Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Совершенствование процесса гидрирования высших алкадиенов 7
1.1 Реакторы процесса гидрирования 15
1.2 Технологический процесс и технологическая схема установки производства моноолефинов завода ЛАБ-ЛАБС 31
1.2.1 Химические превращения процесса гидрирования алкадиенов Сд-Си-—32
1.2.2 Технологические параметры процесса гидрирования 34
1.2.3 Показатели процесса гидрирования высших алкадиенов 36
1.2.4 Технологическая схема процесса гидрирования высших алкадиенов 37
1.3 Катализаторы гидрирования, селективное осернение катализаторов
гидрирования 40
1.4 Математическое описание превращений в трехфазных системах 55
Глава 2. Разработка математической модели процесса гидрирования высших алкадиенов 67
2.1 Анализ информации о процессах в реакторе, термодинамический анализ процессов 68
2.2 Составление детального механизма реакций. Выбор уровня детализации механизма. Обоснование формализованного механизма 72
2.2.1 Механизм процесса гидрирования на твердом катализаторе 72
2.2.2 Составление схемы превращения углеводородов в процессе гидрирования высших алкадиенов на твердом катализаторе 77
2.3 Разработка кинетической модели процесса, оценка кинетических параметров, допущения о порядке реакций 80
2.4 Составление математической модели реактора 83
2.4.1 Проверка гидродинамического режима и гидравлический расчет внутренних слоев аппарата 83
2.4.2 Математическая модель процесса гидрирования на суспендированном катализаторе 90
2.4.3 Область протекания процесса гидрирования 96
2.5 Моделирование процесса дезактивация катализатора при осернении 102
2.5.1 Дезактивация катализаторов 103
2.5.2 Нестационарность каталитического процесса 104
2.5.3 Сероустойчивость металлических катализаторов 106
2.5.4 Математическое описание дезактивации катализатора гидрирования серой 107
2.5.4.1 Определение активности с использованием модуля Тиле 108
2.5.4.2 Определение активности путем интегрирования 109
2.5.5 Превращение серосодержащих веществ на катализаторе гидрирования 111
2.5.5.1 Определение схемы превращения 112
2.5.5.2 Влияние влаги на процесс гидрирования высших алкадиенов 119
Глава 3. Создание компьютерной моделирующей системы 123
3.1 Разработка моделирующей программы 123
3.2 Решение систем дифференциальных уравнений 127
3.2.1 Явные методы численного решения 128
3.2.2 Метод Рунге — Кутты — Мерсона 129
3.3 Функционирование моделирующей системы 130
3.4 Стыковка ТМС и Единой тематической витрины данных на ООО «ПО «Киришинефтеоргсинтез» 136
3.4.1 Единая тематическая витрина данных 136
3.4.2 Разработка модуля связи ТМС с ЕТВД 138
Глава 4. Практические результаты и внедрение 142
4.1 Расчеты на моделирующей программе, оценка адекватности модели, определение оптимальных параметров 142
4.2 Расчеты режимов осернения на моделирующей программе, оценка адекватности моделей осернения, прогнозирование режимов осернения 151
4.3 Оценка требуемого расхода серы 155
Выводы 161
Литература
- Технологический процесс и технологическая схема установки производства моноолефинов завода ЛАБ-ЛАБС
- Показатели процесса гидрирования высших алкадиенов
- Разработка кинетической модели процесса, оценка кинетических параметров, допущения о порядке реакций
- Явные методы численного решения
Введение к работе
Промышленное производство линейного алкилбензола (ЛАБ) основано на использовании линейных парафинов в качестве основного сырья и производстве из них линейных моноолефинов. Высокий спрос на ЛАБ и соли линейной алкилбензосульфокислоты (ЛАБСК) обусловлен тем, что синтетические моющие средства (CMC) из этих веществ характеризуется высоким соотношением «экологическое качество — моющая способность — цена». Из этого соотношения наибольшее значение имеет экологичность CMC, она связана с биологической разлагаемостью моющего средства и составом его поверхностно-активной части.
Большое количество нелинейных алкилбензолов и полиалкилбензолов в составе товарного ЛАБ значительно снижают способность CMC разлагаться в водоемах под воздействием микроорганизмов. CMC из такого ЛАБ неприменимы в быту по современным экологическим требованиям.
Снижение селективности процесса алкилирования и ухудшения качества
товарного продукта связаны с составом сырья поступающего на эту установку, в
первую очередь, с высоким содержанием диолефинов. Такой состав реакционной
смеси непосредственно связан с работой предшествующих по технологической
схеме блока дегидрирования высших парафинов. Из-за низкой селективности
переработки сырья в реакторе дегидрирования получаемые моноолефины давали
ЛАБ низкого качества, характеризуемый высоким количеством разветвленных
углеводородов (изостроения или с множеством фенильных групп). Большое
количество побочных продуктов, поступающих на установку алкилирования,
приводит к образованию тяжелых ароматических углеводородов С20+ нелинейного
строения, ухудшающих качество товарных продуктов. Именно поэтому, в случае
если на технологическом этапе дегидрирования высших парафинов используется
малоселективный катализатор, установка производства моноолефинов включает в
себя реактор гидрирования побочных продуктов. Его работа призвана не только
повысить в потоке продуктов установки содержание н-моноолефинов, но и, что
очень важно, понизить содержание побочных продуктов, в первую очередь,
диолефинов. Таким образом, процесс гидрирования высших диолефинов
существенным образом влияет на качество и количество товарных продуктов завода по производству компонентов CMC.
Для решения задач повышения эффективности работы промышленной установки и прогнозирования продуктов в условиях постоянно меняющихся составов потоков необходимы достоверные и надежные математические модели, разработанные с учетом физико-химических закономерностей протекающих процессов химической технологии, т.е. основанные на фундаментальных законах химической кинетики и термодинамики. Такие модели позволяют не только прогнозировать показатели процесса в зависимости от условий его проведения и марки загруженного катализатора, но и выбирать оптимальный технологический режим, который обеспечивает увеличение выхода целевого продукта, повышение качества выпускаемых продуктов, ЛАБ и полиалкилбензола (ПАБ), а также отсутствие преждевременного отравления катализатора.
Цель работы заключалась в повышении эффективности промышленного процесса гидрирования алкадиенов С9-С14 методом математического моделирования за счет повышения селективности катализатора в условиях нестационарного протекания реакций.
Для достижения поставленной цели решался ряд задач, таких как: составление схемы превращения углеводородов в процессе гидрирования алкадиенов С9-С14; создание кинетической модели процесса гидрирования алкадиенов С9-С14 и определение кинетических параметров: констант скоростей основных и побочных реакций, энергий активаций и предэкспоненциальных множителей; составление математической модели реактора процесса гидрирования алкадиенов С9-Сы с учетом гидродинамической составляющей модели; построение программной реализации математической модели, которая функционирует на предприятии в условиях непрерывного подключения к базе данных технологических параметров процесса; оценка повышения эффективности работы блока при использовании оптимального расхода серы за счет увеличения селективности катализатора гидрирования алкадиенов C9-Q4; определение схемы превращения серосодержащих веществ на поверхности никелевого катализатора гидрирования
алкадиенов Сд—Си, разработка методики определения по технологическим параметрам оптимального количества диметилдисульфида, подаваемого в реактор гидрирования алкадиенов С9-С14.
В качестве составляющих научной новизны в работе предложена методика термодинамического расчета процесса осернения никелесодержащего катализатора гидрирования алкадиенов C9-Q4 для достижения оптимальной селективности контакта в условиях равновесия, впервые разработана модель реактора гидрирования высших алкадиенов, основанная на термодинамическом, кинетическом и гидродинамическом расчетах протекающих в аппарате явлений, а также получены количественные закономерности, обеспечивающие оптимальные условия осернения никелесодержащего катализатора гидрирования алкадиенов
Сд—С14-
Результаты работы представляют большую практическую ценность. Разработанная на основе модели компьютерная моделирующая система внедрена на завод ЛАБ-ЛАБС ООО «ПО «Киришинефтеоргсинтез» для количественной оценки показателей работы процесса гидрирования алкадиенов С9-С14 и прогнозирования работы реактора. Причем в ходе внедрения для достижения высокой эффективности моделирующих расчетов в условиях постоянно меняющегося состава сырья осуществлена стыковка системы с базой данных технологических параметров завода. Кроме того, для достижения максимальной селективности катализатора разработана методика определения оптимального количества диметилдисульфида, оценена эффективность оптимального режима.
Технологический процесс и технологическая схема установки производства моноолефинов завода ЛАБ-ЛАБС
Сырьём для установки получения моноолефинов является смесь, главным образом, н-алканов фракции Сщ-Сіз. Для процесса должна использоваться сырьевая смесь с разницей в 4 углеродных атома, фракция Сю-С уже не подходит. Это ограничение обусловлено возможностью превращения легких н-парафинов без увеличения побочных реакций крекирования более тяжелых парафинов [1].
В секцию дегидрирования н-парафинов сырьё поступает с установки предфракционирования, где оно получается путем ректификации в каскаде колонн широкой фракции н-парафинов Св-Сго, приходящей с установки «Парекс». В блоке дегидрирования получаются нормальные олефины, участвующие в алкилировании бензола с целью получения линейного алкилбензола на установке алкилирования.
Для повышения качества и выхода ЛАБ, и снижения выхода побочных продуктов, предусмотрена промежуточная секция гидрирования, где большая часть образующихся полиолефинов, главным образом, диенов (диолефинов), поступающих с реакционной смесью на установку алкилирования, гидрируется до олефинов.
Схожие процессы и катализаторы селективного гидрирования олефинового сырья, содержащего ацетиленовые и диолефиновые примеси, распространены очень широко, они рассмотрены в патентных работах [29-36J и др.
В работе [37] предложен способ селективного гидрирования, включающий частичную сепарацию водорода пленкой потока, восходящего по реакторной колонне. В патентной работе [38] рассматривается процесс селективного гидрирования ацетиленовых углеводородов в богатых олефинами газовых смесях.
Химические превращения процесса гидрирования алкадиенов С9-С14
Процесс гидрирования высших алкадиенов был разработан фирмой UOP и является неотъемлемой частью процесса превращения нормальных парафиновых углеводородов в олефины. Его назначение — увеличение выхода олефинов за счет гидрирования побочных продуктов процесса дегидрирования высших парафинов, главным образом, диенов в олефины. Наличие диенов в потоке при алкилировании приводит к образованию побочного, нецелевого алкилата, к снижению количества ЛАБ и к ухудшению его качества. Поэтому жидкие продукты процесса дегидрирования, перед ректификацией, направляются в блок гидрирования, где в присутствии водородсодержащего газа (ВСГ), при температуре 180-228 С, при давлении 1,2-1,6 МПа на алюмоникелевом катализаторе, в жидкой фазе происходит селективное гидрирование диенов в олефины. Из блока гидрирования продукты реакции направляются в блок дегидрирования на ректификацию в стриппер-колонну и далее на алкилирование.
Некоторое увеличение количества нормальных парафинов, возвращаемых на установку дегидрирования с установки алкилирования, предпочтительнее, нежели утрата продуктом высокого качества, что неизбежно произошло бы, если бы диолефины попали на установки, расположенные далее по технологической цепочке.
Важнейшими реакциями процесса являются превращение диолефинов в моноолефины и моноолефинов в н-парафины. Они описываются следующей схемой: Rl C = C-C-C = C-R2- Rl-C = C-C-C-C-R2 r (1-9) - RX-C C-C-C-C- R2 где RVR2 — химические радикалы, такие что общее число атомов углерода в молекуле равно 9-14.
Скорость и селективность процессов превращения зависит от температуры, давления, концентрации водорода, диенов и олефинов, присутствия серы.
Сера оказывает важную роль на селективность процесса гидрирования: повышается селективность по диенам. В присутствии серы на катализаторе образуется сернистый никель NiS, который замещает молекулы никеля в качестве активных реакционных центров. Поэтому в сырье вводят определенное количество серы в виде серосодержащего соединения, например, диметплдисульфида СН3—S—S—СН3 (ДМДС), который с никелем образует сернистый никель.
Целевой реакцией, в случае применения серосодержащих соединений (на примере ДМДС), это образование сульфида никеля: CH3-S-S- CH3+H2 + 2Ni - 2NiS + 2CH4 (1.10) На никельсодержащем катализаторе гидрирования протекают таюке и другие превращения: CH3-S-S-CH3+2H2+Ni-+NiS + 2CH4+H2S (1.11) Rl-CH = CH-R2+H2S Rl-CH2-CH(SH) R2 (1.12) NiS + H2- Ni + H2S (1.13) Впрыск серы не является строго обязательным, даже если селективность по превращению диенов в олефины и соответствующая конверсия будут низкими.
При впрыске серы из расчёта 1 ррт водород реагирует в слое катализатора на 99 %. В отсутствие серы 99 % реакций протекает в верхних 40 % слоя катализатора. При концентрации серы 2 ррт не успевает прореагировать 10 % водорода. Скорость конверсии диенов в олефины является таюке функцией концентрации диенов, водорода и олефинов в углеводородной смеси.
Показатели процесса гидрирования высших алкадиенов
Процесс гидрирования характеризуется степенью превращения (конверсией), а также избирательностью (селективностью) превращения диолефинов в моноолефины. Конверсия диенов — CD0, %: CDO = GDO GDO-100% (1.15) где GDO0 — массовый расход диолефинов с потоком углеводородов на входе в реактор гидрирования, кг / с; GDO — массовый расход диолефинов с потоком углеводородов на выходе из реактора гидрирования, кг / с;
Для упрощения расчётов, вместо массы диенов (массового расхода), можно использовать, соответственно, концентрации диенов на входе в реактор и выходе из реактора гидрирования. Селективность по олефинам — SiUO, %. Данное соотношение определяет эффективность процесса гидрирования по количеству диенов и олефинов, поступающих и выходящих из реактора: 5,,0=- -100% (1.16) где GMO 0 — массовый расход моноолефинов с потоком углеводородов на входе в реактор гидрирования, кг/с; GMO — массовый расход моноолефинов с потоком углеводородов на выходе из реактора гидрирования, кг/с.
При SMO - 0 % количество олефинов, образовавшиеся из диенов, равно количеству олефинов, превращенных в соответствующие парафины. При полном превращении диенов в олефины и нулевой конверсии олефинов в парафины SMO близко к 100 % (идеальная селективность). При отрицательном значении SM0 происходит гидрирование олефинов в парафины в большей степени, чем образование олефинов из диенов (характерно для процесса гидрирования без подачи ДМДС).
Как и для конверсии, оценочный расчёт селективности можно проводить по соответствующим значениям массовых концентраций.
Реактор гидрирования высших алкадиенов обладает существенной особенностью, отличающей его от типовых реакторов гидрирования. Низкая величина конверсии по сравнению с общим сырьевым потоком влияет на низкую величину тепловыделения в реакторе, поэтому в его конструкции не предусмотрено никаких секций теплообмена
Сырьем блока гидрирования является смесь н-парафинов, олефинов и диолефинов, поступающая из сепаратора продуктов реакции процесса дегидрирования высших парафинов V-303 (см. рис. 1.13). Необходимый для селективного гидрирования диолефинов ВСГ поступает с нагнетания циркуляционного трехступенчатого компрессора К-1401 А/В.
Рисунок 1.13. — Технологическая схема блока гидрирования высших алкадиенов ВСГ охлаждается в водяном холодильнике 1 ступени Е-1401 до температуры не более 38 С и поступает в сепаратор 1 ступени V-1401, где водородсодержащий газ сепарируется от легких углеводородов. ВСГ направляется на 1 ступень дожимного компрессора К-1401 А/В, а жидкая фаза из сепаратора V-1401 дренируется в емкость сбора конденсата V-1405.
После 1 ступени сжатия ВСГ охлаждается в водяном холодильнике II ступени Е-1402 до температуры не более 38 С и сепарируется в сепараторе II ступени V-1402.
ВСГ после II ступени сжатия охлаждается в водяном холодильнике III ступени Е-1403 до температуры не более 38 С и сепарируется в сепараторе III ступени V-1403.
После III ступени сжатия ВСГ направляется в смеситель SM-1401 на смешение с сырьем, нагретом в теплообменнике Е-303 до температуры не более 150 С, далее смесь направляется в подогреватель Е-1405.
Нагретая в подогревателе до температуры не более 228 С, сырьевая смесь поступает в реактор гидрирования высших алкадиенов R-1401.
Реактор гидрирования алкадиенов представляет собой колонну диаметром 1500 мм, высотой 8300 мм (см. рис. 1.14). Он выполнен из углеродистой стали СТ-20К с прибавкой на коррозию из стали СТ-ЗСП. Это пустотелая емкость, рассчитанная на рабочее давление 2,15 МПа и температуру 248 С. Рабочая температура — не выше 228 С. Объем катализатора составляет 14,7 м . В нижней части реактора загружены керамические шары разного диаметра: 3,6, 19 мм. Они предназначены для равномерного распределения потока жидких углеводородов по поперечному сечению реактора.
Гидрирование в реакторе R-1401 производится в жидкой фазе на алюмоникелевом катализаторе. Водород находится практически в растворенном состоянии. Гидрирование производится при давлении 1,0-1,2 МПа. Рабочие условия в реакторе R-1401: давление на входе — не более 1,6 МПа, температура на выходе — не более 230 С. Рисунок 1.14. — Реактор процесса гидрирования Условные обозначения: 1 — штуцер для входа сырьевой смеси; 2 — штуцер для выгрузки катализатора; 3 — слой алюминиевых шаров диаметром 19 мм; 4 — слой алюминиевых шаров диаметром 6 мм; 5 — слой алюминиевых шаров диаметром 3 мм; 6 — слой алюмоиикелевого катализатора; 7 — штуцер для выхода продуктов реакций; 8 — распределительное устройство (перфорированная труба); 9 — обечайка реактора Можно выделить следующие особенности процесса гидрирования высших алкадиенов: - химические превращения протекают в трехфазной системе «газ — жидкость — твердое тело» (водород — жидкие углеводороды — алюмоникелевый катализатор); - наличие и нормальное функционирование смесителя (статик-миксера) SM-1401 свидетельствуют о том, что концентрация газа в жидкости близка к своему равновесному значению; - в ходе процесса катализатор специально подвергают отравлению серосодержащими соединениями с целью повышения его селективности; - превращению подвергается небольшая часть сырьевого потока углеводородов (входная массовая концентрация диолефинов по отношению ко всему потоку углеводородов, как правило, не превышает 1 %, выходная, как правило, — 0,25 %). Так как основная цель процесса гидрирования — высокая конверсия нежелательных компонентов, диолефинов, в менее ненасыщенные соединения с высокой селективностью по моноолефинам, высокие требования предъявляются к катализатору процесса. Используемый никельсодержащий катализатор достаточно активен в процессах гидрирования. Именно поэтому для снижения гидрирующей способности катализатора и увеличения селективности процесса в жидкое сырье перед тройником смешения с водородом предусмотрена подача диметилдисульфида в количествах, обеспечивающих массовое содержание серы в жидком сырье 1—2 ррт.
Разработка кинетической модели процесса, оценка кинетических параметров, допущения о порядке реакций
На основании приведенной схемы превращения веществ была разработана кинетическая модель процесса, которая позволила количественно оценить скорости превращения углеводородов в зависимости от времени реакции, состава исходной смеси, температуры и давления в системе.
Примем допущение о том, что во всех рассматриваемых превращениях порядок реакции по компонентам равен их стехиометрическим коэффициентам. Истинные порядки реакций установить пока не представляется возможным, т.к. для этого требуются либо проведение специальных экспериментов на промышленной установке, либо использование результатов уже проведенных экспериментов, с которыми можно ознакомится в научной литературе. Однако для рассматриваемого процесса превращения высших олефинов такой информации нет.
В соответствии с этим допущением для рассматриваемых превращений процесса гидрирования можно записать выражения для скоростей реакций (табл. 2.6). гидрирования приведена в табл. 2.7.
После составления кинетической модели реакторных процессов потребовалось решить обратную кинетическую задачу — провести оценку кинетических параметров: констант скоростей и энергий активаций — по экспериментальным данным о выходных концентрациях углеводородов.
Предэкспоненциальньш множитель мономолекулярных некаталитических реакций обычно не бывает меньше 10 с . При атмосферном давлении скорость некаталитической реакции wt равна [70]: w, «10 VV M019 молекул /(см3 с) (2.17) где Et — энергия активации некаталитической реакции, Дж / моль. При проведении этой реакции на твердом катализаторе максимальное значение предэкспоненциального множителя не может превышать удельного числа соударений молекул с поверхностью, имеющего при обычных условиях порядок 1СР с" см "; максимальная скорость каталитической реакции wcat не может быть больше (при атмосферном давлении) wcat «10эе"""//гг 1019 S молекул / (см3 с), где S — удельная поверхность катализатора, м /м . Если S = 1 м2 / м3, то: %zL lQr eiE, Ea,,),RT (2.18) Даже если = 10 м" / м , то все-таки: L \0-2eiE--E-l)/RT (2.19) w,
Чтобы каталитическая реакция осуществлялась, энергия активации ее должна быть ниже, чем некаталитической. Таким образом, энергия активации каталитической реакции всегда меньше энергии активации той же реакции, протекающей без катализатора.
Экспериментальные данные были предоставлены ООО «ПО «Киришинефтеоргсинтез». Результаты оценки приведены в табл. 2.8.
При составлении модели промышленного реактора кинетическая модель дополняется гидродинамической моделью. Поэтому на этом этапе моделирования важно установить, какой именно гидродинамический режим реализуется в аппарате. Кроме того, важно определить температурный режим в реакторе. Реакции гидрирования высших углеводородов — экзотермические, однако ввиду крайне малого количества превращающихся веществ и, по всей видимости, высоких теплоємкостей реакционного потока и катализатора, перепад температуры в действующем реакторе составляет ок. 0,4-1,4 С. Т.к. теплоемкости высших углеводородов однозначно не установлены и требуют приближенного вычисления, неизбежно вносящего свою погрешность, и ввиду отмеченного факта о крайне малом перепаде температуры по реактору, примем, что реактор изотермический.
Отношение между тепловым Рет и диффузионным PeD критериями Пекле составляет PeTIPeD =1,05-1,5. Следовательно, PeD = 280,95-401,35 . Так как PeD »100, Рет »100, в реакторе наблюдается гидродинамический режим идеального вытеснения.
Истинный профиль потока жидких углеводородов внутри действующего реактора не известен, также не известно и состояние слоев катализатора и алюминиевых шаров. Т.к. в дальнейшем в качестве основы будет рассматриваться модель реактора гидрирования с суспендированным катализатором, важно установить, находится ли катализатор в режиме псевдоожижения или нет. Для этого проводится т.н. гидравлический расчет.
В реакторе гидрирования поток реагентов последовательно проходит три слоя алюминиевых шаров, диаметром 19, 6 и 3 мм, а затем через слой иикельсодержащего катализатора. Результаты расчета будут полезны при составлении математической модели реального производственного процесса.
Оценка динамического коэффициента вязкости. Определение проводим по методу Саудерса, основанному на эмпирической зависимости [81]: \g(\g(l0ju)) = mpL-2,9;m = I/M, (2.20) где ju — динамическая вязкость жидкости, спз; / — коэффициент Саудерса; pL — плотность жидкости, г / см ; М — молярная масса, г / моль. Результаты определения вязкостей псевдокомпонентов приведены в таблице 2.11. Исходные данные для гидравлического расчета: диаметр обечайки реактора — 1,5 м, высота обечайки — 8,3 м, площадь поперечного сечения (в слое катализатора) — 1,767 м", высота слоя катализатора — 8,09 м, фиктивная скорость потока углеводородов внутри обечайки — 0,0118 м/с, объем катализатора — 14,7 м3.
Явные методы численного решения
Большинство методов решения основано на том, что замкнутый интервал х0,хп] для независимой переменной х, на котором определяется искомая функция решения у-у(х) для дифференциального уравнения первого порядка dyldx- f(x,y) разбивается на п равных частей (отрезков) [101]. На каждом отрезке, длина которого равна h = (xn-x0)ln (h— шаг решения: шаг сетки), а концы отрезков являются узлами сетки, по формуле одного из численных методов рассчитываются приближенные значения искомой функции у = у(х). При этом первый шаг решения в соответствии с методологией решения задачи Коши выполняется с учетом данных о начальных условиях в точке х0 и в результате решения получаются приближенные значения функции ух в точке х, — ( ().У,) (/ = 1,...,/7). Значения искомой функции на последующих шагах решения (вплоть до их значений в последней точке хп,уп) определяются из приближенных результатов, которые были получены на каждом предыдущем шаге. В результате с увеличением числа шагов могут накапливаться погрешности, что весьма нежелательно.
Описанная процедура решения относится к явным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод называется явным, если приближенные зависимости для определения решения (значений искомых функций) на каждом шаге могут быть записаны непосредственно в виде расчетных формул для вычисления значений функций yt в узлах сетки / = 1,...,и), где п — количество узлов сетки.
Это численный метод, в котором достигается согласие получаемого решения с разложением в ряд Тейлора вплоть до определенного порядка: У, = X-I + ,-. + +зу Э +..- (3-2) Идея методов Рунге — Кутты заключается в том, что производные апроксимируются через значения функции f(x,y) в точках на интервале x0,x0 + h], которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени п, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге — Кутты разных порядков точности [102]. Схемы подобного типа называют «прогноз-коррекция», что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о доведении интегральной кривой.
Мерсон предложил модификацию метода Рунге — Кутты четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [103] с помощью эквивалентных преобразований приведем к виду, удобному для программирования: y(x0+h) = y0+(kA+ks)/2 + O(h5), (3.3) 129 где kl=h3f(xQiy0)ih3=h/3t =/23/ + , 0 + :,), k3=hf(x0 + h2,y0 + (kl+k2)/2), (3.4) k4=kl+4hif[x0 + h/2,y0 + 0375(kl+k3)), К = V( 0 + /7,yQ +1,5(&4 - /c3)). Схема Мерсона требует на каждом шаге вычислять правую часть дифференциального уравнения в пяти точках, но за счет только одного дополнительного коэффициента kt по сравнению с классической схемой Рунге — Кутты на каждом шаге можно определить погрешность решения R по формуле: ЮЯ = 2кА-Зк3-к5 (3.5) Для автоматического выбора шага интегрирования рекомендуется следующий критерий. Если абсолютное значение величины R, вычисленное по формуле (3.5), окажется больше допустимой заданной погрешности є, Щ є (3.6) то шаг h уменьшается в два раза и вычисления по схеме (3.3-3.4) повторяются с точки (х0,у0). При выполнении условия 32Я (3.7) шаг можно удвоить.
Автоматический выбор шага позволяет значительно сократить время решения дифференциального уравнения. Схема (3.3—3.4) обобщается на системы ОДУ аналогично классической схеме Рунге — Кутты. При автоматическом выборе шага интегрирования иногда возникает необходимость вывода (использования) результатов только в фиксированных точках.
