Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы описания динамики изменения полной погрешности измерительных преобразователей систем управления 14
1.1 Принципы построения магнитострикционных преобразователей и факторы, определяющие их метрологические характеристики 14
1.2 Описание динамики погрешности измерительных преобразователей линейной математической моделью 20
1.3 Описание динамики погрешности измерительных преобразователей экспоненциальной математической моделью 23
1.4 Описание динамики погрешности измерительных преобразователей логистической моделью 27
1.5 Спектральное описание динамики погрешности измерительных преобразователей 30
1.6 Регрессионные модели динамики изменения полной погрешности 34
1.7 Динамическая модель полной погрешности магнитострикционных преобразователей в виде системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 40
Выводы по первой главе 46
Глава 2. Методика экспериментальных исследований магнитострикционных преобразователей 47
2.1 Обоснование методики исследования и обработки экспериментальных данных 47
2.2 Методика нормирования характеристик погрешности магнитострикционных преобразователей 54
2.3 Автоматизированная система научных исследований магнитострикционных преобразователей 61
2.3.1 Аппаратное обеспечение АСНИ магнитострикционного преобразователя 61
2.3.2 Программное обеспечение АСНИ магнитострикционного преобразователя 65
2.3.3 Программное обеспечение мониторинга данных с магнитострикционного преобразователя 68
Выводы по второй главе 75
Глава 3. Динамические модели полной погрешности магнитострикционных преобразователей 75
3.1 Линейная модель динамики погрешности магнитострикционных преобразователей 75
3.2 Динамическая модель полной погрешности магнитострикционных преобразователей в виде системы дифференциальных уравнений 81
3.3 Регрессионная модель динамики полной погрешности магнитострикционных преобразователей 86
3.3.1 Планирование многофакторного эксперимента 86
3.3.2 Функции влияния 95
3.3.3 Регрессионная динамическая модель полной погрешности магнитострикционного преобразователя 101
Выводы по третьейглаве 116
Глава 4. Синтез оптимальной конструкторской реализации магнитострикционных преобразователей 119
4.1 Задача синтеза магнитострикционных преобразователей с заданными характеристиками 119
4.2 Показатели качества эксплуатационных характеристик магнитострикционных преобразователей 122
4.3 Методика синтеза конструкции магнитострикционных преобразователей с заданными параметрами 128
4.4 Синтез конструкции магнитострикционного преобразователя уровня... 132
4.5 Многофункциональный магнитострикционный преобразователь 134
Вводы по четвертой главе 139
Заключение 141
Список использованных источников 146
Приложение
- Описание динамики погрешности измерительных преобразователей линейной математической моделью
- Автоматизированная система научных исследований магнитострикционных преобразователей
- Динамическая модель полной погрешности магнитострикционных преобразователей в виде системы дифференциальных уравнений
- Показатели качества эксплуатационных характеристик магнитострикционных преобразователей
Введение к работе
Магнитострикционные преобразователи положения (МПП) прочно заняли свое место среди предлагаемых на рынке датчиков положения. Это обусловлено в первую очередь их высокой надежностью, устойчивостью к вибрационным воздействиям, а также большим диапазоном преобразований, относительно невысокой стоимостью.
Мировыми лидерами в исследованиях, разработке и производстве МПП являются крупнейшие фирмы -производители датчиковой аппаратуры: MTS (США), Balluff (Германия), Shlumberger Industries (Франция) и др. Аналитики этих фирм насчитывают уже более 1500 областей использования МПП.
Исследования зарубежных и отечественных ученых, таких как Артемьев Э.А., Демин СБ., Надеев А.И., Шпинь А.П., Ясовеев В.Х. и др. привели к созданию множества способов реализации МПП, появлению структурных, технологических, алгоритмических методов улучшения их метрологических характеристик. Однако ужесточение требований к точностным и эксплуатационным характеристикам первичных преобразователей в современных системах автоматического управления требует поиска новых методов повышения точности МПП.
Нашедшие в настоящее время широкое применение структурные, технологические и алгоритмические методы повышения точности МПП ориентированы на уменьшение составляющих полной погрешности.
Развитие в последнее время интеллектуальных МПП, наряду с их индивидуальной градуировкой, приводит к достижению практически предельной точности МПП в статическом режиме.
Однако, даже интеллектуализация МПП с записью в ПЗУ
устройства данных по индивидуальной градуировочной
характеристике, характеристик систематической и случайной погрешностей, функций влияния дестабилизирующих факторов, не учитывает изменения записанных параметров в течение срока эксплуатации, т.е. прогрессирующих (дрейфовых) погрешностей, что приводит к потере точности достаточно сложного устройства. Кроме того, реализованы не все функциональные возможности которые дает интеллектуализация МПП.
Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы введением поправки лишь в данный момент времени, а далее вновь монотонно возрастают. Поэтому, в отличие от систематических погрешностей, которые могут быть скорректированы один раз на весь срок службы прибора, прогрессирующие погрешности требуют непрерывного повторения коррекции и тем более частого, чем меньше должно быть их остаточное значение, Другая особенность прогрессирующих погрешностей состоит в том, что их изменение во времени представляет собой нестационарный случайный процесс и поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с оговорками.
Как бы тщательно ни был изготовлен и отрегулирован измерительный преобразователь при выпуске приборостроительным заводом, с течением времени в его элементах и узлах неизбежно протекают разнообразные процессы старения и его погрешности неуклонно возрастают.
В условиях эксплуатации любой преобразователь взаимодействует со средой, в которой он находится. В зависимости от вида взаимодействия со средой все разнообразие физических и физико-химических процессов, определяющих старение измерительных преобразователей, можно разделить на группы [88]:
1) при изготовлении всех элементов прибора их материал подвергается коренным физическим воздействиям (напылению, травлению, плавке, пайке, штамповке, протяжке, волочению, отжигу, окраске и т. д.), приводящим к появлению внутренних напряжений, нарушениям кристаллической структуры, т. е. к тем или иным механизмам запасания энергии в веществе; с течением времени происходит постепенное высвобождение этих внесенных запасов энергии (рассасываются внутренние напряжения, перемещаются дислокации, происходит перекристаллизация, релаксационные процессы в них и т.п.);
2) процессы, вызываемые взаимодействием вещества
элементов систем управления с окружающей средой (осаждение
пыли, влаги, конденсация паров и газов на поверхности материала -
адсорбция, проникновение внутрь твердого материала - абсорбция и
т.п.)
3) процессы, вызываемые колебаниями температуры и другими
потоками энергии (растекание, усыхание, возгонка атомов и молекул
с поверхности материала, изменение фазового состояния,
флуктуационные изменения межмолекулярных и межатомных связей
и т.п.).
Так как все эти процессы происходят, в основном, на молекулярном уровне, то поэтому приборы подвержены старению практически одинаково как во включенном состоянии, так и при хранении.
Таким образом, основным фактором, определяющим старение средств измерений, является не «наработка» во включенном состоянии, а календарное время, прошедшее с момента изготовления, т.е. возраст прибора.
Скорость старения измерительных преобразователей определяется перечисленными выше процессами, происходящими на
молекулярном уровне, зависит, прежде всего, от используемых материалов и применяемой технологии изготовления. Поэтому скорость старения как электромеханических, так и электронных приборов определяется устоявшейся технологией их производства и не может быть существенно изменена без коренного изменения технологии.
Отсюда параметром, в первую очередь определяющим
долговременную метрологическую работоспособность
измерительных преобразователей и находящимся в распоряжении заводов-изготовителей, является величина запаса нормируемого предела допускаемой погрешности преобразователя по отношению к ее фактическому значению при выпуске из производства.
Дополнительным параметром, влияющим на скорость старения является температура, при которой происходит старение. При изменении температуры от 20 до 40 С скорость старения возрастает в 1,4— 1,6 раза [52]. Вследствие этого скорость старения во включенном состоянии может отличаться от скорости старения при хранении лишь тогда, когда рабочее состояние средств измерений отличается существенным повышением его температуры.
В магнитострикционных преобразователях, особенно
работающих в тяжёлых условиях эксплуатации , главным фактором,
влияющим на динамику изменения полной погрешности в течение
эксплуатации является процесс старения материла звукопровода,
выполненного из дисперсионно-твердеющих элинварных сплавов
[72,97]. Старение приводит к изменению структурного состояния
сплавов, вследствие чего изменяются их механические, магнитные,
электрические свойства. Происходит уменьшение
электропроводности, скорости звука и коэрцитивной силы. Это свидетельствует о разупрочнении, которое сопровождается
рекристаллизацией и коагуляцией, снижением внутренних напряжений и т.д.
С развитием GALS- технологии становится важным исследование характеристик погрешности в течение всего жизненного цикла изделия.
Однако, вопросы связанные с динамикой изменения полной погрешности магнитострикционных преобразователей в течение срока эксплуатации, исследованы лишь в первом приближении.
Учитывая, что в современных системах управления,
определяющим является влияние экономических факторов, качество
датчиков и стоимость их жизненного цикла становятся важными как
никогда. Поэтому тема диссертационного исследования
посвященного методам моделирования и оценки метрологических
характеристик и эксплуатационных показателей
магнитострикционных преобразователей с целью улучшения их качества является актуальной.
Цель исследования. Разработка методов моделирования и оценки метрологических характеристик и эксплуатационных показателей магнитострикционных преобразователей с целью повышения их качества и расширение базы знаний об их технических и функциональных возможностях.
Для достижения поставленной цели в работе сформулированы и решены следующие задачи:
Систематизация методов описания динамики полной погрешности датчиков и преобразователей систем управления.
Разработка методики экспериментальных исследований динамики полной погрешности магнитострикционных преобразователей при минимизации времени наблюдений.
Разработка и реализация автоматизированной системы научных исследований магнитострикционных преобразователей.
Построение математической модели динамики полной погрешности магнитострикционных преобразователей.
Исследование функции влияния внешних факторов на точность магнитострикционных преобразователей.
Разработка частных и обобщенного показателей качества эксплуатационных характеристик магнитострикционных преобразователей и синтез многофункционального магнитострикционного преобразователя.
Методы исследований. В работе использованы методы системного анализа и математического моделирования, математические методы планирования многофакторного эксперимента и регрессионного анализа, сплайн-методы аппроксимации экспериментальных зависимостей, методы технической кибернетики и метрологии, цифровое моделирование на ЭВМ.
На защиту выносятся:
Методика многофакторных испытаний динамики полной погрешности магнитострикционных преобразователей.
Математическая модель динамики полной погрешности магнитострикционных преобразователей.
3. Математическая модель функций влияния внешних факторов
на точность МПП.
4. Частный и обобщенный показатели качества
эксплуатационных характеристик МПП.
5. Многофункциональный магнитострикционный
преобразователь.
Научная новизна.
1. Предложен способ оптимизации использования метода наименьших квадратов на основе спектрального анализа функции
статической погрешности, обеспечивающий минимальные затраты на проведение и обработку эксперимента.
2. Предложена методика математического моделирования
динамики полной погрешности МІЖ.
3. Впервые разработана нелинейная математическая модель
динамики полной погрешности магнитострикционных
преобразователей в виде системы дифференциальных уравнений.
4. Разработаны нелинейные полиномиальные модели функций
влияния температуры и растягивающих напряжений на точность
МПП.
5. Разработаны показатели качества эксплуатационных
характеристик магнитострикционных преобразователей с
использованием функций желательности Харрингтона.
Практическую ценность имеют:
Методика индивидуальной градуировки статической характеристики МПП.
Методика математического моделирования динамики полной погрешности МПП.
3. Аппаратная и программная реализация экспериментальной
установки для испытаний МПП.
Результаты экспериментальных исследований МПП.
Методика количественной оценки показателей качества МПП на основе функции желательности Харрингтона.
6. Конструкция многофункционального магнитострикционного
преобразователя повышенного качества.
Реализация и внедрение. Теоретические и практические
результаты работы используются в учебном процессе на кафедрах
«Автоматизация технологических процессов» и
«Электрооборудование и автоматика судов» Астраханского Государственного Технического Университета в рамках
специальностей 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств», 180400 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», 180900 « Электрооборудование и автоматика судов», 240600 «Эксплуатация электрооборудования и автоматики судов».
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях Астраханского Государственного Технического Университета (2000-2006гг.); XV и XVI Научно-технических конференциях с участием зарубежных специалистов "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления" (Датчик - 2003, Датчик - 2004); Международной научной конференции посвященной 75-летию основания Астраханского Государственного Технического Университета. (Астрахань 2005); VII Международный научно-методической конференции «Традиции и педагогические новации в электротехническом образовании НИТЭ 2006» (Астрахань 2006), на всероссийской научной конференции «инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности АСТИНТЕХ-2007» (Астрахань 2007).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 2 статьи в журнале по списку ВАК, 1 статья в сборнике научных трудов, 4 статьи в материалах международных конференций.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и семи приложений. Основной текст 145 страниц машинописного текста. Библиография- 142 наименования.
Описание динамики погрешности измерительных преобразователей линейной математической моделью
Изучение и описание любого физического явления сводится в конечном итоге к нахождению математической модели этого явления. Главным критерием пригодности модели является ее адекватность описываемому явлению. Если же такая адекватность не достигается, то последующие исследователи вынуждены искать другие, более адекватные модели.
Так, во многих работах теоретический анализ изменения погрешности преобразователя во время его эксплуатации проводится на основе представления этого процесса как стационарного случайного процесс у(Т) (рисунок 1.2) с некоторым постоянным законом распределения, а задача анализа сводится к отысканию вида этого закона распределения [40,88,89].
При такой постановке задачи метрологически исправное состояние преобразователя, сохраняется до тех пор, пока мгновенные значения (случайного процесса у(Т) находятся в пределах интервала [-Укл +Укл], где укл—предел допускаемых погрешностей средства, нормированный в соответствии классом точности преобразователя. А выход случайного y(t) за эти пределы при t=t0TK, как это показано на рисунок. 1.2, а, фиксируется как метрологический отказ.
Неадекватность такой модели процесса изменения погрешности средств измерений во времени очевидна. Действительно, при такой модели вероятность выхода случайного процесса за границы ±укл одинакова как в начальный момент эксплуатации, так и через 1 год или 10 лет. В действительности же вследствие непрерывного возрастания погрешности эта вероятность достаточно мала на протяжении первого года эксплуатации и становится существенно больше через несколько лет.
Поэтому в качестве простейшей модели прогрессирующей погрешности в ГОСТ 8.009—84, предложен нестационарный случайный процесс с постоянным во времени значением дисперсии а2 и линейно нарастающим текущим математическим ожиданием у(Т) = у(0) + иТ (рисунок. 1.2, б.)
В этом случае наступление метрологического отказа в момент Тотк также соответствует точке первого пересечения случайным процессом у(Т) границ ±укл. Однако если рассматривать совокупность однотипных преобразователей, случайные процессы возрастания прогрессирующей погрешности которых имеют совпадающие значения дисперсии а2, скорости и и начального значения (0) математического ожидания, то для такой совокупности отказы будут наступать в разные моменты времени. Распределение этих моментов времени будет характеризоваться кривой распределения плотности вероятности 1 (рисунок 1.2, б), которая в некотором масштабе приблизительно повторяет кривую распределения 2 случайной составляющей погрешности этих средств измерения.
Таким образом, простейшая модель, изображенная на рисунке 1-2, б, пригодна для описания прогрессирующей погрешности парка однотипных преобразователей, характеризующихся одинаковыми параметрами у (0), а и v.
Особенностью рассмотренной модели является то, что граница (+укл или -укл), на которой происходит метрологический отказ, определяется знаком скорости v. Поэтому вероятность выхода погрешности за нормируемые пределы при этой модели всегда является односторонней. Это позволяет использовать упрощенное описание такой модели лишь в виде определенной верхней квантили. Например, если квантильный коэффициент для выбранной вероятности Р равен кр, то модель в виде верхней квантили нестационарного случайного процесса получает вид
Однако эта модель требует знания уже не трех, а четырех параметров случайного процесса, так как кроме значений 6(0), v и о включается еще и квантильный коэффициент кр, значение которого зависит как от принятой вероятности Р или уровня значимости q=l-Р, так и от формы закона распределения вероятностей случайной погрешности средства измерения.
Особую сложность для теоретического анализа погрешностей, изменяющихся во время эксплуатации средств измерений, т. е. на протяжении 5—20 лет, создает то, что форма закона распределения случайной погрешности за такой промежуток времени может существенно измениться, следовательно, будет переменным во времени и квантильный коэффициент кр.
Привлекательность простой модели (1.5) состоит в том, что она позволяет выразить переменную ур(Т) через время и ряд постоянных (параметров процесса). Если же один из этих параметров (кр) вновь оказывается сложной функцией времени, то удобство такой модели резко снижается.
Однако, высокоэнтропийные симметричные распределения (распределения с энтропийным коэффициентом кэ \,1, такие, как равномерное, все трапецеидальные, треугольное, нормальное, двухстороннее экспоненциальное и т. п.) обладают одним общим свойством, состоящим в том, что их 5 %-ная и 95%-ная квантили отстоят от центра распределения на +1,6а с отклонениями не более ±0,05(7.
Если предположить, что закон распределения случайных погрешностей преобразователя, деформируясь со временем, за 5—20 лет может принять только какой-то из перечисленных выше видов, т. е. всегда остается высокоэнтропийным, то можно считать, что верхняя 95%-пая квантиль нестационарного случайного процесса изменения прогрессирующей погрешности средства измерения во времени может быть описана уравнением
Недостатком модели как рисунок 1.2, а, так и рисунок 1.2, б, является то, что обе модели построены умозрительно, без опоры на фактические экспериментальные данные.
Автоматизированная система научных исследований магнитострикционных преобразователей
Как показано выше, основным методом исследования МПП является экспериментальный. Для проведения экспериментальных исследований при участии автора [15,79] разработана автоматизированная система научных исследований магнитострикционных преобразователей (АСНИ МПП) предназначенная для экспериментального определения метрологических характеристик МПП, функционирующих путем преобразования временных интервалов в цифровой код.
АСНИ МПП обеспечивает выполнение следующих основных функций: возбуждение первичного МПП; фиксацию времени распространения ультразвуковой волны по его звукопроводу; формирование массивов экспериментальных данных с последующим занесением их в базу данных; исследование неинформативных параметров сигнала в зависимости от конструкции и внешних влияющих факторов (температуры и натяжения звукопроводов МПП, конструкции электроакустических преобразователей, геометрии и материала звукопровода); нормирование метрологических характеристик МПП; представление обработанных данных в виде графиков и таблиц.
АСНИ МПП представляет собой распределенную вычислительно-управляющую систему (рисунок 1), состоящую из следующих блоков: 1) первичный магнитострикционный преобразователь на крутильных волнах; 2) датчик температуры 3) образцовое средство измерения перемещений; 4) образцовое средство измерения временных интервалов; 5) электронный осциллограф для определения неинформативных параметров МПП; 6) блок обработки время-импульсной информации, представляющий собой микропроцессорный контроллер, выполняющий функции управления первичным магнитострикционным преобразователем, преобразования временного интервала в цифровой код, приема информации от образцового средства измерения перемещений и точечного датчика температуры. Блок обработки информации обеспечивает также передачу в реальном масштабе времени данных эксперимента в персональный компьютер IBM PC; 7) персональный компьютер IBM PC, выполняющий функцию диспетчера системы и решающий задачи управления экспериментом, поддержки базы экспериментальных данных, графического представления результатов эксперимента. 1) возбуждение первичного МПП; 2) фиксацию времени распространения ультразвуковой волны по звукопроводу первичного магнитострикционного преобразователя для целей экспериментального определения статических и точностных характеристик; 3) формирование массивов экспериментальных данных с последующим занесением их в базу экспериментальных данных; 4) исследование неинформативных параметров сигналов в зависимости от внешних влияющих факторов; 5) нормирование метрологических характеристик МПП; 6) представление протокола исследований. Конструктивное исполнение АСНИ МПП приведено в [15,58].
Первичный магнитострикционный преобразователь на крутильных волнах представляет собой законченную механическую конструкцию, причем обеспечивается возможность быстрой смены электроакустических преобразователей записи и считывания при проведении исследований.
Структурная схема МПП на крутильных волнах представлена на рисуноке 2.6. 1- звукопровод (проволока из сплава 44НХ5МТ диаметром 1 мм); 2-демпфер; 3- подвижный постоянный магнит; 4- катушка считывания; 5- блок сменных грузов; 6- генератор тактовых импульсов; 7- формирователь импульсов возбуждения; 8- усилитель-формирователь импульсов считывания; 9- RS-триггер; 10- счетный триггер; 11- неподвижный постоянный магнит.
Блок управления 1 запускает формирователь 2 который обеспечивает формирование серии импульсов, задержка между которыми в МПП служит информацией о положении объекта. Сигнал считывания, преобразованный усилителем-формирователем считывания 3, поступает в блок разрешения счета 4. Данный блок по команде микропроцессора определяет измеряемый интервал и формирует сигнал окончания счета. Импульсы образцового генератора 5 поступают на вход счетчика 6. Код, находящийся на выходе счетчика, по командам блока управления 1 преобразуется шинным формирователем 7 в последовательность восьмиразрядных чисел и передается в порт микроконтроллера 8. Для связи устройства с компьютером 9 выбран интерфейс RS-232.
Конструктивно преобразователь состоит из двух плат: платы аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и платы контроллера. В преобразователе используется отладочный контроллер ЕС 196, представляющий собой микропроцессорную систему на базе микропроцессора І8ХС196КС. Для управления работой контроллера со стороны ЭВМ используется Кросс-система Ассемблер-96. Для фиксации временного положения импульсов считывания применен метод "цифрового экстремума", что обеспечивает высокое качество фиксации времени между импульсами. Для измерения параметров импульса тока возбуждения и считывания используется двухлучевой электронный осциллограф С1-70 с погрешностью измерения амплитуды импульса ±0.1%. В качестве образцового средства измерения временных интервалов используется электронно-счетный частотомер 43-34 А с разрешающей способностью 10 не и точностью ±0.01%. В качестве образцового средства измерения перемещений использовались: в диапазоне 0-1600 мм - штангенциркуль ШЦ-Ш 1600 с допускаемой погрешностью 0.2 мм {8 = ±0.0125%). Принципиальная электрическая схема экспериментальной установки приведена в Приложении Б.
Динамическая модель полной погрешности магнитострикционных преобразователей в виде системы дифференциальных уравнений
Определяющее влияние на динамику полной погрешности МПП оказывают два фактора: колебания температуры и процесс старения волновода. Построение математической модели проводится по экспериментальным данным, включающим в себя оба фактора.
В качестве первой переменной состояния объекта описываемого системой двух дифференциальных уравнений взята функция изменения длительности прохождения импульса по фиксированному участку волновода, определяющая полную погрешность МПП. Математическая модель построена по массиву экспериментальных данных, приведенному в таблице 3.1.
Для построения математической модели использовалась нормированная функция, полученная для 120 дней и принимающая значения от 0 до 1. Затем, с помощью аппроксимации нормированной функции по методу наименьших квадратов получено уравнение линии, описывающей исследуемый процесс. Необходимость подобной аппроксимации в данном случае связана с некоторыми особенностями устойчивости последующего решения системы дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутта. Для обработки данных по методу наименьших квадратов использовался полином 6 степени. Погрешность аппроксимации при этом не превысила 0.14 мкс, в чем можно убедиться по рисунок 3.2, на котором представлен непрерывный график погрешности аппроксимации в мкс, полученный с помощью интерполяции кубическим сплайном (Ах1(Т) - функция распределения погрешности аппроксимации, Т - время календарное).
Второй переменной состояния динамического объекта считали производную функции изменения длительности прохождения импульса, полученную с помощью встроенной функции MathCAD Professional 2000 после интерполяции кубическим сплайном. Вторая переменная состояния также была приведена к нормальному виду.
Следующим этапом построения математической модели является численное дифференцирование переменных состояния, так как для оценки коэффициентов системы дифференциальных уравнений необходимо знать значения производных переменных состояния объекта в экспериментальных точках. При этом также используются встроенные функции MathCAD, позволяющие обеспечить достижение необходимой точности.
Далее производится выбор вида модели. На основании поведения переменных состояния производится выбор правой части уравнений системы. Определяются функции, входящие в правую часть и число коэффициентов в каждом уравнении. Было установлено, что оптимальным видом правых частей системы дифференциальных уравнений является полином 2-й степени, так как дальнейшее увеличение степени полинома не ведет к значительному увеличению точности построенной модели и приводит к неустойчивости метода Рунге-Кутта при дальнейшем решении системы дифференциальных уравнений. Итак, решаемая система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
Для проверки адекватности модели производится численное решение системы дифференциальных уравнений, коэффициенты которой получены на предыдущем этапе. В качестве исходных данных при решении системы используются экспериментальные значения переменных состояния в начальной точке. Для этого использовалась встроенная функция MathCAD rkfixed, позволяющая найти решение системы дифференциальных уравнений методом Ронге-Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом интегрирования. Величина среднеквадратического отклонения найденного решения для длительности прохождения импульса не превышает 0.0002, следовательно, полученную модель можно считать адекватной.
Далее, произведем решение полученной системы дифференциальных уравнений для интервала, превосходящего интервал, использованный для построения модели, на 50 календарных дней. Из графика на рисунке 3.3 видно, что модель адекватно описывает поведение исследуемой функции практически на всем интервале решений. Погрешность предсказываемых моделью значений не превышает 0.015 мкс (рисунок 3.4).
Результатом исследования влияния различных факторов, таких как степень полинома, аппроксимирующего исходную функцию, вид правой части дифференциальных уравнений, на конечный результат построения математической модели - возможный диапазон прогнозирования и погрешность полученной модели приведены в таблице 3.3.
Показатели качества эксплуатационных характеристик магнитострикционных преобразователей
Для формирования частных показателей качества эксплуатационных характеристик МПП предлагается использовать функции желательности Харрингтона [78, 86], широко применяемые для формирования частных и комплексных показателей качества при решении оптимизационных задач методами планирования эксперимента. В основе построения функций желательности лежит идея преобразования натуральных значений частных откликов каждой эксплуатационной характеристики в безразмерную шкалу желательности. Шкала желательности относится к психофизическим шкалам. Ее назначение — установление соответствия между физическими и психологическими параметрами (см. Таблица. 4.1). При этом под физическими параметрами следует понимать все возможные значения эксплуатационных характеристик МПП, заданные в соответствующих единицах измерения. Значение частного отклика, переведенное в шкалу желательности, является частной желательностью эксплуатационной характеристики du (и = 1,2,...,п) и определяет в нашем случае нормированную оценку качества заданного ЛПР натурального значения эксплуатационной характеристики. Значение du =
О соответствует абсолютно неприемлемому уровню данного свойства, а значение du=\ — самому лучшему значению свойства. Выбор функции Харрингтона в данном случае не случаен, поскольку данный подход позволяет на основании значений частных функций желательности каждой из эксплуатационных характеристик легко определить и обобщенный показатель качества всей конструкции МПП — построить обобщенную функцию желательности Харрингтона, представляющую собой среднее геометрическое желательностей отдельных параметров оптимизации. В результате обобщенная функция желательности D оказывается единственным параметром оптимизации взамен многих. Как видим, задача построения обобщенного показателя качества конструкции Ml 111, являющегося единственным параметром оптимизации решаемой задачи синтеза, сводится к построению частных функций желательности для каждой из эксплуатационных характеристик МПП в рамках той или иной спецификации. Рассмотрим процедуру перевода значений параметра оптимизации (эксплуатационной характеристики) в соответствующие желательности. Выбор варианта определяется видом ограничений, установленных ЛПР для данной характеристики. Пусть у — натуральное значение одной из эксплуатационных характеристик МПП. Различают односторонние у Утах или у Утт и двухсторонние утт у утш ограничения. Анализ эксплуатационных характеристик МПП показывает, что применение двухсторонних ограничений в задаче синтеза является нецелесообразным. Для односторонних ограничений вида у утт или y ymi„ функция желательности выражается уравнением где у\ — некоторая безразмерная величина, линейно связанная с значениями частных откликов у{. Графически функция (4.7) показана на Рисунок 4.1. По оси ординат расположены значения у\ кодированной шкалы частных откликов, по оси ординат — значения соответствующих частных показателей желательности.
Определим для каждой эксплуатационной характеристики линейную связь между у І и у с помощью реперных точек. Поставим в соответствие двум любым значениям х) и х) каждой /-й эксплуатационной характеристики соответствующие значения частных показателей желательности d) и df. Тогда, для односторонних ограничений значения кодированной шкалы можно будет определить по формулам: (4.9) графике функции желательности прямые линии, с помощью которых на практике удобно переводить значения эксплуатационных характеристик в соответствующие им желательности. Для этого на график наносятся также шкалы значений эксплуатационных характеристик. Результатом построения является номограмма желательностей частных откликов эксплуатационных характеристик. Расчет данных для построения номограмм желательностей каждой эксплуатационной характеристики многофункционального МПП представлен в таблице 4.2. Номограммы желательностей эксплуатационных характерне тик МПП представлены на Рисунок 4.2.Проиллюстрируем схему пользования полученной номограммой. Например, для точности равной Г4 =1,5 мм. На Рисунок 4..2 по пути, указанному стрелками, находим, что для Y4 = 1,5 мм dY = 0,43. Аналитически, значение желательности d\ для произвольной точки х\ і-й эксплуатационной характеристики можно определить по формуле (4.8). Значение кодированной шкалы у х,, легко выражается из уравнения прямой, заданной парами реперных точек ( ), ,) и
