Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краткий обзор существующих методов синтеза нелинейных регуляторов и наблюдателей 12
1.1. Методы построения нелинейных регуляторов 12
1.2. Методы оценивания состояния нелинейных систем 27
1.3. Методы оценивания производных измеряемых переменных 32
1.4. Основные результаты и выводы 35
Глава 2. Синтез градиентных регуляторов 37
2.1. Постановка задачи синтеза 37
2.2. Уравнения градиентного регулятора. 40
2.3. Реализация градиентного регулятора 50
2.4. Преобразование уравнений градиентного регулятора 54
2.5. Стабилизация положения корабля градиентным регулятором 61
2.6. Градиентный регулятор генератора постоянного тока 69
2.7. Основные результаты и выводы 72
Глава 3. Синтез нелинейных регуляторов на основе квазилинейного подхода : 73
3.1. Приведение уравнений нелинейной системы к квазилинейной форме 73
3.2. Приведение уравнений системы к канонической управляемой форме 79
3.3. Синтез нелинейного квазимодального регулятора 82
3.4. Нелинейное квазимодальное управление летательным аппаратом 84
3.5. Основные результаты и выводы 93
Глава 4. Синтез нелинейных наблюдателей 95
4.1. Синтез нелинейных наблюдателей переменных состояния 95
4.2. Оценивание производных по времени измеряемых переменных нелинейных объектов 104
4.3. Сглаживание случайных помех рекуррентным наблюдателем производных 108
4.4. Компенсация неопределенностей динамических систем с помощью градиентного управления 126
4.5. Повышение точности оценивания координат объектов с помощью градиентного управления 137
4.6. Основные результаты и выводы 144
Заключение 146
Список литературы
- Методы оценивания состояния нелинейных систем
- Преобразование уравнений градиентного регулятора
- Приведение уравнений системы к канонической управляемой форме
- Сглаживание случайных помех рекуррентным наблюдателем производных
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время высокие требования к качеству и эффективности систем управления делают обязательным учет нелинейных явлений в динамических объектах. Традиционно используемые методы линейного приближения [33] практически всегда позволяют придать синтезируемой системе необходимые свойства, но лишь в малом. Однако мировой научно-технический. прогресс приводит к значительному усложнению элементов систем автоматического управления (САУ) и условий их функционирования. В современном мире возникает необходимость создания регуляторов, способных обеспечить работу объектов управления в условиях высоких температур, больших давлений, в критических и неустойчивых режимах при высоких скоростях и уровнях мощности. Как известно, для таких весьма интенсивных или даже предельных режимов работы характерны большие отклонения переменных, и, соответственно, адекватными могут быть только нелинейные модели объектов. Поэтому в большинстве случаев современные регуляторы и управляющие устройства реальных систем управления должны рассматриваться как нелинейные, то есть описываться нелинейными дифференциальными уравнениями.
Таким образом, основные проблемы создания современных регуляторов и других элементов систем управления связаны с изучением, анализом и синтезом нелинейных моделей. Проблема синтеза нелинейных регуляторов систем управления нелинейными объектами в отличие от линейных несравненно более сложная. Среди множества требований к синтезируемым системам первостепенным и фундаментальным является свойство асимптотической устойчивости заданной траектории движения. В свою очередь, задача устойчивости непосредственно связана с решением такой важнейшей проблемы теории автоматического управления, как синтез закона управления, то есть регулятора системы управления. Поэтому основная проблема синтеза нелинейных регуляторов и систем управления заключается в разработке об щих методов, обеспечивающих асимптотическую устойчивость движения в целом или в большом с оценкой области притяжения.
В настоящее время разработано большое число методов синтеза нелинейных регуляторов и анализа нелинейных систем автоматического управления. Традиционными являются такие, как метод абсолютной устойчивости [33], гармонической линеаризации [87], оптимального управления [86]. Современные подходы, как правило, развиты на основе метода функций Ляпунова [10], предоставляющего большие возможности для исследования нелинейных систем. К ним относятся метод нелинейных преобразований переменных состояния системы [74, 24, 103], входных воздействий или выходов системы [46, 47], метод пассификации [76], нелинейное Я00-управление [101].
В последние годы в работах, посвященных проблемам синтеза нелинейных регуляторов и систем управления, все чаще предлагаются аналитические методы анализа и синтеза на основе квазилинейного представления уравнений нелинейных систем [10, 20, 74, 19, 37]. Например, полиномиальный метод синтеза [20, 19, 99] позволяет при определенных условиях придать заранее заданные значения коэффициентам характеристического полинома функциональной системной матрицы. Использование квазилинейного представления уравнений нелинейной системы [37] является весьма перспективным, так как позволяет решать задачу синтеза регуляторов и других элементов нелинейных систем управления по аналогии с методами синтеза линейных систем.
Все существующие в настоящее время методы синтеза нелинейных регуляторов дают решение задачи лишь для объектов определенного класса. Поэтому задача построения регуляторов нелинейных систем остается актуальной и во многих аспектах еще не получила должного решения.
Целью диссертационной работы является синтез нелинейных регуляторов и наблюдающих устройств на основе квазилинейного представления с использованием метода функций Ляпунова. При этом модель системы может обладать некоторой неопределенностью. I Достижение поставленной цели осуществляется решением следующих задач:
- Разработка принципов построения градиентных регуляторов на основе функций Ляпунова, обеспечивающих возможность задания желаемой длительности процессов управления, а также создание алгоритмов и программ их реализации на ЭВМ;
- Исследование методики приведения квазилинейной системы к управляемой форме Фробениуса и разработка на ее основе процедуры синтеза не-линейного квазимодального регулятора;
- Разработка метода синтеза нелинейных наблюдателей переменных объекта на основе квазилинейного подхода и управляемой формы Фробениуса;
- Исследование качества сглаживания случайных ошибок оценок рекуррентным наблюдателем производных;
- Решение задачи компенсации неопределенностей динамических сие- V тем с помощью градиентного управления.
- Исследование нелинейных систем управления методами численного моделирования на ЭВМ.
Методы исследования. Поставленные в работе задачи решаются на основе теории дифференциальных уравнений, включая аппарат преобразований Лапласа, теории матриц и матричных форм, теории оценивания, теории устойчивости, теории фильтрации, теории моделирования, методов пространства состояний, методов модального и оптимального управлений. При 4- численном моделировании и исследовании разработанных регуляторов, сис тем управления и их элементов использовался пакет программ MatLab 6.1. На защиту выносятся следующие основные результаты работы: 1. Метод синтеза градиентного регулятора и способ его практической реализации;
2. Методика приведения квазилинейной системы к управляемой форме Фробениуса и метод синтеза квазимодального регулятора; j 3. Методика синтеза нелинейного редуцированного наблюдателя пе ременных состояния объектов на основе управляемой формы Фробениуса;
4. Исследование случайных ошибок оценивания производных рекуррентным наблюдателем;
5. Алгоритмы и программы моделирования на ЭВМ нелинейных регуляторов и элементов систем управления.
Новизна научных результатов:
Новизна предложенной методики синтеза нелинейного градиентного регулятора на основе функций Ляпунова заключается в возможности его реализации при последовательном включении с объектом управления. При этом обеспечивается устойчивость и желаемая длительность переходного процесса нелинейной системы управления.
Разработанная процедура синтеза нелинейного квазимодального регулятора на основе управляемой формы Фробениуса позволяет применить мо- V дальное управление к синтезу нелинейных регуляторов и обеспечить требуе мую длительность переходных процессов.
При найденных в работе новых условиях выбора корней характеристического уравнения рекуррентного наблюдателя производных обеспечивается близкое сглаживание случайных помех по всем производным наблюдаемой переменной, что позволяет улучшить качество функционирования систем с квазимодальным регулятором.
Разработанный метод компенсации неопределенностей динамических ф систем с помощью градиентного управления позволяет повысить точность измерительных систем и систем автоматического управления.
Практическая ценность полученных в диссертационной работе результатов заключается в конструктивности и практической направленности процедур синтеза регуляторов и наблюдателей, позволяющих учесть требо вание сохранения устойчивости при наличии неопределенности в модели системы и возможности придания системе управления желаемых характери л стик. Кроме того, разработанные элементы систем управления отличаются широкой областью применения, которая включает в себя системы управления летательными аппаратами, энергетическими установками, процессами измерения географических координат объектов и другими. Разработанные методики синтеза и моделирования реализованы в виде программных продуктов. Они позволяют получить обоснованные заключения о свойствах исследуемых систем при незначительных затратах временных и материальных ресурсов.
На основе полученных результатов решен ряд задач синтеза реальных регуляторов и наблюдателей переменных состояния и их производных по времени (системы стабилизации корабля или подводного транспортного средства, напряжения генератора постоянного тока, угла тангажа летательного аппарата и др.).
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- пятой всероссийская научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2000);
- открытом конкурсе на лучшую работу студентов и аспирантов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в высших учебных заведениях РФ (2001);
- шестой Московской международной телекоммуникационной конференции студентов и молодых ученых «Молодежь и наука» (Москва, 2002);
гф - седьмой Всероссийской научной конференции студентов и аспиран тов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2004);
- международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях-18» (Казань, 2005);
- на ежегодной конференции профессорско-преподавательского состава ТРТУ в 2005 г.
Результаты диссертационной работы использовались в ОКБ «Миус» при ТРТУ при разработке проектов систем мониторинга САУ, в ООО НІЖ «Бюро Кадастра Таганрога» при разработке алгоритма программы обработки географических координат наземных объектов для приемников спутниковой системы глобального позиционирования GPS, а также в учебном процессе в курсе «Теория автоматического управления», что подтверждается соответствующими актами о практическом использовании.
По теме диссертационной работы опубликовано семь печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 105 наименований, и приложения. Общий объем работы составляет 157 страниц и содержит 47 рисунков и 1 таблицу.
В главе 1 дается обзор литературы, посвященной основным методам построения нелинейных регуляторов и наблюдателей переменных состояния нелинейных объектов и их производных. Рассматриваются известные методы исследования нелинейных систем и синтеза нелинейных регуляторов. Показано, что метод функций Ляпунова в сочетании с квазилинейным представлением нелинейностей является одним из перспективных направлений синтеза нелинейных регуляторов и элементов систем управления. В заключение главы формулируется цель диссертационной работы - разработка методики синтеза нелинейных регуляторов и. элементов нелинейных систем управления с учетом заданных требований к их качеству на основе метода функций Ляпунова и квазилинейного подхода.
В главе 2 рассматривается синтез градиентного регулятора для нелинейных систем с секторными нелинейностями на основе метода функций Ляпунова. Показано, что при использовании предлагаемого градиентного управления можно при наличии неопределенностей обеспечить асимптотическую устойчивость в целом положения равновесия системы, а также же лаемое время переходного процесса. Исследуется возможность построения градиентных регуляторов для нелинейных систем с различными видами секторных нелинейностей, в том числе немонотонными, принадлежащими произвольному сектору, а также нелинейностями с отрицательной кривизной. Рассматривается вопрос практической реализации градиентного регулятора и строится алгоритм работы ЭВМ. В завершение главы приводится пример построения и исследования путем моделирования на ЭВМ градиентного регулятора для нелинейного объекта.
В главе 3 предлагается метод синтеза квазимодального регулятора для нелинейных систем, представленных в квазилинейной форме. Описывается процедура приведения квазилинейной системы к управляемой форме Фробе-ниуса с помощью двух нелинейных преобразований, удовлетворяющих условиям преобразования Ляпунова. Показывается, что квазимодальный регулятор обеспечивает устойчивость положения равновесия и заданные требования к качеству переходного процесса путем соответствующего выбора корней характеристического уравнения замкнутой системы в специальной системе координат. Отмечается, что для построения квазимодального управления требуется доступность измерению всех переменных состояния системы, либо построение соответствующих наблюдателей. В завершение главы приводится пример построения квазимодального регулятора для нелинейного объекта третьего порядка. Исследование свойств замкнутой системы проводится путем ее численного моделирования на ЭВМ.
В главе 4 рассматриваются методы синтеза нелинейных наблюдателей переменных и их производных, формирующих соответствующие оценки, необходимые для построения предложенных в главах 2, 3 нелинейных регуляторов. Построение нелинейного наблюдателя переменных состояния осуществляется путем преобразования исходной модели к управляемой форме Фробениуса. Для оценивания производных по времени переменных объекта при реализации квазимодального регулятора предлагается использовать рекуррентный наблюдатель производных. При этом основное внимание уделя ется исследованию процесса подавления им случайных ошибок измерений, описываемых белым или цветным шумом. Находится условие оптимального выбора корней рекуррентного наблюдателя производных, при котором обеспечивается близкое сглаживание случайных ошибок измерения по всем производным наблюдаемой переменной. Приведен пример оценивания переменной состояния нелинейной системы и ее производных при различных способах задания корней наблюдателя. Рассматривается использование градиентного регулятора для компенсации ограниченных неопределенностей в системе и показана возможность его применения для повышения точности определения географических координат наземных объектов, получаемых с помощью спутниковой системы глобального позиционирования GPS.
В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы. В приложении помещены листинги программ, схема моделирования рекуррентного наблюдателя производных и акты внедрения результатов диссертационной работы.
Методы оценивания состояния нелинейных систем
Задача оценивания переменных состояния линейных систем была решена в работах Р. Калмана, Д. Луенбергера и других авторов. В нелинейном случае эта задача пока не имеет полного решения.
Одним из методов оценивания состояния процессов является построение линейного наблюдателя Калмана [41]. При этом объект управления описывается уравнениями x(t) = Ax(t) + Bu(t), (1.16) где х - вектор состояния объекта, и - вектор входных воздействий, А И В — заданные матрицы числовых коэффициентов; входной сигнал u{t) и выход ной сигнал системы y{i) = с x(t) доступны измерению, с - известная матрица. При указанных условиях наблюдатель состояний для системы (1.16) описывается уравнениями x{t) = Ax(t) + Bu(t) + k(y-cTx(t)). (1.17) Если х = х - х - ошибка оценивания, то из уравнений (1.16), (1.17) следует k(t) = {A-kcT)x{t). (1.18) Если система (1.16) при u(t) = 0 полностью наблюдаемая, то, как показано в [53], выбором вектора к можно добиться любого расположения корней системы (1.18).
Оценивание состояния объектов в условиях шумов обычно осуществляется с помощью фильтра Калмана - Бьюси, построение которого предполагает знание модели системы, генерирующей наблюдаемый сигнал. Как известно, уравнения ФКБ имеют вид, аналогичный (1.17).
В частности, если уравнения объекта заданы в непрерывной форме x(t) = A(t)x(t) + B{t)u(t) + G(t)w(t), (1.19) y(t) = CT(t)x(t) + v(t), (1.20) где w(t) — белый векторный шум возбуждения, \ (t) - белый скалярный шум измерений, то оптимальный фильтр Калмана - Бьюси описывается уравнениями x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + K(t)(y - C(t)x), (1.21) K{i) = P(t)CT (t)R l (0, (1.22) где ковариационная матрица P(t) определяется решением матричного дифференциального уравнения Риккати x(t) = A(t)x(t) + B{t)u{t) + K(t)(y - C(t)x(t)) (1.23) при начальных условиях P(t0) = P0 (1.24) Строго говоря, построить на практике оптимальный ФКБ нельзя, так как начальные условия объекта управления х(0) почти всегда неизвестны.
Однако, для стационарных линейных систем при известных ограничениях [6] ковариационная матрица P(t) - Р = const при t - оо для всех неотрицательно определенных Р0. Уравнения (1.21) - (1.23) с ковариационной матрицей P(t) = P описывают асимптотический (стационарный) ФКБ. В литера-туре [6] показано, что для выполнения условия P(t) - РХ = const при t - оо для всех неотрицательно определенных Р0 необходимо и достаточно, чтобы объект (1.19), (1.20) был либо полностью наблюдаем, либо его ненаблюдаемая часть была асимптотически устойчивой.
Часто на практике необходимая для построения ФКБ информация о модели объекта, характеристики шумов и внешних воздействий могут быть неизвестными. Как правило, параметры модели, описывающей ОУ, определены с некоторой погрешностью, внешние воздействия могут быть неизме-ряемыми, а случайные шумы обычно являются цветными с неизвестной корреляционной функцией. В этом случае возникает необходимость в адаптации ФКБ к неизвест ным характеристикам объекта либо в применении других алгоритмов оцени вания, позволяющих достичь робастности наблюдателя.
Существует два основных подхода к адаптивному оцениванию состоя ний в условиях неопределенных характеристик объекта и шумов: прямой и косвенный [92]. Косвенная адаптация предполагает восстановление описания сигнала, а затем оптимальное восстановление состояния. При прямой адап тации фильтруемый сигнал одновременно является и обучающим. При этом неопределенными характеристиками, к которым происходит адаптация в ... процессе работы наблюдателя, могут являться вид и параметры детермини рованных и случайных помех, действующих на объект, параметры модели, описывающей наблюдаемый сигнал, структура и порядок модели, описывающей наблюдаемый сигнал.
Случай с неизвестными характеристиками случайных или детерминированных помех исследован достаточно широко в литературе [22, 25, 31, 53, 83].
При неизвестных детерминированных воздействиях либо строится на блюдатель воздействия, либо используется информация о типе воздействия (гармоническое, полиномиальное и т.п.). Например, в [53] рассматривается функционирование ФКБ при наличии действующих на объект постоянных неизмеряемых возмущений; В этом случае либо на основе информации о структуре возмущения строится расширенный объект, либо в уравнение наблюдения (1.17). вводится интегральная составляющая таким образом, что уравнение (1.17) приобретает вид (0 = Ax{i) + Bu(t) + k(y - cTx(t)) + кх JO - cfx(t))dt, . (1.25) $ где c{ - матрица, у которой ненулевыми являются только те диагональные элементы, которые соответствуют точкам приложения постоянных воздействий, не учитываемых в наблюдаемом устройстве
Преобразование уравнений градиентного регулятора
Системы типа (2.1) часто встречаются на практике. Как показано выше, системы этого типа с помощью градиентного управления стабилизировать достаточно просто. Основной недостаток градиентного регулятора (2.27) заключается в том, что практическое введение дополнительной обратной связи, параллельной f(x), как это показано на рис. 2.3, часто затруднено или невозможно. Это объясняется тем, что f(x) - это обычно нелинейность исполнительного механизма или рабочего органа. Например, в системе автоматического управления углом тангажа летательного аппарата нелинейность f(x) - это вход-выходная характеристика исполнительного механизма. Другими словами, устройство, реализующее закон управления и{х) так, как показано на рис. 2.3, являлось бы вторым исполнительным механизмом.
Поэтому, чтобы практически реализовать градиентное управление (2.22), т.е. построить градиентный регулятор, необходимо изменить способ формирования входного сигнала нелинейности и перенести точку приложения управления и( з,х) на вход естественного исполнительного механизма системы. Фактически «параллельное» управление и(р,х) необходимо заменить последовательным. Рассмотрим реализацию градиентного управления в случае, когда нелинейность зависит от некоторой переменной а, которая является скалярной функцией переменных состояния системы, т.е. а = з(х).
При этом вектор х по-прежнему доступен измерению с помощью датчиков.
Таким образом, для реализации градиентного управления в этом случае необходимо сформировать переменную а как некоторую новую функцию аи (х) вектора состояния линейной части системы таким образом, чтобы выходной сигнал нелинейного звена /(au ) соответствовал прежнему значению сигнала \/ = f(a) + u( 5,x) (рис. 2.12) при использовании «параллельного» управления и(о,х)
Чтобы найти требуемое значение au из уравнения (2.32), необходимо, очевидно, взять от обеих частей (2.32) обратные функции. Но Дет) заранее неизвестна по постановке задачи синтеза, поэтому точно выполнить эту операцию невозможно. В связи с этим был разработан приближенный «метод обратной функции», позволяющий преодолеть эту трудность.
Чтобы изложить сущность этого метода, рассмотрим моменты времени t; = iAt, где At - достаточно малый интервал времени, і = 0,1,2,... Пусть в момент времени ti входной аргумент нелинейности ст( ) = а/} а вектор состояния системы x(tt ) = х{. Согласно равенству (2.32) необходимо значение переменной а,, в каждый момент времени t. заменить значением вновь сформированной переменной au/, как схематически показано на рис. 2.13 таким образом, чтобы выходной сигнал нелинейного звена f{pui) при новой переменной аш был бы равен прежнему значению сигнала ц/,. =f(qi) + u(ai,xi) при «параллельном» управлении w(a,-,х,), как показано нарис. 2.14 ДО = /( ,)+ ( ,, !). (2.33) ex л t1і At Рис. 2.13. ст. „, G Рис. 2.14. Чтобы найти требуемое значение ои{, от обеих частей (2.33) берутся обратные функции. Для этого аппроксимируется г-й участок нелинейной функции /(a) следующей линейной функцией: (2.34) где коэффициенты аппроксимации а{ и Ь{ находятся по формулам /ІРІ ) - /К_,) t _ v, (/К,,) - /К)) + Ь..= а; = а,, -а, а, - а, /W, ) ч,_1 Тогда функция, обратная функции (2.34), будет иметь вид: (2.35) где a. as /,= — , с,. = —. Так как, согласно (2.33), выходной сигнал нелинейного звена f(aui) в /-й момент времени должен быть равен правой части (2.33), то, полагая в (2.35) G = aui, /(G fiOui), и подставляя в нее правую часть (2.33) получим выражение для нового входного сигнала нелинейности:
При управлении (2.36) структурная схема замкнутой системы имеет стандартаыи вид системы с управлением по состоянию, приведенный на рис. 2.15, где НГР - нелинейный градиентный регулятор, ИМ - исполнительный механизм, ОУ - объект управления. Подчеркнем, что нелинейный градиентный регулятор описывается соотношениями (2.36) при устойчивой линейной части.
НГР W им V ОУ У
;, XРис.: І.15. Л Как видно, для реализации предложенного градиентного регулятора (2.36) необходимо, чтобы вектор состояния и выход нелинейного блока /(а)
были доступны измерению. Практически реализовать алгоритм (2.36) можно лишь с применением вычислительных средств (микроконтроллеров ИЛИ МИКРОЭВМ). При этом общий объем вычислений, производимый в устройстве управления в процессе работы системы, существенно не увеличивается, соответственно, не ухудшается быстродействие системы. Таким образом, использование метода «обратной функции» позволяет избежать введения дополнительных устройств, параллельных ИМ.
Для исследования качества переходных процессов проведено численное моделирование. Интегрирование системы (2.37), (2.22) - (2.24) с законом управления (2.36) проводилось при значениях параметров А: = 8, = 0.1
Рис. 2.17. Как видно из графиков, положение равновесия системы (2.37), (2.22) -(2.24) при использовании закона формирования переменной аи/ (2.36) устойчиво, так как переменные состояния системы с течением времени стремятся к нулю. При этом характер переходных процессов аналогичен процессам, полученным при моделировании системы (2.1), (2.22) - (2.24), (2.27).
Функциональная схема нелинейного градиентного регулятора (2.36) приведена на рис. 2.18. Обозначениям на рисунке соответствуют: ЗУ - запоминающее устройство, ОУ - объект управления.
Так как разработанный алгоритм работы нелинейного градиентного регулятора ориентирован на реализацию в цифровом вычислителе, поэтому приведем блок-схему алгоритма (рис. 2.19). Данные измерений координат состояния объекта управления, полученные с АЦП, подвергаются первичной обработке - проверке на достоверность и сглаживанию данных (фильтрации низкочастотных помех). Далее они проверяются на соответствие с требованиями к точности управления, в зависимости от чего вычисляется управляющее воздействие или работа регулятора прекращается.
Приведение уравнений системы к канонической управляемой форме
Возможность приведения нелинейной системы вида (3.1) к виду (3.26) - (3.28) позволяет найти управление и = и(х), при котором в специальной системе координат коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы имеют любые наперед заданные значения. Другими словами, эти коэффициенты могут быть как некоторыми функциями вектора х, так и постоянными числами. Если указанные коэффициенты являются функциями переменных состояния, то для обеспечения устойчивости замкнутой системы они должны удовлетворять некоторым условиям, которые к настоящему времени неизвестны. Единственной возможностью в этом случае является построение соответствующей функции Ляпунова. Но общий вид этой функции тоже неизвестен.
В связи с этим целесообразно управление и = и(х) выбрать так, чтобы коэффициенты Щ(х) замкнутой системы (3.26) - (3.28) имели постоянные значения и удовлетворяли критерию Гурвица. В этом случае асимптотическая устойчивость в целом положения равновесия х = 0 замкнутой системы гарантируется. Устойчивость же в целом положения равновесия соответствующей нелинейной системы (3.1) будет обеспечена, если матрицы Ру(х) и Ту(х) будут удовлетворять условиям преобразования Ляпунова [33]. Для этого необходимо, чтобы элементы матриц Р(х) и Т(х) были ограниченными функциями и имели непрерывные и ограниченные производные. В дальней шем будем считать, что нелинейности в (3.1) таковы что эти условия выполнены. Квазимодальное управление ищется в виде [24] u = g-hT(x)x, (3.34) где компоненты ht (х) вектора h т (х) = [h{ (х) h2 (х) ... hn (х)] определяют ся выражениями h{ (х) = а _! - а і (х), і = 1, п. (3.35) Здесь а -постоянные коэффициенты желаемого полинома степени и, удовлетворяющего критерию Гурвица. Коэффициенты а обычно определяются путем выбора корней указан ного полинома, исходя из требований к качеству переходного процесса. ,,х Здесь необходимо отметить, что условиям, исходя из которых выбирались корни характеристического полинома, будут удовлетворять переменные состояния Х І приведенной системы (3.26). Характер же изменения переменных состояния xt исходной системы (3.1) может несколько отличаться, так как переменные X; связаны с переменными xt нелинейным преобразованием x{t) = Р(х)Ту(х)х. (3.36)
Обычно длительность переходных процессов по переменным х несколько больше, чем по переменным X. Если компоненты ht(x) вектора hT(x) управления (3.34) найдены из соотношений (3.35), то уравнения замкнутой системы в переменных xt, i = \,n имеют вид X = о о о о о о х, у = с(х)х, (3.37) -си -а, -а -а и-1_ С помощью обратного преобразования х = Ту (х)Р (х)х в выражении (3.34) можно перейти от переменных х( i = \,n к исходным переменным х{, i = \,n.B результате получим искомое управление и(х) = g - hT(х)х, (3.38) где hT(x) = hT(x)Tyl{x)p-l(x). (3.39)
Соотношения (3.38), (3.39) позволяют определить искомое управление по состояниям исходной системы (3.1). Использование этого управления возможно при выполнении ряда условий. Прежде всего, требуется доступность прямому измерению всех переменных состояния. Если же переменные состояния не доступны измерению, то их можно заменить асимптотическими оценками, формируемыми соответствующими наблюдателями. Вопросы построения наблюдателей переменных состояния будут рассмотрены в главе 4. Нелинейное квазимодальное управление летательным аппаратом
Построение регуляторов летательными аппаратами (ЛА) является важной и распространенной инженерной задачей. В настоящее время при ее решении часто применяются линейные модели объекта, что снижает точность системы управления, ухудшает маневренность и другие динамические свойства ЛА. Построение нелинейных регуляторов ЛА позволяет учесть его нелинейности и улучшить качество процесса управления. . Необходимо найти управление, стабилизирующее угол тангажа летательного аппарата (ЛА), уравнения которого имеют вид [50]: 1 g 0 =—since-—cos0; S +—& + каа = к5д; S = 0 + cc, (3.40) где 0 - угол наклона траектории ЛА по отношению к вертикали; 0 - угол тангажа ЛА; a - угол атаки; g - ускорение земного тяготения; V — скорость полета; 5 - угол отклонения руля высоты; Т$, Тю - постоянные времени; ка, къ - коэффициенты передачи. Максимально возможное значение отклонений углов наклона, тангажа и атаки составляет п радиан.
Сглаживание случайных помех рекуррентным наблюдателем производных
Коэффициенты kn, к22 и k2 выбираются, с одной стороны, по условиям устойчивости и оценивания производных за заданное время. С другой стороны, их необходимо выбрать так, чтобы достаточно сильно сглаживались помехи измерения, так как любые дифференцирующие устройства подчеркивают высокочастотные помехи. Это объясняется тем, что дифференциаторы имеют возрастающую АЧХ.
Как видно из (4.26), цикл работы каждого звена состоит из двух интервалов времени. Начало второго интервала работы і -го звена запаздывает на время Т] по отношению к началу соответствующего интервала / -1 -го звена, обеспечивая тем самым последовательное во времени оценивание производных.
На каждом интервале времени коэффициенты усиления фильтра назначаются постоянными. На рис. 4.6 схематически показано изменение во времени коэффициентов усиления наблюдателя в соответствии с выражениями (4.26). к м t
Такой выбор коэффициентов реккурентного наблюдателя обеспечивает его асимптотическую устойчивость на каждом интервале постоянства коэффициентов и последовательное во времени оценивание наблюдаемой величины и ее первой производной. Первый интервал соответствует оцениванию входной величины звена, а второй - оцениванию ее производной. Подав оценку первой производной на вход другого аналогичного звена, можно получить на его выходах оценки первой и второй производных по времени наблюдаемой переменной. Таким образом, рекуррентная схема оценивания наблюдаемой переменной и ее производных по времени представляет собой последовательность описанных выше звеньев второго порядка. Структурная схема РНП, состоящего из п звеньев, показана на рис. 4.7. При этом оценивание каждой последующей производной начинается после того, как завершается оценивание предыдущей производной. Необходимо отметить, что согласно такому циклический принципу работы РНП формирует не производные как функции времени, а лишь их значения в конце периода квантования. У Звено 1 Л21 Звено 2 Л22 хп х\2 1 Звено п 2л. х\п " Рис. 4.7. 108 Как показано в [27], при указанном выборе коэффициентов ku(t) и k2i(t) при всех т гх, +т2 выполняются условия $ \xh-y\ s, \x2i-y\ s, і = 1,2,3,..., N + l (4.27)
Как было отмечено выше, качество подавления случайных помех в РНП нуждается в дополнительном исследовании. При рассмотрении влияния случайных ошибок обычно предполагается, что сигнал ошибки оценивания С, является белым шумом. Однако, как будет показано ниже, при этом математическое описание процесса оценивания не соответствует действительности. Поэтому в следующем параграфе рассматривается подавление случай-ных помех в РНП сначала при белом, а затем при цветном шуме.
Сглаживание случайных помех рекуррентным наблюдателем производных Исследуем качество подавления случайного шума при реккурентном оценивании производных. Для этого рассмотрим первое звено РНП, полагая, что, в (4.25) сигнал С, является белым шумом интенсивности S. Как отмечено выше, каждый.период работы РНП включает два интервала. Первый из них длительностью Tj достаточно мал и поэтому не оказывает заметного влияния на .сглаживание случайных помех. Поэтому далее рассматривается только второй интервал длительностью 0Г - щ, где і — номер звена РНП.
Предположим, что х(х) - решение системы (4.25), а х(%0) = х0 - стохастическая величина, независимая от С, со средним значением х0 =Е{х0} и матрицей дисперсий Q0 = Е {( х0 - х 0)(х0 - х 0)т } , где Е{) - символ ма тематического ожидания. В рассматриваемом РНП время сглаживания, слу чайных помех равно QT - п , т.е. относительно невелико. Поэтому примене ние известных соотношений классической ТАУ,, определяющих связь дисперсии входного случайного сигнала и дисперсии выходного сигнала линейной системы, представляется некорректным. В связи с этим анализ влияния случайных помех измерения на РНП проводится на основе современной тео 109 рий фильтрации с применением уравнений в переменных состояния [42]. Это позволяет исследовать процессы обработки сигналов как в переходном, так и в установившемся режимах РНП.
Для оценки степени подавления помех в современной теории фильтрации рассматривается матрица дисперсий Q(X) = E{(X(X)-X(X))(X(X)-X(T))T} переменных состояния системы (4.25), которая определяется [42] выражением
