Содержание к диссертации
Введение
1. Реконструкция томограмм при ограниченном числе проекций: двумерный случай 37
1.1. Введение 37
1.2. Основы томографической реконструкции 42
1.2.1. Варианты томографических задач и получение ракурсной информации 42
1.2.2. О возможности сокращения числа проекций 43
1.2.3. Математические основы 44
1.3. Традиционная реконструкция на основе фильтрации и доказательство Брейсуэлла-Риддла 48
1.3.1. Метод суммирования обратных фильтрованных проекций (ОФП) 48
1.3.2. Фильтрация методом ОФП и доказательство Брейсуэлла-Риддла 50
1.4. Разработка радиоастрономического подхода к реконструкции 51
1.4.1. Деконволюция в пространстве изображений и эквивалентная суммарная передаточная функция 53
1.4.2. Исследование возможностей применения методов чистки для томографической реконструкции 55
1.4.3. Метод двух чисток 70
1.4.4. Обсуждение 76
1.5. Реконструкция по экспериментальным профилям: приложение метода двух чисток 79
1.6. Моделирование, сопоставление и анализ результатов 83
1.6.1. Исходная модель, прямое и обратное проецирование, суммарное изображение 83
1.6.2. Суммарная передаточная функция (синтезированный луч) 87
1.6.3. Десятикратное сокращение числа проекций при традиционной реконструкции методом ОФП 89
1.6.4. Деконволюция с использованием стандартной чистки ST-CLEAN 94
1.6.5. Деконволюция с использованием чистки по контуру TC-CLEAN 96
1.6.6. Сопоставление результатов реконструкции методом суммирования обратных фильтрованных проекций с радиоастрономическим подходом на основе чистки 99
1.6.7. Ограничение сектора расположения ракурсов и дальнейшее сокращение числа проекций 101
1.6.8. Влияние шума 105
1.7. О радиоастрономических основах разработанного метода реконструкции 110
1.8. Выводы 112
2. Развитие трехмерной реконструкции 114
2.1. Развитие радиоастрономического метода реконструкции для построения трехмерных томограмм по одномерным и двумерным проекциям 114
2.1.1. Подход к реконструкции 116
2.1.2. Эквивалентная суммарная передаточная функция (синтезированный луч) 120
2.1.3. Суммарные изображения 124
2.1.4. Чистка 126
2.1.5. Обсуждение 128
2.2. Введение различных эквивалентных суммарных передаточных функций и перспективы использования разработанного метода 132
2.2.1. Дистанционное зондирование (варианты 2Dm и 3DjD) 132
2.2.2. Астрофизика: варианты 2DiD и 3D1D 134
2.3. Выводы 136
3. Дистанционные исследования космических объектов и развитие приложений разработанного метода реконструкции 139
3.1. Распределение яркости Крабовидной туманности по результатам реконструкции на основе профилей интенсивности радиоизлучения ее лунных затмений 142
3.2. Исследование эволюции радиоизлучения остатка сверхновой Кассиопея А в метровом диапазоне длин волн 154
3.2.1. О вековом ходе и актуальности измерений в метровом диапазоне длин волн 155
3.2.2. Результаты измерений 157
3.2.3. Обсуждение и выводы 162
3.3. Реконструкция доплеровских томограмм при исследованиях тесных двойных звездных систем в условиях неравномерности ракурсов и дефицита орбитальных фаз 167
3.3.1. Приложение радиоастрономического метода реконструкции к доплеровской астротомографии 169
3.3.2. Сокращение числа проекций при построении доплеровских томограмм двойной системы U СгВ 175
3.3.3. Построение доплеровских томограмм двойной системы Лебедь Х-1 при ограниченном числе спектрограмм 180
3.3.4. Построение и анализ экспериментальной трехмерной доплеровской томограммы двойной системы U СгВ 191
3.4. О некоторых возможностях использования радиоастрономического метода реконструкции томограмм в фундаментальных и прикладных задачах 203
3.4.1. О приложении метода к реконструкции высокоинформативных радиолокационных изображений 204
3.4.2. Геометрия и суммарная передаточная функция в двумерной локационной задаче 208
3.4.3. Геометрия и построение эквивалентных суммарных передаточных функций в трехмерной задаче 210
3.4.4. О сжатии изображений с использованием проекций 213
3.5. Выводы 216
Заключение 219
Список основных обозначений 224
Список литературы 225
- Деконволюция в пространстве изображений и эквивалентная суммарная передаточная функция
- Десятикратное сокращение числа проекций при традиционной реконструкции методом ОФП
- Развитие радиоастрономического метода реконструкции для построения трехмерных томограмм по одномерным и двумерным проекциям
- Приложение радиоастрономического метода реконструкции к доплеровской астротомографии
Введение к работе
Изучение физических процессов, происходящих на космических объектах, и исследование эволюции таких объектов являются традиционно одним из актуальных направлений современной астрофизики и радиоастрономии. Получение новых знаний в значительной степени связано как с конструированием инструментов и приборов, так и с разработкой методов для проведения наблюдений, анализа и интерпретации данных, получаемых при регистрации принимаемого электромагнитного излучения. Поэтому вопросы, относящиеся к созданию и развитию новых перспективных методов, актуальны и представляют существенный интерес для достижения прогресса при проведении астрономических исследований.
В диссертации представлено удачное сочетание работ по созданию нового радиоастрономического метода малоракурсной томографической реконструкции с результатами, полученными при изучении эволюционирующих космических объектов. Исследования остатков сверхновых на раннем этапе способствовали созданию метода, развитию его приложений к задачам астрофизики и формированию перспективного направления исследований эволюционирующих объектов на основе малоракурсной астротомографии. В итоге появилась хорошая возможность изучения движений потоков в двойных звездных системах с использованием трехмерного варианта доплеровской томографии.
Повышенный интерес к томографическим методам исследований в астрофизике обозначился на протяжении последних пятнадцати лет. Работы в данном направлении объединены общим названием -астротомография [1-2]. Недостаточное разрешение существующих инструментов стимулировало развитие косвенных методов получения информации о характеристиках космических объектов, многие из которых связаны с реконструкцией томографических изображений.
Классическим примером косвенных методов измерений является метод покрытий. Его применение позволяет определять угловые размеры объектов, а в некоторых случаях проводить реконструкцию двумерных распределений яркости таких объектов. Наблюдения покрытий Крабовидной туманности Луной при удачных обстоятельствах дают возможность реализовать построение двумерных радиоизображений [3-5]. В конце 60-х годов работы в этом направлении выполнены Л.И.Матвеенко [3-4]. Процесс реконструкции таких изображений при ограниченном числе проекций относится к задачам малоракурсной томографии.
Интересным примером косвенных измерений является метод доплеровской томографии [6], предложенный в 1988 году Маршем и Хорном для исследования характеристик тесных двойных звездных систем. Метод позволяет получать данные, недоступные прямыми измерениями. Основой служат одномерные профили спектров эмиссионных линий. При знании эфемерид, преобразованных к значениям орбитальных фаз, они пересчитываются в кривые лучевых скоростей. Процесс обработки предполагает построение томограммы, которая соответствует распределению интенсивности излучения в пространстве скоростей на частотах некоторой эмиссионной линии. Доплеровская карта может указывать на характерные особенности течения вещества. Использование трехмерных газодинамических расчетов [7-Ю], построение синтетических доплеровских томограмм [11] и последующее их сопоставление с полученными на основе экспериментов позволяет существенно уточнить физическую модель, отражающую физические процессы в источнике. Для реконструкции доплеровских томограмм, как правило, используется метод обратных фильтрованных проекций (ОФП), основы которого заложены в 1967 году в радиоастрономической работе Бреисуэлла и Риддла [12]. В доплеровской томографии метод ОФП получил распространение с 1991 года и широко применяется до сих пор.
Несмотря на вращение объектов, равномерное распределение спектрограмм по орбитальным фазам, удается получить далеко не всегда. Недостаток наблюдательного времени и отсутствие благоприятных условий являются причинами возникновения скважности. При ограниченном числе профилей, а также неравномерном распределении ракурсов в пространстве методы реконструкции, основанные на фильтрации, не способны противостоять искажениям томограммы. Снижение частоты среза на этапе предварительной фильтрации проекций позволяет уменьшить артефакты, однако следствием является слабое пространственное разрешение получаемых томографических изображений.
В настоящее время исследования двойных звездных систем ведутся на основе двумерного приближения доплеровской томографии, которое предполагает отсутствие потоков вещества вне орбитальной плоскости, см., например, [13-15]. Подобное упрощение может не соответствовать реальности для целого ряда двойных систем, в которых движения потоков вещества в направлениях, отличных от плоскости вращения системы, могут оказаться весьма значительны. Использование традиционных методов томографической реконструкции, основанных на фильтрации, таких как метод ОФП, сдерживает введение трехмерного варианта метода доплеровской томографии.
Возможность построения изображений по проекциям математически доказана Радоном в 1917 году [16]. Соотношение, необходимое для проведения реконструкции методами фильтрации, опубликовано Брейсуэллом и Риддлом в 1967 году [12]. Оно установило связь между числом проекций, диаметром и разрешением изображения. Работа [12] была посвящена вопросам радиоастрономии, однако быстро получила признание в томографии, так как на ней основан метод ОФП. Обозначилась связь томографической реконструкции с радиоастрономическими методами. Отметим, что задачи построения томограмм тесно
взаимосвязаны с проблемами восстановления изображений [17-22], относятся к классу обратных задач и часто являются некорректными [23]. В последние десятилетия томографической реконструкции посвящено большое число публикаций. Основные результаты приведены в известных монографиях и сборниках [24-32]. Однако проблема реконструкции при ограниченном числе проекций и неравномерном распределении ракурсов в пространстве разработана недостаточно.
Интенсивное развитие радиоастрономии, в особенности интерферометрии и апертурного синтеза [34], привело к созданию целого ряда новых методов, обладающих нелинейными свойствами. Накопленный опыт позволил по новому подойти к решению задачи реконструкции томограмм. Поиск путей повышения качества реконструкции изображений в малоракурсной томографии имеет важное значение для решения ряда астрофизических задач. Это особенно актуально для изучения течений вещества при решении фундаментальной проблемы эволюции тесных двойных систем. Актуален вопрос изучения течений в направлениях, отличных от орбитальной плоскости таких систем. Исследования могут быть проведены на основе трехмерного варианта метода доплеровской томографии, развитие которого до сих пор сдерживалось слабой эффективностью применяемых алгоритмов реконструкции, таких, как метод суммирования обратных фильтрованных проекций (ОФП). Решение проблемы реконструкции при ограниченном числе ракурсов весьма актуально также для задачи построения высокоинформативных изображений при радиолокационном зондировании, в том числе для построения изображений объектов ближнего космоса, таких как астероиды и космический мусор.
Разработке и развитию приложений радиоастрономического подхода (РП) к реконструкции томограмм, подхода, позволяющего в несколько раз сократить необходимое число проекций и использовать неравномерное распределение ракурсов в пространстве, посвящена основная часть
диссертационной работы. В диссертации рассмотрен также ряд актуальных вопросов, связанных с экспериментальными исследованиями эволюционирующих космических объектов и с формированием перспективных направлений таких исследований на основе разработанного метода малоракурсной томографической реконструкции. Задача разработки эффективных методов реконструкции актуальна не только в связи с возможностыо получения новых результатов об эволюционных изменениях космических объектов, ее решение представляет интерес для широкого круга фундаментальных и прикладных проблем.
Целью работы является разработка эффективного метода реконструкции изображений малоракурсной томографии для решения астрофизических проблем, проведение исследований с целью изучения эволюционирующих космических объектов, развитие метода реконструкции для решения трехмерных томографических задач, а также перспективных направлений его применения, в том числе приложений к доплеровской томографии двойных звездных систем.
Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные результаты:
1. Разработан новый метод - радиоастрономический подход (РП) к реконструкции томографических изображений при ограниченном числе проекций, отличительными признаками которого являются: решение задачи деконволюции в пространстве изображений с введением суммарного изображения и эквивалентной суммарной передаточной функции с последующим исключением откликов от боковых лепестков этой функции при помощи алгоритмов чистки. Метод позволяет использовать неравномерное расположение ракурсов в пространстве и в несколько раз (при высоком отношении сигнал/шум почти десятикратно) уменьшить их число по сравнению с традиционными методами, основанными на фильтрации, в
частности, с методом суммирования обратных фильтрованных проекций (ОФП).
Разработан метод двух чисток для определения области допустимых решений, расширяющий возможности радиоастрономического подхода (РП) в широком диапазоне пространственных частот.
Разработано приложение радиоастрономического подхода (РП), включающего использование метода двух чисток, для трехмерных томографических задач. Реализованы два варианта реконструкции: по одномерным профилям (3DID) и на основе двумерных проекций (3D2D).
Разработаны приложения РП к малоракурсной доплеровской астротомографии тесных двойных звездных систем, в том числе приложение РП для развития трехмерного варианта доплеровской томографии, позволяющего проводить исследования движений потоков в направлениях, отличных от орбитальной плоскости. Рассмотрен принцип приложения РП к дистанционному радиолокационному зондированию.
Получен ряд новых результатов при исследованиях эволюционирующих космических объектов:
обнаружено замедление скорости эволюционного уменьшения плотности потока остатка сверхновой Кассиопея А в метровом диапазоне длин волн;
построены двумерные распределения радиояркости эволюционирующего объекта - остатка сверхновой Крабовидная туманность по профилям ее лунных покрытий; на частоте 750 Мгц реализовано разрешение 20x35 сек дуги, что превосходит возможности систем апертурного синтеза на столь низких частотах на эпоху построения изображения;
а также ряд результатов, формирующих перспективные направления исследований эволюционирующих объектов на основе малоракурсной астротомографии, в том числе впервые с использованием трехмерного варианта доплеровской томографии:
построены две доплеровские томограммы двойной рентгеновской системы Лебедь XI по ограниченному числу спектрограмм в линии Hell на основе 9 и 6 профилей соответственно, которые позволяют проследить эволюционные изменения при переходе от «мягкого» к «жесткому» состоянию системы;
реализовано построение трехмерной доплеровской томограммы тесной двойной звездной системы по экспериментальным данным, что позволило на основе спектрограмм линии H« зарегистрировать движения потоков в направлениях, отличных от орбитальной плоскости двойной системы U СгВ; показана возможность существенного уточнения картины эволюционных изменений движений вещества в тесных двойных системах с использованием временного ряда трехмерных томограмм.
6. На основе разработанного радиоастрономического подхода (РП) создана новая информационно-вычислительная технология реконструкции, распознавания и анализа изображений малоракурсной томографии. Получило развитие важное научное направление -малоракурсная астротомография.
Научное и практическое значение работы определяется следующими обстоятельствами.
Полученные в диссертации экспериментальные результаты исследований эволюционирующих космических объектов, а также результаты, формирующие перспективное направление таких исследований с использованием малоракурсной доплеровской астротомографии имеют значение для развития представлений о физических процессах, происходящих на
космических объектах, представлений об эволюции остатков сверхновых, а также для дальнейшего развития исследований движений потоков вещества в тесных двойных системах с целью изучения эволюции таких систем. Полученные при наблюдениях лунных покрытий Крабовидной туманности результаты стимулировали исследования по разработке и развитию нового радиоастрономического подхода к решению задач малоракурсной томографии.
Радиоастрономический подход эффективен при ограниченном количестве ракурсов и их неравномерном распределении в пространстве. Он перспективен для использования в астрофизике, дистанционном радиолокационном зондировании, для решения широкого круга фундаментальных и прикладных проблем. Он может применяться в эмиссионных, транс-мисионных, локационных задачах. Его использование значительно расширяет возможности астротомографии при исследованиях тесных двойных звездных систем: позволяет получать двумерные доплеровские томограммы при ограниченном числе орбитальных фаз; экономить наблюдательное время, использовать ограниченный неблагоприятными обстоятельствами наблюдений набор профилей. Впервые реализованный для экспериментальных данных трехмерный вариант доплеровской томографии дает возможность проводить исследования движений потоков в направлениях, отличных от орбитальной плоскости тесных двойных систем. Созданная новая информационно-вычислительная технология реконструкции, распознавания и анализа изображений малоракурсной томографии может использоваться для обработки и анализа данных, полученных в различных спектральных диапазонах. Ее приложение целесообразно для обработки результатов наблюдений с использованием спектрографов высокого разрешения при исследованиях двойных звездных систем, в том числе будущей космической обсерватории «Спектр УФ». Получило развитие важное научное направление - малоракурсная астротомография.
Перспективно также применение разработанного
радиоастрономического подхода для решения задач дистанционного
зондирования, для развития технологий построения
высокоинформативных радиолокационных изображений объектов ближнего космоса, изображений при боковом землеобзоре в прожекторном режиме.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка цитируемой литературы. В диссертации 68 рисунков и 7 таблиц. Общий объем работы 247 страниц.
Во Введении обосновывается актуальность темы исследований, формируется цель работы и кратко излагается ее содержание.
Деконволюция в пространстве изображений и эквивалентная суммарная передаточная функция
Задача соответствует реконструкции распределения яркости двумерного (2D) изображения или сечения оптически тонкого эмиссионного объекта по одномерным (ID) проекциям, полученным на основе линейного перемещения сканирующего луча для каждого из используемых позиционных углов. Набор сечений с необходимым шагом позволяет восстановить трехмерное строение объекта. Исследованиям вопросов, возникающих для оптически толстых объектов, искажениям лучевого хода в окружающих их средах, в объектах с дифракцией, а также проблемам, связанным с переходом к трансмиссионной схеме, посвящено много научных работ, и здесь они не обсуждаются. По сходной причине мы не касаемся в настоящей работе фазовой проблемы и вопросов когерентного излучения.
Используем следующую терминологию: реконструкция распределения яркости подразумевает восстановление пространственных частот в непрерывном двумерном пространственном спектре с полосой {О, соь} ДО верхней граничной частоты сс ь (b - boundary), реконструкция изображений допускает введение в этом спектре различных спектральных ограничений До); в указанной полосе {0, соь}.
Классическое решение получено Брейсуэллом и Риддлом [12]. Ими показано, что количество проекций, необходимое для реконструкции распределения яркости на всех пространственных частотах в круге радиуса соь на плоскости uv составляет N nD(ub , где D - диаметр объекта. Число проекций NBH = 7iZ)ci)b мы уже назвали числом Брейсуэлла-Риддла. Неполное заполнение области пространственных частот в пределах окружности радиуса соь требует экстраполяции решения, а значит -нелинейных методов обработки. Традиционный подход к задаче восстановления распределения яркости двумерной томограммы на основе фильтрации, как правило, сводится к нескольким основным вычислительным схемам (см., напр., [27, 28]): фурье-синтезу, суммированию обратных фильтрованных проекций и фильтрации суммарного изображения. На методе интегральных преобразований Радона основано большинство разнообразных алгоритмов томографии, которые достаточно подробно описаны в [32]. Однако все эти алгоритмы, как правило, требуют большого числа проекций, слабо противодействуют искажениям томограммы при уменьшении числа проекций. Более привлекательными являются итерационные алгоритмы с нелинейными ограничениями [38, 33], введение в схему которых различной априорной информации не представляет существенных затруднений.
Разработанный радиоастрономический подход (РП) [101-102] основан на решении уравнения свертки в пространстве изображений. Перечислим его основные отличительные признаки. Первый признак - это введение эквивалентной суммарной передаточной функции (СПФ), или синтезированной функции Грина, аналога синтезированного луча (SB, Synthesized Beam) в радиоастрономии, то есть суммарной функции отклика на точечный источник (SPSF). Синтезированная функция имеет размерность выше, чем диаграмма (передаточная функция) реальной приемной системы, с помощью которой регистрируются проекции. Благодаря этому задачу можно свести к задаче обращения свертки, или деконволюции реального изображения с синтезированной функцией Грина. Если проекции равномерно распределены в пространстве и число их так велико, что обеспечивает требуемое разрешение, то синтезированная функция Грина отлична от нуля только в небольшой области, характеризующей разрешение. При ограниченном числе проекций она отлична от нуля также на расходящихся от центра направлениях, то есть имеет так называемые боковики (боковые лепестки синтезированного луча - SL, sidelobes). Отклики от боковых лепестков вносят искажения (артефакты) в суммарное изображение (томограмму). Вторым отличительным признаком является процедура чистки (CLEAN) для исключения искажений, вызванных откликами от боковиков синтезированного луча. Алгоритмы чистки - это реализации итерационного алгоритма с нелинейными ограничениями, разработанные для решения радиоастрономических задач. Третьей составляющей является разработанный нами метод двух чисток [62, 75, 97, 100, 102] для определения области допустимых решений в сложных случаях (2-CLEAN DSA- от английского Determination of the permissible Solutions Area).
В процессе разработки радиоастрономического подхода было выполнено исследование сходимости [61, 62] при использовании алгоритмов чистки ST-CLEAN (standard CLEAN) [42] и TC-CLEAN (Trim Contour CLEAN) [43] в томографической задаче с ограниченным набором проекций. В период второй половины восьмидесятых годов существовала необходимость исследования поведения созданного в 1984 году алгоритма TC-CLEAN в различных практических ситуациях, на что было указано в [58]. Имелась также некоторая неопределенность с выбором величины усиления X даже для алгоритма ST-CLEAN. Блок-схемы алгоритмов приведены нарисі.4. и 1.5.
Томографическая задача и, в частности, геометрия синтезированного луча существенно отличались от радиоастрономических задач апертурного синтеза. Наличие расходящихся лучей у синтезированной передаточной функции в томографической задаче означает, что внутренняя структура двумерного объекта исследуется не игольчатым лучом, а лучом, в котором максимальный уровень боковых лепестков тем больше, чем меньше имеется проекций, а следовательно и ножевых приемных диаграмм. Вследствие этого возникают искажения томограммы, которые при числе проекций N NBR становятся незначительны, однако с уменьшением количества проекций существенно возрастают. Кроме того, уровень радиальных боковых лепестков постоянен по мере удаления от центра.
Десятикратное сокращение числа проекций при традиционной реконструкции методом ОФП
Установленная величина усиления А,=0.25 привела к полному расхождению результата с исходной моделью (см. рис. 1.10а). Для повышения устойчивости решения на основании численного моделирования в [61] нами был предложен следующий способ: 1) определить по соответствию исходных и контрольных профилей наиболее благоприятный интервал X (рекомендуется область поиска при наличии протяженных структур 0.03 А, 0.20); 2) в установленном интервале выполнить выбор ряда параметров Aj , при которых значения ошибки сравнения профилей минимальны; 3) для отобранной серии значений X] усреднить результаты чистки (/ (х,у) . Предложенный способ - это объединение итерационного процесса [42], который может иметь сложный статистический характер при проведении поиска оптимальных значений X, с методами, позволяющими извлекать информацию из ансамбля искаженных изображений. При этом усреднение - один из наиболее простых способов повышения устойчивости, могут быть использованы более сложные способы, подобные, например, обработке спекл-масок короткоэкспозиционных изображений.
В 80-е годы появились модификации базового алгоритма. Кларк [56] ввел изменения с целью ускорения процесса. В 1983 г. Корнвеллом [57] были предложены два варианта для стабилизации и уменьшения искажающих эффектов: SSC - чистка, стабилизированная сглаживанием, и ESC - чистка, стабилизированная энтропией. При малых значениях X алгоритм SSC эффективен для понижения искажений, однако ценой ассимптотического поведения процесса. Между тем, в [60] было показано теоретически и на примере, что единственное решение, к которому сходится алгоритм, не должно иметь желанных качеств подавления боковиков. Кроме того, отмечалось, что вторая методика (ESC) не может быть использована, так как процесс не сходится. Существенная модификация чистки (TC-CLEAN) - чистка по контуру была представлена в 1984 году в работе Стира и др. [43], в которой для выбора компонентов в каждой итерации используется методом приспособленного контура (ТС). Блок-схема метода показана на рис. 1.5. Ценные качества алгоритма проявляются при обработке протяженных областей. Поскольку в каждой итерации одновременно участвует большое число компонентов с интенсивностью, превосходящей уровень контура ТС, предотвращается образование дефектов в виде полос: "оврагов" и "гребней". Отметим, что у Кларка [56] ускорение достигается только за счет вычитания синтезированного луча одновременно из нескольких максимумов. Поскольку при этом используется только центральная часть синтезированной диаграммы, возможны заблуждения при наличии достаточно сильных боковых лепестков на удалении от центра. В нашей задаче уровень радиальных боковых лепестков с удалением от центра не снижается, что делает неприемлемой модификацию [56]. В [43] возникновение подобных дефектов исключено. Сокращение времени достигается за счет перемножения матриц в частотной области и из-за выбора в каждой итерации оптимального шага приращения при применении двух пар БПФ. В итоге модификация TC-CLEAN выглядит наиболее привлекательной для решения задачи в случае наличия протяженных областей.
Второй реализованный нами алгоритм - чистка по контуру (TC-CLEAN) позволил получить существенные улучшения при обработке протяженных структур. Как видно из рис. 1.86, суммарное изображение (некорректная карта) в нашем случае имеет весьма гладкую структуру. При этом в контур вначале попадает наиболее протяженная область, с ростом номера итерации в качестве компонентов участвуют все более мелкие детали. На заключительной стадии процесс можно всегда остановить в случае усиления шума. Ценные качества алгоритма большая скорость, высокая устойчивость. Отсутствуют искажения в виде "оврагов", в 20-30 раз уменьшается число итераций по сравнению со стандартной чисткой.
Остановимся подробнее на процессе нахождения решения на основании минимизации ошибки исходных и контрольных профилей и исследовании сходимости. Пользователю необходимо установить 3 параметра: уровень контура ТС, усиление Я, и пороговый уровень на суммарном изображении. Согласно [43] величину ТС следует выбрать немного выше максимального уровня боковых лепестков. В нашей задаче при ножевых радиальных боковых лепестках такой низкий уровень не обеспечивает сходимости процесса, поскольку в контур, начиная с первой итерации, попадает эмиссия суммарного изображения, расположенная вне истинной области расположения источника. Выполненные нами расчеты [61] иллюстрируют возможности оптимизации при выборе параметров ТС и X. Рис.І.Па иллюстрирует поиск экстремума, то есть нахождение минимума ошибки а(ТСД) при изменении параметров уровня контура ТС и усиления X. Из верхнего графика видно, что критерий позволяет определить наиболее благоприятный интервал для выбора ТС, в данной задаче 0.7 ТС 0.8. Точнее выполнить оптимизацию позволяет расчет нескольких зависимостей G(X, TC=const). Из нижнего графика следует, что ТС=0.79 близко к оптимальному значению, разброс значений при ТС=0.73 (см. рис. 1.116) иллюстрирует заниженный уровень контура. Варианты решений при ТС=0.79 практически не отличаются друг от друга при изменении усиления в достаточно широком интервале 0.25 А, 0.50. Лучший вариант решения, полученный в итоге при ТС=0.79, показан на рис.1.8(в). В итоге для подобных задач рекомендуется: 1) установить уровень контура ТС по возможности меньше (ниже), однако в пределах границ истинной области излучения, используя априорные данные; 2) выбрать X несколько больше, чем 1-ТС; 3) дополнительно можно выполнить более точную оптимизацию контура ТС, подобно процессу, показанному на рис. 1.11.
Развитие радиоастрономического метода реконструкции для построения трехмерных томограмм по одномерным и двумерным проекциям
Выполним традиционную реконструкцию, используя метод обратных фильтрованных проекций (ОФП). Иначе ее можно еще назвать реконструкцией по Брейсуэллу-Риддлу [12], или BR-реконструкцией. Минимальный размер компонентов для нашей модели был выбран с учетом соотношения Брейсуэлла-Риддла (1.9), исходя из наличия 100 ракурсов. Учитывая это обстоятельство, дополнительное усечение высоких пространственных частот не потребовалось. В случае 100 проекций результат реконструкции обозначим ОФП 100, в случае 10 ракурсов -ОФП 10. Принцип такой реконструкции практически полностью эквивалентен обратному проецированию с введением усеченного фильтра, именуемого иногда фильтром Рама-Лака (см., например, [111]) с частотным откликом пропорциональным пространственной частоте \со до установленной границы среза со6 . Такая процедура, именуемая «Вычисление обратного преобразования Радона» с введением ряда фильтров (Рама-Лака, Шеппа-Логана, косинусного) и нескольких вариантов интерполяции уже содержится в последних версиях программного пакета MATLAB в разделе «Обработка сигналов и изображений». Разработанные нами программы реконструкции используют современную версию Fortran с использованием графики Visual Fortran и библиотеки Open GL, существенно расширяющей возможности построения изображений для Интел-совместимых компьютеров. На рис. 1.23 и 1.24 показаны полученные результаты реконструкции для 100, а также для 10 проекций при условии равномерного распределения ракурсов на плоскости. При 100 ракурсах изолиния с уровнем интенсивности 0.01 находится за пределами границ изображения. Это объясняется наличием искажений, величина которых обусловлена уровнем боковых лепестков СПФ. Отметим, что при 100 ракурсах максимальный уровень боковых лепестков равен 1%.
В случае 10 проекций корректное проведение реконструкции по Брейсуэллу-Риддлу требует десятикратного понижения частоты среза. Введение столь сильного усечения на этапе предварительной фильтрации проекций приведет к практически полному сглаживанию компактных деталей модели и невозможности их последующего восстановления. В итоге метод ОФП (по Брейсуэллу-Риддлу) с введением требуемой частоты среза позволяет в случае 10 проекций получить лишь сглаженное и совершенно неинформативное изображение, близкое по виду к суммарному. При этом размер восстанавливаемых деталей в соответствии с формулой (1.9) будет равен d = 0.7855, что лишь в три раза меньше полного диаметра объекта. Между тем, при 100 проекциях разрешение в 10 раз выше и составляет 0.07855. Альтернативой при использовании малого числа проекций является получение изображения без предварительного усечения высоких пространственных частот на проекциях. Результат такой реконструкции представлен на рис. 1.24. Из рисунка видно, что изображение сильно искажено по сравнению с исходной моделью. Уровень ошибки в данном случае составляет -10% даже при том условии, что в расчет не включаются области, расположенные за пределами изолинии, соответствующей уровню 0.01. Компактные элементы изображения просматриваются, однако имеются очень сильные искажения в виде расходящихся из центра лучей в направлениях, соответствующих десяти выбранным ракурсам расположения приемных диаграмм.
Отметим, что при расчете ошибки по всей области карты, ее значение будет значительно выше. Хорошее соответствие структуры центральной области модели обусловлено невысокой интенсивностью на периферии при отсутствии на краях изображения ярких компактных деталей. Наличие таких элементов приведет к значительному росту искажений в виде лучевой структуры по всей карте, включая центральную область. В таких условиях значения ошибки будут уже значительно превышать полученные 10% . При анализе сходства изображений наряду с подсчитанной по всем точкам изображения дисперсией, разумно использовать дополнительные критерии, связанные с распознаванием одного или нескольких образов изображения. В случае использования глаза специалиста такой критерий определяется опытом работника. Однако для целого ряда задач не только полезно, но и необходимо введение математически формализованных методов распознавания образов. Развитию этих вопросов посвящен один из разделов монографии [20]. Представляется весьма перспективным использование с этой целью контурного анализа [155-156]. Описанные в указанных монографиях методы, могут быть, исходя из конкретных условий, адаптированы к рассматриваемой задаче и введены в общую структуру алгоритмов.
Для удобства визуального сопоставления на рис. 1.25 полученный результат реконструкции ОФП 100 показан вместе с исходной моделью МОДз. Как видно из рисунка, наблюдается хорошее соответствие изображений. Величина дисперсии результата реконструкции при 100 проекциях (ОФП 100) и исходной модели (МОДз) составила 1.09%. Расчет проводился по формуле а = Mf(Pt)-f(P,)] 1 1/( )]2 , где /(/») и }(р) являются значениями интенсивности исходной модели и результата в точке Рг Негативным моментом является лишь отсутствие на результирующем изображении ОФП 100 внешней изолинии, интенсивность которой равна 0.01
Приложение радиоастрономического метода реконструкции к доплеровской астротомографии
Проведем эксперимент по реконструкции томограмм при наличии шума. Наложим аддитивный шум на исходные 10 проекций, полученные с модели. Они были показаны ранее на рис. 1.19. Ракурсы распределены равномерно в секторе углов 180 градусов. В качестве примера на рис. 1.34 изображена крупным планом одна из проекций, рассчитанная для модели при ракурсе 72 в отсутствие шума, и та же проекция с наложенным на нее шумовым сигналом. Отношение с/ш определено как отношение величины максимальной интенсивности проекции на уровне 0.5 к дисперсии шумовой дорожки и равно в данном случае 25. На графиках показан также вид контрольных проекций, построенных для полученных в результате реконструкции изображений.
На рис. 1.35 и 1.36 показана серия полученных в результате реконструкции с применением РП и чистки тс-CLEAN изображений при трех уровнях шума, наложенных на исходные проекции (с/ш=50; с/ш=25; с/ш=5). Для сопоставления в верхней части рис. 1.35 приведены изображения исходной модели (MOfls) и результат реконструкции с использованием РП (TC-CLEAN), полученный ранее в отсутствии шума.
В правой части рисунков показан вид соответствующих исходных проекций при наложенном шумовом сигнале. На тех же рисунках изображены также контрольные проекции, построенные для полученных в результате реконструкции изображений. Все 5 изображений (MOfls ; TC-CLEAN без шума; TC-CLEAN S/N=50; TC-CLEAN S/N=25; TC-CLEAN S/N=25) имеют 11 изолиний с одинаковыми уровнями интенсивности: 0.01; 0.05; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Необходимо обратить внимание на полученный результат реконструкции при уровне с/ш=50. Изображение достаточно хорошо повторяет структуру модели, дисперсия составила 7.2% и лишь в 1.3 раза превышает ошибку результата, полученного в отсутствие шума. Существенно искажена лишь внешняя изолиния с уровнем интенсивности 0.01. Вполне удовлетворительное соответствие, на наш взгляд, показал и результат при уровне с/ш=25. Вместе с тем, низкий уровень с/ш=5 существенно осложнил ситуацию. Он оказался слишком велик и не позволил получить удовлетворительный результат реконструкции для данной модели при 10 ракурсах (см. рис. 1.36).
Соответствующие величины ошибок сравнения полученных в результате реконструкции изображений с исходной моделью (мод5) представлены в табл.1.3. Из таблицы видно, что неудовлетворительный результат реконструкции при отношении на исходных проекциях с/ш=5 характеризует дисперсия G(MOfl3), рассчитанная при сравнении с моделью, равная 12.3%. Эта величина более, чем в два раза превышает ошибку результата реконструкции в отсутствие шума, которая составила в нашем случае 5.5%.
В итоге проведенного моделирования можно сделать вывод, что малый уровень шумов (отношение с/ш 25-50) дает возможность получить результат реконструкции, хорошо согласующийся с изображением, полученным в отсутствии шумов. Это соответствует увеличению приблизительно в 1.5 раза величины дисперсии сравнения с моделью по отношению к дисперсии результата, полученного без шумов. Вместе с тем, высокий уровень шумов не позволяет получить удовлетворительный результат реконструкции с использованием РП при десятикратном сокращении числа исходных проекций по сравнению с числом проекций, необходимым для реконструкции согласно Брейсуэллу и Риддлу. Проведение успешной реконструкции изображений, подобных нашей модели, требует при столь сильном сокращении числа ракурсов использования проекций с низким уровнем шума. Моделирование показало, что уменьшение отношения сигнала к шуму до уровня 10, заведомо приводит к неудовлетворительному результату при решении подобной задачи. Для исправления ситуации необходимо либо добиться снижения уровня шумов, либо увеличить количество ракурсов. При этом второй вариант принесет также и положительный статистический эффект, связанный с увеличением числа независимых измерений.
Проведенное детальное моделирование с использованием современных персональных компьютеров подтвердило, что разработанный радиоастрономический подход к реконструкции с использованием чистки позволяет в несколько раз сократить необходимое число проекций (при высоком отношении сигнал/шум - почти десятикратно) в сравнении с традиционно применяющимся при реконструкции методом обратных фильтрованных проекций. Получены ценные результаты о влиянии на результат реконструкции шума, сокращения сектора обзора и дальнейшего уменьшения числа ракурсов.
