Содержание к диссертации
Введение
1 Явление межзвёздного рассеяния радиоволн 7
1.1 Введение 7
1.2 Основы теории 11
1.3 Угловое уширение источника 15
1.4 Рассеяние и импульсы 17
1.4.1 Межзвездная дисперсия 17
1.4.2 Рассеяние на неоднородностях межзвёздной плазмы . 18
1.5 Движение дифракционной картины 21
1.6 Межзвёздное рассеяние и РСДБ 23
1.7 Описание диссертационной работы 24
2 Компьютерное моделирование межзвёздного рассеяния 29
2.1 Введение 29
2.2 Основные определения и соотношения 30
2.3 Расчётные формулы 31
2.3.1 Поле за экраном 31
2.3.2 Фазовый экран ' 32
2.3.3 Случай ненулевой полосы частот 34
2.3.4 Временное уширение импульсов 34
2.3.5 Динамические спектры картины рассеяния 38
2.4 Описание пакета программ и примеры его работы 38
2.5 Сравнение с наблюдательными данными 44
2.5.1 Перспективы развития 48
2.6 Результаты и выводы 48
3 РСДБ-наблюдения пульсаров 50
3.1 Измерения кружка рассеяния 50
3.2 Особенности РСДБ пульсаров 51
3.2.1 Несоизмеримости периодов 51
3.2.2 Коррекция за неравномерность полосы приёма . 53
3.2.3 Коррекция за собственную переменность и переменность, связанную с мерцаниями 56
3.3 РСДБ-наблюдения пульсара PSR В1641-45 58
3.4 РСДБ-наблюдения пульсара PSR В0329+54 61
3.5 Выводы 68
4 Движение картины мерцаний 70
4.1 Введение 70
4.2 Обоснование метода 70
4.3 Эксперимент 1984 года 74
4.3.1 Результаты 75
4.3.2 Анализ и обсуждение результатов 79
4.4 Эксперимент 1998 года 81
4.4.1 Наблюдения и их предварительная обработка 81
4.4.2 Анализ и обсуждение результатов 89
4.4.3 Узкий масштаб мерцаний 96
4.5 Выводы 98
Благодарности 133
Приложение А 101
Приложение В 116
8.1 Цели исследования пульсаров в проекте Радиоастрон .116
8.2 Выбор объектов исследования 117
8.3 Каталог пульсаров для исследования в проекте Радиоастрон 120
Заключение 131
Благодарности 133
Литература
- Межзвездная дисперсия
- Основные определения и соотношения
- Коррекция за неравномерность полосы приёма
- Наблюдения и их предварительная обработка
Межзвездная дисперсия
Сформировавшаяся в пространстве дифракционная картина движется относительно наблюдателя, поэтому регистрируется усиление и ослабление сигнала — так называемые мерцания. Причина движения дифракционной картины — взаимное перемещение источника, среды и наблюдателя друг относительно друга. Если время жизни турбулентной структуры превышает время наблюдений, то можно говорить о наличии характерной скорости дрейфа дифракционной картины, вклад в которую вносят относительные скорости источника, рассеивающей среды и наблюдателя.
Скорость дрейфа дифракционной картины в исследованиях пульсаров используется для оценки скорости самого пульсара относительно наблюдателя, т.е. для оценки собственного движения пульсара. В настоящее время собственное движения пульсаров определяют методами РСДБ, по данным тайминга и по наблюдения межзвёздного рассеяния. Хотя точность последнего способа и ниже, он, тем не менее, является более массовым. Имеется два общепринятых метода измерения скорости дрейфа дифракционной картины, Viss В первом, развитом в работах Рикетта (1970), Кордеса (1986а), Гупты и др. (1994), Кордеса и Рикетта (1998), Viss рассчитывается по результатам измерений времени мерцаний и полосы декорреляции излучения пульсара на данной частоте. Мерцания приводят к декорреляции сигнала в частотной и временной областях: в частотной — из-за потери когерентности, во временной — главным образом, из-за дрейфа дифракционной картины. Если, следуя работе Кордеса (1986а), обозначить время декорреляции (по уровню 1/е) как Td, характерный линейный размер пятна — как Sspot, полосу декорреляции (по уровню 1/2) — как 5v, то
Значение коэффициента А(за зависит от выбранной модели турбулентности в межзвёздной среде и модели распределения рассеивающего вещества вдоль луча зрения. Данный метод даёт только модуль вектора скорости. Следует заметить, что сравнение полученных этим методом V{3S с тангенциальными скоростями пульсаров, измеренными непосредственно по собственным движениям, даёт невысокий коэффициент корреляции — около 50% (см. Кордес, 1986b).
Другой метод можно назвать прямым измерением скорости картины мерцаний. Здесь излучение источника одновременно принимается на нескольких антеннах, разнесённых на достаточно большое расстояние, не превышающее, однако, размеров дифракционного пятна, затем данные попарно коррелируют и измеряют смещение максимума кросс-корреляционной функции относительно нуля — задержку в данном направлении. Этот метод использовался при исследовании солнечного ветра (см. Ио-кипии, 1973), а затем применялся и в наблюдениях пульсаров.
Так, Галт и Лайн (1972) проводили двухантенные наблюдения пульсара PSR В0329+54 на частоте 408 Мгц на антеннах в Джодрелл Бэн-ке и Пентиктоне и пытались оценить изменения задержки при суточном вращении Земли. Оцениваемая скорость дифракционной картины равнялась 300 км/с. Рикетт и Ланг (1973) наблюдали пульсары PSR В1919+21, PSR B0834+0G и PSR В1133+16 на частоте 318 Мгц на антеннах в Оуэне Велли и Аресибо в течение нескольких дней. Они, в частности, обнаружили, что скорость картины мерцаний пульсара PSR В1133+16 менялась случайным образом в течение четырёх дней наблюдений. Авторы предположили, что рефракционные мерцания на неоднородностях масштаба 10G—107 км, расположенных сравнительно близко к наблюдателю, могут вызвать такие изменения в Viss. Сли и др. (1974) наблюдали 7 пульсаров на частоте 326 МГц на антеннах в Австралии и Индии. Авторы предложили оценивать задержку в данном направлении, измеряя не смещение максимума кросс-корреляционной функции относительно нуля, а координату тсх точки пересечения средней автокорреляционной функции и кросс-корреляционной функции. Чашей и Шишов (1975) показали, что погрешность определения положения максимума кросс-корреляционной функции может быть достаточно большой при малых отношениях сигнал/шум.
В последнее время интерес к проблеме определения скорости картины мерцаний возрос, потому что мерцания считаются одной из возможных причин быстрой переменности (intraday variability) внегалактических источников. Так, Джонси и др. (2000) сравнивали кривые блеска источника PKS 0405-385, полученные на VLA и АТСА, и обнаружили временную задержку между вариациями блеска на этих пунктах, равную 140 ± 25 с. Джонси и Макарт (2001) обнаружили что характерный временной масштаб вариаций интенсивности источника 0917+624 зависит от времени года, т.е. от направления скорости Земли, объяснили это явление тем, что источник мерцает, а наблюдатель в течение года пересекает дифракционную картину с разной скоростью и предложили метод картографирования таких радиоисточников по данным годичного мониторинга (см. Макарт и Джонси, 2002).
Многоантенные наблюдения картины мерцаний дают принципиальную возможность измерить модуль и направление Viss и получить более подробную информацию о структуре дифракционной картины.
Метод PC ДБ — радиоинтерферометрии со сверхдлинной базой, впервые предложенный Матвеенко, Кардашёвым и Шоломицким (1965) в настоящее время получил широкое распространение. РСДБ пульсаров обычно проводится либо для измерения параллаксов и собственных движений источников, либо для измерения параметров рассеяния — как правило, кружка рассеяния. Такие наблюдения по-прежнему остаются «штучным продуктом», потому что методами РСДБ, в основном, наблюдают внегалактические источники.
В настоящее время в Астрокосмическом центре ФИ РАН разрабатывается проект космического радиотелескопа — Радиоастрон. Космический радиотелескоп (КРТ), наблюдая источники совместно с наземными антеннами в сеансах РСДБ, позволит достичь высокого углового разрешения. Естественно, с высоким угловым разрешением можно будет измерить параметры рассеяния пульсаров. В рамках подготовки проекта Радиоастрон автор принимал участие в составлении каталог пульсаров для наземно-космических РСДБ-наблюдений. Каталог пульсаров для проекта Радиоастрон приведён в приложении
Основные определения и соотношения
Все вышеизложенные рассуждения относились с случаю монохроматической волны. Однако любой приёмник имеет полосу частот конечной и ненулевой ширины, поэтому чтобы сравнивать модельные результаты с реальными данными, надо смоделировать и распространение волнового пакета.
С изменением длины волны меняется оптическая длина пути. Это связано, во-первых, с геометрическим фактором (на одном и том же пути s укладывается разное число волн), и, во-вторых, с изменением показателя преломления в плазме (дисперсией). В нашей модели предполагается, что межзвёздная дисперсия скомпенсировна либо при «наблюдениях», либо в ходе «предварительной обработки данных», например, методом додетек-торной компенсации дисперсии (Хэнкинс, 1971).
Будем считать, что полоса приёмника имеет прямоугольную форму и занимает область длин волн [Ао — А/2, Ао + А/2]. Как уже говорилось, длина волны определяет шкалу расстояний в нашей задаче. Введём безразмерный параметр ад = А/Ао- Тогда параметры а/, а , тх, є, введённые в разделе 2.3.1, запишутся в следующем виде:
При построении фазового экрана и расчётах по формуле (2.7) используются эти зависящие от длины волны параметры.
Межзвёздная дисперсия и наличие на пути распространения волны приводит к тому, что меняется форма импульсов пульсаров и моменты их прихода. Основы теории приведены в разделах 1.4.1 и 1.4.2.
В программе уширение импульсов моделируется следующим образом. Задаётся профиль импульса, например, средний профиль импульса пульсара, и умножается на последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределённых на интервале от 0 до 1. Таким образом имитируется
Компьютерное моделирование... шумовой характер радиоизлучения пульсара. Рассчитывается спектр этого импульса, затем для каждой спектральной гармоники, попавшей в полосу частот «приёмника»вычисляется поле рассеянного излучения в точке х = 0 по формуле (2.7). Затем обратное преобразование Фурье от полученного вж = 0 спектра даёт нам рассеянный профиль импульса. Суммируя отдельные рассеянные импульсы, мы получаем «средний профиль» рассеянного излучения.
Численная модель позволяет также имитировать поведение картины рассеяния при движении экрана относительно наблюдателя. Для этого в расчётах по формуле (2.7) используется меньше точек, чем реально содержится в экране. После каждого прогона формулы (2.7) экран сдвигается на заданное количество точек, и расчёт повторяется.
На Рис. 2.1 приведены примеры рассеянных импульсов, по оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат — поток в условных единицах. В модели рассеивался микроимпульс гауссовой формы. От импульса к импульсу менялся спектр фазового экрана в пределах от 0.9(6) до 1.8(6) с шагом 0.1. На рисунке спектр от импульса к импульсу меняется сверху вниз и слева направо. На Рис. 2.2 приведены автокорреляционные функции от соответствующих импульсов рисунка 2.1. Пики в крыльях некоторых АКФ говорят о том, что в рассеяных импульсах присутствует квазипериодическая структура.
Компьютерное моделирование... 2.3.5 Динамические спектры картины рассеяния При исследовании межзвёздного рассеяния радиоизлучения пульсаров часто строят так называемые динамические спектры — зависимость интенсивности излучения от времени и частоты (см. рис. 2.9, 3.4).
В нашей задаче динамические спектры образуются путём сложения индивидуальных распределений интенсивности, полученных по формуле (2.7). пакета программ и примеры его работы Итак, перейдём к описанию пакета программ. Он существует в двух версиях: первая — для ЭВМ IBM RS-6000, операционная система — AIX, использовалась библиотека подпрограмм ESSL 2.0 (Engineering and Scientific Subroutine Library, version 2.0) фирмы IBM; вторая — для операционной системы Linux.
Функции, распределения и т. п., относящиеся к одной реализации экрана будем называть индивидуальными, а те же зависимости, усреднённые по нескольким реализациям, — средними или усреднёнными.
Коррекция за неравномерность полосы приёма
Проведена оценка размера кружка рассеяния пульсара PSR В1641-45: 9Я 50" 10 3. Впервые получены результаты РСДБ-наблюдений PSR В1641-45. К сожалению, из-за низкого качества наблюдательных данных можно сказать толь ко о том, что размер кружка рассеяния этого пульсара на частоте 1.6 ГГц — величина порядка десятков миллисекунд дуги. Чтобы провести более точные измерения, необходимы дополнительные наблюдения источника на РСБД-сети в Южном полушарии.
В ходе обработки РСДБ-наблюдений пульсара PSR В0329+54 выяснилось, что существующие и реализованные в стандартных пакетах обработки данных методы амплитудной калибровки данных не учитывают некоторых особенностей пульсаров, а именно: импульсного характера излучения, собственной амплитудной переменности, амплитудных и частотных мерцаний. Были предложены и применены к данным наблюдений пульсара В0329+54 методы калибровки, учитывающие эти особенности. Скоррели-рованные данные сохранили значительный разброс значений (около 0.9) Предполагаемая причина этого эффекта состоит с том, что «стандартная» для РСДБ техника записи сигнала источника не применима к пульсарам. Была проведена оценка размера кружка рассеяния для этого пульсара: 08 1."8 10 3.
В этой главе будут описаны результаты двух экспериментов по определению скорости дрейфа дифракционной картины Vfss. Первый — это двухаптенные наблюдения пульсара PSR В0329+54 в 1984 г. на антеннах в Евпатории и Уссурийске, второй — многоантенные наблюдения того же пульсара в ходе космического РСДБ-эксперимента V021a, проведённого по нашей заявке, в августе 1998 года. Обзор проблемы приведён в разделе 1.5, поэтому в этой главы мы сосредоточимся на методике обработки данных многоантенных экспериментов и собственно на результатах этих экспериментов.
Рассмотрим систему декартовых прямоугольных координат {x,y,z}, центр которой находится в центре Земли, ось Z направлена на источник, а оси X и Y лежат в картинной плоскости. Примером такой системы может служить используемая в РСДБ система координат и, v, w. Пусть скорость дифракционной картины Vz-ss постоянна. Для упрощения выкладок предположим, что ось X сориентирована вдоль v — составляющей VjSS в плоскости XY. В большинстве случаев, за исключением, возможно, режима, когда наблюдатель находится вблизи фокуса, масштаб дифракционного пятна в направлении вдоль луча зрения намного превышает масштаба в ГЛАВА 4.
Движение картины мерцаний картинной плоскости: где sz — масштаб корреляции вдоль луча зрения, к — волновое число, s± — масштаб корреляции поля в картинной плоскости (см., например, Рытов и др., 1978, Гл. II, 9 ). Поэтому изменением интенсивности dl/dz вдоль луча зрения, а следовательно, и вкладом Z-компоненты вектора Vt-ss в ККФ можно пренебречь. Таким образом, трёхмерная задача сводится к двумерной.
С учётом предположения о постоянстве v получим: где г — радиус-вектор, t — время. Вычислим ККФ для пары антенн. Пусть г = {х, у} — радиус-вектор первой антенны, а г = г + р = {х+рх, у-\-ру} — радиус-вектор второй антенны. Если длительность прохождения дифракционного пятна много меньше суток (в нашем случае она составляет 20-40 минут), то вращением Земли (изменением вектора р со временем) можно пренебречь. ККФ Сі2(т)запишется в виде: где Т — длительность прохождения пятна, J(x — vt,y) = I(x — vt,y) — I, a I = f I{x — vt,y) — средняя интенсивность в пятне на данной антенне.
Заметим, что хотя интегрирование ведётся по интервалу времени Т, равному полной длительности пятна, интересующие нас задержки \т\ С Т. Для ККФ характерен узкий, шириной в одну точку, пик на нулевом сдвиге, обусловленный собственной переменностью пульсара, которая не связана с рассеянием и одинакова на всех антеннах. Учтём, что в нашем случае размер дифракционного пятна намного превышает диаметр Земли и разложим J(r + р, t) в ряд Тейлора, оставив только линейные члены разложения. Получим:
Движение картины мерцаний Первый интеграл в правой части (4.2) — это автокорреляционная функция BJ(VT — рх). Она имеет максимум в точке rv = px/v и симметрична относительно неё.
Рассмотрим подробнее второй интеграл. Обозначим его как Cadd{ )-Его значение зависит от формы дифракционного пятна. Предположим, что распределение яркости в пятне является достаточно гладким. Тогда можно выделить несколько случаев.
1. Распределение яркости обладает круговой квазисимметрией. Тогда при малых г значение Сааа{т) « 0. В этом симметрия кривых С\2(т) служит одним из признаков достоверности данных.
2. Распределение яркости в пятне обладает осевой квазисимметрией. Тогда Сп,і,і(т) даст систематическое смещение максимума ККФ относительно нуля на некоторую величину тдсот. Симметрия кривых Сп(т) также должнна сохраниться.
3. Распределение яркости неоднородно и замысловато, имеются «языки», симметрию выделить трудно. В этом случае интерпретировать смещение С\2{т) относительно нуля трудно, но тогда, как правило, теряется симметрия ККФ и перестанет работать критерий замыкания задержек (см. ниже).
Пусть попарные кросс-корреляционные функции интенсивности в пятне построены, а задержки г = rv + тдсот измерены. Рассмотрим случай, когда дифракционное пятно обладает линейной квазисимметрией, как более общий. Пусть v — постоянный вектор скорости дифракционной картины, 1 — направляющий вектор оси симметрии пятна, р , Pjk и pki — векторы баз антенн с номерами г, j и к.
В рассматриваемой конфигурации измеряемая задержка между двумя антеннами с номерами тип (см. Рис. 4.1) равна: здесь круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов, vey/ — составляющая вектора скорости, перпендикулярная оси симметрии, veff — vcyy. Из (4.3) следует, что сумма измеренных задержек по любому замкнутому контуру должна равняться нулю. Это и есть «критерий замыкания задержек», о котором упоминалось раньше. Отметим, что у пятен
Движение картины мерцаний Рис. 4.1. Рисунок, поясняющий вывод формулы (4.3). Рисунок взят из работы Семенков и др. (2003) с круговой симметрией ve// = v. Решив систему уравнений вида (4.3) для всех нар антенн в пятне, мы получим ve// в данном пятне. Если ориентация оси симметрии в каждом из пятен произвольна, то усреднив достаточное количество значений ve//, рассчитанных в разных пятнах, мы получим оценку истинной скорости дифракционной картины
Наблюдения и их предварительная обработка
В данной главе приведены результаты двух экспериментов по определению скорости дрейфа дифракционной картины от пульсара PSR В0329+54.
Первый представлял собой одновременные пульсара в августе—сентябре 1984 года на частоте 927 МГц одновременно на двух телескопах, разнесённых на 7 тыс. км., с целью оценки Viss по методу, использованному Галтом и Лайном (1972). Оказалось, что сдвиги максимума кросс-корреляциониых функций кривых мерцаний не ложатся на теоретическую кривую, связанную с ожидаемым регулярным дрейфом, и не коррелируют между собой от записи к записи. Объяснить это можно хаотическим дрожанием самой дифракционной картины, влиянием формы и взаимного расположения дифракционных пятен или наличием у вектора скорости дифракционной картины значительной составляющей в направлении луча зрения. Первые два эффекта, видимо, связаны с рефракцией.
Второй эксперимент — иаземио-космические РСДБ-наблюдения пульсара в августе 1998 года на частоте 1.6 ГГц. При обработке данных этого эксперисента мы использовали предложенный нами ранее (Семенков и др., 2003) метод амплитудной калибровки данных РСДБ-наблюдений пульсаров, чтобы получить кривые мерцаний на каждой из десяти наземных антенн, участвовавшей в эксперименте. Мы выделили мощности сигнала пульсара, т. е. получили запись интенсивности источника, из стандарт-ныйх автокорреляционный функций сигнала, получаемых в ходе корреляции данных РСДБ-экспериментов.
В результате мы получили «два эксперимента в одном» — многоантенные измерения кривых мерцаний пульсара PSR В0329+54 параллельно с обычным РСДБ-экспериментом. Многоантенные измерения кривых мерцаний дали нам возможность измерить скорость перемещения дифракционной картины относительно наблюдателя прямым способом, определяя задержки прихода дифракционных пятен между пунктами наблюдения. Отличие нашего эксперимента от аналогиченых наблюдений пульсаров (Галт и Лайн, 1972; Рикетт, 1970; Рикетт и Ланг, 1973; Семенков и др., 1998) и внегалактических источников (Джонси и др., 2000; Джонси и Ма-карт, 2001; Рикетт и др., 2001) состоит в том, что мы исследовали пространственную структуру мерцаний, одновременно используя данные с ГЛАВА 4.
Движение картины мерцаний антенн, а не с пары, как это делалось в упомянутых работах. Наши рассуждения (см. раздел 4.2) показывают, что определения скорости дрейфа дифракционной картины по данным двухантенных наблюдений ненадёжны.
Всего было выделено 14 дифракционных пятен, в каждом из них проведена корреляция данных между всеми парами антенн. ККФ в некоторых пятнах показали наличие двух мерцательных масштабов (20 мин и 1 мин). Смещение максимумов кросс-корреляции определялось независимо для каждого из этих масштабов. Затем методом, описанным в разделе 4.4.2, в каждом из пятен определялись направление и модуль ViS3. Значения скорости дифракционной картины в 4 пятнах мы сочли достоверным в соответствии с критериями отбраковки.
Было ностоено пространственное распределение потока в одном из дифракционных пятен (см. Рис. 4.13). Поперечный размер пятна на частоте 1650 МГц составляет около 60 тыс. км.
Однако (см. Таблицу 4.2 и Рис. 4.14), обнаружилось, что пятна движутся независимо друг от друга и упорядоченное движение дифракционной картины, как целого, отсутствует.
Мы считаем, что широко используемая для анализа пространственной структуры картины мерцаний модель тонкого экрана не подходит для описания исследуемого нами явления, потому что структура межзвёздной среды в близкой окрести солнца весьма сложна (см. Фриш (1997)). Кроме того, мы считаем, что гипотезу о движении дифракционной картины, как целого, можно использовать только для близких (до 100 пк) источников.
Хотелось бы поблагодарить научного руководителя диссертации В. А Со-гласиова, а также М. В. Попова за огромный идейный вклад и бесценную конструктивную критику, В. И. Кондратьева за разработанные им утилиты для обработки и отображения пульсарных данных.
Автор выражает благодарность В. И Алтунину за организацию двух-аптенных наблюдений Евпатория-Уссурийск, а также А. В. Бирюкову, Н. Я. Николаеву, И. А. Кнорину, О. А. Кузьмину и Л. А. Шнырёвой за подготовку аппаратуры и проведение этих наблюдений.
Автор благодарит Дж. Бенсона за консультации по вопросам, связанным с режимом корреляции в окне на VLBA-корреляторе НРАО, Э. Фо-малонта за советы по построению изображений источника, Л. И. Гурвица за предоставленные данные наблюдений источника J0238-H6 на космическом радиотелескопе HALCA, Л. Когана за критические замечания по способам калибровки полосы пропускания, В. Г. Промыслова за помощь в построении изображений методом максимальной энтропии.
Автор выражает признательность проекту VSOP, проводимому Японским институтом аэронавтики и исследования космоса в сотрудничестве со многими организациями и радиотелескопами мира.
Работы, входящие в диссертацию, были поддержаны грантами РФФИ (гранты 95-02-03695-а, 98-02-16917, 01-02-16871, 02-02-26877) и программой «Нестационарные явления в астрономии». Каталог пульсаров (приложение В) составлен в рамках проекта Радиоастрон.
Приложение А
В этом приложении приведены результаты измерения сдвигов кросс-корреляционных функций для эксперимента по измерению скорости движения дифракционной картины (см. раздел 4.4). На каждой странице приведены данные для одного дифракционного пятна. В верхних таблицах содержатся результаты измерения задержек, на нижних — расстояния между антеннами на UV-плоскости.
Формат таблиц с задержками: в первом столбце и первой строке — номера антенн, в ячейках на их пересечении — сами задержки, в первой строке ячейки — задержка для широкого масштаба картины мерцаний (в секундах), во второй строке — задержка для узкого масштаба картины мерцаний (в секундах). Приведённые ошибки — это формальные ошибки аппроксимации по формуле (4.6). Положительная задержка означает, что скорость направлена от антенны с меньшим номером к антенне с большим номером. Прочерки означают, что достоверных параметров аппроксимации для этой пары антенн получить не удалось,
Формат таблиц с расстояниями между антеннами: в первом столбце и первой строке — номера антенн, в ячейках на пересечении соответствующих строк и столбцов — расстояния в километрах, в первой строке — Аи, во второй — Av, в третьей — AR = у/(Аи)2 + (Av)2.
