Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Приближенные решения уравнения переноса излучения в линиях. общий анализ 16
1.1. Основные предположения и уравнения . 16
1.2. Интегральное уравнение переноса 21
1.3. Вероятностная трактовка процесса переноса излучения 25
1.4. Длина термализации и приближение 29
1.5. Приближение L2 32
1.6. Приближения F и С 41
1.7. Другие приближения 46
1.8. Соотношения типа Эддингтона-Барбье и метод насыщения ядра 51
1.9. Связь между приближениями С и Ы . 61
Глава II. Поля излучения в ншодвижных атмосферах:, приближенные и численно точные решения 67
2.1. Ядерные функции и их свойства 67
2.2. Стандартная и фундаментальная задачи для полубесконечных атмосфер 70
2.3. Стандартная и фундаментальная задачи для атмосфер конечной оптической толщины 87
2.4. Уточнения приближения L2. 105
2.5. Учет поглощения в континууме 110
2.6. Произвольное распределение мощности первичных источников 115
2.7. Однородный шар 123
Глава III. Поля излучения в движущихся атмосферах . 126
3.1. Общий анализ 126
3.2. Ядерные функции при малом градиенте скорости 128
3.3. Стандартная задача 135
3.4. Приближения Ы и L2. 145
3.5. Диффузионное приближение 151
3.6. Профили линий 153
Глава ІV. Численные методы расчета полей излучения в частотах линий 161
4.1. Общие замечания по применению численных методов расчета функции источников в линии 162
4.2. Метод аппроксимации ядра интегрального уравнения переноса суммой экспонент . 166
4.3. Метод Эврета-Лезера 170
4.4. Метод коллокации 174
4.5. Метод типа Шармера 178
Заключение 186
Литература 189
Приложение.
- Вероятностная трактовка процесса переноса излучения
- Стандартная и фундаментальная задачи для атмосфер конечной оптической толщины
- Ядерные функции при малом градиенте скорости
- Общие замечания по применению численных методов расчета функции источников в линии
Введение к работе
Первоначально в астрофизике предполагалось, что фотоны переносят энергию, рассеиваясь на малых частицах или на молекулах (атомах) газа, не изменяя при этом своей частоты (монохроматическое рассеяние, см., например, [і,2]). Соответствующая теория была разработана в работах В.А.Амбарцумяна [з], В.В.Соболева [4], СЛандрасекара [2] и ряда других авторов и неоднократно применялась при исследовании формирования непрерывных спектров в атмосферах звезд и планет, газовых туманностях [б -7], а также в теории переноса нейтронов [8-9].
Долгое время теория образования спектральных линий также основывалась на предположении о монохроматичности рассеяния. Так, теория монохроматического рассеяния правильно предсказывает поведение некоторых интегральных характеристик линий, например, эквивалентных ширин, но теоретические профили линий плохо согласуются с наблюдениями (см. [і]). В 40-е годы выяснилось, что более точным, чем предположение о монохроматичности рассеяния, является предположение о полном перераспределении по частотам (ШШ). В последнем принимается, что поглощение и переизлучение фотона атомом - независимые события, а вероятность переизлучения на данной частоте пропорциональна коэффициенту поглощения в линии. Это приближение было введено В.В.Соболевым в 1941 г. и затем независимо рядом других авторов (см. об этом в [lO,Il]). Почти одновременно с ШШ были найдены и более реалистичные функции перераспределения по частотам, описывающие зависимость частоты излучаемого атомом фотона от частоты поглощенного Гі2,ІЗІ (сводку работ по этому вопросу дал
Дж. Хаммер |I4J). Они оказались гораздо более сложными, чем соответствующая функция при ППЧ, и до недавнего времени привлекались только для обоснования ШШ. В 60-70-е года был выполнен ряд расчетов полей излучения с учетом частичного перераспределения [і5-18], причем оказалось, что приближение ППЧ применимо в большинстве астрофизических ситуаций. Аналитические результаты с применением "реальных" функций перераспределения появились лишь в последние годы [l9-2l] .
Существует два подхода к задаче об определении поля излучения в газовых средах. Первый - будем называть его дифференциальным - основан на использовании интегродифференциального уравнения переноса излучения при получении точных и асимптотических соотношений и для расчета интенсивности излучения, второй - интегральный - на использовании интегрального уравнения для функции источников в линии. Через функцию источников, пропорциональную степени возбуждения атомов, выражается затем интенсивность излучения. Интегральный подход оказался более продуктивным при получении аналитических результатов, дифференциальный - при проведении вычислений. Это особенно ярко проявилось с развитием ЭВМ: большинство эффективных численных алгоритмов расчета полей излучения с широкой областью применимости основано на прямом решении уравнения переноса для интенсивности. Преимущества же интегрального подхода для аналитической теории очевидны - функция источников, как правило, зависит от меньшего числа переменных, чем интенсивность.
Интегральное уравнение для функции источников в линии при ППЧ для плоской однородной неподвижной атмосферы было получено В.В.Соболевым [22], Л.М.Биберманом [23] и Т.Холстейном [24]. В.В.Соболев показал, что для таких атмосфер интенсивность излу- чения зависит не от трех переменных - оптической глубины, частоты и косинуса угла, под которым распространяется излучение относительно внешней нормали, а от двух - оптической глубины и комбинации частотной и угловой переменных [4]. По существу именно это дало возможность применить в теории образования линий аппарат, аналогичный развитому ранее в теории монохроматического переноса* В работах В.В.Иванова, Д.И.Нагирнера, Ю.Ю.Абрамова, А.М.Дыхне и А.П.Напартовича были найдены точные решения основных модельных задач и многочисленные асимптотические решения; сводку этих аналитических результатов см. в [ю, 11,25].
Одновременно с аналитической теорией развивались эффективные численные методы расчета полей излучения в частотах спектральных линий. Первоначально основное внимание уделялось численному решению модельных задач [26,27]. В дальнейшем появились более общие и гибкие методы, позволяющие находить характеристики полей излучения и в "реальных" астрофизических объектах [28,29].
Аналитическая теория строится для простейшего случая двухуровневого атома с известной населенностью нижнего уровня. Численные методы тестируются на таких задачах. Точный расчет многоуровневых моделей требует больших затрат машинного времени, поэтому необходимо приближенно учитывать эффекты, обусловленные переносом излучения. Часто это единственная возможность рассчитать ту или иную модель.
Первое приближенное выражение для функции источников в линии было получено В.В.Соболевым [22] и Л.М.Еиберманом [23,30] путем вынесения функции источников из-под знака интеграла в основном интегральном уравнении для этой функции. Область приме- нимости этого метода (мы будем называть его приближением L1 ) сравнительно узка. Однако при расчетах полей излучения в атмосферах, движущихся с большим градиентом скорости, этот метод оказался чрезвычайно плодотворным и широко используется [ЗІ, 32].
В дальнейшем на получение приближенных решений проблемы переноса линейчатого излучения были направлены усилия многих авторов. В.В.Иванов [зз,34] на основании изучения асимптотического поведения решений основного интегрального уравнения предложил приближенное выражение для функции источников в линии, сочетающее высокую точность с широкой областью применимости (приближение L2 ). Приближенное дифференциальное уравнение для усредненной по продлю коэффициента поглощения в линии средней интенсивности получил Р.Атей [35]. Приближенное дифференциальное уравнение для функции источников в линии вывели У. и Э.Фриши [зб] . Явление насыщения в ядре линии использовал Дж.Райбики [37] при получении приближенных и точных численных решений задачи о переносе излучения в линии. На случай атмосфер, расширяющихся с градиентом скорости, диффузионное приближение, широко использующееся для монохроматического рассеяния, распространил В.П.Гринин [38], приближение Ы Хаммер и Райбики [зэ], приближение L2 - С.И.Грачев [40].
Ниже под приближениями высокой точности мы будем понимать те, которые дают значения функций источников, отличающиеся от точных не более, чем вдвое. Употребление термина "высокоточный" может при этом показаться странным. Однако функции, для которых строятся приближения, зависят от большого числа параметров (число их может достигать пяти) и изменяются на многие порядки. В такой ситуации использование термина "высокоточный" является, на наш взгляд, оправданным.
В последние годы были предприняты новые попытки отыскания приближенных решений проблемы переноса линейчатого излучения [41,42]. Однако ряд существенных закономерностей в структуре полей излучения в частотах линий, установленных в аналитических исследованиях, до сих пор остается вне поля зрения потребителей теории переноса излучения. Приближения строятся без должного учета аналитической информации, их точность и область применимости остаются невыясненными.
Целью данного исследования является: сравнительное изучение важнейших приближенных методов расчета полей излучения - их принципиальных основ, областей применимости и обеспечиваемой ими точности, выработка рекомендаций по применению этих методов; выяснение областей применимости известных асимптотических результатов, выявление новых закономерностей в структуре полей линейчатого излучения и на этой основе разработка приближенных и численных методов расчета полей излучения в линиях, обладающих высокой точностью в широкой области применимости.
Понятно, что для выяснения точности приближений и разного рода асимптотик необходимо сравнение с численно точными решениями. Поэтому одна из задач, решаемых в диссертации, - реализация предложенных ранее и разработка новых эффективных алгоритмов решения уравнения переноса излучения в линии и интегрального уравнения для функции источников.
Содержание диссертации следующее.
В первой главе, отчасти имеющей вводный характер, дан общий анализ приближений, используемых в теории переноса линей- чатого излучения при стандартных предположениях. Атмосфера считается плоскопараллельной и однородной, атом - двухуровневым. При рассеянии происходит полное перераспределение по частотам в системе отсчета, связанной с веществом. Рассматриваются неподвижные и движущиеся с постоянным градиентом скорости атмосферы. В этом случае, как известно, задача об определении поля излучения в линии сводится к нахождению функции источников в линии. Основное интегральное уравнение для этой функции переписывается в виде, позволяющем единообразным способом ввести приближения для функции источников в линии в различных физических ситуациях, например, при учете поглощения в континууме (j3 ^0) и при расширении с постоянным градиентом скорости ( # ^0). Здесь В - отношение коэффициента поглощения в континууме к коэффициенту поглощения в центре линии, у = -7—(= const) - градиент скорости в атмосфере.
Далее рассматриваются наиболее употребительные приближения для функции источников в линии. Вероятностный метод (приближение L1 ) при j8< I, % < I дает на границах атмосферы погрешность в функции источников, которая может превышать порядок величины. Затем рассматривается высокоточная аппроксимация В.В.Иванова [34] (приближение LZ ). Она распространяется на случай ft , В 4- 0. Указан способ расчета функции источников в приближении L2 при произвольном распределении мощности первичных источников излучения без предварительного нахождения резольвенты основного интегрального уравнения, обладающий существенными вычислительными преимуществами перед обычным. Затем обсуждаются приближение Фришей ( F ) [Зб] для полубесконечных атмосфер и приближение Р.Пуэттера и др. ( С ) [4lJ для атмосфер конечной оптической толщины. Оказывается, что L2 , F и
С тесно связаны с L1 . Отмечено, что диффузионное приближение в качестве аппроксимирующей формулы оказывается применимым и в случаях, когда первый и второй моменты ядра основного интегрального уравнения не существуют.
В конце главы исследованы приближенные соотношения между функцией источников и интенсивностью излучения. Предлагается приближенная формула, которая вблизи границ атмосферы переходит в соотношение Эддингтона-Барбье, а в глубоких слоях атмосферы описывает явление насыщения в ядре линии. Это приближение используется для получения аппроксимаций для усредненной по профилю средней интенсивности, если задана функция источников. Найдено предположение, лежащее в основе приближений F и С . Показано, что при быстром изменении мощности первичных источников с глубиной это предположение не выполняется.
Вероятностная трактовка процесса переноса излучения
Из (3.5) при = 1/2 следует второе равенство в (1.7.14). Крупномасштабное поведение приближенной S V Q ) , которая да-ется (3.4), отличается от точного (3.2). Однако для S = const это отличие невелико.
Перейдем теперь к фундаментальной задаче. Ниже при оценках точности различных приближений они сопоставляются с численно точными решениями интегрального уравнения для Ф( 0) , полученными методом аппроксимации ядра с точностью 1% (см. 4.2), Насколько нам известно, ранее резольвентная функция для атмосфер конечной оптической толщины при рассеянии в частотах спектральных линий не вычислялась.
Обсудим вначале приближение L2 резольвентной функции. Прежде всего подчеркнем, что резольвентная функция фактически зависит от трех аргументов : основной переменной - оптической глубины т , и от двух параметров - оптической толщины х0 и вероятности выживания фотона при рассеянии А . Использование L2 -приближения приводит к существенному упрощению: функция трех переменных приближенно выражается через функции одной переменной. Как и в случае полубесконечной атмосферы, полезно выделить две области значений % и исследовать погрешность L2 в них по отдельности. Сначала рассмотрим погрешность L2. у границ атмосферы. Вблизи верхней границы ( т = 0) при заданном профиле поглощения погрешность представления (1.5.II) имеет универсальный характер для всех достаточно больших т:0 и близких к единице Я . Она целиком обусловлена ошибкой L2. -приближения резольвентной функции для полубесконечной атмосферы (см. 2.2, рис. 8). Отметим, что логарифмическая особенность Ф(т:,г0) при т — О точно воспроизводится формулой (1.5.II). На нижней границе положение сложнее. При т0»Ъъ формула (1.5.II) дает: При вычислении ЯЧ о о) по (3.6) и (3.7) вместо Кіг. и К2, следует брать главные члены их асимптотик при больших т0 . В итоге оказывается, что (3.6) и (3.7) совпадают с главными членами строгих асимптотик ФС о/ о) в соответствующих областях (см. [її, 8.5]). Поэтому можно ожидать, что в оптически толстых атмосферах на нижней границе ошибка L2 будет максимальной, когда т0 т . Наши расчеты подтвердили это. Оказалось, что резольвентные функции, найденные по (1.5.II), отличаются от точных не более, чем в 1,5 раза. Фойгтовский параметр а, в расчетах принимался равным 0; 0,001; 0,01. Однако, так как погрешность L2. уменьшается с ростом & , она, по-видимому, будет мала для всех а - от 0 до .С удалением от нижней границы в области т0-т « v0 ход погрешности такой же, как для L2. вблизи границы полубесконечной изотермической атмосферы. Исследуем теперь крупномасштабное поведение погрешности L2 . Из (1.2.14) и (1.2.15) видно, что при произвольном ис-точниковом члене S (т) точность L2. вдали от обеих границ полностью определяется крупномасштабным поведением аппроксимации (1.5.II). Поэтому если и здесь ошибки невелики, то мы можем гарантировать высокую точность L2 при любых -S (v) . Вначале рассмотрим консервативные атмосферы, т.е. предельный случай тГо/тг .— 0. Для этого случая известно асимптотически точное выражение для резольвентной функции (см. [II, 8.5]) Легко убедиться, что Ф(хтг0,тг0) в приближении L2. отличается от (3.8) лишь отсутствием множителя С . Для проверки этого достаточно воспользоваться асимптотическими свойствами ядер К12 и К2л (формулы (1.6)). Для диссипативных атмосфер (Я I) аналитически исследовать характер крупномасштабного поведения ФС о) трудно. Мы ограничимся тем, что приведем соответствующие численные результаты. Расчеты показали, что погрешность L2. максимальна, когда c0 rzt .На рис.12 даны кривые относительной погрешности Л = 1 — и для различных и таких оптичес-ких толщин, что о = (1-Я) ; профиль - допплеровский. Видно, что и в диссипативных атмосферах ошибка L2 -приближения резольвентной функции невелика (меньше 40$). Приближение С для вычисления резольвентной функции неприменимо. Оказывается, что С приводит к большим погрешностям независимо от выбора граничного условия. Это иллюстрируется, например, следующим. Ш находили резольвентную функцию из (1.6.6), полагая ее значение в середине слоя равным найденному при численном решении интегрального уравнения для (T TQ) , т.е. использовали точное граничное условие. При этом погреш ri 2 ность С неизменно оказывалась гораздо больше, чем для L2 . При больших т0 ошибка достигает нескольких порядков величины. Это неудивительно, поскольку, как показали расчеты, основное предположение приближения С (см. формулу (1.9.12) и рис.4 там же) не выполняется.
Важную роль в теории переноса излучения (как линейчатого, так и монохроматического) играют X - и Y -функции. В частности, через них выражается интенсивность выходящего излучения при экспоненциальном (и равномерном - как предельный случай экспоненты) распределении мощности первичных источников излучения. Если ядро интегрального уравнения (1.2.3) представимо в виде суперпозиции экспонент, то эти функции легко рассчитать методом аппроксимации ядра.
Стандартная и фундаментальная задачи для атмосфер конечной оптической толщины
В ряде астрофизических объектов, таких, как квазары, молекулярные облака межзвездного газа, оболочки некоторых звезд, дифференциальные макроскопические движения сильно влияют на формирование линий. Наличие градиента скорости приводит к тому, что удаленные объемы либо перестают радиационно взаимодействовать между собой, либо, наоборот, их взаимодействие усиливается, в зависимости от того, каков градиент скорости.
В случае больших градиентов задача об определении поля излучения в линии упрощается и становится алгебраической (так называемое приближение Соболева [эз], см. также [бі]). Микроскопические движения часто приводят к тому, что атмосфера становится протяженной, и ее лучше описывать в рамках сферически- или цилиндрически-симметричных моделей (а не плоских). В таких моделях даже постоянная скорость расширения приводит к большим трансверсальным градиентам. Поэтому метод Соболева широко и эффективно применяется для сферической геометрии [ІЗІ,32,9і]. Для плоскопараллельных атмосфер область его применимости и точность существенно зависят от абсолютной величины градиента скорости.
В плоскопараллельной атмосфере, расширяющейся со скоростью \Г ( и) , направленной перпендикулярно слоям, функция источников в линии удовлетворяет интегральному уравнению (см. [39]) в котором ядро (без учета поглощения в континууме) Т и и - оптические расстояния в центре линии для неподвижной атмосферы. Уравнение (I.I), за исключением случая її («с) = vT , jf = const , практически не применяется для нахождения функции Sfcjto) 9 поскольку произвести расчет ядра Kfr/nO и интегралов от него (что необходимо при численно точном решении (I.I), см. гл.ІУ) при произвольной скорости ifCc) сложно. Приближенные способы решения уравнений типа (I.I) предложены в [39], где вероятностный способ (см. 1.4) обобщен на случай произвольных монотонных скоростей расширения іТ(т) в плоских атмосферах, и в [9lJ, где вероятностный и диффузионный методы применяются к случаю сферически- и аксиально-симметричных движений. Точность этих приближений ни в [зэ], ни в 9lJ установлена не была. Характерные особенности полей излучения в движущихся атмосферах можно выяснить, исследуя простейший случай - расширение с постоянным градиентом скорости = -з— = const . Мы будем рассматривать лишь случай малых градиентов: I. Для бесконечной и полубесконечной атмосфер интегральное уравнение для функции источников в линии аналитически исследовано С.И.Грачевым І40,60]. Поля излучения в атмосферах, движущихся с малыми скоростями ( Т0 I, т0 - оптическая толщина в центре линии для неподвижной атмосферы), изучались В.П.Грининым [94]. В работах (95-97] из интегро-дифференциального уравнения переноса излучения численно найдены функции источников для движущихся атмосфер конечной оптической толщины и рассчитаны профили линий, образующихся в таких атмосферах. Однако функция источников для полубесконечных движущихся с постоянным градиентом скорости атмосфер вообще не рассчитывалась (в [98] рассматривалась полубесконечная атмосфера, малая часть которой линейно расширяется, а остальная часть покоится), для атмосфер же конечной оптической толщины практически не изучена зависимость функции источников от параметров задачи. В этой главе мы подробно исследуем решение стандартной задачи теории образования линий в движущихся атмосферах ( У = const , S = const ). При этом основное внимание уделим выяснению областей применимости аналитической теории и различных приближенных способов расчета функции источников в линии. Подробно обсуждается зависимость функции источников и профилей линий от параметров задачи. Пусть однородная атмосфера расширяется со скоростью TJYT) = VT . Тогда функция источников в линии, пропорциональная степени возбуждения атомов, является решением уравнения (1.1) при Я = coast , в котором S (г) описывает распределение первичных источников возбуждения. Нетрудно показать, что при У = const ядро этого уравнения зависит от модуля разности аргументов и определяется выражением ( Гзв], см. также (1.2.5)) ЛСАпУ -±(oUx+U#t)dt Профиль o(.(x) считается постоянным в атмосфере, а функция S (т) - заданной. Предполагаем, что нет поглощения в континууме, а при рассеянии происходит полное перераспределение по частотам в локальной системе отсчета. Вторая ядерная функция вводится, как обычно, формулой (1.2.7) Ниже в этой главе в соответствии со сложившимися обозначениями [93,Зі] под & будет пониматься величина, определенная формулой (2.3), а не отношение коэффициента поглощения в континууме к коэффициенту поглощения в центре линии, как в гл. 1,П,1У. Нетрудно заметить, что замена У на -У не приводит к изменению ядра Клг(ъ) [38]. Поэтому ниже будет рассматриваться только случай У, 0, что соответствует расширению атмосферы.
Физический смысл функций К и К21 уже был определен в 1.3. Величина р есть вероятность выхода фотона из бесконечно глубоких слоев среды из-за его смещения по частоте вследствие эффекта Допплера, f 0 при У 0. Полная же вероятность выбывания фотона из процесса случайных блужданий в расче-те на одно рассеяние -1-А = 1-Д+Ар слагается из вероятности гибели вследствие ударов второго рода и фотоионизаций О -А) и вероятности Ар того, что фотон будет переизлучен (А) , но сместится по частоте из-за эффекта Допплера и уйдет на бесконечность (р) .
Ядерные функции при малом градиенте скорости
Рассматриваемые ниже методы основаны на дискретизации по независимым переменным. Понятно, что точность того или иного способа расчета в сильной степени зависит от числа точек, используемых при дискретизации. В наших вычислениях сетка по независимым переменным выбиралась таким образом, чтобы погрешность в функции источников не превышала 1% (в нескольких случаях она доходила до 2% - см. 4.3). Интенсивность излучения находилась затем по формулам (I.I.7), причем погрешность вычисления интегралов в этих формулах не превосходила 0,1$. В методе аппроксимации ядра суммой экспонент эти интегралы вычислялись аналитически, в методе Шармера формальное решение уравнения переноса излучения находилось методом Райбики [29] .
В нашем исследовании основных приближенных способов расчета функции источников в линии мы рассматривали лишь случаи, когда функция источников удовлетворяет интегральному уравнению вида (I.2.S). Поэтому естественным было использование этого уравнения (и интегрального подхода вообще) для нахождения численно точных значений функций источников. Кроме того, дифференциальный подход, при записи уравнения переноса в системе отсчета, связанной с неподвижным наблюдателем, обладает существенным недостатком [бі]. Он практически неприменим, когда в атмосфере происходят дифференциальные движения со скоростями, превышающими несколько тепловых. Поэтому для атмосфер, расширяющихся с постоянным градиентом скорости = -р- = const , при использовании интегродифференциального уравнения переноса вида (I.2.I) с Sfc) из (1.2.2), очень трудно рассчитать функцию источников при оптических толщинах Т70 5К" . Тем самым из рассмотрения выпадает, в частности, важный случай полубесконечных атмосфер. Запись уравнения переноса излучения в локальной системе отсчета, связанной с движущимся веществом, снимает эти ограничения, но приводит к появлению в уравнении переноса производной от интенсивности по частоте [98], что сильно усложняет решение задачи [97J. В то же время, если ядерные функции КЛ2М и К2і(т) интегрального уравнения (1.2.3) предварительно рассчитаны, решить это уравнение одним из способов, описанных в 4.2 п 4.4 не составляет труда. Значения параметров Я , в , и фойгтовского параметра CL могут при этом быть практически любыми. Интегральный подход дает и меньшие погрешности в функции источников [l02].
Точность применяемых в настоящее время численных методов расчета полей излучения, как правило, не выше второго порядка по к С 0(к2) ), где к= кі = уі+ ,-у; - шаг сетки по пространственной переменной у . Третий порядок точности достигается при использовании сплайнов Г44,92І. В теории переноса излучения обычно применяют шаг по пространственной переменной, равномерный в логарифмическом масштабе, хотя это и снижает порядок точности по сравнению с шагом, равномерным в обычном смысле [бі]. Поэтому при использовании соответствующих численных методов молчаливо предполагается, что искомая функция хорошо представиш квадратичными или кубическими носителями на заданных узлах сетки. Это значит, что, например, функция источников с нужной точностью интерполируется квадратично (по трем точкам) или кубично (по четырем) по значениям этой функции в узлах по оптической глубине. Сами же значения в узлах находятся в конечном счете путем решения системы линейных алгебраических уравнений. Возможности современных ЭВМ и требование хорошей обусловленности этих линейных систем ограничивают число точек по оптической глубине при дискретизации числом Я тех, ЮО. Практически во всех астрофизических приложениях теории переноса излучения функции источников хорошо представиш квадратично по малому (MD & 60-80) числу точек, даже если оптическая глубина, на которой функция источников приближается к своему асимптотическо-му значению на бесконечности, порядка 10 - 10 . Большие глубины рассматривать не требуется, так как там в большинстве случаев SOu) « S (т) . Однако существует несколько важных с теоретической точки зрения случаев, когда обычными способами дискретизации по оптической глубине рассчитать функцию источников затруднительно.
Возьмем, например, резольвентную функцию Ф(т). Для сравнения с результатами асимптотической теории нужно уметь рассчитывать ее с погрешностью не более 1-2$. Известно, что ход с т резольвентной функции по общему характеру такой же, как у ядерной функции К Ст) (резольвентная функция убывает медленнее, см., например, (П.2.І5)). Для того, чтобы квадратичная интерполяция обеспечивала вычисление К Ст) (а значит, иФ(т;)) с погрешностью меньше 1%, нужно взять около 30 точек на единицу по Щ% . В вычислениях обычно учитывается вклад от глубин т 10 , поэтому уже для оптических толщин Т70 100 число требуемых точек по глубине NlDI50, что превосходит .Яmew . Такие же сложнос-ти возникают при источниках вида о (т) = е . Для тг вычислить функцию источников с достаточной точностью нелегко. Неточности же в значениях функции источников на больших глубинах ведут к тому, что профиль линии в далеких крыльях получается искаженным.
Метод аппроксимации ядра суммой экспонент обладает большими преимуществами перед методами дискретизации по оптической глубине при расчете резольвентной функции и функции источников для экспоненциального распределения мощности первичных источников. Если ядерная функция представиш суммой экспонент на всем интересующем нас интервале значений Т7 , то для источников специального вида, именно, для S (т) = е Q.(t) , где- обычный полином, функцию источников можно найти аналитически [26,8l] . Известно, что для неподвижной атмосферы о ядро основного интегрального уравнения представимо в виде суперпозиции экспонент [її, 2.6, 7.). Поэтому здесь представление ядра суммой экспонент является естественным (в интегральном представлении ядра интеграл заменяется квадратурной суммой). Для атмосферы, расширяющейся с постоянным градиентом скорости, получить такое представление для т: Jf нам не удалось (см. 3.2), поэтому резольвентная функция для У 4 0 не рассчитывалась.
Общие замечания по применению численных методов расчета функции источников в линии
Резюмируем основные результаты, полученные в диссертации: 1. Выполнены расчеты ряда специальных функций теории пере носа линейчатого излучения, функций источников и профилей ли ний (точность 1%). Рассчитаны резольвентные функции и функции S , X и і для неподвижных однородных полубесконечных атмосфер и атмосфер конечной оптической толщины (в том числе с учетом поглощения в континууме). Даны аппроксимации этих функций суммами экспонент. Численно точно найдены ядерные функции для атмосфер, движущихся с постоянным градиентом скорости. Получена аппроксимация этих функций, удобная при проведении расчетов на ЭВ?Л. Рассчитаны функции источников и профили выходящего излучения для движущихся атмосфер. 2. Установлены точность и области применимости основных приближенных способов расчетов полей излучения в частотах спек тральных линий. Сравнение значений функций источников, найден ных в этих приближениях, с численно и асимптотически точными показало, что погрешность приближения L2 не превосходит пог решности приближения полного перераспределения по частотам (точные функции источников не более, чем вдвое, отличаются от приближенных, причем сами функции изменяются на много поряд ков) при любых астрофизически интересных значениях параметров и любом распределении мощности первичных источников излучения. Таким образом, функции источников, найденные в L2 , могут считаться физически точными. Приближение L2 обобщено на случай, когда в атмосфере существует поглощение в континууме и (или) она расширяется с постоянным градиентом скорости. Оно применимо для плоскопараллельных атмосфер и для однородного шара. Приближения F и С в случае, когда мощность первичных источников сильно меняется с глубиной, могут приводить к погрешностям в порядки величины. Область применимости диффузионного приближения значительно уже, чем у L2. .
Установлена реальная область применимости асимптотических решений задачи о переносе излучения в частотах спектральных линий. Показано, что численное решение большинства модельных задач необходимо находить лишь в небольшой области, не описываемой уже существующей асимптотической теорией. Численно подтвержден ранее известный факт асимптотического уменьшения числа аргументов функции источников вдали от границ атмосферы.
Исследована задача об образовании линий в движущихся атмосферах. Для полубесконечных расширяющихся с малым постоянным градиентом скорости атмосфер впервые рассчитаны функции источников. Изучена зависимость функции источников от параметров. Показано также, что профили линий излучения на нижней и верхней границах атмосферы различаются тем больше, чем больше разность скоростей расширения в пределах атмосферы.
Реализованы на ЭВМ четыре известных численных метода расчета функции источников в линии. Разработан новый весьма общий алгоритм расчета функции источников, являющийся существенным обобщением недавно предложенного (1981 г.) алгоритма Г.Шармера. Алгоритм реализован в виде программ для ЭВМ для случаев плоскопараллельной и сферически-симметричной атмосфер. Все физические параметры - допплеровская ширина, профиль поглощения (фойгтовский параметр Си ), скорость расширения атмосферы, отношение коэффициента поглощения в континууме к коэффициенту поглощения в центре линии, вероятность выживания фотона при рассеянии и мощность первичных источников излучения могут меняться с глубиной. Время расчета этим методом функции источников и профиля выходящего излучения примерно в 5-Ю раз меньше времени расчета уже существующими методами»
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при построении моделей ряда астрофизических объектов. Приближенные методы, вероятно, окажутся более эффективными при исследовании мазерных источников излучения и квазаров, поскольку число радиационных переходов, учитываемых в этих объектах, как правило, велико. Методы типа Шармера, обеспечивающие высокую точность при большой универсальности и применимые для решения многоуровневых задач, можно использовать для выявления тонких эффектов в атмосферах Солнца и других звезд. При этом важен не столько сам по себе выигрыш времени, даваемый этими методами, сколько возможность решать более сложные и дорогостоящие в вычислительном отношении задачи.
В заключение считаю своим долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю Всеволоду Владимировичу Иванову за приобщение к задачам и методам теории переноса излучения, постоянное внимание и бесчисленные советы при выполнении данной работы. Благодарю также всех сотрудников лаборатории теоретической астродйзики, без консультаций и практических советов которых работа над диссертацией не была бы так скоро завершена.
