числу частиц в Галактике и току принадлежат к классу устойчивых распределений с характеристическими показателями 5/3 и 5/4 соответственно.
Спектр протон-ядерной компоненты космических лучей в модели аномальной диффузии
Ансамбли источников моделировались методом Монте Карло при различных характеристиках Галактики: коэффициенте диффузии, времени удержания космических лучей, области нахождения источников. Используя (1.33) и (1.34), рассчитывался вклад в число частиц в точке наблюдения, вносимый источником, расположенным в точке (г,-, і,-), и суммарная концентрация космических лучей для каждой реализации ансамбля источников. После этого находились параметры полученных распределений. Поскольку указанные распределения должны принадлежать к классу устойчивых законов, для восстановления параметров распределения (а, (3, 7, А) использован алгоритм [60,70] (см., также, Приложение).
В случае нашей модели, когда распространение космических лучей описывается уравнением (1.4), «ближайшим» будем называть источник, дающий в данной случайной реализации ансамбля источников в Галактике максимальный вклад в концентрацию космических лучей в точке наблюдения. При этом «ближайший» источник определяется совокупностью пространственной и временной координат. Кроме того, из всего множества источников в рассматриваемой реализации выделялись п «ближайших» источников, вносящих п первых по величине вкладов в изучаемую величину. Параметры распределений исследуемой величины от «ближайших» источников также оценивались с помощью указанного выше алгоритма. Для тестирования комплекса программ, реализующего описанный метод, были проведены расчеты распределений в случае, имеющем аналитическое решение [41]. Сопоставление показало, что параметры распределений, получаемых при моделировании, восстанавливаются с хорошей точностью (погрешность не превышает 10%, что вполне достаточно для наших целей).
Используя описанный выше метод, нами были получены распределения по числу частиц от источника, вносящего наибольший вклад в концентрацию космических лучей в точке наблюдения. Данное распределение принадлежит к классу устойчивых законов с параметром а 1,1. Отметим, что этот показатель значительно отличается от показателя распределения по числу частиц от всех источников в Галактике, который равен 5/3. Наши оценки показывают, что вклад «ближайшего» источника во флуктуации числа частиц от всех источников составляет 30%.
На рисунке 2.4 показан вклад в число частиц в точке наблюдения от источника, находящегося в точке с координатами (г, і) в Галактике, а также нанесены контуры областей, в которых с большей вероятностью должны оказаться источники, вносящие наибольшие относительные вклады в наблюдаемую у Земли концентрацию космических лучей. На рисунке 2.5 показаны координаты источников, дающих три первых по величине вклада в концентрацию космических лучей. Здесь же нанесены области, показывающие наиболее вероятное положение источников, вносящих первые три по величине вклада в наблюдаемое число частиц. На рис. 2.6 на полученные в результате моделирования области положения источников, наложены известные сегодня ближайшие объекты нашей Галактики (по данным [4,29]). Из рисунка видно, что полученные нами области нахождения источников, вносящих различные вклады в наблюдаемую концентрацию космических лучей, хорошо согласуются с координатами известных источников в нашей Галактике. Относительные вклады близких источников обсуждаются, например, в [4,14,29,71]. Вопрос о вкладе источников Monogen и Geminga в этих работах не решен, однако согласно нашим расчетам помимо источника Loop 1, они могут вносить существенные вклады в концентрацию космических лучей, наблюдаемых у Земли. Более того, предположение об одинаковой мощности источников не приводит к противоречию с экспериментальными данными.
Важным вопросом является чувствительность полученных нами результатов к параметрам используемой модели Галактики: коэффициенту диффузии, времени удержания космических лучей в Галактике, области, в которой могут находится источники.
Из способа получения распределения в случае, допускающим аналитическое решение, следует, что параметр а получаемого устойчивого закона не должен зависеть от коэффициента диффузии. Численные расчеты подтверждают это утверждение. Зависимость а от времени удержания частиц в Галактике не удается исследовать аналитически.
Устойчивые распределения как предел сумм независимых случайных величин
В результате проведенных в диссертации иследований получены следующие результаты. 1. Разработан новый подход к исследованию флуктуации и анизотропии протон-ядерной компоненты космических лучей высоких энергий в модели равномерно распределенных случайных источников, основанный на теории устойчивых законов. 2. Впервые получено точное решение задачи о флуктуациях и анизотропии космических лучей в модели равномерно распределенных случайных моноэнергетических источников при диффузионном характере распространения космических лучей. Показано, что распределения по чилу частиц в Галактике и току принадлежат к классу устойчивых распределений с характеристическими показателями 5/3 и 5/4 соответственно, в силу чего дисперсия распределений не может использоваться для оценок ширины распределения. 3. Для флуктуации числа частиц и анизотропии в модели с большим гало с временем удержания частиц в Галактике Г-1 = 108 лет, коэффициентом диффузии D = 5-Ю28 см2-с-1, частотой взрывов сверхновых q = 3 Ю-78 см-3-с-1 (что соответствует взрыву одной сверхновой в Галактике раз в тридцать лет) в результате наших расчетов получены значения относительных флуктуации и анизотропии 6N 1% и 6j 0,01%, которые не противоречит оценкам, полученным в экспериментах. 4. Показано, что относительные флуктуации числа частиц и анизотропия в модели нормальной диффузии зависят от параметров задачи следующим образом: 5N ) 3/5Г и Sj Dl T. По имеющимся сегодня данным D Е&, /3 0,2ч-0,7иГ Е7, 7 /? При указанных значениях (3 и 7, характер изменения анизотропии с ростом Е определяется энергетической зависимостью времени выхода частиц из Галактики Г-1. Полученная в работе зависимость анизотропии от энергии позволяет объяснить имеющиеся экспериментальные данные в модели нормальной диффузии лишь при условии, что показатель 7 меняется от 0,15 до 0,54 в рассматриваемом диапазоне энергий (102-гЮ8ГэВ). 5. Рассмотрена диффузия космических лучей в модели, предполагающей наличие фрактальных свойств у вещества и магнитного поля Галактики. Характерной особенностью диффузии в среде фрактального типа является степенное распределение пробегов, в силу чего предложенное уравнение диффузии является уравнением в дробных производных, решение которого выражается через трехмерные сферически-симметричные устойчивые законы. 6. Исследована зависимость показателя энергетического спектра наблюдаемых космических лучей от энергии и фрактальных свойств межзвездной среды. Показано, что излом в спектре космических лучей может быть следствием фрактальности среды Галактики. 7. Предложен алгоритм нахождения параметров модели и спектра генерации частиц в источнике на основании данных о показателе спектра космических лучей в области до наблюдаемого излома и после него, а также энергии, при которой наблюдается излом. Показано, что удовлетворительное описание имеющихся экспериментальных данных по спектру всех частиц в энергетическом диапазоне Е = 102 -4-109 ГэВ достигается при спектре генерации частиц в источнике р « 2,9 и характеристическом показателе устойчивого распределения, связанного с фрактальной размерностью среды а « 5/3. 8. Исследованы области наиболее вероятного положения источников, дающих основной вклад в наблюдаемую концентрацию космических лучей. Сопоставление с известными источниками КЛ в Галактике показало, что, помимо источника Loop 1, источники Monogen и Geminga могут вносить существенный вклад в концентрацию космических лучей, наблюдаемых у Земли.
ВКЛАД АВТОРА. Идея использования теории устойчивых законов и теории чувствительности для исследования флуктуации и анизотропии космических лучей принадлежит научному руководителю, проф. А. А. Лагутину. Им же высказана гипотеза о связи излома в спектре космических лучей с фрактальной структурой межзвездной среды Галактики, предложено уравнение в дробных производных, описывающее прохождение космических лучей в среде фрактального типа. Распространение результатов теориии аномальной диффузии на задачу о прохождении протонов через межзвездную среде выполнено автором совместно с проф. А. А. Лагутиным и В. В. У Чайкиным. Расчеты флуктуации и анизотропии протонов космических лучей, создание алгоритма восстановления характеристического показателя устойчивого закона для модели дискретных случайных источников и его конкретная реализация, анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно. Также автором выполнены расчеты характеристик ядерной компоненты КЛ при различных режимах диффузии частиц в среде.
В заключение я выражаю искреннюю благодарность д.ф.-м.н. проф. А.А.Лагутину за многолетнее научное руководство и постоянное внимание к работе, а также также своим соавторам по опубликованным работам проф. В.В.Учайкину, доц. В.А.Литвинову, асе. Р.И. Райкину за многочисленные конструктивные обсуждения полученных в диссертации результатов. Я также выражаю признательность коллективу кафедры теоретической физики Алтайского государственного университета за полезные дискуссии, помощь и поддержку.
