Содержание к диссертации
Введение
Глава I: Волновые процессы в микронеоднородных средах с безинерционной гистерезисной нелинейностью 11
1.1 Введение 11
1.2 Гистерезисные уравнения состояния сред с несовершенной упругостью 14
1.2.1 Упругие волны в безграничной среде 19
1.2.2 Распространение однополярных импульсов деформации 28
1.2.3 Самодетектирование высокочастотных импульсов 29
1.2.4 Бегущие волны в кольцевом резонаторе 32
1.3 Адгезионный механизм гистерезисной нелинейности трещиноватых сред 35
1.3.1. Модель и уравнение состояния трещины с адгезией 35
1.3.2 Уравнение состояния для стержня, содержащего большое количество трещин 38
1.3.3 Нелинейное распространение и взаимодействие упругих волн в стержне с трещинами 43
1.4 Заключение 46
Глава II: Волновые процессы в нелинейных микронеоднородных средах с релаксацией 49
2.1 Введение 49
2.2 Волновые процессы в микровеоднородных средах с квадратичной гистерезисной нелинейностью и релаксацией 49
2.2.1 Уравнение состояния микронеоднородной среды с квадратичной гистерезисной нелинейностью и релаксацией 50
2.2.2 Нелинейное распространение квазигармонической волны 51
2.2.3 Частотные зависимости параметров нелинейности для сред с одинаковыми и распределенными по релаксационным частотам дефектами 53
2.3 Нелинейные волновые процессы в средах с трещинами, заполненными вязкой жидкостью 58
2.3.1 Уравнение состояния стержня, содержащего большое количество трещин, заполненных вязкой жидкостью 58
2.3.2 Нелинейное распространение и взаимодействие упругих волн в стержне с трещинами... 62
2.3.3 Анализ волновых процессов в стержне с одинаковыми трещинами 64
2.3.4 Анализ волновых процессов в стержне с распределенными по радиусам трещинами...66
2.4 Стационарные волны в микронеодиородной среде с квадратичной упругой нелинейностью и релаксацией 69
2.4.1 Стационарные волны типа "несимметричного скачка" 71
2.4.2 Эволюционные уравнения для НЧ и ВЧ акустических волн 74
2.5 Заключение 75
Глава III: Экспериментальные исследования волновых процессов в микронеоднородных средах с гнстерезнсной и диссипативной нелинейностью 78
3.1 Введение 78
3.2 Влияние мощной звуковой волны на акустические характеристики резонатора из мелкозернистого песчаника 80
3.3 Амплитудно-зависимое внутреннее трение крупнозернистого песчаника 89
3.3.1 Нелинейные сдвиг резонансной частоты и поглощение НЧ волны 89
3.3.2 Нелинейное затухание ультразвукового импульса под действием НЧ волны 97
3.4 Самовоздействие акустических волн в системах с диссипативной нелинейностью 104
3.5 Заключение 114
Заключение 115
Литература
- Гистерезисные уравнения состояния сред с несовершенной упругостью
- Уравнение состояния для стержня, содержащего большое количество трещин
- Волновые процессы в микровеоднородных средах с квадратичной гистерезисной нелинейностью и релаксацией
- Влияние мощной звуковой волны на акустические характеристики резонатора из мелкозернистого песчаника
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Исследования нелинейных волновых процессов в микронеоднородных упругих средах являются одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной акустики. Под термином "микронеоднородная" предполагается, что среда содержит неоднородности, размеры которых малы по сравнению с характерным масштабом (длиной волны) акустических возмущений, но существенно превышают атомные масштабы; количество неоднородностей на длине волны достаточно велико, а их распределение в среде однородно, так что на участках, больших по сравнению с размерами неоднородностей, но все еще малых по сравнению с длиной волны, среду можно считать "акустически однородной" или "макрооднородной".
К подобным средам относятся многие горные породы (гранит, мрамор, песчаник, известняк, речной песок и т.д.), поликристаллические металлы (медь, свинец, цинк), искусственные материалы (пьезокерамики, бетоны). Наличие в структуре таких сред различных относительно "мягких" нелинейных включений (или дефектов): дислокаций, трещин, зерен и т.д., является причиной их сильной акустической нелинейности, что, в свою очередь, обуславливает возникновение ряда нелинейных акустических эффектов, не описываемых в рамках классической пяти- (или девяти-) константной теории упругости.
Интерес к исследованию нелинейных волновых процессов в микронеоднородных средах и материалах связан, во-первых, с их широкой распространенностью в природе и важностью их практического применения; во-вторых, с разнообразием нелинейных эффектов, качественно и количественно отличающихся от эффектов, наблюдаемых в однородных средах. Последнее обстоятельство может быть использовано для создания эффективных нелинейных методов диагностики и неразрушающего контроля, поскольку нелинейные акустические свойства среды более "чувствительны" к наличию различных дефектов, чем линейные.
К настоящему времени известны некоторые примеры влияния микроструктуры среды на ее нелинейные акустические свойства: одномерные дефекты кристаллической решетки - дислокации, приводят к гистерезисной зависимости "напряжение - деформация" поликристаллов, трещины с ровными поверхностями - к разномодульной нелинейности твердого тела; зе-ренная структура материала - к дробно-степенной нелинейности, наличие в твердом теле трещин, частично заполненных жидкостью может быть причиной повышенной упругой (реактивной) нелинейности среды (по сравнению со средой без трещин) и появления нелинейности неупругой (диссипа-тивной).
I'OCfiAti лі,
о& L-j^w /$j[3
Достижения нелинейной акустики микронеоднородных сред находят применение в дефектоскопии (обнаружение одиночных трещин и других дефектов), сейсмоакустике и геофизике (исследование напряженного состояния горных пород в сейсмоактивных районах, влияние вибровоздействия на нефтяной пласт). Одной из основных проблем теоретического исследования нелинейных эффектов в микронеоднородных средах является построение физических моделей дефектов и установление связи с результатами эксперимента. Решение подобных задач будет способствовать развитию нелинейных акустических методов диагностики структуры и состояния микронеоднородных сред.
Таким образом, в нелинейной акустике микронеоднородных сред имеется ряд проблем, требующих как теоретического, так и экспериментального исследования. Во-первых, пока еще недостаточно ясны физические механизмы нелинейности многих подобных сред, теоретические построения для которых ограничены, в основном, феноменологическими моделями и, во-вторых, имеется недостаточно много примеров последовательного и комплексного сопоставления результатов теоретических и экспериментальных исследований. Для решения этих задач необходим поиск сред и материалов, обладающих сильной акустической нелинейностью и исследования в них различных нелинейных акустических эффектов, в частности, выявление их амплитудно-частотных зависимостей.
Целью диссертационной работы является изучение нелинейных волновых процессов в микронеоднородных средах, описываемых неаналитическими (безинерционными и релаксационными) уравнениями состояния, содержащими реактивную, гистерезисную и диссипативную нелинейность.
Научная новизна.
-
Теоретически исследованы волновые процессы в безграничной среде и кольцевом резонаторе в рамках основных моделей гистерезисных уравнений состояния для сред с несовершенной упругостью (гистерезиса отрыва и гистерезиса трения).
-
Предложен механизм гистерезисной нелинейности твердых тел, содержащих трещины, поверхности которых обладают адгезией.
-
Получены аналитические выражения частотных зависимостей параметров нелинейности для процессов самовоздействия квазигармонической волны и генерации ее высших гармоник в микронеоднородных упругих средах, содержащих вязкоупругие дефекты, обладающие реактивной, дис-сипативной и гистерезисной нелинейностью.
-
Получено и исследовано нелинейное дифференциальное уравнение для «релаксатора» скорости, описывающее распространение упругих волн в микронеоднородных средах, содержащих одинаковые вязко-упругие дефекты с квадратичной реактивной нелинейностью.
-
Проведены экспериментальные и теоретические исследования нелинейных акустических эффектов амплитудно-зависимого внутреннего трения (декремента затухания, дефекта модуля и затухания слабой волны под действием сильной) в образцах горных пород: крупно- и мелкозернистом песчаниках.
-
Проведено экспериментальное и теоретическое исследование эффекта самовоздействия акустических волн в системе с сильной диссипативнои нелинейностью - стеклянной трубке, заполненной сухим и водонасыщен-ным речным песком.
Научная и практическая ценность.
Выявленные характерные отличительные признаки нелинейных волновых процессов в средах с гистерезисами отрыва и трения будут способствовать правильному выбору гистерезисного уравнения состояния при аналитическом описании результатов экспериментальных исследований.
Полученные частотные зависимости параметров нелинейности для различных эффектов в микронеоднородных средах с различными типами нелинейности и релаксацией могут быть использованы для описания результатов экспериментальных исследований.
Использование реологической модели микронеоднородной среды для описания экспериментально обнаруженных различных зависимостей гис-терезисной и диссипативнои нелинейностей от частоты акустической волны позволяет оценить значения параметров дефектов, их функцию распределения по релаксационным и резонансным частотам.
Установленная зависимость параметров диссипативнои нелинейности системы «стеклянная трубка - речной песок» от степени водонасыщенно-сти песка, может быть использована для создания методов диагностики пористых газо-водонасыщенных сред.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Сравнительный анализ нелинейных волновых процессов в средах, описываемых двумя основными гистерезисными уравнениями состояния.
-
Физическая модель гистерезисной нелинейности твердых тел, содержа-
щих трещины, поверхности которых обладают адгезией.
-
Результаты теоретического анализа нелинейных волновых процессов в релаксирующих микронеоднородных средах с реактивной, диссипативнои и гистерезисной нелинейностями.
-
Результаты экспериментальных и теоретических исследований нели-
нейных акустических эффектов в стержневых акустических резонаторах и системах из горных пород.
Апробация работы. Публикации. Представленная диссертационная работа выполнена в Институте прикладной физики РАН. По теме диссертации опубликовано 20 научных работ в рецензируемых журналах, препринтах ИПФ РАН, сборниках трудов российских и международных кон-
ференций. Изложенные в диссертации результаты обсуждались на семинарах в Институте прикладной физики РАН, и докладывались на следующих конференциях: 15-м и 16-м Международных симпозиумах по нелинейной акустике (Геттинген 1999; Москва, 2002), Международной конференции 'Progress in nonlinear science" (Нижний Новгород, 2001), XI и XIII сессии Российского Акустического Общества (Москва, 2001; 2003), Нижегородской акустической научной сессии (Нижний Новгород, 2002), V Международном конгрессе по ультразвуку (Париж, 2003), Международном Симпозиуме "Topical problems of nonlinear wave physics" (Нижний Новгород, 2003), Научной школе «Нелинейные волны 2004», (Нижний Новгород, 2004).
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 125 страниц, в том числе 41 рисунок, библиография - 112 наименований.
Гистерезисные уравнения состояния сред с несовершенной упругостью
Существует довольно много феноменологических уравнений состояния сред с гистерезисной нелинейностью; их подробное описание приведено в работах [34,78,79]. Впервые аналитическое описание механического гистерезиса для объяснения амплитудно-зависимого внутреннего трения материалов с, так называемой, несовершенной упругостью, было предложено Давиденковым в 1938 году [31]; само внутреннее трение связывалось с микропластической деформацией материала. В 1956 году Гранато и Люкке на основе струнной модели дислокации Келера [80] разработали физическую теорию амплитудно-зависимого внутреннего трения поликристаллов [32,33]. В обеих этих теориях уравнение состояния среды содержит гистерезис: площадь петли гистерезиса определяет нелинейные потери, а среднее (по периоду волны) значение производной ae(s,s) - дефект модуля
упругости. В различных гистерезисных моделях нелинейные потери и дефект модуля различным образом зависят от амплитуды деформации волны, но часто их отношение г (при относительно малых амплитудах) является постоянной величиной, не зависящей от амплитуды [34,78,79]. Общей причины гистерезисного поведения различных материалов, по-видимому, не существует, однако установлено, что для поликристаллов гистерезис связан с отрывом дислокаций от примесных атомов [32,33,81]. (Впервые идею о дефектах кристаллической решетки, как причине механического гистерезиса, выдвинул Прандтль еще в 1913 году [82], а в 1940 году Рид экспериментально доказал, что пластическая деформация влияет на амплитудно-зависимое внутреннее трение металлов и объяснил это явление на основе движения дислокаций [83].) Теория Гранато-Люкке качественно (а иногда и количественно) достаточно хорошо объясняет результаты экспериментальных исследований амплитудных зависимостей нелинейных потерь и дефекта модуля упругости лишь в некоторых достаточно чистых поликристаллах, поэтому для описания нелинейных эффектов в других твердых телах с несовершенной упругостью, используются феноменологические гистерезисные уравнения.
Здесь мы будем использовать наиболее простые зависимости ст = а(е, є), отражающие основные и характерные особенности гистерезиса, проявляющегося в некоторых металлах и горных породах, например, неотожженных меди [5,10,17] и цинке [74], граните [7], песчанике [6,54,77] и известняке [6]: - каждая ветвь гистерезиса является квадратичной функцией деформации; - переход с одной ветви на другую происходит при смене знака є и (или) є, при этом функция с = 0(е,е) - непрерывна; - для бесконечно малых деформаций гистерезисная нелинейность пренебрежимо мала; - отношение г нелинейного декремента затухания к дефекту модуля упругости (при малых амплитудах деформации) является постоянной величиной. Следует заметить, что первая из отмеченных выше особенностей не является универсальной и общей для всех твердых тел, в которых механический гистерезис проявляется, поскольку, для мрамора [7], свинца [11] и отожженного цинка [12,70] каждая ветвь гистерезиса является не квадратичной, а кубичной функцией деформации; этот случай здесь не рассматривается. Без ограничения общности, уравнение состояния среды можно представить в виде: а(є,Е) = [Е-/(є,є)], (1.2) где /(є,є) - нелинейная функция деформации и скорости деформации, /Е (є,є) « 1. (Отметим, что в уравнениях состояния (1.1), (1.2) необходимо учитывать и линейное диссипативное слагаемое пё [15,16], однако, вследствие того, что не оно определяет характер нелинейных волновых процессов, мы, считая его достаточно малым, будем им пренебрегать, при этом полученные ниже формулы будут справедливы на расстояниях x«L0 =2Cl /Т№2 , где г\ - коэффициент вязкости среды, С0 - скорость продольной волны малой амплитуды, га - частота волны.)
В этом уравнении содержится три независимых параметра нелинейности а и р, 2, ответственных за дефект модуля упругости и нелинейные потери. Вообще говоря, нелинейности первого и второго слагаемых в уравнении (1.3) могут быть также независимыми, однако, для того чтобы отношение г (при малых амплитудах деформации) не зависело от амплитуды волны sm, необходимо положить, чтобы степень первого слагаемого была равна степени гистерезисной нелинейности, т.е. равна 2. Легко видеть, что при а = О и р\ + Р3 = О дефект модуля упругости и нелинейные потери равны нулю и уравнения (1.3) описывают квадратичную нелинейность, как и пяти-константная теория упругости. Из уравнения (1.3) следует, что при Р,+Р2 0 нулевым напряжениям (деформациям) соответствуют ненулевые деформации (напряжения). Обычно ненулевые деформации называются микропластическими, а ненулевые напряжения - остаточными. В соответствии с этой терминологией первый гистерезис (рис. 1.1,а) мы будем называть неупругим (или гистерезис трения [34]). Гистерезис такого типа был предложен Давиденковым [31]; он наблюдался в экспериментах по статическому деформированию австралийского песчаника, южно-африканского кварцита [84], кристаллов LiF и NaCl [85-88] и использовался для описания амплитудно-зависимого внутреннего трения (декремента и дефекта модуля) в этих кристаллах.
В уравнениях (1.3), (1.4) величины гт и є , в отличие от параметров а, р, 2 и у1-4, не являются характеристиками среды, а определяются максимальной и минимальной ее деформациями. В первой модели гистерезиса его ветви зависимы, поэтому Б„, - это амплитуда волны (єм 0). Во второй модели гистерезиса его положительные (є 0) и отрицательные (е 0) ветви задаются независимо, поэтому величины Е являются, вообще говоря, различными, т.е. е+т -вт, (Значения z+m и єт соответствуют амплитудам положительного и отрицательного полупериодов волны.) Для неупругого гистерезиса нелинейная функция неаналитична в двух точках: є=єш и є = -єПІ, а для упругого гистерезиса - в трех: є = є , е = є и є = 0. Отметим также, что в гистерезисных моделях положительным нелинейным потерям отвечает движение рабочей точки на диаграммах сг = cr(s,s) по часовой стрелке. Это соответствует тому, что сумма параметров нелинейности должна удовлетворять неравенствам: (І, + р2 0 и у!3 +у24 0. Кроме этих неравенств, мы пока не будем накладывать никаких других условий на параметры a s [3,л, ух_А и будем считать их различными, что отражает асимметрию диаграммы деформирования твердого тела при его сжатии и растяжении. Наличие такой асимметрии подтверждается, в частности, результатами экспериментальных исследований амплитудно-зависимого внутреннего трения в некоторых металлах и горных породах.
Уравнение состояния для стержня, содержащего большое количество трещин
Наиболее просто уравнение состояния можно получить для стержня, содержащего однородно распределенные в его объеме трещины, нормаль к поверхности которых ориентирована вдоль оси стержня. Здесь мы будем полагать концентрацию трещин достаточно малой, т.е. расстояние между трещинами существенно больше их радиусов, для того, чтобы взаимодействием трещин можно было пренебречь [99]. (Естественно предполагается, что радиус трещины существенно меньше размеров поперечного сечения стержня.)
Конечно, для описания трещин в реальных твердых телах необходимо учитывать шероховатость их поверхностей [27], ориентацию в пространстве, распределение по радиусам [99] и т.д. Однако, для упрощения расчетов, при получении качественных результатов, достаточно рассмотреть простейший случай - стержень с однородно распределенными в объеме и ориентированными вдоль его оси трещинами одинакового радиуса.)
Будем считать, что в исходном состоянии нулевому напряжению соответствует нулевая деформация на диаграмме ст = о"(є,є) (а и є - продольные напряжение и деформация для стержня с трещинами). Из этого состояния можно "стартовать" двумя способами, подвергая стержень сжатию (а 0) или растяжению (or 0). Определим "стартовую" деформацию Sj стержня при его растяжении под действием напряжения or.
Полагая, что деформация стержня с трещинами будет складываться из деформации стержня без трещин и деформации, обусловленной раскрытием трещин, получим "стартовый" участок зависимости ,= 0;), определяющий движение рабочей точки на диаграмме о = о(є,є), где изменение объема трещин пропорционально приложенному напряжению [рис. 1.7): с,(о-) = (1-&) + ] W{h)dh. (1.39)
Из уравнений (139), (1.42) следует, что в точке а = у д все трещины открыты, поэтому кривая е4 = Е4 (о) пересекается с прямой Ej = ех (сг), и дальнейшая деформация стержня при ст Од будет определяться уравнением (1.39). Таким образом, при G G 0 гистерезисная петля после одного цикла деформирования будет замкнутой, и при периодическом нагружении деформация стержня будет определяться уравнениями: (1.39), (1.40) - в фазе сжатия, и (1.41), (1.42), (1.39) - в фазе растяжения. (Если ст ад, то не все закрывшиеся трещины откроются, кривая (1.42) не достигнет прямой (1.39), при последующем сжатии стержня его деформация не будет определяться кривой (1.40) и гистерезисная петля не замкнется. Этот случай требует отдельного подробного анализа; здесь мы его приводить не будем.)
Из выражений (1.39)-(1.42) следует, что уравнение состояния стержня с трещинами содержит разномодульную и гистерезисную нелинейности: первая связана различной упругостью трещин в их открытом и закрытом состояниях, а вторая - с адгезией поверхностей трещин; параметры этих нелинейностей зависят от коэффициента упругости К трещины, функции распределения W = W(h) трещин и поверхностной энергии у твердого тела. (Естественно, при у = 0 гистерезиса в уравнении состояния нет.)
Далее мы рассмотрим простейший случай, когда все трещины - одинаковы и их функция распределения по раскрытиям h имеет вид: W(h) = NQS(h-2y[y/K), где Na -концентрация трещин. Вообще говоря, здесь в качестве первоначального раскрытия можно выбрать любое другое значение h h0, но выбор h = 2yjy/K позволяет привести уравнение состояния к виду,
Уравнение состояния (1.44), (1.45) определяет нелинейные волновые процессы, возникающие при распространении и взаимодействии продольных упругих волн в стержне с трещинами; изучение этих процессов может быть использовано для диагностики среды, т.е. для определения ее параметров, в данном случае концентрации трещин, их радиусов и раскрытий, поверхностной энергии и т.д. (или некоторой комбинации этих параметров).
Здесь мы исследуем некоторые эффекты нелинейного распространения и взаимодействия мощной низкочастотной волны накачки с частотой Q и слабой высокочастотной волны с частотой о в стержне, уравнение состояния которого имеет вид (1.44), (1.45). ГПри выполнении этих условий слабая волна не будет оказывать влияния на сильную, однако сильная волна будет влиять на скорость распространения слабой волны (что приведет к ее модуляции), а также на генерацию ее второй гармоники. Последний эффект связан с модуляцией и изменением эффективного параметра квадратичной нелинейности для слабой волны в поле мощной волны накачки (наиболее сильно он может проявляться в средах с неаналитическим уравнением состояния [100]). Подставляя уравнения (1.44) в уравнения движения (1.5), и переходя к новым переменным % = t-x!Cu, х -х, получим уравнение (1.6).
Волновые процессы в микровеоднородных средах с квадратичной гистерезисной нелинейностью и релаксацией
В работе [101] для объяснения частотных зависимостей параметров нелинейности была предложена и исследована реологическая модель микронеоднородной среды -одномерной цепочки жестких линейных упругих элементов и относительно мягких нелинейных вязко-упругих (релаксационных) дефектов. В этой работе рассматривались трехволновые процессы в средах, содержащих дефекты с квадратичной упругой нелинейностью, и было показано, что, в результате нелинейной релаксации дефектов на частотах первичных и нелинейно-генерируемых волн, параметры квадратичной нелинейности микронеоднородных сред становятся частотно-зависимыми, т.е. такие среды обладают дисперсией упругой нелинейности. Конечно, одна только реология не может в полной мере вскрыть физическую природу этого явления - его механизмы для различных сред могут быть также различными, однако предложенная реологическая модель адекватно описывает линейные и нелинейные акустические свойства широкого класса микронеоднородных сред (в частности, поликристаллических металлов и горных пород), и позволяет, по-существу, качественно понять и объяснить результаты экспериментальных исследований нелинейных эффектов в подобных средах. Для каждой такой среды проявление амплитудно-частотных зависимостей нелинейных эффектов сугубо индивидуально, поэтому, наряду с нелинейными, релаксационные свойства микронеоднородных сред также могут быть использованы для их классификации и диагностики.
Далее будет проведен теоретический анализ нелинейных эффектов, возникающих при распространении первоначально гармонической акустической волны в микронеоднородных средах, содержащих дефекты с квадратичной гистерезнсной нелинейностью и релаксацией; определены частотные зависимости эффективных параметров нелинейности для процессов самовоздействия волны и генерации ее высших гармоник.
Как и в работе [101], рассмотрим реологическую модель среды, состоящей из одномерной цепочки линейных упругих элементов и относительно мягких нелинейных вязко-упругих дефектов, для которых зависимость "напряжение а - деформация " является гистерезнсной: где Е - модуль упругости жестких элементов, С, - относительная упругость дефекта по сравнению с упругостью линейных жестких элементов («1), х\ - коэффициент вязкости, „ и 4 " амплитуда и скорость деформации, у,_4 - параметры гистерезнсной нелинейности, yw 14„ «1 s I Yi_41» 1 (Здесь, для определенности, рассматриваются дефекты, описываемые квадратичным упругим гистерезисом, однако полученные ниже выражения для коэффициентов Ар(а) и В (ts) будут справедливыми и для дефектов с неупругим, но также квадратичным, гистерезисом (1.3).) При малой концентрации дефектов уравнение состояния микронеоднородной среды имеет вид [101].
Уравнение состояния (2.3) является релаксационным и содержит линейное и нелинейное релаксационные слагаемые. Линейная и нелинейная релаксация такой среды обусловлены релаксацией дефектов, причем нелинейная релаксация проявляется дважды; первый раз за счет линейной, поскольку нелинейная функция в уравнении (2,3) определяется линейным откликом дефектов, и, второй раз, релаксацией самой нелинейной функции. В низкочастотном приближении, т.е. при &/W «I, со - частота акустической волны, уравнение (2.3) сводится к простому, безннерционному уравнению типа (1.2).
Зададим граничное условие в виде: є(х = 0,/)=е0 sin tor, и рассмотрим нелинейных эффектов, возникающие при распространение продольной (вдоль оси х) акустической волны в такой среде. Из выражений (2.5)-(2.10) следует, что релаксация гистерезисных дефектов приводит к тому, что, во-первых, коэффициенты Ар{&) и Вр( а), определяющие нелинейные потери, изменение скорости волны, амплитуды и фазы высших гармоник в микронеоднородной среде, становятся частотно-зависимыми (причем их знаки могут быть любыми), а, во-вторых, каждый из этих коэффициентов является линейной комбинацией коэффициентов ар и Jp. Из выражений (2.7), (2.11) видно, что при возбуждении в микронеоднородной среде с гистерезиснои нелинейностью и релаксацией гармонической волны на частоте ю в среде возникают волны на частотах рсо, при этом амплитуда каждой высшей гармоники одинаково (квадратично) зависит от амплитуды исходной волны и пройденного расстояния и пропорциональна эффективному параметру нелинейности Dp((a) - J (co) + Л (ш), зависящему от частоты га исходной волны и номера гармоники р: e,(.). j7iTf J , , NY] .
Влияние мощной звуковой волны на акустические характеристики резонатора из мелкозернистого песчаника
Здесь приводятся результаты экспериментального исследования влияния мощной звуковой волны на акустические характеристики стержневого резонатора из мелкозернистого песчаника - горной породы, извлеченной из керна в месте добычи нефти и газа. Схема эксперимента приведена на рис. 3.1. Длина L стержня (1) составляла 28 см, а его диаметр - =2.5 см. ПьезокерамическиЙ излучатель (2) слабой волны был приклеен к торцу стержня и массивному (М 1 кг) титановому концентратору (3), являющемуся излучателем мощной волны накачки, так что граничное условие на этом торце резонатора было близко к условию на абсолютно жесткой границе. (Минимальный уровень волны накачки превышал уровень слабой волны примерно на 30 дБ.) К другому - свободному торцу стержня приклеивался пьезоакселерометр (4) достаточно малой массы, так что эта граница была близка к акустически мягкой. Для такого резонатора собственные частоты продольных колебаний определяются выражением: Fn =C0(2n-l)/4L, где С0 - скорость продольной волны в стержне, « - номер продольной моды резонатора. С пьезоакселерометра сигнал поступал на спектроанализатор (5) для измерения амплитуды волны накачки, а также через режекторный фильтр (6), подавляющий сигнал накачки на 30 дБ, на селективный вольтметр (7) и осциллограф (8), где производилось измерение амплитуды А смещения слабой волны. Собственные частоты первых четырех продольных мод резонатора при малых амплитудах возбуждения составляли F, «2230 Гц, F2 «6800 Гц, F3 «10150 Гц и FA «13340 Гц, а их добротности, соответственно, Ql «125, Q2 «s 130, g3 135 и Q4 «140. Таким резонансным частотам соответствует скорость продольной волны в стержне: С0 «2.5-10 см/с. Погрешности измерения частот и амплитуд акустических волн составляли соответственно ±510" Гц, ±5-Ю"2 Дб.
При проведении эксперимента, вначале, в резонаторе возбуждались непрерывные слабая волна на 4-ой моде и сильная волна накачки на 1-ой, а затем наоборот - слабая волна на 1-ой моде и сильная - на 4-ой. (Такой выбор частот сильной и слабой волн определялся, в основном, "акустической совместимостью", т.е. условием их раздельного приема.) Амплитуда возбуждения слабой волны в процессе измерения была фиксирована и не изменялась, а амплитуда волны накачки увеличивалась, при этом, вследствие ухода из резонанса, ее частота изменялась так, чтобы волна накачки все время была в резонансе. На рис. 3.2 а, б приведены резонансные кривые для слабой волны на 4-ой и 1-ой модах при различных амплитудах волны накачки на 1-ой и 4-ой модах соответственно. Из этих рисунков видно, что при увеличении амплитуды ет волны накачки происходит сдвиг резонансной частоты и расширение резонансной кривой для слабой волны; это связано с уменьшением модуля Юнга (или скорости упругой волны) и ухудшением добротности резонатора (или увеличением нелинейных потерь). Уровень волн комбинационных частот (вблизи 3-ей и 5-ой мод резонатора) был приблизительно на 30 дБ меньше уровня слабой волны, поэтому генерация этих волн не могла быть причиной столь сильного ухудшения добротности 4-ой и 1-ой мод резонатора.
Зависимости относительной амплитуды: 1 - для слабой волны на 4-ой моде резонатора от амплитуды накачки на 1-ой и 2 - для слабой волны на 1-ой моде от амплитуды накачки на 4-ой. Линия - результат расчета по формуле (3.11) при Р =2.5109. Наблюдаемые в эксперименте нелинейные эффекты - сдвиг резонансной частоты и ухудшение добротности резонатора при увеличении амплитуды волны, обычно объясняется в рамках гистерезисной нелинейности [7,10-12,17,70,84,85,92]. Здесь мы вначале также попытаемся провести аналитическое описание этих эффектов в рамках гистерезисного уравнения состояния: сг(є,є) = [є-/(є,є)] + арє, (3.1) где /(є, є) определяется уравнением (1.2), а - коэффициент линейного затухания. (Выбор степени нелинейности гистерезиса равной 2 обусловлен экспериментально установленной зависимостью: AF1A єи.)
Из этого уравнения следует, что в рамках гистерезисной нелинейности можно объяснить только сдвиг резонансной частоты, но не уменьшение добротности резонатора, измеренные при помощи слабой волны на одной моде при увеличении амплитуды мощной волны на другой моде. Вообще говоря, для объяснения одного только нелинейного сдвига резонансной частоты (AFJ 4 ew) не обязательно вводить гистерезис, для этого достаточно учесть разномодульную квадратичную нелинейность, положив в уравнении (3.2) у2 =-уг я уА = -уг, но у, у3„ так что у 0. Введение гистерезисного уравнения состояния в данном случае было обусловлено тем, что при исследовании эффектов амплитудно-зависимого трения при возбуждении этого резонатора только одной волной накачки наблюдается как сдвиг резонансной частоты, так и уменьшение его добротности, а также для того, чтобы показать, что гистерезисная нелинейность не приводит к ухудшению добротности резонатора для слабой волны в присутствии сильной.
Из этой таблицы видно, что при увеличении частоты возбуждения резонатора в 9 раз (с 2 кГц до 18 кГц) значения коэффициентов д15 6, (и параметров YI 7J уг-у4) существенно уменьшаются (почти в 10 и 13 раз соответственно). Аналогичные закономерности наблюдались в свинце [11] и цинке [12]. Таким образом, результаты экспериментальных исследований эффектов АЗВТ свидетельствуют о том, что для поликристаллических сред параметры нелинейности у,_4 являются частотно-зависимыми, в связи с чем гистерезисное уравнение состояния (3.1), (3.2) следует модифицировать так, чтобы оно описывало частотную зависимость гистерезисной нелинейности. Для объяснения этой зависимости воспользуемся результатами работы [101], где была предложена реологическая модель микронеоднородной среды, состоящая из одномерной цепочки жестких линейных упругих элементов и относительно мягких нелинейных вязко-упругих дефектов.
