Содержание к диссертации
Введение
1. Наблюдаемые кометы -стимул развития естественных наук 17
1.1. Первые открытия и исследования 17
1.2. Эра ЭВМ и ПК в кометной астрономии 18
1.3. Особенности низкоскоростных сближений 22
1 А. Метод исследования динамической эволюции комет 24
2. Динамическая эволюция орбит комет семейства Юпитера с высоким значением параметра Тиссерана 29
2.1. Отбор комет для исследования и его обоснование 29
2.2. Область, длительность и классификация сближений по глобальному минимуму 36
2.3. Анализ распределения элементов орбит комет в прошлом и будущем 46
2.4. Схемы преобразования орбит. Каскадные переходы 62
2.5. Статистический анализ сближений 79
2.6. Основные результаты Главы 2 83
3. Качественный анализ сближений 86
3.1. Понятие точек низкоскоростного касания орбит 86
3.2. Определение полярных орбитальных координат точки касания на орбите кометы 88
3.3. Определение прямоугольных гелиоцентрических координат точки касания на орбите Юпитера 92
3.4. Низкоскоростные сближения как следствие специфических размеров и формы орбиты кометы 96
3.5 Выбор моделей в области комет с особенностями в сближениях 99
3.6. Основные результаты Главы 3 104
4. Модели орбит 105
4.1. Афелийное касание: M=Q (Модель АО 105
4.2. Перигелийное касание: M=q (Модель Pi) 120
4.3. Неафелийное касание с фиксированным положением точки М: М=1 (Модель А2) 134
4.4. Неперигелийное касание с фиксированным положением точки М: M=F (Модель Р2) 157
4.5. Неафелийное касание с фиксированным положением точки Q: Q=a\ М є uQI(Модель А3) 177
4.6. Неперигелийное касание с фиксированным положением точки q: q=a\ Me uql (Модель Р3) 197
4.7. Неафелийное касание с фиксированным положением точки Q: Q^a'+l, М є и lb (Модель А4) 215
4.8. Неперигелийное касание с фиксированным положением точки q: q=a'-l,Me uFI (Модель Р4) 232
4.9. Основные результаты Главы 4 249
5. Особенности в сближениях с Юпитером модельных и наблюдаемых комет 251
5.1. Реверсии линии апсид 251
5.2. Временный спутниковый и гравитационный захваты 263
5.3. Анализ движения ядер кометы Шумейкер-Леви 9 в области сближения с Юпитером 282
5.4. Основные результаты Главы 5 298
Заключение 303
Список литературы 307
Приложения 332
- Эра ЭВМ и ПК в кометной астрономии
- Анализ распределения элементов орбит комет в прошлом и будущем
- Определение прямоугольных гелиоцентрических координат точки касания на орбите Юпитера
- Неперигелийное касание с фиксированным положением точки М: M=F (Модель Р2)
Введение к работе
Диссертация посвящена изучению эволюции орбит наблюдаемых комет семейства Юпитера с высоким значением параметра Тиссерана и их низкоскоростных сближений. На промежутке времени в 800 лет изучается динамическая эволюция орбит 97 наблюдаемых комет. Исследуются и моделируются такие особенности сближений, как временный спутниковый захват в смысле Эверхарта (ВСЗ), временный гравитационный захват в сфере Хилла (ВГЗ), кратные минимумы функции йовицентрического расстояния (КМ), реверсия линии апсид .
Актуальность работы
Сближения с планетами-гигантами - один из основных факторов изменения орбиты кометы. Вне всякого сомнения, что сближения приводят к наибольшим трансформациям элементов орбиты за короткий промежуток времени.
Главная проблема - нельзя предвидеть результат сближения: орбита кометы может измениться до неузнаваемости с катастрофическим перебросом афелия от орбиты Юпитера до границ планетной области или практически не измениться при одних и тех же значениях минимального йовицентрического расстояния в области сближения. То есть предложенная в середине прошлого века Е.И. Казимирчак-Полонской классификация сближений по минимуму не достаточна. Очень тесное сближение с Юпитером и, тем более, с другой планетой-гигантом - чрезвычайно редкое явление. Поэтому до настоящего времени нет научно обоснованной классификации тесных сближений. Актуальная задача - уточнение классификации Е.И. Казимирчак-Полонской, поиск дополнительных параметров гелиоцентрической орбиты кометы для научно обоснованной классификации сближений.
В последней четверти 20-го века были открыты кометы с высоким значением постоянной Тиссерана относительно Юпитера. Первые же исследования эволюции орбит этих комет показали, что они испытывают необычные сближения с планетой. Эти сближения были названы низкоскоростными из-за меньшей иовицентрическои скорости кометы в области сближения. Но помимо низкоскоростных, эти кометы испытывают и обычные сближения (их стали называть высокоскоростными). Так как высокое значение постоянной Тиссерана не гарантирует комете только низкоскоростные сближения, актуальная проблема — поиск четких научно обоснованных определений низкоскоростного и высокоскоростного сближений. Выделение параметров гелиоцентрической орбиты, приводящих к определенному классу сближений, позволит тщательно исследовать сближения и все их особенности.
Как показано, в частности, в нашей работе, кометы с высоким значением постоянной Тиссерана испытывают много сближений с Юпитером на небольшом промежутке времени, то есть у них происходит быстрая эволюция орбит по сравнению с остальными кометами. Этот фактор дает уникальную возможность изучения, интерпретации и построения схем эволюции орбит, классификации, моделирования сближений и проверки моделей на большом, количестве сближений наблюдаемых комет. Поэтому исследование комет с низкоскоростными сближениями - актуальная задача кометной астрономии.
Открытие и исследование низкоскоростных сближений — прорыв в решении многих проблем, связанных с эволюцией орбит и сближениями комет с планетами.
Определенная часть низкоскоростных сближений сопровождается целым рядом особенностей. В области сближения эти кометы выходят на оскулирующие эллиптические йовицентрические орбиты [временный спутниковый захват (ВСЗ) в смысле Эверхарта]. Обычно среди причин, вызывающих данную особенность, называют низкую йовицентрическую скорость кометы в ближайшей окрестности Юпитера. Но подобная особенность очень часто фиксируется на границах области сближения, а иногда и между сближениями. Еще одна особенность - кратные минимумы функции йовицентрического расстояния (КМ). После открытия этого явления обычно их связывали с выходом кометы на временную спутниковую орбиту с неоднократным обходом вокруг Юпитера. Но в большинстве случаев кратные минимумы появляются во время сближения без ВСЗ, йовицентрические траектории комет не имеют ничего общего со спутниковыми орбитами, вторичные минимумы часто располагаются на расстояниях порядка двух, трех и даже более астрономических единиц (а.е.). Минимумы происходят на одном обращении кометы вокруг Солнца, а обход вокруг Юпитера в большинстве сближений с КМ отсутствует. Менее удивительной особенностью является реверсия линии апсид, так как это явление наблюдается и у других комет семейства Юпитера, комет галлеевского типа и долгопериодических комет в окрестностях тесного минимума. Но реверсии линии апсид комет с высоким значением постоянной Тиссерана отличаются тем, что происходят не только в очень тесных, но и в умеренных сближениях. Заслуживает изучения и то обстоятельство, что кометы с высоким значением постоянной Тиссерана испытывают реверсии не обязательно в окрестностях минимумов. Обнаружены сближения, сопровождающиеся множественными реверсиями в одном сближении. Итак, имеются многочисленные новые явления, возникающие в сближениях комет с Юпитером. Актуальная проблема — изучение и объяснение всех особенностей сближений с Юпитером комет с высоким значением постоянной Тиссерана, построение моделей сближений, приводящих к этим особенностям.
Принципиальная научная проблема состоит в том, что не существует единого подхода к описанию всех известных особенностей низкоскоростных сближений. Поэтому отсутствует возможность предсказать какие-либо неизвестные пока особенности или объяснить редко встречающиеся явления.
В последнее время открыты транснептунные объекты, которые большинством ученых рассматриваются как основной источник комет семейства Юпитера. Согласно современным воззрениям, низкоскоростные сближения с планетами играют определяющую роль в процессе перехода этих объектов из внешней части Солнечной системы в околоземное пространство. Поэтому исследование этих явлений является чрезвычайно важным и для изучения процесса миграции малых тел в Солнечной системе. Хорошо известно, что особенности сближений комет с планетами-гигантами играют огромную роль и в схемах захвата комет из облака Оорта. Проблема тесных сближений объектов с высоким значением постоянной Тиссерана очень актуальна и при рассмотрении соударений малых тел с планетами. В 1994 году такое соударение было впервые рассчитано заранее и ярко продемонстрировано в последнем сближении с Юпитером кометы Шумейкер-Леви 9. Феномен этой кометы показал, что проблема тесного сближения малого тела с планетой связана с оценками катастрофических явлений и кратерообразования на планетах. Очевидно, что многие астероиды, сближающиеся с Землей, имеют значение постоянной Тиссерана, близкое к трем относительно Земли, то есть они могут испытывать низкоскоростные сближения с нашей планетой. Таким образом, рассматриваемая задача актуальна в проблеме кометно-астероидной опасности для Земли.
Так как с позиций небесной механики нет принципиальных отличий между сближениями объекта с любой большой планетой, актуальной проблемой является изучение комет семейства Юпитера с высоким значением постоянной Тиссерана как части объектов Солнечной системы, испытывающих низкоскоростные сближения.
Уже многие годы остается актуальной возможность захвата кометы планетой-гигантом. В настоящее время все гипотезы перехода малого тела в семейство спутников Юпитера в качестве первой фазы требуют временный гравитационный захват (ВГЗ) планетой - наличие эллиптических планетоцентрических элементов внутри сферы Хилла. Только в эволюциях комет с высоким значением постоянной Тиссерана фиксируется ВГЗ. Исследование динамической эволюции всех комет с ВГЗ необходимо для выяснения обстоятельств и механизма этого процесса. В нашей работе изучены девять наблюдаемых комет, испытавших ВГЗ в 20-ти сближениях с Юпитером. После открытия в 1993 г. такого феноменального явления, как распавшаяся комета Шумейкер-Леви 9 с ее трагическим финалом, остается актуальным изучение последнего сближения с Юпитером этой кометы (ВГЗ ядер кометы Шумейкер-Леви 9 подтвержден всеми исследователями кометы). Поиск возможных аналогов в прошлом, анализ динамической эволюции комет-кандидатов на подобное явление в будущем - актуальная задача наших дней. Изучение эволюции орбит ядер этой кометы актуально, так как вопрос о том, что собой представляла орбита кометы Шумейкер-Леви 9 до сближения с Юпитером, остается открытым.
Эра ЭВМ и ПК в кометной астрономии
До появления электронно-вычислительных машин большая трудоемкость учета планетных возмущений и негравитационных эффектов не позволяла производить изучение долговременной эволюции орбит комет. Исследователи ограничивались промежутками времени, границы которых были близки к наблюдаемым появлениям планет. Лишь с шестидесятых годов прошлого века начались попытки проследить движение комет на больших промежутках времени с целью выяснения закономерностей эволюции и происхождения этих объектов. В первую очередь необходимо отметить пионерские работы А.Д. Дубяго [22,23], М.М. Каменского [24], Е.И. Казимирчак-Полонской [25-43] по исследованию закономерностей больших преобразований кометных орбит при тесных сближениях с планетами. На основе специально созданного комплекса программ Е.И. Казимирчак-Полонской впервые удалось получить реальную картину эволюции кометных орбит, проследив движении ряда комет с учетом всех планетных возмущений на интервале 1660-2060гг. Исследованы возможные пути преобразования орбит при тесных сближениях короткопериодических комет с Юпитером, указаны причины открытия и утери комет, дано уточнение схемы захвата на короткопериодические орбиты как многоступенчатого механизма с чередованием эволюционного и катастрофического развития, выявлена важная роль Нептуна в преобразовании кометных орбит. Работы Е.И. Казимирчак-Полонской показали, что многие выводы сторонников и противников теории захвата являются неверными вследствие примитивности постановки задач и их решений, очень далёких от реальных условий движения комет. Е.И. Казимирчак-Полонская провела исследование большого числа известных короткопериодических комет и их тесных сближений с Юпитером [36]. На основе полученных результатов она предложила новую трактовку захвата комет, как «сложного многоступенчатого процесса, развивающегося на протяжении столетий, тысячелетий и даже миллионов лет. Доминирующую роль в этом процессе играет Юпитер благодаря своей преобладающей массе, но в нем участвуют также и другие внешние планеты — Сатурн — Нептун» [39, с. 411]. Отсутствие тесных сближений наблюдаемых короткопериодических комет с другими внешними планетами Е.И. Казимирчак-
Полонская объяснила малым временным интервалом исследования и недоступностью для наблюдения комет с большими перигелийными расстояниями (равными, например, средним радиусам орбит Нептуна — Сатурна). Сближения с этими планетами должны1 постепенно вводить кометы внутрь Солнечной системы. «Одну, изредка две из последних ступеней захвата» [33, с. 378] нам удается «наблюдать», изучая динамическую эволюцию реальных комет. Проводя вычисления с фиктивными, специально подобранными объектами, Е.И. Казимирчак-Полонская показала, что тесные сближения с Нептуном могут вводить кометы из межзвёздного пространства в планетную область Солнечной системы [39]. Совершенствование методов интегрирования дифференциальных уравнений движения кометы непрерывно продолжается до настоящего времени. В 1974 г. Е. Эверхарт разработал весьма эффективный интегратор, который широко используется до настоящего времени во всем мире [44]. Им было проведено широкомасштабное численное моделирование эволюции кометных орбит [45-49]. Е. Эверхарт провёл численное интегрирование уравнений движения нескольких миллионов гипотетических параболических комет с учетом возмущений от Юпитера и показал существование зоны, благоприятной для преобразования в типичные короткопериодические кометы: это орбиты с малыми наклонами и перигелийными расстояниями в пределах от 4 до 6 а.е.(астрономических единиц). В дальнейшем Е. Эверхарт [50,51] распространил численные эксперименты на первоначально эллиптические орбиты и получил вероятности захвата долгопериодических комет на наблюдаемые короткопериодические орбиты для различных перигелийных расстояний. В работе Б. Марсдена [52] изучена долговременная эволюция орбит ряда короткопериодических комет. Особое внимание обращено на возможность длительного движения комет в резонансе с Юпитером и превращения комет в объекты астероидного типа. Е. Эверхарт [53] рассмотрел движение гипотетических комет, расположенных первоначально на круговых орбитах между
Юпитером и Сатурном и также указал на либрационное движение как возможный способ длительного нахождения комет в указанной зоне. Предположение о существовании реликтовых кометных зон в планетной области выдвигалось в работах В.М. Чепуровой, Ф.А. Цицина, А.С. Расторгуева, И.Л. Генкина [54-57]. В рамках гипотезы извержения в первой половине 90-ых годов прошлого века опубликована новая концепция возникновения почти всех малых тел в результате взрывов массивных электризованных ледяных оболочек далеких луноподобных объектов, предложенная Э.М. Дробышевским [58-60]. Он показал, что вторичные взрывы осколков, выброшенных при детонации со спутников планет-гигантов, вполне способны привести к захвату малых тел на новые устойчивые орбиты типа троянских астероидов или иррегулярных спутников. Отметим работы Н.А. Беляева, ученика, соратника и преемника Е.И. Казимирчак-Полонской [61-79]. Его работы и работы его учеников, к коим автору этих слов очень приятно отнести и себя, позволили исследовать эволюции орбит целого ряда комет семейства Юпитера и тесные сближения с ним. Особо отметим работы [67—77], посвященные кометам, наблюдавшимся в одном появлении и впоследствии утерянным. Две кометы: невероятно трудный для переоткрытия объект - комета 69Р/Тейлор и комета ббР/Дю Туа, были переоткрыты по эфемеридам, вычисленным под руководством Н.А. Беляева [67,68,75-77], непосредственно после вычисления в середине 70-х годов прошлого века. Комета ббР/Дю Туа была переоткрыта по нашей эфемериде
Анализ распределения элементов орбит комет в прошлом и будущем
В рамках решения первой задачи рассмотрим отдельно три направления преимущественного изменения элементов орбит исследованных комет. Всегда сначала приводятся данные о кометах первой группы (№№ 1-84), затем — второй (№№ 85-97). Изменение элементов ориентации орбиты в пространстве Проведенное исследование показало, что все кометы подвержены в той или иной мере изменениям угловых элементов орбит на промежутке времени (tii). Среди всех элементов ориентации обратим внимание на наклон кометной орбиты. Хорошо известно, что различные классы комет (в том числе и комет семейства Юпитера) имеют различные распределения элемента і. В работе проверялась устойчивость распределения наклона кометной орбиты для комет семейства Юпитера, удовлетворяющих условиям (2.1.5, 2.1.6) и имеющих в целом крайне неустойчивые орбиты. Для этого исследовались возможные трансформации элемента / в области сближения; общие изменения наклона за время сближения; эволюционные изменения элемента / на промежутке времени, охватывающем 100-150 обращений кометы вокруг Солнца. Тщательный анализ сближений показал следующее. В области сближения с Юпитером наклон кометной орбиты может изменяться в самых широких пределах. Для исследованных комет в окрестностях минимумов функции иовицентрического расстояния кометы как оскулирующие фиксируются все известные кометные орбиты с соответствующим значением элемента /. Но изменение элемента / в области сближения близко к симметричному относительно момента достижения минимума.
Поэтому кометы входят в область сближения и покидают ее с почти неизменным наклоном орбиты, особенно кометы первой группы. Для каждой кометы информация об изменении наклона в самом тесном ее сближении с Юпитером на промежутке времени (trh) представлена в 9"ом столбце табл. 2.2. Как следует из этой таблицы, изменение наклона в области сближения не зависит от минимального расстояния от Юпитера (4"ыи столбец) и времени пребывания кометы в области сближения (5"ыи столбец). Для комет первой группы среднее изменение наклона за самое тесное сближение с Юпитером составило 3.19. Максимальное значение величины Лі у кометы № 5 Брукс 1: Лї= -18.4. У комет второй группы (Лі)ср= 8.55 ; (z//)max=+17.1 - у кометы № 97 Хонда-Мркос-Пайдушакова. При исследовании эволюционных изменений элемента / сравнивались значения наклона кометной орбиты в моменты времени tj (в прошлом — это начало первого на промежутке времени (trh) сближения с Юпитером); t0 (в настоящем — это эпоха оскуляции для первого появления кометы); t2 (в будущем - это конец последнего на промежутке времени (t}2) сближения). Данные о значениях наклонов орбит в моменты времени tj, t0, t2 представлены в в 16 0М—18"ом столбцах табл. 2.3. Сведения об экстремальных значениях наклона орбит изученных комет в прошлом и будущем помещены в 8"ои, 9"ыи; 14"ы", 15"ьш столбцы этой таблицы. В ее 4"ОМ,5"ОМ;10"ОМДГОМ столбцах приведены экстремальные значения параметра Тиссерана на промежутках времени (t]0), {to h)- в 19"ом столбце указаны предельные изменения величины Тс. Анализ перечисленных выше таблиц позволяет сделать вывод о том, что изученные кометы имеют стабильно низкий наклон орбиты на исследованном промежутке времени. Наибольший наклон в момент времени /у — у кометы № 69 Тиши (// = 23.6) и кометы № 95 Лексель (// = 31.0). В момент времени t0 - у кометы № 45 Лонгмор (i0 — 24.4) и кометы № 96 Барнард 3 (i0 = 31.3). В момент времени t2 - у кометы № 74 ЛИНЕАР-НЕАТ TU80 (i2 = 21.0) и кометы № 97 Хонда-Мркос—Пайдушакова (i2 — 28.6). Максимальный наклон в прошлом и будущем - у кометы №45 Лонгмор \im(J—)- 25.6, imax(+)- 24.5] и кометы № 96 Барнард 3 \}тах(-)= 31.5, /,«ах(+)= 34.5]. Средние значения наклона в моменты времени ti, to, 6 для комет первой группы: ij = 8.7; /0 = 8.7; i2 = 9.0; для комет второй группы эти величины почти в два раза больше: // = 15.1; i0 = 15.6; i2 = 17.1.
В целом, проведенное исследование изменений наклона кометной орбиты показало устойчивость распределения элемента / для групп комет семейства Юпитера, удовлетворяющих условиям (2.5, 2.6), на промежутке времени (trt2). Как следует из табл. 2.3, наклон большинства изученных комет первой группы в моменты времени tj, t0 t2 не превышает 15(86%, 89%, 87% изученных комет соответственно). Наклоны орбит комет второй группы (напомним, что их 13) более или менее равномерно распределены по промежутку наклонов 0— 30. Вследствие малого наклона кометной орбиты к плоскости эклиптики изменения двух других элементов ориентации орбитальной плоскости в пространстве практически не оказывают влияния на условия последующих встреч каждой кометы с Юпитером. Определяющим для этих встреч в течение всего исследованного промежутка времени является близость афелия и (или) перигелия кометной орбиты к среднему радиусу орбиты Юпитера. Изменение формы кометной орбиты Анализ эволюции комет из табл. 2.1 позволил выявить следующие закономерности в преобразованиях формы орбит исследованных комет. Орбитальный эксцентриситет комет первого класса не превышает значения е = 0.63; явление временного спутникового захвата в смысле Е. Эверхарта (ВСЗ),
Определение прямоугольных гелиоцентрических координат точки касания на орбите Юпитера
Все вычисления проведем для модельной кометы, у которой афелий находится в окрестностях орбиты Юпитера. Считаем, что комета и Юпитер расположены в одной плоскости. Рассмотрим оскулирующую эллиптическую орбиту кометы в момент времени tM (комета находится в точке касания орбит М = МІ). Напомним, что на орбите кометы имеются в общем случае две точки касания My и М2. Запишем уравнение эллиптической орбиты кометы в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости ХОУ {О — центр эллипса) (см. рис. 3.3.1, 3.3.2): Уравнение (3.3.1) эквивалентно параметрическим уравнениям:. Запишем уравнения касательной и нормали к эллипсу (3.3;1) в точке М(хм,Ум): Так как орбита Юпитера почти круговая (е 0.05), найдем координаты точки К (хк, у к) на орбите Юпитера, в которой векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера параллельны, в предположении, что планета находится на круговой орбите радиуса а . Чтобы не загромождать рисунки 3.3.1, 3.3.2, вынесем орбиты Юпитера на дополнительные оси справа. Рис З.З.ІАфелийное касание Пусть КК] — касательная к окружности, параллельная касательной к эллипсу MM], SK— нормаль к окружности. Запишем уравнение окружности (орбиты Юпитера) с центром в точке S (-ае; 0) в декартовой прямоугольной системе координат XOY для точки К(хк,ук): и решим его совместно с уравнением нормали к окружности, которое сначала запишем в виде: (так как КК] \ \ ММ і), а затем в виде: так как нормаль к окружности в точке К — это продолжение радиуса SK, то есть прямой SK, проходящий через точку S (— ае,0). Система уравнений (3.3.5) и (3.3.7) — это система двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее и найдем координаты точки К (хк ,ук). Перейдем в формулах (3.3.2), записанных для точки М, и (3.3.8) к прямоугольной гелиоцентрической системе координат и запишем квадраты гелиоцентрических расстояний точек М , К и величину (КМ)2 — расстояние между кометой, находящейся в точке низкоскоростного касания орбит М, и точкой К, в которой должен находиться Юпитер, чтобы выполнялось равенство (3.1.1):
По теореме косинусов найдем /3 — угол между направлениями на точки низкоскоростного касания М, К на орбитах кометы и Юпитера: Поступая аналогично для кометы, у которой перигелий находится в окрестностях орбиты Юпитера (см. рис. 3.3.2), найдем координаты точки К (хк,Ук) на орбите Юпитера в виде: Переходя в формулах (3.3.11) к прямоугольным гелиоцентрическим координатам, мы получим одинаковые координаты точки К{ХК, YK) для комет с афелием и перигелием в окрестности орбиты Юпитера: Замечание 1. Как и следовало ожидать, решения (3.3.8), (3.3.9), (3.3.10) дают две точки касания на орбите Юпитера. В выбранной системе координат для точек К} и К2 изменяется знак ординаты (sin Ем 0, если ж Е 2 ж). Замечание 2. Обратим внимание на то, что для двух комет вида А и Р с одинаковыми эксцентриситетами е и эксцентрическими аномалиями Ем на круговой орбите Юпитера существует одна и та же точка К ( Г ), в которой векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера равны. Уточним, что для орбит с афелием в окрестности орбиты Юпитера угол Е отсчитывается от точки афелия. В дальнейшем ( 5.1) будет показано, что этот факт содействует реверсии линии апсид в низкоскоростных немодельных сближениях. Определим предельные размеры и форму орбиты модельной кометы, позволяющие ей испытать низкоскоростное сближение с Юпитером, и изобразим эти области на плоскости (а, е). В 3.2 показано, что абсолютная величина радиус-вектора точек М{ (і = 1,2), в которых выполнено условие (3.1.2), находится по формуле: (в силу симметрии орбиты кометы относительно линии апсид в общем случае на ней имеется две такие точки Mi и М2). Подчеркнем еще раз, что на низкоскоростном касательном участке орбиты кометы должно приблизительно выполняться равенство (3.1.2), то есть точками низкоскоростного касания орбит могут быть только точки М; и Мг, а точки минимальной йовицентрической скорости должны быть расположены в их ближайшей окрестности. Для того, чтобы точки МІ принадлежали области сближения, как минимум, они должны быть расположены не далее, чем на 2 а.е. от орбиты Юпитера по радиус-вектору, то есть орбиты комет должны удовлетворять условию: Так как q rM Q, орбиты комет, содержащие точки Mt, должны удовлетворять условию: Условия (3.4.1, 3.4.2) задают на плоскости (а,е) некоторую конечную область Q (рис. 3.4.1). Функция е = е(а), ограничивающая область Г2 снизу, определена и непрерывна при условии (3.4.1) и имеет единственный экстремум-минимум: emin {а = 5.2028 а.е.) = 0. Ее график - это линия AJJPJ на рис. 3.4.1. Все вычисления проведем для модельной кометы, у которой афелий находится в окрестностях орбиты Юпитера. Считаем, что комета и Юпитер расположены в одной плоскости. Рассмотрим оскулирующую эллиптическую орбиту кометы в момент времени tM (комета находится в точке касания орбит М = МІ). Напомним, что на орбите кометы имеются в общем случае две точки касания My и М2. Запишем уравнение эллиптической орбиты кометы в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости ХОУ {О — центр эллипса) (см. рис. 3.3.1, 3.3.2): Уравнение (3.3.1) эквивалентно параметрическим уравнениям:. Запишем уравнения касательной и нормали к эллипсу (3.3;1) в точке М(хм,Ум): Так как орбита Юпитера почти круговая (е 0.05), найдем координаты точки К (хк, у к) на орбите Юпитера, в которой векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера параллельны, в предположении, что планета находится на круговой орбите радиуса а . Чтобы не загромождать рисунки 3.3.1, 3.3.2, вынесем орбиты Юпитера на дополнительные оси справа. Рис З.З.ІАфелийное касание Пусть КК] — касательная к окружности, параллельная касательной к эллипсу MM], SK— нормаль к окружности. Запишем уравнение окружности (орбиты Юпитера) с центром в точке S (-ае; 0) в декартовой прямоугольной системе координат XOY для точки К(хк,ук): и решим его совместно с уравнением нормали к окружности, которое сначала запишем в виде: (так как КК] \ \ ММ і), а затем в виде: так как нормаль к окружности в точке К — это продолжение радиуса SK, то есть прямой SK, проходящий через точку S (— ае,0). Система уравнений (3.3.5) и (3.3.7) — это система двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее и найдем координаты точки К (хк ,ук).
Перейдем в формулах (3.3.2), записанных для точки М, и (3.3.8) к прямоугольной гелиоцентрической системе координат и запишем квадраты гелиоцентрических расстояний точек М , К и величину (КМ)2 — расстояние между кометой, находящейся в точке низкоскоростного касания орбит М, и точкой К, в которой должен находиться Юпитер, чтобы выполнялось равенство (3.1.1): По теореме косинусов найдем /3 — угол между направлениями на точки низкоскоростного касания М, К на орбитах кометы и Юпитера: Поступая аналогично для кометы, у которой перигелий находится в окрестностях орбиты Юпитера (см. рис. 3.3.2), найдем координаты точки К (хк,Ук) на орбите Юпитера в виде: Переходя в формулах (3.3.11) к прямоугольным гелиоцентрическим координатам, мы получим одинаковые координаты точки К{ХК, YK) для комет с афелием и перигелием в окрестности орбиты Юпитера: Замечание 1. Как и следовало ожидать, решения (3.3.8), (3.3.9), (3.3.10) дают две точки касания на орбите Юпитера. В выбранной системе координат для точек К} и К2 изменяется знак ординаты (sin Ем 0, если ж Е 2 ж). Замечание 2. Обратим внимание на то, что для двух комет вида А и Р с одинаковыми эксцентриситетами е и эксцентрическими аномалиями Ем на круговой орбите Юпитера существует одна и та же точка К ( Г ), в которой векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера равны. Уточним, что для орбит с афелием в окрестности орбиты Юпитера угол Е отсчитывается от точки афелия. В дальнейшем ( 5.1) будет показано, что этот факт содействует реверсии линии апсид в низкоскоростных немодельных сближениях. Определим предельные размеры и форму орбиты модельной кометы, позволяющие ей испытать низкоскоростное сближение с Юпитером, и изобразим эти области на плоскости (а, е). В 3.2 показано, что абсолютная величина радиус-вектора точек М{ (і = 1,2), в которых выполнено условие (3.1.2), находится по формуле: (в силу симметрии орбиты кометы относительно линии апсид в общем случае на ней имеется две такие точки Mi и М2). Подчеркнем еще раз, что на низкоскоростном касательном участке орбиты кометы должно приблизительно выполняться равенство (3.1.2), то есть точками низкоскоростного касания орбит могут быть только точки М; и Мг, а точки минимальной йовицентрической скорости должны быть расположены в их ближайшей окрестности. Для того, чтобы точки МІ принадлежали области сближения, как минимум, они должны быть расположены не далее, чем на 2 а.е. от орбиты Юпитера по радиус-вектору, то есть орбиты комет должны удовлетворять условию: Так как q rM Q, орбиты комет, содержащие точки Mt, должны удовлетворять условию: Условия (3.4.1, 3.4.2) задают на плоскости (а,е) некоторую конечную область Q (рис. 3.4.1). Функция е = е(а), ограничивающая область Г2 снизу, определена и непрерывна при условии (3.4.1) и имеет единственный экстремум-минимум: emin {а = 5.2028 а.е.) = 0. Ее график - это линия AJJPJ на рис. 3.4.1.
Неперигелийное касание с фиксированным положением точки М: M=F (Модель Р2)
Решения системы уравнений (4.4.4) относительно величин a, r}, V/V в опорных точках, принадлежащих области сближения, а также во вторичных (р2), дополнительных (pad) минимумах и точке R Ф q, представлены в табл. 4.4.2. В 8"ом столбце таблицы приводится угол /?. Как уже было сказано ранее (см. 4.3), на орбите Юпитера для произвольного значения орбитального эксцентриситета кометы существует точка низкоскоростного касания К ф—Z-MSK). Угол Р вычисляется по формуле (3.3.10). Значения величины е варьировались с шагом Ле = 0.01. Точка К принадлежит области сближения при е 0.36. Положения кометы Р2 и Юпитера с углом XQ {е 0.17), aj (0.17 е 0.33), аъ (0.33 е 0.40), ам (0.40 е 0.53) между направлениями на эти объекты, соответствующим значению из табл. 4.4.2, назовем начальными условиями перигелийного сближения кометы Р2. На дуге JQRI комета впереди Юпитера; на дуге kjRjMjq комета отстает от Юпитера. Приведем элементы орбит четырех комет с линии JP2: Кратко опишем значимые орбиты модели Р2 и взаимные положения кометы) и Юпитера на дуге u qMjQ в особых точках (правые части рисунков 4.4.2). Вторичные (р2) и дополнительные (pad) минимумы нанесены на дугу u qM2Q (правые части рисунков 4.4.2). Орбита Р2 - это предельная орбита модели Р2, для которой возможно ВСЗ в окрестности точки вторичного минимума/ \ap2 — fi\ 5; ивд иХр2. Область сближения превышает период обращения кометы вокруг Солнца; е=0.14; ад,/= —11.5; (знак "-" указывает на то, что при выбранном выше изменении знака угла а комета отстает от Юпитера на дуге KjRjMjq); fi =8; p}q t = -0.55 а.е. (комета внутри орбиты Юпитера); /=ММ=+1.06 а.е.; ЛЖ=+1.58 а.е.;р2= +0.71 а.е. (комета снаружи орбиты Юпитера), р2 є и і?/(рис. 4.4.1). Оба минимума - умеренные (4.4.2а). у Орбита Р2 — это орбита модели Р2, у которой а = Д то есть точки М и М =К — точки низкоскоростного касания орбит; область сближения незначительно превышает дугу uRiqR2; е= 0.295;аЛ, = (3 =16.3; р? = -0.83 а.е. — это умеренный минимум; / = ММ = МК = +1.60 а.е.; р2 = +1.52 а.е. - это далекий минимум; р2 є и Ы( рис. 4.4.1).
Орбиту Р2 см. на рис. 4.4.26. Орбита V2T — предельная орбита модели Р2, для которой возможно немодельное касание в точках М и К. Для модельной кометы область сближения совпадает с дугой KjRiqR2; е= 0.36; ам — -16.6; /5 = 19.8; р/ = -0.88 а.е. - это умеренный минимум.; fj = XX =+ 1.618 а.е.; pad = +1.616 а.е.; pad є vXM;f2 = MM = +1.732 а.е.; MK = +2.04 а.е.; р2= +1.659 а.е.; р2 є vMb; дополнительный и вторичный минимумы - это далекие минимумы (рис. 4.4.2в). Орбита Р2тах — это наибольшая орбита модели Р2 .Области сближения принадлежит дуга uMjqM2; е= 0.53; ам -13.3 f5 = 26.6, то есть условие (3.1) сильно нарушается; pjq = -0.85 а.е. — это умеренный минимум.;У} = XX = +1.57 a.e.; pad = +1.55 a.e. - это далекий минимум; pad є uXM; MM = +2.0 а.е.; МК = +3.20 а.е. (рис. 4.4.2г). На рисунках 4.4.2а-г опорные, особые точки и положения кратных минимумов нанесены на левую часть орбиты. На её правой части показаны положения кометы и Юпитера в моменты времени tq , tM и векторы гелиоцентрических скоростей в точках М(МГ) и qiq1). Хорошо видно, что для всех орбит, кроме Р2 , в точках МІМ ) векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера не параллельны, а в точках q(qr) — не равны по абсолютной величине. На орбите Юпитера показаны точки К, в которых выполнены условия (3.1.1; 3.1.2). Орбиты кометы модели Р2 не пересекают орбиту Земли. можно предположить наличие КМ у кометы Р2. Минимумы возможны в точках q иЯ(а=0),вт:очкеХ(г=аг). Исследование функции г,- на экстремум проводилось в два этапа. Сначала в опорных точках величины г, вычислялись по аналитическим формулам (табл. 4.4.1). Анализ значений г/ показал следующее. Для всех орбит кометы Р2 функция йовицентрического расстояния имеет глобальный минимум в точке q. Затем она возрастает до значения г/1. После прохождения точки М величина rj продолжает возрастать при ер 0.35. При е ер выполнено неравенство r/f г/. Сближения кометы модели Р2 и Юпитера могут сопровождаться вторичными минимумами. Для уточнения положения ГКМ на втором этапе работы интерполяцией между всеми опорными точками через 10 по истинной аномалии v кометы Р2 с шагом Ле — 0.01 были вычислены значения величин Гу, а и %,. Для всех орбит кометы Р2 функция йовицентрического расстояния имеет глобальный минимум в точке q: