Содержание к диссертации
Введение
Введение 6
Глава 1. Проблема принятия решений в многокритериаль ных недетерминированных задачах проектирования железных дорог 31
1.1. Современное состояние проблемы принятия решений в многокритериальных задачах проектирования железных дорог 31
1.2. Проблема многокритериальности принятия решений при проектировании железных дорог 50
1.3. Проблема принятия решений в недетерминированных задачах проектирования железных дорог 107
1.4. Проблема принятия решений в проектировании железных дорог в нечеткой среде 135
1.5. Проблема применения человеко-машинных процедур принятия решений в проектировании железных дорог... 154
1.6. Выводы по главе 1 178
Глава 2. Принятие решений в многокритериальных детерми нированных задачах проектирования железных до рог в четкой среде 180
2.1. Введение 180
2.2. Исследование методов для принятия решений в многокритериальных детерминированных и недетерминированных задачах в четкой среде 184
2.3. Исследование методов для принятия решений в многокритериальных детерминированных и недетерминированных задачах в нечеткой среде 194
2.4. Исследование возникновения и развития теории принятия решений и теории полезности 215
2.5. Детерминированная постановка задачи принятияj?eineния. Построение иерархии целей 222
2.6. Аксиоматика теории полезности в условиях определенности оценок вариантов проектных решений 226
2.7. Декомпозиция многомерной функции ценности в проектировании железных дорог 231
2.8. Принятие решений в проектировании железных дорог по критерию максимальной ценности 238
2.9. Пример решения многокритериальной статической детерминированной задачи по выбору варианта трассы 241
2.10. Выводы по главе 2 257
Глава 3. Принятие решений в многокритериальных недетер минированных задачах проектирования железных дорог в четкой среде 259
3.1. Введение 259
3.2. Аксиоматика теории полезности в условиях неопределенности оценок альтернатив для принятия решений в проектировании железных дорог 261
3.3. Формализация структуры предпочтения ЛПР для принятия решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог в четкой среде 272
3.4. Принятие решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог в четкой среде 282
3.5. Принятие решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог в четкой среде при недостаточной исходной информации.. 285
3.6. Пример принятия решения по выбору варианта трассы с мостовым переходом на основе стохастического доминирования 292
3.7. Выводы по главе 3 303
Глава 4. Принятие решений в многокритериальных детерми нированных задачах проектирования железных до рог в нечеткой среде 306
4.1. Введение 306
4.2. Аксиоматика теории нечеткой полезности для принятия решений в проектировании железных дорог 308
4.3. Формализация структуры предпочтений ЛПР в нечеткой среде для принятия решений в проектировании железных дорог 316
4.4. Принятие решений в проектировании железных дорог на основе глобального критерия многомерной нечеткой полезности 324
4.5. Выводы по главе 4 331
Глава 5. Применение теории принятия решений в многокри териальных задачах выбора варианта трассы и на правления проектируемых линий с использованием лингвистических критериев 333
5.1. Введение 333
5.2. Принятие решения в многокритериальной статической детерминированной задаче выбора варианта трассы на пересечении горного хребта в нечеткой среде с использованием лингвистических критериев 335
5.3. Принятие решения по выбору варианта направления железнодорожной линии на основе критерия многомерной нечеткой полезности при использовании лингвистических критериев 352
5.4. Принятие решения по выбору варианта направления железнодорожной линии на основе индексов ранжирования в случае возникновения отношения нечеткого порядка между сравниваемыми альтернативами 361
5.5. Выводы по главе 5 373
Основные выводы 374
Библиографический список 376
- Проблема многокритериальности принятия решений при проектировании железных дорог
- Исследование методов для принятия решений в многокритериальных детерминированных и недетерминированных задачах в четкой среде
- Аксиоматика теории полезности в условиях неопределенности оценок альтернатив для принятия решений в проектировании железных дорог
- Формализация структуры предпочтений ЛПР в нечеткой среде для принятия решений в проектировании железных дорог
Введение к работе
Сравнение вариантов при проектировании железных дорог выполняется по следующей схеме.
Сначала выбирается наиболее экономически эффективный вариант по показателям сравнительной экономической эффективности, в качестве которых выступают: сравнительный интегральный эффект, приведенные (модифицированные - в случае учета доли налоговых отчислений от прибыли) строительно-эксплуатационные затраты, срок окупаемости дополнительных инвестиций, коэффициент эффективности дополнительных инвестиционных вложений.
Затем, выбранный вариант оценивается по показателям общей экономической эффективности, основными из которых являются: чистый дисконтированный доход (интегральный эффект инвестиций), срок окупаемости инвестиций, индекс доходности (индекс рентабельности инвестиций) и внутренняя норма доходности (норма рентабельности инвестиций).
В случае, когда выбранный вариант удовлетворяет требованиям общей экономической эффективности инвестиций и обеспечивает требуемые инвестором норму рентабельности вложений и срок возврата вложений, производят оценку показателей коммерческой эффективности для выбранного варианта путем определения потоков реальных денег по инвестиционному, операционному, финансовому видам деятельности предприятия (проектируемой железной дороги) и расчетов текущего и накопительного сальдо, при положительных величинах которых в любом временном интервале выбранный вариант признается экономически эффективным и рекомендуется к реализации. Если сальдо отрицательное, то рассматривают возможность привлечения инвестором дополнительных средств.
В рассмотренной схеме основными показателями эффективности вариан
тов проектного решения являются стоимостные (денежные) показатели, что яв
ляется общепризнанным, не смотря на известные недостатки стоимостных (де
нежных) показателей. , -
В проектировании железных дорог применяют принцип вариантности, который обеспечивает возможность сравнительной (соревновательной) оценки вариантов, принципиальная разница между которыми является следствием различия между целями, намеченными проектировщиком в конкретной задаче, причем, цели эти чаще всего - разнонаправлены.
Принцип оптимальности (решающее правило, целевая функция), на основе которого выбирают вариант, может быть задан заранее (задача исследования операций), но может быть сформирован во время решения данной конкретной задачи (задача принятия решения) на основе структуры предпочтения главного ЛПР - лица, принимающего решение: инженера-проектировика, главного инженера проекта, начальника отдела, директора проектно-изыскательского института.
В проектировании железных дорог также применяют принцип стадийности (этапности), который обеспечивает экономию ресурсов (временных, трудовых, энергетических, денежных), необходимых для создания проектно-сметной документации.
Например, выбор варианта железнодорожной линии производится на предпроектных этапах: предварительно на 1-ом этапе «Определение цели инвестирования» с разработкой ходатайства (декларации) о намерениях и затем окончательно на 2-ом этапе «Обоснование инвестирований в строительство» с получением Акта выбора земельного участка для строительства.
Принятие решения производится в условиях неопределенности, причинами которой являются:
\
сложность и трудоемкость определения точных значений ряда показателей, вызванная небольшим объемом выделяемых для целей изысканий и проектирования ресурсов;
необходимость прогнозирования изменений условий решаемой задачи (размеров грузооборота, стоимостных показателей, экологических, социальных, политических факторов и т.д.) из-за значительного временного лага от точки принятия решения по выбору варианта, до точки выхода построенной железной дороги на уровень 70 % проектной мощности (в целом такой временной период может составить от 9 до 18 лет);
уникальность, присущая в некоторой степени всем проектируемым железным дорогам, являющимся сложными природно-техническими системами (особенно - пионерным железным дорогам, проектируемым в малоосвоенной и малоизученной местности).
Для учета неопределенности при сравнении вариантов проектных решений разработаны различные методы /1, 2, 9, 10, 16/.
Поскольку задача по выбору варианта решается в условиях неопределенности, следовательно, возрастает вероятность того, что при первоначальном сравнении по названным показателям сравнительной экономической эффективности варианты могут быть признаны равноценными, в пределах точности технико-экономических расчетов (например, на предпроектных этапах равноценными предлагается считать варианты с относительной разницей по показателям в пределах 10 - 15 % /94/).
Таким образом, задачам сравнения и выбора вариантов проектных решений в проектировании железных дорог присущи две особенности: во-первых, высокая вероятность равноценности вариантов по денежным критериям, при которой затруднительно сделать обоснованный выбор без привлечения дополнительных критериев (или этот выбор будет случайным, произвольным, спонтанным); во-вторых, необходимость выбора одного варианта проектного реше-
9 ния из нескольких допускаемых вариантов (удовлетворяющих техническим и эксплуатационным требованиям - ограничениям, обеспечивающих овладение перевозками с установленными уровнями безопасности, плавности и бесперебойности движения поездов) на каждом этапе (стадии) проектной подготовки строительства для передачи решения на следующий этап (стадию). Например, при выборе направления железной дороги для дальнейшей разработки проектной документации необходимо остановиться на одном варианте направления, чтобы утвердить решение о предварительном согласовании места размещения объекта, на основе обоснований инвестиций в строительство.
Поэтому необходимо точно классифицировать задачу принятия решения, построить иерархию целей, определить частные критерии эффективности для целей нижнего уровня, формализовать структуру предпочтения ЛПР и - сделать окончательный выбор.
При этом этап принятия решения не является чем-либо инородным для процесса проектирования железных дорог, однако его важность и необходимая обособленность - очевидны. Очевидны по двум причинам: во-первых, это заключительный этап, по результатам которого, то есть, по рекомендованному варианту, судят о качестве проработки всех вариантов, во-вторых, - это наиболее ответственный этап, так как он является важным моментом во времени развития всего проекта (Break Point, Cross-Road), - после которого менять что-либо дорого и сложно.
Выбирая один вариант (или сужая множество альтернатив), ЛПР отбрасывает другие варианты, то есть принятие решения - это поворотный этап в проектировании железных дорог, поэтому столь естественно желание проектировщиков железных дорог иметь надежные средства диагностики альтернатив и выбора оптимальных вариантов подсистем сложной технической системы «Железная дорога».
Формализация принятия решений, в свою очередь, подразумевает уже имеющуюся методологию решения проблемы многокритериального выбора в проектировании железных дорог.
Необходимо классифицировать задачу, подобрать наиболее приемлемый метод ее решения, используя базу данных подобных задач, построить иерархию целей, назначить критерии, «назвать» их J11 IF, получить от него либо матрицы оценок, либо функции распределений, либо нечеткую информацию о значениях критериев и после этого решить задачу недетерминированного выбора, предложив оптимальный вариант ЛПР, поясняя, при необходимости все этапы, предшествовавшие выбору оптимальной альтернативы.
Должна быть предусмотрена пошаговая процедура принятия решения с заранее предусмотренными точками «разрыва», когда ЛПР должен будет выбрать наиболее подходящие, по его мнению, ответы на стандартные вопросы, типа: «Классифицируйте задачу выбора», «Назовите частные критерии эффективности для целей нижнего уровня» и т.д.
Строгая методология выбора варианта трассы железнодорожной линии при многих критериях в условиях неопределенности исходной информации и оценок предлагаемых альтернатив в пространстве исходов пока не сформирована.
Неопределенность, в широком смысле этого слова, всегда сопровождает процесс проектирования железных дорог. Необходимы точные критерии неопределенности, которые позволили бы ответить на вопрос - какую задачу в проектировании железных дорог можно решать как детерминированную, а при каких условиях требуется применять методы принятия решений в условиях неопределенности.
Недетерминированные задачи проектирования железных дорог по степени сложности подразделяются на риск, когда определены матрица (таблица) исходов или дерево решений с известными законами распределения или с извест-
ными рядами распределения, собственно неопределенность или вероятностно-
стохастическую неопределенность и нечеткую среду - или условия нечеткой
исходной информации. ___
Критерий нечеткой полезности является глобальным- критерием для принятия решений в нечеткой среде. Соединяя нечеткие оценки по назначенным проектировщиком лингвистическим частным критериям в одну оценку, нечеткая полезность выполняет функции дополнительного комплексного показателя сравнительной эффективности вариантов проектных решений.
Например, при выборе варианта направления железной дороги проектировщики могут применять такие лингвистические критерии как: «степень соответствия варианта направления основному назначению проектируемой железной дороги», «степень соответствия варианта направления требованиям обороноспособности страны», «уровень обеспеченности варианта направления существующими сухопутными и водными путями сообщения, которые могут быть использованы при изысканиях, проектировании, постройке и эксплуатации проектируемой железной дороги», «барьероопасность варианта», «показатели надежности и живучести варианта, определенные качественно» и другие.
Лингвистический подход к задаче выбора вариантов проектных решений позволяет использовать приближенные (качественные) субъективные оценки вариантов, выраженные с помощью нечетких высказываний на профессиональном языке. Формализация лингвистических (нечетких) переменных с помощью нечетких множеств и декомпозиция многомерной полезности (при выполнении условий независимости по полезности) дают возможность определить функции принадлежности многомерных нечетких полезностей сравниваемых вариантов.
Результаты решения задачи могут быть представлены в виде графиков функций принадлежности многомерных полезностей сравниваемых вариантов, либо в виде нечетких описаний с использованием понятий профессионального языка. В случае возникновения отношений нечеткого порядка для решения за-
12 дачи инженер-проектировщик может использовать индексы ранжирования нечетких интервалов (нечетких чисел полезности).
На основе полученной информации проектировщик, формализовав свою структуру предпочтения, может сделать уверенный выбор варианта на пред-проектном этапе в условиях недостаточной (неточной, нечеткой) исходной информации.
Таким образом, актуальность исследования состоит в создании создания теории формализации структуры предпочтений проектировщика - лица, принимающего решение (ЛПР), для всестороннего сравнения и обоснованного выбора вариантов в целях повышения качества принимаемых решений.
Целью исследования является создание теории принятия решений в многокритериальных детерминированных и недетерминированных статических задачах проектирования железных дорог в четкой среде и многокритериальных статических детерминированных задачах проектирования железных дорог в нечеткой среде на основе аксиоматических декомпозиционных методов теории полезности.
Методы исследования:
общие методы научного познания:
методы эмпирического исследования (наблюдение, сравнение, измерение, эксперимент);
методы эмпирического и теоретического уровней исследования (абстрагирование, анализ и синтез, индукция и дедукция, моделирование принятия решений в многокритериальных задачах проектирования железных дорог).
Наблюдение - использовался аналог наблюдения - аналитическое исследование источников, монографий, нормативных документов, проектов железных дорог. Наблюдение удовлетворяло основным принципам: планомерности,
13 целенаправленности, активности, систематичности. Наблюдение позволило собрать первичную информацию об области и предмете исследования.
Сравнение - позволило установить сходство и различие^многокритери-альных задач по различным существенным признакам, возникающих при проектировании железных дорог. В результате сравнения установлены общие закономерности, присущие этим задачам.
Измерение в процессе эксперимента, когда в качестве ЛПР выступал автор диссертации. Измерялись предпочтения ЛПР, формализовалась структура предпочтения ЛПР, строились функция многомерной полезности. Условные эксперименты позволили: изучить отдельные задачи проектирования железных дорог в «чистом виде»; получить данные по принятию решений в многокритериальных задачах проектирования железных дорог в таких условиях, когда непосредственное изучение предмета исследования затруднительно (невозможно).
Абстрагирование позволило, отвлекшись от несущественных свойств и связей, отношений, выделить и зафиксировать самые важные стороны предмета исследования: на ранних стадиях варианты проектных решений часто признаются равноценными; принятие решений в задачах проектирования железных дорог часто проводится с привлечением дополнительных критериев; из-за сложности в определении денежной оценки отдельных критериев ЛПР приходится оперировать техническими и натуральными показателями вместе с денежными, следовательно задачи проектирования железных дорог в большинстве случаев являются многокритериальными.
Структурные анализ и синтез позволили вычленить в сложном явлении «принятие решений в многокритериальных задачах проектирования железных дорог» основные элементы, представляющие центральное - решающее влияние на все стороны предмета исследования. Выявленные основные элементы: цели,
14 альтернативы и исходы, частные критерии оценки альтернатив (исходов), решающее правило выбора оптимальной альтернативы.
На основе индуктивных умозаключений по накопленному эмпирическому материалу выявлены причины многокритериальности задач проектирования железных дорог на основе способов обоснования частичной индукции.
В диссертации использованы также методы теоретического уровня исследования: теория принятия решений, теория нечетких множеств, математическая логика, теория возможностей, теория ожидаемой полезности, теория вероятностей.
Следует пояснить постановку цели исследования, в название диссертации «Принятие решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог» вынесены недетерминированные задачи проектирования, в то же время во 2-ой, 4-ой и 5-ой главах исследуются многокритериальные детерминированные задачи принятия решения в четкой (2 глава) и нечеткой (4 и 5 главы) среде.
Причина некоторого «несоответствия» названия диссертации поставленной цели исследования и ее фактическому содержанию заключается в стремлении к краткости названия, которое в противном случае должно было бы выглядеть следующим образом «Принятие решений в многокритериальных детерминированных и недетерминированных статических задачах проектирования железных дорог в четкой среде и многокритериальных статических детерминированных задачах проектирования железных дорог в нечеткой среде на основе аксиоматических декомпозиционных методов теории полезности». Подобное название было бы слишком громоздким и плохо бы воспринималось.
В то же время нечеткость можно рассматривать с определенными оговорками, как один из видов неопределенности. Следовательно, принятие решений в нечеткой среде (в детерминированных задачах, когда альтернативы однозначно соответствуют исходам или в недетерминированных задачах, когда ЛПР
15 оценивают исходы, как некоторые возможные реализации альтернатив в стохастических условиях принятия решений) всегда может трактоваться как решение недетерминированных задач, поскольку оценки альтернатив (даже при решении детерминированных задач) в известном смысле - неопределенны, например, даны ЛПР лингвистически.
Поэтому автор не погрешил против истины несколько «сократив» название, подведя задачи принятия решений в условиях определенности в нечеткой среде под «общий знаменатель» недетерминиованных задач. Что касается 2-ой главы и принятия решений в многокритериальных детерминированных задачах проектирования железных дорог, то можно сказать, что автор вынужден был начать свое исследование с детерминированных задач, как более простых, имея в виду, что наиболее общим случаем, конечно, являются недетерминированные задачи, потому что в проектировании железных дорог принятие решений, в большинстве случаев, производится в условиях риска и неопределенности при недостоверной, недостаточной, неточной исходной информации (прогнозирование экономического развития страны, размеров перевозок, а также природных условий, в которых будет эксплуатироваться проектируемая железная дорога пока не дает достаточно точных данных), что показано в параграфе 1.3.
Кроме того принятие решений, пусть даже в условиях определенности, но с использованием нескольких критериев тоже задача «неопределенная», неопределенность которой заключается в неизвестных заранее (до решения задачи) ценностных соотношениях между критериями. Шкалирующие константы, определяемые ЛПР в процессе решения многокритериальной детерминированной задачи зависят от интервалов изменения критериев, достижимых в конкретной задаче (этим шкалирующие коэффициенты отличаются от критериев важности, используемых в прямых методах решения многокритериальных задач).
Разумеется, «неопределенность», присущая многокритериальным задачам совсем иного рода, чем та, которая выделяется при разделении задач на детерминированные и недетерминированные, природа многокритериальной неопределенности во многом субъективна, зависит от структуры предпочтения конкретного J ПІР, в то время как природа стохастической неопределенности - полностью объективна, т.к. все в мире происходит вероятностно в силу огромного количества изменяющихся во времени и в пространстве факторов, влияющих с разной степенью на исследуемые свойства технических систем, даже когда оценки вероятности даются субъективно ЛПР, они имеют объективную природу, потому что их основа - это вечно изменяющийся мир.
В этой связи необходимо сказать о том, почему в диссертации не рассматриваются динамические задачи проектирования, хотя именно такие задачи наиболее важны для проектирования железных дорог. Дело в том, что при использовании метода кафедры «Изыскания и проектирование железных дорог» МИИТа решение задачи отыскания оптимальной схемы этапного усиления (регулирования мощности ж.-д. линии) складывается из принятия отдельных статических решений по выбору рациональных сроков перехода и формированию оптимальной схемы (включению - невключению состояния).
Следовательно, теория решения многокритериальных недетерминированных статических задач, разработанная в диссертации, может быть эффективно использована и при решении динамических задач. К данному вопросу автор возвращается в п. 1.3 диссертации при исследовании проблемы неопределенности в принятии решений.
Таким образом, становится ясным замысел автора, отраженный в названии: разработать теорию принятия решений в многокритериальных недетерминированных статических задачах проектирования железных дорог, которая с некоторыми доработками может быть использована и при решении динамических задач проектирования, являющихся наиболее важными.
Перспективы разработанной теории касаются в первую очередь учета динамики самих предпочтений на основе прогноза изменений предпочтений ЛПР со временем. В качестве примера можно привести опыт решения многокритериальной недетерминированной динамической задачи в 1978 г. исследовательской группой под руководством проф. Б.Холлинга /200/. Группа была создана на базе Института экологических ресурсов университета провинции Британская Колумбия (Канада) и Международного института прикладного системного анализа (Австрия) и выполнила разработку подробной имитационной модели лесов Нью-Брунсвика (Канада) с использованием частных критериев эффективности (прибыль, занятость, воспроизводство) и оценкой для них функции полезности, причем предпочтения ЛПР определялись с учетом изменения их во времени.
Таким образом, автором было принято решение принять именно то название, которое стоит на титульном листе диссертации.
Единственное уточнение здесь следовало бы сделать: в диссертации разработана теория принятия индивидуальных решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог. Вопросы согласования индивидуальных структур предпочтения для принятия коллективных (групповых, коллегиальных) решений в диссертации не рассматриваются.
Проблема принятия коллективных решений требует отдельного решения. К тому же автору в настоящее время не известны сколько-нибудь эффективные ее решения, кроме правила диктатуры, согласно аксиомам К.Д.Эрроу (Arrow K.J), попытавшемуся представить интуитивно понятные правила "демократического" (равноправного, справедливого, общественного) выбора в задачах коллективного принятия решений для того, чтобы объяснить (опровергнуть) парадокс Кондорсе (маркиза де Кондорсе) и не сумевшему сделать это.
Рассмотрим этот вопрос чуть подробнее, так как одна из трактовок данного парадокса относится к многокритериальному принятию решений в условиях нетранзитивности отношения предпочтения между альтернативами, а эта проблема безусловно имеет отношение к теме диссертации."
Предположим, что нужно выбрать один элемент из конечного множества
альтернатив X, исходя из набора упорядочений {<(}"=1 на X, которые могут соответствовать либо различным критериям, либо предпочтениям, высказанным членами некоторой комиссии экспертов: / = 1, п. Один из подходов заключается в том, чтобы определить на X отношение предпочтения -<, положив
х<у <> п(х,у)<0, (В.1)
где п(х,у)- разность между числом таких /', для которых x
ч( - отрицание предпочтения по і -тому типу упорядочения. Если нет оснований считать некоторые из критериев (или мнения некоторых экспертов) более существенными и если предположить, что оценка интенсивности предпочтения альтернативы у по отношению к х должна зависеть только от соотношений между л; и у в каждом из упорядочений -<,, то функция п(х, у) дает достаточно адекватное представление об интенсивности предпочтения по всей совокупности критериев или мнений экспертов. Элемент
х єХявляется максимальным для отношения -< тогда и только тогда, когда
* никакой другой элемент у є X не является более предпочтительным, чем X ,
по большинству тех критериев, для которых х и у не безразличны между собой.
Парадокс, открытый Кондорсе в 1794 г. состоит в том, что отношение предпочтения -< может и не иметь максимального (оптимального, наилучшего)
19 элемента. Простейшим примером такой ситуации является случай, когда множество X состоит из трех элементов х, у, z и имеется три таких строгих
упорядочения {-<,-}/=! на X , что —
х<г у<х z,
y<2z<2x, (В.2)
г^з^з У-
В этом случае отношение -<, определенное условием (В. 1), имеет вид:
x
Налицо нетранзитивность предпочтений между альтернативами, что приведет в случае группового принятия решения к ситуации неопределенности выбора, а в случае индивидуального принятия решения проблема многокритериального выбора становится неразрешимой.
Описанная выше ситуация отнюдь не обусловлена конкретным определением предпочтения, которое было использовано, см. (В.1). К.Д.Эрроу показал, что такой парадокс имеет место для любого правила определения группового предпочтения, удовлетворяющего нескольким простым аксиомам.
Все последующи попытки модифицировать аксиомы Эрроу так, чтобы избежать этого парадокса, оказались безуспешными. В практических ситуациях люди, поставленые перед необходимостью принятия решения, выбирают какую-либо из альтернатив, однако в случае, когда альтернативы связаны между собой соотношениями предпочтения вида (В.З), любое принятое решение не будет устойчивым в том смысле, что при идентичном повторении этой ситуации (например, при попытке пересмотреть выбранное решение) может оказаться выбранной любая другая альтернатива.
Следовательно, когда известны только соотношения (В.З), как в классической (традиционной, используемой в диссертации) теории ожидаемой полезности, ничего нельзя сказать о том, какая альтернатива будет выбрана и насколько устойчивым окажется сделанный выбор.
В работе /25/ описывается рассмотренный парадокс и делается вывод о
невозможности других, кроме диктатуры, эффективных правил устойчивого
рационального выбора.
«Цикл Кондорсе не зависит от совершенства технологических процедур. Современник Кондорсе - Ш.Борда выяснил, что никакого универсального способа выявления коллективных предпочтений (добавим - в условиях отсутствия согласованности между экспертами, группами, фракциями и т.д. или какой-либо процедуры согласования либо подчинения - ПВА) нет и не может быть в принципе. Можно привести множество разумных правил голосования (правило абсолютного и относительного большинства, правило отсеивания наихудших, правило Борда и т.д.), но их результаты могут быть прямо противоположными...»
Американский математик Кеннет Джордж Эрроу (р. 1921 г.) проф. Стэн-фордского и Гарвардского университетов, Нобелевский лауреат по экономике (1972 г.) за работы в области теории общего экономического равновесия заложил основы теории современного группового выбора.
Инстинктивно полагаясь на демократию как инструмент согласования расхождений, люди зачастую склонны думать, что правильно организованное обсуждение автоматически превращает окончательное решение в оптимальный (в требуемом смысле) синтез предложенных экспертами вариантов решения. Вопрос, как может представиться на первый взгляд, заключается лишь в выборе процедуры голосования, максимально соответствующей принципам демократии.
Как на самом деле устроено правило общественного выбора? К.Д. Эрроу ввел требования, которым должно бы удовлетворять искомое правило (аксиомы Эрроу):
1) оно должно быть отношением предпочтения на том же множестве альтернатив, что и множество обсуждаемых вариантов;
оно должно зависеть от индивидуальных предпочтений;
оно должно быть универсальным (т.е. давать ответ при любых предпочтениях всех голосующих); „__
аксиома единогласия (если все участники обсуждения предпочитают одну и ту же альтернативу, то на ту же альтернативу должен указывать и общественный выбор);
аксиома независимости от посторонних альтернатив ( предпочтет ли общество - группа экспертов - коллектив альтернативу А или Б должно зависеть только от мнения его членов относительно пары А и Б, но не от точек зрения по другим вопросам).
Всем перечисленным требованиям удовлетворяют только диктаторские правила. Иными словами, нужно выбрать какого-нибудь произвольного члена общества и осуществить общественный выбор в соответствии с его предпочтениями, хотя, как мы видели выше, и эти предпочтения в многокритериальных задачах могут оказаться нетранзитивными.
Других рациональных (в указанном выше смысле) правил не существует. Этот результат получил название «теоремы о невозможности» {impossibility theorem). Несуществование рационального правила общественного выбора, утверждаемое этой теоремой, означает, что рациональный общественный выбор не может быть достигнут в результате компромисса.
«Поэтому правила общественного выбора - процедуры голосования - не-транзитивны и представляют собой бессмысленную трату времени. В 1973 г. Жиббард (Gibbard) доказал, что универсальных неманипулируемых и недиктаторских механизмов не существует. Компетентность экспертов никак не гарантирует их независимости. Демократия является в практическом смысле ...мифом... Человечество пользуется в своей практике не только голосованием, но и процедурами партнерства, рынка, турнира, очереди, жребия, в которых ус-
22 ловия диктатуры либо рандомизуются либо ставятся в зависимость от времени» /25/.
В диссертации не рассматриваются задачи группового выбора, но от этого проблема нетранзитивности предпочтений, приводящая к замкнутому кругу (В.З) не исчезает, ее угроза вполне реальна в любой многокритериальной задаче, когда J11 IP (один ЛПР) имеет такую структуру предпочтений (единственную, индивидуальную, не требующую согласования), в которой по каким либо причинам критерии абсолютно равнозначны (по силе, по важности) и незаменимы (внутри обобщающего отношения предпочтения нет аддитивной дополнительности критериев).
Такие структуры предпочтения для ЛПР - проектировщиков железных дорог вполне могут встретиться в задачах, например выбора варианта направления проектируемой ж.-д. магистрали, имеющей пионерное значение, но на которой прогнозируется преобладание транзитного грузопотока, к тому же проходящей по территории сльно уязвимой (ранимой) в экологическом отношении.
В этом случае, если проектировщик считает одинаково важными следующие частные критерии эффективности сравниваемых альтернатив: максимальное спрямление линии L —» LQ, км (для уменьшения величины транзитного
грузооборота, млн. ткм / год); желание обеспечить транспортной ж.-д. связью основные перспективные местные пункты потребления и производства (очаги природных ископаемых, пункты переработки сырья и т.д., имеющих не только экономически-денежное значение, но и экономически-социальное значение, с учетом народно-хозяйственного подхода); нанести минимальный экологический урон району прохождения трассы (по большому счету экологический ущерб, уничтожение мест обитания фауны, нарушение природного баланса в природе не может быть учтено никакими штрафами и платежами при расчете
23 чистого дисконтированного дохода в части затрат), тогда задача становится неразрешимой, см. (В.З), из-за нетранзитивности отношения предпочтения.
Автору не удалось справиться с этой проблемой (одной из_основных проблем в теории принятия решений). Как писал Н.Н.Воробьев в предисловии к работе /203/: «...действительно принципиальные трудности встречаются на пути нахождения «наилучшего» варианта в тех случаях, когда качество варианта не поддается оценке единственным числом. ...нередко вместо численной оценки альтернатив объективно можно говорить лишь о некоторых возможностях их попарных сравнений, т.е. о некотором отношении на их множестве, которое, вообще говоря, может и не быть транзитивным. Вопрос о возможностях и способах приписывания в таких условиях альтернативам численных значений, согласующихся с имеющимся отношением, оказывается весьма нетривиальным», однако в диссертации эта проблема не решена.
Вот что говорят о проблеме нетранзитивности предпочтений исследователи, которые попытались предложить ее теоретическое решение в работе /203/.
«В традиционной теории принятия решений (которая и используется в диссертации - ПВА) на отношения предпочтения обычно накладываются условия, обеспечивающие существование численного критерия полезности альтернатив, который позволяет сравнивать альтернативы на основе сравнения соответствующих им значений этого критерия. Тот теоретический и экспериментальный факт, что при выборе решений на основе нескольких различных показателей их полезности или в условиях неопределенности такого единого численного критерия полезности альтернативных решений, вообще говоря, не существует (ввиду нетранзитивности соответствующих отношений предпочтения или немонотонности интенсивностей предпочтения между альтернативами), является относительно млоизвестным... Тем не менее это обстоятельство весьма существенным образом влияет на соответствие оптимальных моделей принятия решения фактическому содержанию целей, для достижения которых
24 они предназначаются ...к проблемам, связанным с измерением или численным представлением предпочтений, обладающих циклами, и с выбором решений на основе таких отношений предпочтения (вообще говоря, не имеющих ни максимальных ни наибольших элементов даже на конечных множествах альтернатив), до сих пор не было известно никакого системного подхода. Вместе с тем, они лежат в самой сути большинства комплексных или содержащих факторы неопределенности социально-экономических задач и связаны с важными аспектами поведения людей, коллективов или организаций в их экономическом и социальном взаимодействии» /203/.
Можно, конечно, сказать, что разработанная в диссертации теория не отвечает требованию общности («всепогодности» в решении задач), т.к. она основана на трех сильнейших допущениях (впрочем очень часто применяемым в теории, см. работы /200-203/, да и на практике, но уже без какого-то ни было обоснования, даже без попытки обдумать эти допущения):
все аксиомы теории полезности справедливы для ЛПР, в том числе и аксиома транзитивности предпочтений;
всегда выполняются требования взаимонезависимости частных критериев по предпочтению и по полезности, позволяющие провести декомпозицию многомерной функции полезности (ценности);
всегда выполняются условия вероятностной независимости частных критериев, позволяющие выполнить вероятностную декомпозицию совместного распределения критериальных оценок исходов в недетерминированных задачах.
Однако, в том, что теория принятия решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог, разработанная в диссертации, использует столь сильные допущения нет большой беды, т.к. по результатам исследований /198, 202, 208/ эти допущения довольно часто справедливы, т.е. соответствуют структурам предпочтений реальных ЛПР. Необхо-
25
димость дальнейшего развития теории нисколько не смущает автора, т.к. неко
торые теоретические разработки в плане преодоления необходимости непре
менного выполнения названных допущений автору известны:
возможность произведения устойчивого выбора при нетранзитивности предпочтений на основе моделей приведенной сравнительной полезности, сравнительной полезности с порогом различения и относительной (условной) полезности на основе расширенной (переработанной) аксиоматики традиционной модели ожидаемой полезности Дж. фон Неймана - О.Моргенштерна теоретически обоснована в работе /309/, хотя и без разработки процедур верификации предложенных в работе аксиом (тестов);
возможность декомпозиции многомерной функции полезности (в четкой среде) с помощью фракционных гиперкубов, что позволяет (теоретически) кроме известных и широко применяемых практически (в том числе и в диссертации) аддитивного и мультипликативного разложений (декомпозиций) использовать для «снижения размерности» функции полезности следующие виды декомпозиций /468 - 475/: квазиаддитивную, диагональную, квазипирамидальную и полукубическую, в которых используются не только одномерные, но и двумерные функции полезности; как и в первом пункте доступные практические методы верификации (проверки на справедливость, точнее на соответствие реальному ЛПР) пока не разработаны (или неизвестны автору).
Таким образом, автор считает постановку задачи разработки теории принятия решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог обоснованной, даже с учетом названных выше ограничений (статические задачи индивидуального выбора с обязательным выполнением аксиом классической теории ожидаемой полезности, структурных условий независимости, позволяющих выполнять декомпозицию многомерной функции полезности на одномерные функции полезности и вероятностную де-
26 композицию совместного распределения критериальных оценок исходов), а название диссертации - отвечающим его содержанию.
В первой главе диссертации проведено исследование проблемы принятия решений в проектировании железных дорог. Установлено по результатам изучения значительного количества источников (нормативные документы по обоснованию инвестиций, по принятию проектных решений, отдельные проекты железных дорог, работы исследователей), что проблема принятия проектного решения становится важной по нескольким причинам:
во-первых, в условиях недостаточности ресурсов требуется тщательнейшим образом отбирать инвестиционные проекты;
во-вторых, для обоснованного принятия решения применяют принцип вариантности, когда для достижения поставленной цели проектируют несколько вариантов, из которых затем, после сравнения, выбирается один вариант (альтернативу);
в-третьих, в случае равноценности сравниваемых вариантов по стоимостным (денежным) показателям (например, это могут быть приведенные суммарные строительно-эксплуатационные затраты) проектировщики привлекают дополнительные показатели, которые могут и не быть выражены в деньгах и задача выбора, в таком случае, становится многокритериальной (поскольку показатели не могут быть просто суммированы, пусть даже с применением коэффициентов эффективности инвестиций и дисконтированием разновременных затрат);
в-четвертых, при выборе на ранних этапах проектирования железных дорог, даже имея значительное превосходство в оценке по денежным показателям какого-то варианта, проектировщики привлекают для обоснования выбора дополнительные показатели (чаще всего, в качестве таких показателей применяют натуральные, технические, надежностные, которые по своей природе являются комплексными показателями, временные, объемно-строительные, строи-
27
тельно-организационные, природоохранные, эксплуатационные показатели),
следовательно, и в этом случае задача принятия решения может стать много
критериальной;
в-пятых, при решении крупномасштабных проектов (проектирование магистральных железных дорог, либо реконструкции отдельных направлений сети железных дорог), как правило, лица, принимающие решения (в данном случае ими могут быть не только инженеры-проектировщики железных дорог, но и экономисты, государственные деятели, работники аппарата МПС, председатели советов директоров акционерных обществ или финансово-промышленных групп), чаще всего принимают решения не только на основе денежных показателей, но и с учетом других показателей: народнохозяйственных, социальных, политических, оборонных, экологических, конъюнктуры мирового рынка, которые, в общем случае, не всегда могут быть выражены в деньгах достаточно точно, либо оценки по используемым критериям вообще не количественные, а качественные; и в таком случае задача также приобретает многокритериальную постановку.
В первой главе также рассмотрена проблема принятия решения в условиях неопределенности оценок альтернатив. Данная проблема возникает при принятии решений с большим временным лагом от момента принятия решения до его воплощения. Кроме того, при проектировании железных дорог как сложных природно-технических систем большая неопределенность существует в «поведении» внешней среды (природы) и в размерах перевозок: чаще всего прогнозируемые размеры перевозок отличаются от фактически реализуемых на построенных (реконструированных) линиях.
В первой главе исследуется также проблема принятия решения в нечеткой среде в проектировании железных дорог. Установлено, что такая проблема действительно существует, из-за того, что некоторые частные критерии эффективности и оценки по ним лица, принимающие решения, проектировщики же-
28
лезных дорог, выражают не количественно, но качественно (лингвистически,
словесно). Сделан вывод, что для возможности принятия решений в таких зада
чах потребуются соответствующие методы. _
Затем в первой главе исследована проблема взаимодействия эксперта или ЛПР и ЭВМ. Рассмотрена постановка проблемы искусственного интеллекта, т.к. она очень близка к системам поддержки принимаемых решений, теоретическая база для которых в проектировании железных дорог разработана в диссертации. В современной постановке, по мнению автора, для проектирования железных дорог перспективны именно системы поддержки принимаемых решений, в которых важна не только информационная составляющая (база данных), но и предлагаемый алгоритм решения многокритериальных недетерминированных задач с использованием методов, позволяющих учитывать предпочтения ЛПР.
Во второй главе исследован вопрос выбора методов, на основе которых должна быть разработана теория принятия решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог. На основе анализа различных источников с учетом требований, предъявляемых к методам решения задач проектирования железных дорог (возможность решения многокритериальных задач в условиях определенности и неопределенности, в четкой и в нечеткой среде, учет структуры предпочтения ЛПР) сделан выбор аксиоматических декомпозиционных методов теории ожидаемой полезности. Исследована история возникновения и развития теории принятия решений и теории полезности, приведен обзор программных комплексов, разработанных для решения многокритериальных задач выбора в четкой и нечеткой среде. Разработана теория принятия решений в многокритериальных детерминированных задачах проектирования железных дорог.
В третьей главе разработана теория принятия решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог на ос-
29 нове известных в теории принятия решений аксиом, теорем и следствий из теорем.
Разработанная теория позволяет принимать решения в_случае риска и неопределенности, когда проектировщик может указать закон распределения случайной величины либо может оценить вероятности исходов экспертно с указанием наиболее пессимистичной и оптимистичной оценок.
В случае недостаточной информации, что наиболее вероятно на предпро-ектных этапах, предложено делать выбор вариантов проектных решений на основе стохастического доминирования.
Предложение использовать такой подход в проектировании железных дорог сделано впервые и позволяет расширить круг задач, которые могут быть решены с более высоким качеством за счет обеспечения большего приближения к структурам предпочтений реальных ЛПР.
В главе рассмотрен пример возможного применения разработанной теории в случае недостаточной исходной информации. Предложено одно из возможных решений задачи выбора варианта трассы проектируемой линии при пересечении большой реки.
В четвертой главе диссертации разработана теория принятия решений в многокритериальных детерминированных задачах проектирования железных дорог в нечеткой среде. Теория разработана на аксиомах, предложенных ранее Г.В.Меркурьевой /282/, с использованием теорем и следствий из них, доказанных в /317/. Подобная система аксиом ранее для принятия решений в задачах проектирования железных дорог, по мнению автора, не встречалась и имеет практическую ценность, заключающуюся в том, что в проектировании железных дорог при назначении в качестве частных критериев эффективности сравниваемых вариантов лингвистических критериев, имеющих важное значение для сравнения вариантов, но таких критериев, которые не могут быть изначально выражены количественно, разработанная теория дает возможность решения
задач близко к структуре предпочтения ЛПР. Следовательно, проектные решения принятые на основе таких процедур могут обладать не только большей устойчивостью, что повышает их качество, но и наиболее верноотражать структуру предпочтения реального ЛПР - проектировщика железных дорог (с учетом конкретных условий проектирования железной дороги).
В пятой главе диссертации исследована возможность применения разработанной теории для принятия решений в многокритериальных задачах в нечеткой среде. Рассмотрены задачи выбора варианта трассы на пересечении горного хребта, задачи выбора варианта направления проектируемой железнодорожной линии, предложена процедура расчета обобщенных значений индексов ранжирования вариантов проектных решений, позволяющая выбирать альтернативы в случае отношения нечеткого порядка. Сделан вывод об эффективности применения разработанной теории, т.к. она позволяет применять проектировщикам при оценке альтернатив качественные критерии, приводя их с помощью аппарата теории нечетких множеств к количественному виду, что в свою очередь дает возможность с самых первых шагов по принятию решений использовать все показатели, любой природы, необходимые для уверенного выбора вариантов. И такой выбор будет устойчивым.
Диссертацию завершают основные выводы и библиографический список.
Проблема многокритериальности принятия решений при проектировании железных дорог
Во многих случаях выбор вариантов в проектировании железных дорог делают с привлечением дополнительных показателей, объективные ценностные замещения между которыми неизвестны, а значит, неизвестны и их весовые (шкалирующие) коэффициенты /15,49,66,68, ИЗ, НА, Щ188,206, 342 - 363 /.
Решение задач многокритериального принятия решений рассмотрено во многих работах, например /27,53, 84,95,125, №, 365, 366,395; 396, 405 /.
Исследование проблемы многокритериальное задач принятия решений начнем с отраслевого нормативного документа /287/.
«Эффективность инвестиционного проекта - категория, отражающая соответствие инвестиционного проекта целям и интересам его участников... Эффективность инвестиционных проектов может оцениваться как количественными, так и качественными характеристиками.
При определении эффективности инвестиционного проекта должны учитываться все последствия его реализации, как непосредственно экономические, так и внеэкономические (внерыночные эффекты, общественные блага).
В тех случаях, когда их влияние на эффективность допускает количественную оценку, ее следует произвести. В других случаях это влияние должно рассматриваться в натуральных измерителях».
Итак, в отраслевом нормативном документе говорится о необходимости использования при оценке вариантов проектных решений не только чисто денежных показателей, но и {{внеэкономических показателей» (по мнению автора подразумеваемые показатели также относятся к экономическим, но лишь не могут быть явно выражены в деньгах, так как на них или не установлено денежных расценок, или эти расценки не явны, может быть основная причина заключается в том, что подобные показатели: социальные, политические, оборонные, экологические и им подобные определяются через показатель «качество жизни», который сводится к показателю «цена жизни»).
Следует добавить, что при дополнительном изучении работы /287/ можно однозначно убедиться в том, что рекомендуется многокритериальность оценок инвестиционных проектов:«п.3.14. Для более полного анализа вариантов наряду с перечисленными показателями (сравнительный интегральный эффект, приведенные строительно-эксплуатационные затраты, срок окупаемости дополнительных инвестиций - ПВА) эффективности инвестиций целесообразно учитывать и другие стоимостные показатели, а такэюе натуральные показатели, включая показатели надежности, безопасности, экологичности и т.д... .Если не удается отобрать вариант с помощью показателей сравнительной эффективности, то оценка вариантов производится с учетом других (экономических и натуральных) показателей (см. также рис. 10.2 на С.40 - ПВА). Для основных инвестиционных направлений рекомендуется использовать следующие натуральные показатели.
Разумеется в рекомендациях /287/ ценность денег изменяется по объективным, экономическим законам, а в аксиоматической теории полезности цен ность (полезность) альтернатив изменяется, в том числе, и с учетом субъективного «ощущения ценности», которое выражается ЛПР и которое, в общем случае, может и не совпадать с объективным дисконтированием. Вот эта цитата І2ІЇ1І: «Дисконтированием называется приведение разновременных (относящихся к различным шагам расчета) затрат, результатов и эффектов к их ценности на определенный момент времени, который называется моментом приведения (курсив наш - ПВА).
Кроме отраслевых рекомендаций исследуем также базовую межотраслевую методику /289/. После всех изученных работ мы вправе предполагать, что и в этом нормативном документе проблеме многокритериальности обоснования экономической эффективности инвестиционных проектов будет отведено одно из главных мест, и это действительно так:
«Показатели общественной эффективности учитывают социально-экономические последствия осуществления инвестиционного проекта для общества в целом, в том числе как непосредственные результаты и затраты проекта, так и «внешние»: затраты и результаты в смежных секторах экономики, экологические, социальные и иные внеэкономические эффекты.
«Внешние» эффекты рекомендуется учитывать в количественной форме при наличии соответствующих нормативных и методических материалов. В отдельных случаях, когда эти эффекты весьма существенны, при отсутствии указанных документов допускается использование оценок независимых квалифицированных экспертов.
Если «внешние» эффекты не допускают количественного учета, следует провести качественную оценку их влияния. Эти положения относятся также к расчетам региональной эффективности».
Действительно и в рекомендациях /289/ подчеркивается необходимость всестороннего (с различных точек зрения) обоснования принимаемых решений, тем более по крупным транспортным объектам, имеющим народнохозяйствен ное значение, приводит к необходимости решения многокритериальных задач принятия решения.
Следующая цитата из того же нормативного документа„_позволяет увидеть перспективы (объективную необходимость) развития тех методов, которые теоретически обосновываются в главе 2 и развиваются в главах 3 и 4 диссертации - неформальных методов принятия индивидуальных решений на основе субъективной структуры предпочтения ЛПР с использованием и количественных и качественных частных критериев эффективности, в том числе выраженных лингвистически.
Вот эта цитата: «Методы выбора инвестиционных проектов являются неформальной процедурой, т.к. требуют одновременного учета многих и количественных, и качественных факторов социально-политического, экономического и технического характера.
Поэтому выбор проектов не может быть осуществлен на основе одного -сколь угодно сложного - формального критерия, а требует проведения практически неалгоритмизуемых экспертных оценок» /289, С.99/.
Исследуем и первую редакцию рассматриваемых методических рекомендаций, когда была поднята проблема многокритериальности /288/:«Социальные, экологические, политические и иные результаты, не поддающиеся стоимостной оценке, рассматриваются как дополнительные показатели народнохозяйственной эффективности и учитываются при принятии решения о реализации и государственной поддержке проектов».
В современных условиях рыночной экономики в России можно было бы предположить, что инвестиционные проекты должны оцениваться только по критерию достижения максимума прибыли.Но как мы установили выше (по результатам исследования нормативных документов) - это не так. В чем причина?
Исследование методов для принятия решений в многокритериальных детерминированных и недетерминированных задачах в четкой среде
Для разработки теории принятия решений в многокритериальных детерминированных и недетерминированных задачах проектирования железных дорог необходимы методы, позволяющие принимать решение в условиях определенности, риска и неопределенности, а также в нечеткой среде.
Проведем исследование (краткий аналитический обзор) таких методов.Метод принятия решений с дискретизацией неопределенности.В ряде практических задач /41/ использован метод дискретизации неопределенных факторов, разработанный под руководством И.М.Макарова.
Пусть имеется множество альтернатив X, заданное аналитически, и каждая альтернативах є X приводит к некоторому исходу г, значение части компонент которого можно предсказать точно, а вторая часть у является неопределенной, то есть
Тогда, по каждому из неопределенных параметров у -,у = l,q находитсяинтервал возможных значений yj у = у J и тем самым образуется некоторый q -мерный многогранник, из которого выбирается заданное количество L представительных точек. Так как целевая функция задачи оптимизации Q считается заданной посредством некоторой скалярной функции на векторных оценках исходов, то есть Q = f{sx ,...,sm,yx,..., yq, то путем L - кратного решения задачи математического программирования получается множество «оптимальных» - при фиксированных значениях неопределенных факторов - альтернатив, окончательный выбор среди которого производится с использованием глобальных критериев.
Основные недостатки этого метода: 1) требование выбора равномерно расположенных точек содержит в неявном виде предположение об одинаковой вероятности получениялюбых значений уj из интервала [у ,у ]\2) целевая функция считается известной, то есть по существу решаетсязадача однокритериального принятия решения без исследования иучета системы предпочтения ЛПР.Методы стохастического доминирования.
Для задач выбора в условиях риска, когда имеется априорная информация об условных распределениях критериальных оценок последствий дискретных альтернатив, весьма привлекательными являются методы стохастического доминирования /202, 349/. Методы данной группы позволяют существенно уменьшить число альтернатив, претендующих на звание наиболее предпочтительной, а иногда даже дают возможность определить наилучшую альтернативу, базируясь только на качественной, неполной информации о системе предпочтений ЛПР.Пусть X = {хи...,хп}- множество альтернатив, R- критерий принятия решения, a F{rlxt) и F(rlxk) - интегральные функции условных распределений на R при альтернативах х, и хк соответственно.
В основе методов стохастического доминирования, так же как и методов теории полезности, лежит хорошо известная аксиома о максимизации ожидаемой полезности /202, 391, 475/
Для применения методов стохастического доминирования, однако, нетребуется точного знания функции полезности и(г). Достаточно определитьлишь-класс, к которому и{г) принадлежит. Пусть и\и",ит первая, вторая и третья производные функции полезности и{г) и г є [0, оо). Тогда можно выделить следующие три класса функций полезности:имеют четкую содержательную интерпретацию. Так, представляет собой класс монотонно возрастающих функций полезности, кроме того, характеризует не склонных к риску ЛПР, содержит только такие функции полезности, которые соответствуют убывающей несклонности к риску.
Тогда, если о функции полезности известно только то, что и(г)є/], можно воспользоваться стохастическим доминированием первого порядкаЕсли имеются основания считать, что u(r) е /2 т0где - 2 - означает стохастическое доминирование второго порядка.
Наиболее существенное уменьшение исходного множества альтернатив дает стохастическое доминирование третьего порядка, то есть, если и{г) є U3, то
Методы стохастического доминирования успешно применяются для од нокритериального выбора в условиях риска. Наиболее перспективный путь использования стохастического доминирования в случае многих критериев за ключается в построении функции ценности K(rj,r2,...,гт) и качественной оценке функции полезности на значениях ценности u(V). Тогда неполное знание u(V) позволяет ввести понятие стохастического доминирования аналогично тому, как это делается в случае однокритериального принятия решений. %Методы принятия решений в условиях риска и неопределенности на основе глобальных критериев.
При применении методов принятия решений с использованием глобального критерия задается некоторая исходная таблица, строки которой соответствуют альтернативам xhi = l,n, а столбцы - вариантам внешних условий (среды) Cj ,j = \,m.
Элемент таблицы на пересечении /-той строки и j -того столбца представляет собой численную оценку предпочтительности (ценность) альтернативы Xj при условии, что наступило состояние среды С j. Вероятности наступления отдельных вариантов внешних условий в этом методе считаются заранее неизвестными.
Наиболее предпочтительная альтернатива выбирается на основании одного из следующих широко известных в теории статистических решений /484/, в теории игр /266/ и в исследовании операций /85, 198/ критериев:
В случае оценки многокритериальных альтернатив для получения значений должны быть использованы количественные оценки ЛПР и методы, позволяющие их обрабатывать.
Методы данной группы для задач проектирования железных дорог широко применяются в проектировании железных дорог /111,115,116/.
Аксиоматика теории полезности в условиях неопределенности оценок альтернатив для принятия решений в проектировании железных дорог
В отличие от задач принятия решений в условиях определенности, когда существует детерминированное отображение множества альтернатив X в множестве их критериальных оценок R, задача принятия решения в условиях неопределенности характеризуется отсутствием априорной объективной информации о виде и параметрах такого отображения.
Следовательно, если в условиях определенности производился выбор наиболее предпочтительного исхода, то в условиях неопределенности предлагается осуществлять выбор наиболее предпочтительной вероятностной меры - лотереи, определенной на множестве возможных исходов R =RixR2x...xRm.
Принципиальное различие задач принятия решений в детерминированной и недетерминированной постановке требует более сложной аксиоматики для определения функции полезности.
Ниже изложены аксиомы, справедливость которых для J11 IP - проектировщика предлагается проверять для принятия решений при проектировании железных дорог в условиях риска и неопределенности оценок сравниваемых альтернатив. Данная система аксиом была сформирована в работе /309/.
Аксиома 1. Любые два исхода сравнимы по предпочтению и сравнимы всевырожденные лотереи. Другими словами: для всех пар исходов г1, г , принадлежащих множеству возможных исходов R выполняются следующие бинарные отношениягде У - знак бинарного отношения «не менее предпочтителен, чем»;— знак бинарного отношения эквивалентности. Автор считает, что подобная аксиома вполне выполнима для проектировщиков железных дорог, т.к. по отношению к каждому из сравниваемых ва риантов проектных решений, ЛПР может указать отношение предпочтения или безразличия (разумеется, проектировщик в данном случае оценивает варианты комплексно и что очень важно, критерии для него взаимодополняемы, именно критерии, а не ограничения, потому что в противном случае -вполне возможна задача принятия решений в условиях нетранзитивности предпочтений, см. введение, а такая задача не сможет быть решена корректно в принятой системе аксиом).
Аксиома 2. Отношение «не менее предпочтителен, чем» на множестве лотерей транзитивно: из і 2 и 2Ъ з следует Z-іЬЦ , где Lj =(r ,pj-, ... гп,р"\ - лотерея, производящая исход г1 с вероятностью
Об этой аксиоме следует сказать только одно - это, пожалуй, самая сильная аксиома из всех шести аксиом в условиях неопределенности, т.к. ее справедливость позволяет «проводить уверенную политику», другими словами -«переносить предпочтения» с альтернативы на альтернативу, минуя непосредственное сравнение.
Суть теории полезности заключается в том, что нечто «неосязаемое» = предпочтения, заменяется вполне «осязаемым» = числа, которые можно сравнивать (теоретически - с любой степенью точности).
Если вторая аксиома из системы не выполняется для проектировщика железных дорог, что вполне возможно в случае, когда он не желает уступать, например, по первому критерию (длина варианта трассы, км), чтобы немного выиграть по второму критерию (объем земляных работ, тыс. куб. м), в таком случае сравнивая альтернативы и ориентируясь при их попарном сравнении только на наилучшие значения критерия, достигнутые в каком-либо варианте, ЛПР не избежно попадет в замкнутый круг нетранзитивности предпочтений, из которого в предлагаемой системе аксиом нет выхода.Однако, автор считает, что в большинстве задач проектирования железных дорог, проектировщик, все же готов уступить по одному критерию, с тем, чтобы выиграть по другому -критерию, ведь действительно - проектировщик пытается достичь приемлемого компромисса, т.к. понимает, что нельзя достичь наилучших значений по всем критериям сразу, и в таком случае, аксиома 2 справедлива.
Аксиома 3. Если в некоторой лотерее одним из исходов является другаялотерея, то первую лотерею при помощи обычного исчисления вероятностейможно разложить на элементарные исходы
Аксиома 3 не может вызывать затруднений у ЛПР - проектировщика железных дорог, т.к. инженер привык работать с вероятностями исходов (вероятностями событий), поэтому аксиома 3 вполне выполнима.
Аксиома 4. Если две лотереи равноценны - эквивалентны для ЛПР, то они взаимозаменяемы в составной лотерее как исходыАксиома 4 также, по мнению автора, не будет вызывать затруднений у проектировщиков железных дорог по тем же причинам, что и аксиома 3.Аксиома 5. Если две лотереи содержат два одинаковых исхода, то предпочтительнее та лотерея, в которой более предпочтительный исход имеет большую вероятностьАксиома 5 вполне прозрачна и убедительна, для проектировщика разумнее выбрать ситуацию, когда с наиболее предпочтительным исходом связывается и большая вероятность.
Аксиома 6. Аксиома «Архимеда»: из L\ JL2 и L2b 3 следует, что 3/?є[0, 1], (/?,1 і;(1-/?),із) 2 Аксиома 6 имеет тот смысл, что предпочтение между альтернативами распределено «вблизи». Например, альтернатива (вариант проектного решения; в условиях неопределенности формализуемая в виде лотереи, когда с различными исходами сочетаются различные вероятности их появления), имеющая наибольшую предпочтительность «лежит не очень далеко» от остальных сравниваемых альтернатив, следовательно, вполне может быть определена операция нахождения «центра тяжести». Становится возможным определенным образом комбинируя лотереи, т.е. альтернативы, с вероятностями их появления добиться выравнивания их предпочтительности - «силы предпочтения». В данной аксиоме вероятности имеют смысл плеч виртуального рычага, а альтернативы -лотереи имеют смысл «предметов, обладающих определенной массой предпочтительности» - отсюда образное название аксиомы 6.По мнению автора, смысл аксиомы 6 для проектировщика (инженера по образованию) совершенно ясен и трудно предположить такую альтернативу, которую нельзя было бы «поднять рычагом вероятности». И все же, если такая ситуация сравнения вариантов возникнет, то в задаче принятия решения выбор может быть сразу сделан в пользу наиболее предпочтительной альтернативы, по сути, - нет ситуации выбора.
На рассмотренной системе, включающей 6 аксиом, строятся все последующие рассуждения. Дальнейшее развитие теории строится на доказанных в разное время разными авторами, использовавшими именно эту систему аксиом, теорем и следствий из них. Работой автора было - собрать все ниже приведенные теоремы и следствия, обеспечивающие: существование функции полезно сти, декомпозицию многомерной функции полезности в двух наиболее приемлемых для принятия решений формах (аддитивной и мультипликативной).
Предлагается использовать следующую систему теоретических обоснований, выполненных различными авторами, которая позволит в проектировании железных дорог принимать обоснованные решения в многокритериальных недетерминированных задачах выбора.
Теорема «о существовании полезности исходов альтернатив», доказанная Р.Л.Кини в работе /202/. Если справедливы все 6 приведенных выше аксиом теории полезности для J ДІР, тогда каждому исходу г є R может быть поставлено в соответствие такое действительное число u(rl) - полезность исходаг1, что среднее значение (математическое ожидание) полезности исходов характеризует предпочтительность лотереи, то есть
В недетерминированных условиях любая альтернатива хк может быть представлена в виде лотереи с конечным множеством исходовФ(г/хк) критериальных оценок, характеризующая степень уверенности в получении исхода г при условии выбора альтернативы хк. Следовательно,
Теорема подводит итог, рассмотренной выше системе аксиом, т.к. позволяет обосновать сравнение альтернатив (напомним, что в условиях риска и неопределенности альтернативы являются лотереями с конечным или бесконч-ным множеством исходов) через сравнение математических ожиданий их многомерных полезностей и создает базу для принятия решений в многокритериальных недетерминированных задачах проектирования железных дорог.
Выполнение структурных условий независимости частных критериев эффективности дает возможность декомпозировать многомерную функцию полезности и(г) и совместное распределение Ф(г/х) и тем самым существенно облегчает работу по их восстановлению на основе экспертной информации, т.к. позволяет работать с предпочтениями ЛПР на простых одномерных исходах.
Для того, чтобы иметь возможность декомпозировать многомерную функцию полезности на одномерные функции полезности необходимо использовать
Формализация структуры предпочтений ЛПР в нечеткой среде для принятия решений в проектировании железных дорог
Для решения многокритериальных задач проектирования железных дорог в нечеткой среде необходимо выполнить формализацию структуры предпочтений ЛПР - проектировщика. Важнейшим этапом формализации нечеткой многомерной функции полезности является ее декомпозиция.Предлагается проводить декомпозицию, основываясь на известных теоремах, доказанных в работах /282, 317/.
Лингвистический критерий К1 называется независимым по полезности от лингвистического критерия К2, если лингвистические отношения предпочтения между лотереями, исходы которых различаются лишь значениями критерия К1, не зависят от фиксированного значения Z критерия К2 /282/.
Формально: критерий К1 не зависит по полезности от К2, тогда и только тогда, когда для любых лингвистических лотерей Ly.,Ly; и исхода Z справедливоМногомерная нечеткая функция полезности может быть нормализована путем задания значений полезности исходов (на примере двухмерной функцииV{Y,Z))при этом левая и правая границы носителя нечеткого множества V(Y,Z) принимаются равными
Теорема о возможности декомпозиции двухмерной функции нечеткой полезности доказана в работе /317/. Если критерий К2 не зависит по полезности от К1, то нечеткая функция олезности V(Y,Z) может быть представлена в видеvj(r0)где Vy(Y),V2(Z) - нормализованные условные (одномерные) нечеткиефункции полезности, такие, что v (F0) = 0, vy(Y\) = 1, v (Z0) = 0, vz(Z\) = 1;ky, kz - положительные шкалирующие константы, вычисляемые по формулам
Предполагается, что в большинстве задач проектирования железных дорог может быть принято справедливым условие независимости лингвистических критериев по предпочтению. Однако, если такое условие не выполняется, то можно предположить проектировщику переформулировать лингвистические критерии таким образом, чтобы условие выполнялось.
Взаимная независимость по полезности лингвистических критериев введена в работе /317/. Лингвистические критерии К1, К2 , ..., К" взаимно независимы по полезности, если каждое подмножество критериев из множества {К1, К2, ..., К" } не зависит по полезности от своего дополнения.
Предлагается, используя условие взаимной независимости лингвистических критериев по полезности (в случае его справедливости), производить декомпозицию многомерной функции полезности при числе частных критериев более двух (на основе теоремы о декомпозиции, доказанной в работе /317/).Если критерии К1, К2 и К3 взаимно по полезности, тогда нечеткая многомерная функция полезности V(Y ,Z,X) может быть представлена в виде
Для формализации нечетких функций полезности исходов в общем случае могут быть использованы различные методы эмпирического оценивания полезностей в условиях нечеткой информации /282/: определение полезности на основе анализа выборов или серии решений, принимаемых ЛПР в процессе решения многокритериальной задачи (опосредованные методы) или на основе непосредственных суждений о полезностях или соотношениях полезностей исходов (непосредственные методы); применение в процессе оценки полезностей вероятностных или только детерминированных суждений ЛПР (вероятностные и детерминированные методы).
Для решения многокритериальных задач проектирования_железных дорог наиболее приемлемыми являются четыре метода для одномерных исходов проектных решений, применимые и для случая многомерных исходов /151, 317/, т.к. они позволяют получить информацию о полезностях исходов при небольшом количестве вопросов, задаваемых проектировщику. Уменьшение объема потребной экспертной информации позволяет получать достаточно надежные, устойчивые решения.1. Метод непосредственной оценки полезности в детерминированной задаче принятия решения. Метод может применяться в задачах многокритериального принятия решений, когда ЛПР может построить функции принадлежности нечетких множеств, описывающих семантику критериальных оценок исходов.
Предлагается применять данный метод для решения задач самой высокой степени неопределенности на этапе инвестиционного замысла, когда лингвистические оценки полезностей являются единственной информацией для сравнения альтернатив. В данном случае в качестве ЛПР может выступать скорее не проектировщик железных дорог, а экономист, государственный деятель или предприниматель. Проектировщик в таких задачах может быть задействован как эксперт.
Предполагается, что для некоторых исходов X і є X ЛПР может установить нечеткие оценки полезности Vj:полезность (X; ) = Vj- (4.25)Например, полезность {Х\) - низкая, полезность (Х2) = средняя, полезность (Х3) = высокая.Определение неизвестной полезности Vj исхода Xj осуществляется согласно выражению
